Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Lezione 13

Modelli Media Varianza

Utilità attesa e modello media-varianza

• Nella teoria dell’utilità attesa, le scelte di investimento vengono ordinate sulla base di due funzioni– La funzione di probabilità del rendimento degli investimenti– La funzione di utilità che descrive la propensione al rischio

dell’investitore• Nel modello più noto di allocazione del portafoglio le scelte tra diversi

investimenti vengono caratterizzate in termini di rendimento atteso e varianza: è il cosiddetto modello media-varianza

• Il modello media-varianza è una rappresentazione precisa del problema di utilità attesa solo nei casi in cui– La funzione di utilità è quadratica – La distribuzione dei rendimenti è normale

• Negli altri casi la rappresentazione in termini di media e varianza è un’approssimazione dell’utilità attesa, basata su un’espansione di Taylor intorno al rendimento medio e arrestata al secondo ordine.

Il modello media-varianza• In un modello media-varianza dobbiamo definire1. L’insieme delle combinazioni di titoli che garantiscono le migliori combinazioni

rischio-rendimento atteso. Domanda: qual è il rischio più basso che possiamo conseguire per ogni target di rendimento atteso? Riportando queste relazioni su un grafico otteniamo la frontiera efficiente

2. L’insieme delle combinazioni di rischio e rendimento che determinano lo stesso grado di utilità.

Domanda: quanto rendimento atteso in più richiediamo per compensare un aumento del rischio della nostra posizione, in modo che la nostra utilità attesa resti immutata? Riportando queste relazioni su un grafico otteniamo l’isoquanto della funzione di utilità.

• Il portafoglio ottimo sarà quella combinazione di titoli che appartiene alla frontiera efficiente e che consente di raggiungere il livello di utilità più alto possibile.

• Graficamente il portafoglio ottimo ha rendimento atteso e varianza corrispondenti al punto di tangenza dell’isoquanto della funzione di utilità e della frontiera efficiente.

Utilità attesa e modelli media varianza

• Secondo l’utilità attesa, le scelte di investimento sono ordinate sulla base di due funzioni– La distribuzione di probabilità della lotteria

– La funzione di utilità che determina la preferenza per il rischio

• Nel modello più noto (media-varianza) le scelte sono ordinate secondo i primi due momenti (media e varianza, appunto)

Modelli media varianza

• Il modello media varianza fornisce una rappresentazione rigorosa e completa della scelta solo nei casi in cui– La funzione di utilità è quadratica

– La distribuzione dei rendimenti è normale.

• In tutti gli altri casi la rappresentazione media varianza rappresenta un’approssimazione, basata su un’espansione di Taylor.

Costruire un modello media-varianza

• In un modello media varianza definiamo1. L’insieme dei portafogli che danno la migliore

combinazione rischio rendimento Domanda: qual è il rischio minore raggiungibile per un dato obiettivo di rendimento atteso? Tracciare la frontiera efficiente

2. L’insieme dei portafogli che danno lo stesso livello di utilità.

Domanda: quanto rendimento richiediamo per accettare un aumento di un’unità di rischio? Tracciare un grafico delle curve di livello della funzione di utilità

Il portafoglio ottimale

• Il portafoglio ottimale è la combinazione di attività finanziarie che giace sulla frontiera efficiente e che consente all’investitore di raggiungere il maggore livello di utilità possibile.

• Graficamente, il portafoglio ottimale è quello con rendimento atteso e varianza corrispondente al punto di tangenza della curva di livello dell’utilità attesa con la frontiera efficiente.

Costruzione della frontiera efficiente

• Obiettivo: – portafoglio efficiente: ha il minor rischio

possibile, misurato con lo standard error P

• Vincoli– tutta la ricchezza deve essere investita in

qualche attività finanziaria– in media il portafoglio deve avere un

rendimento target pari a P.

Trade-off rischio/rendimento

• Obiettivo– Il livello più alto della funzione di utilità

• Vincolo:– Il portafoglio deve appartenere alla frontiera

efficiente

Modello con un titolo rischioso ed uno privo di rischio

• Assumiamo che le possibilità di investimento disponibili nell’economia consistano in due soli titoli:– Un titolo privo di rischio (risk-free), con rendimento i e volatilità

zero – Un titolo rischioso con rendimento atteso E(r ) e volatilità .

• Calcoliamo il rendimento atteso e la volatilità di una strategia di allocazione del portafoglio che consiste nell'impiego di una quota della ricchezza nel titolo rischioso e della quota rimanente (1 - ) nel titolo privo di rischio:

p

p rEi1

Curva d’indifferenza media-varianza

• Espandiamo l’utilità attesa intorno alla ricchezza media.

E(U(W)) = U()+0.5 U’’()2

dove è la media della ricchezza e 2 è la varianza. La curva d’indifferenza (trascurando U’’’ ) è rappresentata da

dE(U(W)) = U’()d + U’’()d = 0da cui

d/ d = – (U’’()/ U’()) = ARA

Frontiera efficiente

• Nel modello con un titolo rischioso ed uno privo di rischio la frontiera efficiente è

• Poiché l’inclinazione dell’isoquanto della funzione di utilità è ARAP la scelta ottima è

pp

irEi

irEARA p

Il portafoglio ottimo

• Il portafoglio ottimo nel punto di tangenza tra frontiera efficiente e isoquanto della funzione di utilità è quindi ricavato come

…e l’investimento nel titolo rischioso è tanto minore quanto maggiore è l’indice di l’avversione al rischio assoluta ARA

ARA

irE2

*

Rendimento e rischio del portafoglio ottimo

Modello con due titoli rischiosi

• Assumiamo che le opportunità di investimento nell’economia siano rappresentate da due attività i = 1,2, con rendimento atteso E(ri) e volatilità i

• Calcoliamo il rendimento atteso ed il rischio di una strategia di allocazione del portafoglio con l’investimento di una quota di ricchezza nel primo titolo rischioso e il resto nel secondo:

2122

221

2

21

121

1

p

p rErErE

Correlazione perfetta