AstronomiaLezione 9/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014(ancora non ci sono...portate pazienza!)

mailto:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

AstronomiaLezione 9/10/2014

Libri di testo consigliati:

- Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H. Freeman and Company, New York

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

Coordinate Celesti

Oggi continuo a trattarele coordinate celesti.Gli argomenti trattati li trovatemaggiormente su questo libro.Capitolo 2.

Trigonometria Sferica

Dato un sistema di assi cartesiani xyzcentrato nella sfera un qualunque puntoP sulla sfera puo’ essere individuatodagli angoli q e y come in figura.

Consideriamo anche un nuovo sistemadi riferimento x’ y’ z’ ruotato lungox di un angolo c come in figura.Si ha che:

Trigonometria Sferica

Data questa rotazione lecoordinate cartesiane saranno legate da:

e usando le relazioni precedentiotteniamo le seguenti equazionitra gli angoli:

Trigonometria SfericaSi chiama triangolo sferico un triangolosulla superficie sferica i cui lati sianotre archi di cerchi massimi AB, BC, CA.

Gli angoli corrispondenti a questi archisono c, a e b.

La lunghezza di un arco |AB| se la sferaè di raggio r è data da:

dove c è in radianti.La somma degli angoli A, B e C del triangolo sferico non e’ 180° ma e’ maggiore per un eccesso E dato da:

si puo’ dimostrare che l’area del triangolo sferico e’ allora (con E in radianti):

Trigonometria Sferica

Il punto P e i due assi z e z’ possono identificarei vertici di un triangolo sferico.Dalla figura si ha che i vari angoli sono connessicon gli angoli del triangolo sferico tramite:

Trigonometria SfericaRicordando adesso che tra i due sistemi di riferimentovalgono:

possiamo sostituire con gli angoli deltriangolo sferico ottenendo queste relazioni:

da cui, con varie permutazioni si ottiene:

Coordinate orizzontali o altazimutaliIl piano di riferimento e’ l’orizzonte., il piano tangente alla terra che contiene l’osservatore.

La retta perpedincolare all’orizzonte passanteper l’osservatore identifica due poli celesti:lo Zenith (sopra l’osservatore) ed il Nadir (il polo opposto).I cerchi massimi attraverso lo Zenith sono chiamate verticali ed intersecano l’orizzonteperpendicolarmente.Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat.

Quindi come coordinate si usano:

l‘altezza (a) è l’angolo dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90° e +90°.Si usa anche la distanza di zenith z con z=(90° -a)l‘azimut (A) è l’angolo tra il punto Sud e il piede dell'astro (corrispondente alla distanza angolare tra meridiano locale e meridiano passante per l'astro), misurata in senso orario, e varia tra 0° e 360°. Attenzione pero’ che la definizione cambia !!

http://it.wikipedia.org/wiki/Grado_d%27arco

Coordinate EquatorialiIl sistema equatoriale usa come cerchi di riferimento l'equatore e il meridiano passante per il punto gamma g. Il punto g corrisponde all’intersezione tra il pianodell’equatore e quello dell’eclittica dove ha luogoLa rivoluzione terrestre intorno al sole.Le coordinate sono la declinazione d e l'ascensione retta a, misurate a partire, rispettivamente, dall'equatore verso il Polo Nordceleste (vicino alla stella polare) e dal punto gamma g in senso antiorario. Il moto diurno delle stelle avviene parallelamente all'equatore celeste e il punto gamma si comporta come un qualsiasi oggetto celeste, per cui le coordinate equatoriali non cambiano con il trascorrere del tempo. Questo sistema di coordinate si muove, nelle 24 ore, insieme ai corpi celesti ed è indipendente dalla latitudine del luogo. a si misura in ore, minuti, secondi (di tempo); d si misura in gradi, primi, secondi (d'arco)

Coordinate Equatoriali

Il punto gamma vernale è anche noto con il nome di punto dell'Ariete o primo punto d'Ariete perché in corrispondenza dell'equinozio di primavera di circa 2100 anni fa (più precisamente nel periodo 2000 a.C. ÷ 100 a.C.), il Sole si trovava nella costellazione dell'Ariete. Oggi a causa della precessione degli equinozi non è più così e in corrispondenza dell'equinozio di primavera il Sole si trova nella costellazione dei Pesci; a partire dal 2700 d.C. si troverà in quella dell'Acquario e così via fino al completamento dell'intero zodiaco.

Il moto del sole sulla sfera celeste cambia nei giorni dato che il piano dell’equatore Interseca quello dell’eclittica. Il moto del sole apparira’ quindi andare da sud a nordnell’equinozio vernale (in primavera) e da nord a sud nell’equinozio autunnale(detto punto omega o della Bilancia).

Analemma Solare

Coordinate Equatoriali

Quando osserviamo con il telescopiotrovare la declinazione e’ semplice perche’uno degli assi del telescopio e’ orientatocome l’asse di rotazione terrestre.

Per l’ascensione retta si prende comeriferimento un meridiano (es. il Sud).

L’angolo orario h e’ la distanza angolareDi una stella rispetto a questo meridiano.Si chiama tempo siderale l’angolo orariodel punto vernale. Dalla figura e’ chiaro che:

Quindi in pratica:- Si misura h di una stella di cui si conosce l’ascensione retta.- Si conosce quindi il tempo siderale e tutte le altre stelle si possono quindi trovare conoscendone l’ascensione retta da un catalogo.

Passaggio da coordinate orizzontalia coordinate equatoriali.

Il passaggio da coordinate orizzontali a Equatoriali puo’ essere fatto considerando iltriangolo sferico con i vertici la stella, lo zenithed il polo nord. Guardando la figura si ha:

Da cui, usando le formule precedenti:

dove f e’ la latitudine dell’osservatore.

Coordinate eclittiche

In questo sistema di coordinate si usa come piano di riferimento il piano dell’eclittica.Si ha una latitudine eclittica indicata da b e una longitudine eclittica indicata con l.La longitudine si misura dal punto vernale in senso antiorario. La latitudine e’ la distanza angolare dal piano dell’eclittica. Queste coordinate possono essere geocentriche o eliocentriche. Per oggetti vicini c’e’ una differenza tra i due tipi di coordinate, per quellilontani no.

Passaggio coordinate eclittiche-coordinate equatoriali.

I due sistemi di riferimento differiscono solo per la differente orientazione dei piani avendoentrambe in ascissa come riferimento il punto gamma o vernale.Ricordando quindi la trasformazione di coordinate tra angoli trovata precedentementedata da:

Considerando quindi gli angoli si ha:

Con e che indica l’inclinazione tra i due piani e pari a circa 23° 26’

Coordinate Galattiche

Per le coordinate galattiche si usa come piano il piano della galassia .Si ha una latitudine galattica b ed una longitudine galattica i.Quest’ultima e’ calcolata partendo dal centro della Galassia (nel Sagittario) in senso antiorario.

Perturbazioni alle coordinate

Abbiamo visto che le coordinate orizzontali dipendono dal tempo e dalla posizione.Le coordinate equatoriali invece sono fisse con la sfera celeste, tuttavia vari fenomeniperturbano queste coordinate e sono necessarie delle correzioni.Gli effetti perturbativi di cui tenere conto sono:

- Precessione

- Nutazione

- Parallasse

- Aberrazione

- Rifrazione

Precessione

La Terra possiede un moto di precessione: il suo asse di rotazione ruota lentamente (con un ciclo di 25.800 anni) intorno alla perpendicolare al piano della sua orbita, rispetto alla quale è inclinato di circa 23°26'. Questo fenomeno è dovuto all'attrazione del Sole e della Luna, e al fatto che la sua forma non è esattamente sferica. Si parla di precessione degli equinozi, in quanto tra gli effetti della precessione vi è quello di spostare lentamente i punti equinoziali lungo la volta celeste. Questo fenomeno fa sì che la linea degli equinozi (cioè il segmento congiungente i due punti dell'orbita terrestre in cui si verificano gli equinozi) ruoti. Il punto vernale si muove quindi di circa 50 arcosecondi l’anno in senso orario. Questoporta ad un incremento della longitudine eclittica.Inoltre al presente l’asse di rotazione punta verso la stella polare con una incertezza di un grado.Fra 12000 anni puntera’ invece approssimativamente verso la stella Vega.

Precessione

Lo schiacciamento della Terra ai poli può essere schematizzato ipotizzando la Terra sferica con una massa anulare (in azzurro) intorno all'equatore. L'attrazione gravitazionale (in verde) esercitata sulla massa anulare dà origine a una coppia (in arancione) che, nel tentativo di raddrizzare la Terra, sposta l'asse di rotazione (in magenta con senso antiorario) verso una nuova direzione (in giallo con senso antiorario), dando luogo al movimento di precessione degli equinozi (in bianco con senso orario).

PrecessioneAndiamo adesso a vedere come la precessione cambia le coordinate equatoriali.Le equazioni per il cambiamento di coordinate da eclittiche ad equatoriali sono:

Differenziando l’ultima si trova:

Il cambiamento di coordinate inverso (da equatoriali ad eclittiche) e’ invece dato da:

Applicando la seconda equazione al secondo membro della precedente si trova:

Precessione

Differenziando l’equazione (la seconda del cambiamento ecliitica-equatoriale):

si trova:

Usando questa equazione nell’espressione precedente per dd e usando anche

si ottiene :

Da cui semplificando otteniamo:

PrecessioneIn pratica quindi si ha che per ogni cambiamento di longitudine eclittica dl si ha:

dl incrementa di circa 50’’ l’anno. Le equazioni precedenti si possono scrivere anchecome:

dove:

m ed n cambiano anch’esse con il tempo ma molto piu’ lentamente. Si ha

Nutazione

Anche la luna subisce un precessione con un periodo di circa 18.6 anni.Questo crea dei piccoli ondeggiamenti anche sull’asse terrestre con lo stesso periodo.Il calcolo degli effetti della nutazione sono molto piu’ complicati.Fortunatamente l’effetto e’ inferiore a 0.5’’ nelle coordinate.

Parallasse

Si tratta della tecnica più nota tra quelle utilizzate in campo astronomico per le distanze di stelle e pianeti "vicini". È molto semplice in quanto permette, dati:l'angolo P con cui si vede sullo sfondo un oggetto la lunghezza di base A tra i due punti di vista la distanza D dall'oggetto di ricavare la distanza D mediante una semplice formula trigonometrica:D=(A/2)tang (P")con l'angolo misurato P, ad esempio, in secondi di arco.Con questo metodo non si misurano direttamente le distanze ma gli angoli, è da questi che è possibile risalire, sfruttando l'effetto della proiezione sullo sfondo, al dato fisico della distanza. In astronomia quello che è determinante è la scelta della lunghezza di base. A tale scopo si scelgono:il raggio terrestre Rt

si misura la parallasse geocentrica o diurna della Lunasi misura la parallasse di Marteutilizzando i transiti dei pianeti interni sul Sole si ottiene la parallasse solare cioè la distanza Terra-Sole w il raggio dell'orbita terrestre.

Parallasse

Se scegliamo il raggio terrestre (Rt= 6378 km) come base per il calcolo della parallasse (diamo quindi per scontata la conoscenza della sfericità della Terra) ecco che siamo in grado di determinare, calcolata la parallasse geocentrica P, la distanza della Terra, ad esempio, dalla Luna secondo la formula:DL= Rt sen (P")dove:DL è la distanza geocentrica della LunaRt è il raggio terrestreP" è l'angolo di parallasse geocentrica o diurna in secondi di arcoIl calcolo della parallasse Lunare non è semplice, ma comunque porta a determinare i seguenti valori:PL= 3422.7" (secondi d'arco) DL= 384 400 km

Aberrazione

Se siamo in moto rispetto ad un oggetto questo ci apparira’ sottendere un angolo inferiore.Questo fenomeno e’ chiamato aberrazione e dipende dalla velocita’ finita della luce.L’effetto e’ dato da:

Il massimo effetto e’ dovuto al moto orbitale della terra (pari a circa 21’’) mentre l’effettoDella rotazione terrestre e’ 0.3’’.

Rifrazione

La luce di un corpo celeste passa attraverso differenti strati dell’atmosfera ciascuno con Indice di rifrazione diverso. Questo porta ad un dislocamento dell’astro dalla sua posizionevera. Applicando la legge di Snell ai vari strati (z e’ la distanza di zenith) si ha:

Rifrazione

Per piccoli angoli di rifrazione R=z-z si puo’ scrivere:

Ovvero:

come valore medio si ha:

Ci sono due punti da considerare pero’:

1) allo zenith non si dovrebbe avere rifrazione ma questo e’ vero solo se i vari atmosferici sonoParalleli, cosa che non avviene.2) La formula precedente vale solo per piccoli angoli. Per il Sole al tramonto si ha circa 35’, praticamente il suo diametro. (noi vediamo il sole quando e’ gia’ tramontato).

