Calendario Meccanico Universale

Zarro Matteomatteozarro@gmail.com

Giannantoni Leonardos211727@studenti.polito.it

Caponetto Fernandofernando.caponetto@gmail.com

Polisano Robertorob.polisano@gmail.com

31 maggio 2015

1 Introduzione

Il Calendario Meccanico Universale e uno strumen-to costruito da Giovanni Antono Amedeo Plana -matematico, astronomo e politico - nel 1831 e con-servato presso la Cappella dei Banchieri e dei Mer-canti di Torino. Grazie a un sistema di ruote den-tate e catene, tale calendario fornisce per ogni annodall’1 al 4000 le informazioni necessarie al calcolodella Pasqua, oltre alle altre informazioni fonda-mentali (su tutte: giorni della settimana e lunazio-ni), tenendo conto di tutte le variabili legate al ciclosolare e a quello lunare, e della riforma del calen-dario attuata nel 1582. [foto dal libriccino dell’ing]I dati necessari - circa 36000 - sono stampati sucarta e conservati su 9 cilindri. Nei cilindri 1, 2, 3,4, 5 (figura 1) i dati hanno disposizione a spirale,in ragione di 2.5 spirali per secolo fino al 1582, epoco piu per i secoli seguenti. Tali cilindri conten-gono nell’ordine anni, numeri d’oro (ovvero il nu-mero dell’anno all’interno del ciclo lunare), epatte,numeri degli anni all’interno del ciclo solare, indi-zione romana (o pontificale). I dati presenti sulcilindro degli anni sono gli unici disposti su unaspirale destrorsa, contrariamente agli altri che se-guono spirali sinistrorse. Per un’analisi cinematicadel meccanismo si rimanda alla sezione [2].

2 Analisi cinematica

2.1 La struttura

La struttura si presenta composta da 7 alberi di-sposti in parallelo e ad asse verticale. Questi sonoincernierati alla struttura portante per mezzo di

supporti che ne sostengono il peso e ne permettonola rotazione attorno al proprio asse. Tali suppor-ti forati accolgono infatti le estremita degli albe-ri realizzando delle coppie rotoidali che assicurano,appunto, la rotazione di questi ultimi come unicomovimento consentito. Il meccanismo presenta unsolo grado di liberta. Nella sua struttura cinema-tica, si presenta perfettamente simmetrico rispettoall’asse centrale. Su questo asse giace l’albero prin-cipale, che nella sua meta superiore e filettato percostituire una vite destrorsa alla quale e accoppiatauna madrevite, solidale ad un gruppo traslante inverticale, di cui si discutera nel seguito. Adiacentiad esso, ai due lati, si trovano gli altri due alberi piulunghi del meccanismo. Piu decentrate rispetto aquesti, si trovano invece le altre due coppie di alberipiu corti, una coppia per lato. L’albero di ingressoe il centrale, la cui rotazione e comandata da unamanovella alla sua estremita inferiore. Esso cede ilmoto, con un rapporto di trasmissione unitario, aidue cilindri adiacenti ad esso tramite ruote dentatedi egual numero di denti. La rotazione viene invecetrasmessa ad uno dei rulli piu esterni tramite unsistema a catena articolata (catena a rulli e ruotedentate). Questa volta il rapporto di trasmissioneinteso come frazione di angolo percorsa dal cilindroesterno per unita di angolo coperto dal cilindro cen-trale e pari a 10/7. I rulli esterni sono collegati conruote dentate e rapporto di trasmissione unitario.

