02-Membrature Semplici e Composte

Politecnico di Torino – Ingegneria CivileVincenzo Ilario Carbone – Teoria e progetto delle costruzioni in acciaio e composte

11-1Luca GIORDANO Teoria e Progetto delle Strutture in acciaio e composte

1DISEG

Membrature semplici

MEMBRATURE SEMPLICIE COMPOSTE

MEMBRATURE SEMPLICIE COMPOSTE

Bibliografia

• Strutture in acciaio – G. Ballio, F. M. Mazzolani (Hoepli, 2002)

• Progettare costruzioni in acciaio – G. Ballio, C. Bernuzzi (Ulrico Hoepli Editore)

• Edifici in acciaio: Materiale, calcolo e progetto secondo L’Eurocodice EN-1993-1-1 –C. Bernuzzi, F.M. Mazzolani (Ulrico Hoepli edizioni)

• Fondamenti di tecnica delle costruzioni – a cura di Mauro Mezzina

• EN1993 – Design of steel structures (vedi le varie parti nelle slide successive)



2DISEG

Membrature semplici



3DISEG

Membrature semplici



4DISEG

Membrature semplici



5DISEG

Membrature semplici



6DISEG

Membrature semplici



7DISEG

Membrature semplici



8DISEG

Membrature semplici



9DISEG

Membrature semplici



10DISEG

Membrature semplici



11DISEG

Membrature semplici



12DISEG

Membrature semplici

Le opere strutturali devono essere verificate:

per gli stati limite ultimi che possono verificarsi, in conseguenza alle diverse combinazioni delle azioni

• perdita di equilibrio della struttura o di una sua parte;

• spostamenti o deformazioni eccessive;

• raggiungimento della massima capacità di resistenza di parti di strutture, collegamenti, fondazioni;

• raggiungimento della massima capacità di resistenza della struttura nel suo insieme;

• raggiungimento di meccanismi di collasso nei terreni;

• rottura di membrature e collegamenti per fatica;

• rottura di membrature e collegamenti per altri effetti dipendenti dal tempo;

• instabilità di parti della struttura o del suo insieme

VERIFICA DEGLI ELEMENTI– GENERALITÀVERIFICA DEGLI ELEMENTI– GENERALITÀ



13DISEG

Membrature semplici

per gli stati limite di esercizio definiti in relazione alle prestazioni attese

• danneggiamenti locali (ad es. eccessiva fessurazione del calcestruzzo) che possano ridurre la durabilità della struttura, la sua efficienza o il suo aspetto;

• spostamenti e deformazioni che possano limitare l'uso della costruzione, la sua efficienza e il suo aspetto;

• spostamenti e deformazioni che possano compromettere l'efficienza e l'aspetto di elementi non strutturali, impianti, macchinari;

• vibrazioni che possano compromettere l'uso della costruzione;

• danni per fatica che possano compromettere la durabilità;

• corrosione e/o eccessivo degrado dei materiali in funzione dell'ambiente di esposizione;

• spostamenti relativi di parti di struttura eccessivi



14DISEG

Membrature semplici

Ed t,RdN N≤

( )t,Rd pl,Rd u,RdN min N , N=

resistenza plastica di progetto della sezione lorda

resistenza ultima di progetto della sezione netta

resistenza di progetto a trazione

ypl,Rd

M0

A fN

⋅=

γ

⋅= ⋅

γnet u

u,RdM2

A fN 0.9

Se viene richiesta duttilità alla sezione deve essere:

pl,Rd u,RdN N≤ ynet M2

u M0

fA0.9

A fγ⋅ ≥ ⋅γ

Oss.

ELEMENTI TESIELEMENTI TESI



15DISEG

Membrature semplici

Calcolo area netta

Nel caso di fori sfalsati l’area totale da dedurre per valutare l’area netta Anet deve essere assunta pari al valore maggiore tra:

1. la somma delle aree delle sezioni dei fori Af in una qualunque sezione trasversale ortogonale

2. il valore seguente calcolato lungo una qualunque spezzata attraverso la membratura

2

fs t

A4 p

⋅−⋅∑somma delle aree delle sezioni dei

fori lungo la spezzatasommatoria estesa a tutti i segmenti della spezzata



16DISEG

Membrature semplici

OSS1:

Se s ≤ (4·p·d0)½ l’area da dedurre può essere approssimata mediante la relazione

OSS2:

Caso di un bullone

Caso di due bulloni

Caso di tre o più bulloni

β2 = 0.4 per p1 ≤ 2.5·d0

β2 = 0.7 per p1 ≥ 5.0·d0

β3 = 0.5 per p1 ≤ 2.5·d0

β3 = 0.7 per p1 ≥ 5.0·d0



17DISEG

Membrature semplici

Un elemento pressoinflesso è considerato semplicemente compresso se l’eccentricità è inferiore ad 1/1000 della

lunghezza dell’elemento stesso

Ed c,RdN N≤

yc,Rd

M0

A fN

⋅=

γ

eff yc,Rd

M0

A fN

⋅=

γ

sezioni trasversali di classe 1, 2 e 3

sezioni trasversali di classe 4

ELEMENTI COMPRESSIELEMENTI COMPRESSI

1. Verifiche di resistenza(occorre in ogni caso affiancare sempre una verifica di stabilità)



18DISEG

Membrature semplici

Nel caso di sezioni di classe 4 non simmetriche occorre tener conto del momento flettente addizionale

∆MEd = NEd⋅eN

indotto dalla traslazione del baricentro (area efficace)

Oss.

3

2

3

G’

eNG

1G

1. G baricentro della sezione lorda2. G’ baricentro della sezione efficace3. zone della sezione non efficaci



19DISEG

Membrature semplici

2. Verifiche di stabilità

Richiami teorici



20DISEG

Membrature semplici

Aste rigiderigidezza della molla

Relazione non lineare, pur avendo supposto elastico-lineare il comportamento della molla. Se i

movimenti sono piccolissimi, numericamente è lecita l'approssimazione cos ϕ ≅ 1, di modo che

l'equilibrio può essere scritto con riferimento alla situazione indeformata.

1)

2)

3)

cos ϕ ≅ 1sen ϕ ≅ ϕ

A

B



21DISEG

Membrature semplici

1)

2)

Quando è presente la forza assiale P, può essere non lecito scrivere l'equilibrio della

struttura rispetto alla configurazione indeformata, anche se gli spostamenti

sono piccoli. L'ipotesi della trascurabilità degli spostamenti non è legata solo alla loro entità, ma anche alla natura della

condizione di carico.

L'osservazione precedente prelude

all'importante aspetto della perdita di

stabilità delle strutture, in questo caso

inteso come rapido incremento degli

spostamenti a seguito di piccolissimi

incrementi dei carichi applicati.



22DISEG

Membrature semplici

OSS: Con riferimento alla relazione 3) (valida nell'ipotesi di movimenti sufficientemente piccoli), per un generico valore di Pt e di P si ottiene:

La relazione può essere

riscritta nella forma seguente

dove si è indicato con

la rotazione che si può

calcolare con la teoria del 1°

ordine

tP l/ Wϕ = ⋅

Pcr = W/l è il carico critico

dell’asta semplicemente

compressaLe deformazioni effettive della struttura,

si possono calcolare moltiplicando i movimenti conseguenti ai soli carichi

trasversali per il coefficiente di amplificazione

cr

11 P/P−



23DISEG

Membrature semplici

Si consideri l'asta in figura perfettamente orizzontale e rettilinea soggetta al carico P.

È evidente che in tale situazione, prescindendo dal problema della resistenza, la configurazione

ϕ = 0 è sempre di equilibrio qualunque sia il valore di P. Per un assegnato carico P si pensi

ora di spostare l'asta dalla configurazione ϕ = 0.

