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ANALISI DI FOURIER

Segnali a tempo continuo: Segnali aperiodici – Introduzione alla Trasformata Continua

di Fourier - Derivazione intuitiva della TCF a partire dallo Sviluppo in Serie di Fourier - Spettro di ampiezza e fase - Proprietà TCF

Segnali periodici – Estensione della TCF a segnali periodici Campionamento dei segnali

- Analisi nel dominio del tempo e della frequenza

Introduzione alla Trasformata Continua di Fourier

Un segnale aperiodico si può rappresentare come la sovrapposizione di componenti sinusoidali di ampiezza infinitesima e di frequenza variabile con continuità tra -∞ e +∞

∫+∞

∞−

⋅= dfftjefSts π2)()(

È possibile arrivare a dimostrarlo in modo intuitivo andando a vedere come cambia lo spettro di n segnale periodico, quando il periodo viene fatto tendere all’infinito, ovvero viene reso aperiodico.

∫+∞

∞−

−⋅= dtftjetsfS π2)()(dove, la trasformata Continua di Fourier

Antitrasformata o Trasformata Inversa


s(t) = S( f ) !e j2! ft df"#

+#

$

S( f ) = s(t) !e" j2! ft dt"#

+#

$

s(t) = Snej2! nt/T0

n=!"

"#

Sn =1T0

s(t)e! j2! nt/ T0

t0

t0 +T0" dt

Sp(t)

+T/2 -T/2

T0

rect(t/T)

+T/2 -T/2

Consideriamo un treno di impulsi sp(t)

Dove sp(t) può essere scritto come

( ) ∑+∞

−∞=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=n

p TnTtrectts 0

L‘impulso centrato in zero può essere pensato come il limite per T0 che tende a +∞ di sp(t)


- n = 0

S0 =1T0

Adt = ATT0!T / 2

+T / 2"

- n ≠ 0

Sn =1T0

Ae! j2!nt /T0!T /2

+T /2

" dt = 1T0A e! j2!nt /T0

! j2!n /T0

#

$

%%

&

'

((!T / 2

+T / 2=AT0e! j!n T

T0 ! e+ j!n T

T0

! j2!n /T0=

=AT0

!2 j sin !n TT0

)

*+

,

-.

! j2!n /T0=ATT0

sin !n TT0

)

*+

,

-.

!n TT0

=ATT0sinc n T

T0

)

*+

,

-.

È il valore medio del segnale.


N.B. in realtà la sinc(n) è definita anche per n=0

Visualizziamo i coefficienti dello sviluppo in serie di Fourier del treno di impulsi rettangolari sp(t) al variare di T0 a parità di T.

Si nota come l’ampiezza dei coefficienti diminuisce all’aumentare del periodo, come si evince dalla formula dei coefficienti

T0 =2T T0 =4T T0 =8T

∫

+

−

−=

20

20

0nt/T2j)(

0

1

T

TdtetpsTnS

π


I coefficienti sono stati visualizzati rispetto a n: ad ogni n corrisponde la frequenza fn=n/ T0 e quindi, visto che T0 differisce in ciascun grafico, le frequenze per ogni n sono differenti T0=kT con k=2,4,8. È possibile visualizzare lo spettro in funzione di f=n/ T0=n/(kT). Inoltre, se vogliamo svincolarci dalla particolare scelta di T, possiamo usare la frequenza normalizzata fT.


Dal confronto degli spettri si vede come all’aumentare di T0 le righe si infittiscano: la differenza tra due valori successivi nei quali sono definiti gli Sn è Δf=(n+1)f0-nf0=f0 Nel limite questa differenza diventa infinitesima, df, ed è possibile definire una variabile continua f=nf0

∞→0T

Il segnale sp(t) può essere scritto come


∑+∞

−∞==n

tnfjnp eSts 02)( π

È possibile dimostrare gli Sn si possono scrivere come Sn=f0S(nf0) , dove S(f) è stata definita precedentemente, e che, al limite di gli Sn si possono scrivere come Sn=S(f)df A questo punto la sommatoria dello sviluppo in serie di Fourier può essere interpretata come la somma di infinite funzioni oscillanti complesse date da

