Appunti: Scomposizione in fratti semplici ed...

Appunti: Scomposizione in fratti semplici ed antitrasformazione –

Esempi

Giulio Cazzoli

v0.2 (AA. 2017-2018)

1 Esempi 21.1 Esempio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Metodo della copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Metodo della moltiplicazione incrociata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Forma in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Esempio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Metodo della copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Metodo della moltiplicazione incrociata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2.2 Forma in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Esempio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Metodo della copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Metodo della moltiplicazione incrociata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Forma in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3.2 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Esempio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Metodo della copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Metodo della moltiplicazione incrociata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8Forma in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9


1.5.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Metodo della copertura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Metodo della molteplicazione incrociata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Forma in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11


1.6.1 Rappresentazione in fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6.2 Antitrasformata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7 Esempio 7 – Problema di Caucy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

Fratti semplici e antitrasformazione FratSem E-2

1 Esempi

1.1 Esempio 1

Consideriamo la funzione razionale fratta:

F (s) =s+ 3

s(s+ 2)(s+ 5)

1.1.1 Rappresentazione in fratti semplici

La rappresentazione in fratti semplici:

F (s) =C1

s+

C2

s+ 2+

C3

s+ 5

richiede la conoscenza dei coefficienti C1, C2 eC3.

Metodo della copertura

Per calcolare il coefficiente C1 mediante il metodo di copertura, si moltiplica F (s) per s:

sF (s) = C1 + sC2

s+ 2+ s

C3

s+ 5

e si sostituisce s = 0:

sF (s)|s=0 =

(C1 + s

C2

s+ 2+ s

C3

s+ 5

)∣∣∣∣s=0

quindi:

C1 = s F (s)|s=0 = ss+ 3

s(s+ 2)(s+ 5)

∣∣∣∣s=0

=s+ 3

(s+ 2)(s+ 5)

∣∣∣∣s=0

=3

2 · 5=

3

10

Analogamente per C2, coefficiente del polo p2 = −2:

C2 = (s+ 2)F (s)|s=−2 = (s+ 2)s+ 3

s(s+ 2)(s+ 5)

∣∣∣∣s=−2

=s+ 3

s(s+ 5)

∣∣∣∣s=−2

=1

−2 · 3= −1

6


C3 = (s+ 5)F (s)|s=−5 = (s+ 5)s+ 3

s(s+ 2)(s+ 5)

∣∣∣∣s=−5

=s+ 3

s(s+ 2)

∣∣∣∣s=−5

=−2

−5 · (−3)= − 2

15

Metodo della moltiplicazione incrociata

Osservando che:

N(s) = s+ 3

D(s) = s(s+ 2)(s+ 5) = s3 + 7s2 + 10s

Si moltiplica l’espressione in fratti semplici per il polinomio denominatore:

[s(s+ 2)(s+ 5)]

(C1

s+

C2

s+ 2+

C3

s+ 5

)= C1 [(s+ 2)(s+ 5)] + C2 [s(s+ 5)] + C3 [s(s+ 2)] =

= C1

(s2 + 7s+ 10

)+ C2

(s2 + 5s

)+ C3

(s2 + 2s

)= s2(C1 + C2 + C3) + s(7C1 + 5C2 + 2C3) + 10C1

Il polinomio risultante deve essere uguale al polinomio numeratore:

s2(C1 + C2 + C3) + s(7C1 + 5C2 + 2C3) + 10C1 = s+ 3


Pertanto i coefficienti Ci si ottengono risolvendo il sistema: C1 + C2 + C3 = 07C1 + 5C2 + 2C3 = 110C1 = 3

sfruttando l’ultima equazione e sottraendo la prima alla seconda: 5C1 + 5C2 + 5C3 = 07C1 + 5C2 + 2C3 = 1C1 = 3/10

⇒

2C1 − 3C3 = 1C1 + C2 + C3 = 0C1 = 3/10

con pochi passaggi C3 = 2/3C1 − 1/3C2 = −C1 − C3

C1 = 3/10⇒

C1 = 3/10C2 = −1/6C3 = −2/15

1.1.2 Forma in fratti semplici

Sostituendo i coefficienti, la rappresentazione in fratti semplici diviene:

F (s) =3

10· 1

s− 1

6· 1

s+ 2− 2

15· 1

s+ 5

1.1.3 Antitrasformata

Nota la rappresentazione in fratti semplici, l’espressione della antitrasformata vale:

f(t) =3

10e0t +

(−1

6

)e−2t +

(− 2

15

)e−5t

ripulendo:

f(t) =3

10− 1

6e−2t− 2

15e−5t


1.2 Esempio 2


F (s) =s2 + 1

s2(s+ 2)



F (s) =C1

s+ 2+C2

s+C3

s2



Per calcolare il coefficiente C1 mediante il metodo di copertura, si moltiplica F (s) per s + 2 e si sostituisces = −2:

C1 = (s+ 2)s2 + 1

s2(s+ 2)

∣∣∣∣s=−2

=s2 + 1

s2

∣∣∣∣s=−2

=4 + 1

4=

5

4

Per i coefficienti C2 e C3 ricordando:

C3−k =1

k!· d

k

dsk[F (s)s2

]∣∣∣∣s=0

k = 0, 1

Con il termine entro l’operatore di derivata:

F (s) s2 =s2 + 1

s2(s+ 2)s2 =

s2 + 1

s+ 2

Il coefficiente C3:

C3 =1

0!· s

2 + 1

s+ 2

∣∣∣∣s=0

= 1 · 0 + 1

0 + 2=

1

2

Il coefficiente C2:

C2 =1

1!· dds

[s2 + 1

s+ 2

]s=0

=1

1!·[

2s(s+ 2)− (s2 + 1)

(s+ 2)2

]s=0

= −1

4



[s2(s+ 2)

]( C1

s+ 2+C2

s+C3

s2

)= C1

(s2)

+ C2 [s(s+ 2)] + C3 (s+ 2) = C1

(s2)

+ C2

(s2 + 2s

)+ C3 (s+ 2)

= s2(C1 + C2) + s(2C2 + C3) + 2C3

Il polinomio risultante deve essere uguale al polinomio numeratore

s2(C1 + C2) + s(2C2 + C3) + 2C3 = s2 + 1

Pertanto i coefficienti Ci si ottengono risolvendo il sistema: C1 + C2 = 12C2 + C3 = 02C3 = 1

sfruttando l’ultima equazione: C1 = 1− C2

C2 = −C3/2C3 = 1/2

⇒

C1 = 5/4C2 = −1/4C3 = 1/2


1.2.2 Forma in fratti semplici


F (s) =5

4· 1

s+ 2− 1

4

1

s+

1

2

1

s2



f(t) =5

4e−2t +

(−1

4

)t0

0!e0t +

1

2

t1

1!e0t

ripulendo:

f(t) = −1

4+

1

2t+

5

4e−2t


1.3 Esempio 3


F (s) =s+ 3

s(s+ 2)2(s+ 5)



F (s) =C1

s+

C2

s+ 2+

C3

(s+ 2)2+

C4

s+ 5



Per calcolare il coefficiente C1 mediante il metodo di copertura, si moltiplica F (s) per s e si sostituisce s = 0:

C1 = ss+ 3

s(s+ 2)2(s+ 5)

∣∣∣∣s=0

=3

4 · 5=

3

20


C4 = (s+ 5)s+ 3

s(s+ 2)2(s+ 5)

∣∣∣∣s=−5

=−2

−5 · 9=

2

45

Il coefficiente C3 puo essere ottenuto per normale copertura:

C3 = (s+ 2)2s+ 3

s(s+ 2)2(s+ 5)

∣∣∣∣s=−2

=1

−2 · 3= −1

6

Per i coefficienti C2 la copertura non e applicabile, quindi si ricorre alla derivata del polinomio:

C2 =1

1!· dds

[(s+ 2)2

s+ 3

s(s+ 2)2(s+ 5)

]s=−2

=1

1!· dds

[s+ 3

s(s+ 5)

]s=−2

=

[s(s+ 5)− (s+ 3)(2s+ 5)

s2(s+ 5)2

]s=−2

= − 7

36


Moltiplicando l’espressione in fratti semplici per il polinomio denominatore:

[s(s+ 2)2(s+ 5)

](C1

s+

C2

s+ 2+

C3

(s+ 2)2+

C4

s+ 5

)Risolvendo i prodotti:

[s(s+ 2)2(s+ 5)

](C1

s+

C2

s+ 2+

C3

(s+ 2)2+

C4

s+ 5

)=

= C1

[(s+ 2)2(s+ 5)

]+ C2 [s(s+ 2)(s+ 5)] + C3 [s(s+ 5)] + C4

[s(s+ 2)2

]=

= s3(C1 + C2 + C4) + s2(9C1 + 7C2 + C3 + 4C4) + s(24C1 + 10C2 + 5C3 + 4C4) + 20C1


Il polinomio risultante deve essere uguale al polinomio numeratore, questo porta al sistema:C1 + C2 + C4 = 09C1 + 7C2 + C3 + 4C4 = 024C1 + 10C2 + 5C3 + 4C4 = 120C1 = 3

La soluzione di un sistema quattro-per-quattro non e complessa, ma sicuramente e gravosa. Quindi il gua-dagno rispetto al metodo di copertura e minimale. Nulla vieta di usare una strategia ibrida in cui si scrive ilsistema di equazioni, si usa il metodo di copertura per calcolare il maggior numero di coefficienti “semplici” (inquesto caso C1, C3 e C4) per poi usare una delle righe del sistema per calcolare i coefficienti mancanti. Quindi:

C1 + C2 + C4 = 0C4 = 2/45C3 = −1/6C1 = 3/20

⇒

C2 = −C4 − C1

C4 = 2/45C3 = −1/6C1 = 3/20

⇒

C2 = −7/36C4 = 2/45C3 = −1/6C1 = 3/20

Forma in fratti semplici


F (s) =3

20· 1

s− 7

36· 1

s+ 2− 1

6· 1

(s+ 2)2+

2

45· 1

s+ 5



f(t) =3

20e0t +

(− 7

36

)t0 e−2t +

(−1

6

)t1 e−2t +

(− 2

45

)e−5t

ripulendo:

f(t) =3

20−(

7

36+

1

6t

)e−2t− 2

45e−5t


1.4 Esempio 4


F (s) =s+ 3

(s+ 5)(s2 + 4s+ 5)

Il termine s2 + 4s+ 5 rappresenta un polo complesso coniugato, infatti:

pcc, pcc =−4±

√42 − 4 · 52

= −2±√

4− 5 = −2± j

Con scelta puramente arbitraria, indicheremo con:

pcc = −2 + j pcc = −2− j



F (s) =C1

s+ 5+

C2

s+ 2− j+

C3

s+ 2 + j

richiede la conoscenza dei coefficienti C1, C2 e C3.


Per calcolare il coefficiente C1 mediante il metodo di copertura, si moltiplica F (s) per s + 5 e si sostituisces = −5:

C1 = (s+ 5)s+ 3

(s+ 5)(s2 + 4s+ 5)

∣∣∣∣s=−5

=s+ 3

s2 + 4s+ 5

∣∣∣∣s=−5

=−5 + 3

25− 20 + 5= −1

5

Per il coefficiente C2:

C2 = (s+ 2− j)s+ 3

(s+ 5)(s+ 2− j)(s+ 2 + j)

∣∣∣∣s=−2+j

=s+ 3

(s+ 5)(s+ 2 + j)

∣∣∣∣s=−2+j

=−2 + j + 3

(−2 + j + 5)(−2 + j + 2 + j)=

1 + j

−2 + 6j= − (1 + j)(2 + 6j)

40=

1

10− 2

10j

Per il coefficiente C3:

C3 = (s+ 2 + j)s+ 3

(s+ 5)(s+ 2− j)(s+ 2 + j)

∣∣∣∣s=−2−j

=s+ 3

(s+ 5)(s+ 2− j)

∣∣∣∣s=−2−j

=

=−2− j + 3

(−2− j + 5)(−2− j + 2− j)= − 1− j

2 + 6j= − (1− j)(2− 6j)

40=

1

10+

2

10j

Come aspettato il coefficiente C3 e il complesso coniugato di C2.


Il calcolo con il metodo della moltiplicazione incrociata risulta piu semplice se si considera la forma in frattisemplici con i complessi coniugati espressi con poli del secondo ordine:

F (s) =s+ 3

(s+ 5)(s2 + 4s+ 5)=

C1

s+ 5+

As+B

s2 + 4s+ 5



[(s+ 5)(s2 + 4s+ 5)

]( C1

s+ 5+

As+B

s2 + 4s+ 5

)=

= C1(s2 + 4s+ 5) + (As+B)(s+ 5)

= (C1 +A)s2 + (4C1 + 5A+B)s+ (5C1 + 5B)

Il polinomio risultante deve essere uguale al polinomio numeratore

(C1 +A)s2 + (4C1 + 5A+B)s+ 5(C1 +B) = s+ 3

Pertanto i coefficienti si ottengono risolvendo il sistema: C1 +A = 04C1 + 5A+B = 15(C1 +B) = 3

Con qualche manipolazione A = −C1

(4− 1− 5)C1 = 1− 35

B = 35 − C1

⇒

C1 = −1/5 = 0.2A = 1/5 = 0.2B = 4/5 = 0.8


Sostituendo i coefficienti, la rappresentazione in fratti semplici con poli di ordine uno diviene:

F (s) = −1

5· 1

s+ 5+

(1

10− 2

10j

)1

s+ 2− j+

(1

10+

2

10j

)1

s+ 2 + j

La forma con il polo complesso coniugato espresso con polinomio del secondo ordine:

F (s) = −1

5· 1

s+ 5+

(1

5s+

4

5

)1

s2 + 4s+ 5


L’antitrasformata della funzione e data dalla somma tra l’antitrasformata del polo semplice e del polo complessoconiugato: L’antitrasformata totale:

f(t) = f−5(t) + fcc(t)

L’antitrasformata del polo semplice, indipendentemente da come e stato ottenuto il suo coefficiente, vale:

f−5(t) = −1

5e−5t

Per antritrasformare il polo complesso coniugato, possiamo considerare sia la forma a poli semplici che laforma con polinomio del secondo ordine.

Nel caso di forma a poli del primo ordine, indicando con u = 1/10 e v = −2/10 la parte reale ed immaginariadel coefficiente C2, si ha:

M =

√5

10ϕ = arctan

(−2

1

)= − arctan 2

quindi l’antitrasformata vale:

fcc(t) =

√5

5e−2t cos (t+ ϕ)

La forma con polinomio del secondo ordine, con i coefficienti ottenuti per moltiplicazione incrociata, permettedi ottenere due formulazioni.


Si osserva che:

s2 + 4s+ 5⇒

ωn =√

5 ≈ 2.236ξ = 4

2√5

= 2√5≈ 0.894

ξωn = 2

ωs = ωn

√1− ξ2 =

√5√

1− 45 = 1

l’antitrasformata del polo complesso coniugato, vale:

fcc(t) =1

5e−2t [cos (t) + 2 sin (t)]

Alternativamente definiti:

M =

√(A

2

)2

+

(Aξωn −B

2ωs

)2

=

√(1

5 · 2

)2

+

( 25 −

45

2

)2

=

√5

10

e

ϕ = arctan

(Aξωn −B

Aωs

)= arctan

(−1

5· 5

1

)= − arctan 2

si ottiene la stessa espressione della antitrasformata con coefficienti ottenuti per copertura:

fcc(t) =

√5

5e−2t cos (t+ ϕ)

Pertanto l’antitrasformata puo essere scritta alternativamente come:

f(t) = f−5(t) + fcc(t)

= −1

5e−5t +

1

5e−2t [cos (t) + 2 sin (t)]

= −1

5e−5t +

√5

5e−2t cos (t+ ϕ)


1.5 Esempio 5


F (s) =s+ 3

(s+ 2)3=

s+ 3

s3 + 6s2 + 12s+ 8



F (s) =C3

(s+ 2)3+

C2

(s+ 2)2+

C1

s+ 2

richiede la conoscenza dei coefficienti C1, C2 e C3.


Usando il metodo di copertura per poli multipli, ricordando:

C3−k =1

k!· d

k

dsk[F (s)(s+ 2)3

]∣∣∣∣s=−2

=1

k!· d

k

dsk[s+ 3]

∣∣∣∣s=−2

con k = 0, 1, 2. Risolvendo la derivata e sostituendo si ha:C3 = 1

0! (s+ 3)|s=−2 = 1C2 = 1

1! 1|s=−2 = 1C1 = 1

2! 0|s=−2 = 0

Metodo della molteplicazione incrociata

Usando il metodo della moltiplicazione incrociata, moltiplicando l’espressione in fratti semplici per il polinomiodenominatore:

s+ 3 =

[C3

(s+ 2)3+

C2

(s+ 2)2+

C1

s+ 2

](s+ 2)3

= C1s2 + (C2 + 4C1)s+ C3 + 2C2 + 4C1

I coefficienti si ottengono risolvendo il sistema: C1 = 0C2 + 4C1 = 1C3 + 2C2 + 4C1 = 3

⇒

C1 = 0C2 = 1C3 = 1



F (s) =1

(s+ 2)3+

1

(s+ 2)2


Noti i coefficienti, l’espressione della antitrasformata vale:

f(t) =1

2!t2 e−2t +

1

1!t e−2t

ripulendo:

f(t) = e−2t(1 +t

2)t


1.6 Esempio 6


F (s) =7s2 − 8s+ 5

s3 + 2s2 + 5s=

s+ 3

s(s2 + 2s+ 5)

Il termine s2 + 2s+ 5 rappresenta un polo complesso coniugato, infatti:

pcc, pcc =−2±

√22 − 4 · 52

= −±√

1− 5 = −1± j2

Con scelta puramente arbitraria, indicheremo con:

pcc = −1 + j2 pcc = −1− j2


Se consideriamo la forma in fratti semplici con i complessi coniugati espressi con poli del secondo ordine:

F (s) =7s2 − 8s+ 5

s3 + 2s2 + 5s=C1

s+

As+B

s2 + 2s+ 5

E quasi immediato ottenere i coefficienti utilizzando il metodo della moltiplicazione incrociata. A tal finemoltiplichiamo il termine in fratti semplici per il polinomio denominatore:

7s2 − 8s+ 5 =

(C1

s+

As+B

s2 + 2s+ 5

)(s3 + 2s2 + 5s)

= C1(s2 + 2s+ 5) + (As+B)s

= (C1 +A)s2 + (2C1 +B)s+ 5C1

Pertanto i coefficienti si ottengono risolvendo il sistema: C1 +A = 72C1 +B = −85C1 = 5

⇒

A = 6B = −10C1 = 1

pertanto

F (s) =1

s+

6s− 10

s2 + 2s+ 5


Osservando che:

s2 + 2s+ 5⇒

ωn =√

5 ≈ 2.236ξ = 2

2√5

= 1√5≈ 0.447

ξωn = 1

ωs = ωn

√1− ξ2 =

√5√

1− 15 = 2

l’antitrasformata del polo complesso coniugato, vale:

fcc(t) = e−t [6 cos (2t)− 2 sin (2t)]

Alternativamente:

M =

√(A

2

)2

+

(Aξωn −B

2ωs

)2

=

√(6

2

)2

+

(6 + 10

2 · 2

)2

= 5

e

ϕ = arctan

(Aξωn −B

Aωs

)= arctan

(4

3

)≈ 0.927 ≈ 53.13◦


quindi:fcc(t) = 10 e−t cos (2t+ ϕ)

L’antitrasformata del polo semplice vale:f0(t) = 1

L’antitrasformata ottenuta mediante il metodo di moltiplicazione incrociata puo essere scritta alternativa-mente come:

f(t) = f0(t) + fcc(t)

= 1 + e−t [6 cos (2t)− 2 sin (2t)]

= 1 + 10 e−t cos (2t+ ϕ)


1.7 Esempio 7 – Problema di Caucy

Appunti: Scomposizione in fratti semplici ed...

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