Calcolo a fatica di componenti meccanici Seconda parte · una sollecitazione di fatica alterna...

1

Calcolo a fatica

di componenti meccanici

Seconda parte

Effetto della tensione media sulla vita a fatica

Come affrontare il progetto di un componente sollecitato contemporaneamenteda un carico statico e da una sollecitazione ciclica?

2


È molto importante, quindi, valutare l’effetto sulla durata di una tensione costante sovrapposta aduna sollecitazione di fatica alterna simmetrica, per la quale sia disponibile la curva di Wöhler.

Le prove di fatica, come si è detto, vengono effettuate in genere con cicli a media nulla (R= –1).

Nella pratica costruttiva accade molto di frequente che le sollecitazioni cicliche sianocaratterizzate da una tensione media, non nulla, di trazione o di compressione.

I dati riportati nella figurarappresentano una serie di proveeffettuate con diversi valori dellatensione media.

Come si vede la σadecresce all’aumentaredella tensione media ditrazione.

Quando la tensione media è di compressione la σa rimane costante per un ampio campo di σmprima di sentirne l’effetto e diminuire.

Tra i dati sono riportatisolo quelli per i quali larottura è avvenuta adun particolare numerodi cicli, uguale per tutti.


Si possono immaginare diversi modelliche riproducano il comportamento osservato sperimentalmente.

aσ

mσ

Nσ

N = costante

Relazione lineare di Goodman:

aσ

Nlog

Nσ

N

Curva di Wöhler(R= –1)

RσRσ− SσSσ−

1=+R

m

N

a

σσ

σσ

Si consideri la parte riguardantela tensione media di trazione.

3

aσ

mσ



1=+S

m

N

a

σσ

σσ


Nσ

N = costante

Relazione lineare di Soderberg:

RσRσ− SσSσ−

aσ

mσ



12

=

+

R

m

N

a

σσ

σσ


Nσ

N = costante

Relazione parabolica di Gerber:

RσRσ− SσSσ−

4

aσ

mσ



122

=

+

R

m

N

a

σσ

σσ


Nσ

N = costante

Relazione ellittica:

RσRσ− SσSσ−


Dati sperimentali relativia due diversi materialisovrapposti ai modellidi Goodman e di Gerber.

Acciaio

Alluminio

Goodman

Gerber

Goodman

Gerber

5


Tra i modelli descritti, si utilizza quello lineare di Goodmanperché rappresenta in modo sufficientemente accurato la realtàed è di semplice applicazione.È anche utilizzato il modello lineare di Soderbergche ha il vantaggio di essere più conservativorispetto a quello di Goodman.

aσ

Nlog

Nσ

N


Area di sopravvivenzaad N cicli (Goodman)

In accordo con l’evidenza sperimentalenon c’è riduzione della σa in caso ditensione statica di compressione.

1

1R

S

σσ1−

R

S

σσ−

N

a

σσ

R

m

σσ

1=+R

m

N

a

σσ

σσ

1=+S

m

N

a

σσ

σσ

Area di sopravvivenzaad N cicli (Soderberg)

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N


Il diagramma di Goodman Smith

σN

-σN

σR

σR

N cicli

σ max =

σ medio

σ

t

6

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ

t

σ max =

σ medio

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ max =

σ medio

σ

t

7

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ max =

σ medio

σ

t

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ max =

σ medio

σ

t

8

σmax

σmin

σmedio


aσ

Nlog

Nσ

N



σN

-σN

σR

σR

σmax

σmedio

σmin

N cicli

σ max =

σ medio

σ

t

σmax

σmin

σmedio

Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il diagramma di Goodman Smith

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

Costruzione del diagramma di GoodmanSmith per un numero N di cicli.

N cicli

All’interno dell’area di sopravvivenza:vita superiore ad N cicli

Sulla linea di bordo:vita di N cicli

All’esterno dell’area:vita inferiore ad N cicli

9

σmax

σmin

σmedio


σS

σS

-σS

-σS

Costruendo il diagrammaper un numero maggiore di cicli Nsi avrà una tensione σσσσN minore.

N cicliσR

σR

σN

-σN

-σN

σN

σmax

σmin

σmedio


σS

σS

-σS

-σS

Costruendo il diagrammaper un numero minore di cicli Nsi avrà una tensione σσσσN maggiore.

N cicliσR

σR

σN

-σN

10


Il diagramma di Goodman Smith puòespresso in forma analitica per un usoagevole nel calcolo a fatica.

A tale scopo conviene suddividerlo inquattro aree: a , b, c e dsecondo il valore della tensione media.

N cicli

( )NSm σσσ −−−= SN σσ −=

σmedio

zona a) SNmS σσσσ −<<−

zona b) 0<<− mSN σσσ

σmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

Nel punto indicato dal cerchio gialloil valore della tensione media vale:

quindi:



N cicli

σmedio

zona a) Sσσ −=min

zona b) ( )mN σσσ −−−=min

σmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

Nm σσσ −=min

Nelle zone a) e b), relative ad unostato di compressione media, il valoredella tensione minima di picco puòessere espresso come segue:


11



N cicli

NR

NSRm σσ

σσσσ−−=

σmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

rNS

−−=

1σσ

R

Nrσσ=

Nel punto indicato dal cerchio giallo ilvalore di σmedio può essere ottenutodall’equazione della retta passante peri punti:

RR

N

yxyx

σσσ

====

22

11 0

Sm yx σσ === ?




N cicliσmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

zona c)r

NSm −

−<<1

0 σσσ

zona d) SmNS

rσσσσ <<

−−

1


RR

N

yxyx

σσσ

====

22

11 0

Sm yx σσ === ?

Nelle zone c) e d) il campo di validitàdella tensione media è dato da:


12



N cicliσmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

ab

c d

45°

σmedio

zona c)R

NRmN σ

σσσσσ −+=max

zona d) Sσσ =max

( ) mN r σσσ −+= 1max


RR

N

yxyx

σσσ

====

22

11 0

Sm yx σσ === ?

Il valore della tensione massimadi picco è dato da:




Sσσ =max

rNS

m −−<<

10 σσσ

SmNS

rσσσσ <<

−−

1

SNmS σσσσ −<<−

0<<− mSN σσσ

Sσσ −=min

Nm σσσ −=min

Riepilogando quanto appena discusso si può scrivere:

Campo di validità dellatensione media

zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Tensione massima / minima

2minmax σσσ +=mRicordando la definizione di tensione media: è possibile riscrivere

le due prime relazioni in termini di tensione massima, invece che di tensione minima.

maxmin 2 σσσ −= m

13



Sσσ =max

rNS

m −−<<

10 σσσ

SmNS

rσσσσ <<

−−

1


0<<− mSN σσσ



zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Tensione massima

Nm σσσ =−max

Sm σσσ −=− 2max


( ) mN r σσσ −+≥ 1max

Sσσ ≥max

rNS

m −−<<

10 σσσ

SmNS

rσσσσ <<

−−

1


0<<− mSN σσσ



zona a)

zona b)

zona c)

zona d)

Condizione di danneggiamento:

Nm σσσ ≥−max

Sm σσσ −≥− 2max

14


I diagrammi Master (di Weyrauch e Kommerell)

Una diversa forma di presentazione dell’interazione tra resistenza ad unasollecitazione ciclica e ad un carico statico è quella dei cosiddetti “diagrammi Master”.

σ mas

sim

a

σminima

σ media

σalterna simmetrica

R = 0R = -1 R = 1R = -0.5 R = 0.5A = 1 A = 0A = ∞

σR

σN1

σN2

N1 < N2

N1 N2

minmax σσ =minmax σσ −=

Effetto della tensione media sulla vita a fatica I diagrammi Master

15



16

aσ

Nlog


aσ

mσ

Il piano di Soderberg

1Nσ

L’interazione tra sollecitazione ciclica e sollecitazione media può essere rappresentataanche in un piano, detto di Soderberg, che in ascissa riporta la tensione media σm

ed in ordinata riporta la sollecitazione alterna σa.

