Analisi di Fourier - DIMA | Dipartimento di Matematicadelprete/APPLICATA/@@dispenseall.pdf · Serie...

Analisi di Fourier

Una introduzione alla teoria

e applicazioni

Dispense A.A. 2013/2014

1

Prefazione

Fu agli inizi del diciannovesimo secolo che Joseph Fourier ebbe la straordinaria in-tuizione che ogni funzione periodica si potesse scrivere come somma di infiniti senie coseni. Nella sua memoria Teoria analitica del calore (1807) affronto e risolse ilproblema di diffusione del calore: trovare come varia nel tempo la temperatura diun corpo di cui e nota la temperatura iniziale p1q. Fourier derivo dalle leggi dellafisica l’ equazione differenziale del calore; nel risolvere l’equazione in casi particolaricome una lamina, una sbarra, una sfera trovo gli sviluppi in serie di seni e coseni.L’affermazione di Fourier “ogni funzione definita su un intervallo limitato puo es-sere scritta come somma di infiniti seni e coseni,” (inesatta) fu molto criticatadai grandi matematici del suo tempo come Lagrange e Laplace perche scardina-va un credo: essi erano convinti che la somma (finita o infinita) di seni e cosenidovesse necessariamente essere infinitamente differenziabile. Infatti le loro obiezio-ni all’affermazione di Fourier non riguardavano tanto la convergenza della serie ol’integrabilita della funzione, quanto il fatto che fosse possibile scrivere una fun-zione non derivabile come somma di seni e coseni. La disputa che ne scaturı eracomplicata dal fatto che molti concetti di base non erano ancora chiari: la nozionedi somma di una serie era ancora imprecisa, e persino sul concetto di funzione vierano opinioni diverse. Una gran parte dell’analisi matematica che si e sviluppatasuccessivamente e stata dedicata al tentativo di rendere precise le affermazioni diFourier.Sebbene le affermazioni di Fourier non fossero esatte e le argomentazioni non rigo-rose, le sue idee e la sua intuizione furono molto profonde e precorsero di decennilo sviluppo della teoria. Oggi l’analisi di Fourier e uno strumento potente e usatolargamente in matematica, fisica, ingegneria, chimica, astronomia, geofisica.Queste note sono organizzate come segue: nel primo capitolo studiamo le serie diFourier e ne mostriamo alcune applicazioni alle equazioni differenziali. Il CapitoloII e dedicato all’integrale di Fourier per le funzioni assolutamente integrabili e perle funzioni di quadrato sommabile su R. Nel Capitolo III studiamo la trasformata diFourier discreta e della Fast Fourier Transform, un algoritmo per il calcolo efficientedella trasformata di Fourier. L’esistenza di questo algoritmo ha esteso enormemen-te l’uso della trasformata di Fourier negli ultimi 30 anni. Infine il Capitolo IV ededicato ad una introduzione all’analisi in tempo frequenza e alla trasformata diGabor (1946).Queste dispense sono una versione estesa delle lezioni del corso Analisi di Fourierper la laurea magistrale del corso di laurea in matematica, presso l’Universita diGenova. Si assume che lo studente abbia familiarita con il programma della prima

2

parte di Istituzioni di Analisi Superiore.Gli esercizi sono alla fine di ogni capitolo, quelli contrassegnati con uno o piuasterischi sono piu difficili. Alcune dimostrazioni sono lasciate per esercizio e ge-neralmente viene indicato l’esercizio relativo.Gli studenti sono incoraggiati a consultare altri libri, per esempio quelli contenutinella bibliografia e quelli consigliati sulla pagina Web del corso.Tutti i grafici sono stati realizzati con Matlab.

Capitolo I

Serie di Fourier

Regarding the researches of d’Alembert and Euler couldone not add that if they knew this expansion, they madebut a very imperfect use of it. They were both persuadedthat an arbitrary and discontinuous function could neverbe resolved in series of this kind, and it does not even seemthat anyone had developed a constant in cosines of multiplearcs, the first problem which I had to solve in the theory ofheat.J. Fourier 1808-9

In questo capitolo studiamo le serie di Fourier e mostriamo alcune loro applicazioni.Il capitolo e organizzato come segue: la Sezione 1 contiene notazioni e richiami sul-lo spazio L2

T delle funzioni periodiche di quadrato sommabile sull’intervallo r0, T se sulle loro serie di Fourier. Come noto, lo spazio L2

T e uno spazio di Hilbert ela serie di Fourier di una funzione di questo spazio altro non e che il suo svilupporispetto ad una particolare base ortonormale, che converge in norma. La Sezione2 e dedicata allo spazio L1

T delle funzioni periodiche di periodo T assolutamenteintegrabili su r0, T s. La serie di Fourier di queste funzioni in generale non rappre-senta la funzione ne in senso classico (cioe come somma puntuale) ne nel senso dellaconvergenza in norma. Tuttavia, vedremo che e possibile estendere la nozione diconvergenza della serie di Fourier di una funzione in L1

T introducendo la nozionedi nucleo di sommabilita o identita approssimata. In questo modo si giunge ad unanuova rappresentazione della funzione mediante i suoi coefficienti di Fourier ed epossibile ricostruire la funzione a partire da essi.Nella Sezione 3 dimostriamo che, se una funzione e sufficientemente regolare, e som-ma della sua serie di Fourier e la serie converge puntualmente; inoltre mettiamoin relazione la rapidita di convergenza della serie con la regolarita della funzione.Anche la Sezione 4 contiene dei risultati di convergenza puntuale, come il teoremasulle funzioni con discontinuita a salto e una discussione del fenomeno di Gibbs;quest’ultimo riguarda il modo in cui convergono le somme parziali delle serie diFourier di funzioni con salto. Le ultime tre sezioni sono dedicate ad applicazio-ni della teoria svolta alle equazioni differenziali per l’equazione del calore su unasemiretta, l’equazione di Laplace e l’equazione del calore su un filo circolare. In

4 Cap. I . Serie di Fourier.

questi esempi otterremo delle formule risolutive seguendo un procedimento pura-mente euristico, trascurando percio tutte le questioni sull’esistenza e unicita dellesoluzioni che sono state viste nel corso Equazioni Differenziali.

1 . Serie di Fourier di funzioni di quadrato integrabile

Denoteremo con `p, 1 ď p ă 8, lo spazio delle successioni c “ pcnqnPZ di numericomplessi tali che

ř

nPZ |cn|p ă 8, munito della norma

clp “´

ÿ

nPZ|cn|

p¯

1p

.

Con `8 denoteremo lo spazio delle successioni, definite su Z, limitate, munito dellanorma

cl8 “ sup |cn|.

Lo spazio `p, 1 ď p ď 8, e uno spazio di Banach. Lo spazio `2 e anche uno spaziodi Hilbert, con prodotto interno

pb, cq`2 “ÿ

nPZbncn.

Denoteremo con C0T lo spazio delle funzioni reali a valori complessi, periodiche di

periodo T, continue su R, munito della norma

fC0T“ maxr0,T s

|fpxq|.

Con CkT , k ą 0, denoteremo lo spazio delle funzioni periodiche di periodo T,continue su R con tutte le derivate fino all’ordine k, munito della norma

fCkT “ max0ďjďk

BjfC0T“ max

0ďjďkmaxr0,T s

|Bjfpxq|.

Con C8T denoteremo lo spazio delle funzioni appartenenti a CkT per ogni k ą 0 p2q.Un polinomio trigonometrico e una espressione della forma

(1.1)ÿ

|k|ďn

ake2πikxT ,

con n P N; i numeri k che appaiono in (1.1) si chiamano frequenze. Il piu grandeintero k tale che |ak| ` |a´k| “ 0 e chiamato grado del polinomio. Denoteremo conPT l’insieme dei polinomi trigonometrici (1.1).

Denoteremo con LpT , 1 ď p ă 8, lo spazio delle funzioni su R, periodiche diperiodo T, tali che |f |p e integrabile sull’intervallo r0, T s, munito della norma

fp “´ 1

T

ż T

0

|fpxq|p dx¯

1p

Cap. I , n. 1 . Serie di Fourier di funzioni di quadrato integrabile 5

p3q. Come noto dal corso di Istituzioni di Analisi Superiore, si tratta di uno spaziodi Banach e L2

T e uno spazio di Hilbert con prodotto interno

pf, gq “1

T

ż T

0

fpxqgpxqdx.

Con L8T denoteremo lo spazio delle funzioni definite quasi ovunque su R, periodichedi periodo T, essenzialmente limitate, munito della norma

f8 “ supxPr0,T s

ess|fpxq|.

Gli spazi LpT sono invarianti per traslazioni; infatti siano f P LpT , h un numero realee denotiamo con τh la funzione τhfpxq “ fpx´ hq. Si ha

(1.2) f P LpT ô τhf P LpT , fp “ τhfp.

(vedi Esercizio 1.1). Ci riferiremo a questa proprieta come l’invarianza per trasla-zioni dello spazio LpT .

La famiglia di funzioni te2πT inx, n P Zu e una base ortonormale di L2

T , cioe un si-stema ortonormale completo. Dunque gli elementi della famiglia sono ortogonalia due a due, hanno norma 1 e ogni elemento dello spazio si puo rappresentare inmaniera unica come combinazione lineare infinita degli elementi della base. Deno-teremo con f “ pfpnqqnPZ la successione dei coefficienti di Fourier di una funzionef P L2

T rispetto a tale base:

(1.3) fpnq “ pf, e2πT inxq “

1

T

ż T

0

fpxqe´2πT inxdx n P Z.

Dalla teoria degli spazi di Hilbert (corso di Istituzioni di Analisi Superiore) si ha ilseguente

Teorema 1.1. Sia f P L2T . Allora

(1.4) f “ÿ

nPZfpnqe

2πT inx

dove la serie, detta serie di Fourier di f, converge in norma p4q. Si ha

(1.5) f2 “´

ÿ

nPZ|fpnq|2

¯12

.

Inoltre, data una successione pcnq soddisfacente la condizioneř

n |cn|2 ă 8, esiste

un’unica funzione f P L2T tale che cn “ fpnq, n P Z.

Siano infine f e g P L2T allora

(1.6)1

T

ż T

0

fpxqgpxq dx “ÿ

nPZ

pfpnq gpnq.


La relazione (1.5) si chiama identita di Parseval, talvolta ci si riferisce alla (1.6) colnome di identita di Parseval polarizzata. Dunque i coefficienti di Fourier rappre-sentano la funzione in modo unico perche ci permettono di ricostruire la funzionef attraverso (e nel senso) della relazione (1.4). Questa operazione di ricostruzioneviene anche detta di sintesi, mentre la determinazione delle funzioni elementaripfpnqe

2πT inx, n P Z viene detta di analisi.

Si noti che dal teorema segue subito che PT e denso in L2T . Inoltre i due spazi L2

T

e `2 sono isomorfi come spazi di Hilbert. Infatti l’applicazione p : L2T Ñ `2 definita

dapf “

´

pfpnq¯

nPZ

chiamata Trasformata di Fourier, e una applicazione biunivoca che preserva la

struttura lineare di L2T perche pαf ` βgqpnq “ α pfpnq ` βpgpnq per ogni n P Z,

e α, β P C. Inoltre preserva la struttura metrica, perche conserva le distanze e iprodotti interni (vedi le (1.5) e (1.6)).Osserviamo infine che la successione dei coefficienti di Fourier di una funzione L2

T

e infinitesima per |n| Ñ `8. Questo risultato, che segue subito dalla identita diParseval (1.5), viene chiamato Teorema di Riemann-Lebesgue.Per semplicita d’ora in poi fisseremo T “ 2π. I risultati che otterremo si possonoscrivere facilmente per un periodo generico T.Oltre alla base ortonormale E “ teikx, k P Zu di L2

2π e molto utile anche la seguentebase reale

S “ t1,?

2 sin kx,?

2 cos kx, k P Nu.

La relazione fra i coefficienti di Fourier secondo le due basi e fornita nell’Esercizio1.2 nella Sezione 9 di questo capitolo.Interpretiamo i precedenti risultati con un esempio tratto dall’ingegneria elettrica.Un segnale elettrico periodico di periodo 2π si rappresenta mediante una funzionedel tempo f periodica di periodo 2π. L’energia del segnale e rappresentata dallanorma

f2 “´ 1

2π

ż 2π

0

|fptq|2 dt¯

12

.

Quindi i segnali 2π´periodici di energia finita sono elementi di L22π. Lo sviluppo

in serie di Fourier di un segnale di energia finita f : fptq “ř

nPZ fpnqeint dove

(1.7) fpnq “1

2π

ż 2π

0

fptq e´intdt.

costituisce una rappresentazione del segnale come sovrapposizione di infiniti segnalielementari. Il termine generale della serie si chiama n´esima componente armonicadi f ed e un segnale elementare, di ampiezza |fpnq|, periodo 2π

n e di energia |fpnq|.Si noti che la frequenza della generica armonica cresce con n.

Cap. I , n. 1 . Serie di Fourier di funzioni di quadrato integrabile 7

Proposizione 1.2. Gli spazi L82π e L22π sono densi in L1

2π.

Dimostrazione. Poiche L82π Ă L22π Ă L1

2π, basta provare che L82π e denso in L12π.

Sia f P L12π e sia pfnq la successione cosı definita

fnpxq “

#

fpxq se |fpxq| ď n,

0 altrimenti.

Si ha limnfnpxq “ fpxq per q.o. x. Poiche inoltre |fn| ď |f | e f P L1

2π, per il

Teorema della convergenza dominata si ha che fn tende a f in L12π.

Ricordiamo le seguenti ovvie inclusioni fra gli spazi introdotti in questa sezione

(1.8) P2π Ă C82π Ă Ck2π Ă L82π Ă L22π Ă L1

2π

p5q. Poiche P2π e denso in L22π (Teorema 1.1), anche C82π e Ck2π sono densi in

L22π. Ne segue che gli spazi P2π, C82π e Ck2π sono densi anche in L1

2π, perche L22π e

denso in L12π e inoltre la norma in L1

2π si maggiora con la norma in L22π. In sintesi,

includendo anche le affermazioni della precedente proposizione, possiamo dire chetutti gli spazi nella (1.8) che sono a sinistra di L2

2π sono densi in L22π, tutti gli spazi

a sinistra di L12π sono densi in L1

2π.

Concludiamo questa sezione richiamando alcuni importanti risultati, gia visti nelcorso di Istituzioni di Analisi Superiore, che verranno spesso richiamati in questedispense.Come noto, la convergenza in norma Lp, 1 ď p ă 8 non implica la convergenzaquasi ovunque, come mostrano i seguenti due esempi

Esempio 1.1 La successione delle funzioni periodiche di periodo 1 definita da

fnpxq “?nχr0, 1

n spxq x P r0, 1s, n P N,

dove χr0,as denota la funzione caratteristica dell’intervallo r0, as, converge puntual-mente a zero ma non converge in L2

1.

Esempio 1.2 Per ogni n P N siano k e j “ 0, . . . , 2k´1 due interi tali che n “ 2k`j.Denotiamo con Ik,j l’intervallo r j

2k, j`1

2ks. Sia pfnq la successione

fnpxq “

#

1 se x P Ik,j

0 altrimenti.

Allora si ha limnfn “ 0 in norma L2

1, ma pfnpxqq non converge per nessun x P r0, 1s.

Alcuni dei teoremi elencati qui di seguito stabiliscono le condizioni sotto le qualila convergenza in norma Lp implica la convergenza quasi ovunque e viceversa. Quidenotiamo con Lppµq lo spazio delle funzioni il cui modulo ha potenza p integrabilerispetto ad una qualunque misura positiva µ.


Teorema 1.3. Se limn fn “ f in Lppµq, 1 ď p ď 8, allora esiste una estratta checonverge ad f quasi ovunque.

Teorema 1.4. Sia limnfn “ f in Lppµq, 1 ď p ď 8. Se esiste una funzione g tale

che limnfn “ g µ q.o., allora f coincide con g µ q.o.

Teorema 1.5. (Teorema della convergenza dominata) Sia pfnq una successione difunzioni di L1pµq, tale che limn fn “ f µ q.o. Se esiste una funzione h P L1pµqtale che |fn| ď h per ogni n, allora f P L1pµq, fn converge in norma a f e

(1.9) limn

ż

fndµ “

ż

fdµ

Corollario 1.6. Sia pfnq una successione di funzioni di Lppµq, 1 ď p ă 8, taleche limn fn “ f µ q.o. Se esiste una funzione h P L1pµq tale che |fn|

p ď h per ognin, allora lim

nfn “ f in Lppµq.

Teorema 1.7. (Teorema della convergenza dominata per serie) Sia pfnq una suc-cessione di funzioni di L1pµq, tale che

ř

n fn “ f µ q.o. ed esista una funzioneh P L1pµq tale che |

ř

0ďkďn fk| ď |h| µ q.o. per ogni n. Allora la serie converge af nella norma di L1pµq e

(1.10)ÿ

k

ż

fk dµ “

ż

ÿ

k

fk dµ.

Teorema 1.8. Sia pgnq una successione di funzioni di L1pµq, tale che limn gn “ gin L1pµq. Allora

(1.11) limn

ż

gndµ “

ż

gdµ

Teorema 1.9. Sia pfnq una successione di funzioni di L1pµq, tale cheřnn“0 fn “ f

in L1pµq. Allora

(1.12) limn

ż nÿ

k“0

fkdµ “

ż

fdµ

N.B. La tesi si puo scrivere anche

(1.13)8ÿ

k“0

ż

fkdµ “

ż 8ÿ

k“0

fkdµ

Cap. I , n. 2 . Serie di Fourier di funzioni assolutamente integrabili 9

2 . Serie di Fourier di funzioni assolutamente integrabili

In questa sezione ci occuperemo delle serie di Fourier delle funzioni assolutamenteintegrabili. Se una funzione f e in L1

2π, l’integrale in (1.7) e finito e quindi ha sensoscrivere, almeno formalmente, la sua serie di Fourier

(2.1)ÿ

nPZfpnqeinx.

Mentre la serie di Fourier di una funzione di L22π converge in norma (Teorema 1.1)

e, come vedremo, anche quasi ovunque (Teorema 3.4), la serie di Fourier di unafunzione di L1

2π in generale non converge ne in norma ne quasi ovunque. Infattiil suo comportamento puo essere pessimo: A. N. Kolmogorov nel 1926 trovo unafunzione assolutamente integrabile la cui serie di Fourier non converge in nessunpunto.In questa sezione mostriamo che se una funzione f e in L1

2π, allora e determinataunivocamente dai suoi coefficienti di Fourier pfpnqq; inoltre mostriamo come si puoricostruire f a partire da pfpnqq.Il seguente teorema stabilisce alcune proprieta della trasformata di Fourier; ladimostrazione viene lasciata per esercizio.

Teorema 2.1. Siano f e g P L12π e siano α, β P C. Allora per ogni n P Z

(i) pαf ` βgqpnq “ α fpnq ` β gpnq

(ii) yτhfpnq “ eính pfpnq

(iii) pfpnq “ fpńq

(iv) |fpnq| ď f1 per ogni n P Z.

Osservazione 2.1 La proprieta (ii) mostra che una traslazione della funzione haper effetto la moltiplicazione di pfpnqq per la successione peínhq avente modulo 1.La proprieta (iii) mostra la relazione fra trasformata di Fourier e coniugazione: ameno di una riflessione, le due operazioni commutano. La proprieta (iv) mostrache la trasformata di una funzione L1

2π e una successione limitata. In realta einfinitesima, come mostra il seguente

Teorema 2.2. (Teorema di Riemann-Lebesgue) Se f P L12π allora pfpnqq e infini-

tesima per |n| Ñ 8.

Dimostrazione. Poiche la tesi vale per le funzioni di L22π, proveremo il teorema

sfruttando la densita di L22π in L1

2π (vedi Proposizione 1.2). Sia dunque f P L12π;

fissato ε ą 0, esiste un elemento di L22π, sia esso gε, tale che

f ´ gε1 ăε

2.


D’altra parte, poiche gε e di quadrato integrabile, la successione pgεpnqq e infini-tesima, e quindi esiste un indice ν tale che |gεpnq| ă

ε2 per ogni n ą ν. Dalla

relazione

|fpnq| ď |fpnq ´ gεpnq| ` |gεpnq|

usando il Teorema 2.1 possiamo concludere che per ogni ε ą 0 esiste un indice ν taleche per ogni n ą ν si ha |fpnq| ď f ´ gε1 ` |gεpnq| ď

ε2 `

ε2 “ ε. Il ragionamento

per n tendente a ´8 e identico.

Nel seguito denoteremo con Snfpxq la somma parziale n´esima della serie di Fou-rier di f : Snfpxq “

ř

|k|ďn fpkqeikx. Nei due esempi seguenti introduciamo due

polinomi trigonometrici utili nel seguito: il nucleo di Dirichlet e il nucleo di Fejer.

Esempio 2.1 La funzione

(2.2) Dnpxq “ÿ

|k|ďn

eikx

si chiama nucleo di Dirichlet. Si noti che e una funzione pari, che la successione deisuoi coefficienti di Fourier e la funzione caratteristica su Z dell’intervallo r´n, ns,e che

xDnp0q “ 1 Dnp0q “ 2n` 1

per ogni n. Quindi Dn ha media 1 per ogni n. Inoltre si ha la seguente espressionedi Dn in “forma chiusa”

(2.3) Dnpxq “sinrp2n` 1qx2s

sinpx2qx “ 2kπ, k P Z.

Infine per f P L12πpRq vale la seguente formula

(2.4) Snfpxq “1

2π

ż π

´π

Dnpyqfpx´ yqdy “1

2π

ż π

´π

Dnpx´ yqfpyqdy,

detta rappresentazione integrale della somma parziale mediante il nucleo di Di-richlet. La dimostrazione delle formule (2.3) e (2.4) e assegnata per esercizio(Esercizio 1.10, Sezione 9 del Capitolo 1 ).

Esempio 2.2 La funzione

(2.5) Fnpxq “ÿ

|k|ďn

`

1´|k|

n` 1

¯

eikx

si chiama nucleo di Fejer. Si noti: e una funzione pari ed ha media 1. Si ha

Fnpxq “1

n` 1

nÿ

k“0

Dkpxq.(2.6)

Fnpxq “1

n` 1

´ sinrpn` 1qx2s

sinpx2q

¯2

.(2.7)


x “ 2kπ, k P Z. La dimostrazione di queste due formule e assegnata come esercizio(Esercizio 1.11 della Sezione 9, Capitolo 1).

Esempio 2.3 (Nucleo di Poisson) Sia 0 ă r ă 1 la serie

(2.8) Prpxq “ÿ

kPZr|k| eikx

converge uniformemente perche converge totalmente. Usando il teorema di deriva-zione termine a termine si ottiene che Pr e in C82πpRq. Si noti inoltre che Pr e parie che ha media uguale ad 1. La funzione puo essere scritta “in forma chiusa” nelmodo seguente (Sezione 9 del Capitolo 1 ).

(2.9) Prpxq “1´ r2

1` r2 ´ 2r cospxq.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4−5

0

5

10

15

20

25

D10

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 40

2

4

6

8

10

12

F10

Figura 1 Il nucleo di Dirichlet D10. Figura 2 Il nucleo di Fejer F10

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40

1

2

3

4

5

6

7

8

9

P.8

Figura 3 Il nucleo di Poisson.


Il prodotto di convoluzione in L12π.

Abbiamo visto che la somma parziale ennesima della serie di Fourier di una funzionedi L1

2π puo essere rappresentata in forma integrale mediante il nucleo di Dirichlet(2.4). Possiamo pensare a questa rappresentazione come a un “prodotto” dellefunzioni Dn ed f. Questo prodotto, detto “prodotto di convoluzione”, gioca unruolo importante nello studio degli operatori lineari che commutano con le trasla-zioni, come ad esempio gli operatori di derivazione o, piu in generale, gli operatoridifferenziali a coefficienti costanti.

Definizione 2.1 Siano f e g P L12π. La funzione definita dalla relazione

(2.10) f ˚ gpxq “1

2π

ż 2π

0

fpyqgpx´ yq dy “1

2π

ż 2π

0

fpx´ yqgpyq dy

si chiama prodotto di convoluzione fra f e g.

Teorema 2.3. Siano f e g P L12π allora f ˚ g P L1

2π e si ha

f ˚ g1 ď f1g1

pf ˚ gqpnq “ fpnq gpnq n P Z.

Dimostrazione. Denotiamo con I l’integrale doppio

I “1

p2πq2

ż 2π

0

ż 2π

0

|fpx´ yqgpyq|dxdy.

Si vede subito che uno dei due integrali iterati e finito:

1

p2πq2

ż 2π

0

´

ż 2π

0

|fpx´ yqgpyq|dx¯

dy “1

p2πq2

ż 2π

0

|gpyq|´

ż 2π

0

|fpx´ yqq|dx¯

dy

e quindi

(2.11)1

p2πq2

ż 2π

0

´

ż 2π

0

|fpx´ yqgpyq|dx¯

dy “ f1g1

Allora per i Teoremi di Fubini e Tonelli anche I e finito ed e uguale ai due integraliiterati; in particolare si ha

(2.12) I “1

p2πq2

ż 2π

0

´

ż 2π

0

|fpx´ yqgpyq|dy¯

dx ă 8

da cui segue che la funzione y ÞÑ fpx´yqgpyq e assolutamente integrabile, e quindiintegrabile, per q.o. x P r0, 2πs. Abbiamo cosı provato che il prodotto f ˚ g hasenso per q.o. x P r0, 2πs. Dalle formule (2.12) (2.11) si ha anche che f ˚g e in L1

2π,


inoltre

1

p2πq

ż 2π

0

|f ˚ gpxq|dx “1

p2πq2

ż 2π

0

ˇ

ˇ

ˇ

ż 2π

0

fpyqgpx´ yqdyˇ

ˇ

ˇdx ď I “ f1g1.

Moltiplicando e dividendo per eíny l’integrale che esprime zf ˚ gpnq e invertendogli ordini di integrazione si ha

pf ˚ gqpnq “1

2π

ż 2π

0

pf ˚ gqpxq eínxdx

“1

p2πq2

ż 2π

0

´

ż 2π

0

fpyqgpx´ yq dy¯

eínxdx

“1

p2πq2

ż 2π

0

fpyq eíny´

ż 2π

0

gpx´ yq eínpxýqdx¯

dy

“1

p2πq2

´

ż 2π

0

fpyq eíny dy¯ ´

ż 2π

0

gpzq eínzdz¯

“ fpnq gpnq.

Il Teorema 2.3 permette di scrivere la serie di Fourier del prodotto f ˚g di duefunzioni in L1

2π, ma in generale nulla si sa sulla convergenza di tale serie a f ˚ g.Vedi inoltre la Nota p9q sul prodotto di convoluzione negli spazi di successioni.

Teorema 2.4. Siano f, g, h in L12π e siano α P C e s P R. Denotiamo con

en, n P Z la funzione x ÞÑ einx. Si ha

(i) αpf ˚ gq “ pαfq ˚ g “ f ˚ pαgq

(ii) f ˚ pg ` hq “ f ˚ g ` f ˚ h

(iii) f ˚ g “ g ˚ f

(iv) pf ˚ gq ˚ h “ f ˚ pg ˚ hq

(v) τspf ˚ gq “ τsf ˚ g “ f ˚ τsg.

(vi) f ˚ en “ fpnqen

La dimostrazione viene lasciata per esercizio. Si noti: le prime quattro proprietamostrano che L1

2π e una algebra commutativa rispetto al prodotto di convoluzione.

Esercizio 2.1 Sia f P L12π. Scrivere la serie di Fourier della funzione f ˚ Dn, e

provare che si ha

(2.13) Dn ˚ f “ Snf.


Esercizio 2.2 Sia f P L12π. Mostrare che la serie di Fourier della funzione f ˚Fn e

ÿ

|k|ďn

fpkq´

1´|k|

n` 1

¯

eikx. Spiegare perche si ha

(2.14) Fn ˚ fpxq “ÿ

|k|ďn

fpkq´

1´|k|

n` 1

¯

eikx .

Provare infine la relazione

(2.15) Fn ˚ f “1

n` 1

nÿ

j“0

Sjf.

Le somme 1n`1

řnj“0 Sjf si chiamano Medie di Cesaro (della successione Sj).

Esercizio 2.3 Utilizzando il teorema della convergenza dominata provare che sef P L1

2π allora

(2.16) Pr ˚ fpxq “ÿ

kPZ

fpkqr|k|eikx.

Abbiamo visto che L12π e una algebra commutativa rispetto al prodotto di convolu-

zione. Dal Teorema 2.3 segue che non esiste l’identita del prodotto di convoluzionein L1

2π. Infatti, se esistesse una funzione δ P L12π tale che δ˚f “ f per ogni f P L1

2π,per ogni f si avrebbe δpnqfpnq “ fpnq per ogni n P Z. E quindi δpnq “ 1 per ognin; ma questo contrasta con il Teorema di Riemann Lebesgue. In questa sezionemostreremo tuttavia che si possono facilmente trovare successioni punq di funzionidi L1

2π tali che limn un ˚ f “ f in L12π. L’idea originaria e dovuta a Fejer; egli

osservo che se una successione psjq converge a s, allora anche la successione

(2.17) σn “1

n` 1

nÿ

j“0

sj ,

detta successione delle medie di Cesaro di psjq, converge ad s; ma queste mediepossono convergere anche se la successione originale non converge. Per esempio lasuccessione psjq “ p´1qj non converge, mentre la successione delle medie tende azero perche |σn| ď

1n`1 .

Teorema 2.5. Sia psjq una successione di numeri reali convergente ad s; allora lasuccessione pσnq delle medie di Cesaro converge ad s.

Dimostrazione. Sia ε ą 0 fissato. Per l’ipotesi esiste un indice ν tale che per ognij ą ν si ha

|sj ´ s| ă ε.


Per ogni n ą ν si ha allora

|σn ´ s| “1

n` 1

”

nÿ

j“0

sj ´nÿ

j“0

sı

ď1

n` 1

nÿ

j“0

|sj ´ s|

“1

n` 1

”

νÿ

j“0

|sj ´ s| `nÿ

j“ν`1

|sj ´ s|ı

ď1

n` 1rA` pn´ νqεs,

dove abbiamo posto A “řνj“0 |sj ´ s|. E quindi abbiamo trovato che per ogni

n ą ν si ha

|σn ´ s| ďA

n` 1` ε.

Sia ora µ un intero maggiore di Aε´1. Per n ą µ si avra A ă εµ ă εpn` 1q. Postoallora ν1 “ maxpν, µq possiamo concludere che per ogni n ą ν1 si ha |σn ´ s| ă 2ε.Il teorema e cosı provato.

Trasferendo il risultato del precedente teorema alle serie di Fourier, si ha che se laserie delle somme parziali pSnfq converge, allora la successione di termine generale

1

n` 1

nÿ

j“0

Sjf

converge alla stessa somma, e che inoltre la successione delle medie potrebbe con-vergere anche se la successione pSnfq non converge. Ma questa media altro non eche il prodotto di convoluzione fra la funzione f e il nucleo di Fejer (vedi la formula(2.15)). Dunque ci aspettiamo che Fn ˚ f si comporti meglio di Snf. In effettimostreremo che se f e assolutamente integrabile, allora limn Fn ˚ f “ f in normaL1

2π, e che in ogni punto x in cui f e continua si ha limn Fn ˚ fpxq “ fpxq.In realta il ruolo svolto dalla famiglia pFnq non e cruciale in questa teoria. Infatti,come mostreremo, questi risultati valgono ugualmente se la famiglia pFnq vienesostituita con una qualunque famiglia di funzioni, dette identita approssimate, edefinite come segue.

