Assicurazioni vita e mercato del risparmio gestito

Lezione 11

Prodotti Strutturati di Tasso

Derivati di tasso

Formula di Black

• La formula di Black, che viene utilizzata per le opzioni sui futures, è in effetti un semplice modo di riscrivere la formula di Black e Scholes utilizzando il prezzo forward come sottostante, piuttosto che il prezzo spot.

• Ricordando ancora che il prezzo forward è definito come F(Y,t) = Y(t)/v(t,T) e le formule di Black e Scholes otteniamo immediatamente

Call = v(t,T)[F(Y,t)N(d1) – KN(d2)]Put = v(t,T)[– F(Y,t)N(– d1) + KN(– d2)]

• Per motivi tecnici che non spieghiamo in questo corso l’utilizzo del prezzo forward piuttosto che di quello a pronti è un criterio di largo utilizzo nei derivati su tassi di interesse e su titoli obbligazionari, e questo rende la formula di Black largamente utilizzata.

Opzioni su titoli di debitoUtilizzo

• Opzioni su titoli di debito sono utilizzate soprattutto per modificare il piano di rimborso dei titoli obbligazionari (titoli extendible/retractable)

• Titoli putable: titoli che contengono una put sul titolo, a disposizione dell’investitore, tipicamente per un rimborso al nominale (es. i vecchi CTO)

• Titoli callable: titoli che contengono una call sul titolo, a disposizione dell’emittente, per richiamare il debito (presente in molti titoli corporate)

• Titoli exchangeable: cambio del piano di rimborso

Exchangeable bond2000

2001

2002

2003

2004

2005

2006

2007

2008

2009

2010

2011

2012

2013

2014

2015

2016

2017

S1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Flu

ssi

BEI 20FB2017

Opzioni su titoli obbligazionariValutazione

• Il principio di fondo della valutazione di opzioni su titoli obbligazionari è che il sottostante cui è riferita l’opzione è il prezzo forward del titolo, piuttosto che il suo prezzo a pronti, e anche la volatilità deve essere riferita al prezzo forward.

• Intuitivamente, questo conduce a utilizzare la formula di Black. Un’opzione call su un coupon bond con scadenza T e cedola fissa c, per esercizio al tempo e strike K è dato da

Call = v(t,)[F(P(t,T;c),t)N(d1) – KN(d2)]dove

F(P(t,T;c),t) = [P(t,T;c) – I(t, )]/v(t,)e I(t,) è il valore attuale del flusso di interessi che verrà maturato dal titolo tra la data corrente e quella di esercizio dell’opzione.

Il portafoglio di replica

• Consideriamo un’opzione call su un titolo P(t,T;c) con scadenza T e cedola c per un ammontare nominale L e data e prezzo di esercizio e K rispettivamente.

• Il valore dell’opzione corrisponde a– Una posizione lunga per LN(d1) di valore nominale del

titolo– Una posizione corta in un flusso di cedole di ammontare

cLN(d1) con scadenze ti – Una posizione corta in uno ZCB per un ammontare

nominale LKN(d2) e scadenza .

La volatilità del prezzo forward• La variabile chiave per la valutazione delle opzioni su titoli

obbligazionari è la volatilità• Nel modello di Black la volatilità è riferita a variazioni

percentuali del fattore di sconto, nell’assunzione che questo sia distribuito normalmente.

• Poiché sul mercato è quotata la volatilità del tasso, la volatilità del fattore di sconto è recuperata calcolando

Vol. sconto = vol.tasso x duration x tassodove il tasso di rendimento e la duration sono riferiti al contratto a termine che costituisce il vero sottostante del contratto.

• Si noti che in generale la formula coinvolge il fattore di rischio, che in questo caso è rappresentato dal tasso interno di rendimento, e dalla sensitività del fattore di sconto a questo fattore di rischio, la duration.

Contratti derivati su tassiCap e floor

Opzioni su tassi di interesseUtilizzo

• Le opzioni su tassi di interesse sono utilizzate per porre un limite superiore (cap) o inferiore (floor) al valore di una cedola indicizzata

• Un cap/floor è un portafoglio di opzioni call/put sul tasso di interesse, tipicamente definito sullo scadenzario di un flusso di cedole indicizzate

• La singola opzione del portafoglio è chiamata caplet/floorlet. L’utilizzo èTasso indice – max(Tasso Indice – Strike, 0) Tasso indice + max(Strike – Tasso Indice, 0)

Call – Put = v(t,)(F – Strike)

• Ricordando la relazione di parità tra put e call e applicandola a cap/floor otteniamoCaplet(strike) – Floorlet(strike)

=v(t,)[cedola attesa – strike]=v(t,)[f(t,,T) – strike]

• Questo suggerisce immediatamente che il sottostante del caplet e del floorlet deve essere il tasso d’interesse forward, e la volatilità deve essere quella riferita a tale tasso.

