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Analisi 2 Polo di Savona

Analisi Matematica 2

Prove Parziali

A.A. 2012/2018

1- PrPzAmT.TEX— []

Analisi 2 Polo di Savona Prima Prova parziale 23/11/2011

Prima Prova parziale 23/11/2011

Si consideri la funzione

f(x, y) =

{x− y3 |x| ≤ |y3|0 altrove

<A> Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.

 Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f e differenziabile in (0, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (0, 1).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = [0, 1]× [0, 1].

<F> Calcolare∫Qf(x, y)dxdy

<G> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 1).

2- PrPzAmT.TEX— [PrPzAmT13.TEX]

Analisi 2 Polo di Savona Seconda Prova parziale 17/12/2011

Seconda Prova parziale 17/12/2011

Si consideri

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≥ 1− y , z ≤ 2− y , x ≥ 1 , x ≤ 2 , y ≥ 0 , y ≤ 1}

<A> Calcolare il volume di VSi considerino due variabili aleatorie indipendenti: ξ con distribuzione triangolare che restituisce numeri

in [0, 2] ed ha moda 1/3 ed η uniforme su [1, 3]

 Determinare la PDF di ξ , η e ξ + η

<C> Calcolare media e varianza di ξ , η e ξ + η

f(x, y) = |(y − sin(x))(y − cos(x))|


 Determinare se f e differenziabile in (1, 1) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 1).

<C> Determinare se f e differenziabile in (π/4,√

2/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (π/4,

√2/2).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (π/4,√

2/2).

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di f su Q = {(x, y) : x ∈ [0, π], y ∈ [0, sin(x)]}.

<F> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 1).

<A> Determinare il punto dell’iperbole

x2 − y2 = 1

avente minima distanza dal punto (0, 1)

 Calcolare il volume del solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 1

2(x+ 1) , z ≥

√x2 + y2}

Analisi 2 Polo di Savona Terza Prova parziale 07/01/2014

Terza Prova parziale 07/01/2014


f(x) =

a

x4x > 1

bx+ c x ∈ [0, 1]0 altrove

<A> Determinare a, b, c in modo che f sia la PDF di una variabile aleatoria ξ

 Determinare a, b, c in modo che la media di ξ sia1

<C> Determinare a, b, c in modo che la varianza di ξ sia 1

<D> Calcolare P (4 ≤ ξ ≤ 5)

<E> Calcolare P (−1 ≤ ξ ≤ 0)

f(x, y) =

{x2 + y2 |x|+ |y| ≤ 11 altrove


 Determinare se f e differenziabile in (1/2, 1/3) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1/2, 1/3).

<C> Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del piano tangenteal suo grafico in (1, 0).

<D> Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).

<F> Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.

D = {(x, z) ∈ R2 : x2 + z2 ≤ 1 , x2 + z2 − 2x ≤ 0}

<A> Disegnare D ed il trasformato di D mediante il cambio di variabili{x = ρ cos θz = ρ sin θ

 Calcolare l’aerea di D.

<C> Calcolare ∫D

xdxdz

Si consideri il volume V generato dalla rotazione di D attorno all’asse z

<D> Calcolare il volume di V .

<E> Determinare massimi e minimi assoluti di F (x, y, z) = z su V .

Sia ξ una variabiile aleatoria binomiale relativa a n ripetizioni di una prova bernoulliana con probabilitadi successo p e sia η una variabiile aleatoria binomiale relativa a m ripetizioni di una prova bernoulliana conprobabilita di successo q

<A> Impostare il calcolo per determinare la PDF di ξ e di η

 Tenendo conto dell’identita di Vandermonde, che afferma che

(n+m

k

)=

k∑j=0

(n

j

)(m

k − j

)

Determinare, per p = q = 1/2, la PDF di ξ + ηed interpretare il risultato.Si considerino tre scatole in cui sono contenuti dadi di colore diverso nelle quantita che seguono:

- I scatola : 8 dadi Neri, 5 dadi Bianchi, 7 dadi Gialli- II scatola : 13 dadi Neri, 7 dadi Bianchi,- III scatola : 5 dadi Neri, 10 dadi Bianchi;

<C> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Bianco; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III

<D> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Nero; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatola I,II, III

<E> Si sceglie una scatola e si estrae un dado Giallo; calcolare la probabilita che sia stata scelta la scatolaI, II, III

f(x, y) = |1− x2 − y2|

<A> -[3] Determinare il campo di definizione di f e l’insieme su cui f e continua.

