Liceo Scientifico “G. Galilei” Davide Cavaliere

Classe V C Anno scolastico 2005/2006

“La divina proporzione: tassello di un

Universo dominato da leggi

matematiche”

M. C. Escher, “Ordine e caos”

INTRODUZIONE

Dall’infinitamente piccolo all’infinitamente grande, tutto sembra regolato da precise regole matematiche, da calcoli predefiniti applicati sin dalla piccola chiocciola che vive nel sottobosco, fino all’immensa galassia a spirale che contiene miliardi di stelle. Lo stesso Galilei affermava: "io veramente stimo il libro della filosofia esser quello che perpetuamente ci sta aperto innanzi agli occhi; ma perché è scritto in caratteri diversi da quelli del nostro alfabeto, non può esser da tutti letto: e sono i caratteri di tal libro triangoli, quadrati, cerchi, sfere, coni, piramidi ed altre figure matematiche, attissime per tal lettura". Egli intendeva dire che l’armonia del mondo si manifesta nella forma e nel numero. L’anima e la poesia della filosofia naturale s’incarnano nel concetto di bellezza matematica: ciò che è aggraziato e regolare è utile e perfetto. Già nelle antiche culture la perfezione ha destato curiosità ed ammirazione stimolando lo studio dei segreti nascosti dall’incredibile bellezza. Osservando la natura si scoprono espressioni d’eleganza e d’armonia: il tratto comune che definisce gli oggetti attraenti è generato da forze rigorose ed inequivocabili, che obbediscono a precise leggi matematiche. Le forme sono il primo aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano percepisce. Fin dall'antichità, gli studiosi hanno cercato di ricondurre la bellezza e la perfezione della natura a rapporti armonici. Servendosi di riga e compasso, i geometri greci erano in grado di dividere una linea in due segmenti, in modo che il rapporto fra il segmento più lungo e quello più corto fosse identico al rapporto fra l'intera linea e il segmento più lungo. Ma l’aspetto stupefacente è che tale rapporto non è circoscritto unicamente alla geometria: la natura sembra gradire particolarmente questo numero, che ormai è diventato simbolo di perfezione. Ogni oggetto che compone l’Universo, infatti, tende all’equilibrio, che si astrae in perfezione matematica, e tale tendenza contribuisce a delineare la bellezza di tutto ciò che ci circonda.

IL NUMERO AUREO IN MATEMATICA E GEOMETRIA

1) Phi da un segmento.

Il modo più semplice, e forse anche il più noto, per ottenere il numero aureo, è quello di dividere un segmento (a+b) in due parti, a e b, tali che a sia medio proporzionale tra b e il segmento stesso (a+b). L’immagine sottostante chiarisce il caso in esame.

In termini matematici, tale relazione è sintetizzabile con l’uguaglianza:

Operando un semplice passaggio algebrico otteniamo:

Imponiamo che la lunghezza del segmento iniziale (a+b) sia 1. Si ottiene:

Sappiamo inoltre che, se a+b=1, allora b=1-a. La relazione precedente si trasforma in:

Portiamo tutto da una parte, ottenendo un’equazione di secondo grado nell’incognita a:

L’equazione, poiché di secondo grado con delta positivo, dà due soluzioni. Dobbiamo tuttavia scartare la soluzione negativa, poiché sappiamo che un segmento non può avere lunghezza minore di zero.

Tale valore, approssimato, risulta essere: 0,618033988. Esso prende il nome della lettera

greca ! (minuscola). Il suo reciproco, invece (1/!), viene chiamato sempre con la lettera

greca phi, ma questa volta maiuscola ("). Questo numero corrisponde approssimativamente a:

"#1,618033988

e viene chiamato, a seconda dei testi: “numero aureo”, “rapporto aureo”, “costante di Fidia”, e “divina proporzione”. D’ora in poi tale numero, che troveremo moltissime volte nel corso del testo, verrà approssimato con il valore 1,618. Esso è anche esprimibile attraverso una serie di frazioni continue:

oppure attraverso una serie di radici comprese una nell’altra:

2) Phi da un triangolo rettangolo.