∞→0T

ftjedffS π2)( Queste sono dei fasori di ampiezza infinitesima |S(f)|df e fase pari a

con θ(f) fase di S(f) Il processo al limite comporta la trasformazione della sommatoria nell’integrale, ottenendo la formula

( )fft θπ +2

∫+∞

∞−

⋅= dfftjefSts π2)()(

Con S(f) si indica la Trasformata Continua di Fourier (TCF) che identifica univocamente il segnale aperiodico s(t) Se si scrive


( ) ( ) ( )fjefSfS θ=

Possiamo definire lo spettro di ampiezza S(f) e lo spettro di fase θ(f) È possibile usare anche la rappresentazione parte reale–parte immaginaria

( ) ( ) ( )fjIfRfS +=

Come esempio calcoliamo la TCF dell’impulso rettangolare


( )

(fT)TfTfTT

ffT

efj

dtedteTtrectdtetsfST

Tftj

T

T

ftjftjftj

sinc)sin()sin(

21)/()()(

2/

722

2/

2/

222

===

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−====

+

−

−+

−

−+∞

∞−

−+∞

∞−

− ∫∫∫

ππ

ππ

πππππ

Essendo lo spettro reale è sufficiente un solo grafico per rappresentarlo. Si deve notare che all’aumentare di T (impulso + lento), la sinc, e quindi il contenuto frequenziale si concentra alle basse frequenze. Sarà maggiore il contenuto alle alte frequenze al diminuire di T (impulso + veloce)

rect(t/T)

+T/2 -T/2

Proprietà della Trasformata Continua di Fourier

Vediamo cosa succede allo spettro se ritardiamo l’impulso ad esempio di T/2.

rect(t/T)

+T/2 -T/2 +T

rect t !T / 2T

"

#$

%

&'


Nelle rappresentazioni seguenti vengono mostrati gli spettri di ampiezza e fase delle TCF dell’impulso rettangolare senza ritardo (sinistra) e con ritardo (destra)


Proprietà del ritardo

s t( ) F

! S f( ) " y t( ) = s t # t0( )F

! Y f( ) =S f( )e# j2! t0 f

La trasformata di y(t) in modulo è uguale a quella del segnale non ritardato Il ritardo nel tempo comporta la somma alla fase di S(f) di un termine di fase lineare Quindi nel caso della rect vista precedentemente ritardata di T/2

S( f ) = T sinc(fT)e! j2! f T

2 = T sinc(fT)e! j! fT

Nel caso del impulso centrato attorno all’origine, essendo la TCF reale, la fase può valere –π, π (numero negativo) o 0 (positivo). Il ritardo dello impulso di T/2 equivale ad aggiungere alla fase dello spettro precedente un termine lineare con f pari a -2πfT/2. La visualizzazione “spezzata” della fase in questo caso è dovuta alla visualizzazione tra [-π:π].


Si deve ricordare che, nel caso di segnali reali la fase risulta simmetrica rispetto all’origine

Di seguito elenchiamo alcune delle proprietà della TCF


s t( ) = aixi t( )i=1

N

! F

" S f( ) = aiXi f( )i=1

N

!

con xi t( ) F

" Xi f( ) #i

Linearità La TCF di una combinazione lineare di segnali è la combinazione lineare secondo gli stessi pesi, delle TCF dei singoli segnali


s t( ) = x1 t( )! x2 t( ) F

" S f( ) = X1 f( )! X2 f( )

Linearità

-T +T

A

t

x2(t)

-T +T

A

t

s(t)

-T +T

A

t

x1(t)

= -

N.B. Andando avanti troveremo la trasformata di x2(t) e potremmo risolvere questa trasformata


s t( ) F

! S f( ) " y t( ) =ds t( )dt

F

! Y f( ) = j2! f S f( )

Proprietà della Derivazione Dato un segnale s(t) con TCF pari a S(f), la derivata di s(t) ha come trasformata j2πfS(f)

-T/2 +T/2

A

t

s(t)

t

ds t( )dt

-T/2

+T/2

A

-A


Y f( ) = j2! f S f( ) = j2! f AT sinc fT( ) = j2! f ATsin ! fT( )! fT

=

= j2! f TAsin ! fT( )! fT

= j2Asin ! fT( )