Definizione 2.2 Una famiglia punq di funzioni di L12π tale che

(i) un1 ďM, M P R @n P N

(ii)1

2π

ż 2π

0

unpxqdx “ 1 @n P N

(iii) @0 ă δ ă π

limn

ż

δă|x|ăπ

|unpxq| dx “ 0


si chiama identita approssimata in L12π.

Si noti: se le funzioni un sono non negative, la prima condizione e superflua.Qualche volta si considerano famiglie purq dipendenti da un parametro continuo rinvece del parametro discreto n. Cosı la famiglia Pr in (2.8) che, come vedremo,e una identita approssimata, e definita per 0 ă r ă 1. In questo caso la (iii) deveessere sostituita con il limite per r che tende a 1 (vedi Esercizio 2.4 piu avanti).

Osservazione 2.2 Se alla condizione (iii) si sostituisce la seguente

(2.18) @ 0 ă δ ă π limn

supδă|x|ăπ

|unpxq| “ 0

allora si dice che punq e una identita approssimata in senso forte.

Proposizione 2.6. Le famiglie pFnq e tPr, 0 ă r ă 1u sono identita approssimatein senso forte.

Dimostrazione. La dimostrazione e assegnata per esercizio (Esercizi 1.14 e 1.15)

Proposizione 2.7. La famiglia pDnq non e una identita approssimata

Dimostrazione. La dimostrazione consiste nel provare che ||Dn|| ě4π2 logp2n ` 2q

ed e proposta come esercizio (Esercizio 1.15).

Nel Teorema 2.9 proviamo che se punq e una famiglia di identita approssimate, alloralimn un ˚ f “ f in norma. Premettiamo un lemma che mostra che la traslazione euna operazione continua in L1

2π.

Lemma 2.8. Sia f P L12π. Allora lim

yÑ0τyf ´ f1 “ 0.

Dimostrazione. Proviamo prima la tesi per g P C82π. Per la continuita di g si ha

limyÑ0

pτyg ´ gqpxq “ 0, |pτyg ´ gqpxq| ď 2 max |g| @x.

Per il teorema della convergenza dominata ne segue che limyÑ0

τyg ´ g1 “ 0.

Sia ora f P L12π e sia ε ą 0 fissato. Poiche C82π e denso in L1

2π, esiste una fun-zione go P C

82π tale che f ´ go1 ă ε. Aggiungendo e togliendo stesse quantita e

applicando la disuguaglianza triangolare si ottiene

τyf ´ f1 ď τyf ´ τygo1 ` τygo ´ go1 ` f ´ go1 “ 2f ´ go1 ` τygo ´ go1.

Osserviamo ora che il primo addendo e minore di 2ε mentre l’ultimo addendo tendea zero per la prima parte della dimostrazione, possiamo concludere che esiste un δtale che per |y| ď δ si ha τyf ´ f1 ď 3ε.

Teorema 2.9. Sia punq una identita approssimata. Allora

limnun ˚ f ´ f1 “ 0 @f P L1

2π.


Dimostrazione. Per la proprieta (ii) delle identita approssimate si ha

un ˚ f ´ f1 “1

2π

ż π

´π

|un ˚ fpxq ´ fpxq| dx

“1

2π

ż π

´π

ˇ

ˇ

ˇ

1

2π

ż π

´π

fpx´ yqunpyqdy ´ fpxq1

2π

ż π

´π

unpyqdyˇ

ˇ

ˇdx

ď1

4π2

ż π

´π

ż π

´π

|pτyf ´ fqpxq| |unpyq| dy dx

ď1

4π2

ż π

´π

|unpyq|´

ż 2π

0

|pτyf ´ fqpxq| dx¯

dy

“1

2π

ż π

´π

|unpyq| τyf ´ f1dy

Sia ε assegnato. Per il Lemma 2.8 esiste un δ tale che τyf ´ f1 ă ε per |y| ă δ.Usiamo tale maggiorazione nell’intervallo r´δ, δs dopo aver spezzato l’integrale incorrispondenza di ˘δ

un ˚ f ´ f1 ă1

2π

ż π

´π

|unpyq| τyf ´ f1dy

“1

2π

ż

|y|ăδ

|unpyq| τyf ´ f1 dy `1

2π

ż

δă|y|ăπ

|unpyq| τyf ´ f1 dy

Maggiorando τyf ´ f1 con ε nel primo integrale eusando la proprieta triangolarenel secondo si ha

un ˚ f ´ f1 ď εun1 `1

2π2f1

ż

δă|y|ăπ

|unpyq|dy.

Per la proprieta (i) delle identita approssimate il primo addendo puo essere mag-giorato con εM e per la proprieta (iii) l’integrale a secondo membro e minore di εse n e abbastanza grande. Quindi si ha

(2.19) un ˚ f ´ f1 ă εM ` 2f1ε “ C ε

se n e abbastanza grande; qui C e una costante dipendente solo da f e da M .

Abbiamo cosı visto che in L12π non esiste l’identita per il prodotto di convolu-

zione (vedi l’osservazione dopo il Teorema 2.3) ma esistono delle successioni punqtali che per ogni f P L1

2π si ha limn un ˚ f “ f in norma; questo spiega l’origine delnome “identita approssimate”.Il seguente corollario mostra che la trasformata di Fourier di una funzione f inL1

2π e unica e che, viceversa, la successione delle trasfomate di Fourier individuaunicamente la funzione (a meno di insiemi di misura nulla).

Corollario 2.10. Sia f P L12π. Se fpkq “ 0 @k allora f “ 0 q.o. Viceversa, se

f “ 0 q.o. allora fpkq “ 0 @k.


Dimostrazione. Sia f P L12π e sia fpkq “ 0 @k. Per la (2.14) possiamo concludere

che Fn ˚ f “ 0 @n. Dal Teorema 2.9 segue che f e nulla quasi ovunque. Il viceversae ovvio.

Esercizio 2.4 Sia punq una identita approssimata di L12π. Allora

limn

xunpkq “ 1 @ k P Z.

La seguente proposizione fornisce una diversa dimostrazione di un risultato giavisto nella Sezione 1.

Proposizione 2.11. Lo spazio P2π e denso in L12π.

Dimostrazione. Sia f P L1. Dal Teorema 2.9, scegliendo come identita approssi-mata il nucleo di Fejer, si ha che la successione pFn ˚ fq che, per la (2.14), e dipolinomi trigonometrici, tende a f nella norma L1

2π.

Il Teorema 2.13 mostra che se f e continua e un una i.a., allora un ˚ f e continuaper ogni n e converge uniformemente a f. Premettiamo il seguente

Lemma 2.12. Sia f P C02π. Allora si ha lim

yÑ0τyf ´ fC0

2π“ 0.

Dimostrazione. La dimostrazione e molto simile a quella del Lemma 2.8 ed eassegnata come esercizio.

Teorema 2.13. Sia f P C02π e punq una identita approssimata di L1

2π. Allora

limnun ˚ f ´ fC0

2π“ 0

Dimostrazione. La dimostrazione e molto simile a quella del Teorema 2.9 ed eassegnata come esercizio (Esercizio 1.18 della Sezione 9).

La seguente proposizione, conseguenza immediata del precedente teorema, fornisceuna diversa dimostrazione di un risultato gia visto nella Sezione 1.

Proposizione 2.14. P2π e denso in C02π.

Con il seguente Teorema 2.16 raggiungiamo uno degli obiettivi che si siamo propostiall’inizio di questa sezione, cioe che e possibile ricostruire una funzione di L1

2π apartire dai suoi coefficienti di Fourier. Premettiamo un lemma che fornisce unacondizione sulla trasformata di Fourier pfpnqq affinche una funzione assolutamenteintegrabile sia somma della sua serie di Fourier.

Lemma 2.15. Siano f P L12π e pfpnqq P `1. Allora

fpxq “ÿ

kPZfpkqeikx

per q.o. x; piu precisamente, la somma della serie e una funzione continua checoincide quasi ovunque con f.


Dimostrazione. Per l’ipotesi la serie a secondo membro converge uniformemente aduna funzione continua, sia essa g. I suoi coefficienti di Fourier sono uguali a quellidi f ; infatti per ogni n P Z si ha

gpnq “1

2π

ż 2π

0

ÿ

kPZfpkqeikxe´inxdx “

1

2π

ÿ

kPZ

ż 2π

0

fpkqeipk´nqxdx “ fpnq.

Si noti che lo scambio fra l’integrale e la serie e lecito perche la serie convergeuniformemente e quindi e possibile integrare termine a termine. Per il Corollario2.10 ne segue che f “ g quasi ovunque.

Teorema 2.16. Sia punq una i.a. con pxunpkqq P `1 per ogni n P N. Allora per ogni

f P L12π si ha

(2.20) fpxq “ limn

ÿ

kPZxunpkqfpkqe

ikx

nella norma L12π.

Dimostrazione. Poiche pun ˚ fqpkq “ xunpkqfpkq la successione`

pun ˚ fqpkq˘

e in `1per ogni n. Allora, per il precedente lemma, si ha

un ˚ fpxq “ÿ

kPZxunpkqfpkqe

ikx

per q.o.x, e la tesi segue subito dal Teorema 2.9.

La formula (2.20) e detta formula si inversione mediante punq perche permettedi ricostruire una funzione di L1

2π a partire dalla sua trasformata di Fourier.Concludendo, la serie di Fourier di una funzione assolutamente integrabile in ge-nerale non rappresenta la funzione ne in senso classico (cioe come convergenzapuntuale) ne nel senso della convergenza in norma; tuttavia, introducendo le iden-tita approssimate, abbiamo ottenuto una nuova rappresentazione di una funzionedi L1

2π mediante i suoi coefficienti di Fourier.Con la formula (2.20) viene modificata la nozione di convergenza della serie diFourier di una funzione di L1

2π: moltiplicando termine a termine la serie per icoefficienti di Fourier di un si ottiene una serie sommabile. Per questa ragione lefunzioni punq si chiamano anche nuclei di sommabilita.Terminiamo questa sezione chiedendoci se le funzioni di L1

2π si possono caratte-rizzare in termini della loro trasformata di Fourier, come abbiamo visto accadereper le funzioni di quadrato sommabile (e, come vedremo, accade per le funzioni diclasse C82π).Per rispondere, il primo punto da chiarire e il seguente: se f P L1

2π, allora pfpnqq euna successione infinitesima con un certo ordine? La risposta e no, come mostranoi due seguenti controesempi

8ÿ

2

cospntq

logpnq1`

ÿ

n “0

1

|n|eint.


Si dimostra infatti che queste sono le serie di Fourier di due funzioni in L12π (vedi

Katznelson pag 22).Visti questi esempi, la domanda naturale da chiedersi e la seguente: se panq e unasuccessione infinitesima, allora

ř

aneinx e la serie di Fourier di una funzione di

L12π? Anche a questa domanda la risposta e negativa: si prova infatti che la serie

8ÿ

2

sinpntq

logpnq

non e la serie di Fourier di una funzione L12π.

Cap. I , n. 3 . Convergenza puntuale 21

3 . Convergenza puntuale

Nearly fifty years had passed without any progress on thequestion of analytic representation of an arbitrary function,when an assertion of Fourier threw new light on the subject,Thus a new era began for the development of this part ofMathematics and this was heralded in a stunning way bymajor developments in Mathematical Phisycs.B. Riemann (1854)

Nelle precedenti sezioni abbiamo visto che la serie di Fourier di una funzione diquadrato sommabile converge alla funzione in norma e che la serie di Fourier di unafunzione di L1

2π in generale non converge ne in norma ne quasi ovunque. Questasezione e dedicata alla ricerca di condizioni su f che garantiscono la convergenzapuntuale della sua serie di Fourier.La problematica sulla convergenza delle serie di Fourier fu affrontata inizialmentenel diciottesimo secolo, e si puo dire che fu esaurientemente risolta 150 anni dopo.Bernoulli, Eulero, Lagrange si erano accorti che per qualche semplice funzione laserie di Fourier convergeva alla funzione puntualmente. Fourier, nella sua Teoriaanalitica del calore (1807) affermo che ogni grafico su un intervallo limitato si puoottenere come sovrapposizione di infiniti seni e coseni. Come vedremo in questasezione, l’affermazione era incorretta ma l’idea contenuta era straordinaria per queitempi. Fu Dirichlet, nel 1828, a provare che se una funzione e continua con la suaderivata prima, la sua serie di Fourier converge uniformemente alla funzione p5q.Nel Teorema 3.2, dovuto a Dirichlet, si prova che se f P C1

2π allora la sua serie diFourier converge uniformemente. Il teorema fornisce anche una stima dell’errore:quanto piu e regolare la funzione tanto piu rapida e la convergenza. Premettiamoil seguente lemma che mostra la stretta relazione fra regolarita della funzione e larapidita con cui i suoi coefficienti di Fourier tendono a zero.

Lemma 3.1. Sia f P Cq2π, q ě 1. Per ogni p ď q si ha

(3.1) yf ppqpkq “ pikqp pfpkq,

per ogni k P Z p6q.

Dimostrazione. Integrando per parti si ha

yf p1qpkq “1

2π

ż 2π

0

f 1pxqeíkx dx “ ´1

2π

ż 2π

0

fpxqpíkqeíkx dx “ pikq pfpkq,

Per q ą 1 si procede per induzione.


Teorema 3.2. (Teorema di Dirichlet) Sia f P Cq2π q ě 1. Allora la serie di Fourierdi f converge uniformemente ad f e si ha

(3.2)›

›

›f ´

ÿ

|k|ďn

fpkqeikx›

›

›

C02π

ďc

nq´12f pqqL2

2π,

dove c “?

2?

2q ´ 1.

Dimostrazione. Sia Snfpxq “ř

|k|ďn fpkqeikx la somma parziale n´esima della

serie di Fourier di f. Mostriamo che pSnfq e una successione di Cauchy nella normaC0

2π. Siano n ď m due numeri naturali. Per il Lemma 3.1 si ha

∣∣∣Smfpxq ´ Snfpxqˇˇˇ ď mÿ

|k|“n`1

|fpkq| ăÿ

|k|ąn

|fpkq| “ÿ

|k|ąn

|yf pqqpkq|

|k|q.

E quindi, per la disuguaglianza di Schwartz∣∣∣Snfpxq´Smfpxqˇˇˇ ď ´

ÿ

|k|ąn

1

|k|2q

¯12 ´ ÿ

|k|PZ|yf pqqpkq|2

¯12

“

´

ÿ

|k|ąn

1

|k|2q

¯12

f pqqL22π.

Sia 2q ´ 1 ą 0, per il criterio integrale, si ha

ÿ

|k|ąn

1

|k|2qă 2

ż `8

n

dx

x2q“ 2

” x1´2q

1´ 2q

ı`8

n

“2

2q ´ 1

1

n2q´1.

Ne segue che

(3.3)∣∣∣Snfpxq ´ Smfpxqˇˇˇ ďc

2

2q ´ 1

1

nq´12f pqqL2

2π,

e quindi la successione pSnfq e di Cauchy in C02π. Allora esiste una funzione continua

g tale che limn Snf “ g. D’altra parte, usando la convergenza uniforme della seriea g si vede facilmente che f e g hanno gli stessi coefficienti di Fourier. Per ilCorollario 2.10 ne segue che f “ g quasi ovunque. Ma se due funzioni coincidonoquasi ovunque e sono continue, coincidono ovunque. Ne segue che f “ g e quindiSnf converge uniformemente a f. La stima (3.2) segue subito dalla stima (3.3)facendo il limite per mÑ8 e passando al massimo in r0, 2πs.

Dirichlet lascio aperta il seguente questione: la serie di Fourier di una funzionecontinua converge puntualmente alla funzione? Egli pensava che la risposta fossepositiva, e come lui la pensarono per 40 anni Riemann, Weiestrass, Dedekind, finoa che G. Du Bois Reymond fornı un controesempio provando il seguente

Teorema 3.3. (Du Bois-Reymond (1875)) Esiste una funzione continua la cuiserie di Fourier diverge in un punto.


Anche Fejer produsse un esempio p7q.Dopo questo risultato fu formulata la seguentecongettura: esiste una funzione continua la cui serie di Fourier non converge innessun punto. Questa congettura fu smentita dal seguente teorema

Teorema 3.4. (L. Carleson (1966)) La serie di Fourier di una funzione di qua-drato integrabile converge quasi ovunque alla funzione stessa.

La dimostrazione del teorema e un intero libro p8q. Poiche le funzioni continue sonoanche in L2

2π, possiamo concludere che la serie di Fourier di una funzione continuaconverge alla funzione q.o. Ci si puo chiedere se sulla convergenza della serie diFourier di una funzione continua si possa ottenere di meglio. La risposta e no,come mostra il seguente

Teorema 3.5. (Katznelson 1964) Per ogni insieme E di misura nulla esiste unafunzione continua la cui serie di Fourier diverge su E.

Proponiamo esempi di serie di Fourier di alcune funzioni elementari.

Esempio 3.1 La serie di Fourier della funzione fpxq “

#

´1 se x P r´π, 0q

1 se x P r0, πqe

4

π

`8ÿ

n“0

sinp2n` 1qx

2n` 1.

Esempio 3.2 La serie di Fourier della funzione di periodo 2π che nell’intervallop´π, πs e uguale a x e

2`8ÿ

1

p´1qn`1 1

nsinpnxq

Esempio 3.3 La serie di Fourier della funzione che nell’intervallo p´π, πs e ugualea |x| e

π

2´

4

π

`8ÿ

1

1

p2n´ 1q2cospp2n´ 1qxq.

Esempio 3.4 La serie di Fourier della funzione che nell’intervallo p´π, πs e ugualea x2 e

π2

3` 4

`8ÿ

1

p´1qn

n2cospnxq

L’Esercizio 2.9 (Sezione 9 del Capitolo 1) e utile per capire il comportamento diquesti tipi di funzioni, che sono ottenute “tagliando” funzioni polinomiali e “perio-dizzandole”. Si noti che le funzioni dei primi due esempi non sono continue mentrele ultime due sono continue ma non sono derivabili. Percio il Teorema di Dirichletnon si applica a nessuna di esse. Tuttavia mostreremo successivamente (Teorema


sulle funzioni con discontinuita a salto) negli ultimi due esempi la serie di Fourierconverge uniformemente alla funzione. Infine si confronti il comportamento asinto-tico delle successioni di Fourier di queste quattro funzioni e del nucleo di Poissonin relazione alla regolarita delle funzioni stesse.Concludiamo questa sezione mostrando una caratterizzazione delle funzioni di C82πin termini della trasformata di Fourier e discutendo l’effetto regolarizzante dell’o-perazione di convoluzione per una funzione regolare.

Definizione 3.1 Una successione di numeri complessi pαnq si dice a decrescenzarapida se per ogni q P N esiste una costante Cq tale che

(3.4) |αn| ď Cqp1` |n|qq´1

Il seguente teorema fornisce una caratterizzazione delle funzioni C82π in terminidella loro trasformata di Fourier.

Teorema 3.6. Se f P C82π allora pfpnqq e a decrescenza rapida. Viceversa, sef P L1

2π e pfpnqq e a decrescenza rapida, allora f coincide quasi ovunque con unafunzione di C82π.

Dimostrazione. Sia f P C82π allora per la (3.1) per ogni intero q si ha

|fpnq| “ˇ

ˇ

ˇ

yf pqqpnq

nq

ˇ

ˇ

ˇď

cq|n|q

@n “ 0.

dove cq “ f pqqL12π

. Poiche la successione`

p1 ` |n|qq|n|q˘

n “oe limitata, si ha

dunque |fpnq| ă cqMp1 ` |n|qq´1 “ Cqp1 ` |n|

qq´1 per ogni n P Z. Viceversa, se

fpnq e a decrescenza rapida, la serie di Fourier di f converge (totalmente e quindi)uniformemente ad una funzione continua g. Per l’ipotesi, applicando ripetutamenteil teorema di derivazione termine a termine, si ottiene che g e in C82π. D’altra parte,usando la convergenza uniforme della serie a g si vede facilmente che f e g hannogli stessi coefficienti di Fourier. Per il Corollario 2.10 ne segue che f “ g q.o.

Il nucleo di Poisson Pr soddisfa le ipotesi del precedente teorema.Il seguente teorema mostra che il prodotto di convoluzione di una funzione di L1

2π

per una funzione Cq2π e ancora in Cq2π.

Teorema 3.7. Sia f P Cq2π, q ě 0 e sia g P L12π. Allora f ˚ g P Cq2π e si ha

Bjpf ˚ gq “ pBjfq ˚ g j ď q.

Dimostrazione. Sia q “ 1. Proviamo che f ˚ g e continua

pf ˚ gqpx` hq ´ f ˚ gpxq “1

2π

ż 2π

0

”

fpx´ y ` hq ´ fpx´ yqı

gpyqdy.

Per l’ipotesi l’integranda tende a zero per h tendente a zero e si maggiora conuna costante per |g|, che e integrabile. Allora, per il Teorema della convergenza


dominata, il secondo memebro tende a zero per h tendente a zero. Cosı abbiamoprovato che f ˚ g e continua. Proviamo che e in C1

2π. Sia x fissato

pf ˚ gqpx` hq ´ f ˚ gpxq

h“

1

2π

ż 2π

0

”fpx´ y ` hq ´ fpx´ yq

h

ı

gpyqdy

L’integranda tende a Bfpx´ yqgpyq, e in modulo si maggiora con una costante per|g|. Applicando di nuovo il teorema della convergenza dominata otteniamo che ilsecondo membro tende a pBf ˚ gqpxq. Abbiamo cosı provato che f ˚ g e derivabilein ogni punto e si ha Bpf ˚ gq “ pBfq ˚ g.Sia q ą 1. La dimostrazione, per induzione su q, e lasciata per esercizio.


4 . Altri risultati di convergenza puntuale.

In questa sezione ci occuperemo della convergenza delle serie di Fourier di funzioniche sono continue tranne al piu che in un numero finito di punti dove pero hannodelle discontinuita a salto.

Definizione 4.1 Una funzione f definita in un intervallo I si dice continua a trattise e continua in tutti i punti di I tranne al piu in un numero finito di punti dovepero esistono finiti i limiti sinistro e destro della funzione.

Definizione 4.2 Una funzione f, definita in un intervallo I, si dice regolare atratti se e continua a tratti e se esiste la sua derivata in ogni punto di I, eccetto alpiu in un numero finito di punti dove pero esistono finiti i limiti sinistro e destrodel rapporto incrementale.Una funzione periodica si dice regolare a tratti se e regolare a tratti in un intervallodi ampiezza uguale al periodo. Le funzioni in tutti gli esempi della Sezione 3sono regolari a tratti. Data una funzione f, denoteremo con fpx`q e con fpx´qrispettivamente il limite destro e sinistro di f in x.

Teorema 4.1. Sia f una funzione periodica di periodo 2π, regolare a tratti inr0, 2πs. Allora la sua serie di Fourier converge puntualmente in ogni punto dicontinuita, mentre nei punti di dicontinuita converge alla media dei limiti destro esinistro:

(4.1)ÿ

kPZfpkqeikx “

fpx´q ` fpx`q

2.

Dimostrazione. Dalla rappresentazione integrale della somma parziale mediante ilnucleo di Dirichlet (2.4) si ha che

Snfpxq “ÿ

|k|ďn

fpkqeikx “1

2π

´

ż 0

´π

Dnpuqfpx` uq du`

ż π

0

Dnpuqfpx` uq du¯

.

Sia x fissato. Per stimare la differenza

(4.2) Snfpxq ´fpx´q ` fpx`q

2

e conveniente moltiplicare il secondo addendo per l’integrale di Dn; ricordiamo che

1 “ xDnp0q “1

2π

ż π

´π

Dnpuqdu “1

2π

ż 0

´π

Dnpuqdu`1

2π

ż π

0

Dnpuqdu.

Cap. I , n. 4 . Altri risultati di convergenza puntuale 27

e poiche Dn e pari, ciascuno dei due addendi e uguale a 12 . Pertanto si ha

Snfpxq ´fpx´q ` fpx`q

2

“1

2π

”

ż 0

´π

fpx` uq Dnpuq du´ fpx´q

ż 0

´π

Dnpuq duı

`1

2π

”

ż π

0

fpx` uq Dnpuq du´ fpx`q

ż π

0

Dnpuq duı

“1

2π

”

ż 0

´π

rfpx` uq ´ fpx´qsDnpuq du`

ż π

0

rfpx` uq ´ fpx`qsDnpuqduı

.

Utilizzando la (2.3) scriviamo ora le due integrande come prodotto di una funzioneG, continua a tratti, per seni e coseni. Si ha

(4.3) Snfpxq ´fpx´q ` fpx`q

2“

1

2π

ż π

´π

Gpx, uq sin´

p2n` 1qu

2

¯

du

dove abbiamo posto

Gpx, uq “

$

’

’

&

’

’

%

fpx`uq´fpx´qsinpu2q se u P p´π, 0s

fpx`uq´fpx`qsinpu2q se u P p0, πs.

La funzione u ÞÑ Gpx, uq e continua a tratti. Questo e ovvio nei punti diversi dazero, perche f e continua a tratti e il denominatore e diverso da zero. Poiche inoltref ha derivate destra e sinistra finite in ogni punto, la funzione

fpx` uq ´ fpx´q

sinpu2q“ 2

fpx` uq ´ fpx´q

u

u2

sinpu2q

ha limite sinistro finito in zero. Analogamente la funzione

fpx` uq ´ fpx`q

sinpu2q

ha limite destro finito in zero. Abbiamo cosı verificato che la funzione u ÞÑ Gpx, uqe continua a tratti. Quindi nella formula (4.3), che riscriviamo,

Snfpxq ´fpx´q ` fpx`q

2

“1

2π

ż π

´π

Gpx, uq cospu

2q sinpnuq du`

1

2π

ż π

´π

Gpx, uq sinpu

2q cospnuq du

abbiamo espresso la differenza (4.2) in termini di coefficienti di Fourier di un fun-zioni continue a tratti e percio di quadrato sommabile. Allora per il teorema di


Riemann-Lebesgue il secondo membro tende a zero per n tendente a `8. Il teoremae cosı provato.

Teorema 4.2. Sia f P C02π e sia f 1 continua a tratti. Allora la serie di Fourier di

f converge uniformemente ad f .

Dimostrazione. Sia f continua e f 1 e continua a tratti. Allora f 1 e assolutamenteintegrabile, percio possiamo scrivere i suoi coefficienti di Fourier. Mostriamo che,nelle ipotesi del teorema, si ha

(4.4) f 1pnq “ infpnq @n P Z.

La funzione f 1 e integrabile perche limitata, quindi possiamo calcolare i suoi coef-ficienti di Fourier. Siano 0 ď a1 ă a2 ă . . . aN ă 2π i punti in cui f 1 ha un salto.Poniamo ao “ 0 e aN`1 “ 2π. Allora integrando per parti

f 1pnq “1

2π

ż 2π

0

f 1pxqeínxdx “N`1ÿ

k“1

ż ak

ak´1

f 1pxqeínxdx “

“1

2π

N`1ÿ

k“1

”

fpxqeínxıak

ak´1

` in1

2π

N`1ÿ

k“1

ż ak

ak´1

fpxqeínxdx “

“ in1

2π

ż 2π

0

fpxqeínxdx “ in fpnq.

Nel penultimo passaggio abbiamo usato che la somma telescopica

N`1ÿ

k“1

”

fpxqeínxıak

ak´1

“ fp0q ´ fp2πq

e zero perche la funzione e periodica. Dalla (4.4), per la disuguaglianza di Schwarz,si ha

ÿ

k “0

|fpkq| “ÿ

k “0

|pf 1pkq|1

|k|ď

´

ÿ

k “0

|pf 1pkq|2¯

12´

ÿ

k “0

1

k2

¯12

.

Poiche f 1 e limitata, e in L22π; ne segue che l’ultimo membro e finito, e quindi la

serie al primo membro converge. Abbiamo cosı provato che la serie di Fourier di fconverge uniformemente.

Si noti che le funzioni degli Esempi 3.3 e 3.4 soddisfano le ipotesi di questoteorema.


Fino ad ora ci siamo occupati di studiare la convergenza puntuale delle serie diFourier di funzioni con discontinuita a salto. Vogliamo ora indagare un aspetto piunumerico della convergenza della serie di Fourier, il cosiddetto fenomeno di Gibbs,dal nome del fisico che lo spiego. Pochi anni prima del 1900 il fisico Michelson siera accorto che il grafico della somma parziale della funzione dell’Esempio 3.1 nonsomigliava alla funzione ma presentava una gobba in corrispondenza dei punti didiscontinuita. Questo accadeva anche per le somme parziali con molti termini (necalcolo 80). In realta il fenomeno si presenta ogni volta che si calcolano le sommeparziali di funzioni con discontinuita a salto. La Figura 4 riporta i grafici dellesomme parziali Sn, n “ 20, 40, 60, 80, della serie di Fourier della funzione

(4.5) fpxq “

#

´1 se x P r´ 12 , 0q

1 se x P r0, 12 q

Ringrazio Sara Sommariva e Gabriele Zaccaria per il programma che ha generatoquesto grafico.

Come si vede, tutti i grafici in corrispondenza del punto di discontinuita presentanouna gobba che al crescere di n si appiattisce sull’asse delle ordinate ma non dimi-nuisce in altezza. La Figura 5 mostra il comportamento di alcune somme parzialivicino a zero. Questo comportamento delle somme parziali, che non e in contraddi-zione con la convergenza puntuale della serie, si manifesta sempre in corrispondenzadei punti di discontinuita delle funzioni. Il fenomeno fu spiegato per la prima voltada Gibbs nel 1899.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5Grafico della somma parziale di f con n = 20

Snf

discontinuità

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


Snf

discontinuità

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


Snf

discontinuità

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1


Snf

discontinuità

Figura 4 Somme parziali S20, S40, S60, S80.


0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.080

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Figura 5 Zoom sui grafici delle somme parziali Sn n “ 60, 80, 100, 120.

Il seguente Teorema 4.3 dimostra il fenomeno di Gibbs per la funzione in (4.5).Il teorema fa uso della rappresentazione integrale della somma parziale mediante ilnucleo di Dirichlet che per periodo uguale ad 1 si scrive

(4.6) Dnpxq “ÿ

|k|ďn

e2πikx “sinp2n` 1qπx

sinpπxq.

Teorema 4.3. Sia f la funzione periodica di periodo 1 che e uguale a ´1 nell’in-tervallo p´ 1

2 , 0s ed uguale a 1 in p0, 12 s. Si ha

(4.7) limn

maxr´ 1

4 ,14 s

Snfpxq “ 1.08949....

Dimostrazione. Esprimiamo la somma parziale Sn in forma integrale mediante ilnucleo di Dirichlet

(4.8) Snfpxq “

ż 12

´ 12

Dnpx´ yqfpyq dy “

ż 12

0

Dnpx´ yq dy ´

ż 0

´ 12

Dnpx´ yq dy.

Operando il cambiamento di variabili x ´ y “ z e usando che Dn e una funzionepari si ottiene

Snfpxq “ ´

ż x´ 12

x

Dnpzq dz `

ż x

x` 12

Dnpzq dz “

ż ´x` 12

´x

Dnpzq dz ´

ż x` 12

x

Dnpzq dz.

