COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E ALBERI · pi ù complesso di vibrazioni flesso -torsionali ....

Costruzione di Macchine 3Costruzione di Macchine 3 11

COMPORTAMENTO COMPORTAMENTO DINAMICO DI ASSI E DINAMICO DI ASSI E

ALBERIALBERIVIBRAZIONI FLESSIONALIVIBRAZIONI FLESSIONALI


GeneralitGeneralitàà

�� Il problema del progetto di un asse o di un Il problema del progetto di un asse o di un albero non albero non èè solo staticosolo statico

�� Gli assi e gli alberi, come sistemi elastici, Gli assi e gli alberi, come sistemi elastici, sotto lsotto l’’azione di forze variabili periodicamente azione di forze variabili periodicamente devono essere analizzati dinamicamentedevono essere analizzati dinamicamente

�� Il rischio da evitare Il rischio da evitare èè che con eccitazioni che con eccitazioni prossime alle risonanze le amplificazioni prossime alle risonanze le amplificazioni diano origine a sforzi e deformazioni non diano origine a sforzi e deformazioni non accettabiliaccettabili


Assi e alberiAssi e alberi

�� Gli assi e gli alberi, descritti come elementi Gli assi e gli alberi, descritti come elementi monodimensionalimonodimensionali, mostrano differenti , mostrano differenti comportamenti dinamici: assiale, flessionale e comportamenti dinamici: assiale, flessionale e torsionale.torsionale.

�� In realtIn realtàà essendo sistemi elastici continui dotati essendo sistemi elastici continui dotati di massa, inerzia e smorzamento esibiscono un di massa, inerzia e smorzamento esibiscono un unico comportamento dinamico, rappresentabile unico comportamento dinamico, rappresentabile da un sistema di equazioni differenziali. da un sistema di equazioni differenziali.

�� Tali equazioni integrate nel dominio del tempo Tali equazioni integrate nel dominio del tempo permettono di rappresentare il comportamento permettono di rappresentare il comportamento dinamico.dinamico.


Assi e alberiAssi e alberi

�� EE’’ possibile dimostrare che sotto certe ipotesi i possibile dimostrare che sotto certe ipotesi i comportamenti dinamici relativi alla deformazione comportamenti dinamici relativi alla deformazione assiale, flessionale e torsionale sono completamente assiale, flessionale e torsionale sono completamente disaccoppiati.disaccoppiati.

�� Inoltre, in generale, le prime frequenze proprie di Inoltre, in generale, le prime frequenze proprie di vibrazione di ciascun tipo di comportamento si vibrazione di ciascun tipo di comportamento si presentano in campi di frequenze ben distinti presentano in campi di frequenze ben distinti (torsionali(torsionali→→basse frequenze, flessionalibasse frequenze, flessionali→→frequenze frequenze intermedie, assialiintermedie, assiali→→alte frequenze).alte frequenze).

�� Ciò consente di semplificare grandemente il problema Ciò consente di semplificare grandemente il problema considerando un numero inferiore di variabili considerando un numero inferiore di variabili indipendenti.indipendenti.


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.

�� Una ulteriore semplificazione si può Una ulteriore semplificazione si può adottare rispetto ai gradi di libertadottare rispetto ai gradi di libertàà..

�� Il primo passo Il primo passo èè quello di considerare le quello di considerare le proprietproprietàà del sistema elastico concentrate del sistema elastico concentrate in elementi separati.in elementi separati.

�� Si ottengono cosSi ottengono cosìì i modelli a i modelli a ““parametri parametri concentraticoncentrati””..

�� Il piIl piùù semplice modello a parametri semplice modello a parametri concentrati concentrati èè il modello a 1 grado di libertil modello a 1 grado di libertàà



)(tFkxxcxM =++ &&&

Equazione differenziale

Eccitazione sinusoidale

)sen(0

tFkxxcxM ω=++ &&&

Dividendo per M e usando le funzioni di variabile complessa

tie

k

Fxxx

ωωωδω 02

0

2

002 =++ &&&

Con le posizioni usuali

kM

c

M

k

2=

=

δ

ω kMccr 2=

Tipo di elemento Smorzamento

(in % dello sm.crit.) Elementi in acciaio 2% Strutture saldate 4% Strutture bullonate 7% Strutture con el.Elastom. 7% Strutture con el.Idraulici 10%


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.ti

ek

FtFxxx

ωωδω 02

00)(2 =++ &&&

[ ]titit

g exexex*

0*

00*

1

*

1

ωωδω −− +=

Integrando

la soluzione completa è data dalla sovrapposizione di due integrali. Il primo, generale, è

Dove ω0* = ω0 (1 - δ2)1/2

x1*, e x2* due costanti complesse e coniugate

Sostituendo quindi l’integrale particolare nell’equazione differenziale si ottiene

ti

p exxω

0=

Il primo termine, a causa del contrib utoesponenziale fuori parentesi è rapidamente decrescente nel tempo. A regime predomina quindi il contributo dell’integrale particolare.