2.2 Relazioni matematiche

Nel prosieguo ci si riferira alle variabili cinematichesecondo la convenzione implicita che il sistema diriferimento sia dato da una terna levogira in cui iversori delle variabili, posizione z e angolo αsiano

1

orientati entrambi verticalmente e verso l’alto. Sispecifica inoltre che tali variabili siano da intenderein termini di variazione discreta, per cui si scriveraz al posti di ∆z e α in luogo di ∆α. Questa sceltarisponde solamente ad esigenze di brevita e chia-rezza della trattazione matematica, che prescindedunque dalle posizioni iniziali, ma non influenza inalcun modo le relazioni che intercorrono tra le va-riabili in gioco, essendo queste lineari. Con riferi-mento alla denominazione utilizzata in figura 1,chemostra il calendario in una vista posteriore: l’albe-ro A cede il moto agli alberi B e C tramite ruotedentate. Il rapporto di trasmissione e unitario, invalore assoluto, ossia le ruote dentate presentano lostesso numero di denti Z. Cio significa che ad unarotazione di un determinato angolo α, dell’alberoA, corrisponde una eguale rotazione degli alberi Be C, ma nel senso opposto a quello di A. Queste re-lazioni sono espresse matematicamente nel seguentemodo:

αb = αc → τAB = τAC =αA

αB=−ZZ

= −1

Il collegamento tra l’albero A e gli alberi D sirealizza con catene che ingranano su ruote dentatecalettate sugli alberi. Questo tipo di collegamentocomporta un senso di rotazione identico tra moven-te e cedente. Sull’asse A si trovano ruote con nu-mero di denti ZA pari a 20, mentre la ruote presentisugli alberi D contano un numero di denti ZD paria 14. Questa configurazione realizza un rapportodi trasmissione pari a 0,7. Infatti:

τAD =αA

αD=ZD

ZA=

14

20=

7

10= 0.7

Cio vuol dire che per ogni rotazione completa2πrad = 360◦dell’albero D, l’albero A avra com-piuto una rotazione pari a 7

10 di 360◦, ossia 252◦,nello stesso senso di rotazione. Infine gli alberi Esono collegati a quelli D nuovamente con l’utilizzodi ruote dentate e rapporto di trasmissione pari a-1, anche in questo caso infatti il numero di den-ti presenti sulla ruota dentata dell’albero D e lostesso di quelli presenti sulla ruota dell’albero E.L’albero centrale A consta, per la meta superiore,di una vite destrorsa con passo p pari a 3mm, allaquale si accoppia una madrevite. Essa e solidalead un pannello traslante in direzione verticale, sulquale sono presenti le finestre attraverso le quali epossibile visualizzare i dati dei cilindri adiacenti al

Figura 1: Vista posteriore del calendario.

2

centrale e quelli di quest’ultimo. Tale pannello eappunto vincolato al moto di sola traslazione verti-cale dalla coppia prismatica che esso forma con lastruttura principale. Questo accoppiamento vite-madrevite fa sı che la quota che descrive la posizio-ne del pannello recante le finestrelle ZMV , a frontedi una rotazione dell’albero A, sia esprimibile dallarelazione:

ZMV = −α p

2πLe finestrelle viaggiano verticalmente sul pianofrontale lungo delle feritoie nella struttura princi-pale. Ogni finestra trascina un nastro collegato al-le sue estremita, inferiore e superiore, che copre leposizioni non occupate lungo la feritoia dalla fine-stra stessa. Tali nastri sono mantenuti in tensionegrazie a due carrucole poste agli estremi verticalidella struttura. Nei nastri laterali sono riportateinformazioni di carattere storico-religioso in ordinecronologico, mentre, trascinata dalla finestra cen-trale, vi e l’indicazione del secolo. I vari secoli sonoopportunamente spaziati per tenere conto delle ir-regolarita presenti nel calendario gregoriano. I datisono scritti su fogli avvolti attorno a dei cilindri didiametro 60mm. Questi sono ricavati direttamentesugli alberi e sono solidali ed essi nel loro moto dirotazione. La disposizione dei dati e la seguente:Su ognuno degli alberi D ed E e posto un cilin-dro contenente tutti i giorni della settimana di tremesi consecutivi. I 12 mesi sono quindi ripartitinei 4 rulli, 3 mesi per rullo. Tali giorni della set-timana, abbreviati nelle loro prime 3 lettere, sonodisposti verticalmente in colonne parallele all’assedell’albero, sono cioe disposte lungo le generatricidel cilindro. Le colonne di dati, equidistanti l’unadall’altra, sono 28 e rappresentano le altrettantecombinazioni dei giorni della settimana nel cosid-detto ciclo solare. Ognuna di esse forma con laprecedente e la successiva un angolo al centro di