È evidente che l'equilibrio sarà stabile o instabile a seconda che l'asta tenda o no a ritornare nella configurazione di partenza (ϕ = 0), una volta rimossa la causa del disturbo. Sia ϕ il movimento impresso all'asta e, senza perdere in generalità, si potrà supporre ϕ sufficientemente piccolo, in modo da poter considerare sen ϕ ≅ ϕ. L'equilibrio è stabile se il momento stabilizzante W⋅ϕsupera il momento P⋅l ⋅ϕ. Il carico che soddisfa l'equazione P⋅l ⋅ϕ = W⋅ϕ , ossia:

prende il nome di carico critico. Per tutti i valori di P < Pcr ovviamente l'equilibrio è stabile; quando P > Pcr sono possibili configurazioni equilibrate ϕ diverse da quella banale e tali configurazioni si ottengono risolvendo l'equazione trascendente:

C



24DISEG

Membrature semplici

Diagramma del comportamento dell'asta considerata(per α = P/Pcr > 1, il ramo b è descritto dall'equazione ϕ = (P/Pcr)⋅sen ϕ)

P = Pcr



25DISEG

Membrature semplici

Asta con imperfezione iniziale ⇒ϕ0 angolo di inclinazione iniziale. L'applicazione di P comporta un

incremento di rotazione ϕ.La figura e la tabella seguente

mostrano il legame fra P/Pcr e la freccia in funzione di diversi valori di ϕ0, ottenuto risolvendo l'equazione:

OSS: Il carico critico in pratica difficilmente può essere raggiunto, perché già con carichi P discretamente inferiori a Pcr gli spostamenti divengono molto grandi, di solito inaccettabili per la struttura in esercizio.

D



26DISEG

Membrature semplici

Legame fra P/Pcr e la freccia in funzione di diversi valori di ϕ0

W



27DISEG

Membrature semplici

E Il momento stabilizzante fornito dalla molla non cresce in modo proporzionale alla freccia f,

ossia all'estensione stessa della molla, perché al crescere di f si riduce il braccio h. La condizione di equilibrio nella generica

configurazione deformata porge (con K si indica la rigidezza alla traslazione della

sezione di estremità della molla):

tenendo presente il significato di carico critico e supponendo

cos ϕ≅1

La figura seguente mostra il legame carichi-deformazioni: per P < Pcr l'unica soluzione possibile è quella banale ϕ = 0; per P = Pcr si ha biforcazione dell'equilibrio, ma in questo caso, al crescere di ϕ, P cala. La stessa figura mostra, qualitativamente, l'influenza di diversi valori di un'imperfezione iniziale ϕ0, corrispondente a difetto di verticalità.



28DISEG

Membrature semplici

Aste deformabili con carico centrato

Comportamentoreale

Il carico critico Euleriano è il più piccolo carico per ilquale sussiste l’equilibrio nella configurazionedeformata. In corrispondenza di esso si ha labiforcazione dell’equilibrio.

2LEJ

crP π=

P

v

Biforcazione dell’equilibrio

Carico critico Euleriano

P

L

L0=2L

L0=βL

P

LL0=0.7 L

L0=0.5 LL

P



29DISEG

Membrature semplici

Collasso per plasticizzazione

Collasso per instabilità

fy

λ1



30DISEG

Membrature semplici

Aste deformabili con carico eccentrico

⋅ ⋅ + ⋅ = − ⋅2

2

d v(x)E J P v(x) P e

dxPP

v(x)

L+ α ⋅ = −α ⋅2 2v "(x) v(x) e

α =⋅

PE J

( ) ( )( ) ( )

− α= ⋅ α + ⋅ α − α

1 cos Lv(x) e cos x sin x 1

sin L

( ) α = ⋅ α ⋅ α

L Lsin L 2 sin cos

2 2

spostamento max per x=L/2

= ⋅ − α

m1

v e 1L

cos2

= + = α

1 me

e e vL

cos2

eccentricità complessiva somma di quella iniziale e della deformazione

e



31DISEG

Membrature semplici

Oss 1: La funzione cos(x) nell’intervallo [-π/2 , π/2] può essere approssimata da

⋅ ≈ − π

22 x

cos(x) 1

= ≈ α − α π

1 2

e ee

L Lcos 12

α ⋅ ⋅ = = π π ⋅ ⋅

2 2

2cr

L P L PPE J

=−

1

cr

ee

P1

P

La sezione di mezzeria dell’asta è quindi soggetta ad una forza assiale P e ad un momento flettente M1 = P⋅e1

⋅ ⋅σ = + = + = +

⋅ − ⋅ −

1max

cr cr

P eP P P e P MA W A AP P

W 1 W 1P P momento del primo ordine

W = J / ymax



32DISEG

Membrature semplici

Oss: [EC3] Sapendo che la tensione in mezzeria della trave vale:

max

cr

P P eA P

W 1P

⋅σ == +

⋅ −

( )m crm

y m mcr mcr m

cr

fA A

A

η⋅ σ ⋅ ση⋅ σ= σ + = σ +

σ − σ σ ⋅ − σ ⋅ σ ⋅

Ponendo:σmax = fyP = σm ⋅APcr = σcr⋅Aη = (e⋅A) / W

( ) ( )y m cr m m crf − σ ⋅ σ − σ = η⋅ σ ⋅ σ

( ) ( )21 1− χ ⋅ − λ ⋅ χ = η⋅ χ

fattore di riduzionem

yf

σχ =

snellezza adimensionale

y

cr

f A

N

⋅λ =

Equazione nella incognita χ



33DISEG

Membrature semplici

La soluzione della relazione appena scritta risulta

( )2 2

1χ = Φ + Φ − λ

parametro di imperfezione

( )21

2

+ η+ λΦ =

Il parametro η è funzione di e, che corrisponde teoricamente all’imperfezione iniziale; se in questo termine si raccolgono tutti i possibili difetti di un’asta, è possibile tarare ηin modo da rappresentare, per tipologie di sezioni e situazioni di vincolo, il caso più generale.Con prove sperimentali e simulazioni numeriche è stato tarato il coefficiente η e rappresentato mediante 4 curve parametriche di 4 tipi di sezione (EC3) espresse dal parametro α, chiamato coefficiente di imperfezione, nella forma :

( ) ( ) 21 0.2e A.2

W 20

+⋅η = = α⋅ λα⋅

−λ − + λ Φ⇒ =

fattore di imperfezione



34DISEG

Membrature semplici

Ed b,RdN N≤

yb,Rd

M1

A fN

χ ⋅ ⋅=

γ

eff yb,Rd

M1

A fN

χ ⋅ ⋅=

γ

sezioni trasversali di classe 1, 2 e 3

sezioni trasversali di classe 4

χ coefficiente di riduzione per modalità di stabilità pertinente

2 2

11.0χ = ≤

Φ + Φ − λsnellezza adimensionale

classe 1, 2 e 3y

cr

A f

N

⋅λ =

eff y

cr

A f

N

⋅λ = snellezza adimensionale

classe 4( ) 20.5 1 0.2 Φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ

fattore di imperfezione associato alle curve di stabilità[queste dipendono dall’asse attorno al quale si manifesta l’instabilità]

carico critico elastico per la modalità di

instabilità pertinente

Impostazione da EC3



35DISEG

Membrature semplici

Modalità di instabilità pertinente: un’asta compressa può sbandare in diversi modi

Oss.

π Ι=2

cr 20

EN

L

π Ι= Ι +

2w

cr,T T2 20 0

1 EN G

i L

= + +2 2 2 20 y z 0i i i y

Instabilità flessionale(di solito riguarda i profili simmetrici tipo I/H)

Instabilità torsionale(di solito riguarda profili simmetrici con ridotta rigidezza torsionale)

Vedi slide successiva



36DISEG

Membrature semplici

Instabilità flesso-torsionale(di solito riguarda profili con centro di taglio SC non coincidente con baricentro CG)

( ) ( ) = + − + − β β

2

cr,TF cr,y cr,T cr,y cr,T cr,y cr,T1

N N N N N 4 N N2

( )β = − 20 01 y i Sforzo normale critico che

dà instabilità lungo y



37DISEG

Membrature semplici

Curve di stabilità[in funzione del tipo di sezione e dell’asse attorno al quale si manifesta l’instabilità]



38DISEG

Membrature semplici

Curve di stabilità[in funzione del tipo di sezione e dell’asse attorno al quale si manifesta l’instabilità]



39DISEG

Membrature semplici

Valori di χ in funzione delle curve di stabilità e della snellezza adimensionalizzata



40DISEG

Membrature semplici

Il valore di χ da assumere nella relazione per il calcolo

di Nb,Rd è dato dal minimo tra χy e χz

La verifica di stabilità può essere omessa se:

Oss.

0.2λ ≤

Sd crN /N 0.04≤

Per la definizione di Ncr occorre valutare il coefficiente βrelativo al calcolo della lunghezza libera di inflessione[ L0 = β L ].