-T/2 +T/2

A

t t

s(t) ds t( )dt

-T/2

+T/2

A

-A


s t( ) F

! S f( ) " y t( ) = s !( )d!#$

t

%F

! Y f( ) = 12! f( )S 0( )+

S f( )j2! f

Proprietà di Integrazione (non completo)

s t( ) F

! S f( ) " y t( ) = s !( )d!#$

t

%F

! Y f( ) =S f( )j2! f

valido se S(0)=0

Proprietà di Integrazione

Esempio di applicazione della proprietà di integrazione


Vogliamo calcolare la trasformata di s(t) ma siamo più bravi a calcolare la trasformata della derivata

t

y t( ) =ds t( )dt

-T +T

A/T

-A/T

-T +T

A

t

s(t)

Quindi se riusciamo a calcolare la trasformata di y(t), possiamo poi calcolare la trasformata di s(t) visto che

s t( ) = y !( )d!!"

t

#


t

y t( ) =ds t( )dt

-T +T

A/T

-A/T

y t( ) = ATrect t +T / 2

T!

"#

$

%&'

ATrect t 'T / 2

T!

"#

$

%&

Y f( ) = Asinc fT( )e j2! fT /2 ' Asinc ft( )e' j2! fT /2 =

= Asinc fT( ) e j! fT ' e' j! fT( ) = Asinc fT( ) j2sin ! fT( )

Quindi applicando il teorema di integrazione

S f( ) =Y f( )j2! f

= Asinc fT( )j2sin ! fT( )

j2! f=

= Asinc fT( )Tsin ! fT( )! fT

= AT sinc2 fT( )


Proprietà del Cambiamento di scala

s t( ) F

! S f( ) " s !t( ) F

! 1!

S f!

#

$%

&

'(

Con |α|>1 abbiamo una compressione temporale alla quale corrisponde un’espansione frequenziale Con |α|<1 abbiamo un’espansione temporale alla quale corrisponde una compressione temporale

con ! !", costante


Proprietà del Cambiamento di scala x t( ) = rect t

T!

"#

$

%& '

FX f( ) = Tsinc fT( )

y t( ) = rect 2tT!

"#

$

%& '

FY f( ) = T

2sinc f T

2!

"#

$

%&


Proprietà di Dualità

s t( ) F

! S f( ) " S t( ) F

! s # f( )esempi

s t( ) = rect tT!

"#

$

%&' S f( ) = T sinc fT( )

s t( ) = sinc At( )! S f( ) = s " f( ) = 1Arect " f

A#

$%

&

'(=

1Arect f

A#

$%

&

'(

Proprietà Traslazione in frequenza


s t( ) F

! S f( ) " s t( )e j2! f0t F

! S f # f0( )

Da questo si può introdurre il teorema della modulazione

s t( ) F

! S f( ) " s t( )cos 2! fot( ) F

! S f + f0( )+S f # f0( )

2

con f0 costante

È stato ottenuto applicando la formula di Eulero al coseno Questo teorema può spiegare la modulazione di ampiezza dove un segnale s(t) modula un segnale portante, ad esempio nelle radiofrequenze, permettendo la trasmissione di diversi segnali associati a diverse portanti

Esempio sul teorema di modulazione


s t( ) = cos 2!5t( )rect t2!

"#$

%&

S f( ) = 2sinc 2 f + 5( )( )+ 2sinc 2 f ! 5( )( )

2= sinc 2 f + 5( )( )+ sinc 2 f ! 5( )( )

La trasformata è ottenuta traslando la trasformata del segnale modulante in corrispondenza a f=5 e f=-5

Proprietà della convoluzione


z t( ) = x t( )! y t( ) = x !( ) y t "!( )d!"#

#

$ = x t "!( ) y !( )d!"#

#

$

date x t( ) F

! X f( ) e y t( ) F

! Y f( ) "

z t( ) = x t( )# y t( )F

! Z f( ) = X f( )Y f( )

Dove la convoluzione è definita come

Convoluzione


z t( ) = x t( )! y t( ) = x !( ) y t "!( )d!"#

#

$ = x t "!( ) y !( )d!"#

#

$

z t( ) = x t( )! y t( )F

" Z f( ) = X f( )Y f( )Proprietà della Trasformata Continua di Fourier

! =

! =

La convoluzione è un’operazione di rilievo nell’Analisi dei Segnali e Sistemi Viene utilizzata ad esempio per determinare il comportamento di sistemi ingresso-uscita Per alcuni sistemi, come i sistemi Lineari tempo invarianti, l’uscita ad un ingresso è data dalla convoluzione tra una funzione caratteristica, detta risposta impulsiva, e l’ingresso stesso

h(t) x(t) z(t) z t( ) = x t( )! h t( )

Convoluzione e TCF

Convoluzione e TCF

higher frequencies. Samples taken from the same region of infarcted heart were used for measurement of the normal and infarcted samples, because the heart specimens had infarcted spots in normal tissue.

RESULTS

Figure 6 shows the frequency dependencies of attenuation coefficients of human myocardium samples. The frequency axis and the attenuation axis are plotted on a logarithmic scale. The samples were measured eight times, and mean values and standard deviations were calculated. The solid lines show regression lines fitted to plots of the samples.

normal sample was smaller than those of the infarcted The measured attenuation coefficient of the

and cardiomyopathy samples at all frequencies. The

relationship with power function of frequency in the attenuation coefficients show a good linear

entire frequency range. In this plot, the slope of the regression line

indicates the exponent of power function. The attenuation coefficients of infarcted and dilated cardiomyopathy samples increased proportionally to the 1.3 and 1.2 power of frequency, respectively, while the attenuation coefficient of the normal sample increased proportionally to the 1.6 power of frequency.

DISCUSSION

At frequencies below 10 MHz, attenuation of tissue increases almost in proportion to frequency 121. At frequencies above several tens of MHz, frequency

dependence of attenuation is different from that at

attenuation coefficients increased proportionally to lower frequencies. Akashi et al.131 reported that

the 1.56 power of the frequency for a bovine myocardium in the tlequency range of 50 to 200 MHz. Reports of different exponents in each frequency range indicate that there should be a

measured in this study. change in an exponent in the frequency range

According to ow results, the attenuation coefflcients showed good agreement with the regression line in the entire frequency range, and no significant changes in the slopes were observed. One reason for this may be the large standard deviation at lower frequencies. In our method, the thickness of the sample was restricted by large attenuation at a higher frequency. Therefore, attenuation of lower flequencies becomes small, and the loss caused by the

\

Fig. 5 Samples of nornal, infarction and dilated cardiomyopathy used in ow study.

1997 IEEE ULTRASONICS SYMPOSIUM - 1183

Coefficiente di attenuazione del tessuto miocardico ad oscillazioni ultrasoniche alle diverse frequenze

Kudo, N. et al, Ultrasound attenuation measurement of tissue in frequency range 2.5-40 MHz using a multi-resonance transducer Ultrasonics Symposium, 1997. Proceedings., 1997 IEEE, vol. 2: 1181 – 1184

Il tessuto attenua maggiormente le oscillazioni a frequenze maggiori

Questa è una descrizione in frequenza del tessuto: detta risposta in frequenza Nel tempo il comportamento viene descritto dalla risposta impulsiva

Proprietà del prodotto


date x t( ) F

! X f( ) e y t( ) F

! Y f( ) "

z t( ) = x t( ) y t( )F

! Z f( ) = X f( )#Y f( )Es.

Z f( ) = 1Brect f

B!

"#

$

%&'

1Brect f

B!

"#

$

%&

s t( ) = sinc Bt( )!" #$2= sinc Bt( )sinc Bt( ) = x t( ) x t( )

f -B/2

1/B

-B/2

X(f)


f -B/2

1/B

+B/2

X(f) Z f( ) = X f( )! X f( )

f -B/2

1/B

+B/2

X(f)

f -B

1/B

+B

Z(f)

L’operazione di moltiplicazione nel tempo ha causato l’aumento della banda del segnale. La convoluzione di due segnali a banda limitata comporta la nascita di un segnale la cui banda è la somma delle due bande.

Diamo una seconda interpretazione dell’operazione appena vista. L’operazione nel tempo è una operazione non lineare. Astraendoci da questo caso particolare, è possibile dire che un operazione non lineare su un segnale, comporta la nascita di componenti frequenziali non presenti in precedenza


Es. Il segnale a destra è ottenuto applicando la funzione modulo a quello di sinistra Per entrambi i segnali rispondere alle domande -qual è la freq. Fondamentale del segnale? -qual è il valore medio del segnale? -quante sono le componenti necessarie per descrivere il segnale?

Estensione della TCF a Segnali a Potenza finita

Abbiamo visto che per Segnali a tempo continuo, periodici è possibile utilizzare lo

Sviluppo in Serie di Fourier Mentre per segnali a tempo continuo aperiodici si deve utilizzare

la Trasformata Continua di Fourier

ma è possibile estendere anche a segnali a tempo continuo, periodici la Trasformata Continua di Fourier

Come?

Tramite l’introduzione della funzione generalizzata, delta di Dirac

Questa funzione è definibile attraverso le sue proprietà

x

! x( )1

! x ! x0( ) f x( )dx =!"

+"

# ! x0 ! x( ) f x( )dx =!"

+"

# f x0( )Proprietà campionatrice

! "( )d! =!"

x

# u x( )

x

u x( )

1 u x( ) =

1 per x>00.5 per x=0

0 per x<0

!

"##

$##


Vediamo la TCF della delta di Dirac

! f( ) = ! t( )e j2! ft dt ="#

+#

$ e j2! ftt=0=1

Quindi la delta di Dirac è composta da tutte le frequenze

f

! f( )1

Sfruttando le proprietà della TCF è possibile calcolare le Trasformate di Segnali a Potenza media finita

A! t( ) F

! A " A F

! A! # f( ) =A! f( )

Trasformata di una costante (sfruttando la propr. di dualità)

f

A! f( )A

t

A


Ae j2! fot F

! A! f " f0( )

Trasformata di una fasore (sfruttando la propr. di traslazione in frequenza e la trasformata della costante)

f

A! f ! f0( )A

f0

Il fasore è un segnale periodico e rappresenta una funzione della base di Fourier È costituito da una sola frequenza: questo giustifica il fatto che la TCF è una delta di Dirac centrata nella frequenza specifica


s t( ) = Acos 2! fot( ) = Ae! j2! fot + Ae j2! fot

2

F

" S f( ) = A! f + f0( )+ A! f ! f0( )

2

Dalla relazione precedente si può calcolare la TCF delle funzioni seno e coseno

f

A/2

f0

A/2

-f0

S(f)


s t( ) = Asin 2! fot( ) = !Ae! j2! fot + Ae j2! fot

2 j

F

" S f( ) = !A! f + f0( )+ A! f ! f0( )

2 j

Dalla relazione precedente si può calcolare la TCF delle funzioni seno e coseno

f

A/2j

f0

-A/2j

-f0

S(f)

f

A/2

f0

A/2

-f0

|S(f)|

f -π/2

f0 -f0

!S f( )π/2


TCF applicata allo Sviluppo in Serie di Fourier

Possiamo ora calcolare la TCF di un segnale periodico generico, una volta noto lo sviluppo in serie di Fourier

s t( ) = Snej2!n t

T0

n=!"

+"

# $F

S f( ) = Sn! f ! nT0

%

&'

(

)*

n=!"

+"

#

Dove è stata utilizzata la proprietà di traslazione in frequenza e la linearità della TCF Quindi la TCF di un segnale periodico è costituita da delta centrate a frequenze multiple della frequenza f0 La forma è analoga a quella dello sviluppo in serie ma il significato è differente -il dominio non è discreto, ma è continuo -al posto dei coefficienti abbiamo delle delta il cui peso è pari ai coefficienti di Fourier alla stessa frequenza

TCF applicata allo Sviluppo in Serie di Fourier

Ad esempio, riportiamo le rappresentazioni dei Coefficienti dello Sviluppo in serie di Fourier, in alto, e della TCF del segnale periodico onda quadra

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