Appunti di fisica (classe terza)

7/29/2019 Appunti di fisica (classe terza)

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Prefazione Appunti di sica

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Prefazione

Le-book

La Fisica assume nella vita quotidianalostesso ruolo assunto dallaria che respi-

riamo.La sua costante presenza in tutto ci che

muove o staziona la fa apparire scon-tata, empirica, e quasi ne fa svanire il

ricordo.Ma questa scienza vede in ogni azionecompiuta una serie di valori costanti e

uniformi che ci permettono di conosceremeglio ci che ci circonda e prevedernel operato per mezzo di semplici calcoli.

Ecco che la matematica assume un ruo-lo quanto mai pratico e si materializzanellinerzia degli oggetti impregnandolidi quanto agli occhi di un fsico regola:

un insieme di leggi che equilibrano lanostra vita.

Talvolta pu apparire complesso, a chinon si mai cimentato nello

studio di questa materia,

concepire la costanza con la quale essasi presenta intorno a ognuno

di noi per mezzo di vettori, numeri e

formule invisibili che dunque questiappunti cercheranno di semplifcare

nella speranza che dal punto di vista dalquale

provengono possano trovare un ade-guata corrispondenza teorica in coloro

che ne faranno uso.

Allinterno di questo e-book troverete gli appunti relativi a sicadella classe III SA, a. S. 2012-2013.

Sono presenti dei contenuti aggiuntivi: esercizi svolti, video e

relazioni di laboratorio eseguite durante lanno. Il tutto in partegi integrato nel testo, in caso contrario accessibile dalla cartellain cui contenuto il libro.

Ringraziamo il Pro. Bosco per laiuto datoci nella realizzazionedel presente.

Cortesemente,

gli Autori


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Formule principali:

Capitolo I - Ripasso Appunti di sica

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Capitolo I :

Ripasso degliargomenti di seconda


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Capitolo I :

Ripasso degliargomenti di seconda

Formule principali:

Cinematica;

Vettori;

Cinematica;

Vettori;

v= tlim 0s t

a= tlim 0 v t

x=v (t)+x0

x= 12

a t2+v 0 t+x 0 v=a t+v0 t=

2x

a

t= sv


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1.1 Cinematica

La cinematica quella branca della sica che studia il moto deicorpi sotto un punto di vista puramente quantitativo e senza soer-marsi sulle loro origini.

Velocit

Lavelocit il rapporto ra spazio e tempo. Ci indica lo spazio per-corso in un dato intervallo di tempo. Si distinguono due tipi di velo-cit: mediae istantanea. Di solito per ci si rierisce a questultima,poich ornisce un valore pi accurato.

v= tlim 0s t

Dove il delta indica che va considerata la dierenza ra valore suc-cessivo e precedente (es: t = t2 - t1);lim ci dice invece che il valoredeve essere il pi vicino possibile a 0.

Moto rettilineo uniforme

Il moto rettilineo uniorme il moto pi semplice esistente. Essoavviene quando il rapporto ra spazio e tempo, ovvero la velocit,di un punto in movimento si mantiene costante, condizione che cid la possibilit di esprimere la sua posizione tramite lalegge oraria:

Le altre ormule, acilmente ricavabili, sono:

t=s

v

Accelerazione

Laccelerazione il rapporto ra velocit e tempo che ci indica lavariazione della velocit in unzione del tempo. Anche qui possiamodistinguerne due tipi: media e istantanea.

a= tlim 0 v t

Moto uniformemente accelerato

Il moto uniormemente accelerato un moto allinterno del quale ilrapporto ra velocitdi un punto in movimento e il tempo, ovvero

la sua accelerazione, si mantiene costante. Si tratta di un moto chevaria al variare del tempo, possiamo quindi descriverne la posizionein unzione del tempo, tramite la sua legge oraria:

x=v (t)+x0

v=s t

Le altre formule sono:

v=a t+v0 t=

2x

a

Quandotrovidegli0a

pedice,comev0ox0,

si

riferisconoaivaloriiniz

iali.Es:quandolanciam

oun

corpoversolaltolodot

iamodivelocitiniziale

.

Notaanchechelelegg

ideimotisipossonoco

mbi-

nare.

La legge oraria una formula chepermette di cal-colare lo spazio infunzionedeltempo

x= 12

a t2+v 0 t+x 0


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Capitolo I - Titolo Capitolo Appunti di sica

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1.2 Vettori

Un vettore un segmento orientato, che giace su una retta.Al suo interno distinguiamo:

direzione, ovvero la retta su cui giace; verso, ovvero lorientamento del segmento sulla retta; modulo, cio lo scalare a lui associato; in pratica il valore nume-

rico che si vuole indicare.

Rispetto ai semplici scalari, semplice cira segui da un unit di misu-ra, il vettore ci molto utile per dare inormazioni aggiuntive riguar-do un moto.Naturalmente essi sono inutili in assenza del piano cartesiano.

ormalmente

vettorisiin-

icanoconuna

etteraconso-

praunafrecc

ia!

Versori

Quando ci troviamo a lavorare allinterno di un sistema di rierimen-to, come pu essere quello cartesiano xOy, con delle misure vettoriali utile per un migliore studio della situazione scomporre i vettorilungo i due assi. Inatti, immaginando che il vettore sia lipotenusadi un ipotetico triangolo rettangolo ormato con uno degli assi, po-tremo scomporlo nei due cateti. La scomposizione possibile tramitelutilizzo di unzioni trigonometriche: seno, coseno e tangente.Una volta scomposto il vettore sorge per il problema di assegnaread ogni componente una notazione acilmente comprensibile, per

questo vengono in aiuto iversori:vettori di modulo unitario e direzione lungo uno degli assi everso puntante la loro parte positiva, che vengono indicati con isimboli

^x ^y

Vettori frequenti

Posizione - Indica la posizione di un punto dallorigine;

Spostamento - Indica ladistanza fra ilpunto di partenzae quel-lo diarrivo della traiettoria di un oggetto in moto;

Velocit- Vettore avente come modulo lavelocit istantaneaacui sottoposto un corpo;

Accelerazione -Vettore avente come modulo laccelerazioneistantaneaa cui sottoposto un corpo;

Forza- Vedi pag.

Es. = 5 m diventer =(3 m) + (4 m)v v x y

v Sin,CosInsintesipossiamodireche:pertrovareillatoadiacenteallangolodobbiamoilcosenodellan-golo,mentrepertrovareillatooppostoallangolosipufareilsenodellangolo.


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Formule principali:

Capitolo II - Moti comuni Appunti di sica

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Capitolo II :

Cinemtica dei moti comuni:moto del proiettile, moto circolare,

moto armonico

Moto del proiettile;

Moto circolare;

Moto armonico

R=v0 sin2

gy=

g

2 vx2

x2+

v0y

vxx ymax=

v02

sin2

2gv f=(vx

2+( v0yg t)2)

acp=v

2

r=

2T

v= r

x=A cos( t) v=A sin ( t) a=A2 cos ( t)


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Leggi del moto

vx=v

0cos

x=vx

t

v0y=v0sin

y=1

2g t

2+v 0y t

vy=g t+v0y t


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2.1 Moto del proiettile

Il moto del proiettile il moto di un qualsiasi oggetto scagliato inaria con una determinatavelocit iniziale (vettoriale) e un certo an-golo.

Il corpo soggetto allaccelerazione di gravitg, potremo quindi ri-condurlo a un moto di caduta liberacon velocit iniziale sullassedelle y e ad un moto rettilineo uniorme sullasse delle x. Tutto cisar possibile scomponendo il vettorev

0nelle sue componenti.

Per studiare la cinematica di questo moto si trascura leetto dellat-trito dellaria, nonch la massa del corpo, che come precisato noninuisce sul tempo di caduta.

Basta ricordaresolo queste for-mule per ricavaretutte le altre im-

piegate!

Gittata

Lagittata lo spazio raggiunto dal proiettile sullasse delle x, ovverola distanza del punto di lancio dal punto di arrivo; qui il tempo massimo.