 -[3] Determinare se f e differenziabile in (0, 1/2) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (0, 1/2).

<C> - [4] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[6]Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<E> - [5]Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (1, 0).

<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f su R2.

SiaA = {(x, y, z) ∈ R3 : 2− 2x ≤ z ≤ 2− x , z ≤ 2− (x2 + y2)}

<A> -[15] Determinare il volume di ASia

B = {(x, y, z) ∈ R3 : x2 + y2 ≤ 1 , 2− 2x ≤ z ≤ 2− x}

 -[9] Determinare il volume di BSia

C = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − x ≥ 0 , : x2 + y2 − 2x ≤ 0}

<C> -[6] Calcolare ∫C

2x− x2 − y2dxdy

Sia ξ una variabile aleatoria esponenziale di media λ ed η una variabile aleatoria esponenziale di mediaµ

<A> -[10] Determinare la PDF della variabile aleatoria x = ξ + η

 -[8] Determinare la media e la varianza di xSi supponga di dover raggiungere la localita B partendo da A e passando per la localita C utilizzando

un mezzo di trasporto che collega A con C che prevede 6 partenze da A ogni ora ed un secondo mezzo checollega C con B e prevede 3 partenze ogni ora.

<C> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il primo mezzo.

<D> -[2] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare il secondo mezzo.

<E> -[4] Calcolare quanto tempo in media si dovra aspettare complessivamente.

<F> -[4] Calcolare la probabilita che l’attesa superi complessivamente 30 minuti.

f(x, y) = 2y3 + 6x2y + 3x2 − 3y2

e la figura seguente

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

−−−−−+

+++++++++++

++++++

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

−

−

−

−

−

+

+

−

−

−

−

−

+

+

y = −1/2

y = 3/2

x = −1 x = 1

x2 + y2 ≤ y

y =√3/2

2in cui e evidenziato il segno che f assume nei punti delle rette y = −1/2, y = 0, y = 3/2 , x = 1, x = −1e sulla circonferenza di equazione x2 + y2 − y = 0

La parte tratteggiata indica l’insieme in cui fx > 0 mentre la parte colorata indica l’insieme in cui fy < 0

<A> -[15] Disegnare l’insieme dei punti del piano tali che f(x, y) = 0

 -[10] Verificare le affermazioni descritte nella figura che sono state usate per disegnare l’insieme dei puntidel piano tali che f(x, y) = 0

<C> - [2] Determinare se f e differenziabile in (1, 0) ed in caso affermativo scrivere l’equazione del pianotangente al suo grafico in (1, 0).

<D> -[1] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<E> - [7] Determinare la direzione di massima pendenza per f nel punto (0, 0).

<F> -[4] Determinare massimi e minimi assoluti di f sul cerchio di equazione x2 + y2 − y ≤ 0

<G> -[3] Calcolare se esiste il limx,y)→+∞ f(x, y)

<H> -[8] Calcolare le derivate direzionali di g(x, y) = max{f(x, y), 0} in (0, 0).

y(t) = 2

∫ +∞

−∞e−x

2+xtdx

<A> -[4] Calcolare la derivata y(t) di y

 -[4] Integrare per parti y ed esprimere y in funzione di y

<C> -[4] Determinare y

<D> - [10] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) , z ≥ x , z ≥ y}

<E> - [12] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z) ∈ R3 : z ≤ 2− (x2 + y2) ≤ 1 , z ≥ x , z ≥ y}

<F> - [8] Calcolare l’area diD = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ}

<G> - [8] Calcolare l’area di

D = {(x, y) ∈ R2 : ρ ≤ θ , : ρ ≤ π − θ , ρ ≤ 1}

<H> - [8] Calcolare∫D

1

(√

x2+y2)αdxdy dove

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1}

 - [8] Calcolare∫D

1

(√

x2+y2)αdxdy dove

D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≥ 1}

Partendo da A si puo arrivare in B utilizzando un mezzo di trasporto.- la frequenza media delle partenze e una variabile aleatoria con PDF di Poisson di media 6 partenze

all’ora.- il tempo di percorrenza e dato da una variabile aleatoria triangolare con moda 30 minuti nulla fuori

dell’intervallo [28, 32]

<A> -[4] Calcolare il tempo medio di attesa del mezzo

 -[4] Calcolare il tempo medio di percorrenza.

<C> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria T che restituisce il tempo di attesa del mezzo.

<D> -[4] Determinare la PDF della variabile aleatoria τ che restituisce il tempo di percorrenza.

<E> -[4] Determinare la media del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..

<F> -[4] Determinare la varianza del tempo totale necessario per spostarsi da A a B..

<G> -[4] Determinare la PDF del tempo totale necessario per spostarsi da A a B.

f(x, y) = (x2 + y2) arctan(y/x)

<A> -[4] Determinare dove f e definita e dove e continua

 -[6] Determinare dove f e differenziabile

<C> -[4] Stabilire se f e prolungabile per continuita in qualche punto in cui non e definita.

<D> - [6] Stabilire se f e prolungabile in modo che sia differenziabile nell’origine.

<E> -[3] Calcolare le derivate direzionali di f in (0, 0).

<F> -[3] Determinare la direzione di massima pendenza in (0, 0).

<G> - [2] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1, 1)

<H> -[ 2] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1, 1).

f(x, y) = (x2 + y2)2 − 4xy2

e l’insieme dei puntiG = {(x, y) : f(x, y) = 0}

<A> -[3] Determinare i punti di G aventi massima ascissa.

 -[3] Determinare i punti di G aventi massima ordinata.

<C> -[3] Determinare i punti di G aventi massima distanza dall’origine.

<D> -[2] Verificare che G e contenuto del semipiano delle ascisse positive ed e simmetrico rispetto all’asse x.

<E> - [1] Verificare che f(x, 0) ≥ 0 per ogni x reale.

<F> - [1] Verificare che lim y → +∞f(x, 0) = +∞ per ogni x reale.

<G> - [1] Verificare che f(x,√

2x) ≤ 0 0 < x < 1 reale.

<H> - [3] Riportare sul grafico i risultati dei precedenti tre punti

x

y

1 16/9

 - [3] Calcolare fx e fy e indicare sul grafico l’insieme in cui fx Q 0 e fy Q 0

x

y

1 16/9x

y

1 16/9

<J> - [10] Disegnare G

x

y

1 16/9

<A> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , z ≥ 0}

 -[6] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1 ≤ z ≤√

3}

<C> -[7] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√

3

2}

<D> -[8] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 , 1/2 ≤ z ≤√

3}

<E> -[4] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,

√3

3x ≤ y ≤

√3x , z ≥ 0}

<F> -[6] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,

√3

3

√x2 + y2 ≤ z ≤

√3√x2 + y2 , z ≥ 0}

<G> -[8] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,

√3

3

√x2 + y2 ≤ z ≤

√3√x2 + y2 ,

√3

3x ≤ y ≤

√3x}

<H> -[12] Calcolare il volume di

V = {(x, y, z ∈ R3 , 1 ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 4 ,

√3

3

√x2 + y2 ≤ z ≤

√3√x2 + y2 , 1 ≤ z ≤

√3}

Analisi 2 Polo di Savona Quarta Prova parziale 08/01/2018

Quarta Prova parziale 08/01/2018

La taratura di uno strumento richiede un numero n di prove aleatorio distribuito triangolarmente su [1, 5]con moda 4 . Ciascuna prova richiede un tempo di esecuzione t anch’esso aleatorio distribuito triangolarmentesu [1, 10] con moda 7

<A> -[5] Determinare media e varianza di n

 -[5] Determinare media e varianza di t

<C> -[15] Determinare la distribuzione di Probabilita del tempo totale di Taratura T

<D> -[5] Determinare media e varianza di T

f(x, y) =

{min{(y − 1 + x2)(y − x2 + 1), 0} , |x| < 10 , |x| ≥ 1

<A> -[4] Determinare dove f e definita e dove e continua

x

y

 -[6] Determinare dove f e differenziabile

x

y

<C> -[6] Calcolare le derivate direzionali di f in (1, 0).

<D> -[4] Determinare la direzione di massima pendenza in (1, 0).

vspace2cm

<E> - [4] Scrivere l’equazione del piano tangente al grafico di f nel punto (1/2, 0)

<F> -[ 4] Scrivere la forma quadratica Hessiana dif nel punto (1/2, 0).

<G> - [6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti.

<H> -[ 6] Stabilire se f ammette massimi o minimi assoluti sulla circonferenza definita da x2 + y2 = 1

Si consideriD = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 − 2|x| ≤ 0 , x2 + y2 − 2|y| ≤ 0}

<A> -[4] Disegnare nel piano D.

 -[6] Calcolare l’area di D

<C> -[4] Calcolare ∫D

xdxdy

<D> -[6]Calcolare ∫D

1√x2 + y2

dxdy

vspace2cmSi consideri il solido definito da

V = {(x, y, z) ∈ R3 : y ≤ z ≤ 2y , z ≤ 2− y , 0 ≤ x ≤ 1}

<E> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (x, y).

<F> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, y).

<G> -[3] Disegnare la proiezione di V nel piano (z, x).

<H> -[4] Calcolare il volume di V integrando per fili paralleli all’asse z

 -[7] Calcolare il volume di V integrando per sezioni perpendicolari all’asse z

Si consideri un treno che parte da una localita A e giunge ad una localita B passando per una localitaintermedia C e si indichino con testa, centro e coda la prima la seconda e la terza parte del treno ciascunadelle quali dispone di 60, 110 e 60 posti a sedere.

Nel percorso tra A e C salgono sul treno 200 passeggeri che scelgono, casualmente, di salire in una delletre parti e li’ rimangono;

Ciascun passeggero sceglie di salire al Centro con probabilita 1/2 ,di salire in Coda con probabilita 1/4e di salire in Testa con probabilita 1/4 .

<A> -[6] Qual’ e la probalilita che un passeggero che salga sul treno in localita C trovi posto a sedere postoche abbia scelto di salire in Testa, in Centro o in Coda al treno?

 -[7] Assumendo che il passeggero salito in C ha trovato posto a sedere , quale e’ la probabilita che siasalito in Testa , in Centro oppure in Coda al treno

Sia φ la PDF di una variabile aleatoria ξ che restituisce un valore compreso tra −1 e 1 soddisfacente leseguenti condizioni:

- il grafico di φ e costituito di due archi di parabola che si annullano, rispettivamente in −1 ed in 1 .- il grafico di φ e tangente all’asse dell ascisse in 0 ed in 2 .- φ′′(0) = 2a- il grafico di φ e una funzione continua.

<C> -[4] Determinare φ

<D> -[1] Determinare la media di φ

<E> -[2] Determinare la moda di φ

vspace2cmSi dispone di due dadi a 6 facce uno bianco per il quale la probabilita di uscita di 1, 2, 3, 4, 5, 6 e

equiprobabile ed uno nero per il quale l’uscita di un numero pari ha probabilita 1/9 e quella di un numerodispari 2/9

<F> -[3] Si sceglie un dado (con probabilita 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) e si lancia. Qual’e la probabilitadi ottenere 5?

<G> -[4] Si sceglie un dado (con probabilita 1/3 per il bianco e 2/3 per il nero) , si lancia e si ottiene 3.Qual’e la probabilita che sia stato scelto il dado bianco?

Sia ξ la somma di due variabili aleatorie geometriche relative a prove bernoulliane con probabilita disuccesso p1 e p2 , rispettivamente, e sia qi = 1− pi per i = 1, 2

<H> -[9]Determinare la PDF di ξ

 -[2]Determinare la media di ξ

<J> -[2]Determinare la varianza di ξ

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