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SISTEMI LINEARI METODO DI GAUSS MANOLO VENTURIN UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVA DIP. DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA A. A. 2007/2008
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SISTEMI LINEARIMETODO DI GAUSS
MANOLO VENTURIN
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI PADOVADIP. DI MATEMATICA PURA ED APPLICATA
A. A. 2007/2008
INDICE
● Sistemi lineari● Metodo di eliminazione di Gauss
SISTEMI LINEARIESEMPIO
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1x1 −2x2 4x3 −3x4 = 24x1 3x2 −x3 x4 = 23x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
METODO DI ELIMINAZIONEGAUSSIANA
● Il metodo di eliminazione gaussiana consiste nel trasformare il sistema originale in un sistema triangolare superiore (zero sulla parte sottostante la diagonale della matrice) mediante eliminazione di una riga alla volta del sistema.
METODO DI ELIMINAZIONEGAUSSIANA
● Le trasfromazioni che utilizzo sono:- Moltiplicazione di un'equazione per una costante non nulla;
- Addizione del multiplo di un'equazione con un'altra equazione non nulla;
- Scambio di due equazioni.
ESEMPIOConsidero la variabile “x1” della “1a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1x1 −2x2 4x3 −3x4 = 24x1 3x2 −x3 x4 = 23x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
ELIMINO LA 2a RIGA“2a RIGA” = “2a RIGA” - (1/2) “1a RIGA”
122x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
x1 −2x2 4x3 −3x4 = 2−
=
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
2a RIGA ELIMINATA“2a RIGA” = “2a RIGA” - (1/2) “1a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
24x1 3x2 −x3 x4 = 23x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
ELIMINO LA 3a RIGA“3a RIGA” = “3a RIGA” - (4/2) “1a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
24x1 3x2 −x3 x4 = 23x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
ELIMINO LA 3a RIGA“3a RIGA” = “3a RIGA” - (4/2) “1a RIGA”
422x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−
=
4x1 3x2 −x3 x4 = 2
−3 x2 −9x3 5x4 = 0
3a RIGA ELIMINATA“3a RIGA” = “3a RIGA” - (4/2) “1a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2−3 x2 −9x3 5x4 = 0
3x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
ELIMINO LA 4a RIGA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (3/2) “4a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2−3 x2 −9x3 5x4 = 0
3x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
ELIMINO LA 4a RIGA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (3/2) “4a RIGA”
−
=
3x1 −4x2 2x3 −2x4 = 5
−172x2 −4x3 x4 = 7
2
322x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
4a RIGA ELIMINATA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (3/2) “4a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2−3 x2 −9x3 5x4 = 0
−172x2 −4x3 x4 =
72
NUOVO PASSOConsidero la variabile “x2” della “2a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2−3 x2 −9x3 5x4 = 0
−172x2 −4x3 x4 =
72
ELIMINO LA 3a RIGA“3a RIGA” = “3a RIGA” - (-3/(-7/2)) “2a RIGA”
−
=
−3 x2 −9x3 5x4 = 0
−757x3 47
7x4 = −9
7
−3−72
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
3a RIGA ELIMINATA“3a RIGA” = “3a RIGA” - (-3/(-7/2)) “2a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
−172x2 −4x3 x4 =
72
ELIMINO LA 4a RIGA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (-(17/2)/(-7/2)) “2a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
−172x2 −4x3 x4 =
72
4a RIGA ELIMINATA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (-(17/2)/(-7/2)) “2a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
−627x3
417x4 = −
17
NUOVO PASSOConsidero la variabile “x3” della “3a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
−627x3
417x4 = −
17
4a RIGA ELIMINATA“4a RIGA” = “4a RIGA” - (-(62/7)/(-75/7)) “3a RIGA”
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
161525
x4 =483525
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
● Adesso è possibile risolvere il sistema lineare mediante delle sostituzione all'indietro
● Cioè si risolve per la variabile x4,poi per la variabile x3 (nota x4),poi per la variabile x2 (nota x4 e x3)ed infine per la variabile x1 (nota x4, x3 e x2)
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3
477x4 = −
97
x4 =483525
⋅525161
=3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
−757x3 = −
97−477x4
x4 = 1
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2
x3 = −97−477⋅3− 7
75
x4 = 3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 2x3 −2x4 = 3
2x3 = 2
x4 = 3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
−72x2 = 3
22x4−2x3
x3 = 2x4 = 3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1
x2 = 322⋅3−2⋅2−2
7
x3 = 2x4 = 3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
2x1 3x2 4x3 −2x4 = 1x2 = −1
x3 = 2x4 = 3
RISOLUZIONE DELSISTEMA LINEARE
x1 = 1x2 = −1
x3 = 2x4 = 3
METODO DI GAUSSMIGLIORAMENTI
● Tutte le operazioni le ho potute fare perché gli elementi sulla diagonale sono diversi da zeri, altrimenti nel calcolo dei coefficienti mi capitava di dividere per zero.
● Se ciò accade posso sempre scambiare righe sottostanti alla riga presa in considerazione; questa operazione di scambio è nota come tecnica di pivoting
● Viene anche eseguita ad ogni passo portando l'elemento massimo sotto la diagonale in posizione diagonale per aumentare la stabilità del metodo.
METODO DI GAUSS
● Vedere il file di esempio per l'implementazione del metodo.