Opzioni su tassi di interesseValutazione

• Ciascuna delle opzioni sui tassi di interesse caplet /floorlet sono prezzate individualmente e sommate per ottenere il valore del cap/floor

• Una ricetta semplice consiste nell’utilizzare la formula di Black & Scholes avendo cura di– Considerare il tasso forward e la volatilità

corrispondente anziché il tasso spot– Il valore così ottenuto viene scontato utilizzando il

fattore di sconto corrispondente alla data di esercizio

Cap/Floor: copertura

• Utilizzando la formula di Black, otteniamo

Caplet = (v(t,tj) – v(t,tj+1))N(d1) – v(t,tj+1) KN(d2) Floorlet =

(v(t,tj+1) – v(t,tj))N(– d1) + v(t,tj+1) KN(– d2) • La formula suggerisce immediatamente una

strategia di replica o copertura basata su posizioni lunghe (corte) sulla scadenza tj e corte (lunghe) sulla scadenza tj+i per caplet (floorlet)

Cap/FloorConvezioni di mercato

• I contratti tipicamente scambiati sul mercato sono con cadenza trimestrale sotto la scadenza di un anno e semestrali per scadenze più lunghe

• Un cap/floor è detto at-the-money se il prezzo strike è uguale al tasso forward swap definito sullo stesso scadenzario del contratto.

Swaption

• Le swaption sono opzioni che consentono di entrare in un swap fisso contro variable a un tasso strike, ad una data prefissata.

• Una payer-swaption dà il diritto a entrare in un payer swap e corrisponde a un’opzione call, mentre una receiver-swaption dà diritto a entrare in un receiver swap e corrisponde a un’opzione put.

Cap/floor e swaption

• Come cap e floor, anche la swaption è definita at-the-money se lo strike è uguale al tasso forward swap su un contratto per lo stesso scadenzario.

• Si noti che mentre un cap è un portafoglio di opzioni, una swaption è un’opzione su un portafoglio (un’opzione basket).

• Per questo motivo una swaption vale sempre meno del corrispondente cap (stesso scadenzario e strike)

Swap e forward start swap

• Un swap permette al detentore di scambiare un flusso di pagamenti fissi con un flusso di pagamenti indicizzati.

• Il tasso swap è il tasso fisso stabilito all’origine, in modo che, scambiato con pagamenti indicizzati, rende il valore del contratto pari a zero.

• Un swap forward è un swap che inizia ad una data futura, diciamo tn

• Il tasso forward swap è il tasso fisso, stabilito in t, che, scambiato con un flusso di cedole indicizzate, rende il valore del swap forward pari a zero.

Swaption• Una swaption fornisce al detentore il diritto, ma non

l’obbligo, di entrare in un contratto swap ad una data futura tn con un tasso swap pari a Rs.

• Date di reset {tn , tn+1,……tN} per il swap, con pagamenti dovuti alle date {tn +1 , tn +2,……tN + 1}

• Definiamo i = ti +1– ti il tempo tra le date di pagamento e di reset delle cedole ed una combinazione lineare di fattori di sconto

N

niii ttvNntA 1,,;

Il pay-off di una swaption…

• Una swaption con strike Rs dà al detentore il diritto di entrare in un swap nel quale paga fisso e riceve variabile può essere vista come una sequenza di pay-off…

i max[R(tn;n,N) - Rs ,0]

dove R(tn;n,N) è il tasso swap che verrà osservato al tempo di esercizio tn mentre il valore attuale del pay-off sarà,

A(tn;n,N) max[R(tn;n,N) - Rs ,0]

…e la valutazione

• Il valore della swaption è calcolato quindi usando

Swaption = A(t;n,N) EA{max[R(tn;n,N) - Rs ,0]}

• Notate che il sottostante dell’opzione è un tasso, piuttosto che un prezzo. Se assumiamo che esso abbia distribuzione log-normale, possiamo recuperare il prezzo utilizzando ancora una volta la formula di Black

Swaption = A(t;n,N) Black[S(t;n,N),K,tn,(n,N)]

Swaption: ricetta di valutazione

• La valutazione della swaption è complessa, ma la ricetta finale è simile a quella utilizzata per la valutazione di cap e floor.

• Possiamo utilizzare la formula di Black, avendo cura di– Considerare il tasso forward swap e la volatilità

corrispondente anziché il tasso swap– Scontare il risultato così ottenuto utilizzando la somma

dei fattori di sconto sullo scadenzario del swap sottostante.

Swaption: copertura

• Utilizzando la formula di Black, otteniamoSwaption =

(v(t,tj) – v(t,tN))N(d1) – iv(t,ti) KN(d2) • La formula suggerisce immediatamente una strategia di

replica, suggerita o copertura basata su – Una posizione lunga sulla scadenza di pagamento del primo

flusso per un ammontare N(d1) – Una posizione corta in corrispondenza del pagamento

dell’ultimo flusso per un ammontare N(d1)– Una posizione corta in un portafoglio di titoli sullo

scadenzario per un ammontare N(d2)

Esercizio su un contratto swap

• Scadenzario:– Data iniziale 24/12/2001– Prima scadenza 24/12/2002– Seconda scadenza 24/12/2003– Scadenza finale 24/12/2006

• Periodicità cedole: trimestrale, act/360• Data primo fixing Euribor: 20/12/01• Data primo fixing Libor US $: 20/12/02

I flussi di pagamento

• La banca paga: Euribor 3 mesi, posticipato• Il cliente paga:

– Dalla data iniziale alla 1a scadenza: 2.85%– Dalla 1a alla 2a scadenza

• 4.20% se Libor US < 5.25%• Libor US se Libor US 5.25%

– Dalla 2a scadenza alla scadenza finale• 5.20% se Libor US < 6.25%• Libor US pagato in Euro se Libor US 6.25%