Per una colonna continua di un telaio controventato il coefficiente β può variare da un minimo di 0.5 (colonna incastrata alle estremità) ad un massimo di 1.0 (colonna incernierata alle estremità)

Per l’instabilità torsionale o flesso-torsionale usare la curva relativa all’asse z



41DISEG

Membrature semplici



42DISEG

Membrature semplici

Il dimensionamento di un elemento inflesso deve far riferimento a:

I. Deformabilità (SLS)II. Resistenza (SLU)III. Eventuale instabilità (SLU)

valore dell’abbassamento in condizione di utilizzo (campo elastico) valore limite ammesso dalla

normativa di riferimento(EC3 tabella seguente)

limν ≤ ν

F Tν = ν + ν

deformazione per flessione deformazione per taglio

ELEMENTI INFLESSIELEMENTI INFLESSI

Deformabilità



43DISEG

Membrature semplici

Oss. La deformata a taglio viene valutata mediante la relazione:

T TL

T(x)G A

ν = χ ⋅⋅∫

Fattore di taglio della sezioneValore > 1, funzione della forma della sezione

Sezione rettangolare χT 1.2IPE χT 2.2 ÷ 2.6HEA / HEB χT 2.1 ÷ 4.7Profilati a doppio T con asse di simmetria χT ≈ A / Aanima

Con riferimento alla trave semplicemente appoggiata, carico uniformemente distribuito, la deformata a taglio risulta:

L = 6H

IPE 24% ÷ 30% νF

HEA / HEB 23% ÷ 58% νF

L = 12H

IPE 6% ÷ 7% νF

HEA / HEB 6% ÷ 15% νF



44DISEG

Membrature semplici

Valori limite in accordo all’EC3

δ0 pre-monta iniziale (controfreccia) della trave nella condizione scarica [stato (0)]

δ1 variazione dell’inflessione della trave dovuta ai carichi permanenti immediatamente dopo l’applicazione dei caichi [stato (1)]

δ2 variazione dell’inflessione della trave dovuta all’applicazione dei carichi variabili piu’ eventuali deformazioni variabili nel tempo, causate dai carichipermanenti [stato (2)]



45DISEG

Membrature semplici

Valori limite di δmax e δ2 per vari tipi di strutture [EC3]



46DISEG

Membrature semplici

Nel caso di strutture reticolari un importante contributo deformativo è quello associato agli scorrimenti foro-bullone

( ) ( )dFB C D

Ln L Ld d

6 h p hν = ν + ν = ⋅ ⋅ φ− + ⋅ ⋅ φ−

Assestamento giunti dei correnti Assestamento giunti estremi

delle diagonali

Numero totale giunti nei correnti di tipo a sovrapposizione (nel caso di

coprigiunto, i giunti valgono 2)

Passo dei nodi delle aste di parete

Lunghezza delle diagonali

Trave reticolare con complessivi 4 giunti a coprigiunto nei correnti (n = 8) , passo dei campi pari a p = L/18 e (φ-d) = 1mm

L/h νc (cm) ν d (cm) νFB (cm)

10 1.34 2.05 3.39

15 2.00 2.33 4.33

20 2.67 2.68 5.36

25 3.34 3.08 6.42

30 4.00 3.50 7.50

Oss.



47DISEG

Membrature semplici

L’azione tagliante VEd non deve superare la resistenza ataglio plastica di progetto Vpl,Rd

yEd pl,Rd

M0

A fV V

3ν ⋅

≤ =⋅ γ

area resistente a taglio

Resistenza a taglio



48DISEG

Membrature semplici

Profilati laminati a I e H con carico parallelo all’anima

( )f w fA A 2 b t t 2 r tν = − ⋅ ⋅ + + ⋅ ⋅

area trasversale profilo

larghezza / spessore ala

spessore anima raccordo ala/anima

Profilati laminati a C con carico parallelo all’anima

( )f w fA A 2 b t t r tν = − ⋅ ⋅ + + ⋅

Sezioni saldate a I e H e a cassone con carico parallelo all’anima

( )wA d tν = ⋅∑

Sezioni saldate a I e H e a cassone con carico parallelo alle ali

( )wA A d tν = − ⋅∑

Definizione delle aree resistenti a taglio (ved. figura)

Tubi di spessore uniforme

A 2 A /ν = ⋅ π



49DISEG

Membrature semplici

Oss 1 Come area resistente a taglio non sempre è da intendersi quella coinvolta dalle tensioni tangenziali

Si consideri una sezione circolare di raggio medio r e di spessore t, soggetta a taglio in una direzione; tutta la sezione risulta interessata dalla tensione tangenziale di calcolo. Nell’ipotesi di tensione tangenziale τ costante agente tangenzialmente al contorno, la risultante risulta espressa dalla

( ) [ ]/ 2

/ 2

00

V 4 r t d cos 4 r t sin 4 r tπ π= ⋅ τ ⋅ ⋅ ⋅ θ ⋅ θ= ⋅ τ ⋅ ⋅ ⋅ θ = ⋅ τ ⋅ ⋅∫

v

V V V2 A4 r t A

τ = = =⋅⋅ ⋅

π

l’integrale è esteso al quarto di cerchio; il coefficiente 4 estende l’integrale a tutta

l’area della sezione

A = 2⋅π⋅r⋅t

Av = 2⋅A / πarea resistente a taglio



50DISEG

Membrature semplici

Oss 2 Nel caso di sollecitazione di taglio e torsione, l’interazione tra le due componenti provoca una riduzione della resistenza a taglio

Ed pl,T,RdV V≤ taglio resistente ridotto per effetto della torsione

Profilati laminati a I e H

t,Edpl,T,Rd pl,Rd

y

M0

V V 1f1.25

3

τ= ⋅ −

⋅ γ resistenza plastica a taglio

tensione tangenziale associata alla

torsione primaria

Profilati laminati a C

t,Ed t,Edpl,T,Rd pl,Rd

y y

M0 M0

V V 1f f1.25 1

3 3

τ τ = ⋅ − − ⋅ ⋅ γ γ

Profilati cavi

t,Edpl,T,Rd pl,Rd

y

M0

V V 1f1

3

τ = ⋅ − ⋅ γ



51DISEG

Membrature semplici

Oss 3 Occorre anche verificare la resistenza all’instabilità per taglio nel caso di anime particolarmente snelle o se sono verificate le seguenti diseguaglianze:

Anima non irrigidita

w

d72

tε> ⋅η

altezza anima

spessore animaη= 1.2 per acciai fino a S460η = 1.0 per acciai di grado superiore

Anima irrigidita

w

d31 k

t τε> ⋅ ⋅η

coefficiente imbozzamento per tensioni tangenziali, funzione

interasse irrigidimenti e altezza anima profilo

per piastre con irrigidimenti trasversali rigidi e senza o con uno o due irrigidimenti longitudinali

definito nella slide successiva

(*)



52DISEG

Membrature semplici

momento di inerzia dell’irrigidimento longitudinale attorno all’asse z

per anime con uno o due irrigidimenti, non necessariamente equidistanziati, Isl è la somma dei contributi dei singoli irrigidimernti

Le relazioni (*) valgono se il rapporto α = (a/hw) ≥ 3. Per piastre con rapporto di forma α < 3 il coefficiente

di imbozzamento per tensioni tangenziali vale



53DISEG

Membrature semplici

Occorre considerare l’azione flettente, l’azione tagliante e l’eventuale presenza contemporanea di flessione e taglio;in questo caso conviene anteporre la verifica del taglio per valutare l’eventuale riduzione di capacità portante a flessioneindotta dall’elevata azione tagliante

1. Resistenza: flessione attorno ad un asse

Ed c,RdM M≤ momento resistente di progetto della sezione trasversale

a. classi 1, 2

b. classe 3

c. classe 4

Mc,Rd = Mpl,d = Wpl·fy/γM0

modulo resistente plastico

Mc,Rd = My,d = Wel·fy/γM0

modulo resistente elastico

Mc,Rd = Weff·fy/γM0

modulo resistente sezione efficace

Resistenza a flessione



54DISEG

Membrature semplici

Oss. Momento plastico di una sezione: corrisponde alla completa plasticizzazione di tutte le fibre (situazione limite relativa ad una curvatura infinita)

asse neutro elastico

asse neutro plastico

L'asse neutro rimane perpendicolare all'asse di simmetria, ma la sua posizione non è più fissa. Infatti la posizione baricentrica, che risulta, in campo elastico, dalla condizione di equilibrio alla traslazione, è soggetta a cambiare quando il diagramma delle tensioni cessa di essere lineare.Analizzando lo stato tensionale della sezione completamente plasticizzata, si ha

1 2Ω Ω Ω= +1 2

y y yΩ Ω Ωf dΩ f dΩ f dΩ 0N = = + =∫ ∫ ∫

1 2y y 1 2 1 2Ω Ω

-f dΩ f dΩ 0 -Ω Ω 0 Ω Ω+ = + = =∫ ∫

A

- fy - fy - fy

fy fy



55DISEG

Membrature semplici

La posizione dell’asse neutro divide la sezione in due aree uguali [asse neutro elastico divide la sezione in aree con momenti statici uguali].