Osserviamo ora che se 0 ď x ď 14 si ha ´x ă x ď ´x ` 1

2 ď x ` 12 e quindi

i contributi degli integrali sull’intervallo px,´x ` 12 q si cancellano; percio questa


formula si puo riscrivere come segue

Snfpxq “

ż x

´x

Dnpyq dy ´

ż x` 12

´x` 12

Dnpyq dy.

e, denotando con In il secondo integrale

(4.9) Snfpxq “

ż x

´x

Dnpyq dy ` Inpxq.

Con un argomento simile si vede che la (4.9) vale anche se ´ 14 ď x ă 0.

Abbiamo cosı scritto Snf come somma di due funzioni integrali. Si noti che sex P r´1

4 ,14 s allora l’intervallo di integrazione del primo integrale e contenuto in

r´ 14 ,

14 s. Invece poiche ´x ` 1

2 e x ` 12 saranno nell’intervallo r 14 ,

34 s, l’intervallo

di integrazione del secondo integrale si trova agli estremi dell’intervallo di perio-dicita, laddove l’area sotto il grafico diviene piccola al crescere di n (vedi Figura6). Proviamo infatti che la seconda funzione integrale in (4.9) si maggiora con unacostante per n´1. Integrando per parti si ha

Inpxq “

ż x` 12

´x` 12

sinp2n` 1qπy

sinpπyqdy “

”

´cosp2n` 1qπy

p2n` 1qπ

1

sinpπyq

ı x` 12

´x` 12

`

´

ż x` 12

´x` 12

cosp2n` 1qπy

p2n` 1qπ

π cospπyq

sin2pπyq

dy.

Come abbiamo gia osservato, se x P r´ 14 ,

14 s l’intervallo di integrazione in questa

formula e contenuto in r 14 ,34 s. Poiche in questo intervallo la funzione sinpπyq e

limitata dal di sotto da una costante positiva, maggiorando si ottiene facilmenteche

(4.10)ˇ

ˇ

ˇInpxq

ˇ

ˇ

ˇď C

1

n, x P r´14, 14s

dove C e C 1 sono due costanti. Abbiamo cosı stimato il secondo addendo nellaformula (4.9).Stimiamo ora il primo integrale, riscriviamo l’integranda al primo membro

Dnpyq “sinp2n` 1qπy

sinpπyq“ sin

`

p2n` 1qπy˘

” 1

sinpπyq´

1

πy

ı

`sinp2n` 1qπy

πy;

denotiamo con ϕ la funzione in parentesi quadra e integriamo

ż x

´x

Dnpyq dy “

ż x

´x

sinpp2n` 1qπyqϕpyq dy `

ż x

´x

sinp2n` 1qπy

πydy.


Indicando con Jn il primo integrale questa relazione si riscrive

(4.11)

ż x

´x

Dnpyq dy “ Jnpxq `

ż x

´x

sinp2n` 1qπy

πydy.

Mostriamo che

(4.12)ˇ

ˇ

ˇJnpxq

ˇ

ˇ

ˇď C

1

n, x P r´14, 14s.

Infatti la funzione ϕ si puo scrivere

ϕpyq “1

sinpπyq´

1

πy“πy ´ sinpπyq

pπyq2πy

sinpπyq,

dunque nell’intervallo r´ 14 ,

14 s e prolungabile per continuita ad una funzione di

classe C1 (anzi C8). Quindi e lecito integrare per parti e si ha

Jnpxq “

ż x

´x

sinpp2n` 1qπyqϕpyqdy “”cosp2n` 1qπy

p2n` 1qπϕpyq

ıx

´x`

ż x

´x

´ cosp2n` 1qπy

p2n` 1qπϕ1pyqdy.

Riassumento, abbiamo finora provato che se x P r´14, 14s si ha

(4.13) Snfpxq “ “

ż x

´x

sinp2n` 1qπy

πydy ` Inpxq ` Jnpxq,

dove |Inpxq| e |Jnpxq| si maggiorano con cn (vedi (4.9) e (4.11)). Non ci rimaneche da stimare l’integrale a secondo membro; operiamo il cambiamento di variabilit “ p2n` 1qπy

ż x

´x

sinp2n` 1qπy

πydy “ 2

ż x

0

sinp2n` 1qπy

πydy “

2

π

ż p2n`1qπx

0

sinptq

tdt.

Si verifica che il massimo della funzione integraleşz

0sinptqt dt e assunto nel piu piccolo

zero positivo di sinptq, quindi in z “ π (Esercizio 4.5). Calcolando numericamente2π

şπ

0sinptqt dt si trova che e uguale a 1.08949..... E quindi la funzione composta

2π

şp2n`1qπx

0sinptqt dt assume il suo massimo (che e 1.08949...) nel punto xn “

1p2n` 1q, che, per n ą 1 e in r´ 14 ,

14 s. Ne segue che per ogni n ą 1 si ha

maxr´ 1

4 ,14 s

ż x

0

sinpp2n` 1qπyq

πydy “

2

π

ż π

0

sinptq

tdt “ 1.08949....

Da cio e da (4.13), per la (4.10) e la (4.12), si ha la tesi. Il teorema e completamentedimostrato.


Esercizio 4.5 Mostrare che in z “ π la funzione

ż z

0

sinptq

tdt ha massimo assoluto

e calcolare numericamente 2πşπ

0sinptqt dt.

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−20

−10

0

10

20

30

40

50

60

70

Figura 6 Nucleo di Dirichlet Dn n “ 4 e 30.


5 . La temperatura della terra.

The differential equations of the propagationof heat express the most general conditions,and reduce the physical questions to problemsof pure analysis, and this is the proper objectof theory.J. Fourier e Analytical Theory of Heat

La rimanente parte di questo capitolo e dedicata ad alcune applicazioni della teoriaal problema della diffusione del calore in vari contesti. Fu lo studio della diffusionedel calore, ed ancor prima il problema della corda vibrante, che condussero allosviluppo delle serie di Fourier. Le leggi che governano questi due fenomeni furonoespresse per mezzo di due equazioni differenziali alle derivate parziali, appuntol’ equazione delle onde e l’equazione del calore, e furono risolte per mezzo delleserie di Fourier. L’equazione del calore in una dimensione si scrive

(5.1)Bu

Bt“ k

B2u

Bx2

dove t e il tempo, x la posizione di un punto di un conduttore uno-dimensionale eu “ upt, xq e la temperatura del punto in x al tempo t, k e una costante che dipendedal corpo. Non mostreremo come l’equazione (5.1) viene derivata dalle leggi dellafisica, perche questo aspetto del problema e stato gia ampiamente discusso nel corsodi Modelli di sistemi continui ed applicazioni. Invece risolveremo tre problemi didiffusione del calore usando le serie di Fourier.

I Problema. La temperatura della terra Supponiamo di conoscere l’evolu-zione nel tempo della temperatura di un punto della superficie terrestre nell’arco diun anno. Vogliamo sapere a quale profondita accade che “le stagioni si invertanocompletamente” e si ha la massima temperatura d’inverno e la minima d’estate.Chiariremo meglio in seguito questa richiesta. La temperatura di un punto dellasuperficie terrestre varia in funzione del tempo e grosso modo si puo pensare cheil suo andamento si ripeta periodicamente anno dopo anno. E ragionevole pensarequindi ad un modello espresso da una funzione di periodo 1 (un anno). Si puo pen-sare ad esempio alla funzione sinp2πtq in un intervallo di ampiezza 1, ad esempior´ 1

2 ,12 s.

Cap. I , n. 5 . La temperatura della terra 35

Denotiamo con x la misura della profondita, in metri. Ci aspettiamo che, al cresceredel parametro x, l’escursione termica annua (cioe la differenza tra le temperaturemassima e minima annuali) diminuisca. Inoltre ci aspettiamo anche che i massimie i minimi si manifestino con un certo ritardo rispetto alla superficie.

Il modello Sia fptq, t P r´12 ,

12 s la temperatura di un punto P sulla superficie

terrestre. Supporremo f continua con la sua derivata prima. Denotiamo con upx, tqla temperatura di un punto alla profondita x, al tempo t. La funzione u dovra esseresoluzione dell’equazione (5.1) dove x ą 0, t P r´ 1

2 ,12 s e k ą 0 e una costante di

diffusione termica che dipende dal terreno. Le condizioni iniziali sono

up0, tq “ fptq t P r´1

2,

1

2s

limxÑ`8

upx, tq “ cost “ l.

Per calcolare la soluzione, scegliamo la costante k “ 0.5, valore che rende piusemplice la sua espressione. Dunque per trovare l’evoluzione della temperatura inprofondita dobbiamo risolvere il seguente problema:

Determinare una funzione u : r0,`8q ˆ r´ 12 ,

12 s Ñ R tale che

(i) per ogni t la funzione xÑ upx, tq e C2 in p0,`8q

(ii) per ogni x ą 0 la funzione tÑ upx, tq e C11 .

Inoltre

(5.2)Bu

Bt“

1

2

B2u

Bx2

(5.3) up0, tq “ fptq limxÑ`8

upx, tq “ l @t

Procederemo in maniera euristica: supponendo che una soluzione esista, trove-remo una formula risolutiva e successivamente verificheremo che si tratta di unasoluzione.

Se la soluzione esiste, per ogni x fissato deve essere sviluppabile in serie di Fourierin termini della variabile t. Sia dunque

upx, tq “ÿ

n

cnpxqe2πnit

il suo sviluppo per ogni x P R. Supponendo sia lecito derivare soto il segno disomma una volta rispetto a t e due volte rispetto a x, si ottiene

(5.4)Bu

Bt“ 2πi

ÿ

n

cnpxqne2πint B2u

Bx2“ÿ

n

c2npxqe2πint.


Poiche u e soluzione dell’equazione (5.2) si ha

2πiÿ

n

cnpxqne2πint “

1

2

ÿ

n

c2npxqe2πint,

e quindi per l’unicita della trasformata di Fourier

(5.5) c2npxq “ 4πin cnpxq n P Z

per ogni x ą 0, @n P Z. Abbiamo cosı trovato che i coefficienti cnpxq dello sviluppoin serie di u sono soluzioni di un sistema infinito di equazioni differenziali omogeneea coefficienti costanti nella variabile x. Si noti che ciascuna equazione e indipendentedalle altre. Per trovare le condizioni iniziali dell’ennesima equazione, bisogneraattingere alle due condizioni iniziali (5.3) del problema. Dalla prima otteniamo chei coefficienti di Fourier di up0, tq e fptq sono gli stessi, cioe

(5.6) cnp0q “ fpnq @n P Z

Poiche i coefficienti di Fourier di una funzione costante sono tutti zero tranne quellodi posto zero, la seconda condizione in termini dei coefficienti di Fourier puo essereespressa al seguente modo

(5.7) limxÑ`8

cnpxq “

#

0 se n “ 0

l se n “ 0.

Abbiamo cosı ottenuto le due condizioni iniziali (5.6) e (5.7) per l’equazione diffe-renziale (5.5) di posto n . Ora l’equazione caratteristica di tale equazione e

(5.8) λ2 “ 4πin

e le sue soluzioni dipendono dal segno di n; poiche le radici di i sono ˘ 1?2p1` iq e

quelle di í sono ˘ 1?2p1´ iq, le soluzioni sono

λ1pnq “a

2π|n|p1` iq λ2pnq “ á

2π|n|p1` iq n ą 0

λ1pnq “a

2π|n|p1´ iq λ2pnq “ á

2π|n|p1´ iq n ă 0

λ1pnq “ 0 λ2pnq “ 0 n “ 0

Quindi se n “ 0 l’integrale generale dell’equazione (5.5), e

cnpxq “ αeλ1pnqx ` βeλ2pnqx.

Applicando le condizioni iniziali (5.6) e (5.7) per n “ 0 si ottiene che α “ 0 eβ “ fpnq. Se n “ 0 la soluzione e ovviamente c0pxq “ fp0q. Riassumendo abbiamotrovato la soluzione

cnpxq “ fpnqeλ2pnq x @n P Z.

Cap. I , n. 5 . La temperatura della terra 37

Conviene scrivere λ2 in forma piu “compatta”usando la funzione signpnq: λ2pnqx “´a

2π|n|p1` isignpnqqx e quindi

cnpxq “ fpnqe´?

2π|n|p1`isignpnqqx n P Z

Abbiamo cosı trovato tutti i coefficienti di una possibile soluzione del problema.Scriviamo allora lo sviluppo in serie di u.

upx, tq “`8ÿ

nPZfpnqe´

?2π|n|p1` i signpnqqxe2πint.

Separando la parte reale dalla parte immaginaria nell’esponente delle esponenzialie raccogliendo a fattore si ottiene finalmente

(5.9) upx, tq “ÿ

nPZfpnqe´

?2π|n|xer2πnt´

?2π|n|x signpnqsi.

Abbiamo cosı una possibile soluzione del problema. Dobbamo verificare che sod-disfa tutte le condizioni del problema. Calcolando in x “ 0 entrambi i termini siottiene, per la regolarita assunta su f , che e soddisfatta la condizione up0, tq “ fptqper ogni t.Per il teorema sulla caratterizzazione delle funzioni C81 si ha che, per ogni x ą 0,la funzione tÑ upx, tq e C81 . Infatti i coefficienti di Fourier della serie in (5.9) sonouna successione a decrescenza rapida:

ˇ

ˇfpnqe´?

2π|n|xe´?

2π|n|x signpnqiˇ

ˇ ă f1 e´?

2π|n|x.

Proviamo che per ogni t P r´ 12 ,

12 s la funzione x Ñ upx, tq e in C8p0,`8q. Sia t

fissato e sia δ ą 0, in ogni intervallo pδ,`8q la serie (5.9) converge totalmente equindi uniformemente, e quindi u e continua rispetto a x in p0,`8q. Applicandoil teorema di derivazione termine a termine si ottiene che u e C8 rispetto a x inp0,`8q.Queste considerazioni ci assicurano che le operazioni di derivazione sotto il se-gno eseguite nella procedura euristica sono lecite, e quindi la funzione in (5.9) esoluzione del problema.

Interpretazione della formula risolutiva e risposta al problema iniziale.Dalla formula (5.9) si vede come cambia la componente armonica di posto n nelpassaggio dalla superficie alla profondita x: l’ampiezza fpnq viene moltiplicata per il

fattore e´?

2π|n|x mentre il termine e2πint viene modificato in er2πnt´?

2π|n|x signpnqsi.Quindi l’armonica viene smorzata e traslata.Assumiamo come modello per l’evoluzione della temperatura sulla superficie nel-l’arco di un anno la funzione seno:

fptq “ sinp2πtq “e2πti ´ e´2πti

2i.


Poiche tutti i coefficienti di Fourier di f sono zero tranne fp1q “ 12i e fp´1q “ ´ 1

2idalla (5.9) si ha

upx, tq “1

2ie´?

2π x”

´ep?

2π x´2πtqi ` ep´?

2π x`2πtqiı

“ e´?

2π x sinp2πt´?

2π xq

Possiamo ora chiarire il significato della richiesta di individuare la profondita a cuile stagioni si invertono completamente. Vogliamo trovare la profondita a cui l’an-damento della temperatura presenta un massimo esattamente quando in superficiesi ha un minimo e viceversa. Ovviamente cio accadra quando la traslazione sara di

mezzo periodo, cioe alla profondita xo “?π?

2.

Ora se al posto del coefficiente k “ 0.5 sostituiamo il coefficiente di conducibilitatermica del suolo si ottiene la profondita di 4 metri.

Esercizio 5.6 L’ipotesi f P C01 puo bastare per arrivare allo stesso risultato ?

Cap. I , n. 6 . Il problema del calore in un disco isolato 39

6 . Il problema del calore in un disco isolato.

Heat, like gravity, penetrates every substan-ce of the universe, its rays occupy all parts ofspace. The object of our work is to set forththe mathematical laws which this elementobeys. The theory of heat will hereafter formone of the most important branches of generalphysics.J. Fourier - Analytical Theory of Heat

In questa sezione risolviamo il problema di Dirichlet. L’equazione del calore in duedimensioni e la seguente

(6.1)Bu

Bt“ k4 u “ k

´

B2u

Bx2`B2u

By2

¯

In condizioni di equilibrio termico la soluzione e indipendente dal tempo e l’equa-zione si riduce a

4u “ 0.

Problema di Dirichlet. Sia

D “ tpx, yq : x2 ` y2 ă 1u, D “ tpx, yq : x2 ` y2 ď 1u

e

BD “ tpx, yq : x2 ` y2 “ 1u.

Sia f : BD Ñ R continua. Vogliamo trovare una funzione u : D Ñ R tale che

i) u P C2pDq X C0pDq

ii) 4u “ 0 su D

iii) u “ f su BD

Discussione euristica. Per trovare una formula risolutiva procediamo euristica-mente, supponendo che una soluzione del problema esista. Conviene introdurre lecoordinate polari. Denotiamo con U : p0, 1s ˆ RÑ R e con F : RÑ R le funzioni

Upr, θq “ upr cospθq, r sinpθqq

F pθq “ fpcospθq, sinpθqq


Esprimendo il Laplaciano in coordinate polari si ottiene che U e soluzione dell’e-quazione

(6.2) Urr `1

rUr `

1

r2Uθθ “ 0.

per ogni pr, θq P p0, 1q ˆ R. Inoltre per la condizione al bordo si ha

(6.3) Up1, θq “ F pθq

per ogni θ P R. Supponiamo che per ogni 0 ă r ă 1 fissato Upr, θq sia sviluppabilein serie di Fourier e sia

Upr, θq “ÿ

nPZanprqe

inθ,

il suo sviluppo. Per trovare i coefficienti an, n P Z supponiamo di poter derivaretermine a termine due volte e sostituiamo nell’equazione differenziale (6.2). Si ha

ÿ

n

”

a2nprq `1

ra1nprq `

1

r2pinq2anprq

ı

einθ “ 0

per ogni θ e 0 ă r ă 1. E quindi si ha

(6.4) a2nprq `1

ra1nprq ´

n2

r2anprq “ 0

per ogni n P Z e 0 ă r ă 1. Abbiamo cosı ottenuto un sistema di infinite equazionidifferenziali di tipo omogeneo nell’incognita r. La condizione al bordo da affiancarealla n-sima equazione si ottiene dalla (6.3):

(6.5) anp1q “ F pnq

n P Z. Per risolvere (6.4) cerchiamo una soluzione della forma anprq “ cnrp dove

cn P R e p P Z. Sostituendo questa funzione nell’equazione (6.4) si ha

ppp´ 1qrp´2 `1

rprp´1 ´

n2

r2rp “ 0

e raccogliendo a fattore rp´2, si ottiene p “ ˘|n|. Pertanto la soluzione generaledella (6.4) e una combinazione lineare delle due soluzioni linearmente indipendentianprq “ r´|n| e anprq “ r|n|. La prima soluzione va scartata perche non e infini-tesima per |n| Ñ 8 e contrasta con il Teorema di Riemann Lebesgue, si ottienecosı anprq “ cnr

|n|. Dalla (6.3) si ha anp1q “ F pnq “ cn Abbiamo cosı ottenuto icoefficienti di Fourier di U

anprq “ F pnqr|n| n P Z.

Quindi

(6.6) Upr, θq “ÿ

nPZ

pF pnqr|n|einθ “ Pr ˚ F pθq.

Cap. I , n. 6 . Il problema del calore in un disco isolato 41

Passando alle coordinate polari, abbiamo cosı trovato una possibile formula risolu-tiva per il problema di Dirichlet.Dobbiamo ora verificare che l’espressione trovata (6.6) e effettivamente soluzionedel problema. Osserviamo che, spezzando in due la somma, il primo membro sipuo scrivere

(6.7) Upr, θq “8ÿ

n“0

F pnqrneinθ `8ÿ

n“1

F pńqrneínθ,

che suggerisce di usare la teoria delle funzioni di variable complessa. Poniamoz “ x ` iy “ reiθ identificando un punto px, yq P R2 con il punto z “ x ` iy delpiano complesso. Scriveremo percio indifferentemente upx, yq oppure upzq, o ancoraupreiθq e fpcospθq, sinpθqq oppure fpeiθq. Cambiando variabile, la (6.7) si riscrive

upx, yq “8ÿ

n“0

F pnqzn `8ÿ

n“1

F pńqzn “ L1pzq ` L2pzq,

dove abbiamo posto

(6.8) L1pzq “8ÿ

n“0

F pnqzn L2pzq “8ÿ

n“1

F pńqzn

(si noti che le funzioni dipendono dal dato al bordo f). Possiamo dunque dedurrela regolarita di u da quella delle funzioni L1 e L2.

Lemma 6.1. Sia f : BD Ñ C una funzione continua e sia F la funzione definitada F pθq “ fpeiθq. Allora si ha

i) le funzioni L1 e L2 in (6.8) sono analitiche in D.

ii) La funzione

Lpzq “

#

L1pzq ` L2pzq se z P D

fpzq se z P BD.

e C8 su D e continua su D.

iii) se f e reale anche L e reale.

Dimostrazione. i) Poiche F e continua la successione pF pnqq e infinitesima e quindilimitata. Quindi le serie che definiscono L1 e L2 hanno raggio di convergenzaalmeno 1. Quindi L1 e L2 sono analitiche in D.ii) L2pzq non e analitica, perche la coniugazione non preserva l’analiticita, pero eC8 in D. Quindi la funzione L e C8 in D; proviamo che e continua sul bordo, cioeche per ogni Po di coordinate polari p1, θ0q si ha

limpr,θqÑp1,θ0q

Lpreiθq “ F pθ0q.


Osserviamo che

(6.9) Lpreiθq “ÿ

nPZF pnqr|n|einθ “ Pr ˚ F pθq

e stimamo la differenza

(6.10) |Lpreiθq ´ F pθ0q| ď |Pr ˚ F pθq ´ F pθq| ` |F pθq ´ F pθ0q|.

Poiche F e continua, per il Teorema 2.13 si ha Pr ˚ F ´ F C02πÑ 0, cioe

limrÑ1

maxθPr0,2πq

ˇ

ˇ

ˇPr ˚ F pθq ´ F pθq

ˇ

ˇ

ˇ“ 0.

Dalla (6.10), per la continuita di F ne segue la tesi.iii) Dalla (6.9) la tesi segue subito perche il prodotto di convoluzione fra due funzionireali e reale.

Teorema 6.2. Sia f : BD Ñ R continua e denotiamo con F la funzione definitada F pθq “ fpeiθq per θ P R. Sia u “ upx, yq la funzione su D definita da

(6.11) upr cospθq, r sinpθqq “

$

’

’

&

’

’

%

ÿ

nPZ

pF pnqr|n|einθ se 0 ă r ă 1

F pθq se r “ 1.

x “ r cospθq, y “ r sinpθq. Allora u P C8pDq X C0pDq ed e soluzione del problemadi Dirichlet.

Dimostrazione. Dalla formula (6.11) che esprime u, spezzando la somma, si ha

upr cospθq, r sinpθqq “ÿ

ně0

pF pnqr|n|einθ `ÿ

nă0

pF pnqr|n|einθ

“ÿ

ně0

pF pnqr|n|einθ `ÿ

ną0

pF p´nqr|n|e´inθ.

Ponendo z “ x` iy “ reiθ si ottiene:

upx, yq “ L1px` iyq ` L2px´ iyq

dove L1pzq e L2pzq sono le funzioni in (6.8). Dal Lemma 6.1 segue subito cheu P C8pDqXC0pDq. Per provare che 4u “ 0 basta osservare che, per la regolaritadi u, sono lecite tutte le operazioni di derivazione sotto il segno di serie fatte nelladiscussione euristica che precede il Lemma 6.1.

Cap. I , n. 7 . Il problema del calore su un filo circolare 43

7 . Il problema del calore su un filo circolare.

In questa sezione risolviamo il seguente problema: assegnata la temperatura inizialein tutti i punti di un filo conduttore circolare, si vuole determinare la temperaturadi ogni punto del filo negli istanti successivi.Come vedremo, procedendo in maniera euristica, si trova una famiglia di identitaapprossimate “naturalmente e intrinsecamente associata al problema”, che svolgeun ruolo analogo a quello svolto dal nucleo di Poisson nel problema del disco isolato.Prima di formulare analiticamente il problema introduciamo questa nuova famiglia:la famiglia

(7.1) ωtpxq “ÿ

n

e´n2teinx t ą 0

si chiama nucleo di Gauss-Weierstrass o nucleo del calore.

Teorema 7.1. i) Per ogni t ą 0 la funzione ωt e in C82π e soddisfa l’identitadi Jacobi:

ωtpxq “

c

π

t

ÿ

k

e´px´2kπq24t.

ii) La famiglia ωt, t ą 0, e una identita approssimata in senso forte e per ognif P L1

2π si ha f ˚ ωt P C82π; inoltre

f ˚ ωtpxq “ÿ

n

fpnqe´n2teinx.

Dimostrazione. i) Sia t ą 0; allora ωt e C82π perche i suoi coefficienti di Fouriersono una successione a decrescenza rapida. Lasciamo come esercizio la dimo-strazione dell’identita di Jacobi (Esercizio 2.16). Osserviamo che l’identita econseguenza immediata della formula di sommazione di Poisson, che vedremopiu avanti.

ii) Poiche le funzioni ωt sono positive e hanno media 1, dobbiamo provare soloche vale la (2.18) che riscriviamo

(7.2) limtÑ0`

maxδď|x|ďπ

ωtpxq “ 0, 0 ă δ ă π.

Sia 0 ă δ ă π, denotiamo con Iδ l’insieme definito da δ ď |x| ď π. Dall’iden-tita di Jacobi, spezzando la somma e cambiando variabile si ha

(7.3) ωtpxq “

c

π

t

´

ÿ

|k|ď1

e´px´2kπq24t`

`8ÿ

k“2

e´px´2kπq24t`

`8ÿ

k“2

e´px`2kπq24t¯


Stimiamo la prima somma; si ha

maxIδ

e´x2

“ e´δ2

.

Poiche in Iδ le funzioni e´px´2πq2 e e´px`2πq2 sono rispettivamente crescentee decrescente si ha

maxIδ

e´px´2πq2 “ e´π2

ď e´δ2

, maxIδ

e´px`2πq2 “ e´π2

ď e´δ2

.

Cosı abbiamo provato che la prima somma si maggiora con 3 e´δ2

4t . Stimiamoora la seconda somma in (7.3); poiche per k ě 2 si ha p1´ 2kq2 ą k2, alloraper x P Iδ si ha

`8ÿ

k“2

e´px´2kπq24t ă

`8ÿ

k“2

e´π2p1´2kq24t ă

`8ÿ

k“2

e´π2k24t ă

ă

ż `8

1

e´π2x2

4t dx “

?4t

π

ż `8

π?

4t

e´y2

dy.

In maniera analoga si prova che la terza somma in (7.3) si maggiora con lastessa quantita. Quindi

maxδď|x|ďπ

ωtpxq ď

c

π

t

”

3 e´δ2

4t ` 2

?4t

π

ż `8

π?

4t

e´y2

dyı

Poiche il secondo membro tende a zero per t Ñ 0 abbiamo provato la (7.2)e quindi che la famiglia pωtq e una identita approssimata in senso forte. Ilresto del punto ii) e diretta conseguenza della teoria svolta nella Sezione 3(Lemma 3.7). Il teorema e cosı completamente dimostrato.

Il problema Supponiamo sia assegnata la temperatura iniziale f di ogni puntodi un conduttore circolare di raggio 1. E conveniente pensare alla funzione tem-peratura iniziale come ad una funzione f definita su tutto R, periodica di periodo2π. Sia upx, tq, x P r0, 2πs e t P r0,`8q la temperatura del punto x all’istantet. Denotiamo con S la striscia S “ r0, 2πs ˆ p0,`8q. Supporremo per semplicitache la costante di diffusione termica nell’equazione del calore sia uguale ad 1. Ilproblema da risolvere e dunque il seguente: assegnata f P C0

2π, determinare unafunzione u definita in S tale che

i) per ogni t ą 0 la funzione x Ñ upx, tq e in C22π e per ogni x P r0, 2πs la

funzione tÑ upx, tq e in C1 in p0,`8q

ii) si ha

(7.4)Bu

Bt“B2u

Bx2

Cap. I , n. 7 . Il problema del calore su un filo circolare 45

per ogni px, tq P S

iii) upx, 0q “ fpxq per ogni x P r0, 2πs

Anche in questo caso troveremo una formula risolutiva ragionando in maniera eu-ristica. Supponiamo che esista una soluzione del problema e che per ogni t ě 0 lafunzione xÑ upx, tq sia sviluppabile in serie di Fourier:

(7.5) upx, tq “ÿ

cnptqeinx

Supponendo che sia lecito, deriviamo sotto il segno di somma due volte rispettoa x e una volta rispetto a t. Uguagliando i coefficienti di Fourier degli sviluppi inserie delle derivate, si ottiene il sistema di infinite equazioni differenziali del primoordine a coefficienti costanti:

c1nptq “ ń2cnptq n P Z.

Le condizioni iniziali di queste equazioni si ottengono dalla condizione iniziale delproblema che si traduce, in termini dei coefficienti di Fourier, cnp0q “ fpnq, n P Z.La soluzione di

c1nptq “ ń2cnptq cnp0q “ fpnq

e cnptq “ fpnqeń2t. Abbiamo cosı ottenuto la formula

(7.6) upx, tq “ÿ

nPZeń

2tfpnqeinx “ wt ˚ fpxq, t ą 0

che esprime u come prodotto di convoluzione della funzione condizione iniziale peril nucleo di Weiestrass. Mostriamo ora che la funzione

(7.7) upx, tq “

#

ωt ˚ fpxq se t ą 0

fpxq se t “ 0

e soluzione del problema. Verifichiamo che le operazioni di derivazione sotto ilsegno di somma sono lecite. Sia δ ą 0 si ha

ÿ

nPZ

ˇ

ˇeń2tfpnqeinx

ˇ

ˇ ďÿ

nPZ

ˇ

ˇeń2δ fpnq

ˇ

ˇ t ě δ.

Poiche la successione pfpnqq e limitata, possiamo concludere che la serie in (7.6)converge uniformemente in r0, 2πs ˆ rδ,`8q. Usando ripetutamente il teorema diderivazione termine a termine, si ottiene che u e tutte le sue derivate sono continuecome funzioni di due variabili in r0, 2πq ˆ rδ,`8q per ogni δ ą 0, e quindi u e inC8pSq.Mostriamo ora che la funzione u in (7.7) e continua in S. Sia xo P r0, 2πq fissato.Aggiungendo e togliendo fpx0q si ottiene

|upx, tq ´ fpxoq| ď |upx, tq ´ fpxq| ` |fpxq ´ fpxoq|.


Per il Teorema 2.13 u “ ωt ˚ f converge uniformemente a f per t Ñ 0; da cio edalla continuita di f si ottiene

limpx,tqÑpxo,0q

upx, tq “ fpxoq.

Infine, la funzione u in (7.7) e soluzione dell’equazione (7.4) in S perche, per leconsiderazioni fatte sopra, le derivazioni sotto il segno eseguite nella derivazioneeuristica della funzione u sono lecite.Abbiamo cosı completamente risolto il problema.

Cap. I , n. 8 . Note e approfondimenti 47

8 . Note

1 Jean Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), era un ammministratore un di-plomatico e un matematico. Dal carattere rivoluzionario, condusse una vitaavventurosa: presidente di comitati rivoluzionari, docente alla Ecole Poly-technique, al seguito di Napoleone nella campagna d’Egitto. Vedi il primocapitolo del libro [10] di E. Prestini .