Nella foto seguente è possibile osservare come, preso un segmento AB, sia possibile costruire su di esso un punto C tale che il rapporto tra le lunghezze di AB ed AC dia il numero aureo (1,618).

Procediamo in questo modo: dato il segmento AB, costruiamo lungo la perpendicolare ad AB in B, il segmento OB, lungo metà di AB. Tracciamo quindi OA. Si viene così a creare un triangolo rettangolo in B. Puntiamo allora il compasso in O, riportando su OA la lunghezza del segmento OB. Si crea così un segmento OE tale che OE=OB. Quindi, analogamente, riportiamo AE sul segmento AB, creando AC=AE. Il rapporto tra AC ed AB

corrisponde a !$%ossia circa 0,618. Il suo reciproco è quindi ", che corrisponde al numero aureo (1,618).

3) Triangoli aurei (armonici).

Fra i triangoli che nella storia furono definiti “sacri” troviamo il triangolo equilatero, simbolo di perfezione per i suoi lati e angoli congruenti. C’è inoltre il triangolo sacro di Pitagora, triangolo rettangolo con i lati che misurano 3,4,5: esso è l’unico caso in cui i tre lati sono dati da numeri naturali successivi. Ci sono inoltre due triangoli, definiti triangoli armonici,entrambi isosceli. In entrambi si rispecchia l’armonia del numero aureo. Essi sono:

Questo primo triangolo isoscele è costituito da un angolo di 36° e due angoli alla base di 72°. In esso il cateto e la base sono in rapporto aureo, ovvero la base è sezione aurea del cateto. Si ha la seguente proprietà:

(AB + BC) : AB = AB : BC

Quindi si ha che il rapporto:

AB : BC = "%

Dalla figura precedente, inoltre, possiamo notare che tracciando la bisettrice di uno dei due angoli alla base, possiamo costruire un nuovo triangolo identico al primo, ossia con gli angoli di 36° e 72°. Questo processo si può ripetere all’infinito, e ciò permette, come vedremo, di costruire, grazie ai triangoli, una buona approssimazione della spirale logaritmica.

Il secondo triangolo armonico è invece il seguente, e prende il nome di gnomone aureo:

In esso, gli angoli alla base misurano 36°, mentre il terzo è di 108°. Anche in questo triangolo sono rispettati principi aurei. Infatti, la base e il cateto sono in rapporto aureo:

(BE + BD) : BE = BE : BD

BE : BD = "%

E’ da notare il fatto che, se dividiamo l’angolo di 108° in due angoli di 36° e 72°, possiamo suddividere il triangolo di partenza in due triangoli, entrambi triangoli armonici.

4) Il pentagono regolare.

La figura rappresenta un pentagono regolare, poligono a cinque lati di uguale lunghezza, in cui è inserito un pentagramma, ossia la comune “stella a cinque punte”. Tale figura contiene molte proprietà matematiche. Come possiamo osservare, nel pentagramma troviamo entrambi i triangoli che abbiamo visto in precedenza. Le punte della stella corrispondono a triangoli con angoli di 36° e 72°, e ogni punta è separata da un’altra da uno gnomone aureo. Quindi, oltre alle particolari proprietà viste precedentemente, se ne aggiunge un’altra: in un pentagono regolare, le diagonali e il lato del poligono stanno tra

loro in rapporto aureo. Infatti la diagonale divisa per il lato non dà altro che ". Il pentagono regolare, e quindi il pentagramma, inoltre, sono alla base del pentacolo, antico simbolo sacro di perfezione.

L’etimologia del nome “pentacolo” non è certa, anche se secondo alcune teorie deriverebbe dal greco panta (“tutto”) e kleos (“azione gloriosa”). Nella tradizione pagana, ciascuna punta del pentagramma corrisponde ad un elemento metafisico: terra, fuoco, acqua, aria, spirito (la sommità). Esso è inoltre simbolo di perfezione, poiché il cerchio è simbolo del divino e della ciclicità. Ha invece significato negativo se girato al contrario, poiché rappresenta le persone che sacrificano lo spirito, privilegiando l’aspetto terreno (terra e fuoco).

5) La successione di Fibonacci.

