AstronomiaLezione 14/11/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

Nel caso di equilibrio termodinamico vale a dire che ogni fotone assorbito corrispondead un fotone emesso, le temperature di ionizzazione, eccitazione, cinetica e di corpo nerosono le stesse.

Tuttavia questo non e’ vero per una stella: vi sono zone piu’ o meno calde, la temperaturapuo’ variare da punto a punto e vi è trasporto di energia.

In prima approssimazione pero’ si puo’ assumere la condizione di equilibrio termodinamicolocale ( Local Thermal Equilibrium, LTE) quando il cammino libero medio delle particelle che trasportano energia e’ molto minore delle distanze alle quali la temperatura varia significativamente.

Ad esempio la fotosfera e’ la zona dell’atmosfera solare da dove possono uscire i fotoni delSole. Considerando un modello di fotosfera si ha una variazione di temperatura da 5580 K a5790K lungo una distanza di 25 km. Possiamo considerare quindi l’altezza di scala della Temperatura come:

Atmosfere Stellari

Questa quantita’ va confrontata con il libero cammino medio delle particelle.Assumiamo che vi siano solo atomi di idrogeno allo stato fondamentale. DueAtomi di idrogeno si «scontreranno» se i loro centri sono ad una distanza minore diDue raggi si Bohr a0. Il problema e’ equivalente ad un singolo atomo di raggio 2a0 cheIncontra i centri di vari atomi.La densita’ alla fotosfera e’ e dunque si ha una densita’

di atomi di idrogeno.

Se un atomo ha velocita’ v in un tempo t avra’ coperto un volume pari a:

Dove s e’ la sezione d’urto collisionale. In questo volume ci sono

atomi di idrogeno che corrispondono al numero di urti lungo il cammino vt.Il cammino medio tra un urto e l’altro sara’ il cammino totale diviso il numero di urti,vale a dire il libero cammino medio:

Per un atomo di idrogeno: ETL OK per Idrogeno !

Opacita’Un raggio di luce che attraversa un gas perde fotoni per assorbimento.L’equazione che descrive questo processo e’ la seguente:

vale a dire che l’assorbimento per lunghezza d’onda e’ proporzionale al cammino ds nel gas, alla densita’ del gas e alla intesita’ iniziale stessa. La quantita’ kl e’ detta coefficiente diassorbimento o opacita’ e dipende dalla densita’, temperatura e composizione del gas.

Considerando la fotosfera del Sole si ha (a frequenze di 500 nm):

E quindi si ha che i fotoni vengono assorbiti ad una distanza:

Che e’ minore della altezza di scala di temperatura ma confrontabile.La condizione ETL vale quindi per gli atomi di idrogeno ma non propriamenteper i fotoni.La distanza sopra definita’ e’ il cammino libero medio del fotone, da cui si puo’ottenere la sezione d’urto usando la definizione precedente:

Opacita’

Consideriamo adesso la profondita’ ottica tl definita a partire dalla quantita’differenziale:

Il segno meno sta ad indicare che il moto del fotone e’ verso di noi mentre noiguardiamo le distanze a partire dalla Terra.Per un raggio di luce che percorre una distanza s si ha una variazione nella profondita’ ottica:

Dato che e’ una quantita’ negativa, vale a dire che la Profondita’ ottica diminuisce, possiamo porrela profondita’ ottica a zero sullasuperficie della stella e considerarlaCrescente mano a mano che andiamo all’interno dell’atmosfera stellare:

Nel caso di puro assorbimento abbiamo quindi:

Se il raggio parte da un punto dove la profodita’ ottica e’ pari a 1, l’intensita’ specifica sara’ diminuita di un fattore 1/e quando lascia la stella. La profondita’ ottica puo’ quindi essere pensata come collegata al numero dicammini liberi medi percorsi dal fotone nell’atmosfera stellare.

Un gas puo’ essere otticamente spesso se tl>>1 o otticamente sottile setl <<1

Profondita’ otticaChiaramente potremo osservare solo luce proveniente da regioni con profondita’ otticapiccola (pochi urti) con t=1 . Vedremo in realta’ che e’ possibile osservare luceProveniente al massimo da regioni con t=2/3.Questo porta a due conseguenze:

1- Ricordando che:

La temperatura della stella deve diminuire andando verso l’esterno (e cosi’ l’assorbimento)altrimenti non potremmo vedere le righe di assorbimento.

2- Oscuramento al bordo. Guardando una stella possiamo vedere piu’ in profondita’andando verso il centro rispetto all’esterno che ci apparira’ piu’ oscuro.

Legge dellasecante

Sorgenti Generali di Opacita’

I processi che danno luogo all’opacita’ di un raggio di luce ed ad un diminuire della suaIntensita’ possono provenire da un assorbimento dei fotoni che lo costituiscono (i fotoni inquesto caso scompaiono e la loro energia si trasforma in energia termica del gas) o in unoscattering del fotone in un’altra direzione (quindi ne vediamo meno). Se questi processi variano lentamente con la lunghezza d’onda, allora il coefficiente di assorbimento kl

dipende lentamente dalla lunghezza d’onda e l’assorbimento e’ continuo nello spettro.Altrimenti se varia rapidamente abbiamo la formazione di righe. Essenzialmente si hannoquattro meccanismi fisici che portano ad assorbimento o scattering di fotoni:

1- Transizioni legato-legato (bound-bound): In questo caso il fotone viene assorbito da un atomo e un elettrone si sposta a livello energetico piu’ alto. L’elettrone puo’ quindi tornare al livello di partenza e riemettere lo stesso fotone. In questo caso e’ un processo di scattering. Oppure puo’ tornare ad un livello diverso, quindi il fotone originario e’ perso come in un processo di assorbimento. Un importante sottoprodotto di questo processo di assorbimento e’ la degradazione dell’energia media dei fotoni del campo di radiazione. Se infatti l’elettrone si diseccita passando per due stati, emettera’ due fotoni di energia inferiore di quello iniziale.Per questo processo l’opac ita’ klBB e’ piccola per il continuo ed e’ rilevante solo per alcunefrequenze (righe)

2- Assorbimento legato-libero (bound-free): in questo caso il fotone ha abbastanza energia per Ionizzare l’atomo. Chiaramente tutti i fotoni con lunghezza d’onda minore di:

(dove cn e’ l’energia di ionizzazione si un atomo al livello di eccitazione n) sarannoassorbiti. Quindi questo processo con opacita’ klBF contibuisce al continuo. Il processo inverso (un elettrone viene catturato da un atomo emettendo un fotone) puo’ anch’esso ridurre l’energia media dei fotoni perche’ l’elettrone puo’ essere catturato in un’orbita piu’ esterna.

3- Assorbimento libero-libero (free-free). Se un elettrone passa accanto ad uno ione, questo puo’ frenare emettendo un fotone (radiazione di bremsstrahlung o di frenamento). IlProcesso che ci interessa e’ quello inverso, un elettrone passa accanto ad uno ione edaccelera assorbendo un fotone. L’opacita di questo processo klFF contribuisce quindial continuo.

4- Thomson Scattering (electron-scattering): quando un elettrone libero si scontra con un fotone si ha lo scattering Thomson. Questo puo’ avvenire a qualunque frequenza e quindi il coefficiente di opacita’ dello scattering Thomson klES non dipende dalla frequenza e quindi ha un effetto sul continuo dello spettro.Il valore della sezione d’urto dello scattering Thomson e’:

che e’ molto minore della sezione d’urto per ionizzazione dell’atomo di Idrogeno:

Quindi lo scattering Thomson ha effetto considerevole solo a grandi temperature,quando vi sono molti elettroni liberi nell’atmosfera stellare.

L’energia di ionizzazione di un atomo di idrogeno eccitato con l’elettrone nello stato n=2e’ pari a:

si ha quindi che se n=2 e’ popolato l’intensita’ della luce a lunghezze d’onda inferiori a

subira’ un assorbimento continuo dovuto all’assorbimento legato-libero.Questo Salto di Balmer e’ chiaramente visibile, ad esempio nel Sole (figura sopra).

Il massimo numero di atomi di idrogenoEccitati con n=2 si ha per temperature diCirca T=9900K. Queste sono le stelledi classe spettrale A0.

Il valore di 364.7nm al di sotto delQuale si ha il salto di Balmer e’ al centrodella banda U (365 nm).

Ci possiamo quindi aspettare chestelle di tipo A0 siano meno luminosein questa banda e quindi abbianoindice di colore U-B piu’ grande(U e’ magnitudine).

Le stelle di tipo A0 sono infatti quelle chesi discostano di piu’ da un corpo neroIn un diagramma colore-colore.(Vedi sopra).Il Salto di Balmer puo’ essere usato perdeterminare la temperatura dell’atmosferastellare.