( )1 2

( 0 ) ( 0 )

p y y y y 1 2 yΩ Ω ΩM f y dΩ -f f f S S fy dΩ y dΩ plW

< >

= = + = ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫

a. n. plasticoΩ1

Ω2

h1

h2

σs

( ) ( )p y 1 2 y 1 1 2 2f S S fM h h= ⋅ + = ⋅ Ω ⋅ + Ω ⋅

σs

( )y 1 2 y=f =f2 plh h WΩ⋅ ⋅ + ⋅

B



56DISEG

Membrature semplici

2a. Resistenza: flessione e taglio - Considerazioni teoriche

Per le strutture metalliche si considera una condizione di snervamento puntuale in termini di componenti normali e tangenziali di tensione

2 2 2 2sσ α τ σ+ ⋅ =

α 3=α 2=Tresca Von Mises

La presa in conto del taglio è significativa solo per sezioni con ϕ poco maggiore di 1 (IPE, HE, …) e può essere valutata imponendo che il collasso avvenga per sole σ nelle piattabande e per combinazione di σ e τ nelle anime.

Si rileva peraltro che qualora il taglio sia sufficientemente basso da comportare tensioni tangenziali non molto prossime al limite σs/α, l’influenza del taglio sulla valutazione del momento plastico è del tutto trascurabile.



57DISEG

Membrature semplici

Nel caso di sezione rettangolare soggetta a flessione e taglio secondo l'asse principale y si fanno le due ipotesi seguenti:

a) si trascurano le τzx

b) si suppone (come nella teoria elastica approssimata) che le tensioni normali σz siano distribuite come nel caso di flessione pura nel tratto a ÷ a

a

a

*zyx

V S

I bτ ⋅=

⋅ max3

2 2

V

a bτ = ⋅

⋅ ⋅momento d'inerzia della sola parte di sezione compresa fra

–a e a

Le consuete condizioni di equilibrio forniscono l'andamento delle tensioni tangenziali τzy espresso da

Imponendo alla τmax la condizione di

plasticizzazione,secondo il criterio di Mises,

max2

23 3

yfV a b= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

relazione che esprime V in funzione di a

(*)



58DISEG

Membrature semplici

OSS: La condizione di plasticizzazione non viene mai violata nell’intervallo 0 < y < a; infatti si controlla facilmente che la funzione σz

2 + 3 τzy2 si mantiene inferiore al valore limite σs

2

fra y = 0 e y = a

Sapendo che il momento flettente M può essere espresso in funzione della dimensione a

21 21

3pa

M Mh

⋅ = ⋅ − ⋅

(**)

eliminando il parametro a dalle (*) e (**), si ottiene

223 3

14 4p p

M Vm t

M V

+ ⋅ = + ⋅ =

3y

p

fV b h= ⋅ ⋅

forza tagliante plastica

OSS: Si osserva che la relazione non risulta valida per valori grandi di t ; infatti, per m = 0, essa fornisce il valore t = 2/√3 palesemente inaccettabile.



59DISEG

Membrature semplici

curva ricavata

OSS: Si consideri una trave semplicemente appoggiata di luce 2L soggetta ad un carico concentrato in mezzeria pari a 2V. Nella sezione di mezzeria si ha una forza tagliante pari a V ed un momento flettente pari a V·L

Confronto della parabola ottenuta con la relazione precedente e la curva di Hodge

ottenuta utilizzando una migliore approssimazione

4

3 3y p

pf M

V t V t b h th

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

4 4

3 3

t M t LV

m h m h= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

3

4

t L

m h⋅ =

Sapendo che per una trave deve essere L/h > 3, dalla relazione appena scritta si ottiene che il rapporto t/m deve essere (t / m) < 0.144. Adottando, come proposto da Hodge, un valore di m pari a 0.98÷0.99, si ottiene t < 0.15 Si può concludere che l’influenza del taglio sulla plasticizzazione di sezioni rettangolari è trascurabile



60DISEG

Membrature semplici

Per sezioni a doppio T, trascurando teorie pressochè esatte (Hodge), per valori di V sufficientemente piccoli si può pensare di riprendere la teoria svolta per la sezione rettangolare, con la differenza che, a causa del piccolo valore dello spessore dell'anima di fronte alla larghezza delle ali, l'alterazione del momento risulta trascurabile.Al crescere di V si può ammettere che, al limite, si plasticizzi l'intera anima ad opera delle tensioni tangenziali mentre il momento flettente viene assorbito dalle sole ali; in tali condizioni si ha

max3y

a p

fV A V= ⋅ =

11

12 1

ap

s

a

MAM

hAh

=+ ⋅

⋅ +

per V prossimo a Vp

OSS: Per una sezione IPE 200 la relazione soprascritta fornisce il valore 0,776; per una HE 200 si ha invece 0,898.



61DISEG

Membrature semplici

2b. Resistenza: flessione e taglio – Verifiche secondo EC3

Se la sollecitazione di taglio VEd non è inferiore al 50% della resistenza a taglio plastica di progetto Vpl,Rd=Av ⋅ fy / (√3 ⋅ γM0)

occorre considerare un momento resistente ridotto calcolato adottando una tensione di snervamento ridotta (per le aree soggette alle tensioni tangenziali) pari a

( ) y1 f− ρ2

Ed

pl,Rd

2 V1

V

⋅ρ = −

Definita la sezione come costituita dalla unione di due parti, Av e (A-Av), il momento limite M sarà ottenuto calcolando i singoli contributi considerando i seguenti valori di tensioni normali:

(1-ρ)⋅fy → Av

fy → (A-Av)

dove

fy fy

(1-ρ)⋅fy

≤Ed pl,RdV 0.5V >Ed pl,RdV 0.5V



62DISEG

Membrature semplici

Con riferimento all’Eurocodice 3, nel caso di sezioni ad I ad ali uguali il momento flettente ridotto MV,Rd è dato da:

2yw

V,Rd pl c,Rdw M0

fAM W M

4 t

ρ ⋅= − ⋅ ≤ ⋅ γ

area Aw = h w⋅tw dovehw = altezza dell’anima = (h - 2⋅tf)

( ) ( )v fV,Rd pl,Rd

pl

A A h tM M 1 1

2 W

− ⋅ − ≅ ⋅ − ρ ⋅ − ⋅

Ne segue che il momento plastico ridotto risulta essere:

relazione che risulta una approssimazione di quella ricavata; dalla definizione di ωAv si può ricavare che per l’EC3 il Wpl,Av vale

pl,AvAv

pl

W

Wω =

2w w w

pl,Av w ww w

A A h1W A A

4 t 4 t 4

= = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

si può osservare che nel calcolo degli effetti del taglio si prende un'area resistente maggiore di quella che

implicitamente si prende nel calcolo del momento ridotto



63DISEG

Membrature semplici

Gli elementi inflessi possono presentare il problema della instabilità flesso-torsionale (laterale) derivante dalla presenza di una forza di compressione su una parte del profilo che può provocare uno sbandamento laterale con contemporanea torsione

Come si può osservare si ha contemporanea rotazione e

traslazione della sezione senza che il profilo riesca ad esplicare le proprie risorse

flessionali

Stabilità



64DISEG

Membrature semplici

Il fenomeno è fortemente influenzato da parametri quali:

La lunghezza della trave

Le rigidezze flessionali e torsionali

La natura dei vincoliPer quanto riguarda il progetto delle strutture ad uso civile ed industriale, in genere la soletta/copertura contrastano efficacemente lo spostamento trasversale dell’ala superiore e la rotazione della sezione, fungendo da vincolo nei confronti della instabilità Particolare attenzione deve essere posta durante le fasi di montaggio