Oltre alle acrobazie che il numero d’oro compie nel campo geometrico, ve ne sono altrettante nel campo aritmetico, dove presenta proprietà che non hanno altri numeri. Una di queste è stata elaborata dal più conosciuto matematico europeo del Medioevo, Leonardo da Pisa (1175-1240), detto Fibonacci, cioè “figlio di Bonaccio”. Immaginiamo di partire dai numeri 0 e 1, e dover creare una successione in cui ciascun numero è uguale alla somma dei due precedenti. Si otterrebbe la seguente successione:

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 …

e così via, senza fine. Fibonacci scoprì che il rapporto tra ciascun numero e il suo

precedente si avvicina sempre di più al numero aureo (") senza mai arrivare a

raggiungere tale valore. Questo poiché "%è un numero irrazionale, cioè non è esprimibile come rapporto tra interi. Di seguito sono rappresentati i risultati di alcuni rapporti.

3 : 2 = 1,5 5 : 3 = 1,6666666 8 : 5 = 1,6 13 : 8 = 1,625 21 : 13 = 1,615 34 : 21 = 1,619047 55 : 34 = 1,617647 89 : 55 = 1,6181818

Si noti come la successione converge sempre più lentamente a ", il cui valore approssimato vale 1,618.

6) La spirale logaritmica.

Una figura geometrica che è collegata in modo molto stretto con la sezione aurea è la spirale logaritmica, che si ottiene dalla rotazione del lato del quadrato contenuto nel

rettangolo armonico, e ripetendo la figura nei rettangoli più piccoli che di volta in volta scaturiscono dalla sottrazione del quadrato.

Tale spirale è ottenibile anche dalla rotazione dei cateti degli gnomoni aurei che si susseguono bisecando il triangolo aureo.

Le spirali logaritmiche hanno rapporto !%tra il raggio di una spira e il raggio della successiva. Queste costruzioni geometriche sono tuttavia una approssimazione meno accurata della curva originale, e possono essere costruite semplicemente su un foglio di carta, anche senza il bisogno di un calcolatore. La spirale logaritmica, detta anche spirale equiangolare o spirale di crescita, è un tipo di spirale che si trova spesso in natura. Essa è stata descritta per la prima volta da Descartes e successivamente studiata vastamente dal matematico Jakob Bernoulli, che la definì spira mirabilis, ossia la “spirale meravigliosa”. Egli volle che sulla sua lapide ne fosse incisa una, accompagnata dalla scritta in latino “eadem mutata, resurgo”, ad indicare l’immortalità dell’anima, che sopravvive nonostante la fine della vita terrena. La spirale logaritmica, infatti, è una delle poche curve aventi la proprietà di rinascere uguali, una volta ingrandite. Questa proprietà è nota come “autosomiglianza”. Sfortunatamente, lo scalpellino incaricato di eseguire l’incisione, per sbaglio incise una spirale di Archimede, che differisce dall’altra per il fatto di avere le spire che si susseguono ad una distanza regolare, anziché aumentare la distanza di una dall’altra mano a mano che si dirige verso l’esterno. Stregato dalle sue proprietà, Bernoulli scrisse: “Si può usarla come simbolo sia

della forza e costanza nelle avversità, sia del corpo umano che, dopo tutti i cambiamenti, e persino dopo la morte, è restituito al suo preciso e perfetto Sé”.Se, infine, proviamo ad ingrandire la curva, scopriamo che essa non solo si presenta uguale a quella di partenza, ma anche che essa non ha un punto d’inizio. Infatti, stringendosi sempre di più, la curva converge verso un punto preciso, costituito dall’intersezione delle diagonali di due rettangoli “genitore” e “figlio”. Ispirandosi alle proprietà divine attribuite al rapporto aureo, il matematico Clifford A. Pickover ha suggerito di chiamare tale punto “l’occhio di Dio”. L’equazione generale di una spirale logaritmica è la seguente:

Tale equazione, espressa in coordinate polari, collega R, ossia il raggio, a t, l’angolo di rotazione. Il parametro k è invece un parametro arbitrario che regola l’estensione della curva. Ho ottenuto la curva seguente imponendo k=1, mediante l’utilizzo del software Derive 6.