R=v0 sin 2

g

La gittata massima quando uguale a 45 poich 2 90, il cuiseno 1 (non decimale).

Traiettoria

Tale ormula una unzione matematica proprio come quelle ri-scontrabili nella geometria analitica e se acciamo caso ai terminix2exche la rendono lequazione di unaparabola. Inatti la traiettoria diun proiettile sempre parabolica.

y= g2 vx

2x

2+v0y

vxx

Altezza massima

Si tratta dellamassima altezzasegnata dalla traiettoria del proiettilesullasse delle y.Volendo possibile ricavarla trovando lordinata del vertice della pa-rabola descritta dalla unzione traiettoria. Ci vale anche per la gittatache sarebbe la soluzione in x maggiore di 0 della stessa equazione.

ymax=v0

2sin

22g

Nelcasoincuiilpuntodipartenzanonfosse0ilmotosiscomponeinunonor-maleeinunoadangolo0.Intalcasoquestaformulanonsarebbevalida

hmassima=ascissaverticegittata=risultatodiversoda0


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Lo studio del moto di un proiettile considera anche gli oggetti sca-gliati con un angolo di 0 gradi rispetto alla supercie (asse x) e quindicon un altezza iniziale diversa da 0.

In questo caso le leggi principali del moto cambiano, in quanto citroviamo a considerare che la velocit iniziale coincide con lavelocitsullasse x (non c una componente y) e che presente unaltezzainizialeh0.

Moto del proiettile ad angolo 0

Leggi del moto

x=vx

t

vx=v0 vy=g t

y=h1

2g t

2

Suggerimenti

Quando si colloca il moto in un piano cartesiano bene porre lo-rigine in modo tale che il punto di partenza sia sullasse y, mentre ilpunto di arrivo sullasse x.Cos acendo sar possibile studiare il moto in modo molto pi preci-so; sar pi semplice notare casi come quello in ugura, dove il puntodi lancio pi in alto del punto di arrivo, seppur non sia ad angolo 0.In tal caso la traiettoria andrdivisa in due parti da una retta pa-rallela allasse delle x; al di sopra di essa il moto del proiettile sarnormale, al di sotto ad angolo 0.

Quandcosfaiattenzionealcalcolodellagittata!

G=G1 +G2

Calcolo della velocit fnale

Un argomento molto richiesto il calcolo della velocit nale, ov-vero nel punto pi basso della traittoria.Ricordandoci che sullasse x v

x non variabaster calcolare la velocit

nale sullasse y con il tempo tpari al suo valore massimo:

v f=(vx2+( v0yg t)

2)

Essendo per vf

un vettore bene conoscere anche ladirezionedella velocit, espressa in gradi:

=tan1vy

vx

Moto Circolare uniforme 2.2Quando ci si ritrova a operare su traiettorie circolari utile utilizzare,soprattutto come vedremo in seguito per la velocit, il grado radian-te.

Il radiante un angolo al centro che sottende un arco di lunghezzapari a quella del raggio, che pu essere quindi utilizzato per in-dicare non solo una specica gradazione di apertura ma anche lalunghezza che essa sottende

Per indicare un angolo si ricorrer quindi a moltiplicare un gra-do base per tante volte quante sta nell'angolo da misurare.Es: Per misurare un angolo di 40 utilizzando i radianti, sapendo che l'an-golo radiante vale 20 andremo a scrivere 20= 2 rad; in quanto 40/20=2.

Avvalendoci della denizione data potremo scrivere che la misura diun arco sotteso da un qualsiasi angolo al centro, misurata in radianti,sar uguale al=r.


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Lavelocit angolare :Il rapporto ra lo spazio percorso in radianti e lintervallo di tem-po impiegato

S.I. : m/ s2

Per, come sappiamo nel moto circolari uniorme la velocit co-stante, quindi potremo indicare la velocit angolare come:

Queste ormule si potranno quindi utilizzare per ricavare la velocittangenziale, la quale tenendo presente la precedente ormula

, sar:

In quanto:

= rad t

=2

T

=(2 ) f

l=r

v= r

v= xtv= r

tv=(

t)rv= r

Accelerazione

Anche per quanto riguarda laccelerazione, nel moto circolare maanche in qualsiasi moto su traiettoria curva, troveremo due casi: laccelerazione tangenziale, tangente alla traiettoria; laccelerazione centripeta, ovvero laccelerazione che permette

di eseguire la curva puntante verso il centro.

La prima verr osservata in seguito.

Otterremo dunque unaccelerazione avente la retta direzione pas-

sante per il centro.La sua ormula :

S.I. : rad/ s2

Il graco chiarir le idee:

acp=v

2

r acp=

2r

Laccelerazione centripeta presente in ogni moto che abbia cometraiettoria una curva, anche quelli uniormi; inatti esaminando lavelocit (tangenziale) come entit vettoriale ci accorgeremo che inessa cambia costantemente ladirezione del vettore.

Il moto circolare un moto che ha come traiettoria una circon-erenza o una qualsiasi curva Esso uniorme quando la traiet-toria una circonerenza e la sua velocit costante Il periodo ditempo sempre costante in cui viene completato un giro di circon-erenza detto T

flafrequenzaovveroi

giriefettuatialsecondo.

f=1/T & T=1/f


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2.3 Moto armonico semplice

Il moto armonico semplice la proiezione di un moto circolareuniorme sul diametro della circonerenza di traiettoria

Al suo interno valgono le leggi del moto circolare uniorme, ma,essendo un moto che avviene su un asse piano, ogni ormula va ri-maneggiata (utilizzando le regole trigonometriche ripassate a pag. xx)per adeguarle alla nuova traiettoria. Ovviamente non cambiano leconsiderazioni eettuabili su periodo e requenza.

Il periodo del moto armonico lo stesso del moto circolare uni-orme del quale laproiezione e corrisponde al tempo impiegatoper percorrere la traiettoria da A a A1 e poi da A1 a A (oscillazionecompleta).

Nelledimostrazionicomeneiproblemicomodoporreloriginedegliassiincorrispondenzadelcentrodellacirconferenza,inmodotalecheildiametrogiacciasullassedellex.

Legge oraria

La legge oraria del moto armonico :

S.I. : m

Essa indica laproiezione del vettore posizione, che collega lorigineal punto P quindi equivalente al raggio, sullasse delle x.Per, essendo una legge oraria va espressa in unzione del tempo,quindi, sapendo che possiede una velocit angolare pari a

,scriveremo la ormula utilizzando .=2T

cos( t)

Si pu notare che nella ormula ( in quelle a venire) stato utilizzatoun nome diverso per indicare il raggio. Esso inatti, quando siparladi moto armonico, e pi spesso denito ampiezza, indicata con il

simboloA.

x=A cos( t)

Velocit

La velocit del moto armonico semplice si calcola con la ormula:

S.I. : m/s

Questa ormula ricavabile eseguendo delle semplici osservazioni sulgraco del moto.Come possiamo vedere inatti la velocit tangenziale inclinata ri-

spetto ad un ipotetica retta parallela allasse y di un angolo pari aquello di inclinazione del vettore posizione, che unisce il punto Pallorigine. La sua componente sullasse x sar quindi data dalla or-mula:

Dove langolo di inclinazione.Volendo calcolare la velocit in unzione del tempo (come avvienenella legge oraria) potremo quindi scrivere la ormula gi citata.

v=A sin ( t)

v=A sin()

Accelarazione

Come avviene per la legge oraria e la velocit, anche laccelerazione la proiezione sullasse x di una dimensione vettoriale del moto circo-lare: accelerazione centripeta.


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Capitolo II - Dinamica Appunti di sica

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La sua ormula :

S.I. : m/ s2

Ancora una volta baster rierirsi al graco per dimostrarla. Inatti la

sua direzione la stessa del vettore posizione e come tale inclinata diun grado alla retta che questa volta per parallela allasse x, portan-doci quindi a calcolare diretta mente il coseno dellangolo.