2 Ricordiamo che esiste una metrica su C8T , che pero non e indotta da unanorma.

3 Quando si guarda a Lp2π, 0 ď p ď 8, si deve pensare ad uno spazio i cuielementi non sono funzioni ma classi di equivalenza, due funzioni apparten-gono ad una stessa classe di equivalenza se e solo se coincidono quasi ovun-que. Per semplicita di linguaggio lasceremo sottointesa questa distinsione econtinueremo a parlare di questi spazi come spazi di funzioni.

4 In queste note la convergenza (puntuale o in norma) della serieř

nPZ fpnqeinx

e intesa come limite (puntuale o in norma) della somma parziale “simmetrica“

limNÑ`8

ÿ

|n|ďN

fpnqeinx.

Ricordiamo che un sistema ortonormale tE “ en : n P Zu di elementi di unospazio di Hilbert si dice completo se l’unico elemento dello spazio ortogonalea tutti gli elementi di E e‘ l’elemento nullo.Inoltre una famiglia F “ tfn : n P Zu di elementi di uno spazio di Hilberte una base se ogni elemento dello spazio si puo scrivere in un unico modocome combinazione lineare (eventualmente infinita) degli elementi della base(convergente nel senso della norma).Sappiamo dalla teoria degli spazi di Hilbert che ogni base ortonormale e unsistema ortonormale completo e viceversa.

5 Piu generale: se 0 ă q ă p ă 8 allora Lp2π Ă Lq2π e fq ď fp. Ladimostrazione di questa disuguaglianza, che e basata sulla disuguaglianza diH:older, si puo trovare sul libro di R. E. Edwards [4], pag 28.Ricordiamo la disuguaglianza di H:older: siano 1 ď r, s ď 8 e 1r ` 1s “ 1.Se f P Lr2π g P L

s2π allora si ha fg1 ď frgs.

Nello stesso volume (pag 29) si possono trovare le inclusioni relative agli spazi`p : se 0 ă q ă p ă 8 si ha

`q Ă `p Ă `8

e c8 ď cp ď cq.

5 Lejeune Dirichlet visse nel 1800 e diede rilevanti contributi in Teoria algebri-ca dei numeri, Teoria analitica dei numeri, Teoria del potenziale e Serie diFourier.


6 In realta le ipotesi del lemma si possono indebolire; infatti basta che f P Cq´12π

e fq´1 assolutamente continua. Una funzione si dice assolutamente continuase e derivabile q.o., f 1 P L1

2π e fpxq “ fpxoq `şx

xof 1ptqdt.

7 L’esempio di Fejer si puo trovare in [4] p.161.

8 M. Lacey e C.Thiele hanno provato questo risultato in maniera piu semplicee molto piu breve (10 pagine).

9 Si puo definire il prodotto di convoluzione anche fra successioni: se a “ panqe b “ pbnq il prodotto di convoluzione fra a e b e la successione definita da

(8.1) pa ˚ bqn “ÿ

kPZan´kbk n P Z

Vale il seguenteTeorema Siano 1 ď p ď 8, 1 ď q ď 8 e r tali che 1

p `1q “ 1` 1

r . Se a P `p

e b P `q allora si ha a ˚ b P `r e

(8.2) a ˚ b`r ď a`pb`q .

Per p e q uguali ad 1 la dimostrazione e molto semplice.

Cap. I , n. 9 . Esercizi. Serie di Fourier di funzioni assolutamente integrabili. 49

9 . Esercizi. Serie di Fourier in L22π e L1

2π.

1.1 Sia f P LpT pRq provare che per ogni numero reale a si haşT

0|fpxq|p dx “

şa`T

a|fpxq|p dx. Dedurne l’invarianza per traslazioni dello spazio LpT

1.2 pSq Questo esercizio stabilisce le relazioni (vedi (9.1) (9.2) qui sotto) fra icoefficienti di Fourier di una funzione secondo i due sistemi ortonormali completidi L2

2π

E “ teikx, k P Zu S “ t1,?

2 sin kx,?

2 cos kx, k P Nu.

Sapendo che S e una base ortonormale di L22π (visto nel corso di IAS) verificare

che anche E lo e.La serie di Fourier di una funzione f P L2

2π secondo il sistema reale S, si scrive

ao2`

8ÿ

1

an cosnx ` bn sinnx

dove

an “1

π

ż 2π

0

fpxq cosnx dx, bn “1

π

ż 2π

0

fpxq sinnx dx,

n P N. Mostrare le relazioni

(9.1) ao “ 2fp0q, an “ fpnq ` fpńq bn “ irfpnq ´ fpńqs,

dalle quali si ricava

(9.2) fpnq “1

2pan ´ ibnq fpńq “

1

2pan ` ibnq n ě 0.

1.3pSq Dimostrare le proprieta della trasformata di Fourier (Teorema 2.1).Provare

inoltre che se f P L12π e k, ` P Z si ha yekf “ fp`´ kq dove ekpxq “ eikx.

1.4pSq

i) Sia f P L22π e sia cn “ fpnq, n P Z. Mostrare che

f reale ô cń “ cn, n P Zf reale ô an e bn reali, n P Nf pari ô cń “ cn, n P Zô bn “ 0, n P N

f dispari ô cń “ ćn, n P Zô an “ 0, n P Nf reale, pari ô pcnq reale pari

f reale, dispari ô pcnq immaginaria, dispari


Le proprieta sulla sinistra sono intese in senso quasi ovunque.

ii) Sia f P L2T . Allora f P L2

2T . Trovare la relazione fra i coefficienti di Fourierdelle due funzioni. Scrivere le due espansioni in serie di Fourier.

Dunque il punto i) mostra che la successione dei coefficienti di Fourier pcnqnPZriflette la parita o disparita della funzione. Inoltre nella serie di Fourier di unafunzione pari compaiono solo i termini nei coseni, e nella serie di Fourier di unafunzione dispari compaiono solo i seni.

1.5 pSq Scrivere la serie di Fourier della funzione di periodo 2π che nell’intervallor0, 2πs coincide con sin2

pxq.

1.6 Sia f P L12π e sia P pxq “

ÿ

|n|ďN

cneinx. Trovare i coefficienti di Fourier di fP.

(Confrontare con il risultato dell’esercizio 2.16, punto iv) piu avanti).

1.7 Sia f la funzione 2π-periodica tale che nell’intervallo r0, πs e uguale a sinptq ein pπ, 2πs e uguale a zero. La sua serie di Fourier e

1

π`

1

2sin t´

2

π

8ÿ

1

1

p2nq2 ´ 1cosp2ntq.

Usando una delle proprieta del Teorema 2.1, trovare la serie di Fourier della funzionedello stesso periodo tale che

gptq “

#

´ cos t se t P rπ2 ,32πs

0, altrimenti.

1.8 Trovare la serie di Fourier della funzione f , periodica di periodo 2, che nell’in-tervallo p´1, 1q e uguale a eiπzt, z P C.

Dedurne la relazione

π2

psinpπxqq2“

ÿ

nPZ

1

px´ nq2x P R´ Z.

1.9 ˚˚˚ E assegnata la funzione f , 2π´periodica cosı definita in r0, 2πq

fpxq “ logp2 sinpx2qq

i) verificare che f e pari.

ii) dire se e in L12π e se e in L2

2π

Cap. I , n. 9 . Esercizi. Serie di Fourier di funzioni assolutamente integrabili. 51

iii) Mostrare che la sua serie di Fourier e

´

8ÿ

n“1

1

ncospnxq.

Per calcolare i coefficienti an, n ě 1 di questa serie utilizzare l’osservazione(da verificare) che

In “

ż π

0

cotpx2q sinpnxq dx n ě 1

non dipende da n. Per mostrare che a0 “ 0 utilizzare il seguente integrale

ż π2

0

logpsinpxq dx “ ´π2 logp2q

che puo essere ottenuto mediante integrazione complessa (non e richiesto ilcalcolo dell’integrale).

1.10 Mostrare tutte le affermazioni contenute nell’Esempio 2.1

1.11 Provare tutte le affermazioni contenute nell’Esempio 2.2.

1.12 Provare tutte le affermazioni contenute nell’ Esempio 2.3.

Sugg:8ÿ

0

rneinx “1´ r cosx

1´ 2r cosx` r2` i

r sinx

1´ 2r cosx` r2.

1.13 Provare gli Esercizi 2.1, 2.2, 2.3 sul prodotto di convoluzione fra una funzionedi L1 e i nuclei di Dirichlet, di Fejer e di Poisson contenuti della Sezione 2 delCapitolo.1.

1.14 Provare che la famiglia tFn, n P Nu e un’ identita approssimata in senso forte(Proposizione 2.6).

1.15 Provare che la famiglia tPr, 0 ă r ă 1u e un’ identita approssimata in sensoforte (Proposizione 2.6).

1.16 (***) Mostrare che la famiglia tDn, n P Nu non e una identita approssimata

1.17 Verificare che nella dimostrazione del Corollario 2.10 si puo usare il nucleo diPoisson al posto del nucleo di Fejer (usare la formula (2.16)).

1.18 Provare il Lemma 2.12 e il Teorema 2.13.Suggerimento: Per la verifica della continuita di un ˚ f usare il teorema dellaconvergenza dominata. Le dimostrazioni del lemma e del teorema sono analoghe aquelle del Lemma 2.8 e del Teorema 2.9.


1.19 Usando il Teorema 2.9 mostrare che il sistema ortogonale teinxn P Zu in L22π

e completo p2q.Quindi, abbiamo una dimostrazione che si tratta di una base di L2

2π p2q.

1.20 Provare che P2π e denso in C02π usando il Teorema 2.13.

1.21 Costruire un esempio di identita approssimata.

1.22 Mostrare che se P e un polinomio trigonometrico non nullo di grado al piu nallora P ha al piu 2n zeri in r0, 1q.Sugg Sia P pxq “

ř

|k|ďn cke2πikx considerare Qpzq “ zn

ř

|k|ďn ckzk.

Cap. I , n. 10 . Esercizi. Convergenza puntuale 53

10 . Esercizi. Convergenza puntuale e applicazioni

2.1 i) Scrivere la serie di Fourier (nelle due forme reale e complessa) della funzionef periodica di periodo 2π che nell’intervallo r0, 2πq e uguale a x2. Dedurne la seriedella funzione τπf.ii) Scrivere la serie di Fourier (nelle due forme reale e complessa) della funzione

periodica di periodo 2π che nell’intervallo r´π, πq e uguale a x2. Confrontare icoefficienti di Fourier di questa funzione con quelli della funzione al punto i)iii) Usando l’identita di Parseval (1.5), mostrare che

8ÿ

n“1

1

n4“π4

90.

2.2 Scrivere le serie di Fourier della funzione periodica di periodo 2 che nell’inter-vallo r´1, 1q e uguale a x. In alternativa trovare le serie di x2 o di x3 (sempre conperiodo 2).

2.3 (***) Sia f P L12πpRq. Mostrare che sono equivalenti le proposizioni

i) Esistono due numeri reali positivi K e σ tali che |fpnq| ď Ke´σ|n| n P Zii) Esiste un ε ą 0 tale che f ammette una estensione analitica nella striscia|Immpzq| ă ε.

2.4 (**) Si consideri la funzione di variabile complessa dipendente dal parametro0 ă r ă 1 :

F pzq “ p1´ r2qz

pz ´ rqp1´ rzq

Verificare che e olomorfa in una corona circolare contenente la circonferenza uni-taria. Spiegare la relazione fra il suo sviluppo di Laurent e la serie di Fourier dellafunzione Prpxq in (2.8).

2.5 Sia f periodica di periodo 2π, derivabile e con derivata continua. Provare chela sua serie di Fourier converge uniformemente ad f eseguendo i seguenti passi:a) mostrare che

ř

n2|fpnq|2 ă 8,b) dedurne che

ř

|fpnq| ă 8, e quindi cheř

fpnqeinx converge ad una funzione gcontinua,d) osservare che f “ g e concludere.

2.6pSq Dire se la famiglia di funzioni 1-periodiche definite da

unpxq “

#

n se |x| ď 12n

0, se 12n ă |x| ď

12

e una identita approssimata.


2.7 p˚q Una funzione perodica di periodo 2π si dice assolutamente continua, e siscrive f A.C., sei) e derivabile q.o.,ii) f 1 e assolutamente integrabile in r0, 2πs e, per ogni x, si ha

fpxq “ fp0q `

ż x

0

f 1ptqdt.

Mostrare che se f P Cq´12π pRq, q ě 1 e f pq´1q A.C. allora si ha

yf ppqpkq “ pikqpfpkq

per p ď q e per ogni k P Z. Cio mostra che la tesi del Lemma 1.1 e vera in ipotesipiu deboli.

2.8p˚q Usando il risultato dell’esercizio precedente mostrare che la serie di Fourierdella funzione periodica di periodo 2π che nell’intervallo r´π, πq e uguale a x2 sipuo dedurre dalla serie di Fourier di x. Si puo usare lo stesso risultato per dedurrela serie di x3 da quella di x2?

2.9 i) Sia f una funzione, continua nell’intervallo r0, 2πq, tale che

limxÑ2π´

fpxq “ fp2π´q ă 8

e fp0q “ fp2π´q. Sia inoltre f 1 continua in p0, 2πq con derivate finite agli estremidell’intervallo. Allora la successione dei coefficienti di Fourier della funzione fpottenuta periodizzando f con periodo 2π e infinitesima di ordine 1.Sugg: scrivere fppkq e integrare per parti.ii) Usando il risultato del punto i) dire quale e l’ordine di infinitesimo delle succes-

sioni di Fourier delle funzioni periodiche di periodo 2π che nell’intervallo r0, 2πq,coincidono con ex, x3, sinhpxq.

2.10 Fornire una seconda dimostrazione del Teorema 3.7 per n “ 0.Sugg Usare l’osservazione che se f P C0

2π e g P L12π allora

supxPr0,2πs

|f ˚ gpxq| ď fC02πg1

e che la traslazione τhe una operazione continua in C02π rispetto al parametro h

(vedi Lemma 2.12).

2.11pSq Siano f, g, h le tre funzioni 2π´periodiche cosı definite in r0, 2πs :

fpxq “

#

1 se π2 ď x ď 3π

2

0 altrimentigpxq “ sinpx2q hpxq “

3

5´ 4 cosx,

Cap. I , n. 10 . Esercizi. Convergenza puntuale 55

a) trovare la loro serie di Fourierb) dire se, e in che senso, la somma parziale della loro serie di Fourier tende allafunzione.c) mettere in relazione la regolarita di ciascuna funzione con l’andamento a zerodella successione dei coefficienti di Fourier.

2.12pSq Si considerino le funzioni

fpxq “x

2fpxq “

|x|

πfpxq “

$

’

&

’

%

12 se 0 ă x ď π

´ 12 se ´π ă x ď 0.

disegnare il grafico di Sn e f ˚ Fn. Dove compare il fenomeno di Gibbs?

2.13 Denotiamo con θt, t ą 0 la funzione introdotta nel Teorema 7.1

θtpxq “

c

π

t

ÿ

k

e´px´2kπq24t.

e sia wtpxq “ř

e´n2teinx (cfr (7.1)). Provare che θtpxq “ wtpxq per ogni x.

Sugg. Calcolare i suoi coefficienti di Fourier, utilizzando la formula

ż

e´x2

e´2πixξ dx “?πe´πξ

2

.

che sara provata nel Cap.2.

2.14 Sia ω un numero reale minore di π. Denotiamo con χω la funzione 2π-periodicadefinita da

χωpxq “

#

1 se |x| ă ω2

0 se ω2 ă |x| ă π

i) Mostrare che la sua serie di Fourier e

ω

2π

ÿ

kPZsinc

´k ω

2

¯

eikx.

e dire se tende alla funzione, in caso positivo specificare in che senso.

ii) Trovare la somma delle due serie

´ ω

2π

¯2 ÿ

kPZsinc2

´kω

2

¯

eikx i´ ω

2π

¯2 ÿ

kPZk sinc2

´kω

2

¯

eikx.

2.15 Dire se le seguenti implicazioni sono vere o false, motivando le risposte


i) f P L12π ñ fpnq Ñ 0

ii) an Ñ 0 ñř

nPZ aneinx e la serie di Fourier di una funzione di L1

2π

iii) f P L22π ñ

ř

nPZ |fpnq|2 ă `8

iv)ř

nPZ |fpnq|2 ă `8 ñ f P L2

2π

v) f P Cq2π, q ě 1 ñ |fpnq| ă cost|n|q @n

vi) f P C12π ñ

ř

nPZ |fpnq| ă `8

vii) f P L22π,

ř

|fpnq||n| ă 8 ñ f P C12π (precisare il senso)

2.16 ˚˚˚ (Serie di Fourier di un prodotto) Siano f e g in L22π. La formula (10.2)

qui sotto fornisce i coefficienti di Fourier di fg .

i) Mostrare che fg P L12π

ii) Denotiamo con hN il prodotto

hN pxq “ SN pf, xqSN pg, xq n P Z.

Mostrare che

(10.1) xhN pnq “

#

ř

jPIn,N fpn´ jqgpjq se |n| ď 2N

0, se |n| ą 2N.

dove I “ In,N “ tj : |j| ď N , |j ´ n| ď Nu; vale a dire

In,N “ tj : maxpn´N,´Nq ď j ď minpn`N,Nqu.

iii) Provare che hN tende a fg in L12π.

iv) Provare che

(10.2) ypfgqpnq “ÿ

jPZfpn´ jqgpjq n P Z.

iv) Mettere in relazione questo risultato con l’Esercizio 1.6.

Capitolo II

Integrale di Fourier

Questo capitolo e dedicato all’integrale di Fourier

ż

fpxqe´2πixξ dx

e alla trasformata di Fourier per le funzioni assolutamente integrabili e per le fun-zioni di quadrato integrabile su R. Abbiamo visto che una funzione periodica diperiodo T abbastanza regolare puo essere sviluppata in serie di Fourier, cioe puoessere scritta come combinazione lineare delle funzioni en P Z, enpxq “ e2πinx concoefficienti dati da (1.3). In maniera analoga vedremo che, in opportune ipotesi,una funzione su R puo essere scritta come sovrapposizione continua delle funzio-ni esponenziali eypxq “ e2πixy, aventi modulo 1, con coefficienti dipendenti da y(3.11). Gran parte dei risultati di questo capitolo hanno una forte analogia confatti visti nel contesto delle serie di Fourier. Altri sono nuovi, come ad esempiole proprieta di invarianza della trasformata di Fourier sotto l’azione di dilatazioni(vedi il Teorema 3.1).Nella Sezione 1 stabiliamo alcuni teoremi di densita necessari per la teoria e richia-miamo alcuni fatti visti nel corso di Istituzioni di Analisi Superiore. La Sezione 2 ededicata al prodotto di convoluzione su R e alle identita approssimate. Nella Sezio-ne 3 introduciamo la trasformata di Fourier di funzioni assolutamente integrabilie la sua relazione con i principali operatori come la traslazione, la modulazione ladilatazione e la derivazione. Inoltre affrontiamo il problema della inversione dellatrasformata di Fourier nel contesto delle funzioni assolutamente integrabili. Ultimoargomento di questa sezione e la Formula di Poisson, che riguarda entrambi i mondidelle funzioni definite su R e delle funzioni periodiche. Questa formula riguarda laperiodizzazione delle funzioni definite su R, cioe la costruzione di una funzione pe-riodica mediante sovrapposizione di infinite traslate di una funzione assegnata. LaSezione 4 e dedicata alla trasformata di Fourier di funzioni di quadrato sommabile,che in questo spazio assume una veste particolarmente elegante.La Sezione 6 e dedicata interamente alle funzioni cosiddette a banda limitata,cioe le funzioni la cui trasformata di Fourier ha supporto in un intervallo limita-to. Per queste funzioni vale il Teorema del campionamento di Shannon che ha


come conseguenza che ogni funzione a banda puo essere ricostruita esattamente dacampionature in punti equidistanti. La spaziatura fra i punti e ineversamente pro-porzionale all’ampiezza della banda. La Sezione 7 contiene una breve introduzionealla derivata debole in L2 e agli spazi di Sobolev.

Cap. II , n. 1 . Notazioni e richiami. 59

1 . Notazioni e richiami.

Con L8 denoteremo lo spazio delle funzioni essenzialmente limitate su R, munitodella norma

f8 “ supxPR

ess|fpxq|.

Con il simbolo Lp, 1 ď p ď 8, denoteremo lo spazio delle funzioni definite su R,misurabili e tali che |f |p e integrabile su R, munito della norma

fp “´

ż

R|fpxq|pdx

¯1p

.

Lo spazio Lp, 1 ď p ă 8, e uno spazio di Banach. Lo spazio L2 e anche uno spaziodi Hilbert con prodotto interno

pf, gq “

ż

Rfpxqgpxqdx.

Osservazione 1.1 In queste note studieremo gli integrali di Fourier per funzioni inL1 e in L2. Si noti che L2ĂL1 e L1ĂL2. Una funzione di L2 deve avere singolaritaal finito meno “gravi”di quelle di una funzione di L1, in quanto fare il quadrato diuna quantita grande la rende ancora piu grande. All’infinito il discorso si rovescia:poiche fare il quadrato di quantita piccole le rende ancora piu piccole, una funzionedi L2 puo decrescere all’infinito piu lentamente di una funzione di L1. Si pensi adesempio alle funzioni

fpxq “

#

x´23 se 0 ă x ă 1,

0 altrimentigpxq “

#

x´23 se x ą 1,

0 altrimenti

La prima e in L1 ma non in L2, mentre la seconda e in L2 ma non in L1. Ricordiamotuttavia che, in generale, una funzione di Lp non tende necessariamente a zeroall’infinito. Ricordiamo che anche per lo spazio Lp su R valgono le considerazionifatte alla fine della Sezione 1 del Capitolo 1. Cioe la convergenza in norma nonimplica la convergenza quasi ovunque, ne vale il viceversa.

Denoteremo con Cn, n ě 0 lo spazio delle funzioni continue su R con tutte le loroderivate fino all’ordine n e con C8 lo spazio delle funzioni che sono in Cn per ognin ě 0. Con Cnc , n P N o n “ `8, denoteremo lo spazio delle funzioni in Cn chesono a supporto compatto.

Denoteremo con S lo spazio delle funzioni in C8 a decrescenza rapida, cioe tali che

(1.1) lim|x|Ñ8

x2k|Djϕpxq| “ 0 @j, k P N.

60 Cap. II . Integrale di Fourier.

Si noti che questa condizione equivale a dire che per ogni j, k P N esiste una costanteCj,k, dipendente solo da ϕ, tale che

(1.2) |Djϕpxq| ďCj,k

p1` x2qk, @x P R.

La verifica di questo e assegnata come esercizio (Esercizio 1.1 nella Sezione 8 diquesto Capitolo).

In S si definisce una famiglia di norme ρk, k P N, ponendo per ogni f P S

(1.3) ρkpfq “ max0ďjďk

supxPRp1` x2qk|Djfpxq|.

Il fatto che per ogni k ρk sia una norma in S si verifica facilmente. Si introduceinoltre la seguente nozione di convergenza p1q.

Definizione 1.1. Diremo che la successione pfnq converge ad f in S se si ha

(1.4) ρkpfn ´ fq Ñ 0 @k P N.

Si prova che S e completo rispetto alla convergenza della Definizione 1.1, cioeche ogni successione di Cauchy in converge. Piu espicitamente: se pfnq e unasuccessione di S tale che limn,m ρkpfn ´ fmq “ 0 per ogni k, allora esiste unafunzione f P S tale che limn ρkpfn ´ fq “ 0 per ogni k. (Per la dimostrazione vedila prima parte del Teorema 7.4 in [10] pag. 168).

Introduciamo ora alcuni risultati di densita che ci saranno utili nel seguito.

Proposizione 1.2. Sia 1 ď p ă `8. Si ha

C8c Ă C0c Ă Lp

Inoltre C8c e denso in C0c (nella norma del massimo) ed e denso in Lp.

Dimostrazione. Le inclusioni sono ovvie.Il fatto che C0

c e denso in Lp e stato visto nel corso di Istituzioni di Analisi Superiore.Per provare che C8c e denso in C0

c nella norma del massimo, sia f P C0c . Sia T ą 0

tale che

suppf Ă”

´T

2,T

2

ı

.

Per dimostrare la tesi ci serviremo del fatto che ogni funzione periodica continuapuo essere approssimata con polinomi trigonometrici (P2T e denso in C0

2T vediProposizione 2.14). Denotiamo con f˚ la funzione periodica di periodo 2T checoincide con f nell’intervallo r´T, T s (vedi Figura 1). Poiche f˚ P C0

2T si ha cheper ogni ε ą 0 assegnato, esiste un polinomio trigonometrico P, di periodo 2T, taleche

(1.5) max |f˚ ´ P | ă ε.


A partire dal polinomio trigonometrico P costruiamo ora una funzione a supportocompatto che approssima f. Denotiamo con ϕ una funzione in C8c p2q tale che

0 ď ϕ ď 1 ϕpxq “

#

1 se |x| ď T2

0 se |x| ě T.

Si noti che, per come e stata costruita la funzione ϕ, si ha f “ ϕf˚ (vedi Figura2).

Figura 1 Le funzioni f e f˚

La funzione Φ definita da Φ “ ϕP e la funzione cercata. Infatti ha supportocontenuto in r´T, T s, e in C8c e inoltre si ha

f ´ Φ “ ϕpf˚ ´ P q

per ogni x P R, e quindi per la (1.5) maxR|f ´Φ| ď max |f˚´P | ă ε. Abbiamo cosı

provato che per ogni ε ą 0 esiste una funzione Φ P C8c tale che maxR|f ´ Φ| ă ε e

quindi la prima parte del teorema e provata.Sia ora f P Lp. Poiche C0

c e denso in Lp, per ogni ε assegnato esiste una funzioneh in C0

c tale che f ´ hp ă ε. Sia T tale che il supporto di h sia contenuto in”

´T2 ,

T2

ı

. Per la prima parte della dimostrazione esiste una funzione Φ in C8c ,

avente supporto in r´T, T s, tale che maxR|Φ ´ h| ă εp2T q

´1p. Per la proprieta

triangolare si ha

f ´ Φp ă f ´ hp ` h´ Φp.

Il primo addendo e minore di ε. Anche il secondo e minore di ε : poiche h ´ Φ e

continua ed ha supporto di ampiezza 2T si ha h´Φp ď max |h´Φ|p2T q1p. Cio

mostra che si ha f ´ Φp ă 2ε e quindi la dimostrazione e conclusa.


Figura 2 Le funzioni f, ϕ e il polinomio trigonometrico Φ.

Proposizione 1.3. Sia 1 ď p ă `8. Si ha

C8c Ă S Ă Lp

e ciascuno di questi spazi e denso nel successivo.

Dimostrazione. La prima inclusione e immediata; inoltre se f P S si puo scriverefpxq “ p1`x2q´1p1`x2qfpxq ď Cp1`x2q´1 perche p1`x2qfpxq e limitata; quindie f e in Lp per ogni p ě 1. Poiche C8c e denso in Lp, lo spazio S e denso in Lp.Il teorema sara dimostrato se proviamo che C8c e denso in S. Sia dunque ϕ P S,dobbiamo mostrare che esiste una successione pϕnq Ă C8c tale che

limnρkpϕn ´ ϕq “ 0 @k P N

cioe, per (1.3),

(1.6) limn

max0ďjďk

supxPRp1` x2qk|Djpϕn ´ ϕqpxq| “ 0 @k P N.

Sia ψ una funzione di C8c tale che ψpxq “ 1 se |x| ď 1. Denotiamo con pϕnq lasuccessione

ϕnpxq “ ϕpxqψpx

nq.

Si noti: ϕn P C8c per ogni n e ϕnpxq “ ϕpxq se |x| ď n.

Sia k P N fissato. Per stimare ρkpϕn ´ ϕq calcoliamo

Djpϕn ´ ϕqpxq “ Dj”

ϕpxqpψpx

nq ´ 1q

ı

“

jÿ

i“0

ˆ

j

i

˙

Dj´iϕpxq Di´

ψpx

nq ´ 1

¯

“ Djϕpxq´

ψpx

nq ´ 1

¯

`

jÿ

i“1

ˆ

j

i

˙

Dj´iϕpxq Di´

ψpx

nq ´ 1

¯

.


Moltiplicando per p1` x2qk primo e ultimo membro e maggiorando si ha

p1` x2qkˇ

ˇDjpϕn ´ ϕqpxqˇ

ˇ ď

p1` x2qkˇ

ˇDjϕpxqˇ

ˇ

ˇ

ˇψpx

nq ´ 1

ˇ

ˇ`

jÿ

i“1

ˆ

j

i

˙

p1` x2qkˇ

ˇDjíϕpxqˇ

ˇ

ˇ

ˇDipψpx

nq ´ 1q

ˇ

ˇ.

Denotiamo con I1pxq e con I2pxq i due addendi del secondo membro (si noti chedipendono da k e da j) e passiamo all’estremo superiore su R e al massimo su j, siha

(1.7) max0ďjďk

supxPRp1` x2qk|Djpϕn ´ ϕqpxq| ď max

0ďjďksupxPR

I1pxq ` max0ďjďk

supxPR

I2pxq

Stimiamo I1. Poiche I1 e zero per |x| ď n, ϕ e in S e ψ e in C8c , si ha

supRI1pxq ď sup

|x|ěn

p1` x2qk|Djϕpxq|ˇ

ˇψpx

nq ´ 1|

ˇ

ˇ

ď αψ sup|x|ěn

|p1` x2qk|Djϕpxq|

ď αψ sup|x|ěn

p1` x2qkCj,k`1

p1` x2qk`1

ď αψ Cj,k`11

p1` n2q

ă Cj,k`1αψn

dove αψ e una costante dipendente solo da ψ e Cj,k`1 e la costante che comparenella (1.2). Quindi, denotando con ck la piu grande delle costanti Cj,k`1, 0 ď j ď k,si ha

(1.8) max0ďjďk

supRI1pxq ă ck

αψn

Stimiamo il secondo addendo I2 in (1.7). Per la regola di derivazione delle funzionicomposte, tutte le derivate di ψpxnq fino all’ordine k si possono maggiorare con1n per una costante βψ,k dipendente solo da ψ e da k; quindi

I2pxq “jÿ

i“1

ˆ

j

i

˙

p1` x2qkˇ

ˇDjíϕpxqˇ

ˇ

ˇ

ˇDipψpx

nq ´ 1q

ˇ

ˇ

ďβψ,kn

jÿ

i“1

ˆ

j

i

˙

p1` x2qkˇ

ˇDjíϕpxqˇ

ˇ

Dalla (1.2)

p1` x2qk|Djíϕpxq| ď Cjí,k.


si ottiene allora che

supRI2pxq ď

βψ,kn

jÿ

i“1

ˆ

j

i

˙

Cj´i,k “ dj,kβψ,kn

dove abbiamo posto dj,k “řji“1

`

ji

˘

Cj´i,k. Quindi

(1.9) max0ďjďk

supRI2pxq ă c1k

βψ,kn

Sostituiamo le stime (1.8) e (1.9) cosı ottenute nella (1.7); ponendo

cpψ, kq “ maxtckαψ, c1kβψ,ku

e si ottiene

max0ďjďk

supxPRp1` x2qk|Djpφnpxq ´ ϕpxqq| ď

cpψ, kq

n.

Da cio segue subito la (1.6) e la dimostrazione e conclusa.

Cap. II , n. 2 . Convoluzione e identita approssimate. 65

2 . Convoluzione e identita approssimate.

