Campi elettrici e magnetici nella materia Lezione 6 Cenni ... · Unita' di mom. di dipolo magnetico...

Fisica Generale III con Laboratorio

Campi elettrici e magnetici nella materia

Lezione 6Cenni a paramagnetismo quantistico

e risonanza magnetica

2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010

Puzzles e soluzioni

Accordo insoddisfacente fra dati e funzione di Langevin per i paramagneti:Non si possono fittare le curve di magnetizzatione con la funzione di Langevin

Es.: CrK(SO4)2.12H2O - Paramagnetico

La curva che va bene non segue la funzione di Langevin

Problema legato alla quantizzazione del momento angolare

3 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 20103 E.Menichetti - 2010

Rapporto giromagnetico

Classicamente: solo mom. angolare orbitale

Quantisticamente: anche mom. angolare di spin

Entrambi contribuiscono al momento magnetico totale di ogni elettrone atomico

2

, 12

2 , 22

2

rapporto giromagnetico per l'elettrone

Fattore 'misterioso' (spiegato con la Mecc. Quantistica Relat

ivisti

a

c )

orb o o

spin e e

e

me

L g L gm

eS g S g

m

γ

µ γ

µ γ

=

=− = =

≅− = ≅

≈


Momento angolare in MQ - I

( )1 , 0, 1 2, 1, 3 2, 2, 5 2, 3,...

Grandezza fisica quantizzata: Vettore (come in meccanica classica)

Modulo di

Valori possibili:

Direzione di

Unica cosa che si puo' dire:

Fissata una direzio

ne

J J J= + =

J

J

J

J

ℏ

( ) ( ), , 1 ,..., 1 ,

),

, ,

nello spazio (= asse per convenzione

la proiezione di lungo assume i soli possibili valori

Invece di si ragiona i

n termini

d i

z J J

z J

z

z

J m m J J J J

J J m

= =− − − +

→

− +

J

J

ℏ


0,1,2,...

1 2

1 2

L

S

→ =

=→→

→

Inoltre:

Momento angolare orbitale

Unici possibili valori sono solo gli interi

Momento angolare di spin

Unico possibile valore e'

Inoltre:

La proiezione di su una direzione dat a (qL, S

( ) ( )2 1

2 1 ( 2)

, 1 ,..., 1,0, 1,..., 1 ,

1 2, 1 2

L

L

S

S

m L L L L

m+

+ =

=− − − − + + − +

= − +

valori in tutto

valori in tutto

ualsiasi) puo' assumere i soli valori

pe

r

per

L

S

Momento angolare in MQ - II


Momento angolare in MQ - III

Per cio’ che riguarda il momento angolare, lo stato di un elettroneatomico e’ specificato dai valori dei numeri quantici:

0,1,2,...

,...,

1 2

1 2, 1 2

Mom. angolare orbitale

Componente di lungo

Mom. angolare di spin

Componente di l

ungo

L

M L L z

S

m z

==− +=

=− +

L

S

Il momento angolare totale J si costruisce sommando vettorialmenteL ed S, secondo regole quantistiche non intuitive:

J L Sm m m

= += +

J L S

7 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 20107 E.Menichetti - 2010

,

0,1,2,...

1

2

2,

1, 2

numeri puri:

intero

semi-intero

Unita' di mom. di dipolo magnetico per l'ele

ttrone:

Magnetone di Bohr

fattore di Lande

':

B

orb o B spin e B

o e

L S

L

S

e

mg L g S

g

g g

γ µ

µ µ µ µ

=

=

= ≡

→ =− =−

= ≅

ℏℏ

Momento magnetico in MQ - I


Momento magnetico in MQ - II

( )2 2

,

Per un elettrone atomico:

approssimando

fattore di Lande' atomico

dipende in modo non banale da

dipende dallo stato di momento angolare

,

dell'elettrone

Calcolo non imm

edi

B S

B

g

g g

g

µ

µ

= + ≈

=

µ L S

µ J

J L,S

( )2

, ,...,

ato

En. magnetostatica:

Energia aggiuntiva dell' elettrone atomico in presen

za di

B

B J J

E

E g m B m J J

µ

µ

∆ =− ⋅ = + ⋅

→∆ = =− +

B

µ B L S B


Momento magnetico in MQ - III

Ogni livello elettronico si divide, in presenza di B, in 2J+1 sottolivelliequispaziati di gµBB (Zeeman splitting)

Serie di LymanSplitting delle linee Ly-α

B = 0 B # 0

In realta’, 2 linee a causa dell’interazione spin-orbita


Paramagnetismo quantistico - I

( )

( )

1 cos

11 cos

1

cos cos

cos

cos

Calcolo classico (v. prima):

Versione quantistica:

La proiezione di sull'ass (e e' quantizzata

Integrale su diventa somm

)

a s

B

kTz

z B

kT

dnd e d

d

dnd e dd

z

µ θ

µ θ

µ µ θ θ

µ

θ

θ

+

Ω −+

Ω −

ΩΩ

= =Ω

Ω

→

∫∫ ∫

∫∫ ∫

µ B

u possibili valori (discreti) di

B J

J

B J

J

J

g m BJkT

B Jm J

z g m BJkT

m J

m

g m e

e

µ

µ

µ

µ

+

=−

+

=−

→ =∑

∑


Paramagnetismo quantistico - II

( ) ( )

( )

( )( )

( ) ( ) ( ) ( )

,

2 12 1 1coth coth

2 2 2 2

1 1lim coth lim coth

2 tanh2

Definendo

funzione di Brillouin:

Notare:

J

J

J

J

B

Jm y

B Jm J

J B JJm y

m J

J

J

JJ J

g JBy

kT

g m e

M B T n ng JB ye

B y

J yJ yB y

J J J J

B y y y L yy yJJ

µ

µ

µ

+

=−+

=−

→∞ →∞

=

→ = =

++ = −

= − = − =

∑

∑ CrK(SO 4)2.12H2O J=3/2

NH4Fe(SO4)2·12H2O J=5/2

Gd2(SO4)3.8(H2O) J=7/2


Magnetismo quantistico

Altri effetti quantistici

1)Paramagnetismo di Pauli

Una delle prime applicazioni del principio di esclusioneContributo alla suscettivita’ dal momento magnetico di spin in un gasdi elettroni liberi (metallo), trascurando il moto orbitale

2) Diamagnetismo di Landau

Inclusione del moto orbitale nel calcolo precedente

Spiegabili solo con la MQ (non trattati)

13 E.Menichetti - 2010

Risonanza magnetica : classica - I

Insieme di dipoli magnetici (es. elettroni atomici) immersi in un campo B0

esterno: precessione di Larmor.Eq. del moto:

Frequenza di Larmor:

Ogni dipolo precede attorno alla direzione di B0 alla frequenza di Larmor, indipendentemente dalla sua orientazione rispetto al campo.La sua energia magnetica dipende invece dall’orientazione, ed e’ data come al solito da

0U µ B= − ⋅

0 0L B BL

µω γ= =

0 d

dtγ × = µµ B


Applicando un secondo campo magnetico B1, rotante nel piano xy a frequenza ω, il campo totale visto dal dipolo generico sara’:

Ci aspettiamo che in queste condizioni il dipolo preceda attorno a Bpiuttosto che a B0.

Se inizialmente precedeva attorno a B0, attraverso un moto a spirale alla fine si assesta a precedere attorno a B(t): il moto del dipolo in queste condizioni consiste in precessione + nutazione

Risonanza magnetica : classica - II

( )( )0 1

dt

dtγ × + = µµ B B

( ) ( ) ( )1 0 1 0ˆ ˆ ˆcos sint t B t t BB B B i j kω ω= + = + +


Traiettoria dipolo

Risonanza magnetica : classica - III

Situazione analoga al moto di una trottola (giroscopio) nel campo gravitazionale terrestre:

Trottola=

Dipolo

B0

B1(t)

Campo rotante: da’ origine ad un momento meccanico aggiuntivo, che agisce sul dipolo modificandone l’inclinazione.

Frequenza del campo rotante diversa da quella di precessione: Dipolo oscilla attorno al suo angolo di riposo e in media non cambia la sua energia (nutazione)

Frequenza molto vicina a quella di precessione: Azione continua e costante → dipolo va a un angolo di equilibrio diverso da quello originale → En. magnetica aumenta


Risonanza magnetica : classica - IV

( ) ( )1 1,aggt tγ × = ⊥µ B τ µ B

Quindi: In risonanza il dipolo assorbe energia dal campo B1


B0

µµµµ(t)B1(t)

Risonanza magnetica : classica - V

Dinamica del dipolo in condizioni di risonanza


B0

B1

Quindi: Alla risonanza il campo rotante trasferisce energia al dipolo, che aumenta cosi’ la sua energia magnetica nel campo fisso

Risonanza magnetica : classica - VI

Nuovo angolo di equilibrio: corrisponde a bilancio in parita’ fra energia acquisita, istante per istante, dal campo rotante ed energia dissipata termicamente

19 E.Menichetti - 201019 E.Menichetti - 2010

Usando un riferimento rotante alla frequenza del campo B1, l’eq. del moto diventa (v. prima):

Via via che ω si avvicina a ωL, si approssima sempre meglio la condizione

Risonanza magnetica : classica - VII

( )0 1 , rapporto giromagn etico d

tdt

γ γγ

× − + =

ω µµ B B

0 1L d

dtγ

γ= → × =ω µ

B µ B

Alla risonanza ω = ωL e il dipolo evidentemente ruota attorno a B1

Notare: B1 e’ un vettore fisso (es. lungo y) nel riferimento rotante!


Risonanza magnetica : quantistica - I

Insieme di dipoli magnetici (es. elettroni atomici) immersi in un campo B0

esterno: Zeeman splitting dei livelli

0, ,...,

0 1

0 2

, 0 1 2

Fattore di Lande'

B J JE g m B m J J

g

S J L g

L J S g

L S g

µ∆ = =− +

= → = → =

= → = → =≠ → < <

Magnetone di Bohr


Risonanza magnetica : quantistica - II

All’equilibrio termico (temperatura T): Numero di elettroni a spin in su (livello A) e a spin in giu’ (livello B) dato da statistica di Boltzmann

0

00

00

1 ,

2

up

up down B

down

EE E g BEkT

up BkT kT kT kTBE

down kT

Bdown up

N e g Be e e g B kT

N kTe

g BN N N N

kT

µµ

µ

µ

− ∆− + − −

−= = = = ≈ −

→∆ = − ≈

≪

Il rapporto fra le popolazioni di equilibrio fra i due livelli puo’ essere alterato ‘illuminando’ il campione con radiazione elettromagnetica della giusta frequenza:

A

B


Risonanza magnetica : quantistica - III

E ω

ω

=

=∆

ℏ

ℏ

Frequenza della radiazione: fissa energia di ogni fotone

Per avere assorbimento risonante fra due livelli deve valere:

0 00

2

2 L

E

B BB

µ µω γ ω→ = = = =

ℏ ℏ

In meccanica quantistica: Energia elettromagnetica trasferita a/o da un atomo in quanti individuali (fotoni)

La condizione di risonanza e’ la stessa che in fisica classica, ma l’interpretazione e’ del tutto diversa


Risonanza magnetica : quantistica - IV

Metodo sperimentale:

Osservazione dell’assorbimento di potenza elettromagnetica dal campo B1 da parte del campione, al variare di frequenza ω e/o campo magnetico statico B0


Notare:

Via via che il campione assorbe energia alla risonanza, la differenza di popolazione fra i due livelli Zeeman tenderebbe a 0, in assenza di altri meccanismi fisici:

Quindi in breve l’assorbimento di radiazione andrebbe a 0.

Risonanza magnetica : quantistica - V

0

costante di tempo legata all'intensita' della radiazione

tN N e τ

τ

−∆ =∆


Risonanza magnetica : quantistica - VI

Tuttavia: Le transizioni A→B sono compensate da quelle B→A, dovute non solo alla riemissione di radiazione elettromagnetica, ma anche allo scambio di energia fra dipolo e ‘ambiente’.

