La convergenza delle serie di Fourier: proprietà classiche...

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI BERGAMO

La convergenza delle serie di Fourier: proprietà classiche e moderne

Luca Brandolini

La convergenza delle Serie di Fourier: proprietà classiche e moderne

Università degli Studi di Bergamo

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Analisi di Fourier

Le serie (e più in generale) l’analisi di Fourier sono uno strumento matematico

utilizzato molti contesti diversi:

• Risoluzione di equazioni differenziali alle derivate parziali

• Filtraggio di segnali e/o immagini

• Compressione di segnali e/o immagini

• L’idea fondamentale consiste nel tentare di scrivere un oggetto complesso

come somma di oggetti più semplici e di ricostruire poi le proprietà dell’oggetto

composito a partire dalla conoscenza delle proprietà degli oggetti semplici.

• Uno dei problemi centrali dell’analisi di Fourier, storicamente il primo, è quello

di determinare sotto quali condizioni una funzione periodica possa essere

espressa come la somma (eventualmente infinita) di seni e coseni, le funzioni

periodiche per antonomasia, ed in quale senso la somma rappresenti la

funzione.



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Preludio



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Serie di Fourier



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L’onda quadra

Consideriamo la funzione “onda quadra” di periodo 2π



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L’onda quadra

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-0.1

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

1.1

x

y



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L’onda quadra

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0

-0.1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

x

y



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Convergenza della serie di Fourier

Questo semplice esempio mostra due fenomeni:

• La convergenza nell’intorno di punti “regolari”

• Il fenomeno di Gibbs nei pressi dei punti di discontinuità



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Convergenza nei punti regolari

• La convergenza della serie di Fourier per funzioni regolari in tutti

i punti non è difficile da dimostrare.

• Se una funzione è regolare solo nell’intorno di un punto si può

usare il principio di localizzazione:

• Se f(x) si annulla in un intervallo e

allora la serie di Fourier converge a zero in ogni punto

dell’intervallo in cui la funzione è nulla.



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Il fenomeno di Gibb’s

• Questo fenomeno è stato osservato nel 1898 da Josiah WillardGibbs (ingegnere, fisico e chimico statunitense) in risposta ad

una breve nota di Albert Michelson su Nature

• Nel caso della funzione “onda quadra” se si indica con SN la somma dei primi N termini della serie di Fourier allora per N

grande

SN(π/2- π/N)>1.17 e SN(π/2+ π/N)<-0.17 .



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Convergenza delle serie di Fourier



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Nucleo di Dirichlet

-3.0 -2.5 -2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

-20

20

40

60

80

100

x

y



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Sviluppi successivi

• Il metodo di Dirichlet è stato il punto di partenza per altri criteri di

convergenza (Jordan, Dini, Legesgue,…..).

• Nel 1876 du Bois-Reymond ha trovato un esempio di funzione

continua la cui serie di Fourier non converge in un punto.

• Nel corso del XX secolo la nascita dell’integrale di Lebesgue e

delle tecniche analitiche moderne hanno portato a risultati comequello di Kolmogorov (1903-1987) e di Carleson (1928 - ) –

Hunt.



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Serie in forma complessa



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Serie di Fourier multiple



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Compressione di immagini

• Serie di Fourier doppie (più

precisamente la versione

discreta di tale sviluppo) vengono utilizzate nella

compressione delle

immagini

• Accanto una immagine non

compressa (600x600 = circa

1MB)



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• Accanto un’immagine

compressa in formato JPEG

(circa 70KB).

• La compressione avviene

dividendo l’immagine in

quadrati di 8x8 pixel.

Ognuno di questi quadrati viene pensato come una

funzione periodica della

quale vengono calcolati i

coefficienti di Fourier. La compressione avviene

trascurando i coefficienti più

piccoli.



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JPEG e fenomeno di Gibbs



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Un esempio di serie di Fourier doppie



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Il teorema di Fejer



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Medie di Bochner-Riesz



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Un contesto più generale



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