Considerazioni sul moto armonico

1. Come osservabile, tutte le ormule presentate sono espresse consegno negativo. Questo dovuto al atto che quando langolo positivo, quindi sta sopra allasse x, il vettore proiezione su x diretto verso la parte negativa dellasse; mente quando linclina-

zione negativa, o comunque superiore ai 180 ( in radianti), ilcoseno e il seno sono anchessi negativi.Il suo compito quindi quello di rendere positivi e quindi meglio maneggiabili i valori ottenuti.

2. Unaltra importante considerazione avvertibile dal graco: lavelocit sar inatti sempre maggiore man mano che il punto siavviciner allorigine e minore alle estremit della traiettoria retti-linea, dove invece laccelerazione massima. I punti estremi sonodetti punti di inversione del moto.

3. Lultima constatazione si pu dedurre sovrapponendo il gracoesteso della posizione con quello dellaccelerazione. Come no-tabile, inatti, i picchi massimi del graco posizione corrispondo-no ai minimi del graco accelerazione e viceversa.

Possiamo quindi articolare la precedente enunciazione della condi-zione unica e necessaria per cui un moto armonico (ovvero che laposizione si ripeta periodicamente) aggiungendo:

afnch un moto sia armonico laccelerazione deve sempre essere

proporzionale e opposta allo spostamento

Questa condizione dimostrabile mediante lutilizzo dellanalisi ma-tematica (in questo caso derivate).

a=A2 cos ( t)


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Formule principali:

Capitolo III - Dinamica Appunti di sica

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Capitolo III :

Dinamica

Leggi della dinamica;

Forze: peso, attrito, Hooke, centripeta;

Oscillatore armonico - Pendolo;

P=mg

Fa s=N

s

Fcp=mv

2

r

T=2(m

k)

T=2L

g

F=ma


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Finora abbiamo sempre studiato le caratteristiche dei moti dei corpinelle loro parti principali, dal punto di vista della cinematica, senzainteressarci alle cause di quei moti. Queste cause sono inatti oggetto

di studi di unaltra branca della sica: la dinamica.Le cause del moto sono le orze:

Una orza una grandezza vettoriale generato da un qualsiasiinterazione ra due o pi corpi in grado di variarne lo stato diquiete o di moto

Nel Sistema Internazionale il modulo del vettore orza si misura inNewton, indicata con la letteraN.

Questunit di misura pren-de il nome del celebre sico

inglese Isaac Newton cheormul le tre Leggi

ondamentali che regola-no la dinamca.

N=Kgm

s2

Prima Legge della Dinamica

Terza Legge della Dinamica

Seconda Legge della Dinamica

Un corpo non soggetto a orze, o soggetto a orze lacui risultante nulla, in quiete o si muove di motouniorme

Tale legge, detta anche legge dinerzia, sottoscrivecome un corpo tenda in mancanza di orze che agisco-no su di esso amantenere il suo stato di moto (o diquiete nel caso sia inizialmente ermo) allinnito.

Questa legge vale solo nei sistemi di rierimento com-pletamente inerziali, che paradossalmente tovanodenizione in tali parole. Il sistema Terra pu essereapprossimato come tale.

Il modulo del vettore Forza (F) dato dal prodotto della massa(m) per laccelerazione (a) a cui sottoposta

F=ma

Il secondo principio, probabilmente anche il pi importante di tutti,soprattutto dal punto di vista pratico di per s lequazione che staalla base della dinamica e dello studio delle orze.

Se un corpo 1 esercita una orza su un corpo 2, il corpo 2 ne eser-citer una sul corpo 1 di uguale intensit e direzione, ma versoopposto

La terza legge, detta anche legge di azione e reazione, dice che innatura le orze si presentano sempre in coppia, e ad ogni orzane corrisponde una uguale e diverso opposto e uguale direzione.

3.1 Le Leggi della Dinamica


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La oraza di reazione alla orza peso laorza normale (N), ovvero la:

somma delle reazioni delle orzeperpendicolari al piano che agisco-no su un corpo

3.2 Forze tipiche

Si raggruppano qui di seguito le orze riscontrabili pi requente-mente.

Forza pesoLesempio pi noto di orza laorza di gravit, pi propriamentedetta orza peso (P) (per la teoria gravitazionale vedere pag. ) checi spinge a rimanere attaccati alla supercie terrestre. La orza digravit sar quindi pari alla massa moltiplicata per laccelerazionegravitazionale g.

g= 9,81 m/ s2

La ormula per il calcolo della orza peso :

S.I. :N

Laccelerazione di gravit g uguale per ogni corpo solo in vici-nanze prossime al pianeta.

P=mg

Tensione

Latensione una orza che troviamoquando applichiamo orze tramite delle corde o cavi (es: quando tra-sciniamo una valigia con una corda). Ha la stessa direzione della cor-da ed laorza di reazione di quella esercitata tramite il cavo.Equivale alla orza che impiegheremmo per tenere unite le parti dello se questo osse tagliato a met.

Forza dattrito

Laorza dattrito una orza che si oppone sempre al moto, ed generata dal atto che tutti i corpi presentano sulla loro superce mi-

croscopici avvallamenti e crepe.Esistono tre tipi di orza dattrito:

radente, causata dalla tangenza ra due o pi corpi (ad es. Fra unlibro e la scrivania su cui poggiato);

volvente, causata dalla tangenza ra due o pi corpi di cui almenouno in moto rotazionale (ad es. Fra i cuscinetti a sera di un renoe il suo disco);

viscoso, causata dallattrito ra un corpo e le particelle che com-pongono un uido (es. Fra un auto e laria);

Lattrito radente la orma pi semplice di attrito, esso non dipendedallarea delle superci in contatto e si divide in due tipologie: lattrito radente statico; lattrito radente dinamico;

Il primo indica quanti Newton di orza sono necessari per vincerelattrito e mettere in moto un corpo. Esso si calcola con la ormula:

S.I. :N

Dove il coecente dattrito statico numero puro (ovvero senzaunit di misura) che indica il grado di intensit dellattrito ra duesuperci.Es. Il coefciente dattrito statico ra ghiaccio e acciaio vale 0,027.

Fa s=N

s

Siopponesemprealmoto!!

Ottenere ldeceler-zione dovut

llttrito?

= g

Vedi pag. seguentepercorrelazioneforzacentripeta!

ttrito

attrito dinico


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Il secondo, dinamico, invece quanti Newton sono necessari per man-tenere il corpo in movimento. Esso si calcola con la ormula:

S.I. :N

Dove invece il coefcente dattrito dinamico, il cui ruolo lo stessodi quello statico.

Fa d=N

d

Forza elastica

F=kx

Laorza elastica una orzache interviene nel momentoin cui una molla, o in generale qualsiasi oggetto elasticito(capacit di non variare orma in seguito allazione diorze), viene allungata o compressa.Per il calcolo della orza elastica si ricorre al Legge diHooke:

Quando un corpo mette in tensioneuna molla, essa esercita sul corpo

una orza direttamente proporzio-nale allallungamento e opposta in verso a

quella che la tende

S.I. :N

Dovex lallungamento e klacostante elasticadella molla.La costante elastica di una molla un valore scalare che indica ilnumero di Newton di orza esercitati dalla molla per ogni metro dicompressione. La costante elastica varia da molla a molla e si misurain Newton per metri:N/ m.

Forza centripeta

Come aerma la seconda Legge della Dinamica ogni orza il pro-dotto di massa per accelerazione, quindi anche allaccelerazione cen-tripeta corrisponder la relativaorza centripeta:

La orza centripeta il prodotto della massa delloggetto per lac-celerazione centripeta

Non va conusa con la cosiddetta orza centriuga (che ne la reazio-ne), essa inatti una orzaapparente, cio che teoricamente esistesolo in determinati sistemi di rierimento rotanti e quindi non iner-ziali (in quanto soggetti alla orza centripeta).

La orza centripeta quella che veramente ci permette di compiereuna traiettoria circolare.Essa di modulo uguale alla orza di attrito. Immaginiamo inattidi essere in auto e di tentare di curvare su una supercie ghiacciata;l'attrito e molto basso e probabilmente continueremo a viaggare suuna traiettoria rettilinea.