Il tipo di carico

Il punto di applicazione del carico



65DISEG

Membrature semplici

Influenza del punto di applicazione del carico

IPE 300 – L = 10 m Carico in mezzeria



66DISEG

Membrature semplici

Influenza dei vincoli rotazionali alle estremità

v’ = ϕy

θ’ = ϕ’ = dϕx/dx

My.cr.0 momento critico per la trave semplicemente appoggiata sollecitata da momento costante lungo l’asse



67DISEG

Membrature semplici

Influenza della distribuzione di momento

ψ = 0.0

ψ = -0.5



68DISEG

Membrature semplici

Influenza della presenza di ritegni trasversali

IPE 300 – L = 10 mCarico uniformemente distribuito applicato nel

centro di taglio

I ritegni sono applicati ai

terzi della luce



69DISEG

Membrature semplici

Influenza della posizione del ritegno trasversale fisso con riferimento all’altezzaSezione ad I L = 10 m

h = 600 mmtw = 8 mmtf = 16 mm

Carico uniformemente distribuito applicato nel centro di taglio



70DISEG

Membrature semplici

Il momento resistente di progetto Mb,Rd all’instabilità di una trave senza controventi laterali e con carico diretto secondo l’anima, è dato da: ( )= χ ⋅ ⋅ γb,Rd LT y y M1M W f

modulo resistente definito in funzione della classe

a. classi 1, 2b. classe 3

Wy = Wpl,y

Wy = Wel,y

Wy = Weff,y

coefficiente di riduzione χLT per instabilità flesso-torsionale

LT 22LTLT LT

11.0χ = ≤

φ + φ − λ

( ) 2LT LT LT LT0.5 1 2 φ = ⋅ + α ⋅ λ − + λ

coefficiente di imperfezione

snellezza adimensionalizzata: per valori ≤ 0.4 la verifica della stabilità flesso-torsionale può essere

omessa in quanto ininfluente sulla capacità portante dell’elemento inflesso

LT y y crW f /Mλ = ⋅

modulo resistente momento critico elastico per instabilità flesso-torsionale

c. classe 4

A



71DISEG

Membrature semplici

Il momento critico può essere valutato secondo le formule indicate nell’Appendice F della EN1993-1-1 del 1994 che coprono diverse casistiche di forma della sezione e posizione del carico rispetto al centro di taglio.

Per sezioni doppiamente simmetriche con carico applicato senza effetti destabilizzanti:



72DISEG

Membrature semplici



73DISEG

Membrature semplici



74DISEG

Membrature semplici



75DISEG

Membrature semplici



76DISEG

Membrature semplici

Per i profili laminati a caldo o sezioni equivalenti sald ate è proposto un approccio alternativo, meno conservativo del precedente, per la determinazione del fattore di riduzione χLT.

LT 22LTLT LT

11.0χ = ≤

φ + φ − β ⋅ λ

2

LTLT

1 χ ≤ λ

0.75 ≤ β ≤ 1.0

( ) 2LT LT LT LT,0 LT0.5 1 φ = ⋅ + α ⋅ λ − λ + β ⋅ λ

LT,00.2 0.4≤ λ ≤coefficiente di imperfezione

B

Per considerare la distribuzione delle azioni flettenti lungo l’elemento viene introdotto un coefficiente correttore f

( ) ( )2

c LTf 1 0.5 1 k 1 2 0.8 1.0 = − ⋅ − ⋅ − ⋅ λ − ≤

dipende dalla distribuzione del momento flettente (tabella seguente) LT

LT,mod 1.0f

χχ = ≤

fattore di riduzione modificato

LT,00.2 0.4≤ λ ≤



77DISEG

Membrature semplici

Coefficiente kc dipendente dalla distribuzione di momento

Tale tabella non ricopre la variabilità del momento flettente: per questo motivo in genere si sceglie il metodo generale A



78DISEG

Membrature semplici

OSS: Nel caso in cui la snellezza dell'elemento non sia elevata, l’instabilità flesso-torsionale è ritenuta ininfluente sulla capacità portante dell'elemento inflesso. In dettaglio la verifica di stabilità flesso-torsionale può essere omessa se

LT Ed cr0.2 e M 0.04 Mλ ≤ ≤ ⋅A

LT Ed cr0.4 e M 0.16 Mλ ≤ ≤ ⋅B

Metodo della piattabanda compressaCIl metodo della piattabanda compressa consiste nel considerare lo svergolamento per

inflessione della trave come dovuto allo sbandamento euleriano per compressione semplice di una parte della sezione: nelle sezioni ad I o ad H, la piattabanda compressa.

L’EC 3 limita tale metodo alle travi degli edifici.

c,Rdf c0

y

M

Mλ < λ

snellezza adimensionale della parte compressa del

profiloc0 LT,0 0.1λ ≤ λ +

Mc,Rd = Wy·fy/γM1(classe della sezione)

massimo momento flettente agente nel tratto considerato

Condizione per omettere

la verifica



79DISEG

Membrature semplici

yc c c cf

f,z 1 f,z

fk L k L 1i i E

⋅ ⋅λ = = ⋅ ⋅

⋅ λ πsnellezza adimensionale della parte compressa del

profilo

dipende dalla distribuzione del momento flettente (tabella precedente)

distanza tra due ritegni torsionali successivi

raggio giratore di inerzia dell'ala compressa

ff ,z

f w,c

Ii

1A A

3

=+ ⋅

If momento di inerzia dell'ala compressa rispetto all'asse debole del profiloAf area dell'ala compressaAw,c area della parte di anima compressa (1/3)

snellezza di proporzionalità

1y

Ef

λ = π ⋅

y yb,Rd f,l f c,Rd f,l f Ed

M1

W fM k M k M

⋅= ⋅ χ ⋅ = ⋅ χ ⋅ ≥

γ

fattore di riduzione associato a λf (curva c)

fattore correttivo pari a 1.10



80DISEG

Membrature semplici

ELEMENTI TENSO-INFLESSIELEMENTI TENSO-INFLESSI

Consideriamo il caso delle sezioni con doppio asse di simmetria.La trattazione si sviluppa generalizzando quella svolta nel caso di flessione semplice. Data la forza normale N con centro di pressione sull'asse y (di simmetria) a distanza e dal baricentro, al crescere di N si hanno le varie fasi illustrate in figura:

a) fase elasticab) distribuzione elasto-plastica con plasticizzazione da un lato soltantoc) idem con plasticizzazione da due lati d) fase limite (ideale) di completa plasticizzazione con curvatura infinita



81DISEG

Membrature semplici

Lo studio del problema viene condotto ipotizzando la sezione completamente plasticizzata (caso d) e ricercando la frontiera del dominio di resistenza, o curva di snervamento. Il diagramma d si può scomporre nel modo indicato in figura e) ed f )

ha per risultante la forza N

ha per risultante M = N⋅e



82DISEG

Membrature semplici

Detto Mp il momento plastico dell'intera sezione, Np l a forza normale plastica Np = A⋅σs , Msd il

momento plastico della sezione ridotta alla zona ± d, si può scrivered

p pM M M= −

( )1 1d dp p

p p p p

M SM Nm f f n

M M S N

= = − = − = =

Nel caso di sezione rettangolare, la relazione precedente diventa:

2 22

2 2

81 1 1 4 1

2

dp

p

S b d dm n

S b h h

⋅= − = − ⋅ = − ⋅ = −⋅

22s

p s

b dN dn

N b h h

σσ

⋅ ⋅ ⋅= = = ⋅

⋅ ⋅

Si ha quindi, nel piano m n, primo quadrante, una parabola (a) [curve di interazione]. Naturalmente, negli altri quadranti si hanno parabole simmetriche della prima e in definitiva si ha il dominio (convesso) completo.

Equazione di Girkmann



83DISEG

Membrature semplici

Nel caso di sezione a doppio T inflessa secondo il suo asse forte si hanno delle espressioni un po' più complesse (Oss 2 successiva) e si ottengono curve situate al di sotto della parabola precedente (b)

Se l'asse di flessione è quello debole, le curve passano al di sopra della parabola (c)

Nel caso di profili normali a doppio T, le curve sono generalmente comprese in una fascia molto ristretta, che si può approssimare moltabene con due rette

a

b

c



84DISEG

Membrature semplici

Con riferimento alla flessione secondo l'asse forte, le due rette possono essere rappresentate mediante le relazioni

m = 1 per n ≤ 0.15n + 0,85⋅m = 1 per 0.15 ≤ n ≤ 1

OSS: Secondo queste espressioni, l'influenza della forza normale sui valore del momento plastico si può trascurare finchè essa e inferiore al 15% del suo valore plastico

Nel caso di sezione con un solo asse di simmetria, con materiale avente uguale resistenza a trazione e compressione, si ottengono domini di resistenza simmetrici rispetto all'origine. Ad esempio, la figurasi riferisce ad una sezione a T; la curva è costituita da due coppie di parabole con assi paralleli all'asse m; una coppia si riferisce ai casi nei quali l'asse neutro taglia l'anima, l'altra ai casi nei quali l'asse neutro taglia l'ala.



85DISEG

Membrature semplici



86DISEG

Membrature semplici

Oss 1: Con riferimento al limite della fase elastica, data una sezione rettangolare, è possibile la seguente considerazione:

s

+ = se

N M

A Wσ

1+ = + =⋅ ⋅s e s p e

N M N M

A W N Mσ σ

Diagramma di interazione per le condizioni limite di

fase elastica e di fase plastica

Ms = Me

Ms = (2/3) Mp

Ms / Mp = (2/3)



87DISEG

Membrature semplici

Oss 2: Sezione a doppio T simmetrica

2= ⋅ ⋅ ⋅M y w nN f t y

Asse neutro nell’anima

( ) ( )2 22 / 4 = ⋅ ⋅ ⋅ − + − ⋅ − ⋅ N y f f f n wM f b t h t h t y t

(eq. 1)



88DISEG

Membrature semplici

Asse neutro nella flangia

( ) ( ) 2 2 / 2 = ⋅ ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ − − M y w f f nN f t h t b t h y

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

/ 2 2

/ 2 / 2 / 2

/ 2 / 2 / 2 / 2

⋅ ⋅ − + + ⋅ − ⋅ ⋅ + = ⋅ ⋅ − ⋅ + − +

⋅ − − ⋅ − + − −

f f n w f n

N y n n n

f n f f n

b t h t y t h t y

M f b h y y h y

b t h y h t t h y

(eq. 2)



89DISEG

Membrature semplici

Verifica secondo EC3

La presenza di una forza assiale contemporanea a un momentoriduce le caratteristiche prestazionali della sezione.

L’EC3 propone, in funzione della classe di appartenenza della sezione, dei criteri di riduzione della capacità plastica resistente flessionale di progetto

Caso di sezioni trasversali di classe 1 e 2 ed in assenza di azione tagliante [si analizza solo questo caso dato la non eccessiva frequenza per cui questa verifica di resistenza è condizionante in un elemento presso-inflesso]

Ed N,RdM M≤ Momento resistente plastico di progetto ridotto per la presenza

di forza assiale



90DISEG

Membrature semplici

Nel caso di profilati laminati di comune impiego ad I o H, per sezioni senza fori per i bulloni, si può utilizzare la seguente approssimazione (asse y-y) per il calcolo di MN,Rd

Ny,Rd pl.y,RdM M≤

Ed pl,Rdn N /N=

( )( )Ny,Rd pl y,Rd

1 nM M

1 0.5 a⋅

−= ⋅

− ⋅( )fA 2 b t

aA

a 0.5

− ⋅ ⋅=

≤

Con riferimento all’asse z-z della sezione valgono invece le seguenti relazioni

Nz,Rd pl.z,Rdn a M M≤ → =2

Nz,Rd pl.z,Rd

n an a M M 1

1 a

− > → = ⋅ − −

Resistenza plastica di progetto della sezione lorda

Momento resistente plastico nel piano dell’anima

Momento resistente plastico nel piano delle ali

Dimensioni ala

Area lorda della sezione trasversale

(eq. 3)



91DISEG

Membrature semplici

yn



92DISEG

Membrature semplici

Oss 1 Per profili ad I o H non deve essere applicata nessuna riduzione al momento resistente plastico di progetto attorno all’asse y-y se risultano soddisfatte entrambe le condizioni:

Ed pl,RdN 0.25 N≤ ⋅

w w ykEd

M0

0.5 h t fN

⋅ ⋅ ⋅≤

γ


Altezza dell’animaSpessore dell’anima

Tensione di snervamento del materiale

Analogamente non si applicano riduzioni al momento resistente plastico attorno all’asse z-z se risulta soddisfatta la relazione:

w w ykEd

M0

h t fN

⋅ ⋅≤

γ




93DISEG

Membrature semplici

Oss 2 Per un elemento rettangolare pieno (piastra) senza fori per i dispositivi di giunzione, il momento resistente plastico di progetto ridotto è dato da:

2

EdN,Rd pl,Rd

pl,Rd

NM M 1

N

≤ −

Oss 3 Nel caso di flessione deviata può essere adottato il seguente criterio:

y,Ed z,Ed

Ny,Rd Nz,Rd

M M1

M M

α β

+ ≤



94DISEG

Membrature semplici

Oss 4 Nel caso di presenza contemporanea anche del taglio, se questo è superiore al 50% della resistenza plastica, occorre ridurre la tensione di snervamento del coefficiente (1-ρ), e dunque sostituire il momento plastico col momento plastico ridotto

( )V,Rd pl,Rd AvM M 1= ⋅ − ρ ⋅ ωa favore di sicurezza si

può porre ωAv = 1

ed il coefficiente n, coefficiente di sfruttamento assiale, con il corrispondente

( )Ed

V M0v y

Nn

A 1 a f= ⋅ γ

⋅ − ρ ⋅ ⋅

Av / A

Al crescere del taglio applicato le curve che danno il dominio limite si contraggono generando un fascio di curve via via più ridotte. La formulazione indicata è la generalizzazione delle formule di interazione per (N, M) vista prima: vengono

modificati i punti corrispondenti alle intercette sugli assi N ed M mantenendo costante la forma analitica della curva di interazione.



95DISEG

Membrature semplici

ELEMENTI PRESSO-INFLESSIELEMENTI PRESSO-INFLESSI

Il dimensionamento di un elemento presso-inflesso deve far riferimento a:

Il carico assiale è applicato con una eccentricità superiore a 1/1000 della luce

Nel caso di aste compresse soggette a flessione per motivi diversi

Elemento presso-inflesso quando:

I. Resistenza (SLU)II. Stabilità (SLU)

In genere sono le verifiche maggiormente significative e penalizzanti:1. Instabilità piana2. Instabilità flesso-torsionale



96DISEG

Membrature semplici

Instabilità pianaLe condizioni di vincolo impediscono lo sbandamento della flangia compressa

mediante l’inflessione dell’asta nel piano che contiene l’eccentricità del carico

Instabilità flesso-torsionaleQuando l’instabilità è accompagnata dallo

sbandamento laterale tipico dello svergolamento

(Nel caso in cui il centro di taglio e baricentro della sezione non siano coincidenti, in genere l’instabilità

flesso-torsionale risulta determinante anche nel caso di carichi assiali di modesta entità)



97DISEG

Membrature semplici

II. Instabilità

Lo studio della presso-flessione è condotto attraverso i domini di interazione tra azione

assiale e azioni flettenti secondo i due assi

principali della sezione

Dal punto di vista normativo, in luogo di formulazione complesse dei domini di interazione, vengono proposti criteri

semplificati



98DISEG

Membrature semplici

y,Sd y,Sd z,Sd z,SdSdyy yz

y Rk y,Rk z,RkLT

M1M1 M1

M M M MNk k 1

N M M+ ∆ + ∆

+ ⋅ + ⋅ ≤χ ⋅

χ ⋅γγ γ

sollecitazioni di calcolo

fattori di riduzione legati all’instabilità flessionale

fattore di riduzione dell’instabilità laterale

Verifica di instabilità di elementi presso-inflessi(caso generale biassiale)

y,Sd y,Sd z,Sd z,SdSdzy zz

z Rk y,Rk z,RkLT

M1 M1M1

M M M MNk k 1

N M M+ ∆ + ∆

+ ⋅ + ⋅ ≤χ ⋅

χ ⋅γ γγ

Oss: Rk rappresentano i valori caratteristici di resistenza da valutare sulla base della classe della sezione trasversalecoefficienti rappresentanti i

termini di interazione



99DISEG

Membrature semplici

Indicazioni per il calcolo di NRk = fy⋅Ai MRk = fy ⋅Wi ∆Mi,Sd

Momenti aggiuntivi dovuti alla traslazione dell’asse baricentrico efficace della sezione

lorda per profili in classe 4

eN,y eN,z rappresentano le eccentricità (secondo asse y e secondo asse z) tra il

baricentro della sezione nominale e quello della sezione efficace



100DISEG

Membrature semplici

I coefficienti di interazione kα,β sono riportatinegli allegati A e B dell’EC3

I valori riportati di seguito (allegato B, più semplice e diretto rispetto all’allegato A) sono relativi a:

In [Tab 3] sono riportati i coefficienti di momento equivalente

• elemento non soggetto a deformazioni torsionali (es. sezioni cave circolari o rettangolari oppure sezioni vincolate nei confronti dell’ingobbamento) [Tab 1]

• elemento soggetto a deformazioni torsionali (es. profilato a doppio T) [Tab 2]



101DISEG

Membrature semplici

[Tab 1]



102DISEG

Membrature semplici

[Tab 2]



103DISEG

Membrature semplici

[Tab 3]



104DISEG

Membrature semplici

Per i profili in acciaio, generalmente a sezione aperta in sezione sottile, occorre impostare la torsione con una trattazione più

generale [teoria delle aree settoriali o della torsione non uniforme]

Il flusso delle tensioni tangenziali indotte dal momento torcente T viene suddiviso in due aliquote:

flusso primario τt associato alla torsione pura o uniforme (De Saint Venant) con risultante Tt

flusso secondario τw associato a tensioni tangenziali indotte dall’ingobbimento disuniforme delle sezioni trasversali, torsione secondaria o torsione non uniforme, con risultante Tw[contributo significativo per le travi a sezione sottile aperta]

Alle tensioni τw risultano associate delle tensioni normali secondarie σw autoequilibrate

T = Tt + Tw (*)

VERIFICA DELLE SEZIONI – TORSIONEVERIFICA DELLE SEZIONI – TORSIONE



105DISEG

Membrature semplici

Tensioni tangenziali indotte dalla torsione

primaria

Tensioni tangenziali indotte dalla torsione

secondaria

Tensioni normali autoequilibrate

indotte dalla torsione secondaria



106DISEG

Membrature semplici

Diagramma di Kollbrunner tracciato nel piano adimensionale k, B/B0 (B0 = B per k=0)

Momento settoriale delle tensioni normali – bimomento ⇒ B = - E Iω ϕII



107DISEG

Membrature semplici

Bmax

Tw,max

Tt,max

Trave realizzata con un profilo ad H, appoggiata flessionalmente e

torsionalmente



108DISEG

Membrature semplici

Interazione torsione primaria torsione secondaria nel caso dei

profili a I e ad H laminati (HE, IPE) e saldati (HSU, HSA, HSL, HSE) di sagomario rappresentata nel piano piano L/iy - t/h in funzione del parametro k, che individua

zone di comportamento torsionale caratteristico.

L/iy snellezza laterale della trave

t/h rapporto fra lo spessore dell’anima e l’altezza della trave



109DISEG

Membrature semplici

Con riferimento all’EC3 per una sezione soggetta momento torcente TEd occorre soddisfare la verifica di resistenza

Ed RdT T≤

Resistenza a torsione della sezione

Per la determinazione del momento plastico resistente di una sezione soggetta a flessione e torsione solo gli effetti torsionali BEd devono essere calcolati con analisi elastica

Per sezioni chiuse l’effetto torsionale dato da ingobbamento impedito può essere trascurato

Per sezioni aperte (H, I) il contributo torsionale di St. Venant può essere trascurato

Momento torsionale sollecitante

TEd = Tt,Ed + Tw,Ed

I valori di Tt,Ed e Tw,Ed sono calcolati con analisi elastica

Verifiche di resistenza



110DISEG

Membrature semplici

Element elastic design

This flow chart presents the design procedure for uniform sections (rafter or column) in

portal frames



111DISEG

Membrature semplici

1



112DISEG

Membrature semplici

1



113DISEG

Membrature semplici



114DISEG

Membrature composte

MEMBRATURE COMPOSTEMEMBRATURE COMPOSTEPer aste composte si intendono le membrature

composte interessate prevalentemente da forza assiale

Sono formate da due o più elementi principaliopportunamente vincolati tra di loro in modo

discontinuo

Il comportamento globale dipende da:A) deformabilità flessionale, legata al momento d’inerzia della sezione compostaB) deformabilità per taglio, derivante dalla deformabilità delle aste di collegamento

e dei correnti

La capacità portante dipende da:A) comportamento globale dell’astaB) comportamento locale delle singole componentiC) tipo di collegamento tra le componenti ed azioni che le impegnano



115DISEG

Membrature composte

I. Aste tralicciate Costituite da correnti collegati tra loro mediante un traliccio

Ogni tratto di corrente può essere considerato come asta isolata

semplicemente compressa avente lunghezza libera di inflessione pari

all’interasse dei collegamenti

La deformabilità per taglio dipende dalla rigidezza assiale del diagonale e del traverso



116DISEG

Membrature composte

II. Aste calastrellateCostituite da correnti collegati tra loro

mediante piastre rettangolari (calastrelli)

I correnti sono compressi ed inflessi; si approssima con

andamento lineare il diagramma di momento

La deformabilità per taglio dipende dalla dalla rigidezza flessionale di

correnti e calastrelli



117DISEG

Membrature composte

III. Aste abbottonateCostituite da correnti ravvicinati tra i quali

vengono interposte delle lamiere in acciaio

I correnti sono compressi ed inflessi; il diagramma di momento ha andamento non lineare e deve

essere valutato con riferimento alla configurazione deformata

La deformabilità per taglio dipende dalla dalla rigidezza flessionale di correnti e collegamenti, nel caso di

giunzioni bullonate



118DISEG

Membrature composte

Considerazioni teoriche – Influenza del taglio sul carico critico

Trave incernierata alle estremità, semplicementecompressa da una forza assiale P. Impressa alla trave una configurazione deformata che dia luogo a piccoli spostamenti trasversali v, in una generica sezione si manifestano il momentoM = P⋅v e lo sforzo di taglio

Sapendo che lo sforzo tagliante induce sul tronco elementare dx la deformazione:

coefficiente di deformazione a taglio

y

γ

Tdx

dy

dx

dv γ1



119DISEG

Membrature composte

T+dT

Equazione differenziale che differisce da quella senza deformazione a taglio

soltanto per il fatto che al momento d'inerzia J della sezione si sostituisce

il valore J*

Se si indica con PE il valore di Eulero ricavato per la sola

deformazione dovuta al momento (valore che come è ben noto

risulta proporzionale a J), il carico critico risulta

valor medio dello scorrimento (per T = 1)γ1 = φ/(G⋅A)

Il taglio riduce il valore del carico critico quanto

maggiore è la deformabilità al taglio



120DISEG

Membrature composte

Data la colonna tralicciata in figura, per un suo generico campo soggetto allo sforzo di taglio T si ha

sollecitazione assiale nel diagonale Sd=T/cos αsollecitazione assiale traverso Sh=T

1 2

A



121DISEG

Membrature composte

La deformazione per taglio ∆v sarà somma dei contributi dati dal traverso (1) e dell’asta diagonale (2)

contributo traversocontributo diagonale



122DISEG

Membrature composte

OSS 1: Determinazione delle relazioni utilizzate dall’Eurocodice 3:

Con riferimento all’oss. 1 del caso della trave con carico eccentrico (equivalente al caso delle imperfezioni geometriche – vedi figura), si era pervenuti alla relazione

1

E

P eM P e

P1

P

⋅= ⋅ =−

2eff

E cr 2

E JP P

L

π ⋅ ⋅= = 2

feff f

A hJ 2 J

2

⋅= + ⋅

carico critico Euleriano

Per quanto appena visto, tenuto conto della deformabilità a taglio, il carico critico vale

( )E

crE 1

PP

1 P=

+ ⋅ γ carico critico Euleriano senza deformabilità a taglio



123DISEG

Membrature composte

( )

( )E 11

Ecr EE

E 1

P e P e P e P eM

P P PP 1 P1 1 1 P1PP PP1 P

⋅ ⋅ ⋅ ⋅= = = =⋅ + ⋅ γ− − − − ⋅ γ−

+ ⋅ γ

Ne consegue che il valore del momento può essere scritto come:

2eff

E cr 2

E JP P

L

π ⋅ ⋅= =

2f

effA h

J2

⋅=

si trascura il momento di inerzia proprio

1v

1S

γ =

3 2d d

v 3

E A c cos E A c hS

h d

⋅ ⋅ ⋅ α ⋅ ⋅ ⋅= =

si trascura il contributo del traversola relazione vale per un piano di tralicciatura

EC3



124DISEG

Membrature composte

B

Data la colonna tipo Vierendeel in figura, per un suo generico campo soggetto allo sforzo di taglio T si ha

δ1 deformazione data dalla rotazione ϕδ2 deformazione indotta dalla forza concentrata T/2

1 2M*= (T/2)⋅(c/2)

M*

MA = 2⋅M* = 2⋅(T⋅c/4)



125DISEG

Membrature composte

La deformazione per taglio ∆v sarà somma dei contributi δ1 e δ2

contributo δ2

( ) ( )3 3

2c c

T / 2 c / 2 T c3 E J 48 E J

⋅ ⋅δ = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

contributo δ1

( ) ( ) 2

1h h

2 T c / 4 h T c hc / 2

6 E J 24 E J

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅δ = ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅



126DISEG

Membrature composte

1E

P eM

P1 P

P

⋅=− − ⋅ γ

2eff

E cr 2

E JP P

L

π ⋅ ⋅= =

Jeff momento di inerzia efficace

1v

1S

γ =

cv 2

2 c

c h h

24 E J1S

2 h Jc c hc 1

24 E J 12 E J c J

⋅ ⋅= =

⋅ ⋅⋅+ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

OSS 1: Determinazione delle relazioni utilizzate dall’Eurocodice 3:

la relazione presuppone un solo piano di calastrelli nel caso di n piani, Jh deve essere

sostituito con (n⋅Jh)



127DISEG

Membrature composte

L’EC3 stima le azioni sui componenti della membratura composta considerando gli effetti del II ordine

La verifica dei singoli componenti viene condotta secondo i criteri prima esposti

Il metodo è valido per membrature composte da due correnti paralleli uguali aventi sezione trasversale uniforme con un sistema di tralicci completamente a maglie triangolari, uniforme per tutta la lunghezza della membratura

1. Membrature tralicciate compresse

Verifica aste teoriche secondo EC3



128DISEG

Membrature composte

Raccomandato Non raccomandato



129DISEG

Membrature composte

1.A) Forze nella mezzeria dei correnti

Si valuta la forza di progetto Nf,Sd nella mezzeria del corrente mediante la

Sf,Sd Sd

0

MN 0.5 N

h= ⋅ +

forza assiale totale di compressione sull’elemento composto

distanza tra i baricentri dei correnti

momento addizionale nella sezione di mezzeria dovuto ad imperfezioni,

effetti del II ordine, inclusa la deformabilità a taglio

ν

⋅ +=

− −

ISd 0 Sd

sSd Sd

cr

N e MM

N N1

N S

imperfezione iniziale (in assenza di indicazioni si assume pari a L0/500)

carico critico elastico della membratura tralicciata

(oss. 1)

rigidezza a taglio dei tralicci (oss. 2)



130DISEG

Membrature composte



131DISEG

Membrature composte

Oss. 1 Carico critico elastico della membratura tralicciata

π ⋅ ⋅=

2eff

cr 20

E IN

L2

eff 0 fI 0.5 h A= ⋅ ⋅

momento di inerzia efficace della membratura compressa tralicciata

area della sezione trasversale di un corrente

Oss. 2 Rigidezza a taglio dei tralicci (azione tagliante richiesta per produrre una deformazione unitaria a taglio)

n = numero di piani di tralicciatura



132DISEG

Membrature composte

1.B) Forze nei tralicci

Nei tralicci le forze adiacenti alle estremità delle membrature devono essere derivate dalla forza di taglio interna VS data da

π ⋅= S

S0

MV

Lmomento addizionale [calcolato in precedenza]

La forza Nd in un diagonale deve essere assunta pari a

Sd

0

V dN

n h⋅

=⋅

lunghezza diagonale

distanza tra i baricentri dei correntinumero piani della tralicciatura



133DISEG

Membrature composte

1.C) Considerazioni generali

Il dimensionamento degli elementi principali e secondari viene condotto seguendo i criteri relativi sia alla resistenza di sezioni trasversali e collegamenti e sia alla verifica di membrature all’instabilità

Per il calcolo della lunghezza libera di inflessione del corrente compresso, si può far riferimento alla seguente tabella



134DISEG

Membrature composte

corrente ad anima piena

corrente tralicciato o calastrellato

Il metodo esposto è valido per membrature aventi correnti ad anima piena o possono essere essi stessi tralicciati o calastrellati nel piano perpendicolare



135DISEG

Membrature composte

Il metodo è valido per membrature composte da due correnti paralleli uguali aventi sezione trasversale uniforme

spaziati lateralmente interconnessi per mezzo di

calastrelli, rigidamente collegati ai correnti stessi

2. Membrature calastrellate compresse



136DISEG

Membrature composte

2.A) Forze nella mezzeria dei correnti

Si valuta la forza di progetto Nf,Sd nella mezzeria del corrente mediante la

s 0 ff ,Sd Sd

eff

M h AN 0.5 N

I

⋅ ⋅= ⋅ +

forza assiale totale di compressione sull’elemento composto

distanza tra i baricentri dei correnti

momento addizionale nella sezione di mezzeria dovuto ad imperfezioni, effetti del II ordine e deformabilità

a taglio

ν

⋅ +=

− −

ISd 0 Sd

sSd Sd

cr

N e MM

N N1

N S

imperfezione iniziale (in assenza di indicazioni si assume pari a L0/500)

carico critico elastico

rigidezza a taglio dei calastrelli (oss. 2)

area della sezione trasversale di un corrente

momento di inerzia efficace (oss. 1)

π ⋅ ⋅=

2eff

cr 20

E IN

L



137DISEG

Membrature composte

Oss. 1 Momento di inerzia efficace di una membratura calastrellata

2eff 0 f fI 0.5 h A 2 I= ⋅ ⋅ + ⋅ µ ⋅

momento di inerzia sezione trasversale di un corrente

area sezione trasversale di un corrente

Oss. 2 Rigidezza a taglio dei calastrelli

µ = 1 se λ ≤ 75µ = 2 -λ /75 se 75 < λ < 150µ = 0 se λ ≥ 150

λ = L0/i0

0 1 fi 0.5 I A= ⋅

coincide con il valore di Ieff con µ=1

2f

2

2 E IS

aν⋅ π ⋅ ⋅= per i calastrelli deve risultare

soddisfatta la relazioneb f

0

n I I10

h a⋅ ≥ ⋅

momento di inerzia nel piano di un calastrello

distanza tra i baricentri dei calastrelli

in caso contrario

f

2 0f

b

24 E IS

h2 Ia 1

n I a

ν⋅ ⋅=

⋅⋅ + ⋅ ⋅ 2

f2

2 E IS

aν⋅ π ⋅ ⋅≤con la limitazione



138DISEG

Membrature composte

2.B) Forze nei tralicci

Momenti e forze di taglio sugli elementi della membratura prodotti dalla calastrellatura sono derivati dalla forza di taglio interna VS data da

SS

MV

Lπ ⋅

=

momento addizionale [calcolato in precedenza]

e valutati secondo il modello riportato in figura



139DISEG

Membrature composte

3. Membrature con elementi ravvicinati

Le membrature composte aventi i componenti principali a

contatto o a piccola distanza e collegati mediante imbottiture non vengono trattate come

membrature calastrellate purchè i componenti siano collegati a mezzo di bulloni o saldature ad

interasse non maggiore di15 imin (imin raggio di inerzia minimo

relativo al componente principale)



140DISEG

Membrature composte

3.A) Interconnessioni

I bulloni di interconnessione o le saldature devono essere dimensionati per trasmettere il taglio longitudinale tra le componenti principali, derivante dall’azione tagliante interna VS valutata pari al 2.5% della forza assiale nella membratura

3.B) Sollecitazioni negli elementi

Il taglio longitudinale per ciascun collegamento può essere assunto pari a

S

min

V a0.25

i⋅

⋅

distanza tra i centridei collegamenti

02-Membrature Semplici e Composte

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