Due meccanismi dissipativi all’opera:

1)Rilassamento longitudinale, o ‘spin-reticolo’: interazione dei dipoli con il campo molecolare medio presente

Esponenziale: Costante di tempo T1

2) Rilassamento trasversale, o ‘spin-spin’: interazione fra i dipoli

Esponenziale: Costante di tempo T2


Risonanza di spin elettronico - I

Nota anche come ESR (Electron Spin Resonance) o EPR (ElectronParamagnetic Resonance)

( ) ( )

0

5

15

9

22

2 2

11.6 10

4.13 10

28.1 10 / 28.1 /

A co

nti fatti:

assumendo

Regione delle microonde

B

E

BEg

h

Hz B T

Hz T GHz T

ω

µων

π π

ν

ν

−

−

=∆

∆→ = = = =

→ ≈

→ ≈ =

ℏ

ℏPrima osservazione (Zavoisky, URSS 1944)

MnSO42.75 GHz


Usi della risonanza di spin elettronico

1) Misura della frequenza di risonanza:

Fornisce informazioni su g, quindi direttamente sui dettagli della strutturaatomica

2) Misura dell’intensita’ di segnale alla risonanza:

Fornisce dati sulla densita’ elettronica per elettroni non appaiati

Molte applicazioni in diversi campi (biologia, struttura molecolare, …), limitate ai casi (relativamente scarsi) in cui ci sono elettroni ‘spaiati’

Risonanza di spin elettronico - II


Anche per i nuclei c’e’ l’effetto Zeeman, la precessione di Larmor etc

Quindi: fenomeni di risonanza attesi anche per i nuclei

Differenza: pochi composti paramagnetici, molti nuclei con J # 0

→ ‘Paramagnetismo nucleare’ fenomeno comune, e ‘vistoso’


Risonanza magnetica nucleare - I

0, ,...,

Fattore d i Lande' del nucleo

N N J J

N

E g m B m J J

g

µ∆ = =− +

Anche i nuclei hanno un momento angolare e un momento magnetico

Magnetone nucleare


Risonanza magnetica nucleare - II

02

2 25.5858

3.8263

42.578 /

N N

N

p

E

g BE

h

g

B MHz T

ω

µων

π π

ν

=∆

∆→ = = =

=−→ ≈

ℏ

ℏ

A conti fatti:

protone

neutrone

Regione delle radiofrequenze

Metodo dell'assorbimento risonante: non unico possibile

A

ltre t

ecniche oggi preferite (a impulsi, a gradiente di , ...)B

BA

ssor

bim

ento

Fe(NO)3 • 9 H2O soluzione

Una delle prime osservazioni


Risonanza magnetica nucleare - III

Alcuni dati sui nuclei di diversi isotopi

Numero atomico ZNumero di massa AMomento angolare J (— )Momento magnetico µ (µn)Freq. di risonanza @ B=1 T ν0 (MHz)


Risonanza magnetica nucleare - IV

Molte applicazioni:

1) Studio dei nuclei

Misura dei momenti di dipolo magnetico → gN → Convalida modelli nucleari

2) Effetti di legame chimico sulla frequenza di risonanza

‘Chemical shift’: il dipolo nucleare vede un campo B in parte schermato dalle correnti elettroniche → Frequenza di risonanza spostata → Dettagli struttura atomica

3) Mappatura densita’ di dipoli

Intensita’ di segnale ∂ densita’ di dipoli→Nuovo tipo di radiografia, per sistemi biologici e non:

Radiazioni non ionizzanti (nessun danno biologico)Elevata risoluzionePossibilita’ tempo reale

Campi elettrici e magnetici nella materia Lezione 6 Cenni ... · Unita' di mom. di dipolo magnetico...

Documents

Transcript of Campi elettrici e magnetici nella materia Lezione 6 Cenni ... · Unita' di mom. di dipolo magnetico...