Campi elettrici e magnetici nella materia Lezione 5 ...Paramagnetismo - I Trattazione in principio...

Fisica Generale III con Laboratorio

Campi elettrici e magnetici nella materia

Lezione 5Diamagnetismo e Paramagnetismo

2 E.Menichetti - 20102 E.Menichetti - 2010

Teorema di Larmor - I

( )( ) ,

:

ˆ

ˆz

t

t z

z

A

1) Moto di precessione

Grandezza vettoriale generica, funzione del tempo:

Se e' un vettore di modulo costante rotante attorno all' asse

con vel.angolare p es diretta lu

ngo

⊥

Ω

=Ω

= +

A

A

Ω k

A A k ˆ ˆ ˆ

cos sin

sin cos

x y z

xx z z z z y

yy z z z z x

z

A A A

dAA A t A t A

dtdA

A A t A t Adt

A A

⊥ ⊥

⊥ ⊥

= + +

= Ω → =−Ω Ω =−Ω = Ω → =Ω Ω =Ω =

i j k


Teorema di Larmor - II

0 00 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ

yxz y z x

y z z y z x x z x y y x

dAd d dAA A

dt dt dt dt

dA A A A A A

dt

d

dt

Si puo' scrivere:

In generale:

Ogni volta che un vettore

⊥

= == =

→ = = + =−Ω +Ω

→ = Ω −Ω + Ω −Ω + Ω −Ω

→ = ×

A Ai j i j

Ai j k

AΩ A

( )t soddisfa l'eq. differenziale

di cui sopra, la sua evoluzione temporale consiste in una precessione

attorno alla direzione di con velocita' angola e r Ω

A

Ω


Teorema di Larmor - III

:

,

d

dt

d

dt

2) Precessione di Larmor

Mom. meccanico su un dipolo magnetico immerso in un campo

Eq. del moto:

Poiche':

fattore giromagnetico

Il d

ipolo

precede con ve

l. ang

γ γ

γ γ

γ

= ×

=

=

→ = × =

→

− ×

→ =−

B

τ µ B

Lτ

µ L

LL B B L

Ω B

Bolare attorn a o γ− B

5 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 20105 E.Menichetti - 2010

Teorema di Larmor - IV

( )

z

t

↔

Ω

r

3) Moto in riferimenti non inerziali

Cambiamento di sistema di riferimento:

Sistema inerziale Sistema in rotazione

Vel. angolare costante (es. diretta lungo )

Posizione di un punto materiale:

Posi

rot inerz

d d

dt dt

= − × r r

Ω r

zione istantanea

Velocita' nei due riferimenti:

A

6 E.Menichetti - 2010

2

2

inerz rot

inerz inerz inerzinerz

d d

dt dt

d d d d d

dt dt dt dt d

→ → + ×

= =

Ω

r r r

Cambiamento di riferimento: per le derivate

Derivando la derivata: Accelerazione

( )

2

2

2 2

2 22

rot

rot rotinerz

rotinerz rot

t

d d d

dt dt dt

d d d

dt dt dt

+ × = + × + ×

→ = + × × + ×

Ω r

r rΩ Ω r

r r rΩ Ω r Ω

Teorema di Larmor - V


Teorema di Larmor - VI

( ) ( )

( ) ( )

0

0

2

2

4) Teorema di Larmor

Moto di una carica in un campo di forze + campo magnetico:

Forza totale nei due sistemi:

rot rot

rot rot

q

m m

q m m

= + ×

= − × − × ×

→ = + × + × − × ×

F F v B

F F Ω v Ω Ω r

F F v B v Ω Ω Ω r


Teorema di Larmor - VII

( ) ( ) ( )0 0

22

0 0

2

4

rot rot

rot

L

q

mq q m m

qF F B F

m

ω

=−

→ = + × − × − × × = − × ×

→ = − ≈

Ω B

F F v B v B Ω Ω r F Ω Ω r

B

Se:

se non e' troppo grande

Quindi:

L'effetto del c. magnetico e' quello di sovrapporre una precessione

(di Larmor) con frequenza

= -2

qB

mal moto senza campo

9 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 20109 E.Menichetti - 2010

Diamagnetismo - I

Elettroni atomici: modello di BohrMoto in un campo centrale → Teorema di LarmorIn presenza di un campo B:Precessione dei momenti magnetici attorno a BFrequenza di Larmor:

Momento magnetico indotto:

Momento indotto legato a moto orbitale

2L

eB

mω =−

22 ,

4raggio dell'orbita ortogonale a

Ze Br r

mµ=− B

10 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 201010 E.Menichetti - 2010

2

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 222

2 200

:

2

3

2

4 3 6

6

raggio quadratico medio

per sistema a simmetria sferica

orbita piana

Suscettivita' diamagnetica:

indipendent da ediam

R

R x y z

x y z

r x y R

Ze B RZe BR

m m

Ze n Rn

B m

µ

µµ µχ

= + +

= =

→ = + =

→ =−

→

=−

= =− T

Diamagnetismo - II


Diamagnetismo - III

Risultato sostanzialmente confermato con la meccanica quantistica

Tuttavia:

Altri effetti (elettroni liberi: diamagnetismo di Landau, ...)

Suscettivita’ diamagnetica < 0, piccola

→ Magnetizzazione opposta al campo esterno

→Campo interno al materiale < campo nel vuoto


Paramagnetismo - I

Trattazione in principio simile a quella della polarizzazione nei dielettrici

Tuttavia, inconsistenze con i dati..

Motivo profondo:

Momenti di dipolo magnetico legati al momento angolare totale atomico

In meccanica quantistica: momento angolare quantizzato


:

cosU B

T

µ θ=− ⋅ =−B

µ B

En. potenziale di un dipolo immerso in un campo

Insieme di dipoli ad una temperatura

Distribuzione statistica delle energie: Boltzmann

Paramagnetismo - II

Calcolo classico della magnetizzazione: Langevin

cos

E

kT

B

kT

dne

dE

dne

dE

µ θ

−∝

→ ∝


, ,x y z

x y z

dn dn dnd d d

d d ddn dn dn

d d dd d d

µ µ µ

µ µ µΩ Ω Ω

Ω Ω Ω

Ω Ω ΩΩ Ω Ω

= = =Ω Ω Ω

Ω Ω Ω

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫

Paramagnetismo - III

mol

dnd N

dΩ

Ω=Ω∫∫

Valor medio delle componenti cartesiane del mom. magnetico:

essendo


Paramagnetismo – IV

θ

z

xφ

y

Componenti del momento di dipolo:

sin cos

sin sin

cos

x

y

z

µ µ θ ϕ

µ µ θ ϕ

µ µ θ

=

=

=

( )

( ) ( )

2 2 2

cos2

sin cos

cos

cos cos

B

kTU

kT

d n d n d n

d d d d d

U Bd n dn dU

edn d d dU dedU

µ θ

θ θ ϕ θ ϕ

µ θ

θ ϕ θ−

= =Ω

=− → ∝ ∝∝

Distribuzione di Boltzmann:

µµµµ


Paramagnetismo – V

( )

cos2

2 cos

2 1 cos

0 1

0

sin cos

cos sin cos 0

B

kTx

x B

kT

B

kTx x

d nd e d

d

d nd e d

d

d e d

µ θ

µ θ

π µ θ

µ µ θ ϕ

µ

µ µ ϕ ϕ θ θ µ

Ω Ω

Ω Ω

+

−

=

Ω ΩΩ

= =Ω Ω

Ω

→ ∝ → =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫

Componenti cartesiane:

( )

cos2

2 cos

2 1 cos

0 1

0

sin sin

sin sin cos 0

B

kTy

y B

kT

B

kTy y

d nd e d

d

d nd e d

d

d e d

µ θ

µ θ

π µ θ

µ µ θ ϕ

µ

µ µ ϕ ϕ θ θ µ

Ω Ω

Ω Ω

+

−

=

Ω ΩΩ

= =Ω Ω

Ω

→ ∝ → =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫


Paramagnetismo – VI

( )

( )

( )

( )

cos2

2 cos

2 1 cos

1 cos

0 1

2 12 1 1cos cos

0 1 1

2

cos

cos coscos cos

cos cos

B

kTz

z B

kT

B

kT B

kT

z B B

kT kT

d nd e d

d

d nd e d

d

d e de d

d e d e d

µ θ

µ θ

π µ θ

µ θ

ππ µ θ µ θ

π

µ µ θ

µ

µ ϕ θ θθ θ

µ µ

ϕ θ θ

Ω Ω

Ω Ω

+

+

−

= −+ +

− −

=

Ω ΩΩ

= =Ω Ω

Ω

→ = =

∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫

∫ ∫∫

∫ ∫ ∫

1

11

1

cosx

z

x

xe dxx

Be dxkT

β

β

θ

µ µµβ

+

−+

−

= → ==

∫

∫Sostituzioni:


Paramagnetismo – VII

( )

2

1

2 21

1 1

1 1 1

x x x

x x x x x

x x

d de dx e dx xe dx

d d

d d xxe dx e dx e e e

d d

e ex e e e e

β β β

β β β β β

β ββ β β β

β β

β β β β β

β β β β

+ −−

−

= =

→ = = =− +

+− = − −

∫ ∫ ∫

∫ ∫

( )

( )

( )

( )

( )

1 cos

21

1 cos

1

1cos cos

1cos

1 1coth Funzione di Langevin

B

kT

z B

kT

z

e ee d e e

e ee d

e eL

e e

µ θβ β

β β

µ θβ β

β β

β β

θ θβ β

µ µ

θβ

µ µ µ β µ ββ β

+−

−

−+

−

−

−

−

+− −

= =−

+ → = − = − = −

∫

∫


2 3 2 3

2 3 2 3

2 2

2

3 3 2

2 2

1 ... 1 ...1 12! 3! 2! 3!

1 ... 1 ...2! 3! 2! 3!

2 2 11 1 1 12! 2! 12!

2 2 13! 3! 3!

11 1

2! 3!

e e

e e

β β

β β

β β β ββ β

β β β ββ ββ β

β ββ

β ββ β βββ β β

β β

β

−

−

+ + + + − + − + − = − − + + + − + − +

+ + − = − = + − + + + + −

≃

≃2 21 1 1

1 ...2! 3! 2 6 3

3Legge di C uri ez

B

kT

β β β β β

β β β

µµ

− = + − + − − =

→

≃

≃

Paramagnetismo – VIII

Approssimazione di alte temperature:


Paramagnetismo – IX

[or µµµµB/kT]

Funzione di Langevin


Paramagnetismo – X

0

3

3

z

param

B

kT

nkT

µµ

µχ µ→

≃

≃

Suscettivita’ paramagnetica >0, piccola (maggiore di quella diamagnetica), decrescente con T

Magnetizzazione concorde con il campo esterno

Campo interno > di quello nel vuoto


Suscettivita ’ tipiche

0.19Oxygen gas

0.72Sodium

1.2Magnesium

1.4Lithium

2.2Aluminum

5.1Cesium

6.8Tungsten

26Platinum

40Uranium

720Iron oxide (FeO)

Paramagnetic

-0.91Water

-1.0Copper

-1.4Sodium chloride

-1.8Lead

-1.6Carbon (graphite)

-2.1Carbon (diamond)

-2.6Silver

-2.9Mercury

-16.6Bismuth

-.26Ammonia

Diamagnetic

χm=µr-1 (in unita’ di 10-5)

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