Trovarelac-celerazion

e?

a=-kx/m

Fcp=mv

2

r

C it l III Di i


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3.3 Oscillatori armonici

Nellunit II avevamo parlato del moto armonico semplice dal puntodi vista cinematico, adesso passeremo a studiarne le cause, utilizzan-do le nozioni sulle orze.

Prendiamo una massa attaccata a una molla ssata, in corrispondenzadi una delle estremit in modo tale che non si possa spostare e chedallaltra il peso sia libero di muoversi in direzione orizzontale lungolasse x. Allungata la molla, essa eserciter sulla massa una orza paria (Legge di Hooke), che la ar comprimere.Il sistema molla-massa appena descritto un esempio di oscillatorearmonico, ovvero dove la massa si muove di moto armonico. Possia-mo generalizzarne la denizione come :

Un oscillatore armonico un sistema sico nel quale una massasubisce lazione di una orza con modulo proporzionale allo spo-stamento e diretta nel verso opposto al moto

Allinterno del moto armonico generato dagli oscillatori valgono lestesse leggi sulla cinematica del moto armonico semplice (vedi Ca-pitolo II), ma la conoscenza delle cause del moto ci permette spessodi ricavare altre ormule.Studieremo due tipi di onti e rispettive caratteristiche del moto: ilsistema massa-mollae il pendolo.

F=kx

Sistema massa-molla

Loscillatore armonico massa-molla costituito da una molla, concostante elastica k, attaccata ad una massa, di massam, che scorresu una supercie priva di attrito eettuando uno spostamento (oriz-zontale o inclinato se appoggiato su un piano, verticale in sua assen-za)xrispetto alla posizione di quiete.

Il periodo del moto di questo oscillatore pu essere calcolaro seguen-do la ormula:

S.I. : sT=2(m

k)

Prendiamo in considerazione la legge di Hooke (solo il modulo) e ilsecondo principio della dinamica:

Da questa possiamo ricavare laccelerazione, che sappiamo essereuguale a2rper le leggi del moto armonico semplice:

Sapendo che nel moto armonico r= x:

Risolvendo lequazione per T e otteniamo lequazione del periodo.

Il periodo di oscillazione delloscillatore armonico semplice dipendedallamassae dallacostante elasticadella molla ma non dallam-piezza.Conducendo degli esperimenti possibile utilizzare questa ormulaper approssimare il valore k della molla impiegata.

ma= x

a=kx

m2 r=

kx

m

42

T2

r=kx

m

42

T2=

k

m

C it l I Tit l C it l A ti di i


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Capitolo I - Titolo Capitolo Appunti di sica

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Il pendolo semplice un sistema sicoormato da una massa in grado di oscillareattorno a un punto sso al quale unitotramite una corda. Al suo interno la orza

di richiamo data dallacomponente oriz-zontale della orza peso, mentre quellaverticale bilanciata dallatensione dellacorda.

Il periodo T dato dal tempo impiegatoper eseguire un oscillazione completa, checonsiste nel moto della massa da destraverso sinistra e poi da sinistra verso destra,o viceversa.

Nel pendolo il termine lunghezza (L)sostituisce lampiezza (A) solita del motoarmonico, che qui indica invece langolodi apertura rispetto allasse y, segnata inradianti.

Le oscillazioni del pendolo sono isocrone,ovvero apiccole ampiezze ogni oscillazio-ne completa vale circa:

Come osservabile il periodo dipende solodallalunghezzae dallaccelerazione di gra-

vite non dalla massa (due masse inattiin assenza di attrito cadono alla medesimaaccelerazione e tempo) o dallampiezza.

Pendolo

T=2L

g

Inoltre, con veriche sperimentali, possibile utilizzare questa or-mula per ricavare un valore approssimato di g.

Laccelerazione di ritorno della massa sar:

Dato che lampiezza delloscillazione tende a 0, sarsin()=, quin-di possiamo scrivere che:

Parallelamente osserviamo che lo spazio percoso s la curva delimita-ta dai punti A e B, la cui lunghezza :

ovvero

Che andiamo a sostituire in quella precedente:

Per le leggi del moto armonico semplice , possiamoscrivere:

Equazione da cui otteniamo la ormula del periodo risolvendo per T.

a=gsin()

a=g

s=L =s

L

a=gs

L

a=2 r=4 2

T2

r

42

T2r=g

s

L

lunghezza

C it l I Ri A ti di i


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Formule principali:


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Capitolo IV :

Lavoro ed Energia

Lavoro;

Energia meccanica: cinetica e potenziale;

Quantit di moto;

Urti;

Approfondimento:

Pendolo ed energia

W=Ui-Uf & W=Ecf-Eci

Ecf-Eci=Ui-Uf

Ecf+Uf=Eci+Ui

W=Fscos W=1

2k x

2

K=1

2m v

2W=Kf Ki= K

W=(Uf Ui)=Ui Uf=UU=mgh U=1

2k x

2

Ui+Ki=Kf+Uf Ki

E=1

2k A2

m1 v1+m2 v2=(m1+m2 )vfp f=pi Kd=1

2m1 v 1

2+ 12

m2 v 22

1

2(m1+m2)v f

2

Capitolo IV Lavoro ed energia App nti di sica


19/40

Capitolo IV - Lavoro ed energia Appunti di sica

19

4.1 Lavoro

Quando esercitiamo una orza su un corpo spesso vi imprimiamo unmovimento, questo pu essere indicizzato tramite il lavoro:

Il lavoro di una orza il prodotto scalare della orza per lo spo-stamento

Nel S.I. si misura inJoule (J)pari aN . mIl prodotto scalare una grandezza appunto scalare pari al prodottodei moduli dei vettori moltiplicati per il coseno dellampiezza dellan-golo compreso ra loro.

Il lavoro prende quindi in considerazione solo la componente dellaorza responsabile del moto.Alla luce di ci avremo principalmente tre casi a seconda dellampiez-za dellangolo:

90


20/40

allungamento(X)K=costante elastica

(N/m)

U= kX


20

4.2 Energia Cinetica

Il tipo di energia meccanica pi diusa lenrgia cinetica, data dallaormula:

S.I. :J

Essa dovuta al movimento del corpo e si misura in joule(J), comeavviene per il lavoro; si tratta di una quantitscalare, ma a dierenzadelle altre non pu assumere valore negativo indipendentemente dalvalore della orza alla quale collegata.

W=Kf Ki= K

Quando spostiamo un oggetto su un piano esercitandovi una or-za compiamo un lavoro. Se immaginiamo di eettuare un percorsochiuso, per esempio un quadrato, possiamo dedurre che la sommadei lavori prodotti dallazione delle orze sulloggetto aumentermanmano che si andr avanti nel percorso.

Esistono invece delle orze la cui somma dei lavori in un circuitochiuso non cambia al variare della traiettoria. Fra queste troviamo laorza di gravit.Pensando sempre a un ipotetico percorso chiuso, ma questa volta in

verticale in modo tale che la gravit possa eettuare lavoro, potremoosservare che il lavoro eettuato sul tratto orizzontale 0, poich la

orza perpendicolare allo spostamento; nei tratti verticali noteremoinvece che il valore della parte in salita opposto a quello in discesa,quindi il lavoro totale nullo.Queste sono dette orze conservative:

Una orza conservativa quando il lavoro totale che compie indipendente dalla traiettoria

Sono conservative, ad esempio, la orza di gravit e la orza elastica.

Questa,perora,

nondimostrabi-

le;vapresacome

datodifatto

Forze conservative

Per dimostrare il teorema dellenergia cinetica basta partire dalla re-gola cinematica:

Impiegando il primo secondo di equivalenza ra equazioni possiamomoltiplicare a entrambi i membri m (massa):

Per il secondo principio della dinamicaF=mapossiamo scrivere:

v 22 v 1

2=2 a s

mv22 mv1

2=2mas

mv22 mv1

2=2Fs1

2mv2

2

1

2mv 1

2=Fs

Energia Potenziale 4.3

Come gi detto precedentemente, energia e lavoro sono legate daleggi siche e quella che unisce energia cinetica e lavoro il teorema

dellenergia cinetica:

Il lavoro totale compiuto su un corpo uguale alla variazione del-la sua energia cinetica

Teorema dellenergia cinetica

K=

1

2 m v

2

Capitolo IV Lavoro ed energia Appunti di sica


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21

Quando su un corpo agiscono una o pi orze conservative si deveintrodurre un tipo di energia, lenergia potenziale:

Per energia potenziale si intende unenergia che dipende dalla po-

sizione di un corpo nello spazio ma non dal suo stato di moto

Essa misura il vero e proprio laccumulo di possibile lavoro presentesu un corpo. Inatti, per esempio, la capacit di eseguire lavoro mag-giore quando un oggetto sottoposto alla orza di gravit si trova piin alto del punto al quale la orza attira; in un punto elevato inattiil corpo potr spaziare un percorso pi lungo che in un punto pibasso. Lenergia potenziale non pu essere negativa.Anche per lenergia potenziale vale la legge enunciata precedente-mente per lenergia cinetica, ma con la variante:

Il lavoro compiuto da una orza conservativa su un corpo ugualeallopposto della variazione dellenergia potenziale

Grazie a questa caratteristica possiamo semplicare i calcoli nei pro-blemi in cui presente lenergia potenziale ssando lorigine U= 0adun livello arbitrario.

Energia potenziale

W=(Uf Ui)=Ui Uf=U

Energia potenziale gravitazionale (terrestre)Lenergia potenziale gravitazionale terrestre una delle pi note, cheindica quindi la capacit della orza di gravit sulla Terra di compierelavoro.Essa si calcola con la ormula:

S.I. : JU=mgh

Per andare dal puntoAal punto B un corpo dovr passare prima dalpunto C o dal punto D, entrambi posizionati sulla stessa retta. Neltratto AC la orza di gravit sar perpendicolare al percorso eettuato,di conseguenza il lavoro sarnullo; nel tratto CB, invece, il lavorosarmassimo:

[1]

Per dimostrare la ormula baster quindi notare che nella ormula [1]per il calcolo del lavoro hC un punto iniziale, mentre hB un puntonale e che ra loro sussiste la relazione:

Per dimostrare la ormulaU= mghprocederemo invece come segue:

Immaginiamo che i punti A e B siano collegati da un segmento: que-sto segmento approssimabile a d un grande numero di tanti piccoliscalini, ovvero un brevissimo tratto orizzontale seguito da un bre-vissimo tratto verticale entrambi di lunghezza tendente a 0. In ogniistante il lavoro varr mgh e cos lenergia.

O pi semplicemente:Data la ormula , Ui sar uguale amgh

ce U

amghB , quindi sar U=mgh.

W=(Uf Ui)=Ui Uf=U

WAC=0WCB=mg(hC hB)

Quest vlid solo inprossiitdell Terr!

Anche la orza elastica una orza conservativa, quindi vi corrispon-der unenergia potenziale elastica.Essa si calcoler con la ormula:

S.I. :J

hC>hB

Energia potenziale elastica

U=1

2k x

2



22/40


22

4.4 Energia Meccanica

Lenergia cinetica e quella potenziale appartengono alla categoriadellenergia meccanica. Essa si denisce come:

Lenergia meccanica di un sistema corrisponde alla somma delleenergie potenziali e dellenergia cinetica presenti al suo interno

Considerando lenergia meccanica totale di un sitema ci troviamodi ronte ad unimportante caratteristica, una legge sica chiamataLegge di conservazione dellenergia meccanica:

Lenergia meccanica E totale di un sitema allinterno del quale

agiscono solo orze conservative si conserva

Dove kindica semplicemente il atto che si mantiene costante.

Questa legge dimostrabile considerando le ormule che legano le-nergia al lavoro, ovvero:

Si potr quindi eseguire luguaglianza:

Che corrisponde a:

E=U+K

Etot=Utot+Ktot=k

W=Kf Ki W=Ui Uf

Kf Ki=Ui Uf

Ui+Ki=Kf+Uf Ki

Ei=Ef

Da questa dimostrazione otteniamo la ormula:

Essa di ondamentale importanza per lo svolgimento dei problemirelativi alle energie e al lavoro.Per dare un esempio della sua importanza basti pensare a una situa-zione della vita quotidiana: il percorrimento di una discesa quandosiamo in bicicletta; nel punto iniziale troveremo U=maxe K=0, men-tre in quello nale U=0e K=max.Conoscendo alcuni dati, come ad esempio laltitudine del punto ini-ziale rispetto a quello nale (dove abbiamo posto lorigine h=0, quin-di U=0) e la massa delloggetto sar molto acile calcolare la velocit

nale, semplicemente sostituento nellequazione i termini noti:

Ui+Ki=Kf+Uf Ki

v f=(2gh )

Importantissima!!

h

V=0

V>0

V>0

U=xK=0

U>0

K>0

U=0K=x

g



23/40


23

Sostituendo le ormule delle rispettive energie nellequazioneE= U+ K, otteniamo:

[1]

Andiamo a sostituire le leggi del moto armonico semplice della velo-cit e della posizione nella [1]:

[2]

Sapendo inoltre che la orza elastica pari ama= kxper la secondalegge della dinamica:

Andiamo quindi a sostituire nella [2] il valore ottenuto:

Approfondimento:

Dimostrazione della formula del pendolo tramite le leggi

dellenergia meccanica

E=1

2 k x2

+1

2 m v2

E=1

2k A

2cos

2( t)+1

2m A

22 sin2( t)

a=

k xm

2

r=

kxm

2

=

k

m

E=1

2k A

2cos

2( t)+1

2m

k

mA

2sin

2( t)

1

2k A

2

E=1

2k A

2[cos2( t)+sin2( t)]

cos2( t)+sin2( t)=1

Posto che 0


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24

Dividiamo quindi per entrambi i membri 2:

Vediamo che abbiamo ottenuto . Secondo una legge

trigonometrica, per, quando tende a 0, abbiamo come risultato1/2:

Questo si semplica con il2, arrivando ad ottenere:

Semplichiamo L e risolviamo per T:

Abbiamo ottenuto la ormula per il calcolo del periodo del moto delpendolo semplice per piccole oscillazioni.

2g L (1cos())2 T2=42L2

(1cos())

2

lim 0(1cos ())

2=

1

2

g L T2=42L2

T=2(L

g)

Quantit di moto 4.5

Per poter proseguire allo studio della quantit di moto bene ermar-si e introdurre una nuova entit, laquantit di moto:

La quantit di moto denita come il prodotto della massa m e

della velocit v di un oggetto

Essa si indica conp e si misura in kg m/s.La quantit di moto aumenta allaumentare della velocit o dellamassa di un corpo in movimento; se si considerano, per esempio, duemasse, una di 10 kg che si muove a 1 m/s e laltra di 1kg che si muovea 10 m/s, esse avranno la stessa quantit di moto.

bene sottolineare la naturavettoriale della quantit di moto, cheavr verso e direzione del vettore velocit di rierimento.

p=v m

Impulso

Per poter proseguire allo studio della quantit di moto bene ermar-si e introdurre una nuova entit, limpulso:

Limpulso il prodotto ra la orza e lintervallo di tempo in cuiagisce S.I. : N sI=F t

Quantit di moto

Trovare la velocit:

Per le leggi del moto armonico possiamo esprimere la velocit in Bcon , nella quale essendo massima :

Nel caso del moto del pendolo, per, lampiezza A uguale allalunghezza dellarco AB preso in esame, quindi sara:

(posto =2/ T)

v2=2 g L (1cos ())

v= Asin ( t) sin( t)=1

2A2=2 g L(1cos ())

A=L 2L 22=2 g L(1cos())

42

T2

L22=2g L (1cos ())



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25

Quantit di moto e impulso sono strettamente collegati; inatti, sa-pendo che ogni orza uguale aF=mae che moltiplicando laccelera-zione per il tempo ricaviamo la velocit, otteniamo che:

Il prodotto di una orza con lintervallo di tempo in cui agisce pari alla variazione della quantit di moto nel dato lasso

Da questa legge otteniamo la legge di conservazione della quantitdi moto:

Se non sono presenti orze esterne al sistema che agiscono su diesso, la quantit di moto totale del sistema si conserva

Quindi se osserviamo, per esempio, un gondoliere camminare sullapropria imbarcazione verso est e immaginiamo la totale mancanza diattrito ra la gondola e lacqua (quello ra gondola e gondoliere invece necessario al moto), la gondola si muover in direzione opposta, macon velocit minore, essendo una gondola pi pesante della personache vi cammina sopra.

Teore dellimpulso e legge di conservazione della quantit di

moto

F t= p

p f=pi

Urti 4.5

Gli urti sono dei repentini scambi di energia cinetica e quantit dimoto che si vericano tra due o pi oggetti in breve lasso di tempo inseguito al contatto; si dividono in:

Urti elastici; Urti anelastici.

Urti elastici

Quando due masse (m1 e m2) si scontrano, sia che una delle due siaermasia che siano entrambe in movimento, e dopo quanto accadu-to (lurto appunto) si separano sappiamo per certo che si trattato diun urto elastico, in cui tali masse hanno mutato la loro direzione ovelocit o entrambe le cose, per poi continuare ognuna sulla propriastrada.

Ovviamente in natura praticamente impossibile riscontrare un urtocompletamente elastico; tuttavia quando si pu denire urto elasticoabbiamo due condizioni:

Lenergia cinetica totale e laquantit di moto del sistema pri-ma e dopo lurto si conserva

1

2m1 v 1,1

2 + 12

m2 v 2,12 = 1

2m1 v1,2

2 + 12

m2 v 2,22

Kf=Ki p f=pi

Quindi, estesamente:

m1 v1,1+m2 v2,1=m1v1,2+m2 v2,2

Utilizzndo

sin e cos pos-sio ottene-re l direzio-

ne nale delledue sse

Laleggedell'impulsosemplice,basta so-

stituirev/talpostodianell'e

quazionedi

NewtonF=ma



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26

Quando anzich separarsi dopo lurto due oggetti di massa m1

e m2

rimangono attaccati, ad esempio se due carrelli a cuscino daria av-volti di mastice si scontrano e poi si incollano, si pu parlare di urtoanelastico.

Come per gli urti elastici risulta praticamente impossibile riscontarein natura un urto completamente anelastico (unico che studieremodegli anelastici), ma con buona approssimazione possiamo dire che,se due masse si scontrano e dopo lurto possono essere consideratecome una sola, si tratta di urto anelastico e il suo studio avviene tra-mite due sole equazioni:

Urti anelastici

In un urto anelastico si conser-

va la quantit di moto, ma non

lenergia cinetica.

KfKi p f=pi

In particolare negli urti completa-mente anelastici avremo:

m1 v1+m2 v2=(m1+m2 )vf

E per calcolare lenergia dissipata:

Kd=1

2m1 v 1

2+1

2m2 v 2

2

1

2(m1+m2)v f

2

il pendolo balistico

Il pendolo balistico un interessante esempio di unione ra la sicadegli urti e le leggi di conservazione dellenergia.Si tratta di un sistema messo a punto nel XVIII per calcolare la quan-tit di moto di un proiettile. un sistema composto da una massa ap-

pesa a pendolo nella quale si va a conccare il dardo; quando questopenetra mette in moto la massa che si alzer di unaltezzahtracciandouna traiettoria curvilinea.

Calcoliamo la velocit nale con questa ormula:

m1 v0=(m1+m2)v f

E la andiamo a sostituire nella Legge di conservazione dellenergiameccanica:

12

v02 mm1+m2=(m1+m2)gh

Capitolo V - Relativit Appunti di sica


27/40

Formule principali:

p pp

27

Capitolo V :

Relativit

Sistemi di riferimento;

Trasformazioni di Galileo;

V=200 k/h

V=300 k/hV=100 k/h

{x '=x+ux ty '=y+uy t

{v 'x=vxux

v 'y=v yuy

a=a '



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p pp

28

5.1 Sistemi di riferimento

Quando siamo su un treno ermo in stazione capita spesso di vederepassare altri treni e credere di essere in movimento su un mezzo chein realt ermo. Similmente, quando ci troviamo su un treno in mo-

vimento, possiamo notare che le persone e gli oggetti sulle banchineapparirranno muoversi rispetto a noi.Questo capita perch il treno in movimento e il treno ermo, nelprimo caso, o la banchina e il treno, nel secondo caso, costituisconodue sistemi di rierimento diversi: il primo mezzo in particolare simuover con una velocit v rispetto al secondo.Moto e sistema di rierimento vigono quindi in stretta relazione raloro, tanto che possiamo dire che:

Il moto di un corpo sempre relativo a un sitema di rierimentoSe il sistema di rierimento cambiasse, anche il moto cambierebbe

Quando colleghiamo un corpo sico ad un sistema di assi cartesiane,in presenza di tempo, ormiamo un sistema di rierimento.

Abbiamo detto nel Capitolo II che, per la prima legge della dinamica,quando un corpo si trova allinterno di un sistema inerziale perseveranel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniorme a seconda che lasommatoria delle orze che agiscono su di lui sia pari o diversa da 0.In base a questa legge possiamo denire un sistema di rierimentoinerziale come segue:

Un sistema di reerimento inerziale un sistema allinterno delquale vale sempre la I Legge della Dinamica di Newton, e cometale tutte le altreRispetto a questo sistema tutti gli altri sistemi in moto rettilineouniforme sono inerziali, a differenza di quelli in moto accelerato.

Da quanto espresso comprendiamo che stato di quiete e di motorettilineo uniorme sono molto simili ra loro. (Es: Nelloscuritdi una galleria difcile sapere se un treno in moto oppure no).

La Terra un sistema approssimatamente inerziale: ogni corpo sullasua supercie inatti soggetto alle orze centripete del moto dirivoluzione terrestre (uniorme) e del moto di rivoluzione intorno alsole (anchesso uniorme). Lazione di entrambe per trascurabile.

Sistemi di riferimento inerziali

istante t0

istante t1



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p pp

29

5.2 Trasformazioni di Galileo

Le leggi siche che regolano le relazioni ra sistemi di rierimento inmoto rettilineo sono dette trasormazioni di Galileo e implementa-no le normali leggi del moto in caso di relativit dei sistemi. Queste,

studiate da Galileo nel XVII secolo, si ondano sullipotesi che il tem-po sia uguale in tutti i sistemi presi in considerazione.

Posizione

Velocit

Accelerazione

Dallultima trasormazione otteniamo che laccelerazione la stessaper tutti i sistemi inerziali. Perci anche la orza esercitata su essi uguale per F=ma, quindi possiamo enunciare il principio di relati-

vit galileiano:

Le leggi della dinamica di Newton hanno la stessa orma in tutti i

sistemi di rierimento inerziali

{x '=x+ux ty '=y+uy t

{ v 'x=vxuxv 'y=v yuya=a '

Capitolo VI - Ripasso Appunti di sica


30/40

Formule principali:

30

Capitolo VI :

Gravitazione

Legge della gravitazione universale;

Leggi di Keplero;

Energia potenziale gravitazionale;

F=Gm1 m2

R2

h=Gm2

R2

m v2

r=G m M

R2

12

mv f2G m1m2

r=0U=G m1 m2

r

Capitolo VI - Gravitazione Appunti di sica


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31

6.1 Legge della gravitazioneuniversale

Lagravit senza dubbio il tipo di orza pi diuso e quello che ab-biamo esaminato pi attentamente, sia dal punto di vista delle orzeche dellenergia. Ci siamo per soermati solo a condizioni vicinealla Terra dove laccelerazione di gravit pari a:

La gravit vera e propria per uninterazione universale a cui tutti icorpi con massasono soggetti, dai corpi celesti di grandi dimensionia oggetti nellordine di grandezza del nanometro, invisibili a occhionudo.

Deniamo la orza di attrazione gravitazionale con la Legge della

gravitazione universale scoperta da Isaac Newton:

Una orza di attrazine a distanza ra due corpi aventi massa, dimodulo:

S.I. : N

Dove G lacostante di gravitazione universale:

S.I. :N m2 / Kg2

La gravit una orza che agisce adistanzacome, per esempio, quellamagnetica ra due calamite.La ormula validaovunque nelluniverso e il raggio di percezionera due masse innito, quindi qualsiasi massa attira ed attirata,pur da una orza incredibilmente bassa, da una qualsiasi altra massanelluniverso.La misura del raggioR ladistanza ra i centri di massa(baricen-tro) dei due corpipresi in considerazione.

F=Gm1 m2

R2

g=9,81 m /s2

G=6,671011

Campo gravitazionale

Abbiamo detto che la orza di gravit agisce a distanza, ma comeavviene ci? La risposta stata data grazie al lavoro del sico ingleseMichael Faraday a cui dobbiamo litroduzione dei campi.Un corpo con massa, inatti, deorma lo spazio modicandone le pro-priet siche, ovvero ha un campo gravitazionale.

Il campo gravitazionale, bench teoricamente illimitato, misurabile:esso ormato da unvettore, al quale associata una orza con cuicondivide verso e direzione, di intensit pari a:

S.I. :N/ Kg

Dove F la orza gravitazionale associata e m1 la massa che la genera.In prossimit della supercie terrestre h, vale quanto laccelerazionedi gravit (si pu notare sostituendo nella seconda ormula).

h=

F

m1 h=Gm2

R2



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32

6.2 Leggi di Keplero

Una diretta conseguenza della scoperta delle leggi sulla gravitazio-ne universale u la loro applicazione nei moti orbitali dei pianeti.Dobbiamo allastronomo Giovanni Keplero la ormulazione delle tre

leggi, dette appunto Leggi di Keplero, che studiano pi approondi-tamente i enomeni di interzazione gravitazionale ra i pianeti sel si-tema solare; queste consentirono di dare pi stabilit allaconcezionecopernicana, la quale prevedeva che ossero i vari pianeti e la Terra aruotare attorno al sole e non viceversa.

Prima legge di Keplero

I pianeti seguono delle orbite ellittiche con il Sole in uno dei dueuochi dellellisse

Con questa legge Keplero escluse una volta per tutte la teoria delleorbite circolari dimostrando che il pianeta orbitante intorno al solesegue unatraiettoria ellittica(lellisse il luogo dei punti del pianoper cui costante la distanza da due punti detti uochi dellellisse) eproprio il Sole (o comunque la massa intorno a cui i pianeti orbitano)occupa uno dei due uochi.

Un pianeta, muovendosi sulla sua orbita ellittica, spazza areeuguali in tempi uguali

Ovvero un pianeta orbitante intorno al sole non viaggia sempre allastessa velocit tangenziale, si potrebbe dire inatti che noi rallentia-mo in prossimit dellaelio (punto di massima distanza dal sole) eacceleriamo nel perielio (punto di minima distanza dal sole) dovela velocit minima. Tuttavia a mantenersi costante la cosiddettavelocit areale. Quando siamo pi lontani dal sole inatti larea delsegmento ellittico ra il nostro pianeta e la stella ben pi grande diquando siamo vicini ed il raggio (distanza) pi piccolo; cos coprireuna determinata area in un determinato intervallo di tempo impli-cher una velocit tangenziale maggiore o minore a seconda della

nostra posizione.

Seconda legge di Keplero



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33

Terza legge di Keplero

Il periodo T di rivoluzione di un pianeta intorno al Sole propor-zionale alla distanza media r del pianeta dal Sole elevata a 3/2

Questa legge, leggermente pi complessa delle altre due descrive inrealt una semplice equazione che bene studiare in quanto utilenellapplicazione e in ogni caso acilmente ricavabile.Supponiamo inatti di avere unorbita perettamente circolare (il at-to che le orbite siano ellittiche -prima legge di Keplero- non escludeche esse possano essere delle circonerenze, basta inatti che i uochisi sovrappongano) si pone laorza centripetadella rotazione del pia-neta che segue tale orbita intorno al sole uguale allaorza gravitazio-nale universale.

Eliminiamo a entrambi i membri m e sostituiamo a v la razione2r/T:

Che corrisponde a:

Dove posto (2/GM)=k(cio costante) ricaviamo la nostra legge.

T=k r3

2

m v2

r=G m M

R2

42

T2

r=GM

r2

T=(2

(G M))r

32

Equzioneoltoutile!!

N.B. elevare alla 3/2 signica fare la radice di 2 di unnuero elevto ll 3.

Energia potenziale gravitazionale 6.3

Abbiamo gi parlato di energia potenziale gravitazionale, ma ormulavista precedentemente U=mgh, pu essere utilizzata soltanto vicinoalla superfcie terrestre, dove possiamo considerare laccelerazione

gravitazionale (g), la quale pu essere utilizzata con una buona ap-prossimazione.Man mano che la distanza dalla Terra aumenta g dimi-nuisce e lespressione U=mgh non pu continuare a esse-re valida per una distanza h qualsiasi dalla supercie terrestre.E possibile dimostrare che lenergia potenziale gravitazionale diun sistema costituito da una massam, situata a una distanzardalcentro della Terra, :

S.I. :J

Utende a zero all'aumentare di r.Nelle vicinanze della supercie terrestre i valori presi dalle due espres-sioni sar uguale.Essendo per la orza gravitazionale universale, possiamo generaliz-zare il contesto.

Se due masse puntiormi m1 e m2 sono a distanza r luna dallal-tra, la loro energia potenziale gravitazionale :

U=GM m

r

U=Gm

1m

2

r



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34

Energia meccanica con E. potenziale gravitazionale

Con l'introduzione di questo nuovo tipo di energia potenziale pos-sibile ottenere una nuova ormula esplicativa per quanto riguarda laLegge di conservazione dell'energia meccanica:

Presupponendo che energia cinetica e potenziale iniziale di un corposiano pari a 0, sia in quanto le due si equilibrano a causa del segnomeno della seconda, sia poich ne supponiamo la partenza da ermo,otterremo:

Dalla quale ricaviamo la seguente equazione risolvendo la velocit:

Se sostituiamo in questa equazione i valori con quelli prossimi allaTerra otteniamo v= 11200 m/s. Questa dettavelocit di uga:

La velocit di uga la velocit necessaria per "suggire" dall'at-trazione gravitazionale di un corpo celeste

E=1

2 m v2

Gm1 m2

r

1

2mv f

2Gm1m2

r f=0

v f=(2 G m2

rf)

Vedipag.24

Capitolo VII - Dinamica dei corpi rigidi Appunti di sica


35/40

Formule principali:

35

Capitolo VII :

Dinamica dei corpi

rigidi

Centro di massa

Cinematica rotazionale;

Energia meccanica rotazionale;

Momenti;

forza

raggio

Momento

Momento

Momentoorzaaggioinangoo

x CM= mi xi mi

K=

1

2 mv

2

(1+

I

m r2 ) I=mi ri

2

M=rF=F rsin M=I L=I L1=L2



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36

7.1 Centro di massa

Capita spesso di avere a che are con corpi di diversa costituzionerispetto a quelli che abbiamo ipotizzato nora, ad esempio sbilanciatio composti; questi corpi sono spesso soggetti a moti rotazionali, che

rispondono a leggi diverse da quelle tradizionali gi studiate, e sonodetti corpi rigidi:

Un corpo rigido qualsiasi corpo non soggetto a deormazioni (al-lungamento, compessione, ecc), sia esso in stato di quiete o inmoto, o comunque soggettovi con difcolt (vincolo di rigidit)

Ogniuno di questi corpi per assimilabile, prima di tutto, ad unpunto, detto centro di massa(o baricentro):

Il centro di massa il punto in cui concentrata tutta la massa di

un corpo, rigido e non

Denito in maniera pi precisa come:

Il punto in cui la somma dei momenti delle orze pari a 0

Le coordinate nello spazio di questo punto sono calcolabili tramitedue ormule:

Dove x e y rappresentano la distan-za della massa dall'origine.Nel caso di lunghezze inclinatebisognascomporle nelle sue com-ponenti assiali.

Cinematica (e dinamica)

del centro di massa

Persaperecos'ilmo-mentodiunaforzavaiapag.

x CM= mi xi mi

yCM=mi y imi

QuellspeciediE il sibolodellSOmmaTOrIa:vuoldiechedevi soeflootutti ipodottidell'espes-sionescittdopo

Velocit

Accelerazione

II Legge della Dinamica

quindi per F=ma

VCM= miv i mi

ACM=mi aimi

ACM= mi aimi

ACM= Fi mi

mi ACM= Fi

Questeleggisonoutiliquandodobbliamoafrontare

unlanciodelproiettileincuiilcorporo

tea.tuttopu

essereriassuntonelcentrodimassa

estudiato

conquesteformule

Sepossibilebeneinserireil corpo nelpianocartesiano inmodotaleche l'originesiain unpun-tofavorevoleal calcolo.Comelamassapi gran-deinun sistemasimme-trico.



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37

7.2 Cinematica rotazionale

Abbiamo gi incontrato grandezze relative alla cinematica angolareper quanto riguarda il moto circolare uniorme (pag. 10).

La base della cinematica angolare il grado radiante:Il grado radiante un angolo al centro che sottende un arco dilunghezza pari al raggio

Con l'angolo radiante vale quindi la regola da cui ricaviamo =l/r.Di conseguenza il radiante equivale nella cinematica angolare al me-tro (m) di quella classica e tutte le altre misure si rieriranno ad esso.

Per quanto riguarda velocit e accelerazione ne distinquiamo di tre

tipi: angolare; tangenziale; centripeta(solo per l'accelerazione centripeta).

Conosciamo givelocit angolare (o pulsazione):

S.I. : rad/s

E quellatangenziale S.I. : m/s

Fra le accelerazioni ci nota solo l'accelerazione centripeta:

S.I. : m/s2

Questa per lineare, seppur interessi un moto circolare.

D'ora inpoi indicheremo il radianteconlaletteragreca

= tlim0 t

v= r

a cp=v

2

r

Esiste inatti anche un accelerazione angolare per i moti curvilinei, lacui ormula sar:

S.I. : rad/s2

A essa corrisponder, similmente a quanto avviene per la pulsazione,un'accelerazione tangenziale .

La velocit angolare, anche se non sembra, una grandezza vettorale;il suo vettore ha inatti come direzione l'asse di rotazione (ovverola retta intorno alla quale rotea il corpo), mentre il il verso cambia aseconda del senso del moto, che pu essere orario o antiorario; perdeterminarlo occorrer semplicemente pensare a unavite che si av-vita girando a destra (senso orario) e si svita girando a sinista (senso

antiorario). La vite si girer nel senso del moto e la parte da cui esceo entra ("sbucando") indicher il verso.

= tlim 0

t

a= r

Leggi dei moti particolari

Le leggi dei moti particolari, come uniormemente accelerato e retti-lineo uniorme applicati, alla rotazione sostanzialmente non cambia-no: alle grandezze lineari, per, si vanno a sostituire quelle angolari,ad esempio:

=1

2 t2+ t+ 0 = t



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7.3 Energia cineticarotazionale

Qualunque corpo rigido che compie una rotazione attorno ad unasse dotato di una certa energia cinetica. Tale energia dipende dalla

velocit angolare della rotazione e dalla distanza che la massa man-tiene dal centro durante essa (ovvero il raggio), nonch dallamassastessa.

Partiamo da quella traslazionale all'interno di un moto circolare:

Ma essendo, nel moto circolare, v=rotterremo:

Ma la grandezzamr2 costante nei corpi rigidi, non varia durante ilmoto, e che assume per i moti rotazionali lo stesso ruolo assunto dal-la massa nei moti rettilinei. Tale grandezza nota come momentodinerziae si indica con la letteraI, quindi lenergia cinetica potressere scritta nella orma:

S.I. :J

Ovviamente le masse in gioco possono essere pi di una (purch nonsi muovano luna rispetto allaltra ma tutte insieme) e in tal caso le-nergia cinetica sarebbe la risultante della sommatoria di tutte le ener-gie cinetiche.Nel moto per rotalamento avremo sia l'energia cinetica di traslazione(ovvero quella che abbiamo gi osservato) sia quella di rotolamento.Pertanto dovremo considerarli entrambi nel calcolo dell'energia cine-tica totale (attenzione: non energia meccanica).

Espressione che pu essere riassunta in una orma pi comoda peril calcolo (ad esempio, inatti dover trovare vsenza conoscere puessere penalizzante):

K= 12

m v2

K= 12 m( r)2

K=1

2I2

K= 12

m v2+ 1

2I2

K=1

2mv

2(1+I

m r2)

Momento d'inerzia

Il momento d'inerzia sostituisce la massa nel moto rotazionaleEsso si calcola con la ormula:

S.I. : Kg m2

Nonostante sia sempice calcolarlo nei modelli teorici, va approssima-to nei modelli complessi. Sono di seguito riportati i pi comuni dimomento di inerzia notevoli:

Anello: I=MR2

Disco-cilindro: I=1/2 MR2

Sera piena: I=2/5 MR2

Sera cava: I=2/3 MR2

Cubo pieno: I=1/6 MD2

I=mi ri2



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7.4 Dinamica rotazionale

Il momento di una orza, o momento torcente, :

Il prodotto vettoiale della orza per il raggio che ne unisce il puntodi applicazione all'asse di rotazione

S.I. :N m

Eseguire il prodotto vettoriale equivale a moltiplicare ra loro imoduli dei vettori con il seno dell'angolo che spaziano.

Il momento torcente l'equivalente delle orze nella dinamica tra-dizionale e come tale a esso legata unalegge ondamentale, comeavviene con la Seconda legge della Dinamica:

Quando una orza agisce mettendo un corpo rigido in rotazione,il momento di tale orza sar pari al prodotto ra momento d'iner-zia e accelerazione angolare

M=rF=F rsin

M=I

Braccio=rxsin

Momento di una forza

Momento angolare

Quando la velocit di un corpo rigido in rotazione attorno a un asse regolare, avremo un momento aggiuntivo, il momento angolare:

Il momento angolare di un corpo rigido in rotazione pari al pro-dotto ra momento d'inerzia e velocit angolare

S.I. : kg m2/s

Sapendo che I=mr2potremo scrivere la ormula:

L=I

L=m r v

Sapendo inoltre che p=mv(p laquantit di moto vedi pag. 25)chiariamo perch questo momento viene anche detto momento del-la quantit di moto.

Legge di conservazione del momento angolare

Sapendo cheM=Ie cheL=I potremo dire che:

quindi

Quindi enunceremo che:

La variazione del momento angolare pari alla momento torcenteper la variazione di tempo, di conseguenza se presente un mo-mento angolare perch agisce una orza

Inoltre ponendoM=0noteremo che:

Che dimostra laLegge di conservazione dal momento angolare:

Quando il momento torcente risultante nullo il momento ango-lare di un sistema si conserva

M=I t

M t=I

L2L1=0 L1=L2

L1=L2

Notre le trnszioni fr ecc. rotzionle e norle:velocit ngolre -> velocit

ccelerzione ngolre -> ccelerzioneoento d'inerzi -> ssoento torcente -> forzoento ngolre -> quntit di otom=I -> F=conservzione . ngolre -> conservzione q. di oto

Questospiegalamaggiorevelocitabra

c

ciaconsertequandogirisuunased

ia:)

Parte II - Video Appunti di sica


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1.1 Contenuti multimediali

Video

Insieme all'e-Book sono contenuti nella cartella video realizzati dagliautori concernenti i temi spiegati nel libro.Ndr- Il piano inclinato spiegato solo su video

Esercizi svolti

Insieme al libro sono presenti anche esercizi svolti dagli autori permigliorare le proprie abilit nel loro svolgiento.

Appunti di fisica (classe terza)

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