0

2

0

0

0

21ω

ωδ

ω

ωi

k

F

x

+

−

=


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.Se si rappresenta l’equazione in forma vettoriale e ricordando che le funzioni sinusoidali derivate si sfasano di 90°si ottiene

E’ utile introdurre la funzione “Risposta complessa in frequenza”

2

0

22

0

0

2

0

22

0

2

00

21

2

21

1

)(

+

−

−

+

−

−

==

ω

ωδ

ω

ω

ω

ωδ

ω

ωδ

ω

ω

ω

ω

ω i

k

F

xH

Quando il valore di ω coincide con ω0 si è in condizioni di risonanza e la parte reale di H ènulla; la parte immaginaria è

δω

2

1)( iH −=

L’angolo di fase φ è l’angolo formato tra parte reale e parte immaginaria

2

0

0

1

2

)tan(

−

=

ω

ω

ω

ωδ

φ



0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0

2

4

6

8

10

0.5

0.2

0.1

δ=0

δ=0.05

δ=0

I H

(ω)

I

ω/ω0

Le sollecitazioni agenti subiscono quindi un’amplificazione pari a H(ω). Si riconosce quindi la pericolosità delle condizioni di risonanza. Per calcolare l’entitàdelle sollecitazioni agenti è necessario conoscere l’amplificazione e il termine di eccitazione F0

2

0

22

0

21

1)(

+

−

=

ω

ωδ

ω

ω

ωH

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

0.5

0.20.1

δ=0.05

π/2

Ang

olo

di fa

se

ω/ω0

Il modulo della Risposta in Frequenza ha l’espressione


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.Nei sistemi rotanti la fonte primaria di vibrazioni è l’eccentricità delle masse rispetto all’asse di rotazione. In tali condizioni vi è, per effetto centrifugo, una forza periodica pari a: )sen(

2teMF ωω=

essendo M l’entità delle masse eccentriche ed e l’eccentricità. L’equazione differenziale si modifica nella seguente equazione: )sen(

2tMekxxcxM ωω=++ &&&

Per essa vale la trattazione già svolta essendo in particolare F0 = meω2; pertanto l’angolo di fase è ancora espresso dalla , mentre il modulo della risposta in frequenza è pari a:

2

0

0

1

2

)tan(

−

=

ω

ω

ω

ωδ

φ2

0

22

0

2

0

21

)(

+

−

=

ω

ωδ

ω

ω

ω

ω

ωH

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

0

2

4

6

8

10

12

0.5

0.2

0.1

δ=0.05

δ=0

δ=0

/H(ω

)/

ω/ω0


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.Altri tipi di sorgenti di vibrazione sono i carichi esterni. Sia nel caso di motori a combustione interna sia di motori elettrici, si creano, anche a funzionamento a giri costanti, dei carichi variabili. L’intensità di tali carichi è di determinazione assai complessa. Più semplice è la determinazione delle pulsazioni delle forzanti periodiche esterne, in funzione dell’elemento motore o operatore e degli organi calettati.

Elemento Forzante

Motore elettrico kωR k = 1,2,3 Ruota dentata ( Z = numero di denti) kZωR k = 1,2,3 Elica (Z = numero di pale) kZωR k = 1,2 Alternatori (ωel pulsazione elettrica) 2ωelM. C. I. (Z = numero cilindri) kωR·Z k=1,2,3,4

Spesso l‘analisi dinamica di un sistema si limita alla determinazione del rischiodi risonanze.



�� Spesso i sistemi ad un grado di libertSpesso i sistemi ad un grado di libertàà non non riescono a rappresentare correttamente il riescono a rappresentare correttamente il comportamento dellcomportamento dell’’elemento da studiare.elemento da studiare.

�� Diversi possono essere i motivi di questa Diversi possono essere i motivi di questa inadeguatezza:inadeguatezza:�� La presenza di piLa presenza di piùù masse concentratemasse concentrate

�� La rigidezza dei vincoliLa rigidezza dei vincoli

�� Ecc.Ecc.


