Magnetostatica 312 ottobre 2012

Momento agente su un ago magneticoForza agente su una spiraMomento di forza agente su una spiraMomento magnetico di dipoloEnergia potenziale di una spiraTeorema di equivalenza di AmpèreFlusso del campo BSorgenti del campo B

Momento agente su un ago in un campo B

• Abbiamo visto che un ago magnetico in un campo B è soggetto ad una coppia il cui momento può essere misurato

• Abbiamo introdotto il momento magnetico m dell’ago• m è tale che quando l’ago è posto in un campo B, la

coppia risultante ha momento meccanico

• E l’energia dell’ago nel campo esterno è, analogamente al caso elettrico,

• Vediamo ora cosa accade per un a spira percorsa da corrente

Bm

BmE

2

Forza agente su una spira in un campo B uniforme

• Spira rettangolare (per semplicità) che possa ruotare intorno ad un asse (x) perp. a B, disposto lungo z

• Lati perp. all’asse di rotazione: – Sul lato AD (lunghezza h) agisce la forza

– Su BC la stessa forza con segno opposto– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

• Lati paralleli all’asse: – Sul lato AB (lunghezza b) agisce la forza

– Su DC la stessa forza con segno opposto– Le forze sui due lati sono uguali ed opposte

iBIhiIhBF ˆcosˆ2sin

jIbBF ˆ

z

y

n

x X

B

B

B

x

y

z

n

O

D

A

C

h

b

3

Momento agente su una spira in un campo B uniforme

• Lati perpendicolari all’asse di rotazione• Possiamo considerare il momento della forza

risultante invece che il risultante dei momenti• Le due forze sui lati AD, BC sono uguali,

opposte e hanno la stessa linea d’azione, quindi il momento totale è nullo

B

B

x

y

z

n

O

D

A

C

h

b 4

Momento agente su una spira in un campo B uniforme

• Lati paralleli all’asse di rotazione• Di nuovo possiamo considerare il momento

della forza risultante invece che il risultante dei momenti

• Le due forze risultanti sui lati AB, DC sono uguali, opposte e hanno braccio

• quindi hanno momento

sinh

BnIA

iIABiIbBh

ˆ

ˆsinˆsin

z

y

n

x X

B

5

Momento magnetico di una spira

• Definiamo momento magnetico di una spira piana di forma arbitraria (o momento di dipolo magnetico), il vettore– A: area della spira– I: corrente circolante– n: versore normale alla spira

• Il momento meccanico in un campo B può venir espresso nella stessa forma che per un ago magnetico

nIAm ˆ

Bm

6

Energia potenziale di una spira

• Scegliamo come zero dell’energia• U e` l’opposto del lavoro per andare da a

2

2LU

cos

sin222

mB

dmBdBmL

BmmBU cos

2

7

Sorgenti del campo B

• Ampère intui’ che il magnetismo di un magnete altro non e` che l’effetto di correnti microscopiche all’interno della materia

• Le sorgenti del campo induzione magnetica non sono quindi le cariche magnetiche, ma le correnti elettriche, macroscopiche o microscopiche che siano

8

Teorema di equivalenza di Ampère

• Questa intuizione e` suffragata dal teorema di equivalenza tra un magnete ed una spira

1) le azioni meccaniche esercitate da un campo B su di un magnete o su di una spira di ugual momento magnetico, sono uguali

2) a grande distanza il campo B di dipolo generato da una spira è uguale a quello di un magnete

9

Teorema di equivalenza di Ampère

• Abbiamo dimostrato la prima parte: le azioni di un campo esterno B su un ago e una spira sono uguali, purché tra il momento dell’ago, la corrente e l’area della spira valga la relazione

• Procediamo ora con la seconda parte

agospira mnIAm ˆ

10

Teorema di equivalenza di Ampère

• Calcoliamo il campo B prodotto da una spira (raggio R e corrente i) a grande distanza r0 mediante la formula di Laplace

11

r0 r

3r

rldkiB

R

r

r 0

R

Teorema di equivalenza di Ampère

• Scriviamo le componenti cartesiane dei vettori R, dl, r0 e r

12

R dl

R

RcosRsin0

dl

dlsindlcos0

r 0

r0 sincosr0 sinsin

r0 cos

r0

r

r0 sincos Rcosr0 sinsin Rsin

r0 cos

Teorema di equivalenza di Ampère

• Calcoliamo il prodotto esterno e sviluppiamo r al denominatore al primo ordine in R/r0

