PRESSOFLESSIONE ED ECCENTRICITA’ NEL PILASTRO

Definizione:In un telaio semplice, parte del momento agente sulla trave si trasferisce al pilastro, in proporzione di 1/2 – 1/3 a seconda del modo in cui il pilastro si collega alla trave stessa. In tal modo si potrebbe determinare instabilità nel pilastro, progettato a compressione ma sottoposto anche ad una flessione.

La verifica si conduce partendo da dei presupposti:

1) dobbiamo disporre dei valori di NORMALE e MOMENTO sul pilastro2) da questi si ottiene il valore dell’ ECCENTRICITA’

se tale valore ricade:

a) entro il terzo medio o nocciolo di inerzia → VERIFICATOb) al limite del terzo medio o del nocciolo → VERIFICATOc) fuori dal nocciolo di inerzia → PROBABILE INSTABILITA’, verificare σd) esterno alla figura → INSTABILITA’ – progettare a flessione

La verifica nel caso c) consiste nel calcolare la tensione σ della parte compressa nell’ottica di una differente configurazione della sua reale area, parzializzata dalla presso flessione.Se la verifica non viene superata si ricade nella situazione d), ovvero si dovrà armare il pilastro esattamente come si arma una trave a flessione. Vediamo tutti i passaggi.

1 - Il nocciolo di inerziaSin dai tempi di Michelangelo era nota la regola del terzo medio: dividiamo la sezione del pilastro in tre parti uguali. Quella centrale è il terzo, medio. Bene, il principio veniva espresso nei seguenti termini: se rispetto al centro (ex centrum – eccentricità ) le forze ricadono al di fuori del terzo medio si determina instabilità nel pilastro.

Successivamente gli studi di Cullman portarono ad una maggiore precisione:il suo tentativo fu, data una sezione, di verificare l’inerzia lungo diversi assi.La figura che ne derivava era un ellisse, per una sezione rettangolare, ed un cerchio per una quadrata. Tale figura prende il nome di nocciolo di inerzia.

Per ragioni pratiche, il nocciolo di inerzia come utilizzeremo successivamente viene configurato come segue: gli spigoli sono più fragili delle parti piene, sarebbe errato attribuire a questi la medesima resistenza. L’intera figura si regge sul principio che ad un punto corrisponda una retta:il che vale sia per l’estremo del terzo medio, evidenziato da P rossa, nei confronti di una retta r rossa la quale corrisponde al bordo inferiore della sezione, sia per ogni spigolo del rombo nei confronti del bordo a questi antipolare, ed infine, considerando il punto di spigolo P grigio della sezione, per la retta antipolare r grigia, che costituisce la conformazione romboidale in figura, del nocciolo.

2 – EccentricitàOsserviamo le seguenti considerazioni grafiche:

il carico non induce momento al pilastro, che risulta compresso.Nessun valore di eccentricità.

La trave trasferisce parte del momento al pilastro. L’asse neutro, oltre il quale avremo trazione, si avvicina al bordo del pilastro.

L’asse neutro coincide con il bordo del pilastro, quindi siamo al limite del terzo medio, ovvero del nocciolo di inerzia.

L’asse neutro entra nella sezione, una parte dell’area entra in trazione, e l’area compressa è parzializzata.

Il valore di E (presa dal centro) si determina conoscendo il MOMENTO e lo sforzo NORMALE che agiscono sul pilastro:

eccentricità = MOMENTO E = M = daN cm = cm (dal centro) NORMALE N daN

Può capitare che il valore dell’eccentricità vada ben oltre il nocciolo, uscendo proprio dalla figura.In tal caso non sarebbe corretto affermare che il pilastro è in trazione: ci sarà sempre una parte di area compressa, ridotta e sovraccaricata. Questo è un aspetto limite, paradossale di questo metodo.In questo caso dimensioneremo il pilastro esattamente come fosse una trave progettata a flessione, disponendo delle armature longitudinali che impongano equilibrio alla sezione.

3 – Operare la verificaIn grande, disegnare la sezione ed individuare le seguenti misure:

1) dividere in tre parti la sezione ( L/3 )

2) individuare metà della sezione (L/2 )

3) individuare la metà del nocciolo d’inerzia ( ½ L/3 )

4) trovare il valore dell’eccentricità E

5) chiameremo U la parte residua ( L/2 – E )

L’asse neutro Y disterà tre volte U rispetto al lato superiore, in quanto l’eccentricità vorrebbe diventare l’estremo di un nuovo nocciolo di inerzia di una nuova sezione parzializzata.L’area al di sopra dell’asse neutro Y resta compressa, la parte sotto entra in trazione.Come ogni verifica ci chiederemo se la tensione generata dallo sforzo normale e dal momento cui il pilastro è soggetto sia sostenibile per il materiale di cui esso è costituito.

