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Prof. Calogero Contrino

grandezze fisiche vettoriali

operazioni con i vettori

Appunti di Fisica

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Appunti di Fisica

Prof Calogero Contrino

Si considerino le seguenti situazioni:

Grandezze vettoriali:

Introduzione: determinazione di una temperatura

1. Si vuole conoscere la temperatura di un liquido che è riposto in un dato contenitore .

Per risolvere il problema si immerge adeguatamente il bulbo di un termometro all’interno del

liquido, quindi si aspetta il tempo richiesto nel manuale d’uso del termometro (tempo di

risposta) infine si effettua la lettura sullo strumento, il risultato è un numero che nel campo

d’incertezza della procedura eseguita individua univocamente il valore cercato della grandezza

(temperatura).

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2. Si vuole indicare la posizione di una persona che si trova a piazza San Pietro (cerchietto rosso

nella figura) .


introduzione : determinazione di una posizione

Per risolvere questo problema si può prendere come riferimento l’obelisco al centro della

piazza, quindi si misura la distanza della persona dall’obelisco (p.e.15 m).

Il solo valore della distanza misurata non risponde però all’informazione richiesta, infatti ogni

punto della circonferenza con centro sull’obelisco fornisce lo stesso risultato.

Volendo proseguire nella risoluzione si può pensare di individuare una data direzione (p.e.

l’allineamento tra l’obelisco ed il portone d’ingresso della basilica) e specificare che la precedente

distanza va riferita ad essa.

Il problema è completamente risolto nel momento

in cui oltre alle informazioni precedenti viene

specificato che la persona si trova dalla parte di

via della Conciliazione e non dalla parte del

sagrato della basilica.

In definitiva la posizione è correttamente

individuata da tre informazioni :

il valore della distanza (15m),

la direzione (allineamento obelisco-portone);

il verso (dalla parte di via della Conciliazione).

Ancora una volta però non si è stati precisi nel fornire l’indicazione

richiesta , in quanto sono due i punti così individuati.

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introduzione : determinazione di uno spostamento

In definitiva anche lo spostamento è

correttamente individuato ancora da tre

informazioni :

il valore della distanza (30m),

la direzione (allineamento obelisco-portone);

il verso (dalla parte di via della Conciliazione).

3. In riferimento alla situazione precedente si supponga che la stessa persona, dopo un certo

tempo , si ritrovi all’ingresso della piazza (punto di colore giallo) e si voglia valutare il suo

spostamento (segmento di colore giallo) tra le due posizioni, indipendentemente dall’effettivo

percorso seguito ( linea tratteggiata di colore azzurro)

Per risolvere questo problema si misurerà ancora la distanza tra le due posizioni (p.e. 30m), ma

anche in questo caso il valore della distanza misurata da solo non fornirà l’informazione

richiesta , infatti ogni punto della circonferenza con centro sulla posizione iniziale e di raggio

30m da lo stesso risultato. Pertanto si dovrà fare riferimento alla direzione (stesso

allineamento del caso precedente) e specificare che la persona si è avvicinata a via della

Conciliazione.

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Le grandezze per le quali si deve procedere nella loro identificazione come nel caso della

temperatura vengono dette grandezze scalari, mentre quelle per le quali si deve procedere

come nel caso della posizione o dello spostamento vengono dette grandezze vettoriali.


Grandezze scalari e vettoriali : definizioni

Si hanno in proposito le seguenti

definizioni

Dicesi grandezza scalare (o semplicemente scalare) una grandezza che è univocamente

determinata da un valore numerico.

Dicesi grandezza vettoriale (o semplicemente vettore ) una grandezza che è univocamente

determinata da un valore numerico ( il cui valore assoluto è detto intensità o modulo), una

direzione ed un verso.

Per operare una distinzione tra grandezze scalari e vettoriali dal punto di vista dei simboli si

adotta la seguente convenzione :

Le grandezze scalari son individuate da una lettera minuscola o maiuscola

(p.e. p per indicare la pressione, T per indicare la temperatura termodinamica etc.)

Le grandezze vettoriali sono indicate da una lettera minuscola o maiuscola sulla quale è

sovrascritta una freccia (p.e. v per indicare la velocità, E per indicare il campo elettrico)

L’intensità o modulo di una grandezza vettoriale è indicata dal simbolo del vettore racchiuso

tra due segmenti verticali (p.e. , ) v E

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Rappresentazione grafica

A

Volendo operare delle traslazioni del vettore sul piano ci si dovrà servire di riga e

squadretta. Questo modo di procedere porta ovviamente a delle imprecisioni anche importanti

nelle diverse operazioni in cui il vettore è coinvolto (figura in basso a destra).

A

A

avendo a disposizione un righello graduato, stabilita una determinata direzione, su di un

foglio bianco si traccerà un segmento orientato di una determinata lunghezza proporzionale,

secondo la scala fissata, all’intensità del vettore (La situazione è quella della figura in basso a sinistra).

Una generica grandezza vettoriale , caratterizzata da una intensità , una direzione ed un

verso, dal punto di vista grafico, viene individuata da un segmento orientato, dopo che sia

stata fissata una opportuna scala di rappresentazione.

A A

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Rappresentazione grafica : considerazioni

A

A

Si rifletta sul fatto che lo spostamento mediante traslazione su un foglio di disegno non

modifica le informazioni sulla grandezza in esame in quanto il segmento che la rappresenta

mantiene la stessa intensità, la stessa direzione e lo stesso verso.

La stessa cosa non accadrebbe nel caso di uno spostamento che presentasse anche una

rotazione in quanto non sarebbe conservata la direzione .

B A

Si può in definitiva concludere che nelle operazioni tra grandezze vettoriali che saranno

esaminate più avanti i segmenti orientati che le rappresentano potranno essere traslati

senza inficiare la validità dei risultati ottenuti. Si può pertanto dare una prima intuitiva

A questo punto, visto che una grandezza

vettoriale ha le caratteristiche geometriche

tipiche dei segmenti orientati, al fine di poter

correttamente procedere nelle operazioni su

di essi esaminiamo in modo più approfondito

e rigoroso dal punto di vista geometrico

alcuni concetti basilari .

definizione un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio senza subire

deformazioni , restando parallello a se stesso (movimento di traslazione).

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Geometria : assioma dell’ordine

Come si vedrà in modo organico nel corso di geometria, per una qualsiasi retta, si ha il

seguente

A B

I punti di una retta si possono ordinare in modo tale che:

a. Dati due punti distinti A, B si ha :

b. Dati tre punti distinti A, B ,C ,

A B

A B C

o B precede A o A precede B

se A precede B e B precede C allora A precede C

Assioma dell’ordine

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Geometria : retta orientata

L’assioma dell’ordine determina una duplice possibilità di ordinamento dei punti di una retta,

Retta orientata

fissata una delle due possibilità di ordinamento si dirà che la retta è orientata .

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Geometria : segmenti orientati

Segmenti orientati BA

Segmenti orientati

Anche un segmento, essendo un particolare sottoinsieme di punti di una retta, può essere

pensato come un insieme ordinato e quindi anche su di esso si possono fissare ad arbitrio

due versi di percorrenza .

, quando l’ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da A a B . AB

Pertanto un segmento di estremi A e B si dirà orientato da A a B e si indicherà con il simbolo

Un segmento di estremi A e B si dirà orientato da B a A e si indicherà con il simbolo BA

quando l’ordinamento fissato fa incontrare i punti del segmento procedendo da B a A .

B A

I segmenti orientati e si dicono opposti BA AB

B A

Segmenti orientati AB

A B A B

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Geometria : relazione di equipollenza tre segmenti orientati

A3

Segmenti orientati equipollenti

A1

Consideriamo l’ insieme dei segmenti orientati giacenti su un dato piano e che siano

caratterizzati dalle seguenti proprietà :

AiBi

• Siano tutti congruenti

• Abbiano tutti la stessa direzione ( giacciono su rette parallele)

• Abbiano tutti lo stesso verso

B1

B3

A2

B2

Ai

Bi

In tale situazione si dirà che gli elementi dell’ insieme sono in una relazione di equipollenza

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Geometria : proprietà della relazione di equipollenza

E

Proprietà della relazione di equipollenza

A

La relazione di equipollenza è una relazione che gode delle seguenti proprietà :

• Riflessiva (un segmento è equipollente a se stesso)

B

F

C

D

• Simmetrica ( se un segmento è equipollente ad un segmento allora il segmento

è equipollente al segmento )

AB CD

CD AB

• Transitiva ( se un segmento è equipollente ad un segmento e il segmento

è equipollente ad un segmento allora il segmento è equipollente al

segmento ) .

AB CD CD EF AB

EF Una relazione che gode delle precedenti proprietà è, come noto dall’algebra, una relazione di

equivalenza

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Geometria : classi di equivalenza della relazione di equipollenza

A3

Classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti

A1

Si osservi che la relazione di equipollenza, essendo una relazione di equivalenza, suddivide

l’insieme di tutti i segmenti orientati del piano in sottoinsiemi di segmenti ognuno dei quali è

caratterizzato da una stessa direzione stesso verso e stessa lunghezza .

B1

B3

A2

B2

Ai

Bi

Tali sottoinsiemi sono le classi di equivalenza della relazione di equipollenza.

Gli elementi di una data classe di equivalenza hanno tutti le stesse caratteristiche, pertanto,

individuato uno degli elementi, restano determinate le caratteristiche di tutti gli altri.

La classe di equivalenza individuata da un determinato elemento sarà simbolicamente

indicata p.e. come segue ( vedi figura) : A2B2

C1D1

E3F3

C1

D1 C2

D2

Ci

Di

C3

D3

F1 E1

F2 E2

Fi Ei

F3 E3

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Geometria : definizione di vettore

A3

tre vettori come classi di equivalenza di segmenti orientati equipollenti

A1

B1

B3

A2

B2

Ai

Bi

Si può dare a questo punto la seguente

C1

D1 C2

D2

Ci

Di

C3

D3

F1 E1

F2 E2

Fi Ei

F3 E3

Si sottolinea che la scelta di , e per rappresentare rispettivamente la totalità

dei segmenti , e è del tutto arbitraria (essendoci la possibilità di infinite scelte)

A2B2 C1D1 E3F3

AiBi CiDi EiFi

definizione

Dicesi vettore (simbolo v ) una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti OP

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definizione di vettore : le due interpretazioni

La duplice interpretazione del concetto di vettore

La possibilità di rappresentare un vettore con uno qualsiasi dei segmenti orientati

appartenenti alla data classe di equivalenza costituisce un’interpretazione alternativa a quella

esaminata all’inizio della trattazione basata su spostamenti che implicano la conservazione

del parallelismo.

A1

B1

A2

B2 Ai Bi

a

a

A3

B3 a

Si ripropongono di seguito le definizioni derivanti dalle due diverse interpretazioni :

un vettore è un segmento orientato che si può spostare nello spazio restando costantemente

parallello a se stesso (movimento di traslazione).

un vettore è una classe di equivalenza di segmenti orientati equipollenti.

a

a

a

a

a

Le linee tratteggiate di colore blu

indicano i movimenti di traslazione

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vettore : considerazioni pratiche

Le due interpretazioni hanno entrambe la loro validità concettuale la prima risponde

perfettamente a considerazioni di tipo geometrico (assenza di movimento) . In entrambi i casi

però volendo operare per via grafica si dovranno necessariamente effettuare delle traslazioni.

Per limitare le imprecisioni nella procedura esaminata in precedenza, che qui si richiama,

A

A

A

A

prima dopo prima dopo

risulta più comodo ed efficace servirsi di un foglio di carta millimetrata (in basso a destra nella

figura sono evidenziate per comodità le retinature dei cm), inoltre sarà necessario solo l’uso

di un righello, infatti le direzioni vengono conservate dalle misure dei segmenti tratteggiati in

colore blu, cateti del triangolo rettangolo che ha per ipotenusa il segmento orientato che

rappresenta il vettore e che, misurati (in realtà è un conteggio perché la misurazione avviene lungo le

due direzioni della quadrettatura), possono essere riportati ovunque sul foglio.

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Ed essendo xc , yc , xp , yp le coordinate rispettivamente della coda e della punta dopo la

traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato:

Pertanto essendo xc , yc , xp , yp le coordinate rispettivamente della coda e della punta prima

della traslazione il vettore sarà cosi simbolicamente indicato:

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Appunti di Fisica



Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano

A

A

prima dopo

Un ulteriore passo avanti, consiste nell’opportunità di riferire il vettore sul piano ad un sistema

di assi cartesiani ortogonali, dove possono essere rilevate le coordinate delle posizioni della

coda e della punta, proiettando sugli assi, come appreso alla scuola media, gli estremi del

vettore.

A [(xc , yc) ; (xp , yp)]

A [(xc , yc) ; (xp , yp)]

xc xp

yc

yp

xc

yc

yp

L’ impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un

vettore sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta.

xp

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Pertanto un generico vettore sarà cosi indicato simbolicamente:

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L’ impiego di un sistema cartesiano di riferimento implica che per rappresentare un vettore

sono sufficienti due coppie di numeri, le coordinate della coda e quelle della punta.


Rappresentazione grafica e sistema di riferimento cartesiano

p

A

c

p

vettori con coda in punti generici

c

p B

gli stessi vettori con coda nell’origine

p

Nel seguito saranno illustrate le operazioni di base in cui sono coinvolti, impiegando un

metodo grafico (più avanti nel corso sarà introdotto un metodo analitico).

Se però si

conviene di posizionare tutti i vettori ponendo la coda nell’origine del sistema di riferimento

basta solo la coppia di numeri data dalle coordinate della punta.

A

xp

yp

A (xp , yp)

xc xp

yc

yp

xc

yc

yp

xp c c

yp

xp B

Per comprendere a livello intuitivo il metodo grafico si prenderanno in esame situazioni in cui

come vettori di riferimento son scelti gli spostamenti .

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Sia assegnato un sistema di assi cartesiani ortogonali rispetto al quale sono rappresentati tre

posizioni successive assunte da un corpo passando dapprima dalla posizione A alla posizione

B e successivamente dalla posizione B alla posizione C secondo un generico percorso

indicato dalla linea tratteggiata di colore fucsia .

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Appunti di Fisica



Addizione di vettori

y

x

A

B

C

Indicando con s1 = AB lo spostamento nel passaggio dal punto A al punto B e con s2 = BC

quello nel passaggio tra il punto B ed il punto C,

Esso rappresenta la somma degli spostamenti

parziali e si scriverà pertanto: s = s1+ s2 .

s1

s2

s

addizione di spostamenti

Si osservi che il vettore s è un segmento

orientato con la coda coincidente con quella di s1 e la punta coincidente con quella di s2 ,

mentre s1 e s2 sono consecutivi (la punta del primo coincide con la coda del secondo).

• I vettori addendi dovranno essere consecutivi

(metodo punta-coda).

lo spostamento complessivo nel passaggio

tra il punto A ed il punto C sarà s = AC.

Questa è la caratteristica fondamentale

dell’operazione di addizione col metodo grafico che

dovrà essere osservata per qualsiasi tipo di vettori:

• Il vettore risultante avrà la coda coincidente con la

coda del primo vettore addendo e la punta

coincidente con la punta del secondo vettore

addendo.

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Addizione di vettori : metodo punta coda

A

fig. a

B

fig. b

L’addizione tra vettori gode quindi della proprietà commutativa: C = A B + = B A +

A

B

C A

C

La figura b ci mostra che il vettore C può essere ugualmente ottenuto traslando il vettore A,

rendendolo consecutivo al vettore B e congiungendo la coda di B con la punta di A

Dati due vettori , con le code coincidenti con l’origine di un piano cartesiano,

il vettore somma si costruisce come indicato nella figura a:

A (xA,yA) B (xB,yB)

C (xC,yC) = A (xA,yA) B (xB,yB) +

si sposta parallelemente a se stesso il vettore B sino a renderlo consecutivo al vettore A , il

risultato C è il vettore con la coda coincidente con quella di A e la punta coincidente con quella

di B .

B

C = A B + = C B A +

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Addizione di vettori : metodo del parallelogramma

A

fig. c

B

fig. d

B

Il metodo precedente ci suggerisce che il vettore può essere ricavato con

una costruzione grafica alternativa senza spostare uno dei due vettori addendi. C = A B + = B A +

A

B

C C

Dalla figura c dove sono sovrapposte le due costruzioni viste nelle figg. a e b si nota che il

vettore C può essere ugualmente ottenuto costruendo il parallelogramma di lati A e B , in

questo caso il vettore somma C è dato dal segmento orientato che va dal vertice individuato

dalle code dei due addendi al vertice opposto (diagonale principale ).

A

Questo nuova procedura, riportata nella figura d , è detta metodo del parallelogramma .

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Dalla figura f si deduce che due vettori opposti

in un piano cartesiano hanno le coordinate della punta opposte.

Nella figure in basso sono riportati vettori opposti rispettivamente in un foglio senza riferimenti

ed in un foglio millimetrato con assi cartesiani.

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Appunti di Fisica



Vettore opposto di un vettore assegnato

fig. f

A

B

Si ha la seguente

definizione

B

B

Dato un vettore A , dicesi opposto del vettore A il vettore B = - A che ha la stessa intensità di

A, la stessa direzione di A e verso opposto ad A

fig. e = B A ־ = B A ־

Pertanto il vettore opposto del vettore A(x,y) è il vettore B(−x, −y )

A

yp = −yp

yp

xp

xp = −yp

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La proprietà geometrica corrisponde quindi perfettamente a quella

algebrica ; si ha cioè :

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Appunti di Fisica



Sottrazione tra vettori

fig. h

A

B

Dalle figure in basso si evince che il vettore C si ottiene anche dalla somma del vettore A con

l’opposto del vettore B .

fig. g

Anche per i vettori la sottrazione è definita in termini di operazione inversa dell’addizione, si ha

infatti la seguente

definizione

Dati due vettori A , B dicesi differenza tra il vettore A ed il vettore B il vettore C = A - B tale

che sommato al vettore B, da come risultato il vettore A ; in simboli : C = A - B ⇔ A = B + C

C = A B −

A

= A (− ) + B

D B = −

D B = −

C

C = A B − = A B (− ) +

C

C = A B − C = A B − = A B (− ) + = A (− ) + B

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Appunti di Fisica



Sottrazione tra vettori

fig. l

Le due operazioni danno come risultato i vettori C e D che differiscono per il loro verso.

Anche per la sottrazione tra vettori non vale la proprietà commutativa, si ha cioè:

fig. i C = A B − = A B (− ) +

A − B ≠ B − A

Infatti ( vedi le figure ) si ha : e C = A B − = A B (− ) + D = B − = A + A B (− )

D = B − = A + A B (− )

Da notare che pur con versi opposti i due vettori hanno la stessa direzione e la stessa

intensità e vengono determinati dalla diagonale secondaria (punta-punta) del parallelogramma

costruito sui vettori A e B.

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Appunti di Fisica



Moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Necessita talvolta eseguire la moltiplicazione di un vettore per una grandezza scalare . A tale

scopo si da la seguente definizione :

definizione

fig. m

Dato un vettore A ed un numero reale , il prodotto del numero per il vettore A è un vettore B

tale che: |B| = ||·|A|, la sua direzione coincide con quella quella di A ed il suo verso è

concorde con quello di A se > 0 ed opposto a quello di A se < 0 ( per = 0 si ottiene il

vettore nullo 0 ).

B A = > 0 fig. n B A = < 0

1 > > 0

> 1

-1 < < 0

< -1

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I vettori ed sono detti i componenti di A rispettivamente

lungo r e lungo s. Ar As

Nel caso in cui le direzioni assegnate siano quelle degli assi coordinati di un

piano cartesiano la situazione sarà quella della figura q e si avrà :

quindi a partire dalla punta di A si tracciano le rette parallele ad r’ ed s’ le

quali intersecano rispettivamente le rette s’ ed r’ in due punti che determinano i vettori As ed Ar,

che essendo lati di un parallelogramma la cui diagonale è il vettore A soddisfano alla

condizione richiesta: .

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Appunti di Fisica



Scomposizione di un vettore secondo due direzioni assegnate

fig. q

A

fig. p

È sempre possibile scomporre in modo univoco un vettore secondo due direzioni assegnate,

trovare cioè due vettori, aventi direzioni fissate tali che la loro somma sia il vettore iniziale.

As

r

s’

r’

Ar

s

A = Ar + As

Con riferimento alla figura p, dato il vettore A e volendo scomporlo secondo le direzioni r, s con

riga e squadra si tracciano le rette r’, s’ parallele rispettivamente ad r ed s e passanti per la

coda del vettore A ;

A = Ar + As

A = Ax + Ay

Ax

Ay

A = Ax + Ay

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e per quanto visto nella pagina precedente si potrà quindi scrivere:

, dove con Ax ed Ay si sono indicate le coordinate xA e yA della punta del

vettore A

Dalla definizione del prodotto di uno scalare per un vettore, dati due vettori i, j di intensità

unitaria e direzioni e versi coincidenti rispettivamente con quelli degli assi coordinati x, y si ha :

mentre i e j sono detti rispettivamente versore

dell’asse x e versore dell’asse y.

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Appunti di Fisica



Scomposizione di un vettore secondo gli assi coordinati

fig. r A = Ax + Ay

Ax

Ay

xA

yA

A = Ax + i Ay j

i = Ax ; Ax j Ay Ay = 1

La 1) è detta rappresentazione cartesiana del vettore A ed Ax , Ay sono le componenti del

vettore A rispettivamente lungo x e lungo y ,

= Ax + i Ay j

i

j

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Appunti di Fisica



Addizione di due vettori con metodo algebrico

fig. s

Si deduce nel seguito un metodo algebrico per eseguire l’addizione di due vettori di cui sia nota

la rappresentazione.

C = A + B

Bx

By

xB

yB

Ay

Ax xA

yA

xC

Cy

O

H

Y

H’

Y’

O’

A tale scopo, assegnati i vettori B = Bx + i By j A = Ax + i Ay j e (vedi fig.s),

si ricavi con metodo grafico il vettore somma ( p.e. con il metodo punta-coda

traslando il vettore B ).

C = A + B

xC = xA +O’H’= xA + OH = xA + xB ; yC = yA +H’Y’= yA + HY = yA + yB .

yC

Ed essendo per le definizioni precedenti : xc = Cx ; yC = Cy; xA = Ax ; yA = Ay; xB = Bx; yB = By .

Si ha : Cx = Ax + Bx ; Cy = Ay + By ;

Da cui segue infine :

C = Cx + i Cy j = ( Ax + Bx ) + ( Ay + By ) ; i j

Si può quindi concludere che:

Le componenti del vettore somma di due

vettori assegnati in forma cartesiana sono

date dalla somma delle rispettive

componenti dei vettori addendi .

Dalla costruzione grafica effettuata, essendo i due triangoli OHY e O’H’Y’ congruenti, ne

consegue che per le coordinate della punta di C valgono le seguenti relazioni :

Cx

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Appunti di Fisica



Sottrazione di due vettori con metodo algebrico

fig. t

xB

yB

yA

O

H

H’

O’

yC

Le componenti del vettore differenza di due vettori assegnati in forma cartesiana sono date

dalla differenza delle rispettive componenti dei vettore minuendo e del vettore sottraendo .

= A B (− ) +

Dalla relazione e dal metodo per eseguire l’addizione ,visto prima, si deduce

immediatamente il metodo algebrico per eseguire la sottrazione di due vettori di cui sia nota la

rappresentazione cartesiana. Si ha infatti dati due vettori A , B (vedi anche la figura t):

A B − = A B (− ) +

= (Ax − Bx) + (Ay − By) i j C = A B − = Cx + i Cy j [ Ax + (−Bx )] + [( Ay +(− By )] ; j i =

Si può quindi concludere che:

xA

−xB

Y

Y’

xC

−yB

C

C = A − B

C

Si osservi, come visto in precedenza con il

metodo grafico, che:

• il vettore differenza coincide per direzione

ed intensità con la diagonale secondaria

del parallelogramma costruito sui vettori A

e B .

A − B A − B

• non vale la proprietà commutativa

essendo opposti i vettori e .

D = − C

D = B − A

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