Modello a 1 Modello a 1 g.d.l.g.d.l.�� Per i cuscinetti la rigidezza si calcolarPer i cuscinetti la rigidezza si calcolar

�� Cuscinetti volventi k = bCuscinetti volventi k = b··d+cd+c�� d diametro nominaled diametro nominale

�� b = 1300 ; c = 62500 cuscinetti a sfereb = 1300 ; c = 62500 cuscinetti a sfere

�� b = 20000 ; c = 0 cuscinetti a rulli cilindricib = 20000 ; c = 0 cuscinetti a rulli cilindrici

�� b = 6000 ; c = 0 cuscinetti a rulli conici b = 6000 ; c = 0 cuscinetti a rulli conici

�� Cuscinetti a strisciamento k = 0.2Cuscinetti a strisciamento k = 0.2÷÷1.2 F1.2 Fvv//ψψ�� ΨΨ gioco radialegioco radiale

�� FFvv Reazione vincolareReazione vincolare

Sistema a n gradi di libertà

SISTEMI COMPLESSI


Vibrazioni flessionali di assi e alberiVibrazioni flessionali di assi e alberi

�� ll’’analisi dinamica dei sistemi meccanici ha come primo analisi dinamica dei sistemi meccanici ha come primo passo il calcolo dei modi propri di vibrare. passo il calcolo dei modi propri di vibrare.

�� I fenomeni vibratori, relativi ai sistemi con una I fenomeni vibratori, relativi ai sistemi con una dimensione prevalente, vengono solitamente suddivisi dimensione prevalente, vengono solitamente suddivisi tra vibrazioni flessionali e torsionali. tra vibrazioni flessionali e torsionali.

�� Tale schematizzazione Tale schematizzazione èè lecita per gli alberi a sezione lecita per gli alberi a sezione circolare per quali le deformazioni flessionali e torsionali circolare per quali le deformazioni flessionali e torsionali sono completamente sono completamente disaccoppiatedisaccoppiate. .

�� Nei casi di sezioni non simmetriche tale proprietNei casi di sezioni non simmetriche tale proprietàà non non èèpipiùù verificata e pertanto verificata e pertanto èè necessario affrontare il caso necessario affrontare il caso pipiùù complesso di vibrazioni complesso di vibrazioni flessoflesso--torsionalitorsionali..


Vibrazioni flessionaliVibrazioni flessionali

�� Supponiamo di avere una trave su cui Supponiamo di avere una trave su cui sono presenti n masse msono presenti n masse mii

�� La freccia in corrispondenza della massa iLa freccia in corrispondenza della massa i--esima esima èè pari apari a

�� Utilizzando le n espressioni si può scrivereUtilizzando le n espressioni si può scrivere

=−+++

=++−+

=+++−

0)1(............

................

0....)1...(

................

0...)1(

22

11

2

1

22

11

2

1

1

2

212

2

21

2

111

ncnnniciinc

nincniciiiic

nncncc

ymymym

ymymym

ymymym

ωαωααω

αωωααω

αωαωωα

nincniciiiici ymymymy αωωααω22

11

2

1....... +++=



Nello scrivere il sistema si Nello scrivere il sistema si èè assunto che tutta la massa assunto che tutta la massa del sistema sia concentrata negli n punti in cui sono del sistema sia concentrata negli n punti in cui sono posizionate le masse mi e che lposizionate le masse mi e che l’’elasticitelasticitàà del sistema sia del sistema sia rappresentata dai fattori drappresentata dai fattori d’’influenza influenza ααijij che esprimono il che esprimono il valore del freccia nel punto valore del freccia nel punto ii quando nel punto quando nel punto jj èèconcentrata una forza unitaria. Per la nota proprietconcentrata una forza unitaria. Per la nota proprietàà di di reciprocitreciprocitàà (Teorema di (Teorema di MaxwellMaxwell) ) èè ovviamente ovviamente ααijij== ααjiji

Il sistema scritto forma un sistema di equazioni Il sistema scritto forma un sistema di equazioni algebriche omogenee che ammette soluzione non algebriche omogenee che ammette soluzione non banale se banale se èè rispettata la condizione che il determinante rispettata la condizione che il determinante dei coefficienti dei coefficienti èè nullo nullo



Tale condizione consente di scrivere unTale condizione consente di scrivere un’’equazione di equazione di grado grado 2n2n nellnell’’incognita incognita ωωcc che, scartate le soluzioni che, scartate le soluzioni negative che non hanno senso fisico, permette di negative che non hanno senso fisico, permette di calcolare velocitcalcolare velocitàà critiche flessionali del sistema. critiche flessionali del sistema. LL’’equazione scritta equazione scritta èè detta detta ““ equazione secolare o delle equazione secolare o delle frequenzefrequenze”” e il metodo ora descritto e il metodo ora descritto èè denominato denominato ““metodo dei fattori di influenzametodo dei fattori di influenza””. La sua applicazione . La sua applicazione èèlegata alla conoscenza dei valori dei fattori di influenza. legata alla conoscenza dei valori dei fattori di influenza.