2π

28rad = 0.2244rad = 12.857◦

I dati dei tre mesi disposti sulla stessa generatricesono opportunamente spaziati per definire in modopiu chiaro l’inizio e la fine di un determinato me-se e renderne la lettura o la ricerca piu semplice.Il cilindro dell’albero D1 presenta inoltre, in calcead esso, il valore della lettera domenicale relativoagli anni ordinari. Mentre il cilindro dell’albero D2

contiene la lettera domenicale relativa agli anni bi-sestili. I dati contenuti in questi cilindri vengono

visualizzati dall’osservatore attraverso delle finestrerettangolari fisse, ricavate direttamente sulla strut-tura. Con la rotazione dei cilindri vengono infattivisualizzate, una dopo l’altra, le varie colonne didati. L’albero A contiene un solo insieme di da-ti, che sono gli anni dall’1 al 4000, nelle sole duecifre finali dell’anno, essendo il secolo specificatosul nastro trascinato dalla finestra centrale. I da-ti di questo cilindro sono disposti secondo un’elicaavente 40 dati per giro e passo pari a 3 mm. Per ga-rantire quindi la corretta successione di questi daticon quelli dei cilindri esterni D ed E, deve essereverificata la condizione che ad ogni rotazione di

2π

28rad

dell’albero D corrisponda una rotazione dell’alberoA di

2π

40rad

Questa condizione e soddisfatta dal rapporto ditrasmissione

τAD =7

10

, infatti si ha che:

2π

40= τAD

2π

28→ τAD =

28

40=

7

10

L’elica in questione si sviluppa dall’alto verso ilbasso con un angolo d’elica pari a

arctan3

60π= 0.01592rad = 0.9118◦

Cio vuol dire che i dati si presenteranno all’osserva-tore via via con quote z sempre piu basse, andan-do avanti con la rotazione dell’albero A. I dati se-guiranno quindi un susseguirsi di posizioni verticalidescritte dalla relazione

ZdatiA = −αAp

2π

Al contrario del numero di colonne per i cilindri Ded E, la scelta di avere 40 dati per ogni giro com-pleto del rullo e del tutto arbitraria. Questa scel-ta risponde probabilmente ad esigenze di ingombrodella struttura, ma impone, data la natura appenadescritta del meccanismo, che anche i dati contenu-ti sugli alberi B e C siano disposti lungo una simile

3

elica, benche avvolta nel senso inverso. La traiet-toria verticale dei punti di queste eliche durante larotazione sara dunque del tipo:

ZdatiB = αBp

2π

e

ZdatiC = αCp

2π

Ma ricordando che

αB = αC = −αA

Si arriva ad una forma del tutto analoga al caso delcilindro A ossia:

Zdati = −αAp

2π

Come visto in precedenza, la medesima legge delmoto verticale era stata trovata per il pannello soli-dale alla madrevite MV, recante le finestrelle attra-verso le quali l’osservatore visualizza i dati dei 3 ci-lindri centrali relativi all’anno in questione. Questacondizione e infatti necessaria per garantire la cor-retta visualizzazione dei dati disposti in successionelungo le eliche. L’albero B contiene due insiemi didati disposti in altrettante eliche, opportunamen-te distanziate. In quella inferiore sono contenuti ivalori dell’Epatta ed in quella superiore quelli del-l’Indizione Romana Lo stesso vale per l’albero Cche contiene nella sua meta inferiore i valori del Ci-clo Lunare ed in quella superiore quelli del CicloSolare.