" IN NATURA

Il numero aureo è una delle costanti matematiche predilette dalla natura che ci circonda. Sarà successo a tutti di rimanere incantati davanti alla bellezza di una rosa, o affascinati da un girasole. Il fascino della natura è frutto della proporzione intrinseca ad essa. Infatti la

natura, seppure imperfetta, tende alla perfezione matematica. Ma perché proprio "?Questo per il fatto che i sistemi complessi evolvono secondo il principio di “minima energia”, cercando di raggiungere l’equilibrio. E il numero aureo, in diversi ambiti della natura, permette questo. In particolare, esso è presente in molti esseri viventi, uomo compreso, ma anche nei vegetali, e contribuisce a creare l’armonia del mondo che ci circonda, dove il caos è solo un’apparenza, e tutto tende alla perfezione secondo principi

matematici. Alcuni esempi della presenza di " in natura, sono:

1) Fillotassi nelle piante.

Tra i vegetali, le foglie sui rami e lungo il tronco tendono ad occupare posizioni che rendano massima l’esposizione delle foglie alla luce del sole. Se la disposizione delle foglie seguisse schemi rettilinei, tuttavia, si privilegerebbero solamente le foglie più alte, quelle esposte al sole, poiché esse nasconderebbero le altre. La natura ha introdotto quindi una componente rotatoria, quindi le foglie successive si susseguono attorno al fusto secondo un’ideale spirale. Tale fenomeno è noto con il nome di fillotassi, nome coniato nel 1754 dal naturalista svizzero Charles Bonnet. Piante come il pero e il salice hanno un quoziente di fillotassi di 3/8. Significa, cioè, che sul fusto, ogni 3 giri si susseguono 8 rami. I coefficienti di fillotassi seguono rapporti dati da numeri della successione di Fibonacci. Il melo, alcune querce e l’albicocco, ad esempio, hanno coefficiente 2/5.

2) Struttura del girasole.

Ammirando il girasole è facile notare, al centro dell’infiorescenza, l’insieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarità. Infatti gli elementi dell’infiorescenza crescono in modo da occupare nel modo più efficiente lo spazio circolare all’interno del fiore. Il numero di spirali presenti dipende dalla grandezza e dal tipo di girasole. Nel caso più comune, ad esempio, ci sono 34 spirali avvolte in un senso, e 55 avvolte nel senso opposto. Sono stati osservati, tuttavia, anche girasoli con rapporti diversi, ad esempio 89/55, 144/89 e, il più grande, 233/144.

Tutti i numeri in questione sono rapporti di termini consecutivi della successione di

Fibonacci, e convergono a ".

3) La rosa.

Anche la mirabile corolla della rosa è collegata alla proporzione aurea. Gli angoli che definiscono le posizioni dei petali (in frazioni di angolo giro), sono infatti la parte decimale

di semplici multipli di ". Tale disposizione dei petali, infatti, permette la maggior densità di petali per volume della rosa.

4) La conchiglia del nautilus.

Ritengo che la forma della conchiglia del nautilus pompilius sia il più stupendo esempio della presenza della sezione aurea in natura. La conchiglia, infatti, segue l’andamento di un ipotetica spirale aurea. Il nautilus pompilius è un mollusco di grosse dimensioni: dalla nascita, fino alla morte, esso cresce continuamente, e questo continuo accrescimento genera una forma che si espande sempre di più, creando una spirale che tende idealmente a quella raffigurata nella parte riguardante la matematica.

5) Volo del falcone.

Il biologo Vance A. Tucker si è chiesto per anni perché il falco pellegrino non scelga la via più breve per raggiungere la preda, finché ha intuito che la risposta andava cercata nel suo apparato visivo. Gli occhi del falcone, infatti, riescono a garantire la massima acutezza quando guardano lateralmente, con un inclinazione di 40° rispetto alla normale. Esso quindi, per guardare avanti acutamente, dovrebbe mantenere la testa inclinata di 40° nel senso opposto. Ma il biologo ha dimostrato, attraverso esperimenti in una galleria del vento, che un tale assetto peggiorerebbe la sua aerodinamica, rallentandolo notevolmente. Per questo il falcone mantiene la testa dritta, percorrendo così una traiettoria a forma di spirale logaritmica. Inoltre, grazie alle proprietà di tale spirale, il falco ha la possibilità di non perdere di vista la preda, e al contempo di tenere dritta la testa, massimizzando così la velocità, che raggiunge addirittura i trecento chilometri orari.