La convoluzione di due funzioni f e g definite su R e la funzione f ˚ g definita da

(2.1) f ˚ gpxq “

ż

fpx´ yqgpyqdy “

ż

fpyq gpx´ yqdy

se gli integrali esistono per q.o. x. Si possono imporre varie condizioni su f e g cheassicurino che l’integrale sia assolutamente convergente per q.o. x P R, ad esempiose f P L1 e g P L8 allora si ha f ˚ g P L8 e

f ˚ g8 ď f1g8.

Infattiż

|fpx´ yq gpyq|dy ď g8

ż

|fpx´ yq| dy ď g8

ż

|fpyq|dy @x P R

Quanto appena provato e il seguente teorema sono un caso particolare del TeoremaYoung (vedi Teorema 5.2 nella Sezione 5 di questo capitolo).

Teorema 2.1. Siano f, g P L1. Allora f ˚ g P L1. Inoltre

(2.2) f ˚ g1 ď f1 g1

Dimostrazione. Per il teorema di Fubini si ha

(2.3)

ż

´

ż

|fpx´ yq||gpyq|dx¯

dy “

ż

´

ż

|fpx´ yq||gpyq|dy¯

dx

nel senso che i due integrali sono entrambi divergenti positivamente o sono conver-genti e uguali. Poiche il secondo di questi integrali si puo anche scrivere

(2.4)

ż

|gpyq|´

ż

|fpx´ yq|dx¯

dy “

ż

|gpyq|dy

ż

|fpx´ yq|dx “ f1g1

e l’ultimo membro e finito per ipotesi, anche il primo integrale nella (2.3) e finito.Da cio segue che

i) la funzione y Ñ fpx´ yqgpyq e assolutamente integrabile per q. o. x P R

ii) la funzione xÑş

fpx´ yqgpyqdy e assolutamente integrabile in R

iii) f ˚ g1 ď f1 g1

Il teorema e cosı provato.


Teorema 2.2. Siano f, g, h P L1 e α P C. Allora

(i) αpf ˚ gq “ pαfq ˚ g “ f ˚ pαgq

(ii) f ˚ pg ` hq “ f ˚ g ` f ˚ h

(iii) f ˚ g “ g ˚ f

(iv) pf ˚ gq ˚ h “ f ˚ pg ˚ hq

(v) τspf ˚ gq “ pτsfq ˚ g “ f ˚ pτsgq, s P R

Dimostrazione La dimostrazione viene lasciata per esercizio.Si noti: le prime quattro proprieta mostrano che L1 e una algebra commutativarispetto al prodotto di convoluzione.

Esempio 2.1 Denotiamo con χ la funzione caratteristica dell’intervallo r´12, 12se con t il prodotto di convoluzione t “ χ˚χ. Si ha tpxq “ p1´|x|q` dove y` indicail massimo fra y e zero e quindi

tpxq “

$

’

’

’

&

’

’

’

%

0 if x ď ´1,

1` x if ´1 ď x ď 0

1´ x if 0 ď x ď 1

0 if x ě 1.

Infatti si ha

pχ ˚ χqpxq “

ż

χpx´ yqχpyq dy “

ż 12

´12

χpx´ yq dy “

ż x`12

x´12

χpyq dy

e quindi

pχ ˚ χqpxq “ mis´

r´12, 12s X rx´ 12, x` 12s¯

e questa e la funzione tenda

Osservazione 2.1 Facciamo ora qualche osservazione sul significato del prodottodi convoluzione. Pensiamo al primo degli integrali in (2.1) come al limite di sommedi Riemann

ż

fpx´ yqgpyqdy «ÿ

fpx´ yjqgpyjq∆yj .

La somma al secondo membro e una combinazione lineare di traslate di f concoefficienti gpyjq∆yj .Quindi possiamo pensare f˚g come una “combinazione linearecontinua ”di traslate di f. Naturalmente, scambiando i ruoli di f e g, f ˚ g puoessere pensato anche come una “combinazione lineare continua ”di traslate di g.

Una seconda interpretazione della convoluzione e quella di “media pesata mobile”.Ricordiamo che la media pesata di una funzione f su un intervallo I, rispetto ad


una funzione peso non negativa ω eş

Ifpyqωpyq dyş

Iωpyq dy

.

Supponiamo ora che g sia non negativa ed abbia integrale 1. Allora dalla formula

f ˚ gpxq “

ż

fpyqgpx´ yq dy

si vede che f ˚ gpxq e la media pesata di f (su tutto R) rispetto alla funzione pesoωpyq “ gpx´ yq.Se g e la funzione caratteristica normalizzata di un intorno dell’origine, f ˚ gpxqsi puo interpretare come la media di f su un intorno di x, e quindi come unaversione “sfocata” di f ; versione tanto piu sfocata quanto piu grande e il supportodi g, viceversa piu simile ad f se il supporto di g e piccolo. Naturalmente le stesseconsiderazioni valgono se g e una qualunque funzione normalizzata con supportoin un intervallo, oppure, piu in generale, se e trascurabile fuori di un intervallo.Vogliamo ora mostrare che il prodotto di convoluzione con una funzione “liscia”ha un effetto regolarizzante. Si noti l’analogia con la convoluzione di funzioniperiodiche.Denoteremo con Cnb n P N l’insieme delle funzioni aventi tutte le derivate finoall’ordine n continue e limitate. Il seguente teorema mostra che il prodotto diconvoluzione con una funzione Cnb e ancora in Cnb . Quindi f ˚ g e “liscia” almenoquanto f e g, anche se una delle due funzioni non ha nessuna regolarita.

Teorema 2.3. Siano f P Cnb e g P L1. Allora f ˚ g P Cnb . e si ha

Bkpf ˚ gq “ pBkfq ˚ g.

Dimostrazione. Poiche f e limitata e g P L1, f ˚ gpxq e definita per ogni x ed elimitata. Proviamo che f ˚ g e continua: per le proprieta della convoluzione

τhpf ˚ gqpxq ´ pf ˚ gqpxq “ pτhfq ˚ gpxq ´ f ˚ gpxq “`

τhf ´ f˘

˚ g

“

ż

`

fpx´ y ´ hq ´ fpx´ yq˘

gpyq dy.

Per il teorema della convergenza dominata l’integrale tende a zero per hÑ 0, e cioprova che f ˚ g e continua. La limitatezza di f ˚ g segue dal fatto che f e limitata(e g P L1q.Sia ora n “ 1, proviamo che f ˚ g e in C1

b . Si ha

τhpf ˚ gq ´ pf ˚ gq

hpxq “

ż

fpx´ y ´ hq ´ fpx´ yq

hgpyqdy “

ż

Φhpx, yqdy.

dove abbiamo posto

Φhpx, yq “fpx´ y ´ hq ´ fpx´ yq

hgpyq.


Mostriamo che

(2.5) limhÑ0

ż

Φhpx, yqdy “

ż

f 1px´ yq gpyq dy “ f 1 ˚ gpxq.

Poiche f P C1b , per il Teorema di Lagrange esiste un 0 ă θ ă 1, dipendente da x e

y, tale che

|Φhpx, yq| ď |f1px´ y ` θhq||gpyq| ďM |gpyq|.

Poiche d’altra parte limhÑ0 Φhpx, yq “ f 1px ´ yq gpyq la (2.5) segue dal teoremadella convergenza dominata. Abbiamo cosı provato che f ˚ g e derivabile e che

(2.6) pf ˚ gq1 “ f 1 ˚ g.

La continuita e la limitatezza di pf ˚ gq1 segue dalla (2.6) e dalla prima parte delladimostrazione. Possiamo cosı concludere che f ˚ g P C1

b .La dimostrazione per n ą 1 si ottiene con un ragionamento induttivo.

Teorema 2.4. Siano f in C8c e g in C0c allora f ˚ g e in C8c .

Dimostrazione. Il fatto che f ˚ g P C8 segue dal precedente teorema. Poiche ilsupporto di una funzione e sempre chiuso, dobbiamo solo provare che supppf ˚ gqe limitato. Si prova che p3q

(2.7) supppf ˚ gq Ă suppf ` suppg

(vedi Esercizio 1.2); poiche l’insieme a secondo membro e limitato, anche supppf ˚gqe limitato .

Abbiamo visto che L1 e una algebra commutativa rispetto al prodotto di convo-luzione. Come vedremo nella prossima sezione, non esiste l’elemento neutro per ilprodotto di convoluzione, cioe, non esiste una funzione δ P L1 tale che δ ˚ f “ fper ogni f P L1. Mostreremo che tuttavia si possono facilmente costruire famigliepgT q, T ą 0 di funzioni in L1 tali che f ˚ gT Ñ f in L1, come accade nello spazioL1

2π. L’idea per la costruzione di tali famiglie e suggerita dall’osservazione che seguel’Esempio 2.1: se una funzione g ha integrale uguale ad 1 ed e zero (o trascurabile)fuori da un intervallo |x| ă a allora f ˚ g e una “versione ”di f che, via via che adiventa piccolo, diventa piu simile ad f.Queste considerazioni conducono alla seguente definizione di “identita approssima-ta”

Definizione 2.5. Una famiglia uT

di funzioni di L1 si dice una identita approssi-mata (i.a.) se

(i) uTě 0 @T

(ii)ş

uTpxqdx “ 1 @T


(iii) si ha limTÑ0

ż

δă|x|

uTpxq dx “ 0 @δ ą 0

La condizione (i) non e indispensabile, ma semplifica l’esposizione dei risultati. Ilseguente lemma fornisce un esempio di identita approssimata. Altri esempi sarannoproposti in seguito.

Lemma 2.6. La famiglia pωTq, definita da

(2.8) ωTpxq “

c

π

Te´

π2

T x2

e un’ identita approssimata.

Dimostrazione. La proprieta (i) e ovvia. Per provare la (ii) basta ricordare cheş

e´x2

dx “?π e operare il cambiamento di variabili z “ πx

?T . Infine, sia δ ą 0

alloraż

δă|x|

ωTpxq dx “ 2

c

π

T

ż `8

δ

e´π2

T x2

dx “2?π

ż `8

πδ?T

e´y2

dy.

Poiche l’ultimo membro tende a zero per T Ñ 0, la (iii) e provata.

Lemma 2.7. Sia f P Lp, 1 ď p ă 8 e sia puTq una identita approssimata. Allora

(2.9) limhÑ0

τhf ´ fp “ 0

La dimostrazione viene lasciata per esercizio .

Teorema 2.8. Sia f P L1 e sia puTq una identita approssimata. Allora per si ha

(2.10) limTÑ0

uT˚ f ´ f1 “ 0

La dimostrazione viene lasciata per esercizio (Esercizio 1.5, Capitolo 2).

Teorema 2.9. Siano f una funzione limitata e puTq una identita approssimata.

Allora

(2.11) limTÑ0

uT˚ fpxq “ fpxq

in tutti i punti in cui f e continua.

Lasciamo la dimostrazione per esercizio (Esercizio 1.7 del Capitolo 2).


3 . La trasformata di Fourier di funzioni di L1.

Sia f una funzione di L1, si chiama trasformata di Fourier di f la funzione f definitada

(3.1) fpξq “

ż

Rfpxqe´2πixξdx

con ξ P R. Poiche e´2πixξ ha modulo 1, l’integrale converge. Si noti l’analogiacon la formula fpnq “

ş1

0fpxqe´2πinxdx che definisce i coefficienti di Fourier di una

funzione di periodo 1.Dunque mentre in L1

1 le funzioni sono definite su R e le loro trasformate sonodefinite sugli interi, in L1pRq sia le funzioni sia le trasformate sono definite sullaretta reale. E conveniente considerare due copie della retta reale, una per la fun-zione l’altra per la sua trasformata. Con il linguaggio usato nell’analisi del segnaleuseremo il termine dominio dei tempi quando si descrive l’analisi di un segnale(funzione) rispetto al tempo e dominio delle frequenze quando si descrive l’analisidi un segnale rispetto alle sue frequenze. La stessa terminologia viene usata ancheper le funzioni periodiche, dove le frequenze sono gli interi relativi (se il periodo e1) e la trasformata di Fourier e una funzione discreta.Calcoliamo ora la trasformata di Fourier di alcune funzioni elementari. Denoteremocon χ

Tla funzione caratteristica dell’intervallo r´T, T s. Qualche volta useremo

anche la notazione χr´T,T s.

Esempio 3.1 La trasformata di χT

e

xχTpξq “

ż T

´T

e´2πixξ dx “ 2Tsinp2πξT q

2πξT.

Si noti l’analogia con il nucleo di Dirichlet (2.3). Si noti inoltre che xχT R L1.Come vedremo, la funzione χ

Te la sua trasformata giocano un ruolo importante

nell’analisi di Fourier e piu in generale nella matematica applicata; la funzionesinpxqx si chiama seno cardinale o piu brevemente sinc e viene denotata con sinc.Sia a ą 0, l’operatore definito da δafpxq “ fpaxq si chiama di dilatazione. In realtail grafico di f viene dilatato (lungo la direzione dell’asse x) solo se a ą 1, viceversase 0 ă a ă 1 si tratta di una contrazione.

Teorema 3.1. Siano f, g P L1 e siano α, β due numeri complessi. Si ha

(i) pαf ` βgq “ αf ` βg

(ii) pfpξq “ pfp´ξq

(iii) zpτhfqpξq “ fpξqe´2πihξ τhfpξq “

´

fpxqe2πixh¯

pξq

Cap. II , n. 3 . La trasformata di Fourier di funzioni di L1 71

(iv) f8 “ supR|fpξq| ď f1

(v) yδafpξq “1a fp

ξa q

La dimostrazione e lasciata come esercizio.Esercizio Denotiamo con eξ, ξ P R, la funzione eξpxq “ e2πiξx. Provare che

pf ˚ eξqpxq “ fpξqeξpxq

Osservazione 3.1 La (ii) esprime la relazione fra trasformata di Fourier e coniu-gazione: a meno di una riflessione esse commutano. La (iii) esprime la relazionefra trasformata di Fourier e traslazione: ad una traslazione nel piano dei tempicorrisponde la moltiplicazione per una esponenziale di modulo 1 nel piano del-le frequenze (questa operazione viene chiamata modulazione). Viceversa ad unatraslazione nel piano delle frequenze corrisponde una modulazione nel piano deitempi.La proprieta (iv) mostra che la trasformata di una funzione in L1 e limitata. Piuoltre proveremo che e anche continua. L’ultima proprieta mostra che la trasfor-mata della dilatata (a ą 1) di una funzione e una contrazione normalizzata dellatrasformata. Si noti: delle prime quattro proprieta esiste l’analoga per le serie diFourier.

Il seguente teorema stabilisce la relazione fra trasformata di Fourier e derivazione.Si noti l’analogia fra la formula (3.2) e la (3.1) per le funzioni periodiche.

Teorema 3.2. i) Sia f P Cn, n ě 1 e siano f pjq P L1, @ 0 ď j ď n. Allora

(3.2) yf pnqpξq “ p2πiξqnfpξq

per ogni ξ P R.

ii) Siano f P L1 e xnf P L1 n ě 1,allora f e derivabile n volte e si ha

(3.3) pfqpnqpξq “

´

p´2πixqnfpxq˘

pξq

per ogni ξ P R.

Dimostrazione. i) Sia f P Cn. Integrando per parti si ha

ˆpf 1qpξq “

ż

f 1pxq e´2πixξ dx “”

fpxqe´2πixξı`8

´8´

ż

fpxqe´2πixξp´2πiξq dx

“

”

fpxqe´2πixξı`8

´8` 2πiξfpξq

Mostriamo ora che f tende a zero all’infinito e quindi il primo addendo e zero.Poiche f 1 e continua, si ha

fpxq “ fp0q `

ż x

0

f 1ptqdt


da cio, poiche f 1 P L1, passando al limite si ottiene che il limite di f a ˘8 e finito.Poiche f e integrabile questo limite deve essere necessariamente zero. Abbiamocosı provato che vale la (3.2) per n “ 1. Per n ą 1 si procede con un ragionamentoinduttivo.(ii) Siano f e xnfpxq P L1

fpξ ` hq ´ fphq

h“

1

h

ż

fpxq”

e´2πipξ`hqx ´ e´2πiξxı

dx

“

ż

fpxqe´2πiξx pe´2πihx ´ 1q

hdx “

ż

ghpx, ξqdx

dove abbiamo posto

ghpx, ξq “ fpxqe´2πiξx pe´2πihx ´ 1q

h.

Osserviamo ora che per ogni ξ si ha

limhÑ0

ghpx, ξq “ ´2πixfpxqe´2πixξ.

Inoltre per h piccolo |ghpx, ξq| ď C|xfpxq| dove C e una costante indipendente dax; questo segue subito dal fatto che per ogni α reale si ha

ˇ

ˇ

ˇ

eiα ´ 1

iα

ˇ

ˇ

ˇď

ˇ

ˇ

ˇ

ż 1

0

eiαtdtˇ

ˇ

ˇ“ 1

Allora poiche xf P L1, per il teorema della convergenza dominata esiste il limiteper h tendente a 0 del rapporto incrementale di f e vale la (3.3) con n “ 1. Ladimostrazione di ii) si conclude facilmente con un ragionamento induttivo.

Osservazione 3.2 Il Teorema 3.2 contiene un principio fondamentale gia visto nelcontesto delle serie di Fourier: il legame stretto fra regolarita di una funzione e larapidita con cui la sua trasformata di Fourier tende a zero all’infinito (e viceversa).

Nel seguito denoteremo con f la funzione riflessa di f, cioe la funzione definita dafpxq “ fp´xq. Si verifica facilmente che se f P L1, si ha

(3.4)ˆf “

˜f

Esercizio 3.7 Mostrare che

i) la funzione e´πx2

ha per trasformata se stessa:

(3.5) e´πξ2

“

ż

e´πx2

e´2πixξ dx


ii) si ha

re´Tx2

sppξq “

c

π

Te´

π2

T ξ2

“ ωTpξq(3.6)

xωTpξq “ e´Tξ

2

(3.7)

dove ωT

, T ą 0, e il nucleo di Gauss Weiestrass. Dunque

re´x2

sppξq “?πe´π

2ξ2

Esempio 3.2 Se fpxq “ 11`x2 , allora

fpξq “ πe´2π|ξ|.

Esercizio 3.8 Mostrare che la trasformata di una funzione f di S e in C8 e tendea zero all’infinito con ordine maggiore di qualunque polinomio. Si noti: nel seguitoproveremo che se f P S allora f e in S.

Dimostrazione. Sia g P S. Allora per la (ii) del Teorema 3.2 si ha che g ha derivatedi qualunque ordine e quindi e in C8. Sia ora n fissato, per la (3.2) si ha

|gpξq| ď |gpnqpξq|1

2π|ξ|nď ygpnq8

1

2π|ξ|nξ “ 0.

passando al limite per ξ tendente a ˘8 si ottiene la tesi.

Abbiamo visto che la trasformata di Fourier di una funzione L1 e limita-ta. Il seguente teorema mostra che e continua e infinitesima all’infinito e perciouniformemente continua.

Teorema 3.3. (Riemann Lebesgue) Sia f P L1. Allora f e continua e tende a zeroall’infinito.

Dimostrazione. Poiche S e denso in L1 esiste una successione pfnq di elementi diS tale che

limnfn ´ f1 “ 0

Per la proprieta iv) del Teorema 3.1 si haˇ

ˇfnpxq ´ fpxqˇ

ˇď fn ´ f1 per ogni x.Quindi, passando al sup si ottiene che

limnfn “ f uniformemente.

Per quanto visto nel precedente esercizio, le funzioni fn sono continue e tendonoa zero all’infinito, quindi il limite f e una funzione continua ed e infinitesimaall’infinito.


Una domanda naturale da porsi e se il Teorema di Riemann Lebesgue si pos-sa invertire, cioe se una funzione continua e infinitesima all’infinito sia sempre latrasformata di Fourier di una funzione di L1. La risposta e no. In [11, pag 31],si puo trovare un controesempio: una funzione continua, infinitesima all’infinito,che non e la trasformata di una funzione di L1. Quindi la trasformata di Fourier,considerata come operatore da L1 nello spazio delle funzioni continue e infinitesimeall’infinito, non e surgettiva.

Teorema 3.4. (Formula di moltiplicazione). Siano f, g P L1. Allora

(3.8)

ż

fpxqgpxqdx “

ż

fpxqgpxqdx

Dimostrazione. Scriviamo esplicitamente il primo membro

ż

fpxqgpxqdx “

ż

fpxq´

ż

gpyqe´2πixydy¯

dx

e denotiamo con G la funzione definita da

Gpx, yq “ fpxqgpyqe´2πixy.

Poiche G P L1pR2q possiamo invertire gli ordini di integrazione e si ottiene

ż

fpxqgpxqdx “

ż

gpyq´

ż

fpxqe´2πixydx¯

dy “

ż

gpyqfpyq dy.

Teorema 3.5. Siano f, g P L1. Allora

(3.9) pf ˚ gq “ f g

Dimostrazione. Moltiplicando e dividendo per e´2πiyξ e scambiando gli ordini diintegrazione si ha

pf ˚ gqpξq “

ż

´

ż

fpx´ yqgpyq dy¯

e´2πixξdx

“

ż

´

ż

fpx´ yqe´2πipxýqξgpyqe´2πiyξdx¯

dy

“

ż

gpyqe´2πiyξ´

ż

fpx´ yqe´2πipxýqξdx¯

dy

“

´

ż

fpx´ yqe´2πipxýqξdx¯´

ż

gpyqe´2πiyξdy¯

“ fpξqgpξq


Dal teorema segue subito che non esiste l’elemento neutro del prodotto diconvoluzione: se ci fosse un δ P L1 tale che per ogni f in L1 si ha δ ˚ f “ f allora,per la (3.9), si avrebbe δ “ 1. Ma questo contraddice il Teorema di RiemannLebesgue.

Inversione della trasformata di Fourier

Nello studio delle funzioni periodiche, uno dei principali obiettivi era sintetizzareuna funzione periodica a partire dai suoi coefficienti di Fourier. Abbiamo visto cheuna funzione f puo essere ricostruita in qualche senso a partire dai suoi coefficientidi Fourier sia in L2

2π che in L12π. Nel primo caso si usa la formula di inversione

(3.10) fpxq “ÿ

n

fpnqeinx

dove la serie converge in norma L22π, nel secondo caso occorre utilizzare un’identita

approssimata.Anche nel caso della trasformata di funzioni non periodiche uno degli obiettiviprincipali e ricostruire una funzione a partire dalla sua trasformata di Fourier. Perf P L1 una formula analoga a (3.10)

(3.11) fpxq “

ż

fpξqe2πixξdξ,

in generale non ha senso, perche non e detto che f sia assolutamente integrabile(basta pensare alla funzione sinc, che a meno di una costante moltiplicativa e latrasformata della funzione caratteristica di un intervallo). Mostriamo ora che, ciononostante, e possibile risalire alla funzione a partire dalla sua trasformata. Glistrumenti sono il Teorema 2.8 sulle identita approssimate e la proprieta (3.9).Premettiamo una formula che fornisce una espressione del prodotto di convoluzionedi f con il nucleo di Gauss Weierstrass in termini di f .

Proposizione 3.6. Sia f P L1. Allora

(3.12) ωT˚ fpxq “

ż

fpyqe´Ty2

e2πixydy.

Dimostrazione. Nell’integrale che definisce la convoluzione

(3.13) ωT˚ fpxq “

ż

fpyqωTpx´ yqdy.

mostriamo che per ogni x la funzione ωTpx´yq si puo scrivere come una trasformata

di Fourier. Ricordando che ωT

e pari, per la (3.6) si ha

ωTpx´yq “ ω

Tpy´xq “

ż

e´Tz2

e´2πipy´xqzdz “

ż

e2πizxe´Tz2

e´2πiyzdz “ xΦxpyq,


dove Φxpzq “ e2πizxe´Tz2

. Dalla (3.13) percio si ha, usando la formula di molti-plicazione,

ωT˚ fpxq “

ż

fpyqxΦxpyqdy “

ż

pfpyqΦxpyqdy “

ż

pfpyqe´Ty2

e2πiyxdy.

Osservazione 3.3 Per il Teorema 2.8 e la formula (3.12) si ha

(3.14) fpxq “ limTÑ0

ż

fpyq e´Ty2

e2πiy xdy in norma L1.

Utilizzando il nucleo di Gauss Weiestrass abbiamo cosı risolto il problema di rico-struire una funzione f P L1 a partire dalla sua trasformata f . La formula (3.14)viene chiamata Formula di inversione mediante il nucleo di Gauss Weiestrass. Ve-dremo successivamente che e possibile ottenere formule di inversione con altri nuclei.Le seguenti tre proposizioni sono conseguenza della formula (3.14)

Proposizione 3.7. (Unicita della trasformata di Fourier) Sia f P L1. Allora f “ 0se e solo se f “ 0.

Dimostrazione. La prima parte e ovvia. Sia f “ 0 allora gli integrali nella (3.14)sono uguali a zero, e quindi f “ 0.

Mostriamo ora che se f P L1 allora vale la formula di inversione (3.11) che abbiamoipotizzato all’inizio di questa Sezione p5q.

Proposizione 3.8. (Formula di inversione) Siano f e f P L1. Allora

(3.15) fpxq “

ż

fpyqe2πixy dy q.o.

Dimostrazione. Per x P R fissato, denotiamo con ΦTpx, yq la funzione integranda

nella formula (3.12). Si ha

|ΦTpx, yq| ď |fpyq| P L1.

Inoltre

ΦTpx, yq Ñ fpyq e2πixy

per T Ñ 0. Per il Teorema della convergenza dominata ne segue che il secondo

membro della (3.12) tende a

ż

fpyqe2πixydy per q.o. x e quindi

ωT˚ fpxq Ñ

ż

fpyq e2πixydy q.o.x.

D’altra parte per il Teorema 2.8 si ha limTωT˚ f “ f in L1 e quindi i due limiti

coincidono quasi ovunque.


Proposizione 3.9. Sia uT

una i.a. Allora limT

xuT“ 1 puntualmente.

Dimostrazione. Per ogni f P L1 si ha

puT ˚ f q ´ f8 ď uT ˚ f ´ f1,

ne segue che

(3.16) limTÑ0

xuT f ´ f “ 0 uniformemente

per ogni f P L1. Sia ora fpxq “ e´πx2

, si ha

|xuTpξq ´ 1| “ eπξ

2

|uTpξqe´πξ

2

´ e´πξ2

|.

Poiche per la (3.16) la funzione |xuTpξqe´πξ

2

´e´πξ2

| tende a zero uniformemente siha che per ogni ξ il primo membro di questa equazione tende a zero per T tendentea 0. La tesi e quindi provata.

Si noti che, per la Proposizione 3.8 se f e f P L1, allorap

pf “ f ; quindi, se f e pari,p

pf “ f.

Costruzione di identita approssimate.

Nel precedente sezione abbiamo costruito l’i.a. di Gauss Weierstrass (2.8) sem-

plicemente dilatando e normalizzando la funzione e´πx2

. Mostriamo ora che unafamiglia di i.a. si puo costruire allo stesso modo partendo da una qualunque fun-zione di L1 positiva e di integrale 1. Se poi abbiamo l’accortezza di prendere unafunzione ϕ che ha anche la trasformata in L1 allora otteniamo anche una formuladi inversione.

Teorema 3.10. Sia ϕ P L1 tale che ϕ ě 0 eş

ϕdx “ 1. Allora la famiglia pϕεqdefinita da

ϕεpxq “1

εϕpx

εq

e una i.a. Si ha inoltre

(i) xϕεpxq “ pϕpεxq

(ii) limεÑ0

xϕεpxq “ 1 per ogni x P R

(iii) se pϕ P L1 allora per ogni f P L1 si ha

(3.17) ϕε ˚ fpxq “

ż

pϕpεyq fpyq e2πixy dy


e quindi

(3.18) limεÑ0

ż

pϕpεyq fpyq e2πixy dy “ fpxq

nella norma L1. La (3.18) si chiama “Formula di inversione mediante ilnucleo pϕεq.”

Dimostrazione. Proviamo che pϕεq e una i.a. Le prime due condizioni della De-finizione 2.5 di i.a. sono ovvie. Sia ora δ ą 0, per il teorema della convergenzadominata l’integrale

ż

|x|ąδ

ϕεpxq dx “

ż

|y|ąδε

ϕpyq dy “

ż

Rp1´ χ δ

εpyqqϕpyq dy

tende a zero per ε tendente a 0.(ii) segue subito dalla Proposizione 3.9(iii) per la Proposizione 3.8 vale la formula di inversione

ϕε ˚ fpxq “

ż

pϕε ˚ fqppyq e2πixy dy

e poiche pϕε ˚ fqp“ ϕεf P L1, la (3.17) e provata. Da cio, per il Teorema 2.10,

segue subito la (3.18).

Esempio 3.3 La famiglia σtpxq “1?4πt

e´x2

4t , t ą 0 e un’identita approssimata.

Esempio 3.4 La funzione ϕpxq “ 1πp1`x2q

soddisfa le ipotesi del Teorema 3.10,

quindi famiglia pϕεqdefinita da

ϕεpxq “ε

π

1

ε2 ` x2

e un’identita approssimata.

Cap. II , n. 4 . Formula di Poisson 79

4 . Formula di Poisson.

Abbiamo fin qui spesso evidenziato l’analogia fra le proprieta delle serie e dell’inte-grale di Fourier. Questa sezione e dedicata ad una questione, di grande importanzaper l’analisi di Fourier, che riguarda entrambi i mondi delle funzioni periodiche edelle funzioni definite su R. Un modo generale di introdurla e il seguente: suppo-niamo di avere una funzione definita su R, quale e il suo analogo periodico? Cioe,quale oggetto corrisponde ad esso nell’ambito delle funzioni periodiche? Inoltrecercheremo di capire in che modo le proprieta di tale oggetto nella sua forma perio-dica possono essere dedotte da proprieta gia stabilite per la forma non periodica.Nel ragionamento introduttivo che segue procederemo in maniera formale, non cipreoccuperemo percio della convergenza degli integrali e delle serie coinvolte.Sia dunque f una funzione definita su R. Ci sono almeno due modi naturali percostruire una funzione periodica di periodo, per esempio, uguale ad 1. Il primo equello di sommare le infinite traslate di un intero

(4.1)ÿ

mPZfpx`mq.

Questa e una funzione di periodo 1, basta verificare operando un cambio di variabilinella somma. Nel seguito ci riferiremo al passaggio da f alla somma (4.1) con iltermine periodizzazione di f. Per descrivere il secondo approccio scriviamo, sempreformalmente,

fpxq „

ż

fpyqe2πiyx dy,

dove

fpyq “

ż

fpxqe´2πiyx dx.

Un analogo periodico della funzione f e

(4.2)ÿ

mPZfpmqe2πimx.

La conseguenza principale della formula di Poisson e che i due analoghi periodicidella funzione f, dati da (4.1) e (4.2) essenzialmente coincidono. Questa conclusionee formulata nel seguente

Teorema 4.1. Sia f P L1. Allora la serieř

mPZ fpx`mq converge nella norma di

L1pr0, 1sq. La somma e una funzione di L11 la cui serie di Fourier e

ř

mPZ fpmqe2πixm

dove

(4.3) fpmq “

ż

fpxqe´2πimx dx.


Dimostrazione. Mostriamo che la serie in (4.1) converge in L1pr0, 1sq. Si haÿ

mPZfpx`mqL1pr0,1sq “

ÿ

mPZfpx`mqL1pr0,1sq

“ÿ

mPZ

ż 1

0

|fpx`mq|dx

“ÿ

mPZ

ż 1

0

|fpx`mq|dx “ f ă 8.