0

)1.......(........

)........1........(

.........)........1(

222

11

222

11

2

1

2

1

2

111

=

−

−

−

cnnncinicn

cninciiici

cnnciic

mmm

mmm

mmm

ωαωαωα

ωαωαωα

ωαωαωα



Schema di trave per il calcolo dei fattori di Schema di trave per il calcolo dei fattori di influenza influenza

aibi

j

i

aj bj

−+

⋅=

ii

j

i

j

i

ji

ijba

a

b

a

a

a

lEI

ba2

322

1 26

α



�� Il sistema di equazioni scritte risolve Il sistema di equazioni scritte risolve completamente il problema qualora le masse completamente il problema qualora le masse concentrate mi non siano dotate di momento concentrate mi non siano dotate di momento dd’’inerzia. Qualora esse siano invece inerzia. Qualora esse siano invece caratterizzate da un momento dcaratterizzate da un momento d’’inerzia proprio, inerzia proprio, siano ciosiano cioèè rappresentative di solidi a forma di rappresentative di solidi a forma di cilindro o cono, nasce un effetto aggiuntivo cilindro o cono, nasce un effetto aggiuntivo perchperchéé ll’’asse di rotazione effettivo, coincidente asse di rotazione effettivo, coincidente con la tangente alla deformata nel punto di con la tangente alla deformata nel punto di posizionamento, in generale non coincide con la posizionamento, in generale non coincide con la normale al piano medio dei dischi. Tale effetto normale al piano medio dei dischi. Tale effetto èèdetto giroscopico. detto giroscopico.



�� Il metodo esposto conduce a determinare con Il metodo esposto conduce a determinare con esattezza tutte le pulsazioni proprie di un esattezza tutte le pulsazioni proprie di un sistema a n masse concentrate.sistema a n masse concentrate.

�� Esistono molti metodi approssimati che hanno Esistono molti metodi approssimati che hanno sia un interesse applicativo sia storico.sia un interesse applicativo sia storico.

�� Un metodo di notevole interesse applicativo Un metodo di notevole interesse applicativo èèquello detto di quello detto di ““StodolaStodola”” dal nome di chi lo dal nome di chi lo propose per primo nei primi decenni del secolo propose per primo nei primi decenni del secolo scorso. Tale metodo scorso. Tale metodo èè fondato sullfondato sull’’uso di una uso di una procedura di calcolo iterativo facilmente procedura di calcolo iterativo facilmente automatizzabile.automatizzabile.



1) Si assume una deformata compatibile con i 1) Si assume una deformata compatibile con i vincoli [vincoli [yyii(k) e (k) e φφii(k)](k)]

2) Si fissa una velocit2) Si fissa una velocitàà angolare angolare ωω00

3)3) Si calcola la deformata della trave Si calcola la deformata della trave caricando lcaricando l’’albero con i carichi:albero con i carichi:

4)4) Si esegue il confronto tra la deformata Si esegue il confronto tra la deformata assunta (k) e quella ottenuta (k+1). Se le assunta (k) e quella ottenuta (k+1). Se le due deformate sono affini ciodue deformate sono affini cioèè èè sempre:sempre:

)(

)(

2

0

2

0

kIM

kymF

iii

iii

φω

ω

=

=

costante )1(

)(=

+ky

ky

i

i



�� la velocitla velocitàà critica cercata critica cercata èè pari:pari:

�� Se invece la condizione di affinitSe invece la condizione di affinitàà geometrica geometrica non non èè rispettata si deve cambiare forma alla rispettata si deve cambiare forma alla deformata iniziale (passo 1) per esempio deformata iniziale (passo 1) per esempio assumendo la deformata ricavata al passo 3. assumendo la deformata ricavata al passo 3. Assumendo un opportuno errore ammissibile Assumendo un opportuno errore ammissibile per il criterio di affinitper il criterio di affinitàà, si può proseguire il , si può proseguire il calcolo iterativamente fino al rispetto della calcolo iterativamente fino al rispetto della condizione assunta come accettabile. condizione assunta come accettabile.