6) " nelle proporzioni umane e degli animali.

Il numero " è presente anche nelle proporzioni umane. L’esempio più comune è quello di dividere la propria altezza per l’altezza dai piedi all’ombelico. Il numero ottenuto,

magicamente, è ". Lo stesso rapporto si ottiene anche dividendo la distanza dalla spalla alla punta delle dita, per la distanza dal gomito alla punta delle dita. Rapporti aurei si trovano anche nelle dita delle mani, come mostrato qui di seguito.

Ancora provate ad osservare l’immagine seguente: essa rappresenta il grafico della

convergenza a " del rapporto tra due numeri consecutivi della successione di Fibonacci. Il grafico è simile a quello della pulsazione di un battito cardiaco a riposo.

Ma il numero d’oro non è circoscritto solamente agli esseri umani. La divina proporzione è osservabile anche negli animali. Per esempio nei delfini e nelle farfalle, come riportato dai seguenti disegni.

E infine, la forma della seguente pianta grassa prende spunto dalla forma del pentagono regolare che, come abbiamo visto nella parte matematica, è simbolo di perfezione, poiché contiene all’interno il numero aureo.

7) La divina proporzione nel DNA.

Come tutti sappiamo, il DNA racchiude l’informazione genetica di ciascuno di noi. Esso ha una struttura a doppia elica, costituita da due spirali che si intrecciano. Possiamo dividere la spirale in due parti: una maggiore e una minore. Come ormai è possibile immaginare, anche nel DNA giace nascosto il rapporto aureo. In particolare, dividendo la lunghezza della parte maggiore per la

lunghezza della parte minore, otteniamo sempre il rapporto ". Più precisamente, i due pezzi hanno lunghezze che sono rispettivamente di 21 angstroms e 13 angstroms. 21 e 13 sono inoltre numeri consecutivi della serie di Fibonacci, e il loro rapporto dà come risultato il valore 1,615: una buona

approssimazione di ".

NUMERO E ARMONIA IN FILOSOFIA

1) Pitagora e il numero.

Pitagora di Samo (VI secolo a.C.) e i suoi discepoli avevano scoperto nei numeri proporzioni ed armonie giungendo a dare vita ad una visione “mistica” dell’aritmetica. La musica rappresentava l’aspetto sensibile e percepibile di questa armonia. Pitagora aveva osservato che il tono della corda di uno strumento musicale dipendeva, a parità di tensione, dalla sua lunghezza, e che non tutti i rapporti fra lunghezze davano suoni armonici, bensì solo quelli che seguivano certe proporzioni numeriche. Pertanto, nelle cose naturali era presente un’armonia che poteva essere esplicitata e determinata mediante i numeri. Pitagora diceva: "se il numero è ordine, come accordo di elementi illimitati e illimitanti, e se tutto è determinato dal numero, tutto è ordine". Infatti, secondo Pitagora, il principio di tutte le cose è il numero, e tutte le cose esistono perché riflettono un ordine e sono ordinate perché in esse si realizzano leggi matematiche che sono insieme condizioni di esistenza e di bellezza.

2) Platone e il numero aureo.

Platone considera la sezione aurea la chiave della fisica del cosmo: nel “Timeo” cerca di dare la sua spiegazione del mondo della natura, applicando il metodo dialettico, quello finalistico derivato dalle sue vedute morali, suggestioni atomistiche e la concezione dei numeri elaborata a partire dal pitagorismo. Da questa opera provengono la celebre ipotesi (di origine pitagorica) dell’esistenza di un’anima del mondo, e la convinzione che l’ordine della natura sia qualcosa che precede la natura. Sempre nel "Timeo", Platone sostiene che i tre termini di una proporzione divina - la più grande (la linea intera), quella di mezzo (il segmento più lungo) e la più piccola (il segmento più corto) - siano "tutti di necessità gli

stessi, e poiché sono gli stessi, non sono che uno". In una progressione di divine proporzioni, ogni parte è un microcosmo, cioè un modello minuscolo, di tutto l'insieme.