3 Algoritmi

3.1 Introduzione

Data della Pasqua Secondo Donald Knuth, infor-matico e professore emerito presso la Stanford Uni-versity, l’applicazione piu importante dell’aritmen-tica nell’Europa medievale era il calcolo della datadella Pasqua. [nota] La Pasqua e infatti una fe-sta mobile: nelle versioni civili del calendario gre-goriano e di quello giuliano non cade mai in unadata prefissata ma in una domenica compresa trail 22 marzo e il 25 aprile. Per determinare tale da-ta e necessario basarsi su un calendario lunisolareche metta in relazione le fasi lunari con il tempodell’anno solare. ge

3.2 Storia

Le regole per la determinazione della data Pasquavennero sommariamente definite dal Concilio di Ni-cea I, nel 325. Tali regole, oltre e decretare l’indi-pendenza temporale della Pasqua cristiana da quel-la ebraica e l’uniformita dell’osservanza per tutti icristiani, non forniscono pero dettagli sul metodo dicalcolo. Questo rimase fino al Medioevo una que-stione pratica, non codificata e fonte di controver-sie. In particolare, era consuetudine far cadere laPasqua di domenica gia prima del Concilio di Ni-cea I, che pero non decreto nulla in proposito. Nel725 il monaco Bede, la cui occupazione principa-le era quella di traduttore e linguista, rifacendosia Dionisio di Alessandria e Anatolio di Laodiceaaggiunse che la Pasqua dovesse essere celebrata ladomenica seguente la luna piena che cade il giornodell’equinozio di primavera o nei giorni seguenti.Tale regola, oltre a essere molto succinta, non tieneconto della differenza tra l’equinozio astronomico(che puo cadere il 19, 20 o 21 marzo) e quello del-la Chiesa, convenzionalmente fissato al 21 marzo edeffettivamente utilizzato nel calcolo della data dellaPasqua (21 marzo del calendario gregoriano per laChiesa di Roma, 21 marzo del calendario giulianoper l’Oriente cristiano).

3.3 Computus

Il Computus, ”computazione” in latino, nome inuso sin dal Medioevo a indicare la centralita di taleprocedura, e l’insieme dei calcoli necessari a deter-minare la data della Pasqua. Gli algoritmi usatiper il calendario giuliano e per quello gregoriano sibasano sull’osservazione dei cicli lunisolari.

3.4 Calendario Giuliano

Il calendario giuliano, cosı chiamato perche intro-dotto da Giulio Cesare, ha un anno comune com-posto da 365 giorni e diviso in 12 mesi. Un an-no su quattro e bisestile (366 giorni). In medial’anno giuliano ha una durata di 365,25 giorni, leg-germente piu lunga dell’anno tropico, e causa di 1giorno di errore ogni 128 anni. Tale discrepanzavenne corretta nel 1582 con l’introduzione del ca-lendario gregoriano. Nel 1582 infatti lo slittamentodell’anno tropico all’indietro rispetto al calendarioammontava a 10 giorni (1582 - 325) / 128 (con 325

4

a indicare l’anno del Concilio di Nicea I, durante ilquale l’equinozio era corretto).

3.5 Calendario Gregoriano

Il calendario gregoriano venne ideato da AloysiusLilius e adottato da Gregorio XIII in seguito al Con-cilio di Trento con la bolla papale del 24 febbraio1582. La motivazione principale per l’introduzionediquesto nuovo calendario era quella di riportare ladata della Pasqua nello stesso giorno in cui venivacelebrata al momento della sua introduzione agliinizi della storia della Chiesa. La prima correzionevenne attuata eliminando i 10 giorni accumulatisia partire dal concilio di Nicea: nel 1582 si passodal 4 ottobre al 15 ottobre, in modo da recuperarei 10 giorni di ritardo. L’anno venne approssima-to con 365,2425 giorni, una differenza di circa lo0.002% rispetto alla durata dell’anno giuliano, tra-mite la riduzione degli anni bisestili presenti in 4secoli da 100 a 97 (nel calendario gregoriano sonobisestili tutti gli anni divisibili per 4, tranne gli an-ni divisibile per 100 che non siano anche divisibiliper 400). Tale approssimazione comporta uno slit-tamento di 1 giorno ogni 3000 anni. Lilius proposeinoltre la correzione del ciclo metonico, da attuar-si una volta ogni 300 o 400 anni. Di conseguenzavenne introdotto un nuovo algoritmo per il calcolodella Pasqua, che tenesse conto delle correzioni tra-mite una ”equazione lunare” (decrementa l’epattadi 1, 3 volte in 400 anni, per tenere conto degli annisecolari non divisibili per 400) e una ”equazione so-lare” (incrementa l’epatta di 1 8 volte in 2500 anni,7 volte ogni 300 anni e 8 volte ogni 400).

