ASCISSA SOPRA UNA RETTA

Sia data una retta r, si fissi:

1) Un verso positivo di percorrenza

2) Un punto O detto Origine

3) Un segmento u detto unità di misura

O

ur- r+ r

ASSE DELLE ASCISSE• Preso un punto P sull’asse delle ascisse, a P

si può sempre associare xPR, ovvero la misura del segmento OP, presa col segno + (-) se P appartiene al semiasse positivo (negativo) xP è chiamata ascissa di P

• Viceversa, xR ! P r : x= xP .

• Esiste una corrispondenza biunivoca tra numeri reali e punti della retta.

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

Date 2 rette r1 e r2 non parallele ed incidenti nel punto O, si fissi su ciascuna:

1) Un verso positivo di percorrenza2) Una unità di misuraSi ottiene così un sistema di riferimento

cartesianoOrtogonale / obliquo Monometrico / dimetrico

COORDINATE CARTESIANE NEL PIANO

• Si dimostra che ad ogni punto P del piano si può associare una coppia ordinata P=(x,y)

III

III IV

ESEMPIO

2

1P=(2,1)

P=(-2,-1)

-2

-1

3P=(-2,3)

P=(2,-2)-2

ANGOLO

• Prendiamo due semirette a e b aventi la stessa origine, il piano resta diviso in due parti, ciascuna delle quali viene detta angolo.

ANGOLO ORIENTATO

• Verso positivo di rotazione antiorario

+ a

b

-a

b

ARCO

• La parte di circonferenza compresa tra i lati dell’angolo.

A

B

SISTEMI DI MISURA DI ANGOLI

• SESSAGESIMALE:

grado sessagesimale = la 360a parte dell’angolo giro.

• CENTESIMALE:

grado centesimale = la 400a parte dell’angolo giro

• RADIANTE

RADIANTE

• L’angolo al centro che insiste su un arco che rettificato ha lunghezza pari al raggio.

Misura in radianti di un angolo

• È uguale alla misura dell’arco diviso il raggio:

• Angolo giro = 2r / r = 2• Angolo piatto = r / r = • Angolo retto =

Misura in radianti di un angolo

0

/4

/4)

/2

Misura in radianti di un angolo

0

/6

/2

Misura in radianti di un angolo

• Per passare dal sistema sessagesimale a quello radiante:

360 : 2 = s : r

Ex: 360 : 2 = : r

r =

CIRCONFERENZA GONIOMETRICA

• Fissato nel piano un sistema di riferimento cartesiano, la circonferenza con raggio 1 e centro nell’origine è detta circonferenza goniometrica.

A=(1,0) x

y

Seno e coseno

• Seno = ordinata del punto M

• Coseno = ascissa del punto M

A=(1,0)

yM=(cos(), sin())

Tangente

• Tangente = ordinata del punto T

• tan() = sin() / cos()

T = (1, tan())

A=(1,0)

y

Cotangente

Cotangente = ascissa del punto T’

cot() = 1 / tan() = cos() / sin()

A=(1,0)

yB=(0,1) T’ = (cot(), 1)

f(x) = sin (x)

A=(1,0)

y

x

/2

/2)

2 x

y

-/2

/2

/2)

1

-1

Funzione seno

• Dominio R

• Codominio [-1, 1]

• Periodica di periodo 2

y = cos (x)

x

y

-/2

/2 /2) x

/2

/2)

A=(1,0)

y

x2

Funzione coseno

• Dominio R

• Codominio [-1, 1]

• Periodica di periodo 2

y = tan (x)

x

y

-/2 /2 /2)A=(1,0)

y T = (1, tan())/2

/2)

2

Funzione tangente

• Dominio = R \ /2 + k k Z

• Codominio = R

• Periodica di periodo

y = cot(x)

x

y

-/2 /2 /2)A=(1,0)

yB=(0,1) T’ = (cot(), 1)

/2

/2)

2

Relazione tra seno e coseno

• sin2(x) + cos2(x) = 1

A=(1,0)

yM=(cos(), sin())

)(cos1)sin( 2 xx

Relazione tra seno e coseno• Esempi:

cos (x) = ½ x [0, /2]

2

32/11)sin( 2 x

2

2

4

21)cos( x

],2

[2

2)sin(

xx

Relazione tra seno, coseno e tangente

• sin2(x) + cos2(x) = 1

)(cos

1)(tan1

22

xx

)(tan1

1)(cos

22

xx

)(tan1

1)cos(

2 xx

Relazione tra seno, coseno e tangente

• sin(x) = tan(x) cos(x)

)(tan1

1)tan()sin(

2 xxx

Valori in archi particolari : /6

2

1)

6sin(

2

3)

6cos(

3

1)

6tan(

3)6

cot(

Valori in archi particolari: /3

2

3)

3sin(

2

1)

3cos(

3)3

tan(

3

1)

3cot(

Valori in archi particolari: /4

2

2)

4sin(

2

2)

4cos(

1)4

tan(

1)4

cot(

ARCHI SUPPLEMENTARI

• La cui somma è :

sin() = sin()

cos() = - cos()

tan() = - tan()

cot() = - cot()

x

y

ARCHI che differiscono di

sin() = - sin()

cos() = - cos()

tan() = tan()

cot() = cot() x

y

ARCHI la cui somma è 2

sin(2) = - sin()

cos(2) = cos()

tan(2) = - tan()

cot(2) = - cot() x

y

ARCHI complementari

• La cui somma è :

sin() = cos()

cos() = sin()

tan() = cot()

cot() = tan()

x

y

ARCHI che differiscono di /2

sin() = cos()

cos() = - sin()

tan() = - cot()

cot() = - tan() x

y

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

• Equazioni in cui le variabili compaiono come argomento di funzioni goniometriche.

sin(x) = a

cos(x) = a

|a| >1 impossibile

a = 1 1 soluzione fondamentale

a= -1 1 soluzione fondamentale

-1< a < 1 2 soluzioni fondamentali

EQUAZIONI GONIOMETRICHE

tan(x) = a

cot(x) = a

Mai impossibile

1 soluzione fondamentale

ESEMPI

sin(x) = ½

x1 = /6 + 2k

x2 = (/6) + 2k

2

2)cos( x

x1 = /4 + 2k

x2 = (/4) + 2k

ESEMPI

• tan(x) = 1

x = /4 + k

• cot(x) = -1

x = (3/4) + k