AstronomiaLezione 3/10/2014

Docente: Alessandro Melchiorrie.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it

Slides delle lezioni:oberon.roma1.infn.it/alessandro/astro2014

AstronomiaLezione 3/10/2014

Libri di testo consigliati:

- Universe, R. Freedman, w. Kaufmann, W.H. Freeman and Company, New York

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A. Ostlie, Addison Wesley

Coordinate Celesti

Oggi cominceremo a trattarele coordinate celesti.Gli argomenti trattati li trovatemaggiormente su questo libro.

La Sfera Celeste

Platone (350 A.C.) fu forse il primoa proporre un modello geocentricocon le stelle fisse che ruotano su diuna «sfera celeste» con un asseChe passa attraverso il polo nord esud della terra identificando unPolo nord e sud celeste.

Trigonometria Sferica

Data una sfera e’ possibile individuaredei cerchi come intersezioni tra lasuperficie della sfera e dei piani.Se un piano contiene il centro dellasfera questo prende il nome di cerchio massimo (Great Circle).

Gli altri cerchi prodotti da intersezionicon piani non contenenti ilcentro si chiamano cerchi minori(small circle).

Due punti collegati da una retta passanteper il centro ed ortogonale ad uncerchio massimo si chiamano poli delcerchio massimo.

Trigonometria SfericaSi chiama triangolo sferico un triangolosulla superficie sferica i cui lati sianotre archi di cerchi massimi AB, BC, CA.

Gli angoli corrispondenti a questi archisono c, a e b.

La lunghezza di un arco |AB| se la sferaè di raggio r è data da:

dove c è in radianti.La somma degli angoli A, B e C del triangolo sferico non e’ 180° ma e’ maggiore per un eccesso E dato da:

si puo’ dimostrare che l’area del triangolo sferico e’ allora (con E in radianti):

Trigonometria Sferica

Dato un sistema di assi cartesiani xyzcentrato nella sfera un qualunque puntoP sulla sfera puo’ essere individuatodagli angoli q e y come in figura.

Consideriamo anche un nuovo sistemadi riferimento x’ y’ z’ ruotato lungox di un angolo c come in figura.Si ha che:

Trigonometria Sferica

Data questa rotazione lecoordinate cartesiane saranno legate da:

e usando le relazioni precedentiotteniamo le seguenti equazionitra gli angoli:

Coordinate terrestriOgni punto sulla terra puo’ essere identificatotramite due coordinate.Il piano di riferimento e’ il piano equatoriale cheè ortogonale all’asse della rotazione terrestree che contiene il centro della terra.La sua intersezione con la sfera terrestre disegna l’equatore.I cerchi minori paralleli all’equatore sonodetti paralleli. I semi archi di cerchio massimo che collegano i due poli sono detti meridiani.

Dato un punto la sua longitudine e’ l’angoloche forma il meridiano passante per il punto conIl meridiano fondamentale passante per Greenwich.si misura generalmente in ore [0-24], incrementando andando verso ovest pero’vi sono convenzioni diverse.

Con latitudine si definisce la latitudine geografica che e’ l’angolo che forma il filo a piombocon il piano equatoriale. E’ positivo nell’emisfero nord, negativo in quello sud[es. 90° al polo nord, -90° al polo sud]. Si puo’ facilmente misurare misurando l’altezza del polo celeste (misurare la longitudine e’ molto piu’ difficile).

Coordinate terrestri

La terra non è però sferica ma e’ uno sferoide oblato.L’angolo tra la retta perpedicolare alla tangentein un punto e l’equatore e’ detta latitudine geodetica ed e’ molto similealla latitudine geografica.Tuttavia il filo a piombo non puntera’ versoil centro dello sferoide (lo fa solo sull’equatoree ai poli). Si chiama latitudine geocentrica l’angolotra la retta passante tra il centro dello sferoideed il punto e il piano dell’equatore.Se f è la latitudine geografica e f’ la latitudinegeocentrica si ha:

La Sfera Celeste

Platone (350 A.C.) fu forse il primoa proporre un modello geocentricocon le stelle fisse che ruotano su diuna «sfera celeste» con un asseChe passa attraverso il polo nord esud della terra identificando unPolo nord e sud celeste.

Coordinate orizzontali o altazimutaliIl piano di riferimento e’ l’orizzonte., il piano tangente alla terra che contiene l’osservatore.

La retta perpedincolare all’orizzonte passanteper l’osservatore identifica due poli celesti:lo Zenith (sopra l’osservatore) ed il Nadir (il polo opposto).I cerchi massimi attraverso lo Zenith sono chiamate verticali ed intersecano l’orizzonteperpendicolarmente.Le circonferenze minori formate dai punti di uguale altezza sono i cerchi d'altezza o almucantarat.

Quindi come coordinate si usano:

l‘altezza (a) è l’angolo dell'astro dall'orizzonte, e varia tra -90° e +90°.Si usa anche la distanza di zenith z con z=(90° -a)l‘azimut (A) è l’angolo tra il punto Sud e il piede dell'astro (corrispondente alla distanza angolare tra meridiano locale e meridiano passante per l'astro), misurata in senso orario, e varia tra 0° e 360°. Attenzione pero’ che la definizione cambia !!

