ELETTROSTATICA NELLA MATERIA

•Polarizzazione della materia posta in un campo elettrico;•Il vettore polarizzazione;•Il vettore spostamento elettrico;•Isolanti in campo elettrico (suscettività e permettività elettrica della materia), legge di Gauss per il vettore spostamento elettrico, legge di Curie per la suscetttività;

•La capacità elettrica; • Applicazioni (i condensatori: cond. a facce piane parallele);

• Energia del campo elettrico.

POLARIZZAZIONE DELLA MATERIA

Nella materia non conduttrice

neutralità elettrica a livello macroscopico.

A livello microscopico:

(i) i baricentri della cariche positiva e negativa coincidono;

Dipoli microscopici statici

(ii) i baricentri della cariche positiva e negativa non coincidono.

Solo dipoli microscopici indotti

I dipoli elettrici della materia posti in un campo elettrico

Nei materiali costituiti da dipoli microscopici in assenza di campo elettrico esternoi dipoli sono orientati in modo casuale

Se il materiale è immerso in un campo esterno, i dipoli cominciano ad orientarsinella direzione del campo elettrico

Effetto elettrico macroscopico

Polarizzazione

E=0 E E

Materiali privi di dipoli elettrici microscopici

Materiali privi di dipoli elettrici microscopici(baricentro della carica positiva coincide conil baricentro della carica negativa),

se posti in un campo elettrico esterno,

manifestano uno spostamento in senso oppostodei baricentri delle due cariche.

Questo provoca la creazione di dipoli elettricimicroscopici orientati in direzione del campoelettrico esterno, che creano un effetto elettricomacroscopico.

Il vettore polarizzazione

Se inseriamo un parallelepipedo di materiale non conduttore (dielettrico) in un campo elettrico, la sua polarizzazione crea la comparsa di una carica positiva da un lato e una carica negativa dall’altro.

Definiamo la POLARIZZAZIONE P di unmateriale come il vettore che indica il momentodi dipolo per unità di volume.Se p è il momento di dipolo indotto negli atomio quello molecolare, e n è il numero di dipolielementari per unità di volume P=npin genere (per materiali isotropi) la Polarizzazioneè parallela al campo elettrico.

Se la lastra di materiale ha spessore l e superficie S, posta perpendicolarmente alcampo E, la polarizzazione parallela a E èperpendicolare a S.

Il momento di dipolo totale è P per volume: P(Sl)= (PS)l l è la distanza tra le due cariche sulle superficidel parallelepipedo. Dalla definizione di momento di dipolo(carica per distanza) P(Sl) = Ql

abbiamo PS=Q cioè la carica sulle superfici S.

Possiamo generalizzare il risultato:la carica per unità di superficie di un pezzo dimateriale polarizzato è uguale alla componente della polarizzazione P nella direzione della normalealla superficie del corpo.

nuP

nu versore normale

alla superficie

Vettore spostamento elettrico

Se inseriamo tra due pianicarichi con uguale densitàdi carica LIB una lastra didielettrico, sulle sue superficiaffacciate ai piani carichi viene indotta una carica dipolarizzazione per unitàdi area pari a POL=P

Il campo elettrico dentro alla lastra sarà il risultatodella carica totale nei piani e sulle facce della lastra: = LIB + POL = LIB - P

Quindi il campo E vale:

PEPE LIBLIB 000

)(1

PED

0L’unità di misura dello spostamento elettriconel S.I. è [D] = C m -2

(la stessa della polarizzazione P)

Si può definire un vettore Spostamento Elettrico D, tale per cui la componente di D lungo la normale alla superficie di un conduttore immerso in un dielettrico è uguale alla densità di carica libera superficiale sul conduttore

nLIB uD

PELIB 0Da cui, generalizzando il risultato in forma vettoriale

nLIB uD

il flusso del vettore spostamento elettrico attraverso una superficie chiusa è uguale allacarica “libera” totale entro la superficie

S

LIB SdDq

Essendo

Suscettività e permettività elettrica

In molti materiali (ma non è sempre vero) ilvettore polarizzazione è parallelo al vettorecampo elettrico risultante nel materiale:

EP e

0

Dove e è una costante adimensionata detta suscettività elettrica, che dipende dal materiale.