Quindi, per la completezza di L1pr0, 1sq, la serieÿ

mPZfpx`mq

converge nella norma di L1pr0, 1sq. Poiche, come abbiamo gia osservato, la sommadi questa serie e una funzione periodica di periodo 1 ne segue che e in L1

1.Calcoliamo ora i coefficienti di Fourier della somma. Scambiando la serie conl’integrale e operando un cambiamento di variabili, si ha

ak “

ż 1

0

ÿ

m

fpx`mqe´2πixk dx “ÿ

m

ż 1

0

fpx`mqe´2πixk dx

“ÿ

m

ż m`1

m

fpyqe´2πipy´mqk dy “

ż

fpyqe´2πiyk dy

“ fpkq.

Si noti che lo scambio fra l’integrale e la serie e lecito perche la serie converge innorma L1

1 [si applica il Teorema 1.9].Abbiamo cosı provato che la serie di Fourier della funzione

ř

mPZ fpx`mq e (4.2).

E importante chiarire che, nelle ipotesi del Teorema 4.1, non e detto che la seriedi Fourier (4.2) converga, neanche in L1

1. Il seguente corollario fornisce le condizionisu f e f affinche la serie di Fourier (4.2) converga uniformemente a

ř

mPZ fpx`mq.

Corollario 4.2. Sia f una funzione continua ed esistano due costanti A,B taliche

(4.4) |fpxq| ďA

p1` |x|q1`δ|fpyq| ď

B

p1` |y|q1`δδ ą 0.

Allora per ogni x si ha

(4.5)ÿ

mPZfpx`mq “

ÿ

mPZfpmqe2πimx

In particolareř

mPZ fpmq “ř

mPZ fpmq. Le quattro serie convergono assolutamen-te.

Cap. II , n. 4 . Formula di Poisson 81

Dimostrazione. Mostriamo che la serie (4.1) converge totalmente in r0, 1s. Dallaprima delle (4.4) si ha

ÿ

m

|fpx`mq| ďÿ A

p1` |x`m|q1`δ.

Affermiamo ora, rimandandone la verifica, che per x P r0, 1s si ha

(4.6)1

1` |x`m|ď C

1

1` |m|

dove C e una costante indipendente sia da x che da m; ne segue che

ÿ

m

|fpx`mq| ď AC 1ÿ

m

1

p1` |m|q1`δ

dove C 1 “ C1`δ; quindi la serie (4.1) converge uniformemente in r0, 1s. Poiche sitratta di funzioni continue per ipotesi, la somma sara una funzione continua, siaessa ϕ1. Per la seconda delle (4.4) si ha che anche la serie di Fourier (4.2) convergeuniformemente ad una funzione continua, sia essa ϕ2. Per il Teorema precedenteϕ1 ha gli stessi coefficienti di Fourier di ϕ2; da qui, poiche sono due funzioni di L1

1

ne segue che ϕ1 “ ϕ2 q.o. Ma poiche le due funzioni sono continue, coincidono inogni punto.

Per concludere resta da verificare la (4.6). Sia m un intero positivo. Allora lafunzione p1 ` |x ` m|q´1 e decrescente in r0, 1s e quindi si maggiora con il suovalore in zero. Se, al contrario, m e negativo, questa funzione si maggiora con ilsuo valore in 1; quindi si ha

1

p1` |x`m|qď

1

p1` |1`m|qď

c

1` |m|

Nell’ultimo passaggio abbiamo usato che la funzione 1`|m|1`|1`m| e limitata. Abbiamo

cosı verificato la (4.6) con C uguale al massimo fra c ed 1.

La formula (4.5) viene chiamata di Formula di Poisson, ma ci riferiremo al Teorema4.1 con lo stesso nome. Se il periodo e T la formula si scrive

(4.7)ÿ

n

fpx´ nT q “1

T

ÿ

n

fpn

Tqe2πin xT

Come applicazione della formula di Poisson mostriamo ora come si possono otteneredelle identita approssimate periodiche a partire da i.a. su R. Sia ϕ P L1 tale cheϕ ě 0 e ϕp0q “ 1. Sappiamo che la famiglia pϕεq, definita da

ϕε “1

εϕpx

εq


e una identita approssimata su L1 (vedi il Teorema 3.10). Il seguente teoremamostra che periodizzando le funzioni ϕε, si ottiene una identita approssimata inL1

1.

Teorema 4.3. Sia ϕ ě 0 una funzione di L1 avente media 1. Allora la famigliaUε, ε ą 0, definita da

(4.8) Uεpxq “ÿ

m

ϕεpx`mq,

e una i.a. su L11.

Dimostrazione. Si ha Uε ě 0 perche ϕ ě 0. Per il Teorema 4.1 si ha che la serie in(4.8) converge in L1

1 quindi Uε P L11. Inoltre, si ha

Uεpkq “ ϕεpkq “ ϕpεkq.

Ne segue che Uεp0q “ 1, cioe le funzioni Uε hanno media 1. Verifichiamo ora laterza proprieta delle i.a. Si ha

ż

δă|x|ă 12

Uεpxq dx “ż

δă|x|ă 12

ÿ

m

ϕεpx`mq dx

“ÿ

m

ż

δă|x|ă 12

ϕεpx`mq dx

ď

ż

R´r´δ,δsϕεpyq dy

“

ż

|x|ą δε

ϕpzq dz

“

ż

R

`

1´ χr´δε,δεspzq˘

ϕpzq dz.

Poiche ϕ e in L1, per il teorema della convergenza dominata il limite dell’ultimointegrale per ε tendente a zero e zero. Si noti che e stato possibile scambiare lasomma con l’integrale perche la serie converge in L1

1. Abbiamo cosı verificato chepUεq e una i.a. su L1

1.

Cap. II , n. 5 . La trasformata di Fourier in L2 83

5 . La trasformata di Fourier in L2.

Questa sezione e dedicata alla trasformata di Fourier di funzioni di quadrato som-mabile e alle sue proprieta. L’integrale (3.1), che definisce la trasformata di Fourierper le funzioni di L1, non e definito per una generica funzione di L2. Tuttavia latrasformata di Fourier si puo definire in maniera naturale anche in questo spazioe la teoria e particolarmente elegante. Come vedremo, la trasformata di Fourier euna isometria da L2 in se.

Il prodotto di convoluzione Nella Sezione 2 abbiamo visto che il prodotto diconvoluzione fra due funzioni di L1 e una funzione di L1. Il prodotto di convoluzioneha senso anche sotto altre condizioni. I seguenti lemma costituiscono degli esempiche ci saranno utili nel seguito.

Lemma 5.1. Siano f e g P L2. Allora si ha che f ˚ g e continua e tende a zeroall’infinito.

Dimostrazione. Per la disuguaglianza di Schwarz si ha

|f ˚ gpxq| ď

ż

|fpx´ yq gpyq|dy ď´

ż

|fpx´ yq|2 dy¯

12´

ż

|gpyq|2 dy¯

12

“ f2 g2.

Siano inoltre pfnq e pgnq due successioni di funzioni di C8c tali che lim fn “ f elim gn “ g in L2. Allora la successione pfn ˚gnq e in C8c per il Teorema 2.4. Inoltreconverge uniformemente a f ˚ g. Infatti

|fn ˚ gnpxq ´ f ˚ gpxq| ď |fn ˚ gnpxq ´ fn ˚ gpxq| ` |fn ˚ gpxq ´ f ˚ gpxq|

ď fn2gn ´ g2 ` fn ´ f2g2

La conclusione del lemma e ora immediata.

Il Teorema 2.1 sul prodotto di convoluzione e un caso particolare del seguenterisultato generale, noto sotto il nome di Teorema di Young.

Teorema 5.2. Siano 1 ď p ď 8, 1 ď q ď 8 e r tali che 1p `

1q “ 1` 1

r . Se f P Lp

e g P Lq allora si ha f ˚ g P Lr e

(5.1) f ˚ gr ď fpgq.

Dimostrazione. Dimostriamo il teorema solo nel caso p “ 1 e q “ 2. Siano f P L1

e g P L2, proviamo che f ˚ g2 ď f1g2. Si ha

(5.2)

ż

|f ˚ gpxq|2 dx ď

ż

”

ż

|fpyq|12 |fpyq|

12 |gpx´ yq| dy

ı2

dx


La funzione y ÞÑ |fpyq|12 |gpx ´ yq| e in L2 per quasi ogni x, infatti

ş

|fpyq||gpx ´yq|2 dy e il prodotto di convoluzione di due funzioni di L1. Possiamo allora usarela disuguaglianza di Schwarz nell’integrale interno in (5.2):

ż

|f ˚ gpxq|2 dx ď

ż

´

ż

|fpyq|dy¯´

ż

|fpyq||gpx´ yq|2 dy¯

dx

“ f1

ż

´

ż


dx

Nell’integrale interno abbiamo il prodotto di convoluzione di due funzioni di L1, lacui norma si maggiora con il prodotto delle norme

ż

´

ż


dx ď f1g21 “ f1g

22.

Ne segue cheż

|f ˚ gpxq|2 dx ď f21g22

Abbiamo cosı provato il teorema per p “ 1 e q “ 2.La dimostrazione per p e q generici e simile (si basa sulla disuguaglianza di

H:older). Il teorema e cosı provato.

La trasformata di Fourier Ci sono piu modi per definire l’integrale di Fourier difunzioni di L2 p3q, noi useremo un argomento di densita, definendola come limitein L2 di trasformate di funzioni che sono nello spazio di Schwarz.Con il simboloqdenoteremo l’integrale

fqpξq “

ż

fpxqe2πixξ dx;

se f P L1 questo integrale e definito per ogni ξ e si ha

(5.3) fpr“ frp“ fq fqr“ frfq“ fp

Verifichiamo la prima, la verifica della seconda e analoga

fprpxq “ pfpqp´xq “

ż

fpyqe2πixy dy “ fqpxq

frppxq “

ż

fp´yqe´2πixy dy “

ż

fpyqe2πixy dy “ fqpxq.

Il seguente teorema mostra che l’operatore f Ñ f e un isomorfismo isometrico suS.

Teorema 5.3. Sia f P S. Allora


(i) f P S

(ii) fˆˇ“ f fˇ “ f.

(iii) f2 “ f2 “ f2

Dimostrazione. (i) Abbiamo gia provato che la trasformata di una funzione di S euna funzione di C8 (vedi Esercizio 3.7). Per provare che f e le sue derivate sonoa descescenza rapida usiamo la formula

(5.4) p2πiξqqDpfpξq “ rDqpp´2πixqpfpxqqsppξq p, q P N.

La verifica di questa formula e assegnata come esercizio (Esercizio 5.8). Sia p P N.La formula (5.4) esprime il primo membro come la trasformata di Fourier di unafunzione di L1; ne segue, per il teorema di Riemann Lebesgue, che la funzionep2πiξqqDpfpξq e infinitesima per ogni q. Da cio segue subito che tutte le sue deri-vate di f tendono a zero all’infinito con ordine maggiore di qualunque polinomio.Abbiamo cosı provato che f e in S.(ii) La prima relazione segue dalla formula di inversione (3.15); usando il lemmaprecedente e questa relazione si ha inoltre

f ˇˆ“ f ˇ ˇ“ f ˆˇ“ f.

(iii) Per la formula di moltiplicazione e poiche f “ pfq , si ha

f22 “

ż

f f “

ż

f pfqˇ“

ż

fpf q ˆ“

ż

f f “ f22

La verifica della seconda relazione in (iii) e immedata: per quanto appena provatosi ha f 22 “ fˇ 22 “ f

22.

Esercizio 5.9 Provare la relazione (5.4).

Esercizio Siano f e g P S. Mostrare che f ˚ g P S. Se f P L1 e g P S si ha ancoraf ˚ g P S?

Abbiamo fino a qui stabilito alcune proprieta della trasformata di Fourier su S.Ci serviremo ora di queste proprieta per definire la trasformata di Fourier su L2.Assegnata una funzione f P L2 esiste una successione pfnq di elementi di S chetende a f nella norma L2. La successione pfnq e convergente nella norma di L2;infatti per la proprieta (iii) del Teorema 5.3 si ha

fn ´ fm2 “ fn ´ fm2

per ogni n,m P N. Quindi la successione pfnq e di Cauchy, per la completezza nesegue la tesi. Ha percio senso la seguente definizione.


Definizione 5.1 Sia f P L2 e sia pfnq una successione di funzioni di S convergentead f nella norma di L2. Si chiama trasformata di fe si denota con Ff il limite

(5.5) Ff “ limnfn in norma L2

Si noti che la definizione non dipende dalla successione scelta; sia infatti pgnq un’al-tra successione di S che tende a f, denotiamo con F il limite F “ limn gn nellanorma L2. Si ha

Ff ´ F 2 ď Ff ´ fn2 ` fn ´ gn2 ` gn ´ F 2“ Ff ´ fn2 ` fn ´ gn2 ` gn ´ F 2

Poiche l’ultimo membro tende a zero per nÑ8, si ha Ff “ F q.o.

Sia f P L2 e sia fn una successione di S che tende ad f nella norma L2. Poichefn ´ fm2 “ fn ´ fm2 n,m P N, la successione pfn q e di Cauchy e quindiconverge. Denotiamo allora con F˚ l’operatore su L2 definito da

F˚f “ limnfn

Si vede facilmente che il limite non dipende dalla successione scelta. Il seguenteteorema mostra che la trasformata di Fourier e un operatore invertibile, il suoinverso e F˚ e inoltre conserva le distanze ed i prodotti interni.

Teorema 5.4. L’operatore F e lineare e invertibile su L2 e il suo inverso eF´1 “ F˚. Inoltre se f, g P L2 si ha

(i) f2 “ Ff2

(ii) pf, gq “ pFf,Fgq

(iii) F´1fpξq “ Ffp´ξq q.o.

L’identita in (i) si chiama formula di Plancherel, la (ii) formula di Plancherel informa polarizzata e la (iii) formula di inversione.

Dimostrazione. Sia f P L2 e sia pfnq una successione di S convergente ad f ; dalla(ii) del Teorema 5.3 si ha fnˆˇ“ fnˇ “ fn. Passando al limite si ottiene

F˚Ff “ FF˚f “ f q.o.

Abbiamo quindi provato che F e invertibile e il suo inverso e F˚, che d’ora in poichiameremo F´1. La prova delle (i)-(iii) segue subito dalle analoghe proprieta suS passando al limite:(i) Sia f P L2 e sia pfnq una successione di S tale che fn Ñ f ; per la (ii) delTeorema 5.3 si ha fn2 “ fn2, passando al limite segue la tesi.(ii) Segue subito dall’uguaglianza delle norme di f e f e dall’identita di polarizza-zione.


(iii) Per la prima delle (5.3) si ha fnq“ fnpr. Passando al limite si ha

F´1f “ limnfnq“ lim

nfnpr“ RFf

dove R denota l’operatore di riflessione, cioe Rfpxq “ fp´xq, che, ricordiamo, econtinuo.

Esercizio 5.10 Mostrare che FF “ R.

Abbiamo cosı definito la trasformata di Fourier anche per le funzioni di qua-drato integrabile e ne abbiamo mostrato le principali proprieta. Qui sotto, nelTeorema 5.7, proviamo che se f P L2XL1 allora le due trasformate coincidono q.o.Premettiamo una proposizione e un lemma

Proposizione 5.5. Siano f P L2 e punq una i.a. in L1. Allora si ha

limnun ˚ f “ f

nella norma L2.

Dimostrazione. Per Lemma 5.2 si ha un ˚ f P L2. Per le proprieta delle identita

approssimate si ha

pun ˚ f ´ fqpxq “

ż

unpyqfpx´ yq dy ´

ż

unpyqdyfpxq “

ż

unpyqpτyf ´ fqpxqdy.

Quindi per la disuguaglianza integrale di Minkowski

un ˚ f ´ f2 ď

ż

unpyqpτyf ´ fq2 dy “

ż

unpyqτyf ´ f2 dy.

L’ultimo termine e finito perche f P L2 e un P L1. Per il Lemma 2.7 (per p “ 2)

assegnato ε, esiste un δ tale che τyf ´ f2 ă ε per |y| ă δ. Spezziamo l’integraleall’ultimo membro in due parti in corrispondenza di ˘δ

un ˚ f ´ f2 “

ż

|y|ăδ

unpyqτyf ´ f2 dy `

ż

|y|ąδ

unpyqτyf ´ f2 dy,

usando la terza proprieta delle identita approssimate e la disuguaglianza di Min-kowski (f ` g2 ď f2 ` g2 ) si ha

un ˚ f ´ f2 “

ż

|y|ăδ

unpyqτyf ´ f2dy ` 2f2

ż

|y|ąδ

unpyqdy ď ε` 2f2ε

per n abbastanza grande.

Lemma 5.6. Sia f P L1 X L2. Allora esiste una successione φn di S tale che

limnφn ´ f1 “ 0 lim

nφn ´ f2 “ 0


Dimostrazione. Sia f P L1 X L2. Sia punq una famiglia di identita approssimate inS. Denotiamo con fn la successione fn “ un ˚ f. Allora fn converge ad f sia nellanorma L1 che nella norma L2. La successione pfnq non e ancora la successionedesiderata, peche le funzioni fn sono in C8 ma non sono a decrescenza rapida.Per ottenere una successione di funzioni a decrescenza rapida, anzi addirittura asupporto compatto, consideriamo una funzione ψ P C8c tale che ψpxq “ 1 se |x| ď 1e uguale a zero per |x| ą 2 e 0 ď ψpxq ď 1 per ogni x. Poniamo ψnpxq “ ψp xn q. Sinoti che ψn P C

8c e ψnpxq “ 1 se |x| ď n, ψnpxq “ 0 se |x| ě 2n. La successione

definita da φn “ ψnfn e in C8c . Proviamo che φn tende a f in L1. Si ha

(5.6) φn ´ f1 ď φn ´ fn1 ` fn ´ f1

Il secondo addendo tende a zero. Inoltre si ha

φn ´ fn1 “

ż

|x|ąn

|ψn ´ 1||fn| dx ă 2

ż

|x|ěn

|fn| dx

ď 2

ż

|x|ěn

|fn ´ f | dx` 2

ż

|x|ěn

|f | dx

ď 2fn ´ f1 ` 2

ż

|x|ěn

|f | dx.

segue subito che anche il primo addendo in (5.6) tende a zero. Quindi abbiamoprovato che φn tende a f in L1. La verifica che φn tende a f anche in L2 e del tuttoanaloga. La tesi e cosı provata.

Teorema 5.7. Sia f P L1 X L2; allora f “ Ff.

Dimostrazione. Sia f P L1 X L2. Per il Lemma 5.6 esiste una successione pφnq ĂS convergente ad f sia nella norma L1 che nella norma L2. Allora φn convergeuniformemente ad f su R e φn converge ad Ff nella norma L2. Da cio segue chef coincide quasi ovunque con Ff.

Per calcolare analiticamente la trasformata di Fourier di funzioni di L1 (quandocio e possibile) abbiamo usato l’integrazione nel campo complesso e la tecnica deiresidui. Per le funzioni che sono in L2 e non in L1 questa via non e percorribile acausa della definizione stessa di trasformata di Fourier. Puo essere utile allora laseguente

Proposizione 5.8. Sia f P L2; allora si ha

(5.7) limTÑ`8

ż T

´T

fpxqe´2πixξ dx “ Ffpξq in norma L2.

Se inoltre il limite esiste finito per q.o.ξ, deve coincidere con Ffpξq per q.o. ξ.


Dimostrazione. Si ha χTf P L1, l’integrale che compare nella (5.7) e pχT f q ; inoltre,

per il Teorema 5.7 si ha pχT f q “ FpχT fq. Ne segue, per l’identita di Plancherel,che

pχT f q ´ Ff2 “ FpχT fq ´ Ff2 “ χT f ´ f2.

Poiche, per il teorema della convergenza dominata, l’ultimo membro tende a zeroper T tendente a 8, la formula (5.7) e provata. Per concludere il teorema osser-

viamo che deve esistere una estratta da p ˆχTfq che converge quasi ovunque a Ff.

Quindi, se il limite nella (5.7) esiste per q.o. ξ, deve coincidere necessariamentecon Ff q.o.

Nella Sezione 6 ci sara utile la formula di inversione fornita dalla seguente

Proposizione 5.9. Siano f P L2 e Ff P L1. Allora si ha

(5.8) fpxq “

ż

Ffpyq e2πixy dy q.o.x

Dimostrazione. Per la (5.7) applicata a Ff si ha

(5.9) fpxq “ F´1Ffpxq “ limTÑ8

ż T

´T

Ffpyqe2πixy dy

dove il limite e inteso nella norma L2. D’altra parte il limite esiste puntualmenteed e

ş

Ffpyqe2πixy dy, perche la funzione Ff e in L1. Per il Teorema 1.7 i due limiticoincidono. Ne segue la tesi.

Teorema 5.10. i) Siano f P L1 e g P L2, allora

(5.10) Fpf ˚ gq “ f Fg q.o.

ii) Siano ϕ,ψ due funzioni di L2, allora

(5.11) zpϕψq “ pFϕq ˚ pFψq.

Dimostrazione. i) Sia pgnq una successione di elementi di S convergente a g in L2.Poiche f ˚ gn P L

1 si ha

(5.12) pf ˚ gnq “ f gn.

Per il Teorema 5.7 il primo membro e uguale a Fpf ˚ gnq; inoltre tende a Fpf ˚ gq.Infatti per l’identita di Plancherel e la (5.1) si ha

(5.13) pf ˚ gnq ´ Fpf ˚ gq2 “ f ˚ gn ´ f ˚ g2 ď f1gn ´ g2.

La successione al secondo membro in (5.12) tende a fFg; infatti, poiche f e limitata,si ha

f gn ´ fFg2 ď f8gn ´ Fg2 ď f1gn ´ g2.


Ne segue che i limiti delle due successioni in (5.12) coincidono quasi ovunque.ii) Verifichiamo ora la formula (5.11). Si noti che entrambi i membri sono

funzioni continue. Infatti il primo membro e la trasformata di una funzione in L1

e il secondo membro e la convoluzione di due funzioni di L2.Siano pϕnq e pψnq due successioni in S tali che limϕn “ ϕ e limϕn “ ϕ in L2.Antitrasformando entrambi i membri si verifica facilmente che

(5.14) pϕnψnq “ ϕn ˚ ψn.

Proviamo che il primo membro converge uniformemente su R a zpϕψq. Infatti, perla diseguaglianza di Schwarz si ha

ˇ

ˇpϕnψnq ´ zpϕψq

ˇ

ˇ ď ϕnψn ´ ϕψ1

ď ϕnψn ´ ϕψn1 ` ϕψn ´ ϕψ1

ď ψn2ϕn ´ ϕ2 ` ϕ2ψn ´ ψ2.

Mostriamo che il secondo membro dell’ identita (5.14) converge a Fϕ ˚Fψ unifor-memente su R. Aggiungendo a togliendo xϕn ˚ Fψ, ricordando che il prodotto diconvoluzione di due funzioni di L2 si maggiora con il prodotto delle norme e usandol’indentita di Plancherel si ha

ˇ

ˇ

xϕn ˚ xψn ´ Fϕ ˚ Fψˇ

ˇ

ďˇ

ˇ

xϕn ˚ pxψn ´ Fψq ` pxϕn ´ Fϕq ˚ Fψˇ

ˇ

ďxϕn2Fψn ´ Fψ2 ` Fϕn ´ Fϕ2ψ2ďϕn2ψn ´ ψ2 ` ϕn ´ ϕ2ψ2.

Abbiamo cosı provato la (5.11) e il teorema e concluso.

Esercizio 5.11 Siano ϕ,ψ P L2. Usando la (5.11) provare che

(5.15) pϕψq “ pF´1ϕq ˚ pF´1ψq.

qui con il simbolo ˇ si intende ˆ .

Il Teorema di Paley Wiener Una funzione di L2 si dice a banda limitata osemplicemente a banda se la sua trasformata di Fourier ha supporto in un intervallolimitato.

Definizione 5.2 Una funzione intera F : C ÞÑ C si dice di tipo esponenziale σ ą 0se esiste un numero positivo A tale che

|F pzq| ď Aeσ|z| z P C.

Alcuni esempi sono le funzioni sinpzqz, zk, k P N zkez. La funzione e´z2

non eintera di tipo esponenziale per nessun σ, infatti e olomorfa ma sull’asse immaginario


e uguale a eImpzq2 . Il seguente Teorema di Paley-Wiener caratterizza le funzioni diL2 che sono a banda.

Teorema 5.11. (Teorema di Paley-Wiener) Sia f una funzione in L2. Allora f hasupporto in r´τ, τ s, τ ą 0, se e solo se la sua trasformata di Fourier e la restrizionea R di una funzione intera di tipo esponenziale σ “ 2πτ.

Dimostrazione. Dimostriamo solo una delle implicazioni. La dimostrazione dellaseconda parte, piu complessa, si trova nell’appendice.Supponiamo f sia una funzione di L2 avente supporto in r´τ, τ s. Osserviamo chef e anche in L1 perche ha supporto in un intervallo, quindi esiste

ş

fptqe´2πitxdtper ogni x P R. Denotiamo con F l’integrale.

F pzq “

ż

fptqe´2πitzdt z P C;

si noti che FˇˇR“ f . Derivando sotto il segno di integale si verifica subito che F

e intera perche soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann BBxF ` i

BByF “ 0. Inoltre

si ha

|F pzq| ď

ż τ

´τ

|fptqe´2πitz|dt.

Poiche |e´2πitz| “ e2πtImpzq ď e2π|tImpzq| ď e2πτ |z| per t P r´τ, τ s, usando ladisuguaglianza di Schwarz in L2 si ha

|F pzq| ď e2πτ |z|

ż τ

´τ

|fptq|dt ď?

2τf2e2πτ |z|.

Dal teorema, scambiando i ruoli di f e della sua trasformata, segue che se unafunzione di L2 e a banda, allora e la restrizione a R di una funzione intera. Ma unafunzione intera non puo essere nulla su un intervallo a meno che non sia identica-mente nulla. Se ne deduce che l’unica funzione di L2 che e sia a supporto compattoche a banda e la funzione identicamente nulla.

Osservazione 5.1 Il teorema di Paley Wiener fornisce un ulteriore esempio delladualita locale/globale fra una funzione e la sua trasformata, cioe la relazione che ab-biamo piu volte sottolineato fra regolarita di una funzione f (di Ff) e decadimentoall’infinito della sua trasformata di Fourier (di f).

Nelle precedenti sezioni abbiamo definito la trasformata di Fourier per funzioniassolutamente integrabili e per funzioni di quadrato sommabile su R, usando duediverse notazioni. D’ora in poi, se cio non dara luogo ad equivoci useremo peremtrambe le trasformate un unico simbolo, cioe , per le funzioni di entrambi glispazi.


6 . Il teorema del campionamento.

Questa sezione e dedicata al teorema del campionamento, che va anche sotto ilnome di Teorema di Shannon p6q. Il teorema afferma che se una funzione di L2 ea banda, allora si puo scrivere come somma di infinite traslate di funzioni sinc. Seper esempio f ha banda in r´ 1

2 ,12 s, allora

(6.1) fpxq “ÿ

mPZfpmq

sinπpx´mq

πpx´mq

e la serie converge uniformemente. Conseguenza immediata di questa formula eche la funzione puo essere ricostruita esattamente conoscendo soltanto i suoi valorisugli interi. In generale, per le funzioni a banda in un intervallo r´Ω,Ωs vale l’a-naloga formula (6.5) dove la spaziatura fra i punti e di p2Ωq´1.Il teorema e estremamente utile nell’analisi dei segnali. Se si tratta ad esempiodi un segnale audio, che, come noto, e generato da un’onda acustica, un microfo-no converte il segnale acustico in un segnale elettrico analogico; successivamenteun convertitore Analogico/Digitale (A/D) trasforma questo segnale in un segnaledigitale campionato. Il segnale campionato viene a questo punto trasmesso (o im-magazzinato) e dopo la ricezione viene ricostruito subendo le trasformazioni inversedelle precedenti. Negli apparecchi per Compact Discs si usa la teoria del campiona-mento e tutti sappiamo che i PC contengono software che permettono di analizzaree sintetizzare musica campionata [CD, MP3]. In realta i segnali acustici non sonoa banda, ma poiche l’orecchio umano non percepisce le frequenze al di fuori del-l’intervallo r20, 20.000Hzs i suoni possono essere considerati a banda, e quindi sipossono campionare, magari filtrandoli preventivamente per eliminare le alte fre-quenze. Infine il teorema del campionamento e molto utile in telefonia, perche sipossono inviare piu messaggi lungo un unico cavo, sfruttando gli intervalli: con uncavo a fibra ottica si possono inviare 25.000 messaggi contemporaneamente.Come vedremo, il teorema del campionamento si basa sul fatto fondamentale che lefunzioni a banda in un intervallo assegnato sono uno spazio di Hilbert e la formula(6.1) altro non e che l’espansione di f in termini di una base ortonormale in talespazio.Ma prima di spiegare le ragioni profonde della formula (6.1), vogliamo mostrarecome essa si puo ottenere, con semplici passaggi, nell’ipotesi che f abbia un de-cadimento all’infinito sufficiente perche valga la formula di Poisson (4.5). Questosemplice ragionamento ci sara utile nel seguito.

Teorema 6.1. Sia f P L2 con f avente supporto in r´Ω,Ωs. Supponiamo inoltreche |fpxq| ď Cp1` |x|q´p1`δq con C e δ numeri reali positivi. Allora si ha

fpxq “ÿ

nPZfp

n

2Ωqsin 2πΩpx´ n

2Ω q

2πΩpx´ n2Ω q

.

Cap. II , n. 6 . Il teorema del campionamento 93

Dimostrazione. Poiche f P L1 possiamo applicare la formula di Poisson (4.7) con i

ruoli di f e f invertiti e con T “ 2Ω, ricordando cheˆf “ f , si ottiene

(6.2)ÿ

m

fpy `m2Ωq “1

2Ω

ÿ

m

fp´m

2Ωqe2πiy m2Ω “

1

2Ω

ÿ

m

fpm

2Ωqe´2πiy m2Ω .

Moltiplichiamo primo e secondo membro per χr´Ω,Ωse`2πiyx: poiche f ha supporto

in r´Ω,Ωs la somma al primo membro si riduce ad un sol termine e si ottiene

fpyqe`2πiyx “1

2Ω

ÿ

m

fpm

2Ωqχr´Ω,Ωspyqe

´2πiy m2Ω e`2πiyx.

Integrando si ha

ż

fpyq e`2πiyx dy “1

2Ω

ż Ω

´Ω

ÿ

m

fpm

2Ωqe´2πiy m2Ω e`2πiyxdy.

Poiche f P L1 possiamo usare la formula di inversione (5.8) e si ha

fpxq “1

2Ω

ÿ

m

ż Ω

´Ω

fpm

2Ωqe2πiypx´ m

2Ω q dy.

Calcolando l’integrale si ottiene la formula desiderata. Si noti che lo scambio fraserie e integrale e lecito per l’ipotesi di decadimento su f ; in questo caso infatti laserie di Fourier converge assolutamente.

Figura 1. La funzione f periodizzata.

Lo spazio BΩ.

Denotiamo con BΩ lo spazio definito da

BΩ “ tf P L2 | suppf Ă r´Ω,Ωsu


Osserviamo che, per il Teorema di Paley Wiener, si tratta di funzioni che ammetto-no una estensione intera. Si noti anche che e uno spazio invariante per traslazioni.Ci e utile ora introdurre anche il seguente sottospazio di L2

ΛΩ “ th P L2 | supph Ă r´Ω,Ωsu,

munito della norma L2. Si tratta ovviamente di uno spazio di Hilbert, isomor-fo allo spazio L2

2Ω delle funzioni periodiche di quadrato integrabile in r´Ω,Ωs;l’isomorfismo e dato dall’applicazione J : L2

2Ω ÞÑ ΛΩ definita da

J f “ 1?