Coordinate orizzontali o altazimutali

In questo sistema di riferimento le stelle si muovono da Est ad Ovest. Le coordinate diuna stella dipendono quindi dal tempo.Non solo, il sistema di riferimento dipende dalla posizione sulla terra dell’osservatore.In figura vediamo il moto delle stelle visto da un osservatore a due latitudini diverse.Chiaramente non possiamo costruire un catalogo astronomico di stelle usando queste coordinate !!!

Coordinate EquatorialiIl sistema equatoriale usa come cerchi di riferimento l'equatore e il meridiano passante per il punto gamma g. Il punto g corrisponde all’intersezione tra il pianodell’equatore e quello dell’eclittica dove ha luogoLa rivoluzione terrestre intorno al sole.Le coordinate sono la declinazione d e l'ascensione retta a, misurate a partire, rispettivamente, dall'equatore verso il Polo Nordceleste (vicino alla stella polare) e dal punto gamma g in senso antiorario. Il moto diurno delle stelle avviene parallelamente all'equatore celeste e il punto gamma si comporta come un qualsiasi oggetto celeste, per cui le coordinate equatoriali non cambiano con il trascorrere del tempo. Questo sistema di coordinate si muove, nelle 24 ore, insieme ai corpi celesti ed è indipendente dalla latitudine del luogo. a si misura in ore, minuti, secondi (di tempo); d si misura in gradi, primi, secondi (d'arco)

Coordinate Equatoriali

Il punto gamma vernale è anche noto con il nome di punto dell'Ariete o primo punto d'Ariete perché in corrispondenza dell'equinozio di primavera di circa 2100 anni fa (più precisamente nel periodo 2000 a.C. ÷ 100 a.C.), il Sole si trovava nella costellazione dell'Ariete. Oggi a causa della precessione degli equinozi non è più così e in corrispondenza dell'equinozio di primavera il Sole si trova nella costellazione dei Pesci; a partire dal 2700 d.C. si troverà in quella dell'Acquario e così via fino al completamento dell'intero zodiaco.

Il moto del sole sulla sfera celeste cambia nei giorni dato che il piano dell’equatore Interseca quello dell’eclittica. Il moto del sole apparira’ quindi andare da sud a nordnell’equinozio vernale (in primavera) e da nord a sud nell’equinozio autunnale(detto punto omega o della Bilancia).

Analemma Solare

Piano dell’Eclittica e Piano Equatoriale

Il piano equatoriale celeste e’ definito come il piano passante per l’equatore della terraed intersecante la volta celeste. Questo forma un angolo di circa 23.5° con il piano dell’eclittica. Per questo angolo l’eclittica si muove su e giu’ in un anno rispetto all’equatore.Si ha quando il sole interseca il piano equatoriale:

- Equinozio di Primavera (notte e giorno uguali in durata) 21 o 22 Marzo- Equinozio d’ Autunno 22 o 23 Settembre

Agli estremi abbiamo (il giorno e la notte piu’ lunghi):

- Solstizio d’estate 20 o 21 Giugno- Solstizio d’inverno 21 o 22 Dicembre

Coordinate Equatoriali

Quando osserviamo con il telescopiotrovare la declinazione e’ semplice perche’uno degli assi del telescopio e’ orientatocome l’asse di rotazione terrestre.

Per l’ascensione retta si prende comeriferimento un meridiano (es. il Sud).

L’angolo orario h e’ la distanza angolareDi una stella rispetto a questo meridiano.Si chiama tempo siderale l’angolo orariodel punto vernale. Dalla figura e’ chiaro che:

Quindi in pratica:- Si misura h di una stella di cui si conosce l’ascensione retta.- Si conosce quindi il tempo siderale e tutte le altre stelle si possono quindi trovare conoscendone l’ascensione retta da un catalogo.

Coordinate eclittiche

In questo sistema di coordinate si usa come piano di riferimento il piano dell’eclittica.Si ha una latitudine eclittica indicata da b e una longitudine eclittica indi cata con l.La latitudine si misura dal punto vernale in senso antiorario. La longitudine e’ la distanza angolare dal piano dell’eclittica. Queste coordinate possono essere geocentriche o eliocentriche. Per oggetti vicini c’e’ una differenza tra i due tipi di coordinate, per quellilontani no.

Passaggio coordinate eclittiche-coordinate equatoriali.

I due sistemi di riferimento differiscono solo per la differente orientazione dei piani avendoentrambe in ascissa ome riferimento il punto gamma o vernale.Ricordando quindi la trasformazione di coordinate tra angoli trovata precedentementedata da:

Considerando quindi gli angoli si ha:

Con e che indica l’inclinazione tra i due piani e pari a circa 23° 26’

Discussione delle leggidi Keplero e Newtonle trovate qui.

Il moto retrogrado dei pianeti

Alcune stelle pero’ mostrano di non seguire l’andamento delle stelle fisse ma sono comeerranti, queste sono chiamate «pianeti» (dal termine di «vagabondo» in greco».In particolare un pianeta come Marte si muove lentamente da ovest ad est rispetto alle stelle fisse ma poi «tornare indietro» ad un certo momento per poi ritornare al motonormale.