2Nσ

3Nσ

N2 cicliN

3 cicli


Rσ

N1 cicli

2Nσ

2N

1Nσ

1N

3Nσ

3N

aσ

mσ

Il piano di Soderberg

1Nσ



mσ

aσ P

2Nσ

3Nσ

N2 cicliN

3 cicli

mR

NNa σ

σσσσ −=

Per un qualsiasi punto P sul segmentola si può esprimere come segue:

Nσ Rσaσ


Sσ

Sσ Rσ

N1 cicli

rNS

−−

1σσ

In modo analogo a quanto è stato fatto suldiagramma di Goodman Smith si evita disuperare la tensione di snervamento delmateriale.

La linea rossa rappresenta il limite elastico.

17

aσ

mσ



Nσ N cicli

RσSσr

NS

−−

1σσmσ

aσ P

Limitando l’area con un segmento σN σS sirestringe ulteriormente il campo di progetto,andando a favore della sicurezza, e la relazioneprecedente può essere modificata.

mS

NNa σ

σσσσ −=

Effetto della tensione media sulla vita a fatica Il piano di Soderberg

Per un qualsiasi punto P sul segmentola si può esprimere come segue:

Nσ Rσaσ

mR

NNa σ

σσσσ −=

Nell’area verde ilcomponente ha una vitasuperiore ad N

Sulla linea blu la vitaè esattamente N

All’esterno della linea blula vita è inferiore ad N

σmax

σmin

σmedio

σN

-σN

σS

σS

σR

σR

-σS

-σS

N cicli


La stessa semplificazione può essererappresentata sul diagramma diGoodmann Smith:

18

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica

F

F

F

F

Zona diconcentrazionedelle tensioni

AF

n =σ

Le brusche variazioni di forma provocano un aumento locale dello stato tensionaleche diventa, localmente, triassiale.

nlocale k σσ ⋅=

⇐k Forma dell’intaglio


Molti organi meccanici hanno, permotivi funzionali, una forma cheprovoca effetti locali di intaglio.

Naturalmente si cerca di ridurre almassimo la severità dell’intaglio conraggi di raccordo ampi, per quantopossibile.

Tuttavia, come mostrano gli schizzi infigura, spesso non è possibile evitarele brusche variazioni di formae la tensione locale può raggiungerevalori pari ad oltre 3÷4 volte latensione nominale.

ntK

σσ max=

Fattore di intaglio teorico

Fattore di intaglio

19


x

y

x

y

La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.

Fattore di intaglio

yσyσ

xσTensione nominale


La presenza di un foro in una piastra di lamiera provoca un’alterazione dello stato tensionale.

ntK

σσ max=

Nel caso di foro circolare(di piccole dimensioni rispetto a quelle della piastra)il fattore di intaglio vale 3.

3=

Fattore di intaglio

yσ

xσ

1

2

3

4

R

Tensione nominale

maxσ

20

Nel caso più generale di lastra piana con un foro ellittico il massimo valore della tensionedipende dal raggio di curvatura minimo dell’ellisse.

+=ba

n 21max σσ

+=

ρσσ a

n 21max

Il raggio di curvatura minimo dell’ellisse è

ab2

=ρ

per cui si ha:

Il fattore di intaglio quindi vale:


+=

ρaKt 21

Fattore di intaglio


EEK s21+=

sE = modulo secante

Il comportamento plasticodel materiale può ridurre ilfattore di concentrazionedella tensione.

Ne risulta, tuttavia,incrementato il fattore diconcentrazione delladeformazione.

( )EEKK s

tP 11 −+= (foro circolare)

Fattore di intaglio

sE

Eε

σ

21


ntK

σσ max=

Nei casi più complessisi ricorre a diagrammiche forniscono il fattoredi intaglio in base al tipodi carico applicato edalle caratteristichegeometriche salienti.