3.6 Calendario Meccanico

Il Calendario Meccanico, poiche valido dall’anno 1al 4000, ricopre sia il periodo di adozione del ca-lendario giuliano, che quello successivo alla riformagregoriana. Essendo l’anno convenzionale forma-to da 365 giorni, e una settimana da sette giorni,cio significa che il primo giorno dell’anno si verificaogni anno nel giorno della settimana successivo aquello dell’anno precedente (365/7=52 col resto di1). Questo potrebbe far pensare che il calendariosi ripeta uguale a se stesso ciclicamente ogni 7 annima la presenza degli anni bisestili con 366 giornifa sı che un andamento veramente ciclico si abbiauna volta dopo aver avuto il 29 febbraio in tutti e

sette i giorni della settimana. Ossia ogni 4 * 7 =28 anni. Questa quantita prende il nome di ciclosolare. Un’ulteriore complicazione deriva dal fat-to che successivamente alla riforma gregoriana glianni di fine secolo non sono tutti bisestili, ma soloquelli che siano divisibili per 400. In questo modosi viene a interrompere il ciclo solare ed e necessariosaltare ben 16 passaggi per rimettersi al passo colciclo. Un’alternativa e quella di saltare solo 5 pas-saggi per trovare 3 anni successivi che soddisfino ilsusseguirsi corretto dei giorni, ma trascorsi questi3, e necessario un ulteriore salto di 11 passaggi perritornare al passo con il ciclo solare. Tutti i datidel Calendario Meccanico (tranne quelli relativi aigiorni della settimana) sono disposti sui cilindri se-guendo questa logica. Fino al 1582 si susseguonosenza soluzione di continuita in ragione di 40 perspirale (2,5 spirali ogni secolo). In corrispondenzadell’anno 1583 i dati vengono riallineati saltando 20posizioni, in modo da tornare al passo con il ciclosolare. Il cilindro degli anni e quello che controllal’aggiornamento di tutti gli altri dati ed e l’unicosu cui essi sono disposti in ordine inverso e seguen-do una spirale destrorsa. I cilindri ingranantisi sudi esso ruotano in verso opposto: su di essi i datisono quindi disposti in ordine e a seguire una spi-rale sinistorsa. I dati del cilindro delle epatte sonocalcolati, dall’anno 1 al 1582, tramite l’equazione

(7 + (11 ∗ (year%19)))%30

(somma 7 perche , con un incremento di 1 in cor-rispondenza degli anni 400, 800, 1100, 1400. Pla-na ha inoltre introdotto una correzione (probabil-mente in corrispondenza dell’anno 320), non pre-vista dalla riforma: le correzioni attuate storica-mente prevedevano infatti il riallineameno dell’an-no 551 come avente epatta pari a 8. Per gli annia partire dal 1583 l’epatta e invece calcolata co-me (11 ∗ (golden − 1) − lilius)%30, dove ”lilius”e la correzione ideata da Lilius e introdotta conla riforma gregoriana: anno/100− (anno/100)/4−((anno/100 − ((anno/100 − 17)/25))/3) − 8)%30.Con questa formula si tiene conto dell’”equazionelunare”, che decrementa l’epatta di 1, 3 volte in400 anni, per tenere conto degli anni secolari nondivisibili per 400, e dell’”equazione solare”, che in-crementa l’epatta di 1 8 volte in 2500 anni (7 volteogni 300 anni e 8 volte ogni 400). L’indizione roma-na o pontificale e un raggruppamento fittizio della

