Appunti Fisica 2B Pegoraro

Appunti di Fisica B II

Pietro Marino, Stefano Scotto

3 gennaio 2011

Indice

1 Oscillazioni e onde 51.1 La corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Derivazione dellequazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Le soluzioni dellequazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Battimenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1.5 Riflessione e onde stazionarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.1.6 Conservazione dellenergia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2 Onde 3-dimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3 Onde dispersive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2 Elettromagnetismo nel vuoto 192.1 Potenziali elettromagnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1.1 Gauge di Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.2 Equazioni per i campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Soluzioni delle equazioni di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Potenziali ritardati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Sviluppo in multipoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4.1 Dipolo elettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.4.2 Quadrupolo elettrico e dipolo magnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.5 Teorema di Poynting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Irraggiamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.6.1 Irraggiamento di dipolo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6.2 Irraggiamento di dipolo magnetico e quadrupolo . . . . . . . . . . . . . . 35

2.7 Diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.7.1 Perch il cielo azzurro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.8 Densit di impulso del campo elettromagnetico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392.9 Potenziali di Linard-Wiechert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Formulazione covariante dellelettromagnetismo 453.1 Richiami di relativit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.1.1 Operatori differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Equazioni di Maxwell in forma covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Trasformazioni per cambio di sistema di riferimento . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.3.1 Trasformazione dei potenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4 INDICE

3.3.2 Trasformazione dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.4 Dinamica relativistica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Onde EM nei mezzi 534.1 Onde elettromagnetiche nei dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Modello fisico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.1.2 Equazioni di Maxwell nei dielettrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2 Onde nei conduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564.2.1 Energia trasportata da unonda evanescente . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.3 Onde in mezzi disomogenei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.1 Riflessione e rifrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1.1 Condizioni di raccordo dei campi . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3.1.2 Le leggi della riflessione e della rifrazione . . . . . . . . . . . . . 604.3.1.3 Formule di Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.3.1.4 Angolo di Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.3.2 Cenno allottica geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.4 Diffrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.5 Introduzione allinterferenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A Calcolo indiciale 69

Capitolo 1

Oscillazioni e onde

1.1 La corda vibrante1.1.1 Derivazione dellequazione

T

T

1

2

Hx, tL

Pizzichiamo una corda in un punto x e chia-miamo (x, t) lo spostamento in direzione y diun elemento della corda centrato in x (dettoaltrimenti: il grafico sul piano xy di (x, t) il profilo della corda allistante t). Vogliamodeterminare lequazione che descrive il motodella corda nellipotesi che (x, t) L, doveL la lunghezza della corda. Consideriamo unelemento infinitesimo della corda di lunghezzadl e massa dm = dl ( la densit linearedella corda): lunica forza agente sullelementodi corda sar la tensione T della fune. Facciamo il bilancio delle forze tenendo solo i contributial primordine in ( langolo formato dalla tangente alla corda in un punto con la direzioneorizzontale).

Fx = T (cos2 cos1) ' 0 (1.1)Fy = T (sin2 sin1) '

x

2 x

1'

2

x2dl (1.2)

Notiamo che:

nellapprossimazione che stiamo facendo si ha lequilibrio lungo la direzione x;

nella (1.2) abbiamo usato che al primordine sin ' ' tan = x

;

possiamo trascurare lallungamento della corda: infatti per il teorema di Pitagora il primotermine di allungamento della corda quadratico e quindi trascurabile.

5

6 1 Oscillazioni e onde

Andiamo quindi a scrivere lequazione del moto:

dl2

t2= T

2

x2dl

Da cui, eliminando i dl e ponendo T

= c2s (ha le dimensioni di una velocit al quadrato), siottiene la celebre equazione di dAlembert

2

t2 c2s

2

x2= 0 (1.3)

1.1.2 Le soluzioni dellequazione della corda vibrantePresentiamo due metodi per cercare soluzioni dellequazione di dAlembert.

Cambio di variabile

Facciamo il seguente cambio di variabile:

= x cst = x+ cstSi ha quindi per le derivate prime

x=

+

t= cs

(

)

Mentre per le derivate seconde si trova

2

x2=

2

2+

2

2+ 2

2

t2= c2s

(2

2+

2

2 2

)

Sostituendo nella (1.3), lequazione di dAlembert assume la forma

2

= 0 (1.4)

che ha come soluzioni = 1() + 2()

Quindi la soluzione nelle variabili x e t una qualunque funzione del tipo

(x, t) = 1(x cst) + 2(x+ cst) (1.5)dove le due funzioni 1 e 2 sono determinate dalle condizioni inziali e al bordo. La (1.5)rappresenta una perturbazione che si propaga a velocit cs.

1.1 La corda vibrante 7

Separazione delle variabili

Cerchiamo soluzioni che si possano scrivere nella forma

(x, t) = A(t)B(x)

Lequazione di dAlembert diventa, sotto questa ipotesi

A(t)B(x) = c2sA(t)B(x) =A(t)A(t) = c

2S

B(x)B(x)

Siccome i due membri dellequazione sopra dipendono da variabili diverse, lunica possibilitche hanno per essere uguali che entrambi siano costanti; si ottengono allora le uguaglianze

A(t) = 2A(t) B(x) = k2B(x)

dove si posto cs

= k. Le soluzioni sono

A(t) = Aeit + A+eit

B(x) = Beikx +B+eikx

Quindi si trova come soluzione dellequazione donda

(x, t) = Re[A(t)B(x)] = cos[k(x cst)] + + cos[k(x+ cst)] (1.6)

Sembrerebbe che questa soluzione sia solo un caso particolare di quella ricavata con laltrometodo; in realt vedremo che la linearit dellequazione rende anche questo tipo di soluzionemolto generale.

1.1.3 BattimentiMettiamoci in un punto x fissato, ad esempio x = 0; supponiamo che sulla nostra corda si stiapropagando unonda di frequenza 1, avremo quindi

1(0, t) = A1 cos(1t)

Proviamo ad aggiungere un altro termine monocromatico di frequenza 2:

2(0, t) = A2 cos(2t)

Complessivamente avremo (prendendo per semplicit il caso A1 = A2 = A)

(0, t) = A(cos1t+ cos2t)

che, usando le formule di prostaferesi, possiamo riscrivere come

(t) = 2A cos(1 + 2

2 t)

cos(1 2

2 t)


Figura 1.1 Esempio di battimenti con A1 = A2 = A

Figura 1.2 Esempio di battimenti con A1 6= A2

Cosa succede se |1 2|1

1? Se vale questa condizione possiamo porre

1 = + 2 = ed avremo allora

(t) = cos(t) cos(t)La figura seguente rappresenta la funzione (0, t)

Vediamo che sommando due segnali di frequenza diversa abbiamo ottenuto per sovrap-posizione un segnale diverso da entrambi; questa lidea alla base della trasformata diFourier.

1.1.4 Trasformata di FourierConsideriamo una funzione f(x) L2, cio tale che esiste finito

+|f(x)|2dx

Si pu dimostrare che tale funzione pu essere scritta nel modo seguente:

f(x) = 12pi

+

f(k)eikxdk

La funzione f(x) quindi si pu esprimere come una somma di infinite componenti armonichecon frequenze che variano con continuit tra e +. Lampiezza di ogni componente data dalla f(k) che viene chiamata trasformata di Fourier della f . La trasformata di Fourier sicalcola cos:

F(f) f(k) = 12pi

+

f(x)eikxdx


La ovvia generalizzazione tridimensionale

f(x) = 1(2pi)3/2 +

f(k)eikxd3k

Invece se abbiamo a che fare con funzioni della posizione e del tempo, si definisce

f(x, t) = 12pi

+

f(k, )eikxitdkd

f(k, ) = 12pi

+

f(x, t)eikx+itdxdt

Quindi qualunque funzione pu essere scritta come sovrapposizione di onde piane monocroma-tiche; questo ci permette di affermare che (almeno per le funzioni di L2, che sono poi quellefisicamente significative) le soluzioni dellequazione di dAlembert trovate con i due metodi(cambio di variabile e separazione delle variabili) si equivalgono.

Trasformata della gaussiana

Come esempio calcoliamo la trasformata di Fourier della funzione

f(x) = Aex2/L2

Dobbiamo calcolare il seguente integrale

f(k) = A2pi

+

ex2/L2ikxdx

Ricorriamo al seguente trucco:

x2

L2 ikx =

(x2

L2+ ikx k

2L2

4

) k

2L2

4 = (x

L+ ikL2

)2 k

2L2

4

Quindi la trasformata da calcolare si pu esprimere come

f(k) = A2pie

k2L24

+

e(x/L+ikL/2)2dx

che d il semplice risultato

f(k) = AL2e

k2L24

Si trovato quindi che la trasformata di una gaussiana ancora una gaussiana; osserviamo poiche se la gaussiana larga in x, allora stretta in k e viceversa.


f`HkL

f HxL

Figura 1.3 Una gaussiana con la sua trasformata

Oscillatore forzato

Consideriamo lequazione delloscillatore armonico in presenza di un termine forzante dipendentedal tempo:

x+ 20x = F (t) (1.7)

Applichiamo la trasformata di Fourier a entrambi i membri dellequazione

12pi

+

F (t)eitdt = 12pi

+

(x+ 20x)eitdt

Tramite integrazione per parti1 si ottiene

12pi

+

(x+ 20x)eitdt =12pi

+

(2 + 20)xeitdt = (2 + 20)x()

Da cui si ha la relazione

x() = F ()20 2

(1.8)

Antitrasformando la (1.8) ricaviamo la legge oraria x(t)

x(t) = 12pi

+

F ()20 2

eitd

Applicazione allequazione donda

In trasformata di Fourier la derivazione rispetto a t e x risulta particolarmente semplice; si pudimostrare (semplicemente integrando per parti) che valgono le seguenti regole:

F(tf) = if

F(xf) = ikf1Stiamo ragionevolmente assumendo che f() = f(+) = 0


Applichiamo quindi la trasformata di Fourier ad entrambi i membri dellequazione di dAlem-bert (1.3)

2(, k) + c2sk2(, k) = 0 (2 c2sk2)(, k) = 0Se vogliamo che la non sia identicamente nulla deve essre verificata la condizione

2 = c2sk2 (1.9)

La (1.9), che esprime la relazione tra e k, si chiama relazione di dispersione; a partire da essasi definiscono la velocit di fase vf e la velocit di gruppo vg

vf k

vg k

Propagazione di un pacchetto donda

Le onde monocromatiche che abbiamo considerato fino ad ora hanno un brutto difetto: si estendo-no infinitamente nel tempo e nello spazio ed hanno energia infinita! Nella realt si ha a che fare consegnali costituiti da un numero arbitrario ma finito di oscillazioni: oggetti di questo tipo sono dettipacchetti donda. Un caso notevole il pacchettogaussiano:

f(x) = eik0xx2/L2

Il grafico della parte reale di questa funzione mostratonella figura accanto: esso costituito da un certo numerodi oscillazioni modulate da un inviluppo gaussiano. Ilnumero di oscillazioni dipende dal parametro k0L:

k0L 1 molte oscillazionik0L 1 nessuna oscillazione

In particolare per k0L si ha unonda monocromatica. Vogliamo ora studiare come sipropaga unonda come questa usando la trasformata di Fourier.La nostra condizione iniziale la seguente:

(x, t = 0) = f(x)

Sappiamo che possiamo scrivere in generale

(x, t) = 12pi

+

(, k)eikxitddk

Sfruttando la relazione di dispersione (1.9), ci riduciamo a

(x, t) = 12pi

+

(k)eik(xcst)dk


Calcolando tutto allistante t = 0 otteniamo

(x, 0) = 12pi

+

(k)eikxdk = f(x) = (k) = f(k)

Daltronde facile calcolare che

f(k) = L2e

14 (kk0)2L2

Mettendo tutto insieme abbiamo

(x, t) = 12pi

+

L2e

14 (kk0)2L2eik(xcst)dk

Svolgendo lintegrale otteniamo finalmente levoluzione temporale del pacchetto:

(x, t) = eik0(xcst)e(xcst)2

L2 (1.10)

Nellespressione della (1.10) si distingue chiaramente la velocit di propagazione dellinviluppogaussiano dalla velocit della portante (oscillazioni allinterno); la prima la velocit di gruppo,la seconda la velocit di fase. Se esse coincidono e sono costanti (come in questo caso) londa sidice non dispersiva; in generale, nei mezzi dispersivi le due velocit non coincidono e dipendonodalla frequenza (gli effetti di ci saranno analizzati pi avanti).

1.1.5 Riflessione e onde stazionarieCosa succede se la densit della corda non uniforme? Supponiamo di avere due cordecaratterizzate da diverse densit e di legarle assieme; chiamiamo la lunghezza caratteristica incui avviene la variazione di densit; nel problema che stiamo considerando possiamo stimare/ 1 cio la regione in cui avviene la variazione della densit molto pi piccola rispettoalla lunghezza donda. Grazie a questa condizione, invece di risolvere lequazione a coefficientivariabili

2

t2 c2s(x)

2

x2= 0

possiamo ricondurci a due equazioni a coefficienti costanti, le cui soluzioni saranno poi raccordateper mezzo di opportune condizioni al contorno.

2

t2 c2s,1

2

x2= 0 per x < 0

2

t2 c2s,2

2

x2= 0 per x > 0

Andiamo allora a ricavare le condizioni di raccordo: innanzitutto la deve essere continua,altrimenti la corda si spezzerebbe; inoltre saranno continue anche le sue derivate temporali,dato che la discontinuit nello spazio, non nel tempo; naturalmente xx discontinua perch


abbiamo assunto cs(x) discontinua. Ci resta da vedere cosa succede per x. Integriamolequazione nellintervallo [, ] (faremo poi tendere a 0)

1c2s(x)

2

t2dx =

2

x2dx

2

1c2s(x)

2

t2

=

x()

x()

Mandando 0 si ottiene

x(0+)

x(0) = 0 (1.11)

Cio x continua in x = 0.Consideriamo ora unonda monocromatica e facciamola propagare sulla corda; si avr

(x, t) = Aineik1xi1t cs,1 =1k1

per x < 0

(x, t) = Atreik2xi2t cs,2 =2k2

per x > 0

immediato verificare che con queste soluzioni non si riesce in alcun modo a soddisfare lecondizioni di raccordo; per risolvere il problema basta introdurre unonda riflessa nella zonax < 0

(x, t) = Aineik1xi1t + Arifeik3xi3t per x < 0(x, t) = Atreik2xi2t per x > 0

Il nostro obiettivo di determinare delle relazioni che leghino le varie , k e AMettiamoci nel punto x = 0: la condizione di continuit della ci fornisce la seguente uguaglianza:

Ainei1t + Arifei3t = Atrei2t

che deve essere soddisfatta t; da questo segue necessariamente che 1 = 2 = 3. Ricordandole relazioni che legano le alle k si ricava anche

k1 = k3 k2 =

cs,2

Adesso, rimanendo sempre in x = 0, consideriamo listante t = 0; imponendo la continuit della e della sua derivata spaziale troviamo il seguente sistema{

Ain + Arif = Atrk1(Ain Arif ) = k2Atr

Risolvendo il sistema si ricavano le formule che esprimono Arif e Atr in funzione diAin

Arif =k1 k2k1 + k2

Ain Atr =2k1

k1 + k2Ain (1.12)


Cosa succede se, invece di legare tra loro due corde, inchiodo al muro un capo di una corda?Possiamo considerare questa situazione come un caso particolare della precedente, in cui per siha che 2 , quindi2 anche k2 ; in questo limite le (1.12) diventano

Arif = Ain Atr = 0

Al contrario, nel limite k2 0 si ottiene

Arif = Ain Atr = 2Ain

Onde stazionarie

Consideriamo una corda di lunghezza L fissata ai due estremi; rientriamo quindi, secondo ladiscussione precedente, nel caso k2 : quando unonda si propaga sulla corda, una voltaraggiunto uno degli estremi, sar totalmente riflessa. Vedremo che per questo problema nontutte le frequenze sono possibili, i modi di oscillazione sono discretizzati. Consideriamo unasoluzione del tipo

(x, t) = A1eikxit + A2eikxit

Imponiamo che ci sia un nodo (cio un punto in cui la corda rimane sempre ferma) in x = 0 ein x = L

(0, t) = 0 A1 = A2 = A (1.13)(L, t) = 0 A[eikL eikL] = 0 sin kL = 0 (1.14)

Dalla (1.13) si ricava che la ha la forma di unonda stazionaria, cio unonda in cui non sivede nessuna propagazione:

(x, t) = Aeit[eikx eikx] = 2iAeit sin kx

La (1.14) invece determina i valori permessi di k:

kL = npi k = npiL

1.1.6 Conservazione dellenergiaVogliamo scrivere unequazione che esprima la conservazione dellenergia; ci aspettiamo che essaabbia la struttura di unequazione di continuit, cio unequazione del tipo

t(densit di energia) + (un vettore) = (densit di potenza) (1.15)

Integrando la (1.15) in un volume V e ricordando il teorema della divergenza, si trova chela variazione nel tempo dellenergia contenuta in V pari alla somma dellenergia che fluisce

2Ricordiamo dal paragrafo 1.1.1 che k = /cs = /T

1.2 Onde 3-dimensionali 15

attraverso il contorno di V e della potenza immessa o dissipata in V . Visto che stiamo studiandouna situazione unidimensionale, cercheremo unequazione del tipo

t(densit lineare di energia) +

x(...) = (densit lineare di potenza)

Consideriamo lequazione della corda vibrante con un termine di sorgente:

2

t2 T

2

x2= S(x, t)

Moltiplichiamo tutto per t

, ottenendo

2

t2

t T

2

x2

t= S(x, t)

t

che si pu riscrivere come

2

t

(

t

)2 T

x

(

x

t

)+ T2

t

(

x

)2= S(x, t)

t

Manipolandola si ricava facilmente lequazione cercata

t

2(

t

)2

densita` di energia cinetica

+ T2

(

x

)2

densita` di energia potenziale

T x(

x

t

)= S(x, t)

t

1.2 Onde 3-dimensionaliLa ovvia generalizzazione tridimensionale dellequazione di dAlembert la seguente

2 1c2s

2

t2= 0 (1.16)

Chi legge pu verificare che essa ammette soluzioni del tipo onda piana, cio

(x, t) = A+eikxit + Aeikxit

In questo paragrafo mostriamo che la (1.16) ammette soluzioni in simmetria sferica. Ricordiamolespressione del laplaciano in coordinate sferiche3 (per funzioni che non dipendono da e )

2 = 1r2

rr2

r

In coordinate sferiche la (1.16) diventa

1r2

(

rr2

r

) 1c2s

2

t2= 0

3Si consiglia di fare il calcolo esplicito, almeno una volta nella vita


Per risolvere questa equazione, facciamo il seguente cambio di variabile:

(r, t) = f(r, t)r

Sostituendo, lequazione diventa:

1c2s

2

t2f

r= 1

r2

r

(r2

r

f

r

)

= 1r2

r

(rf

r f

)

= 1r2

(f

r+ r

2f

r2 fr

)

= 1r

2f

r2

Se r 6= 0 troviamo lequazione di dAlembert unidimensionale:2f

r2 1c2s

2f

t2= 0

la cui soluzione generale sappiamo essere

f(r, t) = f1(r + cst) + f2(r cst) (r, t) = f1(r + cst)

r+ f2(r cst)

r

1.3 Onde dispersiveIn questa sezione daremo un cenno agli effetti della dispersione; studieremo come esempio leonde di gravit, cio le onde in cui la forza di richiamo la gravit. Onde di questo tiposono le onde del mare. Questo il nostro programma: scriveremo la relazione di dispersione estudieremo levoluzione di un pacchetto gaussiano, osservando che durante la propagazione essocambia forma.

Per le onde dispersive si ha che la velocit di fase dipende dalla frequenza, ovvero avremovf = vf (); quindi ogni frequenza si propaga con velocit differente dalle altre, di conseguenzail pacchetto cambia forma. Come abbiamo detto le onde del mare sono un esempio di ondedispersive e per un mare infinitamente profondo4, la relazione di dispersione la seguente:

2 = |k|gdove g laccelerazione di gravit, di conseguenza si ha

vf () =gk

= g vg() = 12gk

= g24Per un mare finito la relazione si modifica nel seguente modo 2 = |k|g tanh(|k|h), dove h la profondit.

1.3 Onde dispersive 17

dunque le onde pi lunghe viaggiano pi veloce. Adesso, vediamo come evolve un pacchettogaussiano, che prenderemo ben localizzato ovvero k0L 1, in modo che le frequenze significativesono soltanto quelle concentrate in un intorno di k0, cos svilupperemo (k) in un intorno di k0.Sia il nostro pacchetto

(x, t) = 12pi

+

exp[ 14(k k0)

2L2]

exp[i(kx (k)t)

]dk

Il lettore noti che stiamo lavorando in trasformata poich si pu fare levoluzione temporalesoltanto frequenza per frequenza. Allora, visto che k0L 1, possiamo sviluppare il fattore difase exp

[i(kx (k)t)

]; bisogna fare attenzione per, poich lo sviluppo sar valido soltanto

per un breve intervallo temporale; facciamo un esempio: considerando il seguente sviluppo

sin (( + )t) ' sint+ t cost per 1

si ha che la correzione cresce nel tempo come t, quindi il risultato sar privo di significato pert 1/. Sviluppiamo (k) in un intorno di k0:

(k) = (k0) +

k

k0

(k k0) + 122

k2

k0

(k k0)2 + o((k k0)2

)sostituendo nellespressione per (x, t), si ottiene

(x, t) ' 12pi

exp[ik0x i(k0)t

] +

dk exp[ 14(k k0)

2L2]

exp[i(k k0)x

]exp

[ i

(

k(k k0) + 12

2

k2(k k0)2

)t

](1.17)

Trascurando per il momento la correzione al secondordine si ha il seguente integrale: +

exp[ 14(k k0)

2L2]

exp[i(k k0)

(x

kt)]d(k k0)

che si risolve facilmente con il trucco che abbiamo usato per la trasformata della gaussianaa pag.9, infatti si pu riscrivere come segue

exp[ 1L2

(x

kt)2] +

exp

[(12(k k0)L

i

L

(x

kt))2]

d(k k0)

adesso visto che lintegrale soltanto un fattore costante ( lintegrale di una gaussiana),si ottiene per (x, t)

(x, t)1ordine =

2L

exp[ik0x i(k0)t

]

portante

exp[ 1L2

(x

kt)2]

inviluppo

Si noti la differente velocit dellinviluppo (vg = k|k0) rispetto alla portante (vf =(k0)/k0).


Invece se consideriamo anche il secondo ordine abbiamo che:

(x, t) = exp(ik0x i(k0)t

) 2(L2 + 2i2

k2 t) exp

(x

kt)2(

L2 + 2i2k2 t

)

Prendendone la parte reale, si ha per lallargamento del pacchetto la seguente espressione

L = 1L

L4 + 4(2k2

t

)2

quindi si vede che il pacchetto si allarga con il tempo. Da notare, per, che il pacchettomentre si allarga, si abbassa anche, quindi si ha, come giusto che sia, la conservazionedellenergia5.

5Questo vero per i mezzi non dissipativi, per i mezzi dissipativi si deve tenere conto dellenergia assorbitadal mezzo. Vedasi il Teorema di Poynting alla sezione 2.5.

Capitolo 2

Elettromagnetismo nel vuoto

2.1 Potenziali elettromagnetici

E = 0

c2B = J0

+ Et

B = 0 E = B

t

Nel lato sinistro abbiamo scritto le equazioni di Maxwell disomogenee, che legano i campialle sorgenti, a destra quelle omogenee. Dora in poi il nostro obiettivo sar quello di risolverequeste equazioni. Cominciamo da quelle omogenee. Poich B ha divergenza nulla, esso puessere espresso come rotore di un altro campo vettoriale:

B = A (2.1)Sostituendo la (2.1) nellequazione del rotore di E si ottiene

E = t

(A) = (At

)

(E+A

t

)= 0

Dato che la quantit(E+A

t

)ha rotore nullo, essa pu essere espressa come gradiente di

un campo scalare:E = A

t(2.2)

Abbiamo risolto le equazioni omogenee; il prossimo passo sostituire quanto ottenuto nelleequazioni disomogenee. Usando la relazione = ()2 (per una dimostrazionesi veda lappendice), si ha

E = 0 2+

t A =

0

B 1c2Et

= J0c2

2A ( A) 1c2

t 1

c22At2

= J0c2

19

20 2 Elettromagnetismo nel vuoto

Le equazioni per potenziali che abbiamo trovato sono piuttosto complicate, per possiamomigliorarle notevolmente; infatti il potenziale vettore A definito a meno di un gradiente, ciopossiamo aggiungere ad A il gradiente di uno scalare senza modificare il campo magnetico1.Naturalmente, modificando A, dovremo modificare anche in modo che anche E resti invariato.

2.1.1 Gauge di LorenzTrasformazioni del tipo di quella che intendiamo operare su A e si chiamano trasformazionidi gauge. A A = A+ Come deve essere affinch E non venga modificato?

E = A

t= A

t t

= t

La questione ora questa: qual la scelta pi opportuna di che semplifica le equazioni per ipotenziali? La scelta che facciamo (gauge di Lorenz2) di porre

A = 1c2

t(2.3)

Sostituendo, le equazioni per i potenziali si disaccoppiano e assumono la forma dellequazionedelle onde:

2 1c22

t2=

0(2.4)

2A 1c22At2

= J0c2

(2.5)

A questo punto legittimo chiedersi se sia sempre possibile trovare in modo da soddisfarela (2.3). Supponiamo di avere un A che non soddisfa la (2.3):

A = 1c2

t+ S(x, t)

Sottoponiamo A e ad una trasformazione di gauge:A A = A+ = t

1Si ricorda che il rotore di un gradiente nullo2Ludvig Valentin Lorenz, fisico danese; viene spesso confuso con il pi celebre Hendrik Antoon Lorentz

2.2 Equazioni per i campi 21

e imponiamo che A e soddisfino la gauge di Lorenz:

A = 1c2

t

(A+) = 1c2

t

(

t

)

A+2 = 1c2

t+ 1c22

t2

2 1c22

t2= A 1

c2

t

2 1c22

t2= S(x, t) (2.6)

La (2.6) ci dice che la soddisfa lequazione delle onde; visto lesistenza della soluzionedella (2.6), possiamo concludere che, dati due potenziali A e , sempre possibile trovare unatrasformazione che manda A in A e in in modo tale che A e soddisfino la gauge diLorenz.

2.2 Equazioni per i campiMostriamo, adesso che si possono ricavare le equazioni donda, come per i potenziali, anche peri campi; infatti applicando il rotore allequazione per il rotore di E si ottiene:

( E)2E = t

(B)

sostituendo le equazioni di Maxwell per la divergenza di E e per il rotore di B si ha:

2E 1c22Et2

= 10c2

tJ+

0

Si nota subito la forma tipica dellequazione donda con un termine di sorgente, alquantocomplicato, che tra laltro dipende dallaccelerazione di questultima. Per B possiamo scriverelequazione analoga, applicando il rotore allequazione per il rotore diB e ricordando la divergenzanulla del campo magnetico otteniamo che:

2B 1c22Bt2

= 10 J

Anche qui il termine di sorgente non tra i pi facili, si apprezzi dunque lutilizzo dei potenzialii quali non dipendono dallaccelerazione della sorgente, ma soltanto dalla sua posizione e velocit.Comunque le equazioni donda per i campi sono molto utili in assenza di sorgenti, infatti leequazioni divengono

2E 1c22Et2

= 0 (2.7)

2B 1c22Bt2

= 0 (2.8)


Vediamo allora come sono le onde eletromagnetiche nel vuoto. Come abbiamo visto nel paragrafo1.2 la (2.7) ammette, per esempio, la seguente soluzione

E = E0eikxit (2.9)

una soluzione analoga si ha per B; visto che la matematica la sappiamo mettiamo dentro un podi fisica. Innanzitutto il k che compare nellesponente il vettore donda che ha modulo

|k| = 2pi

inoltre si dice polarizzazione dellonda la direzione del campo elettrico. Imponiamo, adesso, chela divergenza di E e quella di B siano nulle (siamo nel vuoto), allora

k E = 0k B = 0

ovvero i campi sono ortogonali alla direzione di propagazione, quindi sono onde trasversali.Ora vogliamo trovare una relazione tra E e B, allora usando lequazione E = tB si

ha, sostituendo ad E la (2.9),

(E0eikxit

)= ik E0eikxit = ik E = B

t

supponendo che k = (kx, 0, 0) e che londa sia polarizzata lungo z:

E = E0zeikxxit

viene cheikxE0yeikxxit = B

tquindi il campo magnetico B lungo y, di conseguenza E B = 0. Cercando una soluzione perB della stessa forma di E:

B = B0yeikxxit

alloraik E = B

t ikxE0 = iB0

ovveroB0 = k

E0 = E0

cdove vf = /k = c visto che siamo nel vuoto. Quindi per onde elettromagnetiche piane (manon in generale) si ha che

E B = 0|E| = |cB|

Facciamo notare che abbiamo lavorato con esponenziali complessi, ma le onde fisiche sono leparti reali dellespressioni che abbiamo dato, cio

E = E0z cos(k x t)B = B0y cos(k x t)

2.3 Soluzioni delle equazioni di Maxwell 23

2.3 Soluzioni delle equazioni di MaxwellAdesso siamo pronti per risolvere, una volta per tutte, le equazioni di Maxwell! Siccome, comegi visto, sono tutte della forma dequazione donda risolveremo il caso pi generale, ovvero

2(x, t) 1c22

t2(x, t) = S(x, t) (2.10)

dove S(x, t) il termine di sorgente. Per bisogna fare unultimo passo: visto che vale il principiodi sovrapposizione, la risolveremo per sorgenti puntiformi; perci bisogna prima definire la deltadi Dirac.

Delta di Dirac

La delta di Dirac molto utile per rappresentare le cariche puntiformi, in quanto gode dellapropriet di essere nulla dappertutto tranne in un punto. Un modo empirico e alquantogrossolano di definire la delta3 pu essere

limL0

1piL

e(xx0)2/L2 (x x0)

ovvero il limite di una gaussiana sempre pi stretta e alta, centrata in x0. Andiamo ad elencarealcune propriet che ci saranno utili:

I

(x x0) dx = 1 sex0 I, altrimenti lintegrale nullo. Questo vale anche per I = R.

Per f(x) abbastanza regolare si haI

f(x)(x x0) dx = f(x0) sex0 I, altrimenti

zero.4 Si pu anche scrivere f(x) =f(y)(y x) dy

La delta pari, cio (x y) = (y x)Ovviamente si pu definire la delta in tre dimensioni, allo stesso modo come sopra, in cui valgonole propriet analoghe a quelle suddette.

Soluzione dellequazione donda con sorgente

Risolviamo la (2.10). Lidea di scomporre S come somma di sorgenti puntiforme poste in x0,ovvero

S(x, t) =S(x0, t)3(x x0)d3x0

dove 3(x x0) = (x x0)(y y0)(z z0), ovvia generalizzazione in tre dimensioni delladelta. Allora risolveremo lequazione5 per x0(x, t),

2x0(x, t)1c22

t2x0(x, t) = S(x0, t)3(x x0)

3Per una trattazione pi rigorosa e approfondita si veda G. Cicogna,Metodi matematici della Fisica, cap. 54Vale per qualsiasi f(x) continua in un intorno del punto x0.5Tecnicamente x0(x, t) detto funzionale di Green.


La nostra soluzione sar(x, t) =

d3x0x0(x, t)

Digressione in elettrostatica

Tanto per cominciare, vogliamo far vedere lutilizzo del metodo descritto sopra per la notaequazione di Poisson

2(x) = (x)0

(2.11)

Allora, si ha che(x) =

(x0)3(x x0) d3x0

e la nostra soluzione (x) =

x0(x) d3x0

Per risolvere la (2.11) conviene mettersi in coordinate sferiche. Allora visto che per x 6= x0 nonabbiamo sorgenti lequazione omogenea ed (r = |x x0|)

1r2

rr2

rx0(x) = 0

La soluzione sar (basta integrare due volte in r)

x0(x) = A+B

r

Adesso dobbiamo dare delle condizioni su per determinare A eB. Una condizione lannullarsiallinfinito, quindi A = 0. Per determinare B, invece, integriamo la (2.11) su una sfera centratasulla sorgente e poi mandiamo il raggio R a zero. Allora si ha

D

(x0) d3x =Gauss

D

x0 ds = 10

D

(x0)3(x x0) d3x

dove D la sfera, D la superficie della sfera, ds lelemento si superficie. Sostituendo ax0 lespressione che abbiamo trovato si ha che

x0 = B

r2

da cui D

x0 ds = 4piR2B

R2= (x0)

0

dove nellultima eguaglianza si fatto uso della propriet della delta secondo cui lintegraledella delta uguale a 1 ((x0) labbiamo portato fuori lintegrale in quanto lintegrazione ind3x e non su d3x0). Ecco allora lespressione per B

B = (x0)4pi0

2.3 Soluzioni delle equazioni di Maxwell 25

Quindi il potenziale di una sorgente puntiforme

x0(x) =1

4pi0(x0)|x x0|

ed integrando su x0, si ottiene la ben nota formula per il potenziale eletrostatico, soluzionedella (2.11)

(x) = 14pi0

(x0)|x x0|d

3x0 (2.12)

2.3.1 Potenziali ritardatiDetto questo, possiamo tornare alla nostra equazione delle onde e risolverla proprio comeabbiamo fatto per lequazione di Poisson. Per sorgente puntiforme

2x0(x, t)1c22

t2x0(x, t) = S(x0, t)3(x x0) (2.13)

per x 6= x0 non abbiamo sorgenti e la nostra equazione omogenea; cercando soluzioni asimmetria sferica si ottiene, come abbiamo visto nel paragrafo 1.2, (con r = |x x0|)

x0 =f(t r

c)

r+g(t+ r

c)

r

Ma dobbiamo imporre che le onde siano uscenti dalla sorgente, quindi escludiamo la g(t+ r/c).Questa condizione imposta dal principio di causalit e dal fatto che ha poco senso parlare dionde che arrivano dallinfinito e vanno verso la sorgente. Allora la nostra soluzione

x0 =f(t r/c)

r x0 =

f(t r/c)r2

1c

f (t r/c)r

dove con f (t r/c) indichiamo la derivata di f rispetto al suo argomento. Facciamo notare chederivare rispetto al tempo la f uguale a derivare rispetto al suo argomento.

Adesso integriamo la (2.13) sulla sfera, di raggio R, centrata in x0, e gli sostituiamolespressione trovata sopra per il gradiente di x0 , per trovare un relazione tra e il termine disorgente.

[ fr2 1c

f

r

]d3x

()

1c2

f

rd3x

()

= S(x0, t)3(x x0) d3x

Mandando R 0 si vede che () 0 integrato sulla sfera. Vediamo invece il termine (): peril teorema di Gauss si ha che

() = 4piR2[ fR2 1c

f

R

]passando al limite per R 0 il secondo termine in parentesi si annulla, cosi la condizionedi raccordo della funzione con la sorgente uguale a quella di Poisson. Abbiamo la seguenteuguaglianza

4pif = S(x0, t) f(t) = S(x0, t)4pi (2.14)


Inoltre visto chex0 =

f(t)r

(r 0) (2.15)allora mettendo insieme questultima equazione con la (2.14) si ottiene che

x0(r, t) =S(x0, t r/c)

4pir (2.16)

Si nota subito che compare un tempo ritardato trit = t r/c. Avendo risolto lequazione delleonde per una sorgente puntiforme, non rimane altro che integrare su x0, allora otteniamo lasoluzione generale:

(x, t) =S(x0, t |xx0|c )

4pi|x x0| d3x0 (2.17)

A questo punto abbiamo finito, infatti abbiamo la soluzione generale delle equazione donda peruna qualunque sorgente. In particolare per risolvere le equazioni per i potenziali, la (2.4) e la(2.5), basta sostituire a e S il potenziale vettore o scalare e la rispettiva sorgente; vediamo unpo:

A(x, t) = 14pi0c2 J(x0, t |xx0|c )

|x x0| d3x0 (2.18)

(x, t) = 14pi0

(x0, t |xx0|c )|x x0| d

3x0 (2.19)

Abbiamo appena risolto le equazioni di Maxwell!

2.4 Sviluppo in multipoli

x

y

z

S(x,y,z)

d

P(x,y,z)

r

Figura 2.1 Sviluppo in multipoli

Nel paragrafo 2.3 abbiamo ricavato le soluzionigenerali delle equazioni donda per i potenziali;in linea di principio, con quelle soluzioni pos-siamo calcolare i potenziali in qualunque circo-stanza, purch siano note le sorgenti. In questasezione troveremo delle espressioni approssima-te di quelle soluzioni, valide sotto opportuneipotesi.

Riferendoci alla figura 2.1, chiamiamo S lasorgente (in concreto sar o J); un pun-to qualunque della sorgente ha coordinatex = (x, y, z), mentre il punto in cui vo-gliamo conoscere i potenziali ha coordinater = (x, y, z) e dista r dallorigine degli assi;la dimensione caratteristica della sorgente d.Ricordiamo brevemente cosa si fa in elettro-statica: ci si pone ad una distanza r d dal-lorigine e si considerano i primi termini dello

sviluppo in serie del fattore 1/ |r x| che compare nellespressione del potenziale elettrostatico.

2.4 Sviluppo in multipoli 27

Consideriamo qui lespressione per il potenziale vettore:

A(r, t) = 14pi0c2 J(x, t |r x| /c)

|r x| d3x (2.20)

Sottolineiamo che ora, diversamente dal caso statico, il termine |r x| compare non solo aldenominatore, ma anche nel tempo ritardato. Occupiamoci prima di tutto del denominatore: seci mettiamo ad una distanza r d, possiamo approssimare 1/ |r x| ' 1/r e si ottiene

A(r, t) ' 14pi0c2rJ(x, t |r x| /c)d3x

Adesso arrivato il momento di occuparci del termine |r x| che compare nel temporitardato; vogliamo capire le ipotesi sotto le quali ha senso un suo sviluppo in serie. Per fare ciconsideriamo una sorgente monocromatica:

J = J(x) cos[

(t |r x

|c

)]

sviluppiamo J per |x| |r|:

J ' J(x){

cos[(t r

c

)] sin

[(t r

c

)] [t |r x

|c

(t r

c

)]}

= J(x){

cos[(t r

c

)] rx

c

sin[(t r

c

)]}

dove si usato il seguente sviluppo

|r x| ' r r x

r

Vediamo quindi che il termine correttivo rispetto allapprossimazione |r x| ' |r| = r dellordine di x

c v

c d

. Quindi se siamo nellipotesi d

1, ha senso sviluppare in serie J:

J(x, t |r x| /c) ' J(x, t r/c) + x rcr

Jt

(x, t r/c) + ... (2.21)

Inserendo quanto trovato nellespressione del potenziale vettore si trova (nelle ipotesi d r ed )

A(r, t) ' A1+A2 = 14pi0c21r

J(x, tr/c)d3x+ 14pi0c2

1r

x rcr

Jt

(x, tr/c)d3x (2.22)

2.4.1 Dipolo elettricoOccupiamoci per il momento del primo termine della (2.22):

A1 =1

4pi0c21r

J(x, t r/c)d3x (2.23)


Osserviamo che nellespressione del tempo ritardato, laver sostituito |r x| con r, corrispondea considerare il ritardo uniforme su tutta la sorgente.

Vogliamo ora trasformare lintegrale nella (2.23) in modo che compaia esplicitamente ilmomento di dipolo elettrico; consideriamo perci il tensore a due indici xkJi e calcoliamone ladivergenza:

i(xkJi) = (ixk)Ji + xk(iJi)= ikJi + xkdivJ

J = div(x J) xdivJEffettuando la sostituzione nellintegrale della (2.23) si ottiene:

Jd3x =

div(x J)d3x

xdivJd3x

Applicando il teorema di Gauss, il primo integrale diventa un termine di flusso che si annullascegliendo una superficie che racchiuda tutta la distribuzione di corrente e sulla quale non cisiano correnti libere; il secondo integrale invece pu essere trasformato usando lequazione dicontinuit:

Jd3x = xdivJd3x =

xtdx = d

dt

xd3x = p

Pertanto il primo termine dello sviluppo in multipoli del potenziale vettore dovuto al momentodi dipolo elettrico della sorgente:

A1(r, t) =1

4pi0c2p(t r/c)

r(2.24)

Il prossimo obiettivo il calcolo del potenziale scalare; il metodo pi conveniente per ricavarlo di sfruttare la gauge di Lorenz:

1c21t

= A1 = 14pi0c2r p(t r/c)

r3 14pi0c2

1cr2

r p(t r/c)

1(r, t) = 14pi0r[p+ r

cp]t r

c

r3

Calcolo dei campi

Abbiamo ricavato i potenziali per un dipolo elettrico; siamo pronti per calcolare i campi.Conosciamo dal paragrafo 2.1 le relazioni che legano i campi ai potenziali

B = A = 14pi0c2

[p+

(rc

)p]tr/c r

r3(2.25)

E = At

= 14pi0r3

p 3p rr2

campo prossimo

1c2

(pt rit r) r campo di radiazione

(2.26)

2.4 Sviluppo in multipoli 29

dove abbiamo introdotto p = pt rit + rc pt rit Ricordiamo che quanto abbiamo trovato valese d/ 1 e d/r 1, resta da discutere il parametro r/; in base a questo parametro siindividuano due zone:

r/ 1: zona di campo prossimo, i campi vanno come 1/r2 e dipendono dalla velocitdelle cariche

r/ 1: zona dei campi di radiazione, i campi vanno come 1/r e dipendono dallaccelera-zione delle cariche

I campi prossimi sono quasi-statici: mostriamolo ad esempio per il campo B. Consideriamo unosviluppo in serie di p:

p(tR/c) = p(t) + (trit t)p(t) + ...= p(t) r

cp(t) + ...

Quando inseriamo questo sviluppo nellespressione del campo magnetico, miracolosamente itermini dipendenti dallaccelerazione delle cariche si cancella:

B ' 14pi0c2

[p(t) r

cp(t) + r

cp(t)

] r

r3= 14pi0c2

J(x, t) rr3

d3x

Vediamo allora che le soluzioni statiche sono valide in zona prossima a meno di termini diO (r/)2.

Passiamo ora ai campi di radiazione. I campi in zona di radiazione sono dati da

E = 14pi0c2p(t r/c) r

r r

B = 14pi0c3p(t r/c)

r r

dove abbiamo introdotto il versore della direzione di osservazione r = rr. Si vede allora che in

zona di radiazione i campi sono ortogonali tra loro e ortogonali alla direzione individuata da r.

2.4.2 Quadrupolo elettrico e dipolo magneticoE arrivato ora il momento di occuparci del secondo termine della (2.22):

A2 =1

4pi0c21r

x rcr

Jt

(x, t r/c)d3x (2.27)

Nel seguito, per semplicit di notazione, scriveremo J al posto di Jt. Cominciamo scrivendo la

(2.27) con la notazione indiciale:

Ai =1

4pi0c3r2rk

J ix

kd

3x (2.28)


Come prima vogliamo trasformare lintegrando in qualcosaltro; introduciamo allora il tensorexkx

iJl ; esattamente come nella sezione precedente, calcoliamo la divergenza di questo tensore:

l(xkxiJ l ) = lkxiJ l + xkliJ l + xkxilJ l= xiJ k + xkJ i + xkxilJ l

Adesso scriviamo lintegrando della (2.28) come somma di un termine simmetrico e unoantisimmetrico:

J ixk =

12(J

ixk + J kxi) +

12(J

ixk J kxi) (2.29)

Occupiamoci della parte simmetrica; usando le identit trovate sopra e lequazione di continuitsi ottiene

J ixk + J kxi = l(xkxiJ l ) xkxilJ l

= l(xkxiJ l ) xkxi

tdivJ

= l(xkxiJ l ) + xkxi2

t2

Come abbiamo fatto precedentemente nel caso del dipolo elettrico, per calcolare il potenzialevettore integriamo su un volume D che contiene tutta la sorgente; applicando il teorema diGauss, lintegrale della divergenza del tensore si trasforma in un termine di flusso che si annullase scegliamo il dominio di integrazione in modo che sulla superficie D non ci siano correntilibere; per il resto si trova

12

(J ixk + J kxi)d3x =

12

xkx

i

2

t2d3x

= 12d2

dt2

xkx

id

3x

= 12d2

dt2

(xkxi

13 |x

|2 ki)d3x + 16d2

dt2

|x|2 kid3x

= 12Qik +16d2

dt2

|x|2 kid3x

dove abbiamo introdotto il momento di quadrupolo elettrico

Qik

(xkxi13 |x

|2 ki)d3x

Per cui il contributo del termine simmetrico al potenziale vettore dato da

Asym2 =1

4pi0c31r

(12Q(t r/c)r+

16 r|x|2 (t r/c)d3x

)

In zona di radiazione il secondo termine in parentesi non genera campi, quindi si ha per laradiazione di quadrupolo

Asym2 =1

8pi0c3Q(t r/c)r

r(2.30)

2.5 Teorema di Poynting 31

Passiamo ora a esaminare il termine antisimmetrico nella (2.29).

Aantii =1

8pi0c3r2rk

(J ixk J kxi)d3x

= 18pi0c3r2

(J irkxk rkJ kxi)d3x

Aanti2 =1

8pi0c3r2 (

Jt

(rx)(rJt

)x)d3x

= 18pi0c3r2 [(

x Jt

) r

]d3x

= 18pi0c3r2d

dt

[(x J) r] d3x

= 14pi0c3r2m r

dove abbiamo introdotto il momento di dipolo magnetico

m 12x Jd3x

Ricapitolando, abbiamo trovato il contributo dei termini di quadrupolo elettrico e dipolomagnetico al potenziale vettore:

A2 =1

8pi0c3Q(t r/c)r

r+ 14pi0c3

m(t r/c) rr

(2.31)

2.5 Teorema di PoyntingOra vorremmo discutere la conservazione dellenergia per i campi elettromagnetici. Per formulareun teorema dellenergia ci serve unequazione di continuit del tipo6

t(densit di energia) + (vettore) = (densit di potenza)

dove il vettore sar un termine di flusso, ovvero il flusso denergia del campo elettromagneticoper unit di tempo attraverso una superficie unitaria. Vediamo come si pu esprimere la densitdi potenza: la forza su un particella F = q(E + v B) e la potenza F v = qE v. Seabbiamo N particelle per unit di volume, ricordando che Nqv = j, allora la densit di potenzasar NqE v = E j. Questo termine rappresenta la potenza trasmessa dal campo alla materia,ma visto che stiamo scrivendo un teorema dellenergia per il campo allora il nostro termine disorgente E j. Lidea ora quella di scrivere la densit di energia e il flusso in termini di Ee B. Partiamo da

E j = t

(?) + (?)6Stiamo facendo la stessa cosa che abbiamo fatto per la corda nella sottosezione 1.1.6


Dallequazione di Maxwell per il rotore di B

j = 0c2B 0Et

quindiE j = 0c2E (B) 0E E

t

lultimo termine uguale a 120E2

t. Notando poi che

(EB) = i (ijkEjBk)= ijki (EjBk)= ijk (BkiEj + EjiBk)= BkkijiEj EjjikiBk= B ( E) E (B)

si ottiene alloraE j = 0

[c2 (B ( E)(EB)) 12

E2

t

]che ancora non quello che vogliamo, per ci vengono ancora in aiuto le equazioni di Maxwell,infatti, utilizzando lequazione per il rotore di E, otteniamo

B ( E) = BBt

= 12B2

t

ecco che comincia a delinearsi qualcosa:

E j = 0[c2(12

B2

t (EB)

) 12

E2

t

]

a questo punto abbiamo finito: infatti basta mettere bene in ordine i termini e avremo il nostroteorema per la conservazione dellenergia, detto Teorema di Poynting

t

(0E2

2 + 0c2B

2

2

)+

(EB0

)= E j (2.32)

dove abbiamo usato che 0c2 = 1/0. Il termine di flusso

S = EB0

anche noto come vettore di Poynting. Fin qui tutto bene, ma adesso vengono i problemi. Inprimis la densit di energia e il vettore di Poynting che abbiamo trovato sono soltanto una dellepossibili espressioni: infatti possiamo aggiungere alla densit di energia una divergenza di unaqualsiasi quantit vettorialeX e sottrarre al vettore di Poynting la derivata temporale della stessa

2.5 Teorema di Poynting 33

E

S

B

(a)

p1 2

d

p

(b)

quantit X senza cambiare la validit delteorema,

t( + X) +

( X

t

)= E j

In secondo luogo il vettore di Poynting sol-leva qualche problema poich non univoco:infatti definito a meno di un rotore, poich,come sappiamo, la divergenza di un rotore nulla. Infine, cosa non banale, il vettore diPoynting non intuitivo; a tal fine prendiamoun filo percorso da corrente (si veda la figu-ra (a) accanto) e visto che il campo magnetico azimutale e il campo elettrico lungo il filo si ha che il vettore di Poynting radiale verso ilfilo: difficile credere che lenergia di un filo percorso da corrente venga dallinfinito verso il filo.

Comunque, vista larbitrariet del vettore di Poynting, possiamo modificarlo7 in modo chelenergia scorra lungo il filo come J, il che molto pi intuitivo. Un altro aspetto che necessitadi particolare attenzione la non additivit. Prendiamo, per esempio, due dipoli disposti comein figura nella parte (b) e ci mettiamo, per semplicit, in approssimazione d , si ha che ilvettore di Poynting totale non la somma dei due vettori di Poynting in quanto

Stot = (E1 + E2) (B1 +B2) 6= (E1 B1) + (E2 B2)

Un altro caso in cui si pu notare la non additivit quello di due dipoli paralleli che oscillano adiverse frequenze, supponiamo p1,2 oscilli alla frequenza 1,2; sappiamo che il vettore di Poyntingtotale dato da Etot Btot, allora si avr

Stot [cos(1t) + cos(2t+ )] Etot

[cos(1t) + cos(2t+ )] Btot

svolgendo i calcoli e usando un po di trigonometria si hanno le seguenti frequenze

p1 0 21p2 0 22

interferenza 1 2 1 + 2

quindi si hanno delle frequenze dovute allinterferenza tra i due dipoli; se avessimo sommato ivettori di Poynting non avremmo ottenuto questi termini di interferenza.

Un caso, invece, in cui si possono sommare i vettori di Poynting quando due dipoli p1,2sono disposti perpendicolarmente tra di loro.

7Si veda il Macchi, Moruzzi, Pegoraro - Problemi di elettromagnetismo classico, problema 11.1


2.6 Irraggiamento2.6.1 Irraggiamento di dipoloCalcoliamo la potenza irraggiata da un dipolo elettrico. Nella zona di radiazione i campi per undipolo sono:

B = 14pi0c3[p]trit r

rE = 14pi0c2

[[p]trit r

] r

r

Notare che i campi in zona di radiazione vanno come 1/r poich lenergia si deve conservare,infatti il vettore di Poynting va come 1/r2, che integrato sulla superficie costante. A questopunto calcoliamo S,

S = 0c2(EB)e per semplificare i conti poniamo C = p r, allora si ha che (fattori costanti a parte, chereinseriremo dopo)

r2EB [C r]C= C2r (C r) C= C2r

dove nellultima uguaglianza abbiamo usato il fatto che C r, quindi, mettendo i vari fattoricostanti, si ha

S = 0k20c3C2

r2r

nellespressione sopra abbiamo indicato con k0 = 1/(4pi0), inoltre essendo C2 = (pr)(pr) =|p|2 sin2 , dove langolo formato da p e r, si ottiene che per il vettore di Poynting la seguenteespressione

S = 0k20c3|p|2 sin2

r2r (2.33)

Ricordiamo che S il flusso di energia per unit di tempo e superficie, quindi proprio unapotenza per unit di superficie. Vista la simmetria sferica del problema, useremo coordinatepolari con la seguente notazione

d = sin dd Angolo solidod = r2d Elemento di superficie

da cui la potenza irraggiata per unit di angolo solido dP

d =dP

ddd = |S| r

2 (2.34)

Sostituendo la (2.33) nella (2.34) e integrando sullangolo solido otteniamo la potenza totaleirraggiata

Ptot =|S| r2d = 0k

20c3|p|2 2pi

0d

2pi

pi0

sin2 sin d 4/3

= 23k0|p|2c3

(2.35)

2.6 Irraggiamento 35

Se il nostro dipolo p = p0eit, mediando sul periodo la Ptot, si ha

Ptot = k03c34 |p0|2

dove facciamo notare la dipendenza della potenza irraggiata da 4.Abbiamo un espressione della potenza totale irraggiata da un dipolo, ma pu essere utile

anche la distribuzione angolare della potenza, che pu essere ricavata facilmente dalle espressioniprecedenti:

dP

d =3

8piPtot sin2 (2.36)

p

Quindi dalla (2.36) si vede che non c potenzairraggiata nella direzione del dipolo ( = 0) ela potenza massima si ha nella zona equato-riale ( = pi/2); plottando la (2.36) si ha ladistribuzione mostrata nella figura accanto.

2.6.2 Irraggiamento di dipolo magnetico e quadrupoloAbbiamo ricavato nella sezione 2.4.2 i termini superiori al primo per lo sviluppo in multipoli,ovvero il dipolo magnetico e il momento di quadrupolo elettrico. Visto che ci sono delle situazioniin cui questi due termini non sono trascurabili (per esempio momento di dipolo elettrico nullo)riportiamo la potenza irraggiata anche per essi.

Per il primo caso la potenza irraggiata abbastanza facile da calcolare: infatti il dipolomagnetico (DM) genera il potenziale vettore

ADM =1

4pi0c3mtrit r

r

molto simile al potenziale vettore del dipolo elettrico (DE)

ADE =1

4pi0c2ptritr

Dunque, ricalcando i calcoli che si sono fatti per i campi del DE, si vede che i campi del DMin zona di radiazione sono, a parte un fattore c, gli stessi del DE ma scambiando il ruolo di Bcon E e viceversa. Tenuto conto di ci, la potenza irraggiata da un dipolo magnetico data da

Figura 2.2 Potenza irraggiata dal quadrupolo

Pmtot =23k0|m|2c5

uguale alla potenza irraggiata dal dipo-lo elettrico (c a parte, per questionidimensionali).

Riportiamo, per completezza, senza fare iconti, la potenza irraggiata da un quadrupolo

PQtot =6

1440pi0c5,

|Q|2

Nella figura 2.2 riportiamo la distribuzioneangolare della potenza.


2.7 DiffusioneIl problema questo: facciamo incidere unonda elettromagnetica su un atomo e vogliamo saperequanto irraggia. Per fare ci useremo un modello classico dellelettrone legato elasticamente alnucleo; per semplicit possiamo pensare allidrogeno. Trascureremo lirraggiamento del protonein quanto ha massa circa 2000 volte quella dellelettrone (quindi oscilla molto meno). Comesappiamo la forza su una carica data dalla formula di Lorentz

F = q(E+ vB)

con il modello che stiamo considerando lequazione del moto dellelettrone di massa m e caricaq sar

m(x + x + 20x) = q(E+ xB) (2.37)questa equazione valida per piccole oscillazioni, x L, dove L la lunghezza caratteristicadellatomo, quindi stiamo linearizzando il problema, inoltre unaltra semplificazione che consi-deriamo che il termine x B trascurabile rispetto agli altri; questa approssimazione puessere fatta nellipotesi di campi deboli, che tratteremo pi avanti. Prendiamo la nostra ondaelettromagnetica dove

E = E0eikxit B = B0eikxit

Per semplicit prendiamo k = kx E = Ez e B = By. La nostra equazione del motodiviene

m(z + z + 20z)z = qE0zeikxit

si pu inoltre eliminare il termine eikx in quanto, svolgendosi il moto lungo z, un terminecostante che si pu cambiare a piacimento spostando lorigine degli assi. Cercando una soluzionedel tipo z = z0eit, si ha

z0 =qE0m

120 i 2

calcoliamo il momento di dipolo

p = p0zeit con p0 = qz0 =q2E0m

120 i 2

allorap(t) = q

2E0m

2

20 i 2zeit

per semplicit, ci mettiamo fuori risonanza ovvero nel caso 6= 0 e trascuriamo gamma, quindi = 0, cosi abbiamo

|p(t)| = q2E0m

2

20 2di conseguenza

Ptot = k03q4E20m2c3

4

(20 2)2= k03

q4E20m2c3

F ()

2.7 Diffusione 37

Questa la potenza totale irraggiata, ma possibile definire una quantit dipendente soltantodalle caratteristiche della particella: normalizzando la potenza irraggiata rispetto al flussoincidente otteniamo una quantit che ha le dimensioni di una superficie

= Ptot|S| Sezione durto

ed essendo il vettore di Poynting mediato sul periodo

|S| = 0c2|EB| = 0cE20

2

quindi si ha

= q4

6pi20m2c44

(20 2)2= 83pir

2eF () (2.38)

dove abbiamo introdotto il raggio classico dellelettrone

re =q2

4pi0mc2

Nel caso in cui si considera lelettrone non legato (0 = 0, cio F () = 1) nella (2.38) si ha lasezione durto Thompson. La (2.38) ci dice come vengono diffuse le varie frequenze.

2.7.1 Perch il cielo azzurroUnapplicazione di quello che abbiamo fatto sopra la spiegazione del colore del cielo. Infattila luce del sole viene diffusa dagli vatomi dellatmosfera. Inoltre per latmosfera si ha che lefrequenze di oscillazione proprie degli atomi che la costituiscono sono molto pi grandi dellafrequenza dellonda incidente (luce bianca proveniente dal sole); allora essendo 0 , possiamotrascurare la al denominatore della (2.38), cos che

' 83pir2e

4

40

Questo ci dice che le frequenze pi elevate vengono maggiormente diffuse, quindi il blu avendofrequenza pi alta rispetto agli altri colori viene diffuso maggiormente e questo d il tipico coloreal cielo.

Si noti che se pensiamo al cielo come un insieme di N molecole discrete il vettore di Poynting dato da

Stot = 0c2[(

Nn=1

En)(

Nn=1

Bn)]

come sappiamo ci saranno dei termini di interferenza i quali, per, vista la disposizione casualedelle molecole, statisticamente si mediano a zero. Perci possiamo scrivere

Stot =Nn=1

Sn


Di conseguenza la sezione durto sar tot = N.Studiamo ora il limite del continuo; introduciamo il parametro adimensionale e facciamo

le seguenti trasformazioni:

N Nm m/q q/

( come se immaginassimo gli atomi costituiti da parti). Considerando otteniamo illimite del continuo e vediamo cosa succede:

N N = N (q/)4

6pi20(m/)2c4F () 1

dunque nellipotesi di cielo continuo la sezione durto diventa nulla, di conseguenza il cieloapparirebbe nero.

Validit del modello: approssimazione di campi deboli

Ritorniamo su un punto che non abbiamo trattato: lapprossimazione di campi deboli. Unacondizione in cui possibile trascurare il termine xB lapprossimazione non relativisticaovvero v c, infatti

xB vcE

quindi nella (2.37) si pu trascurare xB rispetto a E se vc 1.

Inoltre considerando lequazionemz = qE0eit

con la soluzionez = z0eit z0 = qE0

m2

si ha che consistente con lapprossimazione non relativistica se

v0 =qE0m c

visto che B0 = E0/cqE0/c

m= qB0m 1

quindi siamo in approsimazione di campi deboli se

ciclotrone

1

dove ciclotrone =qB0m

.

2.8 Densit di impulso del campo elettromagnetico 39

2.8 Densit di impulso del campo elettromagneticoAnalogamente alla conservazione della densit di energia vogliamo scrivere unequazione dicontinuit per la densit di impulso. Lequazione di continuit sar la seguente

t(densit di impulso) + (tensore) = (densit di forza)

proprio come nella sezione 2.5, scritta la densit di forza ricaveremo, tramite lequazione diMaxwell lespressione per la densit di impulso e il tensore. Visto che la forza quella di Lorentzla densit di forza ovviamente

E+ jBil punto di partenza , dunque,

(E+ jB) = t

( ) + ( ) (2.39)

ricordando che = 0 E e j = 0c2B 0E

t

basta sostituirli alla (2.39) e riarrangiare le formule in modo da ottenere quello che stiamocercando. Sostituendo

[E+ jB] =[0E( E) + 0c2(B)B 0E

tB

] 0E B

t+ 0E B

t

dove abbiamo aggiunto e tolto il termine 0E tB. Visto che

0EtB 0E B

t= 0

t(EB)

si ottiene

0 t

(EB) +[0E( E) + 0c2(B)B+ 0E B

t

]= E+ jB

ecco che gi comincia a vedersi qualcosa. Ora usando lequazione di Faraday-Neumann tB = E dimostriamo che il termine [ ] la divergenza di un tensore

[ ] = 0E( E) + 0c2(B)B+ 0( E) E (2.40)Non rimane altro che vedere quanto fa ( ) ; facciamolo per E:

[( E) E]i = ijk (jlmlEm)Ek= jkijlm (lEm)Ek= (klim kmil) (lEm)Ek= (kEi)Ek (iEk)Ek= (kEi)Ek 12iE

2k


notando anche che il primo termine nellespressione sopra

(kEi)Ek = k (EiEk) (kEk)Eiin definitiva otteniamo

[( E) E]i = k (EiEk) (kEk)Ei 12iE

2k

e per B abbiamo la cosa analoga, soltanto che essendo la divergenza di B nulla (ovvero(kBk) = 0) si ha

[(B)B]i = k (BiBk)12iB

2k

Mettendo tutto insieme e sostituendo nella (2.40) scritta in forma indiciale abbiamo

0Ei (kEk) + 0c2[k (BiBk) 12iB

2k

]+ 0

[k (EiEk) (kEk)Ei 12iE

2k

]eliminando il primo termine con il termine centrale nella seconda parentesi quadra otteniamo

0i

[c2BiBj 12c

2BjBj + EiEj 12EjEj]

dove si riarrangiata la formula per questione di estetica (ricordarsi che gli indici sono muti,dunque posso cambiarli a piacimento) e si scritto 12iE

2j = 12iEjEj. A questo punto siamo

arrivati a scrivere la (2.40) come una diveregnza di un tensore a due indici, ovverro

Tij = 0[E2 + c2B2

2 ij EiEj c2BiBj

](2.41)

Questo tensore noto come il tensore degli stress di Maxwell. Siamo cosi arrivati allobiettivoche ceravamo prefissati, trovare unequazione che esprima la conservazione dellimpulso

0

t(EB)i +

[0E2 + c2B2

2 ij 0(EiEj + c2BiBj

)]= (E+ jB)i (2.42)

Pu essere riscritta anche nel seguente modo, introducendo il prodotto tensoriale:

0

t(EB) +

[0E2 + c2B2

2 0(E E + c2B B

)]= (E+ jB)

Si noti che la densit di impulso non altro che il vettore Poynting diviso c2.Integrando la (2.42) sul volume si pu scrivere

d

dt(Pm + Pem)i =

S

j

TijnjdS

dove lintegrale esteso alla superficie chiusa S, n il versore uscente normale alla superficie,Pm e Pem sono rispettivamente la densit dimpulso meccanico ed elettromagnetico dati da

dPmdt

=dV (E+ jB) e Pem = 0

EB dV

2.9 Potenziali di Linard-Wiechert 41

2.9 Potenziali di Linard-WiechertVorremmo ricavare i potenziali per una carica che si muove di moto qualunque anche con velocitprossima a quella della luce. Infatti quando, nella sezione 2.4, abbiamo ricavato i potenziali,sviluppando in multipoli, nel caso in cui d ovvero se v c, non ci siamo preoccupatidi moti relativistici. Invece adesso consideriamo una particella di carica q che si muove conmoto qualunque dato dalla legge X(t) velocit v(t) = X(t). La nostra distribuzione di caricacalcolata al tempo ritardato

(x, trit) = q 3(x X

(t |x x

|c

))(2.43)

Prima di procedere al calcolo del potenziale scalare per la particella, dobbiamo mostrare unapropriet della delta che ci servir in seguito. Abbiamo gi parlato della delta con argomento lax ma nel nostro caso abbiamo che largomento della delta una funzione (f(x)); dunque facile dimostrare che

(f(x)) dx =i

1|f (x)|

f(xi)=0

dove le derivate di f vanno calcolate nei punti in cui f(x) = 0. Per dimostare ci basta fare uncambio di variabile. Supponiamo che f(x) abbia un solo zero:

(f(x)) dx =

f(x)=y

(y) 1|f |dy =

1|f |

y=0

= 1|f |

f(x)=0

Noi dobbiamo calcolare il potenziale scalare dato dalla (2.19)

(x, t) = 14pi0

(x, t |xx|

c)

|x x| d3x

sostituendogli la (2.43)

(x, t) = q4pi0

3 (x X (t |xx|c

))|x x| d

3x (2.44)

adesso basta usare la propriet della delta con f(x) = x X(t |xx|

c

); visto che la derivata

data daf (x) = 1 v(trit) r

c

dove ricordiamo che v(trit) la velocita della particella al tempo ritardato e r, come al solito, il versore della direzione che va dalla carica al punto in cui stiamo calcolando il potenziale. Cosper lintegrale nella (2.44) si ha

(y)

|x f1(y)|1|f |dy =

1[r(1 vr

c

)]trit


dove abbiamo indicato con r = |xX(t)|; in definitiva si ha che il potenziale

(x, t) = q4pi0

[r vr

c

]trit

La stessa forma assume il potenzilale vettore infatti la densit di corrente v e dunquelintegrale su da lo stesso risultato, cos

A(x, t) = qv4pi0c2

[r vr

c

]trit

Queste soluzioni per i potenziali, per una carica puntiforme che si muove di moto qualunque,vengono detti potenzali di Linard-Wiechert.

Adesso calcoleremo, tramite Linard-Wiechert, i potenziali di una carica che si muovedi moto rettilineo uniforme, che per semplicit prenderemo lungo lasse x, ovvero v = vx.

P(x,y,z)

x

y

z

r

r

vtvt

Riferendoci alla figura accanto dobbiamo espri-mere r (le variabili primate sono calcolate altempo ritardato) in funzione di r in modo danon avere i potenziali espressi in funzione deltempo ritardato. Dalla figura si ha

r =

(x vt)2 + y2 + z2 (2.45)dove, come ormai sappiamo, t = t r/c;da questultima si ricava r = c(t t), cheuguagliato allespressione (2.45) d

c2 (t t)2 = (x vt)2 + y2 + z2

sviluppando i quadrati dei binomi si ottiene

(v2 c2)t2 2(vx c2t)t + x2 + y2 + z2 c2t2 = 0risolvendo per t (

1 v2

c2

)t = t vx

c2 1c

(x vt)2 + (1 v2c2

)(y2 + x2)

da questultima si ricava r = c(t t), come funzione di r e t. Inoltre tenendo conto chev r = v(x vt)

si esprime, alla fine, r vrc

in termini di r e t. Segue cos la seguente espressione per ilpotenziale scalare

(x, y, z, t) = q4pi01

r vrc

= q4pi01

1 v2c2

1(xvt)2

(1v2/c2) + y2 + z2(2.46)

2.9 Potenziali di Linard-Wiechert 43

questespressione del potenziale la ricaveremo, con meno calcoli, quando faremo le trasformazionidei potenziali. Allo stesso modo si ha per il potenziale vettore

A(x, y, z, t) = qv4pi0c21

1 v2c2

1(xvt)2

(1v2/c2) + y2 + z2x

Capitolo 3

Formulazione covariantedellelettromagnetismo

Notazione

In seguito useremo la seguente notazione: non si far distinzione tra quadrivettori covarianti econtrovarianti, di conseguenza gli indici saranno posti tutti in basso; un qualsiasi quadrivettoreverr scritto con la componente temporale alla fine, cio a = (ax, ay, az, a0) = (a, a0). Inoltreuseremo la seguente metrica

g =

1

111

con la notazione che, se a = (a, a0) e b = (b, b0), i prodotti scalari sono dati da

ab = agb = a b a0b0

dove utilizziamo la convenzione di Einstein, ovvero si deve sommare sugli indici ripetuti.

3.1 Richiami di relativitDefiniamo adesso le quantit cinematiche e poi deriveremo le espressioni per gli operatoridifferenziali. Definiamo, conseguentemente alla nostra convezione, il quadrivettore posizione

x = (x, ct)

Come sappiamo i quadrivettori si trasformano, per cambio di sistema di riferimento, tramitele trasformazioni di Lorentz; supponendo che S sia il sistema di riferimento del laboratorio eS sia un sistema di riferimento in moto rispetto a S con velocita v, con v lungo x si hanno le

45

46 3 Formulazione covariante dellelettromagnetismo

seguenti espressioni

x = x ct1 2 = (x ct)

y =yz =z

ct = ct x1 2 = (ct x)

(3.1)

dove = v

c = 1

1 2In forma matriciale il boost di Lorentz dato da

=

0 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0

allora il quadrivettore trasformato sar

x = x

Inoltre, si definisce quadrivelocitu =

dxd

dove il tempo proprio. Ricordando la propriet dtd

= , si trova facilmente che laquadrivelocit espressa da

u = (u, c)con u velocit della particella. Data la quadrivelocit intuitivo definire il quadrimpulso p nelseguente modo

p = m0u = (m0u,m0c)dovem0 la massa a riposo della particella. Inoltre dalla celeberrima relazione E = mc2 = m0c2,si pu riscrivere p come

p =(p, E

c

)dove si indicato p = m0u.

3.1.1 Operatori differenzialiPer dare una veste covariante alle equazioni di Maxwell ci servono le opportune generalizzazioni3+1-dimensionali dei vari operatori differenziali. Cominciamo dal gradiente: sfruttiamo lapropriet che le quantit scalari sono, per definizione, invarianti per cambio di sistema diriferimento; prendiamo come quantit scalare e supponiamo di avere due sistemi uno in

3.2 Equazioni di Maxwell in forma covariante 47

moto rispetto allaltro, con la convezione che si fatta per scrivere le trasformazioni di Lorentz.Facendo una variazione infinitesima di , si ha

d = xdx+

tdt in S d =

xdx +

tdt in S (3.2)

ma dalle trasformazioni di Lorentz

dx = (dx cdt)cdt = (cdt dx)

cos visto che i due termini della (3.2) devono essere uguali, poich come abbiamo detto sonoquantit scalari, si ha, sostituendo i differenziali appena trovati

d = xdx+

tdt =

xdx +

tdt

= x

[ (dx cdt)] + t

[ (cdt dx)]

=[

(

x

t

)]dx+

[

(

t

x

)]cdt (3.3)

Dovendo essere il quadrigradiente di qualcosa un quadrivettore, deve trasformare tramite letrasformazioni di Lorentz; sembra che non torni il segno nella (3.3), ma le cose si aggiustanoponendo che il quadrigradiente sia:

=(,

ct

)

che covariante. Analogamente si definisce la quadridivergenza come

a = a + a0ct

E quindi il laplaciano come = 2 1

c22

t2

che viene spesso chiamato DAlembertiano e si indica .

3.2 Equazioni di Maxwell in forma covariantePer una formulazione covariante delle equazioni di Maxwell bene partire da un invariante: lacarica. Sperimentalmente si vede che la carica si conserva e, come sappiamo, rispetta lequazionedi continuit

j+ t

= 0

che pu essere riscritta nella formaj = 0


Visto che a secondo membro abbiamo un invariante (zero), anche al primo membro deve esserciun invariante. Dato che un vettore covariante, lunico modo per fare un invariante che jsia un quadrivettore. Si definisce allora la quadricorrente

j = (j, c)

A questo punto la formulazione covariante non altro che una riscrittura delle equazionidellelettromagnetismo. Sappiamo che per i potenziali valgono le equazioni

2 1c22

t2=

0

2cA 1c22cAt2

= j0c

dove abbiamo moltiplicato la seconda per c; riscrivendole come segue

cA = j0c

= c0c

ci si accorge subito che i potenziali sono le componenti di un quadrivettore in quanto lo sono lesorgenti; avremo

A = j0c

(3.4)

dove A il quadripotenziale di componenti

A = (cA, )

Inoltre la gauge Lorenz pu essere riscritta nel formalismo che stiamo usando nel seguente modo:

A = 0 (3.5)

Si arriva subito alla (3.5) riscrivendo la (2.3) nel seguente modo cA + ct

= 0. Si vedealtrettanto bene che la nuova invarianza di gauge

A = A + (c)

basta ricordarsi che la trasformazione di gauge data daA A = A+ = t

Sorge una domanda: se siamo fuori gauge di Lorenz come sono le equazioni covarianti? Si trovafacilmente partendo dalle equazioni per i potenziali che

A A = F = j0c

(3.6)

3.3 Trasformazioni per cambio di sistema di riferimento 49

dove F = A A detto tensore dei campi. F un tensore antisimmetrico a dueindici che (ricordando lespressione di A e come i campi sono legati ai potenziali) espressodalla seguente matrice:

F =

0 cBz cBy ExcBz 0 cBx EycBy cBx 0 EzEx Ey Ez 0

(3.7)Tramite il tensore dei campi abbiamo scritto le equazioni disomogenee in forma covariante(equazione (3.6)), quelle omogenee si possono scrivere in forma covariante nel seguente modo

F = 0 (3.8)

dove F un altro tensore, detto duale di F , definito dalla seguente relazione:

F =12F

dove lovvia generalizazzione del tensore ijk in quattro dimensioni, ovvero

=

1 per combinazione ciclica degli indici0 se almeno due degli indici sono uguali1 per combinazioni non cicliche

Questi tensori, oltre a dirci come trasformano i campi (lo faremo pi avanti), ci danno i seguentiinvarianti relativistici

FF = 2(E2 c2B2

)(3.9)

FF = 4E B (3.10)La (3.9) e la (3.10) ci dicono per esempio che se in unonda il campo elettrico e magnetico sonoortogonali tra di loro lo sono in qualsiasi altro sistema di riferimento (SR); inoltre se esiste unSR in cui E B = 0 e E2 < c2B2 allora esiste un SR in cui il campo elettrico nullo, E = 0.

E2 > c2B2 allora esiste un SR in cui il campo magnetico nullo, B = 0.

3.3 Trasformazioni per cambio di sistema di riferimento3.3.1 Trasformazione dei potenzialiPer avere una trattazione completa dellelettromagnetismo dobbiamo vedere come si trasformanocampi e potenziali. Per questultimi la cosa diviene banale in quanto, essendo A un quadrivettore,le sue componenti trasformano tramite le trasformazioni di Lorentz:

cAx = (cAx )cAy,z = cAy,z = ( cAx)


Prima di passare ai campi diamo un esempio dellutilizzo di queste trasformazioni nel caso diuna carica in moto uniforme, proprio come si fatto nella sezione 2.9 tramite le soluzioni diLinard-Wiechert. Sia il sistema S quello del laboratorio in cui la carica si muove con velocitv = vx e S sia il sistema solidale con la carica. In S si hanno i potenziali1

(r) = q4pi0rA = 0

Per calcolare il potenziale in S basta applicare le trasformazioni di Lorentz inverse; si trova

(r) = (r) = q4pi0r

si noti che il potenziale espresso in funzione delle cordinate di S , ma a noi interessa il potenzialecome funzione delle coordinate di S; dobbiamo sostituire a r la sua espressione in funzione di(r, t). Visto che

r =x2 + y2 + z2 =

2(x vt)2 + y2 + z2

si ha che il potenziale di una carica in moto con velocit uniforme :

(r, t) = q4pi0

2(x vt)2 + y2 + z2(3.11)

Confrontando la (3.11) con la (2.46) si vede che le due derivazioni sono coerenti, come giustoche sia. Facciamo notare che in S compare un potenziale vettore assente in S ; lasciamo allettore la facile derivazione.

3.3.2 Trasformazione dei campiAdesso andiamo a vedere come si trasformano i campi; la cosa non cos facile come per ipotenziali in quanto come abbiamo visto i campi non sono le componenti di un quadrivettore,ma di un tensore a 2 indici antisimmetrico. Si possono seguire due strade: una quella ditrasformare i potenziali e poi da essi ricavare i campi, ma abbastanza contosa; la seconda quella di trasformare il tensore le cui nuove componenti saranno i campi trasformati.

Alla fine si trovano le seguenti trasformazioni, per un moto lungo lasse x con velocit v:

E x = Ex Bx = Bx

E y = (Ey vBz) By = (By +

v

c2Ez

)E z = (Ez + vBy) Bz =

(Bz v

c2Ey

)Queste formule possono essere riscritte in unaltra forma talvolta pi utile:

E = E B = B

E = (E+ vB) B = (B v E

c2

)

1Qui gli elementi primati indicano che siamo nel riferimento S e, diversamente dalla sezione 2.9, non chesono calcolati al tempo ritardato

3.4 Dinamica relativistica 51

Nella figura seguente sono riportate le immagini del campo elettrico di una carica in movimentocon tre diverse velocit.

(a) = 0 (b) = 0.6 (c) = 0.9

Figura 3.1 Campo elettrico di una carica in moto uniforme per vari valori di

3.4 Dinamica relativisticaPer chiudere il quadro della formulazione covariante dellelettromagnetismo dobbiamo saperecome il campo interagisce con le cariche. In regime non relativistico la legge del moto di unacarica

dpdt

= q (E+ vB)dove lespressione a secondo membro la ben nota forza di Lorentz. Ora in ambito relativisticosappiamo che il momento viene modificato tramite un fattore , cos che

d

dt(m0v) =

d

dt

m0v1 v2/c2

= q (E+ vB) (3.12)ma sappiamo che per avere unespressione covariante dobbiamo per forza usare il tensore deicampi piuttosto che i campi stessi. Otteremo unequazione del tipo

F = dpdt

dove F la quadriforza, che in componenti F =(F,

cF v

).

Lequazione del moto in forma covariante espressa da

dpdt

= m0d2xdt2

= qFu (3.13)


Svolgendo i calcoli dellespressione sopra ci si accorge che le componenti spaziali danno propriola (3.12).

Diamo, infine, un cenno al cosidetto tensore energia-impulso. Si sono ricavati due teoremiche esprimevano uno la conservazione dellenergia, laltro la conservazione dellimpulso. Questidue possono essere riscritti in forma covariante introducendo il seguente tensore

=

1cTij

1cS

1cS u

dove Tij il tensore degli stress di Maxwell, S il vettore di Poynting e u la densit di energiadel campo elettromagnetico. Allora le suddette leggi di conservazione, in assenza di sorgenti,sono date da

= 0La cui componente temporale d il teorema di Poynting e la parte spaziale quello dellimpulso.

Se poi si vuole aggiungere anche il contributo delle sorgenti non difficile vedere chelespressione si modifica nella seguente maniera

= 1cFj

Quindi lequazione sopra esprime in modo covariante la conservazione dellenergia e della quantitdi moto del campo elettromagnetico.

Capitolo 4

Onde EM nei mezzi

4.1 Onde elettromagnetiche nei dielettrici4.1.1 Modello fisicoQuando si va a studiare la propagazione dei campi elettromagnetici nella materia, ci si putrovare in situazioni molto complicate, in quanto la risposta dei mezzi ai campi in generaledescritta da equazioni non lineari. Noi non ci occupiamo di questi casi generali e linearizziamoil problema. Modellizziamo gli elettroni atomici in un mezzo materiale come un sistema di Noscillatori armonici per unit di volume; questa approssimazione lineare valida solamente nelcaso in cui i campi con cui si ha a che fare siano deboli1. In queste ipotesi siamo autorizzati atrascurare gli effetti magnetici. Poich i mezzi sono dispersivi, nello studio della propagazione deicampi, opportuno analizzare la loro risposta frequenza per frequenza (corrisponde a lavorarein trasformata di Fourier). Lequazione del moto delloscillatore forzato

m(x+ x+ 20x) = eE0eit (4.1)Cerchiamo una soluzione particolare del tipo x(t) = x0eit; facendo le dovute sostituzioni siottiene

x0 = eE0m(20 2 i)

(4.2)

Il momento di dipolo indotto dellatomo quindi

p = ex = e2

m(20 2 i)E (4.3)

Possiamo introdurre la polarizzabilit atomica definita come

p = 0E

Il nostro semplice modello allora ci fornisce la seguente espressione per :

() = e2

0m(20 2 i)1Si riveda la discussione del paragrafo 2.6 a pagina 34

53

54 4 Onde EM nei mezzi

Osserviamo che nel nostro modello abbiamo supposto per semplicit che il mezzo fosse isotropo;in caso contrario avremmo ottenuto per la polarizzabilit un tensore a due indici ij. Adessocalcoliamo la polarizzazione del mezzo, cio il momento di dipolo per unit di volume; poichabbiamo N atomi per unit di volume e ognuno di essi ha un momento di dipolo p = 0E, lapolarizzazione data da

P() = Np = N0()E =2pe

20 2 iE

dove abbiamo introdotto la cosiddetta frequenza di plasma:

2pe =Ne2

m0

4.1.2 Equazioni di Maxwell nei dielettriciLesistenza di una polarizzazione della materia implica che ci sono delle cariche e delle correntidi polarizzazione, le quali devono essere inserite come termini di sorgente nelle equazioni diMaxwell.

E = ext + pol0

(4.4)

c2B = Jext + Jpol0

+ Et

(4.5)

Sappiamo che la densit di carica di polarizzazione si pu scrivere come

pol = P (4.6)

Per calcolare la corrente di polarizzazione usiamo lequazione di continuit:

Jpol = polt

= t P = P

t

Jpol = Pt

(4.7)

Sostituendo le relazioni appena trovate2 nelle (4.4) e (4.5), si ottiene

E = ext P0

0c2B = Jext +

t(0E+P)

mentre le equazioni di Maxwell omogenee rimangono immutate. Osserviamo che, per scriverequeste equazioni in modo pi compatto, si potrebbe introdurre, come stato fatto in elettrostatica,

2In realt la (4.7) vera a meno di un rotore, cio a meno della corrente di magnetizzazione Jmag = M,che per esclusa dalla nostra trattazione.

4.1 Onde elettromagnetiche nei dielettrici 55

il vettore spostamento elettrico D 0E+P; tuttavia nel caso di campi variabili il vettore Dnon molto comodo. Infatti mentre si ha

D() E()la relazione tra E e D non istantanea3

D(t) 6= E(t)In seguito quindi non faremo mai uso del vettore D, ma scriveremo tutto in termini dei campiE e B.

Il nostro prossimo obiettivo trovare lequazione donda nei dielettrici; mettiamoci nel casoin cui ext = 0 e Jext = 0. Procediamo come nel vuoto, cio applichiamo il rotore allequazionedi Faraday

( E) = t

(B)

2E+( E) = 1c2

t

[

t

(P0

+ E)]

2E+( E) = 1c22

t2

(P0

+ E)

Quanto vale E? E = P

0= N() E

E(1 +N) = 0Possiamo distinguere allora i due seguenti casi:

E = 0 onde trasversali1 +N = 0 onde longitudinali

E interessante notare che, diversamente dal caso nel vuoto, nella materia sono possibili tre statidi polarizzazione: si possono avere anche onde a polarizzazione longitudinale; si pu mostrareche per queste onde il campo magnetico nullo, ed nulla anche la velocit di gruppo4. Nelseguito ci occuperemo solamente delle onde trasversali, per cui assumiamo E = 0; lequazioneche descrive la propagazione del campo elettrico nel mezzo quindi

2E 1c22Et2

= 10c2

2Pt2

(4.8)

Con procedimento analogo si pu ottenere lequazione donda per il campo magnetico:

2B 1c22Bt2

= 10 P

t(4.9)

3Per ricavare D(t) da E(t) bisogna esprimere D() in funzione di E() e poi eseguire unantitrasformata diFourier: D(t) = 12pi

()E()eitd

4Si provi a risolvere gli esercizi 13.5 e 15.7


Adesso cerchiamo soluzioni di queste equazioni del tipo onda piana monocromatica

E = E0eikxit

Sostituendo questa soluzione nella (4.8) si ottiene la relazione di dispersione:

k2c2 = 2 [1 +N()] (4.10)

Introduciamo lindice di rifrazione n cvf

= kc. Dalla relazione di dispersione scritta sopra si

deduce che n() =

1 +N() =r().

Osserviamo che il numero donda k (e quindi anche lindice di rifrazione) composto ingenerale da una parte reale e una parte immaginaria, k = kr + iki. Questo comporta chelampiezza dellonda si attenua durante la propagazione; infatti inserendo il k nellespressionedellonda piana si trova

E = E0ekixeikrxit

Limite del continuo

Vogliamo vedere se la risposta dielettrica dipende dal fatto che la materia sia discreta; introdu-ciamo un parametro e trasformiamo le grandezze in gioco nel modo seguente:

N Nm m/e e/

Considerare il limite corrisponde a vedere il mezzo non pi discreto, ma come unadistribuzione continua di materia; effettuando le sostituzioni nellespressione di P si scopre cheessa rimane invariata, cio la risposta dielettrica non si accorge del fatto che il mezzo siadiscreto.

4.2 Onde nei conduttoriNei conduttori (metalli, plasmi), lequazione che descrive il moto degli elettroni sotto lazione diun campo elettrico oscillante pu essere scritta nel seguente modo

m(x+ x) = eE0eit (4.11)

Questa equazione identica a quella che abbiamo risolto per trovare la risposta dielettrica,a parte il fatto che qui si ha 0 = 0, dato che in un conduttore gli elettroni sono liberi. Lasoluzione dellequazione

v(t) = em(i + )E

J = Nev = Ne2

m(i + )E =2pe

(i + )0E

4.2 Onde nei conduttori 57

Possiamo introdurre la conducibilit generalizzata : essa sar in generale una quantit complessa.Studiamo il suo comportamento limite in due casi particolari:

' Ne2

mcorrente in fase con il campo

' iNe2

mcorrente sfasata di pi/2 con il campo

Il primo caso corrisponde al limite ohmico in cui la conducibilit non dipende dalla frequenza;nel secondo caso invece si ha a che fare con frequenze elevate e si verifica che la potenza dissipata nulla, in quanto J E = 0.

Studiamo ora la propagazione di onde elettromagnetiche in un conduttore. Lequazione chedescrive la propagazione del campo elettrico

2E 1c22Et2

= 10c2

Jt

Se sostituiamo lespressione per J trovata sopra e imponiamo una soluzione del tipo E =E0eikxit, si ottiene la relazione di dispersione

2 = k2c2 + i(i )2pe

Studiamo la risposta del conduttore a basse ed alte frequenze:

: la relazione di dispersione si pu approssimare nel modo seguente:

2 = k2c2 + i2pe

da cui si ricava k

k2 ' ic2

2pe k =1 + i

2c

2pe

Londa allinterno del conduttore ha allora la forma

E = E0ex/ls(eix/lsit

)cio londa si smorza su una lunghezza

ls =c

pe

2

detta lunghezza di pelle collisionale.

: la relazione di dispersione diventa

2 = k2c2 + 2pe


quindi

k2 =2 2pe

c2

da qua si deduce che se < pe il numero donda k immaginario puro e dunque il campoelettrico allinterno del conduttore del tipo

E = E0ex/lpeit

non si ha quindi propagazione allinterno del mezzo. I campi penetrano nel mezzo solamentefino ad una distanza

lp = c22pe 2

detta lunghezza di pelle inerziale. Onde di questo tipo sono dette evanescenti.

4.2.1 Energia trasportata da unonda evanescenteCalcoliamo il flusso denergia trasportato da unonda evanescente. I campi sono dati da

E = E0yex/lp cost

B = E0lp

zex/lp sint

Il vettore di Poynting

S = 0c2EB = 0c2 E20

lpe2x/lp sin(2t)

Mediando sul periodo si ottiene che il trasporto netto di energia per unonda evanescente nullo:

S = 0

4.3 Onde in mezzi disomogeneiConsideriamo ora il problema della propagazione di onde elettromagnetiche in mezzi disomogenei.In generale si dovrebbero risolvere equazioni molto complicate, poich la risposta del mezzoai campi una funzione della posizione ( = (,x)) dunque la soluzione del tipo E0eikxitnon funziona pi. Esistono per due situazioni in cui si possono fare delle approssimazioni cherendono il problema notevolmente pi semplice; sia la lunghezza donda della radiazione chesi sta propagando in un mezzo le cui propriet ottiche variano su una scala di lunghezza L (adesempio L pu essere la lunghezza sulla quale in media lindice di rifrazione si dimezza). I casiinteressanti sono i seguenti:

/L 1: la variazione delle propriet del mezzo avvengono in una zona cos piccola chepossiamo approssimare la variazione con una discontinuit (approsimazione impulsiva)

/L 1: le propriet del mezzo variano molto lentamente rispetto alla lunghezza donda(approssimazione adiabatica) ottica geometrica

4.3 Onde in mezzi disomogenei 59

0.1 x

n

x

n

Figura 4.1 Approssimazione impulsiva

4.3.1 Riflessione e rifrazionePoniamoci nelle ipotesi dellapprossimazione impulsiva; possiamo farci unidea della situazionedalla figura 4.1: il grafico a sinistra mostra landamento dellindice di rifrazione di un mezzo infunzione di x/ (posizione espressa in unit di lunghezza donda); a destra, nelle stesse unit, disegnata una funzione discontinua a gradino che approssima lindice di rifrazione. Consideriamoallora due mezzi omogenei aventi indici di rifrazione reali (o che la parte immaginaria siatrascurabile rispetto a quella reale) n1 e n2 separati da uninterfaccia. Mandiamo unondapiana monocromatica sulla superficie di separazione x = 0: in generale nella zona x < 0 si avrla sovrapposizione dellonda incidente con unonda riflessa, invece, per x > 0

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