Ipparco (150 a.c.) risolse il problema del moto retrogrado mettendo i pianeti aRuotare attorno a dei piccoli epicicli che a loro volta ruotavano in modo piu’ ampioAttorno alla terra lungo un deferente.

Il sistema Tolemaico

Con il progredire delle osservazioni il sistema degli epicicli non andava piu’ bene.Tolomeo (circa 100 d.c.) introduce allora l’equante. Gli epicicli ruotano circolarmente a velocita’ angolare costante intorno all’equante che e’ dislocato rispetto al centrodel deferente (centro della terra). L’idea platonica di moto circolare uniforme e’ praticamentescomparsa. Il modello tolemaico divenne sempre piu’ complesso aggiungendo «epicicli»ulteriori negli anni ma non venne messo in discussione per secoli.

La rivoluzione CopernicanaIl modello Copernicano era molto piu’ semplice e permetteva di risolvere anche altri punti:

- Mercurio e Venere vengono vistial massimo ad una distanza di 28° e 47° rispettivamente dal Sole (non sono mai in opposizione). Per questo prendono il nome e di pianeti inferiori o interni. Si definiscono Massima Elongazione est o ovest le loro massime distanze angolari dal Sole. Solo questi pianeti possono trovarsi tra la terra ed il Sole (congiunzione inferiore).

- Gli altri pianeti (Marte, Giove, Saturno, etc) sono su orbite esterne, si chiamano pianeti superiori o esterni si possono trovare in opposizione e congiunzione (vedi figura).

Modello Copernicano e Pianeti «Retrogradi»

Il sistema Copernicano spiega in modo elegante il moto retrogrado di pianeti come Marte.La Terra occupando una orbita piu’ interna ruota piu’ velocemente di Marte attornoal Sole. Il passaggio in 3,4,5 di Marte in opposizione spiega l’apparente moto retrogradodel pianeta.

Tycho Brahe 1546-1601

Brahe, astronomo danese, per primo identifica la SN-1572 come appartenente alla voltaCeleste (il cielo non e’ piu’ immutabile). Dirige e costruisce l’osservatorio di Uraniborg grazie al re Federico II (1576). Il piu’ grande investimento scientifico (in termini di PIL) che si ricordi. Alla morte del re gli tagliano I fondi e va a Praga (1597) dal re Rodolfo II, portando con se i dati delle sue preziose osservazioni. Uraniborg viene distrutta dal popolodanese furioso per le tasse elevate.

Una immagine di SN1572 (oggi) e della grande cometa del 1577.Notare come le osservazioni fossero senza telescopi (inventati da Galileo in seguito).Notare gli orologi (vero simbolo di alta tecnologia dell’ epoca).

Johannes Kepler 1571-1630

SN-1604

Studente di Brahe, dai dati portati da Tycho a Praga determina che l’orbita di martee’ ellittica.

Le tre leggi di Keplero:- Le orbite dei pianeti sono ellittiche- Coprono aree uguali in tempi uguali-

1 AU = Astronomical Unit – Distanza media Terra-Sole

Equazione dell’ellisse:

a e’ una costante detta semi-asse maggiore.b e’ il semiasse minore.F e F’ sono i due punti focali dell’ellisse. Il Sole e’ nel punto focale maggiore F.e e’ l’eccentricita’ dell’ellisse e va da 0 a 1. e’ definita come la distanza di uno dei fuochidivisa a. e=0 e’ un cerchio.Il punto piu’ vicino al fuoco principale e’ detto perielio, quello opposto afelio.Si puo’ dimostrare che:

Galileo e Newton

Galileo: Padre della fisica moderna. Principio di Relativita’ Galileana, fasi di Venere (quindi non brilla di luce propria),Satelliti di Giove.Newton parte da Galileo per formulare le sue famose 3 Leggi.

Leggi di Newton- Legge di Inerzia. Un oggetto in quiete rimarra’ in quiete, un oggetto in motorimarra’ in moto uniforme percorrendo una linea retta. (e’ una definizione di sistemadi riferimento inerziale!).L’impulso p=mv di una particella non soggetta a forze e’ costanteIn un sistema di riferimento inerziale.

- La forza netta (la somma di tutte le forze) su di un oggetto e’ proporzionale alla massadell’oggetto e la sua accelerazione risultante.

- Per ogni azione c’e’ una reazione opposta e contraria.

Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.

Terza Legge di Keplero

Assumendo orbita circolare:

Inserendo nella Terza Legge di Keplero:Inserendo nella Terza Legge di Keplero:

Moltiplicando ambo i membri:

Si ha:Usando la II legge di

Newton questa e’ la forza a cui e’ soggetto il pianeta

Legge di Keplero, Leggi di Newton e Legge di Gravitazione Universale.

Usando la III Legge di Newton abbiamo che la forza esercitata sull’altro pianeta di massa M sara’:

Uguagliando le due forze in modulo si ha:

dove e

definendo abbiamo la Legge di Gravitazione !: