L’AZIONE TAGLIANTE

La presenza della sollecitazione di taglio è dovuta al fatto che ogni variazionel l’ d ll d l fl i hi d l di f dilungo l’asse della trave del momento flettente richiede la presenza di una forza ditaglio, come risulta dalla ben nota equazione di equilibrio:

T = dM/dx ,

in cui T indica la sollecitazione di taglio, M è il momento ed x l’ascissa misuratag ,lungo l’asse della trave.Dall’equazione precedente segue che il taglio è nullo solo quando M è costante. Inpratica questa condizione si verifica di rado, quindi la sollecitazione di tagliopratica questa condizione si verifica di rado, quindi la sollecitazione di taglioaccompagna quasi sempre quella di flessione. Inoltre, sempre dalla medesimaequazione, risulta che il taglio non può esistere, se non in qualche sezione isolata,senza la contemporanea presenza di M: pertanto sarebbe più corretto parlare dellasenza la contemporanea presenza di M: pertanto sarebbe più corretto parlare dellasollecitazione combinata di flessione e taglio.

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIONON ARMATE A TAGLIO

Se si considera una trave realizzata con un materiale a comportamento elastico

COMPORTAMENTO AL I STADIO

plineare e reagente a trazione, quale può considerarsi anche il calcestruzzo, perlivelli di sollecitazione sufficientemente bassi, le tensioni tangenziali agenti sullesezioni si possono calcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoriasezioni si possono calcolare con la nota relazione, derivata mediante la teoriaapprossimata di Jourawski:

τ (y) = TS(y)/Ib(y)τ (y) = TS(y)/Ib(y)

in cui I è il momento di inerzia baricentrico della sezione, S(y) è il momentot ti l ti t l b i t d ll t di i l di d ll dstatico, relativamente al baricentro, della parte di sezione al di sopra della corda

di ascissa y e b(y) è la larghezza di detta corda. Per una sezione rettangolare letensioni variano con legge parabolica. Il valore massimo di τ è raggiunto nelbaricentro, dove si ha:

τmax =T / zbmax

dove z = I/S(y=yG) ~ 0.9d, indica il braccio delle forze interne.

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIONON ARMATE A TAGLIO

COMPORTAMENTO AL II STADIO

[T] [M]

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIONON ARMATE A TAGLIO

Le fessure che attraversano la zona tesa della trave la separano in tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole

COMPORTAMENTO AL II STADIO

tanti blocchi di calcestruzzo che si comportano come mensole incastrate nella parte superiore compressa dell’elemento.

zona compressaLa mensola è sollecitata dalla forza

∆T = T1 − T2

prodotta dalla variazione della forza di trazione dellaarmatura.

A questa sollecitazione si oppone la resistenza flessionale delle mensole.

Questa sollecitazione va inoltre combinate con le seguenti azioni:Questa sollecitazione va inoltre combinate con le seguenti azioni:1. Le tensioni tangenziali τa che agiscono sulle superfici delle fessure,

dovute all’ingranamento degli inerti;2 Le forze di taglio V prodotte dall’effetto spinotto (dowel action) delle2. Le forze di taglio Vd, prodotte dall effetto spinotto (dowel action) delle

armature longitudinali.3. Eventuale forza assiale di compressione.

1) RESISTENZA FLESSIONALE DELLE MENSOLE

La variazione della forza di trazione nell’armatura ΔNs vale:

zzVNzVzN ss

Δ=Δ→Δ=Δ

Le sollecitazioni indotte da ΔNs nella mensola valgono:

22 zVΔ

⎞⎛ ΔΔ⎞⎛ Δ zzVz22

22

zzVNN s

Δ=Δ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−Δ

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−Δ=44zxd

zzVzxdNM s

La massima tensione di trazione nella mensola vale quindi:

( ) ( )zMNΔ+ 22σ ( ) ( ) ( )z

zbzbΔ

Δ+

Δ−= 22

1222 3σ

( )zbz

zxdVbzV

ΔΔ−−

+−=412

Il dente si rompe a flessione quando raggiungo la resistenza flessionale a trazione del calcestruzzo. Ponendo Δz=d, x=0.2d e :1.6

ctdfσ =

0.25Rd ctdV bdf→ =

Q d ll’i t di l t di l t i f l d f

2) INGRANAMENTO DEGLI INERTI

Quando all’interno di un elemento di calcestruzzo si apre una fessura, le due faccecontigue non sono superfici lisce. Infatti la fessura non attraversa gli inerti grossi,che formano lo scheletro più resistente dell’impasto, ma ne segue i contorni, dovela resistenza è dovuta all’azione legante del cemento. Così, dopo l’apertura dellafessura, le protuberanze di queste superfici scabre rimangono ingranate con lecorrispondenti cavità rendendo ancora possibile la trasmissione di forzep ptangenziali, almeno fino ad un’ampiezza di fessura non sufficiente a separarecompletamente le facce. Questo meccanismo, detto di ingranamento degli inerti(aggregate interlock), è il più importante tra quelli che permettono il trasferimento(aggregate interlock), è il più importante tra quelli che permettono il trasferimentodelle forze di taglio nelle travi fessurate prive dell’armatura d’anima.

3) EFFETTO SPINOTTO

Lo scorrimento tra le due facce di una fessura comporta anche unadeformazione dell’armatura flessionale con conseguente nascita dell’effettospinotto (attenzione: questo effetto comporta che salti almeno in parte ilricoprimento di calcestruzzo)p )

4) EFFETTO DELLO SFORZO ASSIALELa presenza di uno sforzo assiale di compressione incrementa la resistenza ataglio di una sezione non armata, in quanto aumenta le dimensioni delcorrente compresso accorciando i denti compressi e quindi aumentando lacorrente compresso accorciando i denti compressi e quindi aumentando laresistenza flessionale.

COMPORTAMENTO DELLE TRAVI SOLLECITATE A TAGLIOARMATE A TAGLIO

La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d’anima è generalmente

COMPORTAMENTO AL III STADIO

La resistenza al taglio delle travi prive di armatura d anima è generalmentemodesta e tale da ridurne la capacità portante rispetto a quella flessionale.La necessità di garantire la piena capacità portante richiede che la resistenza altaglio deve essere aumentata fino a superare quella flessionale; ciò anche intaglio deve essere aumentata fino a superare quella flessionale; ciò anche inconsiderazione della natura fragile, e quindi particolarmente pericolosa, delcollasso per taglio. Per aumentare la resistenza a taglio, nelle travi in cemento

t i di ’ t d’ i i è ’ t di tarmato si dispone un’armatura d’anima, cioè un’armatura dispostatrasversalmente all’asse della trave e che congiunge la parte compressa (ilcorrente di calcestruzzo) a quella tesa (armatura longitudinale). Le armatureutilizzate a questo scopo sono di due tipi: le staffe e le barre piegate. Le staffesono armature chiuse che seguono il perimetro della sezione e contengono learmature longitudinali; in genere sono ortogonali all’asse della trave mapossono essere inclinate. Le barre piegate invece sono realizzate con learmature longitudinali che vengono piegate in modo da attraversare l’animafino a raggiungere il lembo opposto.gg g pp

h

● ● ● ● ● ● ● ●

h

● ● ● ● ● ● ● ●

b

La presenza delle armature d’anima non altera sensibilmente i meccanismi diformazione delle fessure: pertanto lo schema della trave fessurata per effettop pdella flessione e del taglio resta lo stesso descritto nella sezione precedente.Dopo la fessurazione agiscono ancora gli stessi meccanismi analizzati per letravi non armate: ingranamento degli inerti, effetto spinotto, eventuale azionetravi non armate: ingranamento degli inerti, effetto spinotto, eventuale azioneassiale e resistenza flessionale delle mensole.

Anzi l’efficacia di questi meccanismi aumenta, specialmente se l’armatura èrealizzata con staffe, per i seguenti motivi:realizzata con staffe, per i seguenti motivi:

1. L’effetto spinotto migliora perché le staffe, se abbastanza vicine tra loro,possono impedire o almeno ritardare la deformazione delle armaturepossono impedire, o almeno ritardare, la deformazione delle armaturelongitudinali e il distacco del copriferro;2. L’ingranamento degli inerti migliora perché le armature d’anima, in

ti l i h i l ti i t t l l’ i i d ll fparticolare prima che siano plasticizzate, ostacolano l’aprirsi delle fessureconsentendo un ingranamento più efficace;3. La resistenza flessionale delle mensole di calcestruzzo aumenta perchél’armatura trasversale provoca la compressione di queste bielle, conconseguente riduzione delle tensioni di trazione. Inoltre limitando l’estendersidelle fessure impediscono l’eccessiva riduzione delle sezioni di incastro dellepmensole al corrente compresso;4. Il pericolo della perdita di aderenza dovuto alle fessure che si propaganolongitudinalmente lungo il percorso dell’armatura tesa e che provoca ilg g p pdistacco del copriferro, viene sensibilmente ridotto.

Tuttavia la funzione delle armature trasversali non è quello di migliorare iTuttavia la funzione delle armature trasversali non è quello di migliorare imeccanismi resistenti sopracitati, ma è quello di indurre un NUOVOMECCANISMO RESISTENTE.

MECCANISMO RESISTENTE AL TAGLIO DELLE TRAVI IN C. A. TRALICCIO DI MÖRSH

Secondo un modello dovuto a Mörsch molto schematico ma che coglie iSecondo un modello, dovuto a Mörsch, molto schematico ma che coglie icaratteri essenziali del fenomeno, la trave fessurata viene assimilata ad unatrave reticolare in cui il calcestruzzo compresso e l’armatura tesa fungono dacorrenti superiore ed inferiore rispettivamente le bielle di calcestruzzo sonocorrenti, superiore ed inferiore rispettivamente, le bielle di calcestruzzo sonole aste di parete compresse, le armature trasversali o d’anima le aste tese,come illustrato in Figura.

corrente compressoppuntone

corrente tesotirante

MECCANISMO RESISTENTE AL TAGLIO DELLE TRAVI IN C. A. TRALICCIO DI MÖRSH

MECCANISMO RESISTENTE AL TAGLIO DELLE TRAVI IN C. A. TRALICCIO DI MÖRSH

Dal momento che i correnti superiore ed inferiore sono già verificati nell’ambitodelle verifiche flessionali, la verifica a taglio consiste nel verificare che il tagliosollecitante VEd non causi né la rottura a compressione del puntone dicalcestruzzo né la rottura a trazione del tirante d’acciaio. Bisogna quindideterminare due formule che mi diano il taglio VRcd che porta a rottura il puntonedi calcestruzzo e il taglio VRsd che porta a rottura il tirante di acciaio, in modo taleche la verifica a taglio consista nel verificare che:g

⎩⎨⎧ < RcdEd

VVVV

⎩⎨ < RsdEd VV

Per analizzare il comportamento delle travi armate a taglio si ipotizza che lefessure siano rettilinee e inclinate di un’angolo θ rispetto all’asse della trave Sia αfessure siano rettilinee e inclinate di un angolo θ rispetto all asse della trave. Sia αinvece l’inclinazione dell’armatura d’anima.

Ntir

Npun

V

( ) ( )( )αθ cotcotz +

La forza nel puntone compresso vale

VN ( )θVN pun sin

=

L’altezza della sezione del puntone vale:

( ) ( )( ) ( )θαθ sincotcotzH pun +=

Il puntone arriva a rottura per compressione quando :( )RcdV V=

( )( ) ( )( ) ( ) cd

Rcd

cdpun f

bθ

V

fbHN

νθθ

ν =→=itt

sin ( ) ( )( ) ( ) cdcdpun

fbz

fbH θαθ + sincotcot

Da cui ponendo z=0 9d risulta:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )αθνθαθν 2 cotcotsincotcot +=+= cd zbfbzfV

Da cui ponendo z=0.9d, risulta:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )αθν

θθαθν 2

cotcot90

cot1sincotcot

+=

+=+= cdRcd

fdb

bzfV

( )θν 2cot19.0

+= cdfdb

La forza nel tirante teso vale

( )αsinVNtir =

L’area della diagonale tesa, funzione dell’area totale di armatura a taglio Aswdisposta con passo s vale:

( ) ( )( )swtir A

scotcotzA αθ +

=s

Il tirante arriva a rottura per snervamento dell’acciaio quando:( )RsdV V=

( )αsin =→= fA

V

fAN

yd

Rsd

ydtir

( ) ( )( )αθ cotcot +

A

fz

sAf

A ydsw

ydtir

( ) ( )( ) ( )ααθ sincotcot +=→ zfs

AV ydsw

Rsd

Da cui ponendo z=0.9d, risulta:

( ) ( )( ) ( )ααθ sincotcot9.0 += ydsw

Rsd fs

AdV

Per staffe verticali: α=90oPer staffe verticali: α=90o

( ) ( )( )( )

( )( )θ

θνθ

αθν22 cot1

cot9.0cot1

cotcot9.0+

=+

+= cd

cdRcd fdbdbfV ( ) ( )

( )θcot9.0 ydsw

Rsd fs

AdV =

Regole specifiche per l’armatura trasversale

Esempio: progetto e verifica a taglio di una trave di sezione rettangolare alta40cm larga 40cm armata con 6φ20 di luce 5 0m e caricata da un carico40cm, larga 40cm, armata con 6φ20, di luce 5.0m e caricata da un caricopermanente g=40kN/m e da un carico d’esercizio q=10kN/m.

p

5m

Allo SLU la combinazione di carico risulta essere la seguente:g

mkNp 67105.1403.1 =×+×=

Ne consegue che il taglio massimo agente nella trave risulta essere:

kNVEd 5.1672

567=

×=

Adottando un calcestruzzo avente fck=25MPa e un acciaio con fyk=450MPa, segueche le resistenze di progetto dei due materiali valgono:che le resistenze di progetto dei due materiali valgono:

MPaff ckcd 2.14

5185.0 ==

MPaf

f ykyd 391

15.1

5.1

==15.1

Calcoliamo il taglio resistente della trave in assenza di armatura trasversale:Calcoliamo il taglio resistente della trave in assenza di armatura trasversale:

( )dbfkdb

fkV ck ⎤⎡ +≥⎥

⎤⎢⎡

+⋅

σσρ

150035015010018.0 2

12

331

1( )dbfkdbV wcpckwcp

cRd ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +≥⋅

⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

+= σσγ

15.0035.015.0 22

Dove:Dove:

41241200120012

12

1

⎟⎞

⎜⎛

⎟⎞

⎜⎛ kk 745.12745.1

36020012001 =→≤=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= k

dk

0131.002.00131.036040010106

11 =→≤=⋅⋅⋅

== ρπρdb

Asl

360400 11 ⋅dbw

02000=→≤=== Ed fN σσ 02.00

240900=→≤=

⋅== cpcd

ccp f

Aσσ

Ne consegue che:

( ) 36040005.1

250131.0100745.118.0 31

⋅⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+

⋅⋅⋅⋅=VRd

360400025745.1035.0 21

23

⋅⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅⋅≥

⎦⎣

kNVNNV RdRd 5.965808996474 =→≥=

Dove il taglio sollecitante VEd risulta inferiore al taglio resistente VRd in teoria nonsarebbe necessario armare a taglio. In realtà la normativa impone un minimo dig parmatura trasversale nella misura di:

Adottando un’armatura trasversale minima data da staffe a due braccia di diametroφ10 con passo 20cm soddisfo i requisiti minimi imposti dalla normativa, infatti ho5 staffe al metro (100/20); il passo delle staffe è inferiore a 0.8d (20<0.8x36=28.8)e infine soddisfo il requisito legato al quantitativo di armatura minima:

( ) mmmbmmmA 222 600400515178510052 =⋅=⋅>=⋅⋅= π( ) mmmbmmmAst 6004005.15.178520

52 =⋅=⋅>=⋅⋅= π

Dal momento che è presente dell’armatura trasversale il meccanismo resistente at li è ll l t l t li i di M h i l l il t litaglio è ora quello legato al traliccio di Morsch; per cui posso calcolare il taglioresistente minimo che è garantito dall’armatura minima messa per soddisfare lanormativa (pongo θ=45°):

( ) kNfAdV ydsw

Rsd 5.991391200523609.0cot9.0

2

=⋅⋅⋅

⋅⋅==πθ

s y 200

( ) 1cot θ( )( ) kNfdbV cdRcd 460

1112.145.04003609.0

cot1cot9.0 2 =

+⋅⋅⋅⋅⋅=

+=

θθν

Ne consegue che la resistenza a taglio con l’armatura minima prevista vale:

( ) ( )min ; min 99.5;460 99.5Rd Rsd RcdV V V kN= = =

Ne consegue che dove il taglio sollecitante è superiore a 99.5kN, devo aumentarel’armatura trasversale, ad esempio riducendo il passo a 10cm Ne consegue che:l armatura trasversale, ad esempio riducendo il passo a 10cm. Ne consegue che:

kNV 199139155236090 ⋅⋅⋅ π kNV Rsd 1991391100

3609.0 =⋅⋅⋅⋅=

kNVRcd 46011

12.145.04003609.0 =+

⋅⋅⋅⋅⋅=

Ne consegue che la resistenza a taglio con la nuova armatura trasversale vale:

( )min 199;460 199 167.5RdV kN kN= = >( );Rd