Fattore di intaglio


14.0=dr

7.1=tK

5.1=dD

ntK

σσ max=

Fattore di intaglio

5.1=tK

16.0=dr

2.1=dD

22

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica Fattore di intaglio

ntK

σσ max=

2.1=tK

16.0=dr

2.1=dD

Effe

tto d

elle

con

cent

razi

oni d

i ten

sion

e su

lla v

ita a

fatic

a

Fattori di intaglio

23


Torsione Flessione Torsione Flessione Torsione Flessione1,3 1,6 1,3 1,3 1,6 2,01,6 2,0 1,6 1,6 2,4 3,0

RicottoTemprato

Incastrata AmericanaDrittaCondizione del

materiale dell'albero

Tipo di chiavetta o linguetta

Fattori di intaglio per un albero sede di una cava per chiavette o linguette

Torsione

1,4 1,7

Flessione

Fattori di intaglio per un albero sede di collegamento forzato


Nel progetto di un componente che sarà sollecitato a fatica è necessario curare il disegnoin modo tale che, pur assicurando la funzionalità, sia minimo il fattore di intaglio.

L’intensificazione locale dellatensione è maggiore dove lelinee isostatiche sonomaggiormente addensate.

Fattore di intaglio

Miglioramento

24

Effe

tto d

elle

con

cent

razi

oni d

i ten

sion

e su

lla v

ita a

fatic

a

Curare il disegnoper rendere

minimo il fattoredi intaglio.


Effetto dei fori ausiliari sul fattore di intaglio.

Curare il disegno per rendere minimo il fattore di intaglio.

Fattore di intaglio

25



26



Fattore di intaglio



Fattore di intaglio

27

Effe

tto d

elle

con

cent

razi

oni d

i ten

sion

e su

lla v

ita a

fatic

a

Curare il disegnoper rendere

minimo il fattoredi intaglio.


La sensibilità all’intaglio.

11

−−=

t

e

KKq

I materiali metallici sono più o meno sensibili alla presenza di un intaglio.

Può essere definito un fattore di sensibilità all’intaglio, definito come segue:

dove Ke rappresenta il fattore effettivo di intaglio,mentre Kt indica, come sempre, il fattore teorico di intaglio.

r

qρ+

=1

1Il fattore q può essere calcolato come segue:

Dove è una caratteristica del materiale ed r è il raggio di raccordoρ

(Neuber)

28

Effetto delle concentrazioni di tensione sulla vita a fatica La sensibilità all’intaglio.

ρAndamento del parametro in funzione della tensione di rottura del materiale


r

q ρ+=

1

1

Per elementi cilindrici a sezione circolare

ρ può essere dato dalla relazione:

−

−=

dR

S 27.11108.53

σσρ valida in mm

dove d è il diametro del componente.

Il fattore q si trova in letteratura espresso anche da una relazioneleggermente differente:

29

braq

+=

1

1Un’altra espressione di q è quella di Haywood:

dove: a è una costante funzione del materiale b dipende dal tipo di intaglio

b =1

M M

M M

b =0.35

b =0.26

M M

r è il raggio di raccordo

Tipo di materiale a (mm)^0.5

Acciai al C

Leghe di Magnesio

0,328

0,151

0,353

0,453

0,222

Acciai legati

Leghe di Rame

Leghe di Alluminio



Valore di q in funzione del raggio di raccordo r

30


Valore di q in funzione del raggio di raccordo r

( )11 −⋅+= te KqK

Il fattore effettivo di intaglio può dunque essere espresso dalla relazione:


Il fattore effettivo di intaglio è applicabile ai materiali duttilinel caso di sollecitazione ciclica

Per i materiali fragili si applicherà sempre il valore teoricodel fattore di intaglio:

tK

Ciò equivale a considerare, per tali materiali la massimasensibilità all’intaglio: q = 1

31


Valore del fattore di intaglio applicabile

Materiali duttili

Materiali fragili

Sollecitazione statica

Sollecitazione ciclica

1

Kt Kt

Ke

Fattore di intaglio


Nel caso di materiali duttili, il fattore di intaglio effettivoandrà applicato solo alla parte alterna della sollecitazione.

eaintaglioa K⋅=σσ

1⋅= mintagliom σσ

aeK σaσ

σ

t

mintagliom σσ =

Sollecitazione realeapplicata al componentecon intaglio.

