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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZE DIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE Sezione Geotecnica Serie e trasformate di Fourier brevi richiami Dott. Ing. Alberto Puliti
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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI FIRENZEDIPARTIMENTO DI INGEGNERIA CIVILE e AMBIENTALE
Sezione Geotecnica
Serie e trasformate di Fourierbrevi richiami
Dott. Ing. Alberto Puliti
“Un qualsiasi segnale periodico x(t), con periodo T, sotto alcunecondizioni matematiche (x limitata e monotona a tratti), puòessere rappresentato dalla somma di funzioni sinusoidali pure diopportuna ampiezza e di frequenza multipla di f = 1/T (serie diFourier).”
Teorema di Fourier
prof. ing. Claudia MadiaiCorso di Ingegneria Geotecnica Sismica
Fourier).”
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In particolare, la serie di Fourier può essere espressa in trediverse forme, tra loro equivalenti:
� Forma trigonometrica “base” (in seni e coseni);
� Forma trigonometrica in ampiezza e fase;
� Forma esponenziale complessa.
FORMA TRIGONOMETRICA BASE
Serie di Fourier
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(((( )))) (((( ))))∑∑∑∑∞∞∞∞
====
++++++++====1n
nnnno tsinbtcosaatx ωωωωωωωω
con
(((( ))))∫∫∫∫====T
0
nn dttcos)t(xT
2a ωωωω (((( ))))∫∫∫∫====
T
0
nn dttsin)t(xT
2b ωωωω∫∫∫∫====
T
0
o dt)t(xT
1a
33
T
nn
πω 2= ...3,2,1=n
FORMA TRIGONOMETRICA IN AMPIEZZA E FASE
Serie di Fourier
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( ) ( )[ ]∑∞
=
++=1
sinn
nnno tcctx ϕω
ampiezza fase iniziale
con
22nnn bac +=
= −
n
nn b
a1tanϕ0aco =
44
=1n
fase
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA
Serie di Fourier
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( ) ( )∑+∞
−∞=
⋅=n
tin
nectx ω*
con
∫=
=
−⋅=Tt
t
tin dtetx
Tc n
0
* )(1 ω
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−∞=n
...3,2,1,0,1,2,3...: −−−∈ Zn
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA
Serie di Fourier
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La scrittura nella forma esponenziale complessa, moltocompatta, è utile perché semplifica notevolmente i calcoli. Essaderiva dalla formula di Eulero, che correla la rappresentazioneesponenziale e trigonometrica dei numeri complessi:
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ααα sincos ⋅+= iei
da cui
2cos
αα
αii ee −+=
2sin
αα
αii ee
i−−⋅−=
FORMA ESPONENZIALE COMPLESSA
Serie di Fourier
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Sostituendo nell’espressione trigonometrica “base”:
∑∞
=
−
++−+=1
0 22)(
n
tinntinn nn eiba
eiba
atx ωω
posto:
0*0
ac =
2* nnn
ibac
−=2
* nnn
ibac
+=−
77
20c =2nc =
2nc =−
( )∑∞
=− ⋅+⋅+=
1
***0)(
n
tin
tin
nn ececctx ωω
si può scrivere:
e, raccogliendo:
∑+∞
−∞=
⋅=n
tin
nectx ω*)(
∫=
=
−⋅=Tt
t
tin dtetx
Tc n
0
* )(1 ω
con (di nuovo sostituendo la formula di Eulero nelle espressioni di a0, an e bn, e quindi di c0, cn e cn)
Spettri di Fourier
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Il coefficiente cn* è un numero complesso, e, come tutti i numeri
complessi, è dotato di un modulo e di un argomento.Facendo riferimento alla rappresentazione grafica dei numeri complessi(in cui la parte reale è rappresentata sull’asse delle ascisse e quellaimmaginaria sull’asse delle ordinate), il modulo di un numero z=a+ib,|z|, è la distanza della coppia (a,b) dall’origine, l’argomento arg(z)=θ èl’angolo che la congiungente il punto (a,b) con l’origine fa con l’assedelle ascisse positive, misurato in senso antiorario.
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delle ascisse positive, misurato in senso antiorario.
Spettri di Fourier
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cn* (e quindi il suo modulo e il suo argomento) può essere visto come
una funzione di ωn: al variare di n, e quindi di ωn, esso assume valorediverso. Il grafico che descrive il valore di |c *| al variare di ω è detto
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diverso. Il grafico che descrive il valore di |cn*| al variare di ωn è detto
spettro di Fourier delle ampiezze, il grafico che descrive il valore diarg(cn
*) al variare di ωn è detto spettro di Fourier delle fasi. Il primo deidue è quello che in genere ha il maggior interesse dal punto di vistaapplicativo, e ad esso si farà d’ora in poi riferimento quando si parleràdi “spettro”.
Spettri di Fourier
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Se la funzione x(t) è un’armonica, la corrispondente serie di Fourier haun solo termine diverso da 0, ed allo stesso modo il suo spettro ècomposto da un solo elemento.
Se la funzione x(t) è la somma di un numero finito di armoniche, lacorrispondente serie di Fourier ha un numero finito di termini diversoda 0, ed allo stesso modo il suo spettro è composto da un numerofinito di elementi.
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finito di elementi.
Spettri di Fourier
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Se la funzione x(t) non è una funzione trigonometrica, ma è periodicadi periodo T, la corrispondente serie di Fourier ha un numero infinito ditermini diverso da 0, ed allo stesso modo il suo spettro è composto daun numero infinito di elementi. Si tratta però di un’infinità numerabile,che dà luogo ad una spezzata.
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Spettro di Fourier di un’onda quadra
Trasformata di Fourier
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Se la funzione x(t) non è una funzione trigonometrica, e non è neancheperiodica, ma è soltanto definita su tutto l’asse reale (eventualmentecon valore nullo al di fuori di un certo intervallo), si definiscetrasformata di Fourier la funzione:
∫+∞
∞−
−⋅= dtetxx tiωω )()()
Questa funzione ha forma analoga a quella dei coefficienti cn*, ed
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Questa funzione ha forma analoga a quella dei coefficienti cn*, ed
anche lo stesso significato matematico. In questo caso, però, ilparametro di frequenza ω non assume una infinità numerabile di valori,ma un’infinità continua. Di conseguenza, anche gli spettri di Fourierdelle ampiezze e delle fasi (rispettivamente e ) non sonopiù funzioni discrete, ma continue, definite su tutto l’asse reale.
Si può passare, con procedimento opposto, da a x(t), eseguendol’antitrasformata di Fourier:
)(ωx) ( ))(arg ωx
)
∫+∞
∞−
⋅= ωω ω dextx ti)(ˆ)(
)(ωx)
Trasformata di Fourier
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Spettro di Fourier di un segnale irregolare aperiodico
Trasformata di Fourier discreta
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Un terremoto è un segnale non periodico. Se ne può dunque definire latrasformata di Fourier. Tuttavia, per la sua elaborazione, il segnale, cheè continuo, viene discretizzato, perché viene campionato in un numerofinito di punti (di istanti temporali), tk, tra loro distanti ∆t. L’operazionedi integrale si trasforma così in un’operazione di sommatoria.
∑=
−⋅∆=N
k
tikn
knetxtx1
)()( ωω) Trasformata di Fourier discreta n
n =∆⋅= πωω 2
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=k 1 Fourier discreta
∑=
⋅∆=N
n
tink
knextx1
)()( ωωω Antitrasformata di Fourier discreta
Il fatto che i punti di campionamento siano in numero finito (N) fa sìche si possa analizzare soltanto un intervallo limitato di frequenze.D’altra parte, è sufficiente fare riferimento al campo di interesse (siaper quanto riguarda la frequenza fondamentale del terremoto sia perquanto riguarda la frequenza propria degli edifici). Generalmente, lafrequenza massima considerata è f=25 Hz, mentre la minima è unvalore comunque piccolo (ma ovviamente diverso da 0), ad esempiof=0.05 Hz.
tN
nnn ∆⋅
=∆⋅= πωω 2
Trasformata Veloce di Fourier (FFT)
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Eseguire la trasformata di Fourier discreta applicando le formuleprecedenti comporta un costo computazionale elevato. Per questo, siutilizza un algoritmo diverso, detto Trasformata Veloce di Fourier (FFT– Fast Fourier Transform; Cooley & Tuckey, 1965).
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Per applicarla è necessario che i punti campionati siano in numero pariad una potenza di 2. Per questo motivo, occorre, dopo il termine delsegnale, aggiungere, con passo analogo a quello di campionamento,punti con ordinata nulla, fino ad ottenere una quantità totale pari allaprima potenza di 2 superiore al numero di punti campionati delsegnale. Questo “rumore bianco” serve anche per ridurre al minimol’approssimazione indotta dalla discretizzazione.
Frequenza di Nyquist
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Per quanto riguarda il passo di campionamento, esso deve esserescelto con attenzione. Il Teorema di Nyquist stabilisce infatti che “ognicomponente in frequenza del segnale che sia significativa deve esserecampionata da almeno due punti per periodo”. In caso contrario, si puòavere una perdita e una alterazione delle informazioni contenute nelsegnale. In particolare, se il passo di campionamento temporale non èsufficiente per una descrizione corretta delle frequenze più elevate,
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sufficiente per una descrizione corretta delle frequenze più elevate,queste subiscono il cosiddetto fenomeno di aliasing, ovvero vengono“scambiate” con frequenze più basse.
Di conseguenza, detta fc la massima frequenza significativa contenutanel segnale, questa deve essere legata al passo di campionamento ∆tdalla disequazione:
tfc ∆⋅
≥2
1
La frequenza è detta frequenza di Nyquist. Deve dunque
sempre risultare .
tfN ∆⋅
=2
1
cN ff ≥
Frequenza di Nyquist
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Campionamento insufficiente del segnale originario (a tratto continuo) e conseguente aliasing con un segnale a frequenza inferiore (a tratteggio)
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Campionamento adeguato del segnale (3 punti per periodo)