2Ωχr´Ω,Ωsf

Si noti che J f dipende da Ω. L’applicazione e ovviamente surgettiva. E ancheiniettiva, per f P L2

2Ω si ha infatti

(6.3) J fΛΩ “ 1

?2Ω

χr´Ω,Ωsf2 “

1?

2Ω

´

ż Ω

´Ω

|f |2 dx¯

12

“ fL22Ω.

Il seguente Teorema 6.2 mostra che BΩ e isomorfo a ΛΩ e che ogni suo elementosi puo scrivere come prodotto di convoluzione di se stesso con la trasformata dellafunzione caratteristica dell’intervallo r´Ω,Ωs.

Teorema 6.2. Lo spazio BΩ e uno spazio di Hilbert isomorfo a ΛΩ e per ognif P BΩ si ha

(6.4) fpxq “

ż

fpyqsin 2πΩpx´ yq

πpx´ yqdy

per ogni x P R p7q.

Dimostrazione. E immediato verificare che e un sottospazio di L2. Mostriamo cheBΩ e un sottospazio chiuso. Sia pfnq una successione di BΩ che converge ad unelemento f di L2. Poiche le fn sono nulle q.o. fuori di r´Ω,Ωs, usando la formuladi Plancherel, si ha

ż

Rzr´Ω,Ωs

|fpxq|2 dx “

ż

Rzr´Ω,Ωs

|fpxq ´ fnpxq|2 dx ă f ´ fn

22 “ f ´ fn

22.

Quindi f e nulla q.o. fuori di r´Ω,Ωs. Abbiamo cosı provato che BΩ e chiuso. Perla formula di Plancherel l’applicazione F´1 e un isomorfismo di ΛΩ in BΩ.Sia ora f P BΩ. Per provare la (6.2) useremo la formula (5.15) con ϕ “ Ff eψ “ χr´Ω,Ωs. Al primo membro si ha

`

Ff ¨ χr´Ω,Ωs

˘

ˇ“ F´1Ff “ f ; quindi

f “`

F´1 Ff˘

˚ pF´1χr´Ω.Ωsq “ f ˚ pF´1χr´Ω.Ωsq

poiche F´1χr´Ω.Ωspxq “ sinp2πΩxqπx si ha la (6.4).


Teorema 6.3. (Teorema di Shannon) Sia f P L2 e sia suppf Ď r´Ω,Ωs. Allora

(6.5) fpxq “ÿ

nPZfp

n

2Ωqsin 2πΩpx´ n

2Ω q

2πΩpx´ n2Ω q

e la serie converge uniformemente.

Dimostrazione. Per il Teorema 6.2 e l’osservazione che lo precede le applicazioni

J : L22Ω ÞÑ ΛΩ F´1 : ΛΩ ÞÑ BΩ

sono isomorfismi isometrici. Quindi portano basi ortonormali in basi ortonormali.In particolare, scegliendo come base di L2

2Ω la famiglia penq con enpyq “ e´2πin y2Ω

si ottiene che la famiglia prnq di BΩ definita da

rn “ F´1´ 1?

2Ωχr´Ω,Ωsen

¯

e una base ortonormale. Si noti, sia penq che prnq dipendono da Ω. Scriviamo rnin forma esplicita

rnpξq “1

?2Ω

F´

χr´Ω,Ωsen

¯

p´ξq “1

?2Ω

ż Ω

´Ω

e´2πin z2Ω e2πizξdz

E quindi

(6.6) rnpxq “1

?2Ω

sin 2πΩpx´ n2Ω q

πpx´ n2Ω q

Poiche prnq e una base ortonormale di BΩ, ogni f di BΩ si esprime come combi-nazione lineare infinita degli elementi della base f “

ř

npf, rnqrn. Per calcolare icoefficienti usiamo la formula di inversione (5.8)

pf, rnq “ pf , rnq “1

?2Ω

ż Ω

´Ω

fpyqe2πin y2Ω dy “

1?

2Ωfp

n

2Ωq.

Abbiamo cosı provato che per ogni f P BΩ si ha

(6.7) f “ÿ

n

1?

2Ωfp

n

2Ωqrn,

che e la formula (6.5) dell’enunciato.Per provare la convergenza uniforme osserviamo che, se f P BΩ, per la (6.4) si haf “

?2Ω f ˚ r0; quindi, per il Lemma 5.1,

(6.8) f8 ď?

2Ω f2r02 “ Cf2

dove C e una costante che non dipende da f. Da cio segue subito che la convergenzain L2 implica la convergenza uniforme in BΩ. Il teorema e cosı completamentedimostrato.


Oversampling, undersampling e variazioni sul tema

Nella formula (6.5), la distanza fra due campionature successive e 1p2Ωq, Il numerodi campionature per unita di tempo (quindi in questo caso 2Ω) si chiama frequenzadi campionamento. La frequenza di campionamento relativa al piu piccolo interval-lo contenente il supporto di f viene chiamata frequenza di Nyquist. Se una funzionee in BΩ, sara anche in BT con T ą Ω e quindi la formula di Shannon vale anchese rimpiazziamo Ω con T ą Ω, e in questo caso la frequenza di campionamentoe maggiore di quella di Nyquist. In generale se, come in questo caso, si usa unafrequenza maggiore di quella di Nyquist, si dice che si e fatto un oversampling. Unoversampling richiede ovviamente un maggiore costo computazionale.Talvolta, per ridurre i costi, si usa invece una frequenza minore di quella di Ny-quist (undersampling). Mentre con un oversampling la somma della serie e ancoraf, se si opera un undersampling si ottiene una funzione diversa da f (cosiddetta“alias”). Per chiarire questo punto usiamo lo stesso argomento del Teorema 6.1,sia f P BΩ e questa volta periodizzando la f con periodo T ă Ω. Ripercorriamolo stesso ragionamento fatto per dimostrare il teorema: scriviamo come in (6.2) laformula di Poisson con T al posto di Ω. Si ottiene

ÿ

n

fpy ´ n2T q “1

2T

ÿ

n

fpn

2Tqe´2πiy n

2T .

y P R. Si noti che questa volta nell’intevallo r´T, T s il primo membro non si riduceal solo termine fpyq. Infatti, se y P r´T, T s, gli addendi non nulli nella sommaal primo membro sono le traslate che “entrano” in questo intervallo; si veda adesempio la Figura 2: in questo caso la somma si riduce a tre termini, quelli conn “ 0 e con n “ ˘1. Moltiplichiamo ora per e2πiyx e integriamo in y sull’intervallor´T, T s. Si ottiene cosı

ż T

´T

ÿ

n

fpy ´ n2T qe2πixy dy “ÿ

nPZfp

n

2Tqsin 2πT px´ n

2T q

2πT px´ n2T q

.

La somma al primo membro contiene varie traslate e quindi il primo membro nonsi riduce a fpxq, come nel Teorema 6.1,. Abbiamo cosı spiegato perche per unafunzione f P BΩ la serie di Shannon con parametro T ă Ω non ricostruisce fma un’altra funzione (alias). L’errore indotto si chiama aliasing e si manifestaprincipalmente agli estremi dell’intervallo. La Figura 2 mostra la funzione f e letraslate che “entrano” nell’intervallo r´T, T s. Parte del contenuto di f sulle altefrequenze si trova ora nella regione delle basse frequenze. Solo la parte attorno azero rimane inalterata. In un segnale acustico l’effetto dell’undersampling si puosentire in maniera chiara come un clipping metallico del suono.


Figura 2. La f e le sue traslate in un caso di undersampling.

Nella pratica accade che persino le funzioni che non sono a banda vengono appros-simate con una serie di Shannon. Detta f la funzione non a banda, si sostituiscead f la funzione χ

r´T,T s f con T opportuno. Cio equivale ad azzerare il segnalesulle alte frequenze. Naturalmente la somma della serie non sara piu f, si pensi,ad esempio, che la funzione rappresentata dalla serie deve essere liscia perche hauna estensione analitica.

Un oversampling che migliora la convergenza della serie I termini della seriesincp2πΩxq “ sinp2πΩxqp2πΩxq´1 in (6.4) hanno un lento decadimento all’infinito.Con una tecnica che fa uso di un oversampling si puo migliorare la convergenzadella serie sostituendo la funzione sinc con funzioni che hanno un piu rapido de-cadimento. Illustriamo brevemente questa idea in maniera formale, percio senzapreoccuparci di problemi di convergenza, o di scambi di integrali con serie.

Sia f una funzione a banda in r´Ω,Ωs e sia T ą Ω. Per scegliere la funzioneda sostituire alla funzione sinc ragioniamo “dalla parte delle trasformate”. Sevogliamo funzioni con un maggiore decadimento all’infinito, dobbiamo rimpiazzarela trasformata di Fourier della funzione sinc, cioe la funzione caratteristica, conuna funzione che sia almeno continua. Inoltre dovra essere uguale ad 1 in r´Ω,Ωse zero fuori di r´T, T s. Sia γ la funzione definita da

γpxq “

$

’

&

’

%

1 se |x| ď Ω,x´TΩ´T se Ω ď |x| ď T

0 altrimenti

(vedi Figura 3). Denotiamo con g l’antitrasformata di γ; si noti, g e γ dipendonoda T e da Ω. Si verifica facilmente che

(6.9) gpxq “ pγpxq “1

T ´ Ω

sin 2πxpT ` Ωq

πx

sin 2πxpT ´ Ωq

πx,

e quindi, poiche sono funzioni pari, g “ γ. Usiamo ancora una volta l’argomentodel Teorema 6.1, periodizzando la f con periodo T

(6.10)1

2T

ÿ

n

fpn

2Tqe´2πin y

2T “ÿ

n

fpy ` n2T q “ fpyq r´Ω,Ωs.


Moltiplichiamo per e2πixyγpyq ed integriamo. Allora usando la formula (6.10),formula di inversione e il fatto che γ e uguale ad 1 sul supporto di f si ha

fpxq “

ż

fpyqe2πixy dy “

ż

fpyqγpxqe2πixy dy

“1

2T

ÿ

n

f´ n

2T

¯

ż

gpyqe´2πi n2T ye2πixy dy

“1

2T

ÿ

n

f´ n

2T

¯

ż

gpyq e2πipx´ n2T qy dy

“1

2T

ÿ

n

f´ n

2T

¯

gpx´n

2Tq.

Abbiamo cosı ottenuto la seguente espansione di f

fpxq “1

2T

ÿ

n

fpn

2Tqgpx´

n

2Tq

per x P r´Ω,Ωs dove la funzione g e data da (6.9) e la convergenza della serie e piurapida che nella (6.5) perche i termini della serie hanno un maggiore decadimento.Il prezzo da pagare per questo e, come in tutte le operazioni di oversampling, unamaggior frequenza di campionamento.

Figura 3. Oversampling con la funzione γ

Cap. II , n. 7 . Note 99

7 . Note

1 Si prova che non e indotta da una norma.

2 Un esempio di tale funzione e indicato nell’ Esercizio 1.2.

3 La relazione (2.7): supppf ˚ gq Ă suppf ` suppg si prova anche per duequalunque funzioni misurabili f e g per le quali esiste f ˚g. Per provare questarelazione bisogna definire il supporto di una funzione misurabile definita quasiovunque.

4 Si possono dare altre definizioni di trasformata di Fourier, per esempio

fpξq “

ż

Rfpxqeíxξdx; fpξq “

1

2π

ż

Rfpxqeíxξdx;

fpξq “1?

2π

ż

fpxqeíxξdx.

5 Funzioni di L1 che hanno la trasformata in L1 ce ne sono quante se ne vuole;basta che f abbia un po di regolarita per assicurare un decadimento a zeroall’infinito della funzione f . Per esempio, se f e derivabile due volte e sia f 1

che f2 sono in L1 allora, per la (3.2) si ha xf2pξq “ p2πiξq2fpξq e xf2pξq elimitata; da cio segue che |f | ď costp1` ξ2q´1 e quindi f P L1.

6 Un analogo del Teorema 5.2 vale anche negli spazi `p (vedi la Nota 9 delCapitolo 1). Il caso p “ q “ 1 e stato visto nella Nota 9; provare per esercizioil caso p “ 1 e q “ 2, cioe: se a P `1 e b P `2 allora a ˚ b P `2 e si ha

a ˚ b2 ď a1b2.

La dimostrazione si ottiene con un ragionamento analogo a quello quello delTeorema 5.2

7 Il teorema fu prima formulato da Harry Nyquist in 1928 (Certain topics intelegraph transmission theory) ma fu provato solo successivamente da ClaudeE. Shannon nel 1949 (Communication in the presence of noise). Kotelnikovlo pubblico nel1933, Whittaker nel 1935, e Gabor nel 1946.

8 Il Teorema 6.2 ci fornisce un esempio di spazio di Hilbert a nucleo ripro-ducente. Ogni elemento f di BΩ si puo scrivere fpxq “

ş

Kpx, yqfpyq dy con

Kpx, yq “ Kpy, xq “ sinp2πΩpxýqπpxýq . Si prova che l’identita si puo rappresentare

come un operatore integrale con un nucleo K.


8 . Esercizi. Trasformata di Fourier in L1

1.1 Sia ϕ P S. Provare che le seguenti condizioni sono equivalenti

i) per ogni j, k P N si ha

lim|x|Ñ8

x2k|Djϕpxq| “ 0

ii) per ogni j, k P N esiste una costante Cj,k, dipendente solo da ϕ, tale che

|Djϕpxq| ďCj,k

p1` x2qk

1.2 (**) Nella Proposizione 1.3 si e fatto uso di una funzione ψ di classe C8c ugualead 1 nell’intervallo r´1, 1s. Verificare che una funzione con queste proprieta si puocostruire nel modo seguente. Sia f la funzione

fpxq “

#

e´11´x2

se |x| ă 1

0 se |x| ě 1.

Sia ora ϕ la funzione ϕpxq “ τ2f ´ τ´2f. La funzione ψ definita da

ψpxq “ c

ż x

´8

ϕptqdt.

c P R opportunamente scelta, e la funzione desiderata.Si noti che la stessa tecnica puo essere usata per trovare un esempio per la funzioneϕ che compare nella dimostrazione della Proposizione 1.2.

1.3 Sia s “ χ ˚ pχ ˚ χq, dove χ “ χr´12,12s, mostrare che

tpxq “

$

’

&

’

%

34´ x2 if |x| ď 12,

12px´ 32q2 if 12 ď x ď 32

0 altrimenti .

Sugg Usare che χ ˚ χpxq “ p1´ |x|q`. Quale e la sua regolarita?

1.4 Mostrare che

χr´a,as ˚ sin pxq “ 2 sinpaq sinpxq

χr´a,as ˚ cos pxq “ 2 sinpaq cospxq

1.5 Provare il Teorema 2.9.

Cap. II , n. 8 . Esercizi. Trasformata di Fourier in L1 101

1.6 Sia f una funzione limitata e continua a tratti, e sia puTq un’identita appros-

simata di L1. Se inoltre uT e pari allora si ha

limTÑ0

uT˚ fpxq “

fpx´q ` fpx`q

2.

Suggerimento: seguire la traccia del Teorema 4.1 sulle funzioni periodiche condiscontinuita a salto.

1.7 pSq Siano f e g due funzioni continue. Provare che supppf ˚ gq Ă supppfq `supppgq.

1.8 pSq Quali delle proprieta elencate nei Teoremi 3.1 e 3.2 hanno un analogo nelcontesto delle serie di Fourier?1.9 bispSq Sia f P L1. Mostrare che se f e pari

fpξq “ 2

ż 8

0

fpxq cosp2πξxq dx,

se f e dispari

fpξq “ ´2i

ż 8

0

fpxq sinp2πξxq dx.

Osservazione Gli esercizi che seguono richiedono il calcolo della trasformata diFourier di una funzione assegnata

ż

fpxq e´2πixξ dx.

Come noto dal corso di IAS i questi integrali si fanno calcolando un integrale

ż

Γ

fpzqeiαzdz

dove fpzq e una estensione di f al campo complesso e Γ un percorso opportunosu C (vedi il corso di Istituzioni di Analisi Superiore, vedi anche il libro [2], pag103-104 -105.)

1.9 Mostrare che

i) la funzione e´πx2

ha per trasformata di Fourier se stessa:

e´πξ2

“

ż

e´πx2

e´2πixξ dx


ii) si ha

re´Tx2

sppξq “

c

π

Te´

π2

T ξ2

“ ωTpξq

xωTpξq “ e´Tξ

2

dove ωT

, T ą 0, e il nucleo di Gauss Weiestrass. Dunque

re´x2

sppξq “?πe´π

2ξ2

Sugg per il punto i) passare al campo complesso e usare il Teorema di Cauchy. Peril punto ii) usare la proprieta di dilatazione della trasformata di Fourier.

1.10 Sia fpxq “ 11`x2 . Provare, usando l’integrazione complessa, che fpξq “

πe´2π|ξ|.

1.11 p˚˚˚q Sia fpxq “ 1p1` x4q. Mostrare che la sua trasformata di Fourier e

π?

2e´?

2π|ξ|“

cosp?

2π|ξ|q ` sinp?

2π|ξ|q‰

.

Sugg: Un po’ laborioso! Usare l’integrazione complessa. La funzione e´2πiξzp1`z4q ha quattro poli, due nel semipiano Impzq ą 0 che sono z1,2 “ p˘1 ` iq

?2 e

due nel semipiano Impzq ă 0 e sono z3,4 “ p˘1´ iq?

2. In ciascun polo il residuovale Rk “ e´2πiξzkp4z3

kq “ ´e´2πiξzkzk4.

1.12 Verificare che la trasformata della funzione fpxq “ p1´x2qe´x22 (denominata

“cappello messicano”in analisi del segnale) e

fpξq “ 4π2?

2π ξ2e´2π2ξ2

.

Sugg: dopo aver osservato che f e la derivata seconda di una gaussiana, usare laproprieta (ii) del Teorema 3.2.

1.13 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione sinpxqx intesa come valor

principale

v.p.

ż 8

´8

sinpxq

xe´2πixξdx “ lim

RÑ8

ż

|x|ăR

sinpxq

xe´2πixξdx ξ P R.

Sugg: Usando il metodo dei residui, calcolare prima l’integrale

v.p.

ż 8

´8

eiαx

xdx “ lim

εÑ0limRÑ8

ż

εă|x|ăR

eiαx

xdx.


1.14 Sia fpxq “ 1px2 ´ x` 1q. Mostrare che

fpξq “2π?

3e´π

?3|ξ|e´πiξ

1.15 Calcolare la trasformata di Fourier della funzione

fpxq “ cospπxqχr0,1spxq

dove χr0,1s e la funzione caratteristica dell’intervallo r0, 1s.

1.16 Mostrare che se f P L1 e suppf Ă r´Ω,Ωs si ha la formula

fpxq “

ż

fpzqsin 2πΩpx´ zq

πpx´ zqdz.

Osservazione Questo esercizio deve essere svolto prima della Sezione 7. Il suo scopoe fornire una anteprima della formula (6.4) che e provata in ipotesi piu generali.

1.17 Sia f P C0 X L1. Mostrare che seř

n fpx ´ nq converge uniformemente in

r´ 12 ,

12 s e

ř

n |fpnq| ă 8, allora

ÿ

n

fpx´ nq “ÿ

n

fpnqe2πinx

Suggerimento: calcolare il coefficiente di Fourier diř

n fpx´ nq.Osservazione Questo esercizio e pensato per essere svolto prima della Sezione 4. Ilsuo scopo e fornire una anteprima della formula di Poisson (vedi Teorema 4.1.

1.18 Applicare la formula di Poisson con T “ 2π alla funzione

fpxq “ p2πtq´12e´x24t t ą 0.

Cosı si ottiene l’identita di Jacobi, gia vista nell’ultima sezione del Capitolo 1.

1.19 A partire dalla funzione ϕpxq “ psinpπxqπx q2 costruire una identita approssimata

su L11. Mostrare che cosı si ottiene il nucleo di Fejer (vedi il Teorema 4.3). Cosa si

ottiene se invece si usa la funzione ϕpxq “ sinpπxqπx o ϕpxq “ p

sinpπxqπx q3 ?

1.20 Mostrare che

ÿ

n

1

n2 ` t2“π

t

ÿ

n

e´2π|nt| “π

t

1` e´2π|t|

1´ e´2π|t|.

Sugg: usare la formula di Poisson in zero per la funzione gtpxq “t

x2`t2 .


1.21 Sia f P S. Vale la seguente formula, detta di Eulero Mac Laurin

ÿ

ně0

fpnq “

ż 8

0

fpxqdx`1

2fp0q ´

1

12f p1qp0q ´

8ÿ

n“1

ż 8

0

f p2qpxqcosp2πnxq

2π2n2dx

Provare la formula nel caso f sia pari. Sugg: usare la formula di Poissonř8

0 fpnq “12 fp0q`

12

ř

Z fpnq, la parita di f , e integrare per parti l’integraleş8

0fpxq cosp2πnxqdx.

Ricordare inoltre le formule`8ÿ

1

1n2 “ π26 e`8ÿ

1

1n4 “ π490.

Nota: integrando per parti ancora due volte (sempre per f pari), al secondo membrosi ottiene

ż 8

0

fpxqdx`1

2fp0q ´

1

12f p1qp0q `

1

720f p3qp0q ´

1

30240f p5qp0q ` Resto


9 . Esercizi. Trasformata di Fourier in L2.

2.1 Mostrare che la trasformata di Fourier della funzione fpxq “ 1x per |x| ą 1 e

uguale a zero per |x| ă 1 e

´2 i signpξq

ż 8

2π|ξ|

sinpyq

ydy.

2.2pSq Sia f P L2 Mostrare che se f e pari o dispari si ha rispettivamente

Ffpξq “ 2 limT

ż T

o

fpxq cosp2πxξq dx, Ffpξq “ ´2 i limT

ż T

o

fpxq sinp2πxξq dx.

2.3pSq Sia fpxq “ x1`x2 Mostrare che Ffpξq “ ´πie´2π|ξ| signpξq

2.4 Calcolare la trasformata di fpxq “ x1`x4 .

Sugg.: calcolare prima la trasformata di gpxq “ 11`x4 usando il metodo dei residui.

2.5pSq Siano f P L1, g P S. E vero che f ˚ g P S?Sugg: prendere fpxq “ 1

1`x2 .

2.6pSq Sia f P L2. Mostrare che FDαf “ D 1αFf dove pDαfqpxq “

?afpαxq

Sugg: usare la definizione di F , e l’analoga proprieta in L1.

2.7pSq Sia f P L2. Mostrare chei) Fpτh fqpξq “ e´2πiξhFpξq,ii) τh pFfqpξq “ Fre2πixhfpxqspξq.

2.8 pSq Sia Mω l’operatore definito da Mωfpxq “ e2πxiωfpxq. Mostrare che perogni f P L2 si ha limωÑ0 Mωf ´ f2 “ 0.Sugg: Usare l’identita di Plancherel e il Lemma 2.9.

2.9 Provare che limhÑ0 τhf ´ f2 “ 0, se f P L2.Gia provato in Lemma 2.9.

2.10pSq Siano f ed f P L1 e sia DT “ χr´T,T s. Mostrare che

DT ˚ f “ pχr´T,T sfqp

Si noti l’analogia con le serie di Fourier.Sugg: scrivere il secondo membro e usare la formula di inversione.


2.11 Sia f una funzione di L2, La funzione f˚ “ rf ricorre spesso nelle applicazioni

perche pf˚qp

“ pf . La funzione F pxq “ f˚f˚ si chiama funzione di autocorrelazione.Mostrare chei) F e ben definita per quasi ogni x P R.ii) |F pxq| ď f22 in R.iii) F e uniformemente continua su R.iv) F “

`

| pf |2˘

pr.Sugg. Per iii) usare il fatto che la traslazione e un operatore continuo su L2

2.12 Sia

fpξq “

#

11´ξ se ξ ă 0

0 se ξ ě 0

a) Dire se e la trasformata di Fourier di una funzione di L1.b) Dire se e la trasformata di Fourier di una funzione di L2.

c)Sia F l’antitrasformata di f e G una funzione di L1 tale che zGpξq “ 0se ξ ă 0.Calcolare F ˚G.d) Esprimere mediante una convoluzione l’antitrasformata della funzione

hpξq “

#

11´ξ se ´1 ă ξ ă 0

0 altrove.

2.13 In questo esecizio useremo la notazione Mα, con α una funzione, per denotarel’operatore definito da Mαf “ αf per ogni f P L2.Si chiama trasformata di Hilbert l’operatore su L2 definito da

H “ F´1 M´isignp¨q F .

Dimostrare che

(a) H e un operatore limitato su L2.

(b) Si ha

H2 “ ´I H˚ “ ´H HH˚ “ H˚H “ I

dove I e l’operatore indentita su L2, e H˚ denota l’operatore aggiunto di H(vedi Appendice).

(c) H ha norma 1.

(d) Usando l’Esercizio 2.1 mostrare che la trasformata di Fourier della funzione

hεpxq “

#

0 se |x| ď ε1πx se |x| ą ε.

Cap. II , n. 10 . Esercizi. Teorema del campionamento 107

e

Fhεpξq “ ´2

πi signpξq

ż `8

2π|ξ|ε

sinpyq

ydy.

(e) Provare che se f P L1 X L2 allora hε ˚ f P L2 e

Hf “ limεÑ0`

hε ˚ f in L2.

10 . Esercizi. Teorema del campionamento

3.1 Usando le idee mostrate nella Sezione 6 come si puo ulteriormente migliorarela convergenza della serie di Shannon?

3.2 Servirsi della dimostrazione del Teorema 6.1 per ottenere la formula di Shannonnel caso la trasformata di Fourier sia definita cosı:

fpξq “1?

2π

ż

fpxqe´ixξdx.

Si ottiene

fpxq “ÿ

n

fpnπ

ΩqsinpΩx´ nπq

Ωx´ nπ

Mostrare che una funzione a banda in r´π2 ,

π2 s puo essere ricostruita esattamente

conoscendo suoi valori su 2Z.

3.3 Usando la stessa definizione di trasformata di Fourier del precedente esercizio,mostrare che se f e una funzione a banda in r´π,´π2s Y rπ2, πs puo esserericostruita esattamente conoscendo i suoi valori su 2Z perche

fpxq “ÿ

fp2nqsin π

2 px´ 2nqπ2 px´ 2nq

r2 cosπ

2px´ 2nq ´ 1s.

Capitolo III

Calcolo numerico della trasformata di Fourier.

This past year has seen the birth, or ratherthe rebirth, of an exciting revolution in com-puting Fourier transforms. A class of algorti-thms, known as the Fast Fourier Transform orFFT, is forcing a complete assesment of ma-ny computational paths, not only in frequen-cy analysis, but in any fields where problemscan be reduced to Fourier transforms and /orconvolutionsC. Brigham e J.W. Tukey, 1966

Nei capitoli precedenti abbiamo studiato la trasformata di Fourier per funzionidefinite sul cerchio e sulla retta. Lo scopo di questo capitolo e introdurre unaversione discreta della trasformata di Fourier. Nella Sezione 1 mostriamo che ilcalcolo numerico dell’integrale di Fourier mediante una somma di Riemann a Npunti conduce alla trasformata discreta di Fourier (DFT) della N-pla ottenutacampionando la funzione con N punti. Nella Sezione 2 si vede che la DFT e unaespressione, in termini di una base ortonormale dello spazio di Hilbert `2pGnq,delle funzioni definite sul gruppo moltiplicativo GN delle radici N -esime dell’unita.Cosı dalla teoria generale degli spazi di Hilbert si ottengono anche per la DFT unaformula di Plancherel, una formula di inversione e una convoluzione. La Sezione 3e dedicata all’algoritmo della Fast Fourier Transform, sviluppato nel 1965 da J. W.Cooley e J. W. Tukey, che consente di effettuare il calcolo della DFT in N Log2N ,invece che N2 operazioni. Il risparmio computazionale e enorme se, come spessoaccade, il numero N e grande; se per esempio N e 1024 il calcolo si riduce di unfattore di 200. Spesso inoltre si tratta di funzioni di piu variabili, oppure il calcolodeve essere ripetuto molte volte per vari valori di un parametro.L’argomento della Sezione 5 e la trasformata coseno, nelle sue forme, continua,discreta e fast. La trasformata coseno e alla base della tecnica di compressione diimmagini che si chiama JPEG.

110 Cap. III . Calcolo numerico della trasformata di Fourier

1 . La trasformata di Fourier discreta

Questa sezione e dedicata al calcolo numerico della trasformata di Fourier. Lateoria si sviluppa interamente in campo discreto, percio nei ragionamenti proce-deremo senza preoccuparci della convergenza delle serie o degli integrali coinvolti.Una volta discretizzata la funzione e scelta una N -pla che la rappresenti in manieraconveniente, vogliamo ottenere una nuova N -pla che rappresenti i valori (approssi-mati) di f in punti opportuni. Dunque dobbiamo operare una discretizzazione siadella variabile temporale x sia della variabile ξ. Approssimando l’integrale

(1.1) fpξq “

ż

fpxqe´2πixξ dx.

con una somma di Cauchy si ha

(1.2) fpξq » Tÿ

jPZ

fpjT q e´2πiξjT “ Tÿ

jPZ

fpxjq e´2πiξxj ,

dove xj “ jT , j P Z e T ą 0.Supponiamo per il momento che f abbia supporto in un intervallo di ampiezzafinita S; in tal caso la somma si ridurra ad un numero finito di termini. Traslandola funzione se occorre, possiamo supporre che l’intervallo sia r0, Ss. Scegliamo Npunti equidistanti nell’intervallo r0, Ss,

xj “ jS

N, j “ 0, ...., N ´ 1,

con spaziatura

(1.3) T “S

N,

la somma di Cauchy in (1.2) e

(1.4)S

N

N´1ÿ

j“0

fpxjq e´2πiξxj “

S

N

N´1ÿ

j“0

fj e´2πijξSN

dove abbiamo posto fj “ fpxjq, j “ 0, . . . , N ´ 1. Abbiamo cosı discretizzato nellavariabile x e ottenuto una somma di Cauchy che approssima l’integrale in (1.1).Osserviamo che questa somma e una funzione di ξ periodica di periodo NS, quindiper discretizzare nella variabile ξ prendiamo punti con una spaziatura uguale a 1S,cosı in un intervallo di lunghezza uguale al periodo cadono N punti. Scegliendodunque ξk “

kS , k P Z, la somma di Cauchy in (1.4) si scrive

(1.5)S

N

N´1ÿ

j“0

fje´2πikjN @k P Z.

Cap. III , n. 1 . La trasformata di Fourier discreta 111

Si noti: questa successione e periodica di periodo N (vedi la Figura qui sotto).

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Figura 1 Una successione periodica

La somma (1.5) puo essere scritta in termini delle radici N -esime dell’unita.Indichiamo con ω la radice N -esima primaria dell’unita: ω “ e

2πN i. Si noti che

ω dipende da N ; in seguito per indicare tale dipendenza sara necessario usare lanotazione ω “ ωN . La formula precedente si puo ora scrivere

(1.6)S

N

N´1ÿ

j“0

fjω´kj “ SFk

dove si e posto

(1.7) Fk “1

N

N´1ÿ

j“0

fjω´kj k P Z

Definizione 1.1 Sia pfjqN´1j“0 una N´pla di numeri complessi. Si definisce tra-

sformata di Fourier discreta (DFT) di tale sequenza la successione N - periodica(1.7).