Sollecitazione amplificataapplicata ad un componenteprivo di intaglio.

aem K σσσ ⋅+=max

maxσ

32

Effetto delle dimensioni sulla vita a fatica

σN reale= b1 * σN

Diametro (mm)

Fatto

re d

i cor

rezi

one

b 1

D

Effetto della finitura superficialesulla vita a fatica

a = lucidatura fine Ra ≤1 µmb = lucidatura media Ra ≤1.5÷2 µmc = rettifica fine Ra ≤2.5÷6 µmd = rettifica media Ra ≤6÷16 µme = sgrossatura buona Ra ≤100÷160 µmf = sgrossatura normaleg = grezzo di laminazione h = con corrosione in acqua dolce i =con corrosione in acqua di mare

σN reale= b2 * σN

σN reale= b1* b2 * σN

Ni

irealeN σbσ ⋅=∏

Considerando anche il coefficienterelativo alle dimensioni si ha:

In generale si può scrivere:

Fatto

re d

i cor

rezi

one

b 2

Carico di rottura (kgf / mm2 )

33

Il coefficiente di sicurezza

aσ

mσRσ

Nσ

Si consideri il comportamento a fatica rappresentato sul piano di Soderberg:è possibile definire il limite di danneggiamento e la relativa area disopravvivenza.

mσ

aσ P

mR

NNa σ

σσσσ −=

ma σσσ +=max

mR

NNLimite σ

σσσσ

−+= 1

Ricordando l’espressione della σa in funzione della σm :

N cicli

Limite

Si può calcolare la tensione massima di cilclo σmax :

mmR

NN σσ

σσσ +−=


aσ

mσRσ

Nσ

mσ

aσ

Un qualsiasi punto P all’interno dell’area sottesa dal segmento Nσ Rσ

può giungere al limite tramite un incremento di mσoppure tramite un incremento di aσoppure variando entrambi i valori.

che è rappresentato da una coppia di valori mσaσ

P

N cicli

Limite

34


aσ

mσRσ

Nσ

F

N

Xσ

S

R

Xσmσ

aσ

Per fare ciò possono essere definiti due coefficienti di sicurezza,XF per la parte ciclica e XS per la parte statica della sollecitazioneche stabiliscano i rispettivi valori ammissibili per le sollecitazioni.

Stabilire un coefficiente di sicurezza, in questo caso, equivale a tracciare un secondosegmento, interno all’area di sopravvivenza, che stabilisca il confine “ammissibile”della sollecitazione a fatica con media non nulla.

P

Nel progetto di un organo meccanico si impone che il punto Psi trovi sul segmento individuato dalle tensioni ammissibili.

Nella verifica il punto P dovrà trovarsiall’interno dell’area in verde.

F

N

XF

σσ =0S

R

XS

σσ =0

mσaσ P

N cicli

Condizione lmiteCondizione ammissibile


aσ

mσRσ

Nσ

F

N

Xσ

S

R

Xσ

In base al valore limite della tensione massima di ciclo,calcolato prima:N cicli

mR

NNLimite σ

σσσσ

−+= 1

mRF

SN

F

N

XX

Xσ

σσσσ

−+= 10

è possibile definire il valore ammissibile della tensionemassima di ciclo:

Per semplicità di calcolo, si assume in genere lostesso valore per i due coefficienti di sicurezza:

FS XX =

Limite

Ammissibile X=

35


aσ

mσRσ

Nσ

F

N

Xσ

S

R

Xσ

In base al valore limite della tensione massima di ciclo,calcolato prima:N cicli

mR

NNLimite σ

σσσσ

−+= 1

è possibile definire il valore ammissibile della tensionemassima di ciclo:

mRF

SN

F

N

XX

Xσ

σσσσ

−+= 10

La tensione ammissibile può dunque essere riscritta: mR

NN

Xσ

σσσσ

−+= 10

Per semplicità di calcolo, si assume in genere lostesso valore per i due coefficienti di sicurezza:

FS XX = X=

Limite

Ammissibile

La relazione di progetto

aσ

mσRσ

Nσ

F

N

Xσ

S

R

Xσ

N cicli

mR

NN

Xσ

σσσσ

−+= 10

Limite

( ) mN r

Xσσσ −+= 10

R

Nrσσ=Ricordando la definizione di r :

Per tenere conto delle reali condizioni del componente daprogettare è necessario introdurre i vari coefficienti diriduzione delle prestazioni del materiale,quali ad esempio b1 che tiene conto delle dimensionie b2 che tiene conto della finitura superficiale:

( ) mLF rbb

Xbb σσσ 21

210 1−+=

Ammissibile

mR

NN bbX

bb σσ

σσσ

−+= 2121

0 1

Nel caso di progetto a vita infinita larelazione può essere riscritta come segue:

36


aσ

mσRσ

Nσ

F

N

Xσ

S

R

Xσ

N cicli

Limite

Nel caso in cui sia concentrazionedi tensione, dovuta ad un intaglio,la tensione massima vale:

mR

NN bbX

bb σσσσσ

−+= 21

210 1aem K σσσ ⋅+=max

Dal confronto tra la tensione massima applicata e la tensioneammissibile, ne deriva una semplice relazione di progetto:

mR

NNaem b

XbK σ

σσσσσ

−+=+ 1

XbbrK LF

maeσσσ =+

La relazione di progetto può essereulteriormente semplificata nel casodi vita infinita (r = σLF / σR ) :

Ammissibile ∏=i

ibbdove si è indicatosinteticamente:

La tensione ammissibile vale:


N cicli

Limite

Rappresentazione grafica della relazione di progetto (Soderberg)

Ammissibile

( )ma f σσ =aσ

mσ

aσ

mσ Sσ

S

S

Xσ

F

N

Xσ

Nσ

Soluzione progettuale

mS

NNaem b

XbK σ

σσσσσ

−+=+ 1

mR

Nae

N

bK

bXσ

σσσ

σ

+=

Progetto

Verifica

37


Rappresentazione grafica di una procedura di calcolo della durata

N cicli

aσ

mσ

aσ

mσ RσS

R

Xσ

Nσ

Soluzione progettuale (d, F)

F

N

Xσ

Nσ

N

aσ

Nlog


Durata

R

m

aeN

bXb

K

σσ

σσ−

=

Esempio di calcolo

B

H1H2

r

F

L1L2

Fmax = 6 kNFmin = -2 kN

Specifica:

Il supporto è soggetto ad un carico Fvariabile nel tempo ciclicamente.

Verifica della resistenza a fatica

Materiale: Acciaio C40σR = 710 MPa σS = 500 MPaσLF = 280 MPa

Dimensioni: B = 20 mmH1 = 60 mmH2 = 72 mmL1 = 200 mmL2 = 50 mm r = 4.8 mm

Coefficiente di sicurezza minimo: XS = 1.4 Durata: illimitata

Condizione di finitura della superficie del supporto: rettifica media

F

t

Fmax

Fmin

38

Esempio di calcolo


Calcolo delle tensioni

B

H1H2

r

F

L1L2

ASezione di incastro A

f

ff W

M=σ ( )

22

216HB

LLF⋅

+⋅=

( ) ( ) MPaHB

LLFf 8.86

072.002.005.02.0600066

222

21maxmax =

⋅+⋅⋅=

⋅+⋅=σ

( ) ( ) MPaHB

LLFf 9.28

072.002.005.02.0200066

222

21minmin −=

⋅+⋅⋅−=

⋅+⋅=σ

Esempio di calcolo


Calcolo delle tensioni

B

H1H2

r

F

L1L2

ASezione B

B

f

ff W

M=σ 2

1

16HB

LF⋅

⋅=

MPaHB

LFf 100

06.002.02.060006622

1

1maxmax =

⋅⋅⋅=

⋅⋅=σ

MPaHB

LFf 3.33

06.002.02.020006622

1

1minmin −=

⋅⋅⋅−=

⋅⋅=σ

La sezione B è la più sollecitata,anche senza tenere conto delfattore di intaglio.

Quindi per la verifica saràconsiderata solo la sezione B.

39

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


H1 = 60 mmH2 = 72 mm r = 4.8 mm

r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20

Determinazione del fattore di intaglio teorico:

K t = 1.8

Esempio di calcolo

0.08

r / H1 = 0.08

H2 / H1 = 1.20

40

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2

Determinazione del fattore di intaglio teorico:Verifica della resistenza a fatica

H1 = 60 mmH2 = 72 mm r = 4.8 mm

r / H1 = 0.08H2 / H1 = 1.20

K t = 1.8

Fattore di sensibilità all’intaglio:

r

qρ+

=1

1

−⋅

−⋅=

1

327.11108.5

HR

S

σσρ

1287.06027.11

710500108.5

3

=

−⋅

−⋅=ρ

86.0

8.41287.01

1 =+

=

( )11 −⋅+= te KqKCalcolo del fattore di intaglio effettivo:

( ) 7.1688.118.186.01 ≅=−⋅+=eK

Esempio di calcolo

H1 = 60 mm

60

b1 = 0.74

Determinazione dei fattori b1(dimensioni) e b2 (finitura superficiale)

41

Esempio di calcolo

σR = 710 MPa

710

finitura della superficie:rettifica media

curva d

b2 = 0.88

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


b2 = 0.88b1 = 0.74

K e = 1.7

2minmax σσσ −=a

σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa

( ) MPa7.662

3.33100 =−−=

2minmax σσσ +=m

( ) MPa3.332

3.33100 =−+=

I dati necessari al calcolo, ottenuti finora, sono:

È necessario ancora calcolare σa e σm :

42

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


XbbrK LF

maeσσσ =+

A questo punto è possibile utilizzare la relazione

b = b1· b2 = 0.74 ·0.88 = 0.6512

r = σLF / σR = 280 / 710 = 0.3944

σLF = 280 MPa

3.333944.06512.07.667.12806512.0

⋅⋅+⋅⋅=X 49.1

9.1213.182 ==

Essendo richiestodalla specifica

XS ≥ 1.4il componente rispetta

la specifica

b2 = 0.88b1 = 0.74

K e = 1.7 σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa


σm = 33.3 MPa

σa = 66.7 MPa

dove:

mae

N

brKbX

σσσ+

=

Esempio di calcolo

B

H1H2

rF

L1L2


XbbrK LF

maeσσσ =+

A questo punto è possibile utilizzare la relazione

r = σLF / σS = 280 / 500 = 0.56

σLF = 280 MPa

b2 = 0.88b1 = 0.74

K e = 1.7 σmax = 100 MPaσmin = – 33.3 MPa


σm = 33.3 MPa

σa = 100.0 MPa

Se si utilizza la retta di Soderberg ilrapporto r sarà calcolato diversamente:

di conseguenza il coefficiente disicurezza risulterà modificato.

3.3356.06512.07.667.12806512.0

⋅⋅+⋅⋅=X 45.1

5.1253.182 ==

Il componente èancora in specifica

mae

N

brKbX

σσσ+

=

43

Calcolo a fatica nel caso di stato piano di tensione

mS

NN bX

b σσσσσ

−+= 10aem K σσσ ⋅+=max

( )2aem K σσ ⋅+

22 4τσσ +=e

È molto frequente nelle costruzioni meccanicheche la sollecitazione di fatica si sviluppi in unostato piano di tensione.

Ipotesi.Componenti di tensione non nulle: σ e τ

Nel caso monoassiale la verifica di resistenza è data dal confronto tra le quantità:

Tensione massimadi lavoro Tensione ammissibile

Ammettendo valido il criterio di Tresca, la tensione equivalente, nel caso siano presenti solo lecomponenti σ e τ del tensore tensione, assume la forma:

Nel caso di tensione piana la tensione di lavoro deve essere espressa da una quantità scalareequivalente, la quale possa essere confrontata con la tensione ammissibile monoassiale.

( )2aem K ττ ⋅′+

Le componenti di tensione, essendo lasollecitazione di fatica, possono essereespresse in termini di valore medio ed alterno.

Inoltre deve essere considerato l’effetto delfattore di intaglio.


TL

L

SL

L

=

τσα

τσ

0

TL

L

SL

L

=

τστσ

α 0

L’esperienza ha dimostrato che nel caso di sollecitazione di fatica il rapporto tra letensioni limite σL e τL è diverso da quello osservato nel caso statico.

2=

TL

L

τσ

Il valore teorico di tale rapporto previsto dalla teoria di Tresca vale:

Nel caso della fatica il rapporto tra le tensioni limite può esseredeterminato sperimentalmente e risulta: 2≠

SL

L

τσ

Può essere introdotto un coefficiente in modo tale da porrel’eguaglianza:

α0 che è noto come “coefficiente di Bach”può quindi essere definito come:

E se si considera applicabile il criterio diTresca si ha:

SL

L

=

τσ

21

44


mSe

N

e

NL K

bK

b σσ

σσσ

−+= 1

mSe

N

e

NL K

bK

b ττ

τττ

′′−+

′′

= 1 mSe

N

e

N

mSe

N

e

N

Kb

Kb

Kb

Kb

ττ

ττ

σσ

σσ

α

′′−+

′′

−+

=1

1

21

0

( ) ( )[ ]20

2max 4 aemaem KK ττασσσ ⋅′+⋅+⋅+=

I valori sperimentali delle tensioni limite, ottenuti per un numero di cicli N oppure a vitainfinita, se il materiale presenta limite di fatica, sono dati dalle seguenti espressioni:

quindi α0 ècalcolatodal rapporto

Può dunque essere calcolata la tensione equivalente, intesa come valore massimo di unatensione ciclica monoassiale la quale crea nel componente in esame lo stesso danno dellasollecitazione reale, in un numero stabilito di cicli N.


( ) ( )[ ] 2

02

max 4 aemaem KK ττασσσ ⋅′+⋅+⋅+=

La relazione di progetto o di verifica a fatica nel caso di stato di tensione piano è la seguente

mS

NN bX

b σσσσσ

−+= 10

Tensione equivalente massima di lavoro Tensione ammissibile

S

m

mN b

Xb

σσσσσ

−

−= 0

45

Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione

23

21

23

22

22

21

23

22

21 aaaaaaaaaaeqv

σσσσσσσσσσ −−−++=

Caso in cui le tensioni principali abbiano media nulla:

Xb Nσσ =0

Tensione equivalente alterna di lavoro Tensione alterna ammissibile

( ) ( ) ( ) ( )222222 62

1aaaaaaaaaeqv xzyzxyxzzyyxa τττσσσσσσσ +++−+−+−=

Tensione equivalente alterna di lavoro

Metodo di Sines:

mmmeqv zyxm σσσσ ++=

Tensione equivalente media di lavoro Le tensioni medie di taglio noninfluenzano la resistenza a fatica

( ) ( ) ( ) ( )222222 62

1aaaaaaaaaeqv xzyzxyxzzyyxa τττσσσσσσσ +++−+−+−=

Tensione equivalente alterna di lavoro

Tensione equivalente media di lavoro

Metodo di von Mises:

Calcolo a fatica nel caso generale di stato triassiale di tensione

( ) ( ) ( ) ( )222222 62

1mmmmmmmmmeqv xzyzxyxzzyyxm τττσσσσσσσ +++−+−+−=

422

1692cos

231

431

2QQQSEQA ++++= φσ

Metodo SEQA:

σ =Tensione normale alterna dovuta alla flessione

στ2=Q τ =Tensione tangenziale alterna dovuta alla torsione

φ =angolo di fase tra i valori massimi di flessione e torsione

Calcolo a fatica di componenti meccanici Seconda parte · una sollecitazione di fatica alterna...

Documents

Transcript of Calcolo a fatica di componenti meccanici Seconda parte · una sollecitazione di fatica alterna...