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1

Politecnico di Milano

Misure Dinamiche - Fourier

Alfredo Cigada

© Misure e Tecniche Sperimentali - Alfredo Cigada

Introduzione alle misure dinamiche 2

Grandezza fisica

Segnale

Trasduttore

Segnale

Analogico

Digitale

2


Quando si era parlato di taratura statica … 3

NON LINEARE

Lettura

Grandezza

Grandezza

Lettura

LINEARE


Risposta dinamica degli strumenti (PRONTEZZA)

4

comportamento ideale

LetturaGrandezza

Grandezza

Lettura

Esprime la capacità di uno strumento a seguire e misurare una grandezza variabile nel tempo.

kx( t ) y ( t )

3


Esempio di comportamento reale 5

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

1 2 3

tempo

x(t),y(t)/kx(t)y(t)/k

0


• idealmente: y(t) = k x(t)

• in realtà: lo strumento insegue le variazioni della grandezza da misurare (misurando), riproducendole con un certo grado di approssimazione, che dipende dalle sue caratteristiche dinamiche

Comportamento dinamico degli strumenti 6

4


Sotto ipotesi che possiamo considerare sempreverificate è possibile pensare che non sianecessario studiare la risposta a tutti i possibilisegnali variabili nel tempo, ma che sia possibilestudiare la risposta a segnali “semplici” e che poisi possa estrapolare da questa risposta quella persegnali più complessi. Questa estrapolazione èrigorosa per sistemi “lineari”, ossia rappresentatida una equazione differenziale a coefficienticostanti.

Il punto di partenza.. 7


s = segnale r = risposta

∑∑∑∑ semplicis

s

ssemplice

r

∑∑∑∑ semplicir

rsemplice

5


Quali sono i segnali semplici più comuni??? 9

t t

t t

sinusoidegradino

impulso rampa


L’uso della sinusoide (Fourier) ben si presta a rappresentare segnali periodici, mentre la somma di impulsi è tendenzialmente più adatta per la rappresentazione di transitori, anche se è possibile analizzare segnali periodici come somma di impulsi e transitori come somme di sinusoidi.

Che interesse ha l’uso della sinusoide?

6


SEGNALE

SOMMA DI SINUSOIDI

ANALISI DI FOURIER

SEGNALE

SUCCESSIONE DI IMPULSI

ANALISI DI LAPLACE

In ambito meccanico è assai diffusa l’analisi di Fourier


Teorema fondamentale

Sotto ipotesi molto larghe un qualsiasi segnale può essere visto come somma di un numero (eventualmente infinito) di componenti armoniche.

Questo ci consente di scomporre un segnale in somma di tante componenti armoniche (sinusoidi) e quindi di studiare quali frequenze sono presenti nel segnale.

Nei sistemi lineari, nota la risposta a ciascuna componente armonica, la risposta a somma di armoniche è la somma delle risposte alle singole componenti.

7


A che cosa serve l’approccio proposto?? Es : studio di sistemi lineari

13

SIST

SIST

SIST

0 1 2 3 4-1

0

1

Ingr

esso

1

0 1 2 3 4-1

0

1

Ingr

esso

2

0 1 2 3 4-2

0

2

I 1 +

I 2

Tempo [s]

SOMMA INGRESSI SOMMA USCITE

0 1 2 3 4-0.5

0

0.5

Usc

ita 1

0 1 2 3 4-2

0

2

Usc

ita 2

0 1 2 3 4-5

0

5

U 1

+ U

2Tempo [s]

start


Risposta di un sistema di misura ad un ingresso variabile nel tempo

14

Se uno strumento di misura è lineare, larisposta ad un ingresso variabile nel tempopuò essere determinata come somma dellerisposte ai vari segnali semplici (per esempiosinusoidi) in cui può essere scomposto ilsegnale d’ingresso.

8


Es. Applicazioni diagnostiche 15

Si può capire, dalla risposta di un sistema meccanico, qual è la causa di un suo eventuale malfunzionamento.

Esempio: gruppi turbogeneratori

Misura delle vibrazioni ai supporti


16

Albero

Cuscinetto

Sensori di posizione

Misura su un supporto:

Vibrazioni 1 x giro ECCENTRICITA’

se è troppo elevata posso equilibrare il rotore

Vibrazioni 2 x giro DIVERSA RIGIDEZZA SECONDO 2 DIREZIONI

(esempio: presenza delle cave negli alternatori)

Es. Applicazioni diagnostiche

9


Poiché si è affermato che il punto di partenza per affrontare il problema delle misure dinamiche è la scomposizione di un segnale in somma di sinusoidi si dedicherà attenzione a questo aspetto, affrontando nel seguito gli aspetti, prevalentemente da un punto di vista operativo, degli algoritmi di Fourier e delle loro conseguenze.


GLI ALGORITMI DIFOURIER

10


19

L’analisi di Fourier effettua una trasformazione dal dominiodel tempo al dominio delle frequenze .Il contenuto di informazioni passa inalterato attraverso questa trasformazione che pertanto è assolutamente reversibile.

tempotempo frequenzafrequenzaF TF T

Analisi di Fourier


20

Per i segnali provenienti dai trasduttori si può pensare che la trasformazione tempo-frequenze sia sempre possibile, e che dunque un qualsiasi segnale sia sempre scomponibile in somma di sinusoidi.

E’ necessario aprire una breve parentesi sul significato di SPETTRO di un segnale

Spettri

11


21

Si cerca un modo alternativo alla visualizzazione nel tempo per dare i valori di frequenza , ampiezza e di ritardorispetto ad un riferimento iniziale della generica sinusoide

Spettri


22

1 2

3 4

Armonica = proiezione sull’asse verticale di un vettore rotante.

Spettri: esempio di un segnale sinusoidale

12


Segnale sinusoidale: ampiezza 23

ϕ

A

Re

Im ωy(t)A

T

y = A sin(ωt+..)

ω=2π/T

1/Τ=f

ω=2πf

fase


Segnale sinusoidale: fase 24

Situazione all’istante t=0

Situazione all’istante t=0

Φ=0

Φ=0

y = A sin(ωt+φ)

13


Come vengono considerate le sinusoidi nei programmi di calcolo degli spettri?

25

La singola sinusoide può essere vista come proiezione sull’asse reale (od immaginario) di un vettore che ruota a velocità angolare ω nel piano complesso.

ωRe

Im

ω=2πf

f = frequenza dell’armonica

A


Promemoria sui numeri complessi 26

ωRe

Im

ω=2πf

f = frequenza dell’armonica

A

a = | F | cos θ b = | F | sin θ

cos θ + j sin θ = ejθ F = | F | (cos θ + j sin θ )

F a b= +2 2 F = |F|ejθ θ = ωt+φ

F1F2 = |F1|ejθ1 |F2|ejθ2

= |F1||F2| ej(θ1+θ2)

θa

b

F

14


27

In maniera più rigorosa la sinusoide può essere vista come composizione di due vettori che ruotano nel piano complesso con velocità angolare uguale in modulo, ma di segno opposto.

ωωωωωωωω=2=2ππππππππff

Spettri


28

La presenza dei due vettori controrotanti giustifica qualitativamente la presenza di frequenze negative nelle routines che eseguono l’analisi di Fourier.

ωωωω=2ππππf

Spettri

15


29

RMST

x (t)dtT

==== ∫∫∫∫1 2

0(tempo) =

Ai∑∑∑∑2

2(frequenze)

i=0

N=

A

21

MediaT

x dtT

==== ∫∫∫∫1

0

0 100

1

spettro (modulo)

f

A

0 1

0

1T picco

picco- picco

storia temporale

0,5 1,5

-1

x

t

FUNZIONE SINUSOIDALE

Singola armonica:grandezze significative


Grandezze significative 30

Una funzione sinusoidale è definita da due parametri: X(ampiezza) e θ (argomento).L’ampiezza può essere misurata in quattro modi diversi:• Ampiezza di picco XP, il valore massimo raggiunto dalla funzione XX P =• Ampiezza picco-picco XPP, la differenza fra i valorimassimo e minimo raggiunti dalla funzione

( ) PPP XXXXX 22 ==−−=x(θ)

θXM

XE XPXPP

16


Si noti che, per entrambe le funzioni, il valor medio dell’intero ciclo è nullo

• Ampiezza media XM, il valore medio della semiondapositiva del ciclo. Per la x(θ) è

PM XXdXX 64.064.0sen1

0=== ∫

πθθ

πe per la x’(θ), a causa dello sfasamento, è:

PM XXdXdXX 64.064.0coscos1 2

2

32

0==

+= ∫∫

ππ

π

θθθθπ

x(θ)

θXM

XE XPXPP

31Grandezze significative


• Valore efficace XE. lo scarto quadratico medio di un ciclo:

( ) ( ) PE XdXdXX 71.0cos2

1sen

2

1 2

0

22

0

2 === ∫∫ππ

θθπ

θθπ

32Grandezze significative

17


Quando le armoniche in cui si scompone ilsegnale sono più di una , valendo il principio disovrapposizione degli effetti, quanto osservatoper la singola sinusoide vale per il segnalecomplessivo, sommando le valutazioni sullasingola armonica. Diviene importante la FASErelativa tra le diverse armoniche, in quantonecessaria per la corretta ricostruzione dellaforma del segnale.

L’algoritmo della serie di Fourier vale in manierarigorosa per funzioni periodiche.

Quando il segnale è scomponibile in più armoniche…


Spettri: più armoniche 34

y = A1sin(Ωt+ϕ1) + A2sin(2Ωt+ϕ2)

ϕ1

A1

Re

Im

Ω

ϕ2

A2

2Ω

18


storia temporale

800

x

500

0

-300t

spettro (modulo)

00

200

200 400

400

f

A

( )RMST

x t dtT

= ∫1 2

0(tempo) =

Ai∑2

2

(frequenz e)i=0

N

MediaT

x dtT

= ∫1

0

Spettri: più armoniche


L’importanza della fase 36

Stesse armoniche in frequenza ed ampiezza, ma con fasi diverse: il segnale in rosso, somma delle due armoniche, ha un andamento ben diverso in funzione della fase relativa

19


Spettri completi 37

Amplitude(power)

Time domainMeasurements

Se poi le sinusoidi che compongono il segnale sono più didue, il discorso visto si ripete per tutte le singole sinusoidi,originando lo SPETTRO del segnale, che deve esseredefinito in MODULO e FASE

Frequency versus Time Domain


Gli algoritmi di Fourier nascono per funzioni periodiche, è quindi necessario capire che cosa questo significa e come comportarsi quando, come spesso accade, la funzione che rappresenta l’uscita del trasduttore non è periodica.

Riflettiamo su possibili problemi…

20


Quando serve Fourier: funzione periodica 39

g(t) = g(t+T) T = periodo

La g(t) può essere scomposta in una serie di funzioni sinusoidali a frequenze equispaziate

k f1 con f1 = 1/T k=n°intero


40

Per funzioni periodiche [g(t) = g(t+T)], dove T è il periodo], la g(t) può essere scomposta in una serie di funzioni armoniche a frequenze fn equispaziate.

- f = 1/T è detta frequenza fondamentale- fn = nf, con n intero, è la generica frequenza- le varie componenti in frequenza risultano

quindi spaziate di f risoluzione in frequenza

( )

∫∫

∑ ∑

==

=

++=∞

=

∞

=

T

nn

T

nn

n

n nnnnn

dttfsinTgT

bdttfTgT

a

nff

tfsinbtfaatg

00

1 10

)2()(2

)2cos()(2

)2()2cos(21

ππ

ππ

Quando serve Fourier: funzione periodica

21


41

I coefficienti an, bn derivano dalla minimizzazione delle differenze tra g(t) e la sommatoria delle funzioni armoniche, elevate al quadrato.

L’espressione dello sviluppo in serie di Fourier può anche essere vista con la sommatoria estesa anche alla componente a frequenza nulla (n=0), ponendo:

( )

)...1 , 0 )(1

)2()2cos(

00

0

0 0

∞=====

+=

∫

∑ ∑∞

=

∞

=

(nbBaABdtTgT

A

tfsinBtfAtg

nnnn

T

n nnnnn ππ

Funzione periodica


42

La g(t) può essere espressa anche nella seguente forma (già illustrata per via grafica):

( )

arctg

)2cos(

22

0

)2(

0

)A

B(BAC

eCetfCtg

n

nnnnn

n

tfin

nnnn

nn

−=+=

ℜ=+= ∑∑

∞

=

+∞

=

ϕ

ϕπ ϕπ

- ogni termine della sommatoria è complesso (e quindi definito da un modulo e da una fase) e può essere visto come un vettore rotante nel piano Reale-Immaginario (piano di Gauss). ϕn è l’angolo fra Cn e l’asse reale per t = 0.

- le proiezioni sull’asse reale di questi vettori concorrono a formare la g(t), che è infatti reale.

Funzione periodica

22


43

Proiezione sull’asse reale dei vettori Cn

ℜe

ℑm

Cn

ωn = 2πfn

ϕn

Funzione periodica


Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier

44

( )G fT

g(t ek-j

T

Tdtf tk=

−∫

1 2

2

2)

/

/π

• considero la componente che ruota afk. Moltiplicare per e-j2πfkt significa annullarela rotazione di quella componente che,integrata nel tempo, dà un valore finito.

• tutte le altre componenti ruotanoanche dopo il prodotto per e-j2πfkt ilprodotto integrato sul periodo è 0

23


• in definitiva si estrae da g(t) la componente fk congelata con la fase dell’istante t=0.

• un segnale periodico nel tempo ha uno spettro discreto: tutte le armoniche sono multiple di una fondamentale.


45


• g(t) è reale: se esiste fk, a -fk esiste una componente con uguale ampiezza e fase opposta

G(fk) = G*(-fk)

Se le parti immaginarie sono antisimmetriche, la frequenza 0 (DC) ha fase 0 o π ed è sempre reale


46

24


Una funzione x(t), definita nel dominio del tempo, è dettapari (Even) se:

mentre è detta dispari (Odd) se:

Ad esempio, la funzione è unafunzione pari mentre la funzione è unafunzione dispari.

)()( txtx −=)()( txtx −−=

tXtx ωcos)( =tXtx ωsen)( =

f(t)

t

pari dispari

f(t)

t

47Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier


Pertanto:

- la FT di una funzione reale pari è unafunzione reale pari. L’AFT di una funzione realepari è una funzione reale pari.

Re

Imt

Re

Imω

48Considerazioni qualitative sulla serie di Fourier

25


- La FT di una funzione reale dispari è una funzioneimmaginaria dispari. L’AFT di una funzione immaginariadispari è una funzione reale dispari.

Poiché la FT e la AFT sono operazioni lineari,moltiplicando x(t) per una costante anche X(f) vienemoltiplicata per la stessa costante e viceversa. Perciò, sela costante è l’indice immaginario j si ha:

Re

Imt

Re

Im

ω

49


- la FT di una funzione immaginaria pari è unafunzione immaginaria pari. L’AFT di una funzioneimmaginaria pari è una funzione immaginaria pari.

- La FT di una funzione immaginaria dispari è unafunzione reale dispari. L’AFT di una funzione reale dispariè una funzione immaginaria dispari.

Più in generale si ha che:

- la FT di una funzione complessa pari, cioè conparte reale pari e parte immaginaria pari, è una funzionecomplessa pari. L’AFT di una funzione complessa pari èuna funzione complessa pari.- La FT di una funzione complessa dispari è unafunzione complessa dispari. L’AFT di una funzionecomplessa dispari è una funzione complessa dispari.

50

26


Esempio 51

( ) ( )

0

10T1

dt)2cos(dt 1

dt)2cos(1 1

1

0

T

0

T

0

T

00

=

=+=

+=+=

=

∫∫∫

B

Tft

Tft

TA

fT

ππ

( ) )2cos(1 fttg π+=

g(t)

Tt

A

Tt

cos(2πft)A

Tt

sen(2πft)


52

A

T

cos2(2πft)

t

( )

12

T0

T

2dt)ft2(cosdt)ft2cos(

T

2

dt)ft2cos()ft2cos(1 T

2A

T

0

2T

0

T

0

1

=

+=

π+π=

=ππ+=

∫∫

∫

( )

0dt)2()2cos(dt)2( 2

dt)2()2cos(1 2

T

0

T

0

T

01

=

+=

=+=

∫∫

∫

ftsinftftsinT

ftsinftT

B

πππ

ππ

A

T

t

sen(2πft) cos(2πft)= 0.5*sen(4πft)

Esempio

27


Rappresentazione nel piano di Gauss: sovrapposizione dei vettori rotanti

53

ℜe

ℑm

C0

0

1

0

1

1

1

0

0

==

==

ϕϕCC

ω1 = 2πf1ℜe

ℑm

C1

f

Cn

1

0 f1

ϕn

f0 f1

Rappresentazione in modulo e fase:


Rappresentazione grafica 54

f

Gn

1

0 f1

ϕn

f0 f1

Rappresentazione in modulo e fase (2 vettori contro-rotanti):

- f1

- f1

( ) )2cos(1 fttg π+=

1/2

28


55

f

Gn

0 f1

ϕn

f0f1

Rappresentazione in modulo e fase (2 vettori contro-rotanti):

- f1

- f1

( ) )2sen( fttg π=

1/2

π/2

− π/2

Rappresentazione grafica


56

La trasformazione nel dominio delle frequenze definisce lo spettro della g(t), ossia l’insieme dei vettori rotanti definiti dall’analisi di Fourier.

Lo spettro è discreto: ci sono solo le componenti con frequenza nf multipla di quella fondamentale, che vengono dette armoniche.

Nel dominio delle frequenze il segnale g(t) è visto come una sommatoria di ∞ armoniche.

In genere, se il segnale g(t) è continuo e privo di cuspidi, il contributo delle armoniche superiori è via via meno importante, fino ad essere trascurabile nella ricostruzione del segnale.

29


+ ∞

ff

A φ

T

f1

f1=∆f = 1/T

E se la funzione non è periodica???La si rende periodica!!!


La frequenza fondamentale è f1=1/T ove T NON è il periodo dell’armonica più bassa presente nel segnale, bensì la durata di osservazione del segnale.

Lo stesso valore 1/T è poi la distanza tra le righe dello spettro ∆f, detta anche risoluzione in frequenza.

Alcuni esempi hanno lo scopo di chiarire i concetti esposti.

30


Esempi sugli spettri 59

A A

f=1/T f

f

T

A

x(t)

0

Fase 0°

f=1/T

φ


A A

f=1/T f

f

π/2

A

x(t)

T

0

Fase 0°T

f=1/T

φ

Esempi sugli spettri

31


0

T

A

B

AA

1/T f

1/T fB

fase fase 00°°

φ

Esempi sugli spettri


A

φ

+

A

φ

A

φ

+

equivalenza dominio del tempo- dominio delle frequenze

ipotesi di linearità

Spettri

32


In realtà è possibile ricostruire qualsiasi segnale come somma di sinusoidi…

63

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s ]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s ]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s ]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenza [Hz]

Am

pie

zz

a [

EU

]

ONDA QUADRA(periodo 5 s)

1 armonica (I)


64

ONDA QUADRA 2 armoniche (I e III)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s ]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s ]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenza [Hz]

Am

pie

zz

a [

EU

]

Analisi di Fourier

33


65

ONDA QUADRA 3 armoniche

Analisi di Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenza [Hz]

Am

pie

zz

a [

EU

]


66

ONDA QUADRA 4 armoniche

Analisi di Fourier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zza

[E

U]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1

-0.5

0

0.5

1

tempo [s]

Am

pie

zz

a [

EU

]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Frequenza [Hz]

Am

pie

zz

a [

EU

]

34


67

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1Armoniche onda quadra

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

14 armoniche

Armoniche dispari


68Armoniche pari

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5Armoniche onda triangolare

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.84 armoniche

35


Gli spigoli richiedono più armoniche 69


Quali sono le equazioni della serie di Fourier?

70

( )G fT

g(t e dtkj f t

T

Tk=

−∫

1 2

2

2)

/

/π

T− 2/( )G f

Tg(t e dtk

-j2 f tT

k= ∫1 2

)/

π

( )g(t G f e dtkj f t

k

k) ==−∞

∞∑ 2π

( )g(t G f e dtkj f t

kk) =

=−∞

∞∑ 2π

36


Funzioni non periodiche: transitorio 71

Per funzioni g(t) non periodiche si può estendere quanto visto sopra considerando T ∞. In questo caso 1/T 0, per cui c’è continuità tra le varie armoniche nf e lo spettro è una funzione continua della frequenza.

In questo caso la trasformazione dal dominio del tempo al dominio delle frequenze è la Trasformata di Fourier.

QUINDI:

Funzione g(t) periodica nel dominio del tempo spettro discreto nel dominio delle frequenze.

Funzione g(t) non periodica nel dominio del tempo spettro continuo nel dominio delle frequenze.


Studio di un transitorio:l’integrale di Fourier 72

37


Un richiamo alla matematica della trasformata di Fourier

73

Le espressioni matematiche che riguardano questa trasformazione sono:

( )G f g t e dtj ft= −−∞

∞∫ ( ) 2π

( )g t G f e dtj ft( ) =−∞

+∞∫ 2π

Trasformata diretta

Trasformata inversa


Analisi di un segnale acquisito sperimentalmente

74

Per analizzare un segnale si acquisisce per un certo tempo T.

Lasciamo ancora per un attimo da parte che il segnale è digitalizzato, consideriamo il fatto di “osservare” il segnale per un periodo T, detto finestra di osservazione. Fare l’analisi di Fourier di questo segnale significa assumere che esso sia periodico di periodo T:g(t)

T

t

2T

tfinestra

38


75

La cosa può funzionare più o meno bene, in quanto il segnale g(t) acquisito potrà, in genere, presentare una discontinuità in corrispondenza della fine del periodo T di acquisizione:

Per questo motivo possono essere necessari degli accorgimenti che verranno precisati nel seguito

g(t)

T

t

2T

discontinuità



Una corretta scelta della durata della finestra di osservazione è importante per eseguire analisi rappresentative del fenomeno fisico osservato: T deve essere sufficientemente grande per poter “risolvere” tutte le armoniche a minor frequenza presenti nel segnale da acquisire è necessario poter stimare a priori il contributo in frequenza del segnale misurato.

Fatta l’assunzione di periodicità del segnale entro la finestra di osservazione, la g(t) acquisita può essere analizzata attraverso la serie di Fourier.


76

39


77

La serie di Fourier, come visto, produce spettri a righe definiti dalla frequenza 0 (che è il valor medio) alla frequenza ∞. La frequenza fondamentale è f = 1/T, dove T non è più il periodo, ma la finestra di osservazione; f = 1/T è anche la risoluzione in frequenza.

Le prime righe possono essere associate alla scelta della lunghezza della finestra

ϕn

f0

Fase

+∞+∞f

Cn

0

f1

f = ∆f = 1/T

Modulo

valor medio



Altri esempi 78

A A

1/T f

T

A

x(t)

0

40


Altri esempi 79

f

A

1/T 2/T

Modulo

T = finestra di osservazione

1/T = frequenza fondamentaleT/2 = periodo della sinusoide

2/T = frequenza

A

g(t)

0T

t

T > periodo di g(t), anzi, multiplo del periodo del segnale


A

T0 f

Discontinuità !

g(t)

T = finestra di osservazione

1/T = frequenza fondamentale

Ts = periodo sinusoide = 4/3 T

fs = frequenza sinusoide = 3/4 f

A

f f

A

< A

fs

Lo spettro ottenuto evidenzia come non ci sia la frequenza fs e come il valor medio del segnale risulti non nullo (errore di leakage)

80Altri esempi

41


81

ULTERIORE PASSO: ho una funzione g(t) campionata con frequenza fc da t = -∞ a t = +∞ lo spettro è continuo (T ∞; 1/T 0) ma limitato ad una frequenza massima pari a fc /2 per problemi di aliasing.

ULTIMO PASSO, corrispondente al caso reale: la funzione g(t) è campionata con frequenza fc in un intervallo finito di tempo 0-T. La funzione si considera periodica con periodo pari alla durata dell’osservazione lo spettro è allora a righe (perché la funzione è periodica) e limitato ad una frequenza massima fc /2 per problemi di aliasing.



82

Lo strumento che consente di effettuare l’analisi in frequenza di una funzione g(t) campionata per un periodo T è la trasformata discreta di Fourier (DFT). L’algoritmo ottimizzato dal punto di vista numerico, implementato sui calcolatori (ad esempio gli analizzatori di spettro), è la FFT (Fast Fourier Trasform).

FFT ricostruisce il segnale g(t), osservato per un tempo T con frequenza di campionamento fc, con una sommatoria di armoniche sottomultiple di fc :

f1

f

N f

campioni di numeroN NT

t t

1 f

c

c

∆==

=

==∆∆

=

T

TIl generico tempo t è dato da: n∆t (0<n<N-1)

La generica freq. f è data da: k∆f (0<k<N-1)

frequenza fondamentale e risoluzione spettrale


42



84

Il segnale ricostruito è composto da N componenti armoniche (compreso il valor medio a frequenza nulla), ma non tutte sono però utilizzabili a causa dell’aliasing. Sono affidabili solo le armoniche con frequenza minore di fc/2, ossia solo:

frequenze N

)T(

TN

ff

kf fk cc

21222==

∆=⇒=∆

Le frequenze sono sottomultipli di fc (e, ovviamente, multiple di 1/T) :

Nyquist di criterio dal derivaT1

2N

, ,T2

,T1

0, ⇐LL

43


85

Supponiamo di campionare un segnale per 4 secondi con fc=100 Hz:

N°di campioni: N = T/ ∆t = T*fc =4*100 = 400

Risoluzione in frequenza: 1/T = 1/4 = 0.25 Hz

Frequenza massima: fmax = fc/2 = 100/2 = 50 Hz, o anche

fmax = ∆f *N/2 = 0.25 * 400/2 = 50 Hz


Un accenno al significato di finestra 86

Dunque nel caso reale non solo la funzione è campionata, ma anche accade che non è possibile osservarla per una durata infinita. Acquisire il segnale per una durata finita equivale a moltiplicare il segnale x(t) per una funzione w(t), detta FINESTRA RETTANGOLARE o BOXCAR, con le seguenti caratteristiche

0 T

1

Il passaggio attraverso la finestra rettangolare serve per estrarre una parte di segnale da quello originario.Di fatto questo modo di procedere periodicizza la funzione assumedo forzatamente che il periodo della fondamentale sia la finestra di osservazione del segnale.

T t;00)(

01)(

><=<<=

ttw

Tttw

44


Nella realtà si può considerare che il segnale acquisito passi attraverso due stadi : il primo consiste nel moltiplicarlo per la finestra rettangolare w(t), il secondo nel moltiplicare il segnale finestrato per una funzione costituita da una serie di impulsi di ampiezza unitaria ed equispaziati di una quantità ∆t pari all’intervallo di campionamento adottato.

Potranno risultare prive di senso le prime armoniche dello spettro, perché associate a frequenze “forzate” dalla periodicizzazione della funzione, ma quelle superiori, se effettivamente presenti nel segnale, saranno bene evidenziate nello spettro

87


88

Gli analizzatori di spettro, ad esempio, lavorano con un buffer di memoria che consente il campionamento di 1024 punti alla volta. In questo caso il numero N di campioni è 1024 e il numero di righe nello spettro è N/2, ossia 512.

Se scelgo di campionare per T = 20 s, avrò:

risoluzione in frequenza: ∆f = 1/T = 1/20 Hz

intervallo di acquisizione: ∆t = T/N = 0.0195 s

frequenza di campionamento: fc = 1/ ∆t = 51.2 Hz

frequenza massima: fmax = fc /2 = 25.6 Hz

La tabella successiva mostra lo schema di calcolo di queste grandezze, per N fisso, in base al parametro scelto:

45


Parametro scelto N

∆tt2

1f max ∆

= fissotN

1f

tNT

∆=∆

∆=

fmax

maxf21

t =∆ fissotN

1f

tNT

∆=∆

∆=

∆ff

1T

∆= fisso

f2

Nf

N

Tt

max ∆=

=∆

TT

1f =∆ fisso

f2

Nf

NT

t

max ∆=

=∆

Se si vuole aumentare la risoluzione, cioè avere ∆f piccolo devo aumentare la durata T dell’acquisizione

Se si vuole avere fmax elevata devo aumentare la frequenza di campionamento fc.

89


Nota bene 90

Se si desidera alzare la risoluzione in frequenza, non ha alcun senso operare sulla frequenza di campionamento, bensì sulla durata del campionamento, che deve essere aumentata.

Se l’obiettivo è quello di riconoscere la presenza di una particolare frequenza, senza interesse per il valore in ampiezza di quell’armonica, è tecnica diffusa quella di aggiungere alla storia temporale una sequenza di zeri.

Se, viceversa, interessa aumentare la massima frequenza osservabile, bisogna alzare la fs

46


A testimonianza che gli algoritmi di Fourier si possono applicare a tutte le funzioni, si mostra che il discorso è valido anche per la funzione che definisce la finestra rettangolare di ampiezza 1

1h(t)

-T/2 T/2

T

1/T-1/T-

2/T2/T

3/T-3/T

H(f)

f

FOURIER

( ) ( ) [ ]

2

2sen

2

2

1

22

22

2

2

2

2

T

T

TT

j

eeT

j

ee

ej

dtedtethjH

Tj

Tj

Tj

Tj

T

Ttj

T

Ttjtj

ω

ω

ωω

ωω

ωωωω

ωωω

=

−

=−=

=−===

−−

−

−

−

−∞

∞−

−∫∫

Funzione non campionata ( ) ( )

x

xsinfH =

91


COME SI ESEGUE LA FFT

92

47


Interessa fornire qualche indicazione su comeoperativamente si esegue la FFT. Tutti i programmihanno nelle loro librerie la funzione FFT, che però nonfornisce direttamente lo spettro. Le più datate accettanosolo storie temporali composte da un numero di puntipari a 2n. In tal modo vengono sfruttate le simmetriedelle funzioni circolari per eseguire più rapidamente leoperazioni; tuttavia la velocità dei calcolatori riesce a farsì che, pur partendo da un base di dati qualsiasi, siapossibile eseguire la sequenza di operazioni in tempibrevi e più che ragionevoli.

93


Le routines di FFT dunque accettano in ingresso una sequenza di N valori campionati.

Viene restituita una sequenza di N numeri complessi; dal momento che ogni numero complesso consta di parte reale ed immaginaria, e non è possibile ottenere informazioni maggiori rispetto a quelle di partenza (N), solo metà dei numeri restituiti avranno un significato, dunque le informazioni utili saranno nei primi N/2 numeri complessi, mentre i dati contenuti nei secondi N/2 punti saranno ridondanti.

94

48


Alla FFT non è data alcuna informazione sullascala dei tempi, sulla frequenza dicampionamento, dunque è compitodell’operatore costruire la scala dei tempi.

Si utilizza un esempio per scenderemaggiormente nel dettaglio delle operazioni dacompiere per arrivare ad ottenere lo spettro di unsegnale.

95


Esempio 96

0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

8 cicli

f = 1 Hz

Ampiezza= 2unità

s

V

49


Si prende il vettore dei dati e si chiama la FFT o similare:

N punti della storia temporale

FFTN numeri complessi

… …

97


1.0e+002 *

0.0000

-0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

0.5023 - 7.9842i

-0.0000 + 0.0000i

8 riga

Solo reale

98

50


1.0e-005 *

0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0095 + 0.1503i

0.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

-0.0000 + 0.0000i

-0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0000 + 0.0000i

0.0000 - 0.0000i

0.0095 - 0.1503i

Cplx conjmetà

99


0 200 400 600 800-20

0

20

40

60

[N punti]

[V]

Parte reale della fft

100

51


0 200 400 600 800-1000

-500

0

500

1000

[N punti]

[V]

Parte immaginaria della fft

101


0 200 400 600 8000

200

400

600

800

1000

[N punti]

[V]

Modulo della funzione di trasferimento

non Hz

Ampiezza errata

102

52


Come si trattano i dati 103

tem

pi

cana

le1

cana

le2

cana

le nMATRICE DATI

t0

Diversi formati:ASCII, binario (integer, real…)


%%%% Asse delle frequenze

dt=dati(2,1)-dati(1,1);

freq=(1/dt)/N*(0:(N/2-1));

risoluzione in frequenza

Solo la prima metà del vettore

11

TNdt=

104

53


%%%% Modulo e fase dello spettro

mod(2:(N/2))=2/N*abs(spe(2:(N/2)));

mod(1)=spe(1)/N;

Per recuperare il valore corretto dell’ampiezza si dividono tutte le righe dello spettro per N/2.

105


FFTDivisione per N:

106

54


Prodotto delle righe per 2.Serve perché se considero le prime N/2 righe, ho le ampiezze dei vettori corrispondenti alla sola parte positiva (o negativa) delle frequenze, quindi pari a metà dell’ampiezza del segnale di partenza.

La sola armonica 0, ricoprendosi su se stessa, va divisa solo per N.

107


Spettro completo 108

0 10 20 30 40 500

1

2

3

[Hz]

[V]

0 10 20 30 40 50-5

0

5

[Hz]

[deg

] Significato fase

55


Si ricorda che esiste un altro metodo, semplice, per ricavare lo spettro, ricordando che per i numeri complessi il prodotto di un numero per il suo complesso coniugato è pari al quadrato del suo modulo

Dunque, se prelevo il vettore in uscita della FFT e lo moltiplico per il suo complesso coniugato, otterrò, in corrispondenza ad ogni riga, il quadrato delle ampiezze delle righe dello spettro (ovviamente anche in questo caso si ha la normalizzazione legata al numero di punti acquisiti N). In tal caso si parla di Power Spectrum (Spettro di potenza).

( )( ) 22222 babiiabiabaibaiba +=−+−=−+

109


Spesso, quando lo spettro del segnale di partenza è continuo (trasformata di Fourier), si incontra anche la Densità di potenza spettrale. In questo caso le unità di misura sono (unità grandezza2/Hz). In tal caso è necessario effettuare una integrazione su una banda finita per ottenere un valore di energia finita.

110

56


Spettro: nuova storia 111

0 2 4 6 8-2

-1

0

1

2

8 cicli

f = 1 Hz

Ampiezza= 2unità


Spettro completo 112

Che cosa è cambiato rispetto al caso precedente?

0 10 20 30 40 500

1

2

[Hz]

[V]

0 10 20 30 40 50-5

0

5

[Hz]

[deg

]

Significato fase

57


Nel primo caso all’interno della finestra erano contenuti un numero intero di cicli il periodo del segnale è un sottomultiplo della finestra di osservazione.

Viceversa, nel secondo caso, nella finestra osservata sono presenti N(interi)+una frazione di ciclo del segnale armonico: questo comporta una stima errata sia della frequenza del picco, sia dell’ampiezza.

113


Questo avviene perché la frequenza che dovrebbe avere il segnale nello spettro discreto sta a metà strada tra due delle righe disponibili.

Viene salvato il contenuto globale di energia, ma portandolo su più righe di ampiezza minore

114

58


EFFETTO FINESTRA

115


Effetto finestra 116

Si torna ora al problema del legame tra il periodo della funzione e la durata T della finestra di osservazione. Lo spezzone di segnale acquisito non contiene necessariamente un numero intero di periodi; tuttavia, calcolarne la DFT implica rendere il segnale periodico di periodo T.

Il risultato è una approssimazione dello spettro “vero”, a meno dell’effetto “finestra”.

Definiamo:

T = durata dello spezzone di segnale acquisito

T0 = periodo (vero!) del segnale

dovrà essere T >> T0

59


L’effetto finestra consta a sua volta di due termini:

A) dilatazione delle righe spettrali: al posto delle righe spettrali si osservano picchi a banda stretta ma finita.

Questo è dovuto al fatto che la riga teorica associata alla frequenza del segnale non si trova in una delle posizioni “consentite” da Fourier (lunghezza della finestra non multipla del periodo del segnale). Il contenuto energetico del segnale si “sparge” su parecchie righe dello spettro.

Tale errore va sotto il nome di errore di leakage.

La larghezza delle bande si restringe sempre di più all’aumentare di T, cioè all’aumentare della risoluzione in frequenza.

Effetto finestra


g(t)

T

t

segnale di cui si valuta lo sviluppo in serie

Se ad esempio il segnale acquisito è una sinusoide e T=2.5 T0:

B) creazione di picchi artificiali dovuti alla eventuale presenza di periodi non completi agli estremi dello spezzone

Effetto finestra

60


… si ottiene il seguente risultato:

Frequenza [Hz]

amp

ff000

f0

f0 = 1/T0

Il contenuto energetico del segnale si ‘sparge’ su diverse righe anziché su una soltanto: l’ampiezza della banda a frequenza f0 è minore dell’ampiezza della sinusoide.

All’aumentare della durata T: la banda delle righe si riduce i lobi laterali si stringono

attorno al lobo centrale la loro altezza non diminuisce

Effetto finestra


Usare solo il segnale all’interno della finestra di osservazione per calcolare lo spettro può essere interpretato come calcolare la trasformata della funzione moltiplicata per una funzione “finestra” che vale 1 per 0 < t < T e 0 per altri valori di t.

Se il fenomeno oggetto delle misure è periodico e di periodo misurabile (ad esempio una macchina rotante), posso pensare di legare la durata della finestra di osservazione al periodo del fenomeno (acquisizione sincrona): ho così eliminato tutti i problemi dell’effetto finestra

61


Finestre di osservazione speciali 121

Se il fenomeno oggetto delle misure non è periodico, o, comunque, non si può effettuare un’acquisizione sincrona:

Poiché la coesistenza dei due fenomeni dell’effetto finestra (comparsa di bande di ampiezza ridotta anziché di righe con ampiezza corretta, comparsa di lobi laterali) può dar luogo a difficoltà di interpretazione dello spettro, spesso conviene eliminarne uno dei due, sia pure a costo di un peggioramento dell’altro.

I lobi laterali sono dovuti ad un effetto di bordo, cioè alla presenza di frammenti di periodo agli estremi del segnale.

Per ridurre l’effetto di bordo, posso pensare ad un metodo che “smussi” i punti singolari agli estremi della finestra: questo metodo potrebbe consistere nell’adozione di nuove “finestre”, che ad esempio, pur distorcendo il segnale, lo obblighino ad avere lo stesso valore all’inizio ed alla fine della finestra, e magari anche con la stessa derivata:


g(t)

T

t

2T

62


Esempio: applicazione della finestra cosinusoidale al segnale visto in precedenza:

123

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

segnale

finestra


Il risultato del pre-trattamento è il seguente: 124

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

Segnale

finestrato

63


Lo spettro che si ottiene è il seguente: 125

Frequenza [Hz]

amp

ff000

f0

finestra rettangolarefinestra cosinusoidale


0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Modulo dello spettro

Frequenza [Hz]

0 1 2 3 4-1

-0.5

0

0.5

1Storia temporale

Tempo [s]

Numero intero di cicli nella storia temporale

Esempi

64


127

Esempi

t

Impulso

f

0 1 2 3 4-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5Storia temporale

Tempo [s]0 2 4 6 8 10

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Modulo dello spettro

Frequenza [Hz]

2 armoniche


128

0 0.05 0.1 0.15 0.2-1

0

1

Tempo [s]

Rumore random

0 500 1000 1500 2000 25000

0.01

0.02

Hz

Esempi

65


Spettri 129

SEGNALE DI FORZA NEL DOMINIO SEGNALE DI FORZA NEL DOMINIO DEL TEMPODEL TEMPO


SEGNALE DI FORZA NEL DOMINIO SEGNALE DI FORZA NEL DOMINIO DELLE FREQUENZEDELLE FREQUENZE

Spettri

66


Spettri 131

STORIA TEMPORALE REGISTRATA DA UN MICROFONO AL PASSAGGIO DI UN CONVOGLIO

FERROVIARIO

0 2 4 6 8 10 12-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

Tempo [s]

Pre

ssio

ne [P

a]Storia temporale delle pressioni


Spettri 132

SPETTRO REGISTRATO DA UN MICROFONO AL PASSAGGIO DI UN CONVOGLIO FERROVIARIO

200 300 400 500 600 700 800 900 10000

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09Frequency spectra of a single raw microphone

[Hz]

[Pa]

67


Esempi 133

STADIO DI SAN SIRO: VIBRAZIONI COPERTURA TERZO ANELLO QUANDO VIENE SEGNATO UN GOL

Incontro INTER JUVENTUS

4 aprile 2004


134

68


135

PRONTEZZA, RIPRESAPRONTEZZA, RIPRESAL’obiettivo ideale sarebbe, dato un certo L’obiettivo ideale sarebbe, dato un certo ingresso sinusoidale, avere un’uscita pure ingresso sinusoidale, avere un’uscita pure sinusoidale con un fattore di amplificazione sinusoidale con un fattore di amplificazione costante al variare della frequenza e con costante al variare della frequenza e con sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è sfasamento nullo (si vedrà poi che sulla fase è possibile adottare regole meno restrittive)possibile adottare regole meno restrittive)

qqii

qqoo


136

Viceversa, la presenza della funzione di Viceversa, la presenza della funzione di trasferimento, per ciascuna delle frequenze trasferimento, per ciascuna delle frequenze considerate, opera una trasformazione che considerate, opera una trasformazione che modifica il modulo (da Amodifica il modulo (da Aii a Aa Aoo) e la fase (che ) e la fase (che significa un ritardo nel tempo). Nell’ottica di significa un ritardo nel tempo). Nell’ottica di studiare le prestazioni di uno strumento, queste studiare le prestazioni di uno strumento, queste modifiche sulle diverse armoniche (sinusoidi) che modifiche sulle diverse armoniche (sinusoidi) che formano il segnale di ingresso, devono essere formano il segnale di ingresso, devono essere tali per cui il segnale in uscita, ottenuto come tali per cui il segnale in uscita, ottenuto come somma delle risposte ai singoli segnali semplici somma delle risposte ai singoli segnali semplici in ingresso, deve avere “lo stesso aspetto” di in ingresso, deve avere “lo stesso aspetto” di quello ricevuto in ingresso, il che significa lo quello ricevuto in ingresso, il che significa lo stesso segnale, al più moltiplicato per una stesso segnale, al più moltiplicato per una costante e traslato nel tempo.costante e traslato nel tempo.

69


137

Lo strumento effettua correttamente queste operazioni solo in una banda compresa tra due frequenze fmin ed fmax, la banda in cui lo strumento è PRONTO.


138

Ai

Ao

ω

φι

φο

t

x(t)

Segnale originale

Amplificazione

Ritardo

70


139

Studio del Studio del comportamentcomportamento dinamico o dinamico degli strumenti: degli strumenti: due possibilitàdue possibilità

ANALITICAANALITICA: è nota l’equazione : è nota l’equazione dello strumento (si tratta comunque dello strumento (si tratta comunque di un modello, di una di un modello, di una semplificazione, non è una semplificazione, non è una descrizione completa dello descrizione completa dello strumento)strumento)

SPERIMENTALESPERIMENTALE: non è nota : non è nota l’equazione dello strumento o è l’equazione dello strumento o è troppo complessa; è comunque la troppo complessa; è comunque la via più sicura per eseguire una via più sicura per eseguire una TARATURA DINAMICATARATURA DINAMICA

Lez 14 Fourier [modalit compatibilit ]misure.mecc.polimi.it/files/Materiale...

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