• Posto che l’integrale del campo diviene13

dl

r dl

r0 cos cosr0 sin cos

r0 sincos R

1

r31

r03 1 3

R

r0sincos

O2

R

r0

dl Rd

Teorema di equivalenza di Ampère

•

14

B ki

1

r03 1 3

R

r0sincos

r0 cos cosr0 sin cos

r0 sincos R

Rd

0

2

kiR

r02 1 3

R

r0sincos

cos cossin cos

sincos R r0

d

0

2

Teorema di equivalenza di Ampère

• Componente x:

• Similmente per la componente y:

15

Bx kiR

r02 1 3

R

r0sincos

cos cosd

0

2

kiR

r02 cos cosd

0

2

3R

r0sincos cos cosd

0

2

kiR

r02 3

R

r0sincos coscos sinsin cosd

0

2

3kiR2

r03 sincoscos cos2 d

0

2

3kiR2

r03 sincoscos

By 3kiR2

r03 sincossin

Teorema di equivalenza di Ampère

• Componente z:

16

Bz kiR

r02 1 3

R

r0sincos

sincos

R

r0

d

0

2

kiR

r02 sincos

R

r0

d

0

2

3R

r0sin2cos2 d

0

2

kiR

r02 sin cos d

0

2

R

r0d

0

2

3R

r0sin2cos2 d

0

2

kiR2

r03 2 3sin2 cos2 d

0

2

kiR2

r03 2 3 sin2

kiR2

r03 3cos

2 1

Teorema di equivalenza di Ampère

• Posto m=iR2, momento magnetico della spira, in coordinate cartesiane il campo risulta

• In coordinate cilindriche

17

B k

m

r03

3sincoscos3sincossin3cos2 1

B k

m

r03

3sincos0

3cos2 1

04

m

r03

3sincos0

3cos2 1

Teorema di equivalenza di Ampère

• In coordinate sferiche, infine

• Che è esattamente uguale al campo induzione magnetica di un magnete, e che è a sua volta uguale al campo elettrico di un dipolo elettrico a grandi distanze

18

0

sin

cos2

4 3

0

0

r

mB

0

sin

cos2

4

13

00 r

pE

Flusso del campo B• Per il principio di sovrapposizione il campo B si

può pensare come somma dei campi dovuti ai singoli portatori

• Il flusso sarà

• Basta quindi considerare il flusso di un singolo portatore, il cui campo è

30

4 r

rvqb

N

jjbB

1

N

jj

N

j S

j

S

SbAdbAdBSB11

||

19

Flusso del campo B• Per quanto detto sulla legge di Gauss,

possiamo limitarci a calcolare il flusso attraverso una sfera con centro nella carica in moto

• Le linee di b sono tangenti alla superficie sferica, quindi il flusso di b, e di conseguenza quello del campo totale B sono nulli

• Cioè abbiamo la 3° equazione dell’em

SS

Adr

rvqAdbSb

3

0

4|

0S

AdB

20

Sorgenti del campo B

• Se confrontiamo questo risultato con il caso elettrico possiamo affermare che l’annullamento del flusso di B stabilisce la non esistenza di cariche magnetiche

0

int

)|(

totQSE

0)|( SB

21

Forma differenziale della legge di assenza di carica magnetica

• L’annullamento del flusso e della divergenza sono due aspetti della stessa cosa

• Applichiamo il teorema della divergenza all’integrale del flusso

• Ne segue che l’integrando nell’ultimo membro dev’essere nullo ovunque

VS

dVBadB

0

0 B

22

Potenziale magnetico

• Abbiamo visto che ad un campo E si puo` associare un potenziale scalare V

• E` possibile fare una cosa analoga per il campo B?

• La risposta e` no

• E` invece possibile associare un potenziale vettore A

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Potenziali e.m.• Questo deriva formalmente dalle diverse proprieta` dei

campi• Per il campo E e` sempre verificato• Per cui si puo` scrivere• In quanto la rotazione di un gradiente e` identicamente

nulla• Per il campo B abbiamo invece• Non si puo` esprimere B come gradiente di un campo

scalare, in quanto la divergenza di un gradiente non e` necessariamente nulla

• E` pero` possibile esprimere B come rotazione di un campo vettoriale:

• in quanto la divergenza di una rotazione e` identicamente nulla

0 E

VE

0 B

AB

24

Potenziali e.m.

• Verifichiamo questa affermazione

0 AB

0222222

yz

A

xz

A

xy

A

zy

A

zx

A

yx

A

y

A

x

A

zx

A

z

A

yz

A

y

A

xz

B

y

B

x

B

xyzxyz

xyzxyzzyx

25