3) Luca Pacioli e la “divina proporzione”.

Fra’ Luca Bartolomeo de Pacioli, matematico e religioso italiano, entrò nell’ordine francescano nel 1470. Viaggiò molto, finché nel 1497 accettò l’invito di Ludovico il Moro a

rimanere a Milano, dove collaborò con Leonardo da Vinci. Egli chiamò " con il nome di “divina proporzione”, in accordo con il suo pensiero religioso. Riteneva infatti che il numero aureo fosse l’espressione della presenza di Dio nel mondo, che appunto ne costituiva il matematico e architetto, oltre che creatore. In particolare, dà cinque motivazioni per spiegare la scelta del titolo “de divina proportione”, dato al trattato di tre volumi pubblicato nel 1509; nelle prime quattro c’è uno stretto rapporto tra Dio e la sezione aurea:

1) il valore unico del rapporto aureo richiama l’unità come il maggiore epiteto di Dio stesso;

2) le tre lunghezze del rapporto aureo richiamano la definizione di Dio uno e trino; 3) il fatto che il rapporto aureo si esprime con un numero irrazionale e il fatto che

l’intelletto umano non può comprendere la natura di Dio sono concetti equivalenti; 4) poiché il valore della sezione aurea è sempre lo stesso, indipendentemente dalla

lunghezza del segmento, è facile collegarsi all’idea dell’immutabilità di Dio; 5) il rapporto aureo è alla base dell’esistenza del dodecaedro, che ne dipende per la

propria costruzione. Inoltre è impossibile confrontare tra loro gli altri quattro poliedri platonici senza il rapporto aureo.

4) Keplero e Galilei e il “libro”.

Come già mostrato nell’introduzione a questa tesina, Galilei (1564-1642) riteneva che il mondo fosse paragonabile ad un libro scritto in caratteri matematici, frutto di un progetto divino. Tale concetto è stato ripreso pochi anni dopo dall’astronomo Keplero (1571-1630). La metafora del mondo visto come “libro” era già nota alla teologia patristica e medievale, che Keplero e Galilei ripresero in un contesto scientifico. Galilei, ad esempio, aveva menzionato il parallelo fra il Libro della Scrittura e il Libro della Natura nelle due lettere “esegetiche” a Benedetto Castelli (1613) e a Cristina di Lorena (1615), facendone una delle principali immagini sulle quali fondare l’unicità del Verbo divino, per riprendere poi nel “Saggiatore” (1623) l’idea che la natura è un libro scritto con un linguaggio matematico. Riferendosi allo studio dell’universo, scrive Keplero nell’”Epitome” (1621): «Questo è il vero Libro della Natura, nel quale Dio Creatore ha proclamato e tracciato la sua essenza e la sua volontà, in una sorta di scrittura senza uso di parole». In particolare, Keplero riteneva anche che la matematica e la geometria avessero un’esistenza a priori, simile alle idee di Platone. Infatti egli scrive: “la geometria ha fornito a Dio gli schemi per la creazione del mondo, ed è stata trasmessa all’uomo insieme all’immagine divina; e infatti, non è attraverso gli occhi che è entrata in noi”.

6) Kant e l’oggettività della bellezza.

Kant non parla direttamente di sezione aurea. Tuttavia, nell’opera “critica del giudizio”, egli afferma che bisogna dare una definizione rigorosa del “bello”. Il sentimento, infatti, non è

relativo, ma universale. In particolare, egli dà 4 definizioni di bello, a seconda della categoria:

1) Qualità: ciò che piace disinteressatamente; 2) Quantità: ciò che piace universalmente, sia pure senza concetto (razionalità),

indipendentemente da spazio e tempo; 3) Relazione: il bello è finalità senza scopo; è caratterizzato dall’armonia, cioè le parti

che lo compongono sono correlate tra loro in rapporto armonioso (finalità); tuttavia questo finalismo non è in funzione di qualcosa, è “inutile”;

4) Modalità: il bello è ciò che piace necessariamente, seppure senza concetto.

