Analisi e gestione del rischio

Lezione 15

Tecniche di valutazione di CDO

Valutazione di tranche equity

• Il valore di tranche equity è rappresentato da opzioni put. Dalla parità put-call

EL + Equity = K + Call• Se assumiamo che le perdite abbiano una

distribuzione lognormale• Equity(K) = K – EL + E(L) N(d + s) – KN(d)

= – EL(1 – N(d + s)) + K(1 – N(d ))= – EL(N(– d – s)) + K (N(– d))

che ricorda la formula di Black e Scholes

Tranche equity e senior

• Come nei modelli strutturali, tutte le tranche sono influenzate nella stessa direzione da cambiamenti di valore dell’attivo. L’aumento delle perdite penalizza tutte le tranche.

• Le tranche equity sono inoltre avvantaggiate da aumenti della volatilità, mentre il valore delle tranche senior sono avvantaggiate da riduzioni della volatilità.

• Poiché l’attivo è rappresentato da portafogli il parametro rilevante è la correlazione più che la volatilità.

MC simulation pn a basket of 100 names

Default Probability

Correlation 95%

Correlation 20%

Correlation 0%

Copula gaussiana e correlazione implicita

• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana

C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i T e i è il tempo di default del nome i-esimo.

• E’ utilizzata la stessa correlazione per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”.

• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.

Relazioni di arbitraggio

• Assumiamo di conoscere la perdita attesa di due tranche equity 0-% e 0-% ( > ) : qual è il prezzo della tranche mezzanina -%?

• Non è difficile vedere che per escludere possibilità di arbitraggio dobbiamo avere

EL(0-%) – EL(0- %) = EL( -%)• Si noti che si tratta di una relazione di arbitraggio

come quella che determina il prezzo di un call spread.

Base correlation/implied correlation

• Sul mercato è definita base correlation la correlazione delle “equity tranche”: (0- ) e (0- ). Si noti che le perdite su “equity tranche” sono monotone nella correlazione e quindi la base correlation ottenuta dal prezzo di una tranche è unica.

• La correlazione implicita ( - ) (compound implied correlation) è legata alla base correlation dalla relazione di arbitraggio

EL((0- )) – EL((0- )) = EL(( -))• La forma della curva della correlazione implicita per

diversi livelli di perdita è detta “correlation smile”

Base correlation

Copula gaussiana e correlazione implicita

• La tecnica standard di valutazione utilizzata sul mercato è basata sulla copula gaussiana

C(u1, u2,…, uN) = N(N – 1 (u1 ), N – 1 (u2 ), …, N – 1 (uN ); ) dove ui è la probabilità dell’evento i T e i è il tempo di default del nome i-esimo.

• E’ utilizzata la stessa correlazione per tutta la matrice. Questa correlazione sintetizza di fatto l’informazione presente nel prezzo, e per questo viene spesso utilizzata per le quotazioni. Si tratta di quella che è nota sul mercato come correlazione implicita: la correlazione che impiegata nella copula gaussiana restituisce il valore della “tranche”.

• Si noti che in generale il valore della tranche non è funzione monotona della correlazione, e il valore di correlazione implicita che può essere ricavato da una tranche può non essere unico.

Tecniche di valutazione

• La valutazione di “tranche” dipende in maniera cruciale dal rischio di credito dei “nomi” dell’attivo della SPV e dalla loro correlazione

• La prassi di mercato è assumere che la correlazione tra i tempi di default dei vari “nomi” portafoglio sia la stessa per tutti. Questo è legato all’assunzione che essi siano generati da un modello fattoriale nel quale il rischio idiosincratico e sistematico (rappresntato dal fattore M) hanno lo stesso peso per tutti i nomi.

ii ZMx 21

Tecniche di valutazione

• Le “tranche” possono essere valutate con due strategie alternative

• Simulazione Monte Carlo della probabilità congiunta di default dei “nomi”.

• Integrazione numerica della probabilità di default condizionale dei “nomi”

Simulazione dei tempi di default con le funzioni di copula

• Generazione di variabili casuali dalla copula Gaussiana di dimensione N

1. Trovare la scomposizione di Cholesky A di R

2. Simulare n variabili casuali indipendenti z = (z1,..., zn)’ da N(0,1)

3. Porre x = Az

4. Porre ui = N(xi) con i = 1,2,...,n dove N denota la distribuzione normale standard univariata

5. (y1,...,yn)’ =[F1-1(u1),...,Fn

-1(un)] dove Fi denota la i-esima distribuzione marginale. Nel caso dei tempi di default abbiamo ui =exp(– ii) da cui i = – ln(ui )/i

Valutazione Monte Carlo di tranche

• La valutazione delle tranche è ottenuta

1. Generando tempi di default i come dalla slide precedente

2. Calcolando l’impatto delle perdite sul valore del capitale delle diverse tranche (sistema di waterfall)

3. Calcolando il valore dei flussi di capitale e interessi delle diverse tranche con la funzione di sconto appropriata.

4. Ripetendo i passi da 1 a 3 per un numero N di iterazioni5. Calcolando il valore di ciascuna tranche come la media

aritmetica dei valori sugli N scenari

Valutazione con la funzone di copula condizionale

• Un strategia alternativa di valutazione consiste nel condizionare il valore della tranche rispetto al fattore comune M.

• In questo modo i default dei “nomi” sono resi independenti e le tranche possono essere valutate di conseguenza.

• La valutazione è poi ottenuta integrando il valore sui diversi valori del fattore comune M.

Valutazione condizionale I• Assumiamo di condizionare le probabilità di

default degli i = 1, 2, …, N nomi rispetto a un particolare scenario m del fattore M in un modello gaussiano.

• Denotando pi la probabilità di default entro il tempo T e i la correlazione del nome i-esimo otteniamo la probabilità di default condizionale

2

1

1 i

iii

mpNNmp

Valutazione condizionale II• Poiché le probabilità di default condizionali sono

indipendenti, i default e le perdite Li possono essere modellate utilizzando la funzione generatrice dei momenti di una distribuzione binomiale (Laurent e Gregory)

j

ii

nLnL

ii

Li

L

LjL

mqmnqsmnqs

mpsmpsEsg i

1

1 0...1

1

Valutazione non condizionale

• Una volta che il valore di ogni tranche è calcolato sotto lo scenario M = m la probabiltà non-condizionale di un numero L(i) di default è ottenuta integrando la probabilità condizionale sugli scenari.

dmmfmiLqiLq

Valutazione non-condizionale• Una volta ottenuta la probabilità di default non

condizionale il valore delle tranche è calcolata dalla perdita attesa corrispondente

n

iadad iLqiLqLLiLLLE

0

10,,1minmax,

Modello fattoriale gaussiano

• Assumiamo un modello in cui c’è un singolo fattore di rischio alla radice di tutte le perdite. La struttura di dipendenza è gaussiana. In termini di probabilità condizionale

dove M è il fattore comune e m è uno scenario particolare.

2

1

1Pr

muN

NmMDefault

Modello di Vasicek

• Vasicek propose un modello in cui un numero molto grande di esposizioni ha la stessa probabilità di default e la stessa dipendenza dal fattore comune

• Probabilità di una percentuale di perdite Ld:

2

1121Pr

pNLN

NLL dd

Il valore delle tranche• Il valore medio della distribuzione è p, il valore è

la probabilità di default di ogni individuo• Il valore della tranche equity con detachment Ld è

Equity(Ld) = (Ld – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))• Il valore della tranche senior tranche con

attachment Ld è

Senior(Ld) = (p – N(N-1(p); N-1 (Ld);sqr(1 – 2))dove N(N-1(u); N-1 (v); ) è la copula gaussiana.

Copertura delle tranche

• Le tranche di un CDO non-standard (bespoke CDO) possono essere coperte– con gli indici di credito (iTraxx, CDX)– con altre tranche

• Il mistero di maggio-giugno 2005– Posizioni lunghe in equity coperte con il

mezzanino detenute dai fondi furono vanificate da un improvviso crollo della correlazione