Quindi se riprendiamo la definizione di vettorespostamento elettrico otteniamo:

ED

EEED ee

)1( 000

La costante =(1+E)0 è detta permettività o costante dielettrica del mezzo.La costante r=(1+E) è detta permettività relativa o costante dielettrica relativa.

Riprendendo la legge di Gauss per il vettore D

LIB

S

SS

LIB

qSdE

SdESdDq

0POLLIB

S

qqSdE

N.B. nel caso in cui non si consideri la costante dielettrica relativa, la legge di Gauss deve tenere conto sia delle cariche libere che di quelle di polarizzazione

Per una carica puntiforme q il campo nel vuoto risulta

20

0 4 r

qE

La stessa carica in un dielettrico ha campo

204 r

qE

r Cioè smorzato di un

fattore r rispetto alvuoto.

LIB

S

qSdE

Lo smorzamento del campo elettrico di una caricain un mezzo, rispetto alla stessa carica nel vuoto,è una conseguenza degli effetti di schermaturadei dipoli elettrici indotti o orientati dal campo elettrico sorgente.

CAPACITÀ ELETTRICA E CONDENSATORI

Se prendiamo un conduttore isolato su cui sitrova la carica Q si può dimostrare che qualunquesia la geometria la carica Q è proporzionale al potenziale V

CVQ

La costante C è detta capacità elettrica del conduttore.

ESEMPIO: prendiamo una sfera metallica di raggio R con carica Q:

R

QV

4 E quindi:

RC 4

La capacità si misura in FARAD [F]=CV-1 nel S.I.

Quando prendiamo due conduttori isolati su cui abbiamo posto due cariche Q ugualiin modulo ma di segno opposto

abbiamo un CONDENSATORE

e si può dimostrare che qualunque sia lageometria del sistema

VCQ Dove V è la diff. di pot. tra i metalli e C dipende solo dalla geometria e dal dielettrico in cui il condensatore è immerso.

Il condensatore a facce piane e parallele

LIB

S

QE

DATI:area facce S;carica Q;densità di caricaLIB=Q/S

S

dQddEVV LIB

21

d

S

d

SC r 0

Senza dielettrico tra le

piastre risulterebbe d

SC 0

0

La Capacità C di un condensatore risulta incrementata di un fattore r rispetto all’assenza di dielettrico (vuoto tra le piastre)

V

QC

ENERGIA DEL CAMPO ELETTROSTATICO

Se cerchiamo di caricare un condensatore a faccepiane parallele di capacità C, il lavoro fatto per portare la carica dq sulle facce vale:

VdqdL

Ma V è la diff. di pot. tra le armature

C

qV

Per il caricamento totale si fa un lavoro

20

00

2

00

2

1)(

2

1

00

0

CVCVVdVdqL

C

Qdq

C

qVdqL

VV

QV

Dove va a finire il lavoro L del generatore percaricare il condensatore ?

Nella costruzione del campo elettrico dentroil condensatore. Quindi diventa energia del campo elettrostatico.

Vediamo di calcolare questa energia in funzionedi E per un condensatore a facce piane e parallele:

)(2

1))(

d

S(

2

1

;d

SC :ricordando ma

elettr. campo en. 2

1

22

0

20

SdEEdW

EdV

WCVL

Introducendo il concetto di densità di energia delcampo elettrostatico:

2

2

1

)(E

Sd

Ww

Si può dimostrare che il risultato è generalizzabile aqualsiasi campo elettrostatico.

•Serie e paralleli di condensatori

capacità in serie

capacità in parallelo

ieq CC

11

ieq CC