SEZIONE AUREA NELLA STORIA DELL’ARTE

1) Sezione aurea in architettura.

La sezione aurea fu ampliamente utilizzata in campo artistico. A partire dagli antichi egizi, la costante di Fidia venne considerata il mattone fondamentale dell’armonia. In particolare, essa venne utilizzata nella costruzione della piramide di Cheope. Infatti l’altezza dello

spigolo della piramide è pari al lato di base moltiplicato per la metà di ". Alcuni studiosi ritengono tuttavia che gli antichi egizi non si siano basati sul numero d’oro, ma sulla

costante & (pi greco), nella progettazione della piramide. Uno di questi è Marco Livio, autore del noto libro “La sezione aurea”, best seller dell’omonimo argomento. Secondo lui, molte supposizioni riguardanti la presenza della sezione aurea nell’arte, sarebbero soltanto speculazioni. Infatti non c’è modo di dimostrare che la piramide sia veramente stata progettata secondo questo canone, poiché non vi sono documenti storici che ne diano la certezza. C’è poi chi ritiene che la facciata del Partenone ad Atene sia stata realizzata secondo principi aurei. Infatti alcuni vedono il rapporto aureo nel rapporto tra l’altezza delle colonne e l’altezza totale dalla base alla sommità del timpano, oltre che nell’inclusione dell’intera facciata in un rettangolo armonico. Altre opere architettoniche,

prese a caso, che presentano ", sono il pronao del Pantheon a Roma, la facciata della cattedrale di Notre Dame a Parigi, il duomo e il battistero di Pisa. Al giorno d’oggi molti edifici presentano proporzioni auree: la sede del Dipartimento della Difesa americana e degli uffici centrali delle Forze Armate è chiamata Pentagono, per la forma della sua pianta. Costruito dal 1941 al 1943, sorge ad Arlington, presso Washington.

2) Sezione aurea in pittura.

Capita spesso di pronunciare la parola “bello” al primo sguardo poggiato su un’opera d’arte, prima di esaminarne i particolari. Il primo impatto positivo è dato infatti dal rispetto delle proporzioni; le forme sono il primo aspetto intuitivo della realtà che l’occhio umano percepisce. Per quanto riguarda la pittura, Leonardo da Vinci fu forse il pittore che più amò inserire nei suoi dipinti le proporzioni auree. Troviamo tali proporzioni ad esempio nell’opera “L’ultima cena”, nella quale l’unico personaggio ad essere dipinto con proporzioni auree è Gesù, posto al centro dell’opera. Anche ne “La Gioconda” troviamo armonia, che si rispecchia nelle dimensioni del quadro e in quelle del viso. Ne “La nascita di Venere” di Botticelli, il corpo di Venere è strutturato secondo il numero aureo, che delinea la posizione dell’ombelico in rapporto all’altezza della donna. Altri autori che

utilizzarono " nelle loro opere furono: Piet Mondrian, Georges Pierre Seurat, Salvador

Dalì. Quest’ultimo propose una revisione de “L’ultima cena” di Leonardo, in cui le dimensioni del dipinto (268x167 cm) sono in rapporto molto vicino a quello aureo. La scena, in particolare, è sovrastata da un enorme dodecaedro che fluttua sopra la tavola e la circonda. Maurits Cornelius Escher, pittore del secolo scorso, dipinse l’opera “ordine e caos”, dove vi è la contrapposizione tra un grande dodecaedro stellato, al centro, e una serie di oggetti rovinati, attorno. Con quest’opera egli vuole far riflettere sulla complementarietà di ordine e caos nel mondo che ci circonda. Il dodecaedro, infatti, è simbolo di ordine, poiché è composto da dodici facce pentagonali, mentre gli oggetti rovinati simboleggiano il caos.

BIBLIOGRAFIA

M. Livio, La sezione aurea, Rizzoli, Milano 2003.

R. Panzarino, Dio Sezione Aurea Bellezza, Schena Editore, Brindisi 2005.

SITI INTERNET

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http://www.math.it

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