Assorbimento da parte di ione negativo H- e altriPer stelle a temperature sufficientemente basse (sotto F0) il contributo maggiore allaopacita’ viene dallo ione negativo di idrogeno H-.Questo ione consiste in un atomo di idrogeno con 2 elettroni. La cosa e’ possibile seuno dei due elettroni e’ piu’ vicino al nucleo dell’altro. A causa della schermatura parzialeda parte del nucleo e’ possibile avere un tale tipo di configurazione stabile. L’energia di ionizzazione e’ molto bassa 0.754 eV corrispondente a 1640 nm.Per tutte le lunghezze d’onda inferiori a 1640 nm si avra’ assorbimento continuo,In stelle a bassa temperatura da classe F0 in giu’.

Per stelle di tipo A e B all’opacita’ contribuiscono maggiormente la fotoionizzazionedell’idrogeno e l’assorbimento free-free.

Per stelle di tipo O invece e’ piu’ importante l’assorbimento dovuto allo scattering Thomson.

per stelle molto fredde abbiamo assorbimento da parte di molecole per processi Legato-legato o legato-libero.

In generale quindi l’opacita’ totale in una stella sara’ la somma di diversi termini piu’ o menoimportanti:

l’opacita’ totale non dipende solo dalla lunghezza d’onda ma dalla temperatura, composizionee densita’ dell’atmosfera stellare.

E’ utile considerare una opacita’ che non dipende dalla lunghezza d’onda e considerarneuna media pesata. La media maggiormente utilizzata e’ la media di Rosseland che haIl maggior contributo dai valori di opacita’ k minori, pesata per le variazioni del corpo neroa quelle frequenze:

questo valore medio non dipende piu’ dalla frequenza ma dalla temperatura, densita’ e composizione della stella.

Opacita’ totale e media di Rosseland

Media di RosselandSfortunatamente non si hanno delle espressioni analitiche per le opacita’ medie nelcaso di sistemi legato-legato perche’ le transizioni sono troppo complesse.Si hanno pero’ le seguenti utili espressioni per i meccanismi legato-libero (bound-free)e libero-libero (free-free):

Dove r e’ la densita’ in kg/m^3, T e’ la temperatura in K, mentre X, Y e Z sono le Abbondanze in idrogeno, elio e metalli definite cosi’:

con, chiaramente, X+Y+Z=1. I termini gff e gbf sono chiamati fattori di Gaunt, hannoorigine quanto-meccanica e sono dell’ordine di 1. t invece e’ detto fattore di ghigliottinae vale da 1 a 100 e determina il cut-off dell’atomo ionizzato.

Media di RosselandQueste opacita’ hanno un andamento funzionale del tipo:

Dove il coefficiente k0 e’ praticamente costante una volta fissata la composizione della stella. Questo andamento prende il nome di legge di opacita’ di Kramers.

Per quanto riguarda lo scattering Thomson elettrone-fotone, questo non dipendedalla frequenza. Il valore medio di Rosseland e’ data da:

Per il termine di ionizzazione dello ione H- invece si ha la seguente formula approssimata:

nel caso in cui:

(i valori di X e Z sono tipici per stelle in sequenza principale).

Media di RosselandSi puo’ quindi considerare una opacita’ media totale:

Un calcolo teorico per valori di opacita’ totale in funzione della temperatura e densita’ e’ riportato in figura. Si ha che a) Aumentando la densita’ aumenta k a parita’ di Temperatura. Guardando a densita’ costante, il primo picco e’ dovuto alle transizioni legato-legato dell’idrogeno, la discesa seguente e’ invece dovuta a meccanismiLibero-legato e libero-libero (va come T^-3.5). I due picchi seguenti sono dovutiall’Elio He II ionizzato (T=40000K) e a metalli come il Ferro. Tutte le curve poi convergonoAd un solo valore dato da processi di scattering Thomson (che non dipende ne’ da densita’ne’ da temperatura).

Equazione del Trasporto RadiativoDurante il suo cammino il raggio luminoso potra’ anche incrementare la sua intensita’grazie a fenomeni di emissione. In questo caso:

dove jl e’ detto coefficiente di emissione. Considerando sia assorbimento che emissione si ha:

Dividendo ambo i membri si puo’ riscrivere come:

Ovvero:

Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente:

Equazione del Trasporto RadiativoDurante il suo cammino il raggio luminoso potra’ anche incrementare la sua intensita’grazie a fenomeni di emissione. In questo caso:

dove jl e’ detto coefficiente di emissione. Considerando sia assorbimento che emissione si ha:

Dividendo ambo i membri si puo’ riscrivere come:

Ovvero:

Detta equazione del trasporto radiativo, definendo come funzione sorgente: