Archi, volte e cupole - UniTrentocazzani/didattica/SdM/Materiale per relazioni... · la presenza...

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Archi, volte e cupoleDa

“L’arte del costruireTra conoscenza e scienza”

di Salvatore di Pasquale

“La meccanica nell’architettura- La Statica”di Antonino Giuffrè

“The stone skeleton”di Jaques Heyman

“Le strutture in Architettura”di Mario Salvadori e Robert Heller

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Aspetti base del comportamento strutturale

I sistemi costruttivi:Ora ci sono tre grandi architetture nel mondo, e non potrebbero essere di più, corrispondenti a ognuno dei tre sistemi fondamentali di coperture dello spazio … che fanno capo ai tre ceppi originari:

a) greco: architettura della traveb) romanico: architettura dell’arco a pieno centroc) gotico: architettura del tetto inclinato […]2.

2J.Ruskin “The Stones of Venice”.

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Aspetti base del comportamento strutturale

I 3 sistemi derivano dalle tre possibilitàdi coprire un intervallo tra 2 appoggi:

Architrave Arco a pieno centroArco acuto.

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Le origini dell’arco

Micene: nella Porta dei Leoni si rintracciano le origini dell’arco e della cupola.

Porta dei Leoni

Questo sistema è una estensione del principio dell’architrave:

La portata di un unico architrave viene ridotta mediante una successione di elementi in aggetto l’uno sull’altro.

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La parte appoggiata deve essere sufficientemente caricata per evitare il ribaltamento del concioLa parte in aggetto non deve produrre rottura per flessione.

Ingresso del Tesoro di Atreo

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L’arco naturale

Questa forma può verificarsi anche naturalmente.

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L’arco naturale

Rottura ad arco naturale al di sopra di un architrave

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La struttura spingente semplice: le tombe di Populonia

In queste tombe si trova la struttura spingente piùelementare che si può ottenere con il numero minimo di elementi distinti e disarticolabili

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La struttura spingente semplice

Meccanismo di rottura:Rotazione intorno ai punti A, B, C I blocchi possono ruotare l’uno rispetto all’altro senza scivolare

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Equilibrio alla rotazione dei blocchi:Equilibrio al punto A:

Momento ribaltante: MR = H × (f + h) Momento stabilizzante:

MS = P2 × (a + b) + P1 × b/2Equilibrio: H × (f + h) = P2 × (a + b) + P1 × b/2

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Equilibrio alla rotazione dei blocchi:Equilibrio al punto A:

Equilibrio Stabile:H × (f + h) < P2 × (a + b) + P1 × b/2

Equilibrio Instabile:H × (f + h) > P2 × (a + b) + P1 × b/2 ⇒ Rotazione

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

L’arco è un elemento strutturale in grado di incanalare, con la sua traiettoria curvilinea, le sollecitazioni prodotte dai carichi trasformandole in forze prevalenti di compressione.

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L’arcoAspetti base del comportamento strutturale

Reazione orizzontale

Reazione verticale

Curva di pressione o “funicolare”

La sollecitazione di compressione rappresenta praticamente l’unica sollecitazione cui la pietra e la muratura sono in grado di resistere.

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Gli studi sull’arcoIl Medioevo

Regola geometrica per il dimensionamento dei piedritti:

si suddivide l'arco in tre porzioni di uguale lunghezza

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si traccia la semicirconferenza di raggio pari a tale lunghezza e centro all'imposta dell'arco

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la verticale passante per l'estremità esterna della circonferenza corrisponde alla delimitazione esterna del piedritto

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questa regola impone un diverso dimensionamento dei piedritti al variare della geometria dell'arco

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Leon Battista AlbertiLa spiegazione dell’Alberti sul funzionamento degli archi a tutto sesto è la prima a comparire nella trattatistica architettonica:

“… non si vede in che modo esso (arco) possa sconnettersi per conto proprio; salvoché l’un concio spinga fuori l’altro;quand’anche fossero disposti a tentare di scalzarsi a vicenda, la presenza stessa dei pesi … basta ad impedirloil concio posto in cima … non si vede come possa trovare la forza di spingere in fuori i conci che lo fiancheggiano;… quelli che fanno seguito ad essi, occupando i fianchi dell’arco, verranno tenuti agevolmente … dall’equilibrarsi dei pesi;infine, i conci posti alle due estremità inferiori, non si comprende come possano spostarsi una vola che gli altri, posti sopra di essi, restino fermi al loro postoPertanto gli archi interi non abbisognano di corda poiché essi sono in grado di mantenersi da se.

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Leon Battista AlbertiDalla forma dell’arco e dei conci di cui ècomposto nasce l’idea della loro somiglianza al cuneo (una delle macchine semplici studiate da Aristotele ed Erone) Parti di cunei con le facce rivolte verso il centro dell’arco ed individuate da piani perpendicolari alle superfici di intradosso e di estradosso

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Leon Battista AlbertiL’azione che ciascun concio (cuneo) esercita su quelli adiacenti si manifesta, per l’Alberti, con l’allontanamento delle partiL’azione esercitata dai conci d’imposta ècontrastata dai sostegni Per questo, per l’Alberti, gli archi “interi” non necessitano di catene

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Leon Battista Alberti

L’idea del cuneo sarà sviluppata in seguito (De la Hire, De Belidor) con un linguaggio appropriato alla descrizione del comportamento meccanicoSenza questi strumenti le cause sono solo intuiteE’ la conoscenza degli effetti che genera l’apparato di regole cui deve sottostare chi costruisce

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Leonardo da Vinci“Arco non è altro che una fortezza causata da due debolezze imperochél'arco negli edifiti è composto di due quarti di circulo, i quali quarti circuliciascuno debolissimo per sé desidera cadere e oponendosi alla ruina l'uno dell'altro, le due debolezze si convertono in un'unica fortezza”

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Leonardo da Vinci

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Leonardo da VinciStudia le fratture ed i meccanismi che si generano in un arco sottoposto a determinate condizioni di carico:

Arco a tutto sesto caricato in chiave

Se l’arco è intero (fatto di un solo pezzo) si romperà solo quando sarà raggiunta la resistenza del materiale Allora si avrà la formazione di fratture e la trasformazione della struttura in meccanismo

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Leonardo da Vinci

“l'arco non si romperà, se la corda dell'archi di fori non toccherà l'arco di dentro”

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Leonardo da VinciArco a tutto sesto soggetto al peso proprio e a un carico concentrato in una delle reni

Sequenza della formazione delle cerniere:Cerniera in oCerniera in d

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Metafore, analogie e modelliIn nessuno dei trattati scritti fino alla fine del XVII secolo il problema può essere descritto in termini matematici come era stato fatto per le macchine sempliciNessuno fino ad allora era riuscito ad individuare nella rottura di un arco il meccanismo delle leve che si creava e di tradurre tutto in equazioniIl meccanismo di rottura che si innesca in un arco al momento del suo crollo richiede per essere descritto la definizione del momento di una forzaA questa definizione si giunge solo dopo la metà del XVII secoloIl principio di simmetria introdotto da Archimede per dimostrare la legge della leva non può essere utilizzato in quanto in gioco entrano anche le forze orizzontali.

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De La HireLa teoria del cuneo

Il problema della statica degli archi compare per la prima volta nel “Traitè de la mecanique” di PhilippeDe La Hire (1640-1718) De la Hire studia l’equilibrio dell’arco nella situazione di rottura descrivendo prima il meccanismo di collasso:

La parte centrale dell’arco compresa tra due raggi a 45° rimane integra e scivola verso il basso esercitando un’azione di cuneo sulle parti restanti dell’arco spingendole in fuori promuovendone il ribaltamento senza scorrimento

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De la Hire individua nell'arco l'azione di una macchina semplice: il cuneo. Il funzionamento dell'arco è interpretato come la risultante dell'azione mutua di corpi rigidi infinitamente resistenti (i conci dell'arco) supposti agire come cunei posti uno sull'altro e mantenuti in equilibrio per azione mutua del proprio peso e delle azioni reciproche scambiate con i conci limitrofi.

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L'ipotesi fondamentale che caratterizzaL'interazione in De la Hire è l'assenza di attrito tra i conci, assunzione nella quale è individuabile il limite della sua interpretazione statica.

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De La Hire affronta il problema dell’equilibrio dell’arcoPartendo dal concio in chiave, la cui dimensione è stabilita:

Impone l'equilibrio di ogni concio applicando nel baricentro le due forze trasmesse dai conci limitrofi e normali ai giunti e la forza peso.

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Lo spessore dei rimanenti conci è l'incognita del problema Viene determinata concio per concio imponendo l'equilibrio

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Se l'imposta dell'arco è orizzontale, l'equilibrio del concio di imposta non è possibileIn esso l'azione verticale della forza peso e della reazione all'imposta non possono equilibrare la forza scambiata con il concio che su di esso si appoggiaDe la Hire deve quindi ammettere che nella realtà il concio all'imposta può essere equilibrato solo dall'azione delle forze di attrito.

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De La HireIl dimensionamento del piedritto

Lo schema strutturale di De La Hire contiene le ipotesi meccaniche di comportamento alle quali applica l’algoritmo di calcoloIl modello meccanico che egli utilizza èstrettamente condizionato dagli strumenti di calcolo che De La Hire ha a disposizioneEgli tratta il problema dell’equilibrio dell’arco mediante la legge della leva

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L’ipotesi è che la parte centrale dell’arco si comporti come un cuneo tra superfici lisceUna superficie priva di attrito costituisce un vincolo in grado di esercitare solo reazioni ad essa ortogonaliIl piedritto tende a ruotare intorno allo spigolo esterno alla base (punto C in figura).

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Nella rotazione intorno a C il punto A si porta in A’Il peso Q del cuneo centrale viene scomposto nelle due componenti RA ed RZ ortogonali alle due superfici di rottura De La Hire individua la leva ACD e scompone la forza RA esercitata dal cuneo centrale nelle componenti F ed H applicate al braccio della leva AC.

lD

φRA

FA

H

PC D

lARA Q/2De la Hire inaugura l'approccio che

individua nel comportamentodella muratura l'azione reciproca di corpi rigidi.

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Per l’equilibrio della leva il momento ribaltante F ⋅ lA deve essere uguale al momento stabilizzante P ⋅ lD (essendo P il peso del piedritto e della parte di arco ad esso aderente)Il peso del piedritto necessario per l’equilibrio è fornito dalla espressione:

A

D

lP F

l=

lD

φRA

FA

H

PC D

lARA Q/2

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De BelidorIl dimensionamento del piedritto

Qualche anno dopo De Belidor ripropose gli studi di De La HireEgli suppose che la reazione dell’arco fosse applicata a metà spessore anzichéall’intradosso

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De BelidorLa teoria del cuneo

La reazione che il cuneo centrale esercita sulla sezione di scorrimento è fornita dalla relazione:

12 cosQF =

φ

xG

φ

FA

P

C D

lA

Q/2

yA

xA

x

y

φ

φ

dF

yAtgφ

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De BelidorLa teoria del cuneo

Egli considera la leva angolare ECD:Braccio della forza F: dF = (yAtgφ – xA)cosφCondizione di uguaglianza dei momenti rispetto a C:

( )2

A AF G

G

y tg xQFd Px Pxφ −

= → =

xG

φ

FA

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

φ

φ

dF

yAtgφ

E

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CoupletIl collasso flessionale

Nel “Seconde partie de l'examen de la poussee des voutes” del 1730, ammette l'importanza fondamentale dell'azione dell'attrito tra i conci che impedisce l'attivazione di scorrimenti relativiAffronta il problema dello spessore minimo di un arco a tutto sesto caricato con il solo peso proprio

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CoupletIl collasso flessionale

La soluzione è ottenuta da Couplet ipotizzando un meccanismo di collasso a cinque cerniere, collocate all'estradosso in chiave e all'imposta e all'intradosso in posizione rialzata a 45° rispetto all'orizzontale

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CoulombIl principio dei Massimi e Minimi

Charles Coulomb nel “Essai sur une application de maximis etminimis a quelques problemes de statique, relatifs a l'Architecture” del 1773, affronta il problema dell'equilibrio delle volte in presenza di coesione ed attrito tra i conciPer la prima volta l'obiettivo è la determinazione delle sollecitazioni che insorgono in una volta di assegnate dimensioni e figura Il problema fondamentale che Coulomb si pone è questo:

In una volta per la quale siano assegnate la curva interna AB e la curva esterna ab, sono dati anche i giunti Mm perpendicolari agli elementi della curva interna; si richiedono i limiti della forzaorizzontale S che sostiene questa volta, supponendo che essa siasollecitata dal proprio peso, e sia trattenuta dalla coesione e dall'attrito

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Coulomb considera una porzione di arco compresa tra la sezione in chiave e un generico giunto assunto come critico. Individua quattro modalità di collasso:

lo scorrimento relativo tra le facce nelle due direzionil'apertura del giunto per rotazione all'intradosso e all'estradosso

φ

M

mS

Q

b

a

B

A

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Impone l'equilibrio limite di scorrimento nelle due direzioni, ottenendo un valore minimo ed uno massimo della risultante S agente sulla sezione in chiave.Analogo procedimento è utilizzato imponendo l'equilibrio limite alla rotazione nelle due direzioni.

φ

M

mS

Q

b

a

B

A

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La massima reazione di attrito è assunta proporzionale all'azione normale sul giunto attraverso un opportuno coefficiente I valori massimi e minimi di S vengono ricercati al variare della posizione ϕ del giunto critico sull'arcoIl risultato finale fornisce un limite inferiore ed uno superiore di S entro i quali l'equilibrio della volta è garantito

φ

M

mS

Q

b

a

B

A

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Coulomb scopre e accetta l'indeterminatezza del problema dimostrando che in un certo intervallo ammissibile tutte le soluzioni sono ugualmente accettabili.

φ

M

mS

Q

b

a

B

A

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Il calcolo a rottura di Mascheroni

Mascheroni idealizza i meccanismi di rottura dell'arco individuati da De la Hire e da Coulomb a sistemi di aste rigide e ne determina le condizioni limite di equilibrioEgli propone lo studio di due dei possibili meccanismi di rottura dell’arco:

Rottura per scivolamento del cuneo centrale con punto di rotazione posto all’intradosso dell’arco (De La Hire)Rottura multipla con formazione di cerniere all’intradosso ed alle reni

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Nella condizione di rottura si può vedere l’arco come sistema articolato di corpi rigidi vincolati a cerniera internamente e con l’esterno

1

2

1'

2'

A A'

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Il sistema è labile:Numero dei gdl: 4 corpi x 3 g.d.l = 12Numero dei vincoli: 2 gdl vincolati x 5 cerniere = 10

Possono esistere condizioni di carico che rispettano l’equilibrio

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Si analizza metà arcoPer la simmetria del sistema la reazione offerta dalla cerniera in B non può che essere orizzontale

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

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Il peso Q/2 del tratto di arco AB, passante per il baricentro G2 dovrà essere equilibrato da una forza orizzontale passante per B e da una forza passante per A

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

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Costruito il triangolo dell’equilibrio si trova l’azione che il corpo AB esercita sul corpo AC attraverso la cerniera in A.

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

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L’azione che il corpo AB esercita sul corpo ACha:

componente verticale V = Q/2componente orizzontale H = (Q/2)tgφ’, tgφ’=l/f

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

V

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L’equazione di equilibrio dei momenti intorno al punto C fornisce la relazione:

( ' )0

2 2A A

A A GG

y tg xQ QHy x Px Pxφ −

− − = → =

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

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L’equazione è analoga a quella di De La Hire e De Belidor, la differenza è nell’angolo φ’ che in essa compare

xG

φ

A

PC

Q/2

xA

H

yA

f

φ'

H

l

G2

G1

B

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Se φ> φ’ il peso P necessario per evitare lo scorrimento del cuneo centrale è maggiore di quello necessario per evitare la formazione delle cerniere per cui questo meccanismo risulta più pericoloso per l’arcoMascheroni considera tutte le sezioni come possibilmente critiche, non solo quella a 45°.

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Il ruolo dell’attritoNella maggioranza dei casi risulta φ> φ’ per cui la rottura avverrebbe per scorrimento piuttosto che per formazione di cerniereIn realtà le superfici tra un concio e l’altro non sono prive di attrito come ipotizzatoLa reazione che le superficie del giunto offre al cuneo centrale non è ortogonale al giunto stesso ma inclinata di un angolo ψ nel verso opposto a quello del moto.

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Il ruolo dell’attrito

L’equazione di equilibrio diventa:

con φ’’= φ − ψ

( '' )2

A AF G

G

y tg xQFd Px Pxφ −

= → =

xG

φ

FA

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

φ

φ

dF

yAtgφ

φ

xG

φ

FA

P

C D

Q/2

yA

xA

x

y

φ''

dF

yAtgφ''

φ''=φ−ψ

φ''

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Il ruolo dell’attrito

L’ipotesi di mancanza di attrito fa ritenere più pericoloso un meccanismo che di fatto non si realizzaSi nota l’importanza dei parametri fisici che entrano nel modello per la corretta interpretazione della realtà

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Gli studi sulla catenariaContemporaneamente alla nascita di queste idee si sviluppano gli studi sulla catenariaHooke aveva per primo intuito la relazione esistente tra una fune in equilibrio sotto carichi assegnati ed un arco soggetto agli stessi carichi avente forma identica ma rovesciata.

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La teoria elastica

Il XIX secolo è segnato dai tentativi di interpretazione dell'arco in muratura nell'ambito della teoria della trave elastica ad asse curvilineoFurono affrontati i problemi irrisolvibili nell'apparato concettuale del corpo rigido:

l'effettiva capacità di sopportare certi stati di sollecitazionel'effettivo andamento della curva delle pressioni all'interno dell'arco

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La teoria elastica

Nel XVIII secolo era possibile trattare rigorosamente solo strutture ipostatiche o isostaticheErano note solo le condizioni di equilibrio

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La teoria elastica

Un arco considerato come elemento monolitico è una struttura iperstaticaPer essere risolto è necessario tenere conto della deformabilità del materiale di cui ècompostoSpetta a Hooke la sperimentazione sulla deformabilità dei materiali e la definizione del legame che porta il suo nome

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La teoria elasticaNavier

Gli studi di Navier si basano sulle ipotesi di:Legame elastico forze deformazioniDeterminate condizioni al contorno

Se l’arco è considerato rigido non è possibile determinare la linea delle pressioniSe si considera deformabile divengono disponibili ulteriori equazioni che consentono di risolvere il problema iperstatico

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Navier propose di effettuare le verifiche di stabilità condotte da Coulomb imponendo che le sezioni rimanessero interamente reagenti con tensioni massime di compressione inferiori alle tensioni massime di rottura del materiale rilevate sperimentalmente

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Navier ipotizzò che, per avere solo sforzi di compressione, la linea delle pressioni doveva passare, in corrispondenza dei ‘giunti di rottura’, al massimo per il terzo medio della sezione resistenteIn questo modo si ha la condizione limite di diagramma triangolare delle tensioni di compressione all’interno della sezione, con un valore nullo in corrispondenza del punto in cui ha inizio lo scorrimento in caso di rottura.

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La teoria elastica Mèry

Partendo dagli studi di Navier Mèry mostrò che il problema della determinazione del regime statico di un arco poteva essere risolto utilizzando un poligono di equilibrio a passaggio obbligato per due punti: il terzo medio inferiore nella sezione di imposta e il terzo medio superiore nella sezione in chiave, con retta d’azione orizzontale (per arco simmetrico e simmetricamente caricato e vincolato)In questo modo noti i carichi esterni, era possibile ottenere l’andamento della curva delle pressioni.

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La teoria elastica Mèry

La verifica dell’arco consiste nell’accertare che nelle sue sezioni non siano presenti forze di trazione Per un arco con sezione trasversale rettangolare, bisogna verificare che la curva delle pressioni sia contenuta all’interno della fascia delimitata dal terzo medio di tutte le sezioni trasversali (nocciolo centrale d’inerzia).

S

6P curva delle pressioni

4P

P65P

1P

P32P

S

HH

S

P5P4

P3P2

P1

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La forma dell’arcoGli studi condotti sull’arco nel corso del XIX secolo riguardavano prevalentemente la forma da conferire all’arco per garantire la centratura dello sforzo normale in corrispondenza delle facce a contatto tra un concio e l’altro.Il profilo più adatto per un arco è quello la cui linea d’asse si dispone secondo la funicolare dei carichi ad esso applicati.

Distribuzione dei carichi che genera compressione uniforme per le diverse direttrici

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La forma dell’arco

Se un arco è funicolare per un insieme di carichi, non può esserlo per tutti gli altri sistemi di carichi cui può essere assoggettatoIn ogni arco si ha in genere una combinazione di compressione e di flessioneNell’arco in muratura la forma è, in genere, funicolare del peso proprio e l’arco è soggetto a flessione per i carichi accidentali.

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La teoria elastica Castigliano

Castigliano (1879) applica il suo teorema di minimo dell'energia elastica per determinare l'andamento della linea delle pressionidi un arco mediante un procedimento iterativo che consente di tenere conto della non resistenza a trazione della muratura. Calcolata una prima curva di tentativo nell'ipotesi di sezione elastica:

verifica se è contenuta nel terzo medio dell'arco;se ciò avviene, le sezioni sono compresse e la teoria elastica èapplicabile;se invece la curva non è completamente interna al terzo medio, riduce la dimensione delle sezioni eliminando la porzione soggetta a trazione e procede quindi alla determinazione di una nuova curvabasandosi sulla geometria modificata della sezione. il procedimento iterativo è arrestato quando tutte le sezioni cosìmodificate sono interamente compresse.

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La teoria plastica La soluzione elastica del problema della definizione del regime statico di un arco è sensibile alle variazioni delle condizioni al contornoL’analisi plastica non si basa sulla conoscenza dello stato effettivo in cui la struttura si trova ma sull’esame delle condizioni in cui essa può collassare e sulla verifica che la struttura abbia un sufficiente margine di sicurezza rispetto al collassoLo stato di equilibrio analizzato nella teoria plastica non è lo stato reale in cui si trova ma uno stato possibileSe il progettista riesce a trovare un modo in cui la struttura si comporta soddisfacentemente allora essa sicuramente ci riuscirà.

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La volta a botteLa volta a botte si può considerare generata dalla traslazione di un arco lungo una direttrice ad esso ortogonaleSe la volta poggia con continuità lungo i bordi longitudinali il comportamento di ciascuna sezione èdel tipo ad arcoI muri laterali devono essere sufficientemente larghi per contenere le spinte

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La volta a botte

Se la volta non poggia con continuità si determina un comportamento a trave

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Le spinte nella voltaLe volte a botte possono essere studiante utilizzando la teoria delle membraneUna membrana è una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangenteCiascun elemento della volta è sollecitato da tensioni normali (trazione e compressione) e taglio

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Lesioni dovute a spostamento dei piedritti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all’allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l’esternoSi sviluppa il meccanismo di rottura a 3 cerniere: una cerniera lineare si forma in prossimità della chiave e 2 alle reni

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Le volte a crocieraLa volta a crociera deriva dall’intersezione di 2 volte a botte tra loro ortogonaliGli archi che si formano all’intersezione delle 2 volte possono essere integrati nella volta (spigoli) o risaltare all’intradosso (costole diagonali)

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Le volte a crocieraSe sui piani verticali passanti per il perimetro della pianta sono presenti nervature queste si chiamano:

Costole trasversali: se comuni a due volte adiacentiSe si trovano su una muratura terminale:

Archi di testa: se comprese nella muraturaCostole di testa: se in risalto rispetto alla muratura

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Le volte a crociera

Le volte a crociera possono essere realizzate:Per intersezione di volte a botte semicilindriche uguali (pianta quadrata)Per intersezione di volte a botte semicilindriche con diversa campata e altezza (pianta rettangolare)

L’intersezione delle 2 botti nei costoloni creava un problema nel taglio delle pietre:

Una semplificazione si ebbe costruendo i costoloni come archi indipendenti sui quali poggiavano i pannelli delle volte

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Le volte a crociera

L’esecuzione delle strutture ad arco o voltate avveniva per fasi:

realizzazione di imposte aggettanti solidali coi piedrittirealizzazione dell’elemento di chiusura realizzazione delle pareti d’ambito a buona presa avvenuta e in presenza di un idoneo carico stabilizzante

Con le tecniche relative a pietra da taglio o a mattoni potevano essere realizzate volte senza cassaforma:

occorrevano soltanto delle centinature disposte secondo le costolature.

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Le volte a crociera

Con lo schema architettonico romano con archi di testa a tutto sesto si presentava un problema:

gli spigoli diagonali, intersezioni di due cilindri circolari risultavano delle ellissi frazionando un ellisse in conci si sarebbero avuti conci diversi tra loro.

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Le volte a crocieraIl problema venne risolto dai costruttori gotici:

Partendo dagli archi corrispondenti agli spigoli diagonali (semicirconferenze con diametro uguale alla diagonale del quadrato di base) gli archi di testa sono di forma ellittica approssimati con archi a sesto acutoa parità di dimensioni di base la volta si slanciaa parità di pesi le spinte sui piedritti si riducono di circa il 30%.

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Le spinte nella voltaL’intersezione delle volte in corrispondenza delle costole determina una concentrazione di forze dovuta all’improvviso cambio di direzione delle tensioniLe costole svolgono la funzione di irrigidimento della volta:

Nelle volte con forti cambi di curvatura hanno anche funzione di rinforzo

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Le spinte nella volta

Le tensioni radiali Nθ hanno variano secondo la funzione Nθ = -wacosθ (w = peso per unità di superficie)

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L’equilibrio alla rotazione di una porzione di volta richiede che le spinte bilancianti dei contrafforti agiscano ad una distanza z dal piano di imposta della volta

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E’ essenziale realizzare dei rinfianchi alla volta che forniscano un percorso alle spinte quando queste fuoriescono dalle costole diagonali

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La linea delle spinte si discosta dalla linea d’asse dei costoloni

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Le volte a costoloni devono essere sostenute da contraffortiI capimastri delle cattedrali gotiche realizzarono contrafforti esterni costituiti da archi rampanti

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Gli archi rampanti contrastano le spinte della volta senza indurre trazione nella muraturaPer ridurre le dimensioni dei pilastri e ridurre le spinte spesso si usarono 2 archi rampanti posti l’uno sull’altro

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Pesanti guglie venivano aggiunte sui pilastri esterni per aumentare con il carico la compressione e ridurre la flessione

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Le tavole di UngewitterUngewitter realizzò delle tabelle per il calcolo delle spinte nella volta in funzione di alcuni parametri:

Rapporto freccia/campataSpessore della volta

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Le patologie della volta quadripartita

Pol Abraham identificò (1934) le possibili lesioni in una volta quadripartita:

Lesioni nelle volte principali in chiave (formazione di cerniere)Lesioni parallele alle costole murarie con una completa separazione del pannello della volta (dette fissures de Sabouret)Lesioni che separano i pannelli della volta dai muri

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Lesioni dovute a spostamento dei contrafforti

Tale meccanismo di rottura si manifesta con la depressione del settore centrale dovuta all’allontanamento dei piedritti causato della loro rotazione verso l’esternoLa linea delle spinte passa attraverso i rinfianchi e si scarica sui contrafforti

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Il sistema fessurativotrasforma la volta in 3 blocchi:

Fessure si formano in prossimità e in adiacenza al muro perimetraleUna cerniera lineare si forma vicino alla chiave

Le lesioni si generano perchéla muratura non è sufficiente a contenere le spinte

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Le fessure di Sabouret e quelle murarie comportano completa separazione della muraturaNessuna forza può piùessere trasmessa attraverso queste fessureLe forze di compressione corrono parallelamente alle fessure

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Le volte esapartite

Nella volta esapartita le campate sono voltate a coppieI costoloni connettono campate alterne

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Le cupoleNella copertura del Tesoro di Atreo a Micene si rintraccia l’origine della cupola Pseudo - cupola formata da pietre poste su letti orizzontali in aggetto a formare una struttura anulare regolare

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Le cupoleLa volta è alta 13m e copre una sala a pianta circolare con diametro di 14,5m

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Le cupoleLa cupola si può considerare una membrana di rivoluzione generata per rotazione di un arco rispetto al suo asse centrale

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Le cupoleLa curva generatrice può avere forma circolare, parabolica o un profilo piùcomplesso

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Le cupoleUn membrana può essere idealizzata matematicamente come una superficie curva il cui spessore è piccolo se comparato alle altre dimensioni della struttura (R/t > 20) in grado di trasmettere solo sforzi interni giacenti sul piano tangente Le forze che agiscono sulla membrana si trasformano in stati tensionali di trazione o di compressione contenuti nel suo spessore

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Le tensioni nella cupolaL’ipotesi di comportamento a membrana comporta che la cupola a tutto sesto non trasmetta alcuna spinta

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Le tensioni nella cupolaLe tensioni che agiscono lungo i meridiani crescono dalla chiave all’imposta dal valore 0.5wR al valore wR.

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Le tensioni nella cupolaI paralleli sono compressi in chiave (σ=0.5wR) e tesi all’imposta (σ=-wR) con tensioni costanti lungo uno stesso parallelo

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Le tensioni nella cupolaL’azione di cerchiatura svolta dai paralleli annulla le spinte dei meridiani

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Differenze tra arco e cupola

Nell’arco la linea delle pressioni si modifica al variare dei carichi applicati all’arco (come la catenaria di Hooke si deforma per effetto dei carichi ad essa applicati)L’arco è funicolare per una sola condizione di caricoI meridiani di una cupola sono funicolari per qualunque condizione di carico simmetrica per l’azione di cerchiatura svolta dai paralleli

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Le tensioni nella cupolaLa deformazione in sommità non è impedita pertanto si può sviluppare uno stato puro di tensione di membranaAffinché uno stato puro di tensione di membrana si sviluppi al bordo è necessario che questo si possa spostare verso l’esterno

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Le tensioni nella cupolaSe questo non avviene (come è in realtà) una sollecitazione di flessione si produce in prossimità del bordo Ciò avviene ogniqualvolta le reazioni al contorno non sono tangenti ai meridiani (ad es. se la cupola poggia solo su alcuni punti)

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Le cupole in muraturaIn una cupola in muratura non ci si può aspettare che l’azione di cerchiatura svolta dai paralleli si realizzi efficacemente

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Le cupole in muraturaSuperata la resistenza a trazione della muratura (cui può contribuire l’attrito tra i blocchi) si formano lesioni nei meridiani:

Si annullano gli sforzi di trazione nei paralleliL’ipotesi di comportamento a membrana perde significato

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Le cupole in muratura

Gli spicchi di cupola che rimangono integri si comportano come puntoni e la loro reazione inclinata si trasforma in spinta sull’imposta

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Giovanni PoleniLo studio della cupola di S.Pietro

Giovani Poleni condusse uno studio (1748) sullo stato fessurativo della cupola di S.Pietro200 anni dopo la sua costruzioneOsservò che le fessure avevano diviso la cupola in spicchi semisfericiLa domanda cui dare una risposta era se le fessure fossero pericolose o meno

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La condizione di partenza era che la condizione di stabilità della volta risiedesse nel fatto che la linea delle pressioni fosse contenuta nello suo spessore

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Egli immaginò una cupola ideale costituita di un materiale cui attribuì una densità media uniforme per compensare pieni e vuoti

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Divise il solido ideale in 50 spicchi corrispondenti a 25 archi e studiò l’equilibrio dell’arco quasi-bidimensionale formato da uno di questi spicchi.

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A ciascun arco Poleni attribuì il peso complessivo di 2 milioni di libbre cui aggiunse il peso di 160000 libre della lanternaDivise ciascun semiarco in 16 parti

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Facendo riferimento alla catenaria di Hooke caricò una corda flessibile con 32 pesi diseguali corrispondenti alla sezione dell’arcoL’inversione della catenaria sembrava effettivamente essere contenuta nello spessore dell’arco

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Con questo modello ottenne la curva dell’equilibrio che fece passare per 4 punti:

I centri delle 2 sezioni di impostaI centri delle 2 sezioni corrispondenti al vano della lanterna

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Poleni concluse:“ E per dir brieve, in questo esame fatto con la catenaria, il punto principale consisteva nel vedere, se veramente alcuna parte della catenaria cadesse fuori de’ contorni della volta...”“…in un certo modo convalidata resta anche la proposizione, in cui costituito abbiamo, che per non cattiva la figura della gran volta riputar si debba”

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Ma uno scostamento della catenaria dalla sagoma dell’arco avrebbe significato l’impossibilità di un equilibrio che in realtà si realizzavaPer ottenere la curva funicolare Polenifu costretto a farla passare per 4 puntiLa soluzione che egli ottenne era una delle soluzioni possibili

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Per escludere che lo stato della cupola potesse peggiorare ritenne necessario inserire delle catene L’inclinazione della catenaria in corrispondenza delle imposte rivelava la presenza di spinte che dovevano essere contenute

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Spessore minimo della cupolaLa posizione limite della linea delle pressioni tocca l’estradosso in P e l’intradosso in Q e passa attraverso l’estradosso alla baseDalla condizione di equilibrio alla rotazione si ottiene la spinta orizzontale H = (1- π/4)W=0.215WIn una cupola emisferica lo spessore minimo è il 4.2% del raggio

Posizione limite della curva delle pressioni e meccanismo di collasso corrispondente

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Cupole emisferiche incompleteIn un arco la mancanza dei conci in chiave determina il collasso dell’arco stessoNella cupola le tensioni si distribuiscono in piùdirezioni pertanto una volta che un cerchio èstato completato è stabile senza supportoMetà cupola è stabile quando è soggetta a forze orizzontali sbilanciate

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Cupole emisferiche incompleteUna cupola emisferica incompleta può essere utilizzata come contrafforteLa cupola principale di HagiaSofia (32 m di luce) èsostenuta a est e a ovest da 2 semicupole secondo uno dei sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole

Sistemi bizantini di sostegno delle alte cupole

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Cupole emisferiche incompleteSe lo spessore è sufficiente per sostenere metàcupola allora lo è anche per sostenere tre quarti di cupolaLa cupola principale di Hagia Sofia si è trovata 2 volte in queste condizioni:

dopo il terremoto del 986 che causò il collasso della semicupola occidentale e di un quarto della cupola principaledopo il terremoto del 1346 che causò il collasso della semicupola orientale con il quarto corrispondente di cupola principale

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