5

durata di 15 anni, senza relazione alcuna con i mo-vimenti degli astri e calcolato indifferentemnete daltipo di calendario (giuliano o gregoriano). Il primociclo inizia convenzionalmente nel 3 a.C. quindi perottenere la posizione dell’anno nel ciclo quindicen-nale e sufficiente calcolare (anno + 3)%15, cioe ilresto della divisione per 15 dell’anno riallineato conl’inizio del ciclo. Anche i dati relativi al ciclo so-lare vengono calcolati indipendentemente dal tipodi calendario, facendo coincidere il primo anno delciclo con il 9 a.C. : (anno+9)%28. Lo stesso dicasiper il cilindro dei numeri d’oro: essi rappresentanoil numero dell’anno nel ciclo metonico di 19 annievengono calcolati come (anno%19) + 1. I cilindrirecanti i nomi dei giorni della settimana seguono ilciclo di 28 anni; su di essi i dati sono disposti sucircorferenze, con 28 dati per ognuna. I dati deicilindri relativi al secondo e terzo trimestre sonodisposti in ordine inverso rispetto a quelli del pri-mo e quarto trimestre, poiche sono i primi quelli acui viene impressa la stessa rotazione del cilindrodegli anni (che ruota in senso antiorario), mentre isecondi, ingranandovisi, ruotano in senso orario. Icilindri relativi a secondo e terzo trimestre recanoin fondo rispettivamente le lettere domenicali deglianni comuni e quelle degli anni bisestili. Le letteredomenicani vanno da A a G, sono sempre mappatesui primi 7 giorni dell’anno, e indicano la posizio-ne della prima domenica (in un anno C la primadomenica cade il 3 gennaio). Negli anni bisestilie necessario usare una seconda lettera domenicale,pari a quella precedente la lettera domenicale deglianni comuni, per i mesi successivi a febbraio.

Nel Calendario Meccanico e possibile leggere ladata della Pasqua con un metodo tabulare a par-tire dalla lettera domenicale e dall’epatta. In se-guito alle osservazioni effettuate, si puo affermareche tali tavole sono state presumibilmente compila-te applicando la correzione di Clavius per gli anniprecedenti la riforma gregoriana:

ecclesiasticalNewMoon = 31− epact+ 59 + leap

paschalFullMoon0 = ecclesiasticalNewMoon+13

claviusCorrection = (goldenNumber > 11?26 : 25)

paschalFullMoon1 = (epact >= claviusCorrection?30 : 29)

march21 = 31 + 28 + 21 + leap

paschal = paschalFullMoon0 <march21?paschalFullMoon0 +

paschalFullMoon1 : paschalFullMoon0

easter = paschal+7−((paschal−dominicalNumber)%7)

La variabile easter corrisponde alla Pasqua calcola-ta a partire dal 1◦ gennaio dell’anno in esame, dacui si possono facilmente ricavare mese e giorno.

4 Dati dei cilindri

4.1 36000 Informazioni

I dati relativi agli anni sono disposti in una spiraledestrorsa e in ordine decrescente perche il cilindrocontenente gli anni ruota in senso opposto rispettoa tutti gli altri. Il Ciclo Solare e un ciclo di 28 anniche si fa partire dal 9 A.C., il numero dell’annoall’interno di tale ciclo e dato da:

(anno+ 9) mod 28

. L’epatta e l’eta della Luna al primo gennaio intrentesimi di lunazione; per il Calendario Giulianosi calcola come:

(7 + (11(anno mod 19))) mod 30

mentre per il calendario gregoriano e necessario in-trodurre una correzione ideata da Lilius. lilius =(century − century/4 − ((century − ((century −17)/25))/3)− 8) mod 30

epatta = (11(golden− 1)− lilius) mod 30

dove con golden si indica il Numero D’oro.

6

Figura 2: Cilindro degli anni. Figura 3: Cilindro del Ciclo Solare.

7

Figura 4: Cilindro delle Epatte. Figura 5: Cilindro delle Indizioni Romane.

8

Figura 6: Cilindro dei Numeri D’Oro.Figura 7: Cilindro dei mesi di gennaio, febbraio,marzo.

9

Figura 8: Cilindro dei mesi di aprile, maggio,giugno.

Figura 9: Cilindro dei mesi di luglio, agosto,settembre.

10

Figura 10: Cilindro dei mesi di ottobre, novembre,dicembre.

11