σ = N + M y < σamm verificato A* I*

A* = base ∙ 3U - è la nuova area, solo la parte compressa, non reagisce più tutta l’areaI* poiché I = bh3 / 12 ed ora h → h* = 3U non tutta l’altezza darà inerzia

Qualora sia insostenibile per quel materiale la tensione esercitata e sempre qualora l’eccentricità vada fuori dalla figura, a seconda della tecnologia di assemblaggio si deve porre un rimedio:

Legno: affianco una piattina di acciaio o devo aumentare l’area, di 6 volte il valore dell’eccentricità.

Mattoni, acciaio: devo aumentare l’area o alle brutte creare un tirante esterno

Cemento armato: posso ragionare come fosse una trave flessa:

1) divido il momento per il braccio delle forze utili (90% di H) per ottenere il valore della tensione (o della compressione), come nella trave flessa:

Nc = Nt = M = daN 0,9 H

2) determino l’area del tondino, avente una σamm determinata, che sopperisce alla trazione

Af = Nt = cm2 σamm

3) divido, da tabella, in più tondini in modo equivalente e li dispongo secondo il diagramma del momento:

diametro φ = 2 √Af /π

Per meglio comprendere quanto finora espresso, verificare graficamente e numericamente i seguenti esempi. Questi valori non sono oltremodo astratti.

ESEMPIO 1Sezione pilastro: 30 x 30MOMENTO: 45000 daN cmNORMALE: 7500 daN → eccentricità E = 6 cm > 5 ; U = 9

σ = 7500 + 45000 3U = 25 daN 30 ∙ 3U 1/12 ∙ 30 ∙ 3U3 cm2 25 < 300 VERIFICATO.

ESEMPIO 2Sezione pilastro: 30 x 30MOMENTO: 375000 daN cmNORMALE: 7500 daN → eccentricità E = 50 cm >> 5 (L/6) NON VERIFICATO Trazione Nt = 375000 / 0.9∙30 = 138900 daN Af = 138900 / 1900 = 7,3 cm2 → φ = 30 mm circa 6 φ 6 Quando si determina questo fenomeno: Nei pilastri d’angolo, nei pilastri delle coperture, nei pilastri che reggono sbalzi, nelle spallette di un ponte, nei fabbricati come i capannoni industriali ed in generale ovunque si sospetta ci sia un momento molto maggiore dello sforzo normale.

Osservando la figura A si può notare quanto segue:

FIG. A1 – il telaio semplice ipotizzato nelle applicazioni di statica è uno schema valido per un terrazzo, o qualche pensilina, la quale per lo più non supporta il carico di un solaio civile. I valori sono quindi irreali. Potrebbe comunque presentare eccentricità.

FIG. A2 – in una configurazione maggiormente realistica si nota che il pilastro di base cessa di essere il più sollecitato dalla flessione data dal momento, mentre aumenta proporzionalmente lo sforzo di compressione. È altresì da notare come la trave superiore sia maggiormente flessa rispetto alla sottostante, ma sempre in modo minore rispetto al telaio semplice in figura A1. Risulta invece dai calcoli maggiore il momento all’incastro sempre del livello superiore, trasferito al pilastro. In questo caso (fate la prova) potrebbe determinarsi eccentricità nel pilastro d’angolo.

FIG. A3 – è interessante notare come, aggiungendo un terzo livello la trave più scarica risulta essere Quella centrale, la sommità seguita a presentare i medesimi problemi accennati per il coronamento superiore nel precedente caso. Questo è dovuto a due fattori che si intuiscono a logica prima che dai risultati: il programma non sta calcolando la reazione del plinto, e questo sta caricando maggiormente la trave inferiore. Sul medesimo incastro però va a gravare un maggior carico rispetto alle altre, quindi, maggior sforzo normale.Tale peso non sussiste al coronamento, che seguita a presentare il medesimo problema.La trave centrale ha la configurazione dei vincoli in modo tale da scaricare praticamente due terzi del momento ai pilastri contigui, pertanto il momento in mezzeria è minore.

FIG. A4 – nel caso di una struttura in elevazione, il maggior sforzo è concentrato al primo livello ed All’ultimo. Tutte le altre travi sono configurate come la centrale del telaio a tre. Se ne desume, che le parti che maggiormente soffrono in un edificio sono la base ed il coronamento superiore, ma solo in quest’ultimo si possono verificare eccentricità.

Nota: viene indicato un valore di trazione da 547 daN: non si vede, ma è riportato sulle travi.