5b Lezione Sollecitazioni Semplici Tosione

1SOLLECITAZIONI SEMPLICI torsione

Politecnico di Torino - Ia Facolt di IngegneriaCorso di Laurea in Ing. Biomedica A.A 2014/15

Docente: Prof. Aurelio Som

Fondamenti di Meccanica Strutturale Prof. A. Som Sollecitazioni Semplici

2Caratteristiche di sollecitazione -> Tensioni

Lo sforzo normale N produce allungamento se di trazione (cio se volge l'esterno del tronco considerato); produce accorciamento se di compressione (cio se volge verso l'interno). -> tensione xx

I momenti flettenti My e Mz tendono ad incurvare il corpo, allungando ed accorciando le fibre a seconda della loro posizione. -> tensione xx

Il momento torcente Mt tende a far ruotare un tronco rispetto a quello adiacente; le fibre, cio gli elementi longitudinali della trave si dispongono secondo eliche ->tensione

Gli sforzi di taglio Ty e Tz tendono a tagliare la trave rispettivamente secondo le due direzioni y e z ->tensione

Fondamenti di Meccanica Strutturale Prof. A. Som Caratteristiche di sollecitazione

3Sollecitazioni semplici

Generalit:Torsione di travi a sezione circolare

Si consideri una trave a sezione circolaresoggetta a due coppie torcenti uguali e contrarie, di valore Mt, agenti nelle sezionitrasversali di estremit


4Sollecitazioni semplici

Si ammette, che, sotto l'azione dei momenti esterni, ogni sezione retta della trave ruoti rigidamente nel suo piano, cio si adotta l'ipotesi delle sezioni piane; in tali condizioni nelle sezioni rette saranno presenti

solo tensioni tangenziali .Fondamenti di Meccanica Strutturale Prof. A. Som Sollecitazioni Semplici

Torsione di travi a sezione circolare

5Sollecitazioni semplici Torsione di travi a sezione circolare

Si divida idealmente la trave in corrispondenza ad una generica sezione S; ciascuno dei due tronchi 1 e 2 rimane in equilibrio sotto l'azione della coppia che gli applicata ad una estremit ed al complesso di forze che ogni tronco riceve da quello contiguo, attraverso la sezione ideale S.


6Torsione di travi a sezione circolare

Si consideri, ad esempio, il tronco 1, di lunghezza l

per effetto della coppia applicata ogni sezione ruota rispetto alla sezione adiacente, la fibra generica A0B0, parallela all'asse del corpo, si dispone secondo un tratto di elica cilindrica A0B.



Per effetto della torsione, quindi, la fibra A0B0assume una inclinazione 1 (scorrimento)

1tan 1B0 B

l-----------= =



Sostituendo il valore di B0B nelle precedenti si ha il legame tra lo scorrimento 1 e l'angolo di torsione

1tan 1B0 B

l-----------= =

B0B r1=

1 r1 l---=


9Legge di Hooke : modulo tangenziale

ove G, modulo di elasticit tangenziale legato al modulo di elasticit longitudinale e di Poisson nel caso dei materiali omogenei ed isotropi dallaseguente relazione

G=

G E2 1 + ---------------------=


La tensione tangenziale legata allo scorrimento della legge di Hooke:

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nel punto B, per effetto del momento torcente Mt, si ha una sollecitazione unitaria 1, e, per l'area elementare DA1 una forza DF1

F1 1A1=F2 2A2=


e per DA2

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Torsione : equazione di equilibrio

ovvero scritta in modo pi esatta :

1A1r1 2A2r2 + + Mt=

r AdA Mt=


e cos per tutti i punti della sezione. Per l'equilibrio alla rotazione rispetto allassegeometrico del tronco di trave considerato, sidovr avere :

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Dalla legge di Hooke

E quindi sostituendo

1tan 1B0 B

l-----------= = B0B r1=

1 r1 l---=

Gr l---=

G=


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Calcolo dellangolo di torsione

Sostituendo :

Osservando che rappresenta ilmomento di inerzia polare si ottiene:

Gl--- r2 AdA Mt=

r 2 AdA

Gl--------Jp Mt=


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Calcolo dellangolo di torsione

Angolo di torsione di una trave a sezionecircolare :

Angolo di torsione unitario

Mt lG Jp----------=

u MtGJp----------=


15

Calcolo della distribuzione delle tensioni nella sezione

Dallangolo di torsione di una trave a sezionecircolare :

Mt lG Jp----------=

Gr l---=

Mt rJp----------=


sostituendo

Si ottiene :

E graficamente sulla sezione la distribuzionedelle tensioni tangenziali

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Calcolo della distribuzione delle tensioni nella sezione circolare

Si nota come la tensione tangenziale sia proporzionale al raggio r del punto considerato e raggiunga il suo massimo valore per r = d/2 dove d il diametro della sezione circolare considerata:

Si definisce modulo di resistenza torsionale :

Mt rJp----------=

max Mt d2 Jp----------=

WtJpd 2----------=


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Calcolo della distribuzione delle tensioni nella sezione circolare piena e anulare

Il modulo di resistenza a torsione, per una sezione circolare piena di diametro d; mentre per una sezione circolare cava con diametro esterno D e diametro interno d

Dd

max

d

max

Wt16------ d3= Wt

16------D

4 d4D

------------------=

max M tW t------=


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Lavoro di deformazione torsionale

Con lo stesso ragionamento fatto nel caso dello sforzo normale, si ottiene che il lavoro di deformazione per una trave sottoposta a torsione pura :

ovvero:

Dallequazione precedente si definisce rigidezza torsionale di una trave il termine

L 12---Mt =

L 12---GJp2

l------------------=


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Torsione in travi a sezione rettangolare

Nel caso di una trave a sezione non circolare l'ipotesi semplificatrice della conservazione delle sezioni piane non pi valida.

Le sezioni della trave si ingobbano e la distribuzione delle tensioni nella sezione non pu essere dedotta da procedimenti simili a quelli adottati per le travi a sezione circolare.

Per lo studio di tali problemi si ricorre a metodi indiretti, sfruttando l'analogia chetali problemi hanno con altri gi risolti; in tal caso si pu ricorrere all'analogiaidrodinamica


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Torsione in travi a sezione rettangolareanalogia idrodinamica

Nel caso di una sezione rettangolare, le linee di flusso della velocit hanno l'andamento rappresentato in figura e, corrispondentemente si ha l'andamento delle tensioni indicato.La tensione tangenziale massima nel punto di mezzo dei lati pi lunghi e la sua espressione

v

b

a

B

AA

B

A=max

B

max Mta b2----------=


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Torsione in travi a sezione rettangolareanalogia idrodinamica

I valori dei coefficienti di forma della sezione per il calcolo della tensione tangenziale massima e per la determinazione dellangolo di torsione unitario sono riassunti nella tabella seguente in funzione delle dimensione della sezione

max Mta b2----------=


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Torsione in travi con sezione anulare di piccolo spessore

Le travi di sezione anulare, con parete a spessore costante o variabile, ma abbastanza piccolo rispetto alle dimensioni della sezione, si prestanoad una risoluzione abbastanza semplice, qualunque sia la forma dellasezione.

N. B. Si assume per piccoli spessori che la tensioni tangenzialesia approssimabile ad un valore costante pari al valor medio dellatensione in corrispondenza della linea mediana tra il bordointerno ed esterno della parete.

s

dl


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tangente alla linea mediana tra il bordo interno e quello esterno della parete. Il momento della forza dF rispetto allasse x della trave risulta:

s

dl


Considerando un tratto della sezione di lunghezza dl la risultante delle tensioni agenti su questo tratto una forza:

dove con si `e indicato il braccio di dF rispetto al baricentro della sezione G, ovvero la distanza tra G e la retta tangente alla linea media nel punto di applicazione della forza.

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Con analoghe considerazioni si ottiene langolo unitario di torsione qu dato da

s

dl

Mt2 S-------------=

uMt

4G2----------------- 1

S--- ldl=


quindi integrando lungo tutto il contorno, si ottiene:

da cui la tensione media t in ogni punto dello spessore si ipotizza costante e dalla relazione precedente risulta essere :

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Torsione in travi con sezione anulare di piccolo spessore con spessore costante a tratti

se lo spessore S costante a tratti:

Le tensioni tangenziali ove lo spessore costante a tratti, sono rispettivamente dalla varia in funzione dello spessore S:

u M t4 G 2-----------------

liS i----

i 1=

n=

Mt2 S-------------=


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Torsione in travi con sezione anulare di piccolo spessore con spessore costante a tratti :esempio

Larea omega :

Le tensioni tangenziali nei tratti 1, 2, 3, 4 ove lo spessore costante a tratti, sono rispettivamente dalla:

L'angolo di torsione unitario, qu dalla (5-39) :

1Mt

2S1---------------=

3 Mt2S3---------------=

2Mt

2S2---------------=

4 Mt2S4---------------= 2

1

3

4

s

1

s2

s

3

s4

l1

l

2

l1S22-----

S42----- l2

S12-----

S32----- =

u Mt4 G 2-----------------

l iS i----

i 1=

n=u

Mt4 G 2-----------------

l1S1-----

l2S2-----

l3S3-----

l4S4-----+ + +

=


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