Rifrazione

Discussione delle leggidi Keplero e Newtonle trovate qui.

Galileo e Newton

Galileo: Padre della fisica moderna. Principio di Relativita’ Galileana, fasi di Venere (quindi non brilla di luce propria),Satelliti di Giove.Newton parte da Galileo per formulare le sue famose 3 Leggi.

Leggi di Newton- Legge di Inerzia. Un oggetto in quiete rimarra’ in quiete, un oggetto in motorimarra’ in moto uniforme percorrendo una linea retta. (e’ una definizione di sistemadi riferimento inerziale!).L’impulso p=mv di una particella non soggetta a forze e’ costanteIn un sistema di riferimento inerziale.

- La forza netta (la somma di tutte le forze) su di un oggetto e’ proporzionale alla massadell’oggetto e la sua accelerazione risultante.

- Per ogni azione c’e’ una reazione opposta e contraria.

Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.

Terza Legge di Keplero

Assumendo orbita circolare:

Inserendo nella Terza Legge di Keplero:Inserendo nella Terza Legge di Keplero:

Moltiplicando ambo i membri:

Si ha:Usando la II legge di

Newton questa e’ la forza a cui e’ soggetto il pianeta

Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.

Usando la III Legge di Newton abbiamo che la forza esercitata sull’altro pianeta di massa M sara’:

Uguagliando le due forze in modulo si ha:

dove e

definendo abbiamo la Legge di Gravitazione !:

Legge di Gravitazione Per due corpi sferici (non punti materiali)

Adesso deriviamo le leggi di Keplero dalle leggi di Newton….

Le tre leggi di Keplero:- Le orbite dei pianeti sono ellittiche- Coprono aree uguali in tempi uguali-

1 AU = Astronomical Unit – Distanza media Terra-Sole

Equazione dell’ellisse:

a e’ una costante detta semi-asse maggiore.b e’ il semiasse minore.F e F’ sono i due punti focali dell’ellisse. Il Sole e’ nel punto focale maggiore F.e e’ l’eccentricita’ dell’ellisse e va da 0 a 1. e’ definita come la distanza di uno dei fuochidivisa a. e=0 e’ un cerchio.Il punto piu’ vicino al fuoco principale e’ detto perielio, quello opposto afelio.Si puo’ dimostrare che:

Introduciamo il momento angolare:

Deriviamo rispetto al tempo :

Se non abbiamo forze esterne: conservazione del momento angolare.

Centro di massa

Per 2 oggetti

Per i=1,..,N oggetti

Derivando per t

Derivando ancora:

(Per la III Legge di Newton)

Prendiamo un riferimento con

Definiamo come «massa ridotta» del sistema:

Ora scriviamo l’energia totale del sistema:

Inseriamo:

inoltre :

L’energia totale e’ quindi:

Raggruppando:

fornisce:

con

L’energia totale del sistema e’ data dall’energia cinetica di una particella con massa pari alla massa ridotta e con energia potenziale data da un sistema massa ridotta-massa totale

Allo stesso modo per il momento angolare:

Inserendo:

Abbiamo :

Il momento angolare totale e’ dato da una particella con massapari a massa ridotta, che si muove a velocita’ pari alla differenzaDelle due velocita’ e a distanza

Il problema a due corpi e’ equivalente ad un sistema ad un singolo corpo di massa pari alla massa ridotta che si muove attorno ad una massa M con massa pari allaMassa totale.

Diapositiva 1Diapositiva 2Coordinate CelestiDiapositiva 4Diapositiva 5Diapositiva 6Diapositiva 7Diapositiva 8Diapositiva 9Diapositiva 10Diapositiva 11Diapositiva 12Diapositiva 13Diapositiva 14Diapositiva 15Diapositiva 16Diapositiva 17Diapositiva 18Diapositiva 19Diapositiva 20Diapositiva 21Diapositiva 22Diapositiva 23Diapositiva 24Diapositiva 25Diapositiva 26Diapositiva 27Diapositiva 28Diapositiva 29Diapositiva 30Diapositiva 31Diapositiva 32Diapositiva 33Diapositiva 34Diapositiva 35Diapositiva 36Diapositiva 37Diapositiva 38Diapositiva 39Diapositiva 40Diapositiva 41Diapositiva 42Diapositiva 43Diapositiva 44Diapositiva 45Diapositiva 46Diapositiva 47Diapositiva 48