1

1

+

+ =k

kkk

y

yωω



�� A tale punto il valore di velocitA tale punto il valore di velocitàà critica critica cercato può essere calcolato con una cercato può essere calcolato con una qualsiasi delle relazioni scritte oppure qualsiasi delle relazioni scritte oppure eseguendo la media tra tutti i valori eseguendo la media tra tutti i valori yyii(k)/(k)/yyii(k+1) e calcolando la velocit(k+1) e calcolando la velocitàà critica: critica:

∑=

++

=n

i i

ikk

ky

ky

n 1

1)1(

)(1ωω



�� Per la determinazione della prima velocitPer la determinazione della prima velocitààcritica critica èè possibile fare ricorso ad un possibile fare ricorso ad un metodo, approssimato per difetto, detto di metodo, approssimato per difetto, detto di ““DunkerlayDunkerlay”” e di applicazione e di applicazione particolarmente agevole. Lparticolarmente agevole. L’’equazione equazione secolare, determinata sviluppando il secolare, determinata sviluppando il metodo dei fattori di influenza, ha la metodo dei fattori di influenza, ha la caratteristica che definito caratteristica che definito λλ = 1 / = 1 / ωω22, il , il coefficiente del termine coefficiente del termine λλnn èè pari ad 1 e pari ad 1 e quello del termine quello del termine λλnn--11 èè pari a pari a ΣΣii ααiiii mmii..



�� Utilizzando la proprietUtilizzando la proprietàà delle equazioni delle equazioni algebriche per la qualealgebriche per la quale

�� ÈÈ possibile definire un metodo di calcolo possibile definire un metodo di calcolo approssimato assai celere. Infatti visto il approssimato assai celere. Infatti visto il significato dei fattori di influenza significato dei fattori di influenza èèpossibile scrivere per ciascun termine possibile scrivere per ciascun termine della somma a secondo membro che della somma a secondo membro che

∑ ∑= =

=n

i

n

i

iiii m1 1

αλ

2*

1

i

iiimω

α =



�� avendo indicato con avendo indicato con ωωii** la velocitla velocitàà critica critica che lche l’’albero avrebbe se su di esso fosse albero avrebbe se su di esso fosse presente la sola massa presente la sola massa mmii.. Considerando Considerando poi che le velocitpoi che le velocitàà critiche di ordine critiche di ordine superiore sono rapidamente crescenti superiore sono rapidamente crescenti èèpossibile ritenere:possibile ritenere:

∑=

≅n

i

i

2

0λ



�� In conclusioneIn conclusione

�� In tal modo In tal modo èè possibile determinare assai possibile determinare assai rapidamente la velocitrapidamente la velocitàà critica fondamentale. critica fondamentale. ÈÈda notare che anche per sistemi con pochi da notare che anche per sistemi con pochi volani il metodo fornisce valori che differiscono volani il metodo fornisce valori che differiscono di pochi percento da quelli esatti, con uno sforzo di pochi percento da quelli esatti, con uno sforzo di calcolo del tutto modesto. di calcolo del tutto modesto.

�� Il valore calcolato Il valore calcolato èè approssimato per difettoapprossimato per difetto

∑=

≅=n

i i12*

121

11

ωωλ



�� Un altro metodo particolarmente semplice da Un altro metodo particolarmente semplice da applicare applicare èè il seguente, detto di il seguente, detto di RayleighRayleigh-- RitzRitz::

�� In assenza di fenomeni dissipativi, durante un In assenza di fenomeni dissipativi, durante un fenomeno oscillatorio fenomeno oscillatorio

max,max,

costante

cinel

cinel

EE

EE

=

=+



�� DD’’altra parte si può scriverealtra parte si può scrivere

�� Che dimostra che per calcolare la pulsazione Che dimostra che per calcolare la pulsazione propria si può usare la deformazione statica.propria si può usare la deformazione statica.

�� Quindi lQuindi l’’espressione dellespressione dell’’energia per un energia per un sistema di n masse concentratesistema di n masse concentrate

�� Di conseguenzaDi conseguenza

sty

g

P

gK

gm

gK

m

K====ω

∑

∑

=

=

n

iiel

n

iicin

yPE

yPg

E

1

1

2

2

2

1

2

1 ω

2

1

1

i

n

i

i

n

i

yP

yP

g

∑

∑=ω



�� Anche questo metodo fornisce valori Anche questo metodo fornisce valori approssimati per eccesso.approssimati per eccesso.

�� Se il sistema ha una distribuzione di masse Se il sistema ha una distribuzione di masse continua, continua, èè sufficiente sostituire allsufficiente sostituire all’’operazione di operazione di sommatoria quella di integrazione.sommatoria quella di integrazione.

�� LL’’uso della deformata statica accelera anche il uso della deformata statica accelera anche il calcolo della pulsazione fondamentale mediante calcolo della pulsazione fondamentale mediante il metodo di il metodo di StodolaStodola..

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