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Introduzione Statistiche campionarie

Distribuzioni campionarie

Antonello Maruotti

A. Maruotti

Outline

1 Introduzione

2 Statistiche campionarie

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Introduzione Statistiche campionarie

Concetti baseSi riprendano le considerazioni fatte nella parte di statisticadescrittiva.

Si vuole studiare una popolazione con riferimento a particolaricaratteristiche di interesse.La popolazione viene esaminata in modo parziale,considerando un campione di unità statistiche, cioè unaggregato di unità, appartenenti alla popolazione diriferimento, selezionate mediante lesperimento dicampionamento.La statistica inferenziale fornisce strumenti e metodi perricavare dai dati campionari informazioni sulla popolazione.L’inferenza statistica studia l’analisi dei dati che costituisconoun campione casuale, cioè selezionato mediante unesperimento casuale (aleatorio).

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Il campione

Se l’obiettivo è quello di ottenere informazioni sullapopolazione utilizzando un suo sottoinsieme, il campione,allora si pone il problema di come estrarre le unità statisticheche entrano a far parte del campione medesimo.Il campione deve essere rappresentativo.La dimensione campionaria viene indicata con n.Regola di selezione di tipo probabilistico ⇒ campione casualesemplice.

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Il campionamento casuale semplice

E’ necessario disporre di una lista di campionamento checontiene tutte le unità statistiche della popolazione.Alle unità della lista viene associato un numero (etichetta).Dall’insieme dei numeri che identificano le unità statistiche nevengono estratti casualmente n.

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Il campione casuale semplice

Le n unità sono estratte in modo tale che:ogni unità della popolazione ha la stessa probabilità di essereestrattale n estrazioni sono effettuate ognuna indipendentementedall’altra

Esistono ovviamente altri metodi di campionamento.E’ semplice dimostrare che l’operazione di estrazione di uncampione casuale semplice dalla popolazione X dà luogo ad unan-pla (X1, X2, . . . , Xn) a componenti indipendenti ed identicamentedistribuite a X .

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

EsempioConsideriamo una popolazione di 4 individui di età: 18,20,22,24.Quali sono i possibilie campioni di numerosità 2?

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Statistiche campionarie

Una volta estratto il campione, calcoliamo su questo una o piùstatistiche (media campionaria, somma campionaria, varianzacampionaria, etc.) utili per fare inferenza.

Osservazioni

Le statistiche assumono valori diversi su campioni diversiLa probabilità che una statistica assuma un determinatovalore dipende dalla probabilità di avere un campione condeterminate caratteristicheOgni statistica è una variabile aleatoria.La loro distribuzione è detta campionaria in quanto è generataconsiderando l’universo di tutti i possibili campioni

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Media campionaria

Riprendiamo l’esempio precedente della popolazione{18, 20, 22, 24}. Osserviamo che µ = 21 e σ2 = 5. Calcoliamo orala distribuzione campionaria della media per n uguale a 1 e 2.

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Media campionaria

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Media campionaria: valore atteso e varianza

Si dimostra che in generale la media e la varianza della mediacampionaria sono legate ai corrispondenti valori della popolazionenel modo seguente

E (X̄ ) = µ

V (X̄ ) =σ2

n

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Campionamento da popolazione normaleSe la distribuzione della popolazione è di tipo normale allore èpossibile dimostrare che anche la media campionaria ha unadistribuzione di tipo normale.

A. Maruotti

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Teorema del limite centralePer numerosità sufficientemente elevate la distribuzione dellamedia campionaria è ben approssimata da una normale.

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Distribuzione campionaria

La variabile X assume due soli valori, 1 e 0, con frequenza relativa,rispettivamente, p e 1 − p. E’ semplice verificare che in questomodo per la popolazione risulta

µ = p, σ2 = p(1 − p)

mentre per il campione abbiamo

p̂ = x̄

La particolare codifica adottata ci permette di calcolare laproporzione campionaria come la media del campione e quindi disfruttare le proprietà che conosciamo della media campionaria.

A. Maruotti

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Introduzione Statistiche campionarie

Distribuzione campionaria: proprietà

La media della proporzione campionaria è uguale allaproporzione nella popolazione

µp̂ = µx̄ = µ = p

La deviazione standard è

σp̂ = σx̄ =σ√n =

√p(1 − p)

n

La forma della distribuzione: per il teorema del limite centralesappiamo che per n sufficientemente grande possiamoassumere

p̂ ∼ N(p,p(1 − p)

p )

A. Maruotti