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Teoria dei Sistemi - A.A. 2003/2004

Cristian Secchi Pag. 1

ANALISI MODALE DEI SISTEMI ANALISI MODALE DEI SISTEMI LINEARI A TEMPO CONTINUOLINEARI A TEMPO CONTINUO

Dr. Cristian SecchiARScontrol Lab

Università di Modena e Reggio Emilia

Il Il movimentomovimento didi un un sistemasistema LTILTI

⎩⎨⎧

+=+=

)()()()()()(tDutCxtytButAxtx&

τττ∫ −+=t

tAAt dBuexetx0

)(0 )()(Formula di Lagrange

Analisi Modale -- 2Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici

LL +++++=!!2

22

ntAtAAtIe

nnAt



AnalisiAnalisi ModaleModale

• Il termine eAt ha un ruolo cruciale sia per la determinazione del movimento libero che di quello forzato

• L’obiettivo dell’analisi modale per un sistema lineare tempo invariante (LTI) è quello di scoprire qual è e da cosa dipende l’andamento del termine eAt ,

• Un’analisi accurata della struttura di tale termine porta una conoscenza profonda delle dinamiche intrinseche del sistema e di come tali dinamiche si combinano nella risposta libera e nella

Analisi Modale -- 3

risposta forzata

Cristian Secchi Controllo di Sistemi Robotici

I modi del sistemaI modi del sistema

Si consideri il sistema autonomo

)()( tAxtx =&

Il cui stato iniziale sia x(0)=x0

Il movimento (libero) del sistema è dato da:

)( xetx At=


0)( xetx =

Le funzioni elementari del tempo t che compaiono all’interno della matrice eAt prendono il nome di modi del sistema in esame.



Forma canonica di JordanForma canonica di Jordan

I modi di un sistema possono essere facilmente evidenziati tramite un cambio di base nello spazio degli stati che trasformi la matrice A nella corrispondente forma canonica di Jordan.

Sia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e siano λ λ gliSia A una matrice di stato n x n di un sistema LTI e siano λ1, …, λh gli autovalori distinti di A e siano r1, …, rh le loro rispettive molteplicità algebriche. Il polinomio caratteristico può cioè essere decomposto scritto come:

Analisi Modale -- 5Cristian Secchi

Esiste sempre una matrice quadrata di dimensione n non singolare T che porta la matrice A nella sua forma canonica di Jordan

xTx = ATTA 1−=


La forma canonica di Jordan della matrice A è:

⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎡

== − JJ

ATTA0000

2

1

1

MMMM

L

L

ad ogni autovalore distinto λi corrisponde un blocco di Jordan di dimensione ri:

dim Ji=ri

⎥⎥

⎦⎢⎢

⎣ hJ000MMMM


i ii=1,…,h




Ogni blocco di Jordan è una matrice diagonale a blocchi ed è formato da qi miniblocchi di Jordan:

d i li h di i


ognuno dei quali ha dimensione νi,j e:

• Si determinano i qi autovettori distinti associati all’autovalore λirisolvendo:

Procedura per determinare la matrice TProcedura per determinare la matrice T

0)( , =− jii vAIλ iqj ,,1K=

• Nel caso in cui si abbia qi<ri è necessario procedere, per ogni autovettori vi,j, alla determinazione della corrispondente catena vi,j

(k)

di autovettori generalizzati k=1,…,νi,j .Tali catene si determinano risolvendo “iterativamente” tale sistema:

, j iqj

⎪⎧ ==− ,

)1(,

)2(,)( jijijii vvvAIλ


⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

=−

=−

− )(,

)(,

)2(,

)3(,

,,,

1,,)(

)(

)(

jijijijii

jijii

jijijii

vvAI

vvAI

ννλ

λ

M



• La matrice T ha come colonne le catene di autovettori generalizzati

Procedura per determinare la matrice TProcedura per determinare la matrice T

]|,,,|[ )(,

)2(,

)1(,

, LKL jijijiji vvvT ν=


Proprietà dell’esponenziale di matriceProprietà dell’esponenziale di matrice

L’esponenziale di matrice gode delle seguenti utili proprietà:

• Sia T una matrice non singolare; allora:

• L’esponenziale di una matrice diagonale a blocchi è una matrice diagonale a blocchi in cui ciascun blocco è l’esponenziale del blocco della matrice di partenza:




Movimento libero di sistemi LTIMovimento libero di sistemi LTI

Dato il sistema autonomo

)()( tAxtx =&

e la trasformazione:

per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan

)()( tAxtx =

xTx =


per cui la matrice di stato nelle nuove coordinate è in forma di Jordan, abbiamo che il movimento libero x(t) è dato da:

01

0)( xTTexetx tAAt −==


Siccome è in forma canonica di Jordan

0000

0000

2

12

1

ee

tJ

tJt

JJ

⎥⎥⎥⎥⎤

⎢⎢⎢⎢⎡

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡ L

MMMM

L

L

quindi, per calcolare il movimento libero, è sufficiente saper calcolare l’esponenziale del generico miniblocco di Jordan di dimensione ν

⎞⎛λ 0001

01

01000

000

00)(

2

xT

e

eTxTTetx

tJ

J

h

h −−⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣

==MMMM

L


NIJ +=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= λ

λλ

λλ

λ

00001000

000000100001

L

L

MMMMMM

L

L

L



• La matrice N, che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli nella sopradiagonale che valgono 1, è una matrice nilpotente di ordine ν


0=νN Ndim=ν

• L’esponenziale di un miniblocco di Jordan si calcola come:

NttNtIttNIJt Ieeeeee λλλ === + )(

∑∑−∞

==1ν

λλ nn

tnn

t NteNte


∑∑== 00 !! nn

Nn

eNn

e

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

++++= −−

11

22

)!1(!2ν

νλ

νNtNttNIe t L


⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

−−

−−

)!1()!2(!3!21

1232

Ltttttνν

νν

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

−=

−

100)!2(!2

10

)()(22

MMMMMMM

MML

ML

t

tttee tJt ν

ν

λ


⎟⎟

⎠⎜⎜

⎝ 10000010000

L

L t




All’espressione “quasi diagonale” che caratterizza la forma canonica di Jordan, si giunge sempre, anche nel caso vi siano autovalori complessi coniugati. In questo caso, però, i blocchi della forma di Jordan contengono dei termini complessi e, pertanto, il loro utilizzo risulta molto g p , p ,poco intuitivo nell’analisi dei sistemi LTI e del loro movimento.

Per ovviare questo inconveniente, nel caso di autovalori complessi coniugati, si applica una trasformazione nello spazio degli stati che porta la matrice in forma di Jordan ad avere sulla diagonale principale dei blocchi reali di dimensione 2.


Si consideri, ad esempio, una matrice A di dimensione 6 caratterizzata da una coppia di autovalori complessi coniugati λ1,2=σ±jω di molteplicità 3. Siano v1, v2, v3 gli autovettori associati a un autovalore e e v1

*, v2*,v3

* gli autovettori complessi coniugati associati al suo complesso coniugato.


Applicando la trasformazione di coordinate:

xTx = [ ]*3

*2

*1321 vvvvvvT =

Si ottiene la forma di Jordan della matrice A:


Si ottengono cioè due blocchi di Jordan ciascuno costituito da un solo miniblocco di dimensione 3




Si indichi con vi,R e vi,I rispettivamente la parte reale e la parte complessa dell’autovettore complesso i-esimo (i=1,2,3). Utilizzando la seguente trasformazione di coordinate:

è possibile trasformare la matrice A nelle seguente forma canonica “reale” di Jordan:

xTx ~~ =

xTx ~~= [ ]IRIRIR vvvvvvT ,3,3,2,2,1,1~ =



In tal modo è possibile esprimere il movimento libero di sistemi LTI come combinazione lineare di soli termini reali. Infatti:

occorre però dare una formula per l’esponenziale della matrice

E’ possibile mostrare che, nell’esempio considerato:




Modi di un sistemaModi di un sistema

Le funzioni del tempo t che compaiono che compaiono nella matrice eJit

sono detti modi del sistema relativi all’autovalore associato a Ji


Le funzioni del tempo t che compaiono nelle matrici eJit, i=1,…, h, cioè nella matrice sono dette modi del sistema.

Combinazione dei modi di un sistemaCombinazione dei modi di un sistema

Il movimento libero può pertanto essere decomposto in h sotto-movimenti liberi:




Combinazione dei modi di un sistemaCombinazione dei modi di un sistema

Il movimento di un sistema libero è la combinazione lineare dei modi del sistema. I coefficienti con cui i modi sono combinati sono dati da:

1) Lo stato iniziale1) Lo stato iniziale

2) La matrice T

Lo studio dell’andamento dei modi di un sistema ci consente di legare il tipo di andamento del movimento libero agli autovalori della matrice di

’ b l l l b d l

)()( txTtx =


stato. E’ pertanto possibile caratterizzare il movimento libero del sistema dal semplice studio degli autovalori della matrice di stato e della loro molteplicità.

Analisi modale Analisi modale –– Autovalori reali distintiAutovalori reali distinti

Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano tutti reali e distinti, necessariamente la forma di Jordan è una matrice diagonale:

La matrice di transizione dello stato è, quindi:




Analisi modale Analisi modale –– Autovalori reali distintiAutovalori reali distinti

I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni:

5.0=λ 0=λ 5.0−=λ


Analisi modale Analisi modale –– Autovalori complessi distintiAutovalori complessi distinti

Nel caso in cui gli autovalori della matrice di stato siano complessi coniugati e distinti, del tipo λi=σi ± ωi la matrice di transizione dello stato:


I modi del sistema sono dati dalle seguenti funzioni:




eσtcos(ωt) dove λ1,2=0.5 ± 2j

x


x


eσtcos(ωt) dove λ1,2=± 2j

x

x





eσtcos(ωt) dove λ1,2=-0.5 ±2j

x


x

Analisi modale Analisi modale –– Autovalori reali multipliAutovalori reali multipli

Nel caso di autovalori multipli, la matrice di transizione dello stato è data da:

dove:





In questo caso i modi del sistema sono:



Si consideri, ad esempio, il sistema in forma di Jordan con autovalore λ di molteplicità 2:

Il movimento libero del sistema è dato da:


Analizziamo i due modi del sistema:




Autovalore doppio λ=0 modi m1 e m2

Autovalore doppio λ=-0.5 modi m1 e m2


Analisi modale Analisi modale –– Autovalori complessi multipliAutovalori complessi multipli

Analogamente al caso di autovalori complessi coniugati multipli, i modi associati agli autovalori complessi coniugati multipli del tipo σ ± jωsono:


Dove ν è la dimensione del miniblocco di Jordan associato alla coppia di autovalori complessi coniugati.




Consideriamo un sistema con una coppia di autovalori complessi coniugati σ ± jω doppia. I modi relativi alla coppia sono


Analizziamo l’andamento della coppia di modi m1(t) e m3(t). L’andamento dell’altra coppia di modi è analogo.


Autovalore doppio λ=-0.5 ± 2j modi m1 e m3

Autovalore doppio λ=±2j modi m1 e m3




Analisi modale Analisi modale

In un generico sistema LTI possono essere presenti tutti i tipi di autovalori analizzati finora. Pertanto, il movimento libero del sistema è dato, in generale, dalla combinazione lineare di tutti i tipi di modi visti finora.


Carattere di convergenza dei modiCarattere di convergenza dei modi

Consideriamo un sistema LTI. Diremo che un modo m(t), definito per t¸0 è:

• convergente se:g

• limitato, ma non convergente se esiste un numero reale 0<M<1 tale che 8 t ¸ 0 si abbia:


• non limitato (o divergente) se:



Carattere di convergenza dei modiCarattere di convergenza dei modi

Dall’analisi modale fatta, segue la seguente:

Proposizione: I modi del sistema sono:

• convergenti se e solo se tutti gli autovalori di A hanno parte reale negativa• limitati se e solo se gli autovalori di A hanno parte reale negativa o nulla e quelli a parte reale nulla sono associati a miniblocchi di Jordan di dimensione 1

è


• non limitati se almeno un autovalore di A è a parte reale positiva oppure a parte reale nulla ma associato a un miniblocco di Jordan di dimensione maggiore di 1.

• I modi sono una proprietà intrinseca del sistema

• Il loro andamento può essere dedotto da una semplice analisi degli

ConsiderazioniConsiderazioni

autovalori della matrice di stato

• Dai modi del sistema dipende sia l’andamento del movimento libero che il transitorio del movimento forzato

• Nel caso di sistemi SISO rappresentati da funzioni di trasferimento i poli sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema e, pertanto, il

Analisi Modale -- 38

poli sono un sottoinsieme degli autovalori del sistema e, pertanto, il tipo di transitorio della risposta può essere dedotto dalla posizione e dalla molteplicità dei poli

Cristian Secchi



EsempioEsempio

Dato il sistema: A

Calcolare l’uscita libera del sistema a partire dallo stato iniziale

C


p

EsempioEsempio

L’uscita libera è data da:

Per poter calcolare l’esponenziale di matrice, porto la matrice di stato nella forma canonica di Jordan. Gli autovalori della matrice di stato sono le soluzioni di:




EsempioEsempio

Gli autovettori corrispondenti a λ1=1 si determinano risolvendo:

0)( 1 =− vAIλ 0011011

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−

−v)( 1

000 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣

Si ottengono due autovettori linearmente indipendenti:

⎥⎤

⎢⎡1

⎥⎤

⎢⎡0


⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=011v

⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢

⎣

=102v

EsempioEsempio

Gli autovettori corrispondenti a λ2=-1 si determinano risolvendo:

0)( 2 =− vAIλ 0011011

=⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

−−−−

v)( 2

200 ⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ −

Si ottiene un autovalore:

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡−= 11

3v


⎥⎥⎦⎢

⎢⎣ 0

13v



EsempioEsempio

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−==010101

101

321 vvvT

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

0505010005.05.0

1T⎥⎦⎢⎣ 010 ⎥⎦⎢⎣ − 05.05.0

Facendo il cambio di variabile:

xTx =


Le matrici A e C vengono trasformate in:

xTx

EsempioEsempio

Forma canonica di Jordan di A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡== −

100010001

1ATTA

Il movimento libero del sistema è dato da:

⎥⎦⎢⎣ −100

[ ]012== CTC


01

0)()( xTTexTetxTtx tAtA −===



EsempioEsempio

Utilizzando i dati del problema:

e


EsempioEsempio

E quindi l’uscita libera vale:




ConclusioniConclusioni

• L’analisi modale consente di ricavare le dinamiche fondamentali di un sistema LTI da una semplice analisi degli autovalori

• La forma canonica di Jordan consente di calcolare agevolmente quali sono i modi di un sistema

• Partendo dalla conoscenza dei modi del sistema è possibile capire quale sarà il transitorio di un movimento oppure il movimento libero


ANALISI MODALE DEI SISTEMI ANALISI MODALE DEI SISTEMI LINEARI A TEMPO CONTINUOLINEARI A TEMPO CONTINUO

Dr. Cristian SecchiARScontrol Lab

Università di Modena e Reggio Emilia



EsempioEsempio

Si consideri un sistema massa-molla-smorzatore

k m

x1 x2u

y

b


y

EsempioEsempio

Scegliendo come variabili di stato per descrivere il sistema la posizione della massa (x1)e la sua velocità (x2), il sistema è descritto da:


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