Quindi assegnata una funzione f a supporto in r0, Ss approssimando l’integraleche esprime la trasformata di Fourier con le somme di Cauchy e poi discretizzando(opportunamente) nella variabile ξ, abbiamo ottenuto la sequenza N´periodicaSFk, k P Z, di valori approssimati della trasformata di Fourier f .

`

f0, f1, . . . , fN´1

˘

ÝÑ pSFkq, k P Z

Relazione fra la trasformata esatta e la trasformata approssimata. Perlo studio e l’interpretazione dei risultati nel calcolo numerico f , e importante espri-mere la DFT in termini della trasformata vera. La formula (1.10) qui sotto mostrache le SFk, k “ 0, . . . , N ´ 1 sono le campionature di una periodizzata della tra-sformata vera f .Sia ancora f una funzione a supporto in r0, Ss; usando la formula di Poisson (4.7)


si ha

(1.8) TN´1ÿ

j“0

fpjT q e´2πijTξ “ÿ

jPZ

fpξ ´ j1

Tq

quindi ricordando che T “ SN ,

(1.9)S

N

N´1ÿ

j“0

fj e´2πijξSN “

ÿ

jPZ

fpξ ´ jN

Sq

Questa formula mostra quale e l’effetto, nel dominio delle frequenze, della discre-tizzazione effettuata nel dominio dei tempi. Valutando ora in ξ “ kS, al primomembro si ottiene proprio SFk, dunque:

(1.10) SFk “ÿ

jPZ

fpk

S´ j

N

Sq k P Z.

Dunque, per ogni k P Z

SFk e uguale alla periodizzata di f di periodo NS calcolata nei punti kS.

Questa osservazione ci sara molto utile quando dovremo confrontare la tra-sformata calcolata con la vera e interpretare i risultati numerici.

Supporto in r ´ R,Ss. Fin qui abbiamo fatto l’ipotesi che la funzione f avessesupporto in un intervallo r0, Ss. Se f ha supporto in un intervallo r´R,Ss, R ą 0,possiamo ricondurci al caso precedente: cambiando variabile si ha

fpξq “

ż S

´R

fpxqe´2πixξdx “ e2πiRξ

ż R`S

0

gpyqe´2πiyξdy

dove gpyq “ fpy ´ Rq ha supporto in r0, R ` Ss. Approssimando l’integrale adestra di questa relazione con le somme di Cauchy di g nei punti yj “ jpR`SqN ,

j “ 0, . . . N ´ 1, si ottiene la seguente approssimazione di fpξq

e2πiRξ R` S

N

N´1ÿ

j“0

fje´2πiyjξ

dove fj “ fp´R` jN pR`Sq, j “ 0, . . . N ´ 1. Valutando nei punti ξ “ kpR`Sq,

k P Z, e ponendo Fk “1N

řN´1j“0 fjω

´kj si ottiene la successione N -periodica

(1.11) e2πikRpR`Sq pR` SqFk k P Z

che approssima f .Si noti in particolare che, se R “ S, questa formula si scrive

(1.12) p´1qk 2S Fk.

Cap. III , n. 1 . La trasformata di Fourier discreta 113

Quindi anche per una funzione f a supporto in r´R,Ss, R ą 0, approssimando

l’integrale che esprime la trasformata di Fourier con le somme di Cauchy e poidiscretizzando (opportunamente) nella variabile ξ, abbiamo ottenuto una sequenzaN -periodica di valori approssimati della funzione f :

`

f0, f1, . . . , fN´1

˘

ÝÑ e2πikRpR`Sq pR` SqFk, k P Z

Relazione fra la trasformata esatta e la trasformata approssimata. Nelcaso f sia una funzione definita in un intervallo r´R,Ss la formula (1.10) vasostituita con la seguente

e2πikRpR`Sq pR` SqFk “ÿ

jPZ

e2πijNRpR`Sqf` 1

R` Spk ´ jNq

˘

k P Z

La verifica di questa formula e lasciata come esercizio (Esercizio 4.1 nella Sezione6 di questo capitolo).Infine, se la funzione ha supporto in un intervallo illimitato, si puo scegliere unopportuno intervallo r´R,Ss, ponendo uguale a zero la funzione fuori di esso. Eevidente che questo induce un ulteriore errore nel calcolo della f . Nelle esercitazionianalizzereno anche questa fonte di erroreOvviamente formule (1.6) (1.7) possono essere utilizzate per calcolare numerica-mente una funzione, nota la sua trasformata di Fourier: basta cambiare segnoall’esponente di ω.

La DFT per il calcolo della trasformata di Fourier di una funzione perio-dica e per la sintesi armonica. Concludiamo questa sezione mostrando che laDFT puo esser utilizzata anche per calcolare i coefficienti di Fourier di una funzioneperiodica. Sia u una funzione periodica di periodo T e sia

upkq “1

T

ż T

0

e´2πikxTupxqdx,

k P Z. Approssimiamo l’integrale con le somme di Cauchy

(1.13) upkq » uk “1

N

N´1ÿ

j“0

uj e´2πikxjT “

1

N

N´1ÿ

j“0

ujω´kj “ Fk

dove uj “ upxjq “ up jN T q, j “ 0, . . . , N ´ 1.Quindi: i coefficienti di Fourier della funzione u sono approssimati dalla DFT delvettore pu0, .. .., uN´1q, dove uj “ upjT Nq,La DFT puo essere utilizzata anche per la sintesi armonica, cioe per sommarenumericamente la serie di Fourier di una funzione periodica. Sia

ÿ

kPZ

upkqe2πix kS


la serie di Fourier di una funzione u periodica di periodo S. Supponiamo di conosceregli N coefficienti

(1.14) upkq, k “ Ń

2, . . . ,

N

2,

dove abbiamo supposto per comodita che N e pari. Vogliamo calcolare numerica-mente la somma u.Tronchiamo la serie a N termini e calcoliamo tale ridotta nei punti xj “

jN S,

j “ 0, ..., N ´ 1. Si ottiene cosı l’approssimazione

upxjq »

N2´1ÿ

k“Ń2

upkqωkj j “ 0, ..., N ´ 1

Vogliamo ora esprimere il secondo membro come una somma da 0 a N´1 operandoun cambiamento di variabile. Conviene “periodizzare”la N -pla upkq che comparenella somma. Sia pukqkPZ la successione (di periodo N) che coincide con essa neipunti Ń2 ď k ď pN2 ´ 1q. Poiche la successione pukω

kjq e periodica in k diperiodo N, fornisce la stessa somma su ogni intervallo di Z di lunghezza N ; si haquindi la formula

(1.15) upxjq »

N2´1ÿ

k“Ń2

upkqωkj “N´1ÿ

k“0

uk ωkj “ NF´j

dove

Fj “ 1NN´1ÿ

k“0

ukω´jk j “ 0, ..., N ´ 1.

Abbiamo cosı visto che, assegnati gli N coefficienti di Fourier (1.14) di una funzioneu la sua DFT di tale N -pla fornisce una approssimazione di u.

Cap. III , n. 2 . Le proprieta della DFT 115

2 . Le proprieta della DFT

In questa sezione ci proponiamo di studiare la DFT e le sue proprieta. Vedremo checi sono delle forti analogie fra la trasformata di Fourier delle funzioni periodiche ela DFT. In particolare vi e una teorema di Plancherel, una formula di inversione euna convoluzione.Possiamo identificare lo spazio delle funzioni su R periodiche di periodo 2π con lospazio delle funzioni definite sul gruppo moltiplicativo T dei numeri complessi dimodulo 1, associando alla funzione periodica f la funzione f˚ : T ÞÑ C definita daf˚pzq “ fptq dove z “ eit.Analogamente identifichiamo lo spazio delle successioni periodiche di periodo N conlo spazio delle funzioni definite sul gruppo delle radici N -esime dell’unita. Per ogniintero positivo N denotiamo con GN il gruppo moltiplicativo delle radici N-esimedell’unita

GN “ p1, ω, ω2, . . . , ωN´1q

dove ω “ e2πiN e la radice primaria N -esima dell’unita. Si noti che GN e unsottogruppo di T ed ha cardinalita N . Data una successione periodica pfnq dinumeri complessi associamo la funzione f : GN ÞÑ C ponendo

fpωkq “ fk k “ 0, ...N ´ 1.

Definizione 6.1 Denotiamo con l2pGN q lo spazio di Hilbert su C di tutte lefunzioni f : GN ÞÑ C munito del prodotto scalare

pf, gql2pGnq “1

N

N´1ÿ

k“0

fpωkqgpωkq.

Una base ortonormale di l2pGN q e costituita dalla famiglia pe0, e1, .. ..eN´1q definitada

ekpωjq “ ωjk, j “ 0, .., N ´ 1,

dove ω “ e2πiN . Per rappresentare in modo esplicito gli elementi di questa base econveniente scrivere la matrice WN “ pω

kjq k, j “ 0, ..., N ´ 1 la cui riga di postok e costituita dai valori della funzione ek nei punti ω0, ...., ωN´1.

(2.1) WN “ pωkjq “

»

—

—

—

—

—

—

—

—

—

–

1 1 1 .. 1

1 ω ω2 .. ωN´1

1 ω2 ω4 .. ω2N´2

1 . .

1 . .

1 ωN´1 ω2N´2 .. ωpN´1q2

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

.

116 Cap. III .

Ad esempio le matrici per N “ 2, 4 sono

W2 “

«

1 1

1 ´1

ff

W4 “

»

—

—

—

—

–

1 1 1 1

1 i i2 i3

1 i2 i4 i6

1 i3 i6 i9

fi

ffi

ffi

ffi

ffi

fl

Sia f P l2pGN q, indichiamo con fpmq,m “ 0, ..N ´ 1 la sua trasformata di Fourierin `2pGN q, cioe la N-pla dei coefficienti di Fourier fpmq “ pf, emq rispetto alla baseortonormale pe0, e1, .. .., eN´1q :

(2.2) fpmq “1

N

N´1ÿ

j“0

fpωjqempωjq “

1

N

N´1ÿ

j“0

fpωjqω´mj .

La DFT di una N-pla pfjqN´1j“0 si puo dunque vedere come la trasformata di

Fourier, nello spazio `2pGN q, della funzione f tale che fpωjq “ fj , j “ 0, . . . , N´1.Dalla teoria degli spazi di Hilbert si ha

(2.3) fpωjq “N´1ÿ

m“0

fpmq empωjq “

N´1ÿ

m“0

fpmqωmj

(2.4) fl2pGN q “´

N´1ÿ

m“0

|fpmq|2¯12

Plancherel

la prima e una formula di inversione per la trasformata di Fourier discreta e laseconda e un teorema di Plancherel. Date due funzioni f , g in l2pGN q la loroconvoluzione e definita da

pf ˚ gqpωmq “1

N

N´1ÿ

j“0

fpωm´jqgpωjq

per ogni m “ 0, ...., N´1. Si verifica facilmente che la convoluzione e un’operazionecommutativa e associativa in l2pGN q. Inoltre

pf ˚ gqpmq “ fpmqgpmq

f ˚ em “ fpmqem

per ogni m “ 0, ...N ´ 1.A differenza di quanto accade su T, esiste un’identita per la convoluzione su GN .Infatti la funzione δ “

řN´1m“0 em soddisfa δ ˚ f “ f , per ogni f P l2pGN q.

Si noti che, come f, anche f si puo pensare come una funzione definita in Z periodicadi periodo N.

Cap. III , n. 3 . La Fast Fourier Transform 117

3 . La Fast Fourier Transform

In questa sezione i vettori saranno considerati come vettori colonna. Per ragioni dispazio tuttavia scriveremo x “ px0, x1, .xN´1q per denotare il vettore colonna cheha per componenti x0, x1, . . . xN´1.

Per la (1.6), il calcolo della DFT della N-pla pfjqN´1j“0 si riduce al calcolo di

una matrice per un vettore:

(3.1) y “WN x

dove WN e la coniugata di WN in (2.1) e x “ pf0N, f1N, .., fpN´1qNq. Se peroperazione intendiamo una moltiplicazione complessa e una addizione complessa, ilcalcolo di questo prodotto richiede N2 operazioni (N operazioni per elemento). Coni calcolatori attuali il calcolo richiede pochi secondi anche se N e grande. Tuttaviain diversi problemi (analisi del segnale, ricostruzioni di immagini, metodi spettrali)il calcolo deve essere eseguito migliaia di volte, e il costo diventa proibitivo.

Nel 1965 Cooley e Tuckey svilupparono un algoritmo, noto come Fast FourierTrasform, che consente di effettuare lo stesso calcolo in N Log2N operazioni seN e una potenza di 2. Per N “ 212 questo significa che l’algoritmo di Cooley eTuckey e 170 volte piu veloce. In generale se N “ r1r2...rp e la fattorizzazione diN in numeri primi, e possibile sviluppare un algoritmo che consente il calcolo dellaFFT a N punti con Npr1`r2` ..`rpq operazioni. Nel 1968 Blustein ha sviluppatoun algoritmo per il calcolo della FFT con N arbitrario.In questa sezione descriviamo l’algoritmo di Cooley e Tuckey nel caso N sia unapotenza di 2. L’algoritmo si basa sull’osservazione che se N “ 2M e ωN e ωM sonole radici N -esima e M -esima primarie dell’unita, allora

ω2N “ ωM .

Questa relazione verra usata per calcolare il prodotto

(3.2) yj “N´1ÿ

k“0

xk ω´jkN j “ 0, .., N ´ 1

della matrice WN per il vettore x “ px0, x1, .xN´1q.

Dividiamo il vettore x in due sottovettori di M “ N2 componenti ciascuno,

separando le componenti pari da quelle dispari

x1 “ px0, x2, ..., x2M´2q, x2 “ px1, x3, ..., x2M´1q.

Siano y1 “WM x1 e y2 “WM x2. Si ha il seguente

118 Cap. III .

Teorema 3.1. Le componenti del vettore y “WN x sono

yj “ y1j ` ω´jN yj2,

(3.3)

yj`M “ y1j ´ ω´jN yj2.

j “ 0, 1, . . . ,M ´ 1.

Dimostrazione. Separando le potenze pari da quelle dispari in (3.2) si ottiene

yj “N´1ÿ

k“0

xkω´jkN “

M´1ÿ

k“0

x2k ω´j2kN `

M´1ÿ

k“0

x2k`1 ω´jp2k`1qN

E quindi

(3.4) yj “M´1ÿ

k“0

x2k ω´jkM ` ω´jN

M´1ÿ

k“0

xp2k`1q ω´jkM

per j “ 0, ...N ´ 1. Se j “ 0, ..,M ´ 1 le due somme danno y1j e yj2 perche

y1j “M´1ÿ

k“0

x2kω´jkM yj

2 “

M´1ÿ

k“0

xp2k`1qω´jkM .

e questi sono i prodotti della matrice WM per i vettori

x1 “ px0, x2, ..., xp2M´2qq, x2 “ px1, x3, ..., x2M´1q.

Questo prova la prima parte del teorema. Per dimostrare la seconda identita so-stituiamo j con j `M nell’espressione (3.4) di yj . Poiche ωMM “ 1 e ωMN “ ´1 siottiene

yj`M “

M´1ÿ

k“o

x2kω´pj`MqkM ` ω

´pj`MqN

M´1ÿ

k“o

x2k`1ω´pj`MqkM

per j “ 0, ..M ´ 1. E quindi

yj`M “

M´1ÿ

k“0

x2k ω´jkM ´ ω´jN

M´1ÿ

k“0

x2k`1 ω´jkM

che e la seconda identita cercata.

Corollario 3.2. Se N “ 2k, k ě 1, il numero di operazioni necessario per calcolarela DFT a N punti e ď 2NLog2N .

Cap. III , n. 3 . La Fast Fourier Transform 119

Dimostrazione. Sia pN il numero di operazioni necessario per calcolare la DFT a Npunti. Allora p2M “ 2pM ` 2M . Infatti, per il teorema precendente, per calcolarey “ W 2M x, occorre calcolare y1 “ WM x1 e y2 “ WM x2, che richiedono pMoperazioni ciascuna, e eseguire poi 2M operazioni. Poiche p2 “ 4, per induzione siottiene che p2k ď k2k`1 “ 2NLog2N.

120 Cap. III .

4 . La trasformata coseno e la DCT

L’argomento di questa questa sezione e la trasformata coseno, nelle sue ver-sioni, continua, discreta e fast. La trasformata coseno e alla base della tecnica dicompressione di immagini che si chiama JPEGp1q. Un’immagine digitale, in biancoe nero, e una matrice di numeri, che rappresentano l’intensita del livello di grigioin ogni pixel p2q. Una immagine contiene generalmente 254 ˆ 254 pixel. Quindila quantita di dati contenuta in una singola immagine e elevata. E frequente lanecessita di immagazzinare o di trasmettere una grande quantita di immagini fo-tografiche. Ad esempio l’FBI ha un database di 200 milioni di immagini in formacartacea. Come parte di un programma di modernizzazione fu deciso di digitaliz-zare questi records in immagini in scale di grigio con una risoluzione tale che ogniimpronta richiede 10 megabytes. La dimensione di un archivio che contenga que-sti files e di 2000 terabytes (si noti che un floppy contiene solo 1.5 megabytes)p3q.Queste considerazioni portarono l’FBI alla decisione di usare una forma di compres-sione di dati mediante una trasformata, e la scelta cadde sulla trasformata cosenodiscreta.

La compressione di dati mediante una trasformata consiste nel trovare un algoritmo,possibilmente veloce, che permette di rappresentare un segnale in maniera sufficien-temente fedele con una quantita minima di informazione. Le tecniche consistononell’applicare una trasformata al segnale, nell’eliminare parte dell’informazione etrasmettere (o conservare) solo la parte rimanente. Una volta giunta a destinazio-ne l’informazione compressa, la trasformazione inversa consentira di ricostruire ilsegnale con una buona approssimazione.

La trasformata coseno continua Il seguente teorema fornisce una base orto-normale di coseni per lo spazio L2pr0, T sq delle funzioni di quadrato integrabilenell’intervallo r0, T s.

Teorema 4.1. La famiglia

(4.1)

1,?

2 cospk

Tπxq, k “ 1, 2, .. . . .

(

e una base ortonormale di L2pr0, T sq e per ogni f P L2pr0, T sq si ha

(4.2) fpxq “ao2`

`8ÿ

k“1

ak cospk

Tπxq.

dove

(4.3) ak “2

T

ż T

0

fpxq cospk

Tπxq dx.

Cap. III , n. 4 . La trasformata coseno e la DCT 121

Dimostrazione. Sia f P L2pr0, T sq denotiamo con f` la funzione definita in r0, 2T s,che coincide con f in r0, T s ed e simmetrica rispetto alla retta x “ T :

f`pxq “

#

fpxq se x P r0, T s

fp2T ´ xq se x P rT, 2T s

Poiche f` e ovviamente di quadrato integrabile in r0, 2T s, puo essere sviluppatamediante la base di L2pr0, 2T sq : te2T,kpxq “ e2πik x

2T , k P Zu.Mostriamo ora che la famiglia (4.1) e ortonormale in L2pr0, T sq. L’integrale di?

2 cosp kT πxq sull’intevallo r0, T s e zero per ogni k. Inoltre

1

T

ż T

0

2 cospk

Tπxq cosp

`

Tπxqdx “

2

2T

ż T

´T

cospk

Tπxq cosp

`

Tπxqdx

“1

2

`

e2T,k ` e2T,´k, e2T,` ` e2T,´`

˘

L2pr0,2T sq.

Poiche le funzioni e2T,k, k P Z sono una base ortonormale di L2pr0, 2T sq, l’ultimomembro e uguale a 1 se k “ `, e zero se k “ `.

Proviamo ora che la famiglia e un sistema completo. Denotiamo con xf`pkq, k P Zi coefficienti di Fourier di f` secondo la base te2T,k, k P Zu:

(4.4) xf`pkq “1

2T

ż 2T

0

f`pxqe2T,´kpxq dx “1

T

ż T

0

fpxq cos` k

Tπx

˘

dx

f`pxq “ÿ

kPZ

xf`pkq e2T,kpxq “´1ÿ

´8

xf`pkq e2T,kpxq ``8ÿ

0

xf`pkq e2T,kpxq

“

`8ÿ

1

xf`p´kq e2T,´kpxq `8ÿ

0

xf`pkq e2T,kpxq

“ xf`p0q ``8ÿ

1

xf`pkq pe2T,´kpxq ` e2T,kpxqq

e quindi

(4.5) fpxq “ xf`p0q ` 28ÿ

1

xf`pkq cos` k

Tπx

˘

q.o.r0, T s.

Si noti che abbiamo usato il fatto che i coefficienti di Fourier di f` sono una

successione pari, perche la funzione e pari. Ponendo ak “ 2xf`pkq, k ě 0, nellosviluppo in (4.5) si ottiene la (4.2). Abbiamo cosı mostrato che la famiglia ecompleta e il teorema e provato.

Definizione 8.1 Sia f P L2pr0, T sq. La successione pakqkPN in (4.3) si chiamatrasformata coseno di f.

122 Cap. III .

Si noti che, contrariamente a quanto accade per la trasformata di Fourier, se f ereale, allora la sua trasformata coseno e reale.La trasformata coseno discreta. Per avere una versione discreta della trasfor-mata coseno faremo un ragionamento simile a quello fatto per il calcolo nume-rico dei coefficienti di Fourier nella Sezione 3. Discretizziamo l’integrale in (4.3)considerando i punti

xj “T

2N`T

Nj, j “ 0, 1, . . . . . . , N ´ 1.

e denotiamo fpxjq con fj . Approssimiamo l’integrale in (4.3) nel modo seguente

ak »T

N

2

T

N´1ÿ

j“0

fj cospk

Tπxjq “

2

N

N´1ÿ

j“0

fj cos` kπ

2Np2j ` 1q

˘

.

Definizione 8.2 Si chiama trasformata coseno discreta (DCT) della N-plapf0, f1, .., fN´1q la N-pla

(4.6) aN,k “2

N

N´1ÿ

j“0

fj coskπ

2N

`

2j ` 1˘

, k “ 0, 1, . . . . . . , N ´ 1.

La DCT ha il pregio di essere reale se le fj sono reali. Per le applicazioni della DCTdobbiamo risolvere due questioni importanti: trovare una formula di inversione edeseguire il calcolo della DCT con un algoritmo veloce. Percio ora ci occuperemo dirispondere alle due domandea) Esiste una formula di inversione per la DCT?b) E posssibile fare uso dell’algoritmo della FFT per calcolare la DCT?Per rispondere alla prima domanda mostriamo ora che gli aN,k sono i coefficienti

di Fourier della N -plab

2N pf0, f1, . . . , fN´1q secondo una base ortonormale di RN .

Da cio potremo dedurre, come per la trasformata di Fourier discreta, una formuladi inversione della (4.6).Denotiamo con CN,k, k “ 0, 1, . . . , N ´ 1, i seguenti vettori di RN

CN,0 “

c

2

N

´ 1?

2, . . . . . . ,

1?

2

¯

CN,k “

c

2

N

´

coskπ

2N

`

2j ` 1˘

¯N´1

j“0k “ 1, . . . , N ´ 1.

Teorema 4.2. La famiglia

VN “!

CN.k k “ 0, 1, . . . , N ´ 1)

.

e una base ortonormale di RN


Dimostrazione. Useremo la relazione

(4.7)N´1ÿ

j“0

coskπ

2N

`

2j ` 1˘

“ 0 k “ 1, 2, . . . , 2N ´ 1.

Rimandando per il momento la verifica di questa formula, proviamo l’ortogonalita.Per la (4.7) si ha

pCN,k, CN,0q “2

N

1?

2

N´1ÿ

j“0

coskπ

2N

`

2j ` 1˘

“ 0 k “ 1, . . . , N ´ 1.

Siano ora 0 ă ` ď k ď N ´ 1, si ha

pCN,k, CN,`q “2

N

N´1ÿ

j“0

coskπ

2N

`

2j ` 1˘

cos`π

2N

`

2j ` 1˘

“2

N

1

2

N´1ÿ

j“0

”

cospk ´ `qπ

2N

`

2j ` 1˘

` cospk ` `qπ

2N

`

2j ` 1˘

ı

.(4.8)

Di qui per la (4.7) si ha che, se k “ `, il secondo membro e zero. Se invece k “ ùsando ancora la (4.7) si ha

›

›

›CN,k

›

›

›

2

“ pCN,k, CN,kq “1

N

N´1ÿ

j“0

”

1` cos`2kπ

2N

`

2j ` 1q˘

ı

“ 1.

La verifica che ancheb

2NCN,0 ha norma 1 e immediata.

Rimane da dimostrare la (4.7). Sia k “ 1, 2, . . . , 2N ´ 1, si ha

2N´1ÿ

m“0

coskπ

2N

`

2m` 1˘

“

N´1ÿ

m“0

eiπkN pm`

12 q `

N´1ÿ

m“0

eíπkN pm`

12 q

“ eiπk

2N

N´1ÿ

m“0

eiπmkN ` eíπ

k2N

N´1ÿ

m“0

eíπmkN

“ eiπk

2Neiπ

kNN ´ 1

eiπkN ´ 1

` eíπk

2Neíπ

kNN ´ 1

eíπkN ´ 1

,

dove abbiamo usato cheřN´1

0 xj “ xN´1x´1 . Il secondo membro e zero: quando k e

pari si vede subito, mentre se k e dispari basta ridurre allo stesso denominatore ledue frazioni.

Teorema 4.3. Si ha: taN,0?

2, aN,1, . . . , aN,N´1u e la trasformata di Fourier della

N -pla FN “b

2N pf0, f1, . . . , fN´1q secondo la base ortonormale VN .

124 Cap. III .

Dimostrazione. La dimostrazione segue immediatamente dal teorema precedente edalla (4.6) che riscriviamo cosı

aN,k “N´1ÿ

j“0

c

2

Nfj

c

2

Ncos

kπ

2N

`

2j ` 1˘

“ pFN , CN,kq

k “ 1, . . . , N ´ 1, e

aN,0?

2“

N´1ÿ

j“0

c

2

Nfj ¨

1?

2“ pFN , CN,0q

.

Denotiamo con VN la matrice N ˆN avente per riga k l’elemento di posto k

della base VN , con AN il vettore`

aN,0?

2, aN,1, . . . , aN,N´1

˘Je con FN il vettore

FN “

c

2

N

`

f0, f1, . . . . . . , fN´1

˘J,

dove J indica il trasposto di un vettore. Allora la formula (4.6) in forma matricialesi scrive

AN “ VNFN .

Poiche VN e una base ortonormale, la matrice VN e ortogonale e quindi invertibile

e si ha V ´1N “ V JN . Percio FN “ V JNAN , cioe moltiplicando per

b

N2 ,

(4.9) fj “aN,0

2`

N´1ÿ

k“1

aN,k coskπ

2N

`

2j ` 1q

per j “ 0, 1, . . . , N´1. Abbiamo cosı trovato la formula di inversione per la trasfor-mata coseno discreta (4.6). Rispondiamo ora alla seconda questione. Mostriamoche fra la DCT e la DFT esiste una relazione (vedi (4.11)) che permette di calcolarela DCT di una N -pla utilizzando l’algoritmo della Fast Fourier Transform. La rela-zione si ottiene utilizzando una idea gia vista nella dimostrazione del Teorema 4.1:si simmetrizza il dato in maniera tale che diventi una funzione pari su un intervallodi ampiezza doppia.Sia px0, x1, . . . , xN´1q una N -pla assegnata e denotiamo con paN,kq la sua DCT

aN,k “2

N

N´1ÿ

n“0

xn cos`

πk

Npn`

1

2q˘

k “ 0, . . . , N ´ 1.

Simmetrizziamo ora in modo “pari” il dato: denotiamo con px´jqNj“1 la N -pla

definita da x´j “ xj´1 (cfr. Figura 1) e con pynq la successione di periodo 2N cosı


definita

(4.10) yn “

#

xn, se n “ 0, 1, . . . . . . . . . , N ´ 1,

xń´1, se n “ Ń,Ń ` 1, . . . ,´1.

Figura 1 La N -pla simmetrizzata.

Denotiamo con pY2N,kq la DFT del vettore py0, y1, . . . , y2N´1q

Y2N,k “1

2N

2N´1ÿ

n“0

yne´2πink2N k “ 0, . . . , 2N ´ 1.

La seguente proposizione mostra che, a meno di un fattore di modulo 2, la N -pla paN,0, aN,1, . . . , aN,N´1q e uguale ai primi N elementi della DFT della 2N -pla(4.10).

Proposizione 4.4. Si ha

(4.11) aN,k “ 2 Y2N,k e´πik2N k “ 0, . . . , N ´ 1.

Dimostrazione. Spezziamo in due la somma

Y2N,k “1

2N

´

N´1ÿ

n“0

yne´2πink2N `

2N´1ÿ

n“N

yne´2πink2N

¯

“1

2NpS1 ` S2q.

Ricordando che pynq e una successione 2N -periodica e operando un cambiamentodi variabili in S2 si ha

S1 “

N´1ÿ

n“0

xne´πin k

N

S2 “

´1ÿ

n“Ń

yne´πin k

N “

´1ÿ

n“Ń

xń´1e´πin k

N “

N´1ÿ

n“0

xneπin k

N eπikN .

126 Cap. III .

Moltiplicando e dividendo per una stessa quantita nella somma S1 si ottiene

Y2N,k “1

2N

´

N´1ÿ

n“0

xn e´πin k

N eπik

2N e´πik

2N `

N´1ÿ

n“0

xn eπin k

N eπik

2N eπik

2N

¯

“1

2eπi

k2N

2

N

N´1ÿ

n“0

xn cos`

πk

Npn`

1

2q˘

“1

2eπi

k2N aN,k

per k “ 0, . . . , N ´ 1.

Esistono altre famiglie di basi ortonormali in L2pr0, T sq che danno luogo adaltre trasformate continue

t1,?

2 cospkπx

Tq, k “ 1, 2, . . . u

t1,?

2 cospp2k ` 1qπx

2Tq, k “ 1, 2, . . . u

t?

2 sinpkπx

Tq, k “ 1, 2, . . . u

t?

2 sinpp2k ` 1qπx

2Tq, k “ 1, 2, . . . u

Ognuna si esse da luogo ad una trasformata continua e, discretizzando cone fattoin questa sezione, ad una trasformata discreta. Quelle ottenute dalla ultime duesono due trasformata seno discrete (DST).

Cap. III , n. 5 . Note 127

5 . Note

1 J.P.E.G. sono le iniziali di Joint Photographic Experts Group, una commissio-ne di esperti che dopo un lungo lavoro, detto gli standards per la compressionedi immagini digitali fisse. Il formato di immagini jpeg e molto usato su in-ternet e in particolare su World Wide Web. Si tratta di un efficiente mododi trasferire immagini digitali fisse adottata in tutto il mondo. L’algoritmosi basa sulla Trasformata Coseno Discreta e sulla Fast Fourier Trasform, mabuona parte della compressione e dovuta a procedure di quantizzazione. LaJPEG e anche usata per la compressione di immagini video. Molto conosciu-to e anche il formato GIF (Graphic Interchange Format) che usa una diversatecnica di compressione.

2 La parola pixel e una contrazione di picture element ed e un singolo puntodell’immagine sullo schermo

3 Un terabyte e 240 bytes mentre un megabyte e 220 bytes.

128 Cap. III .

6 . Esercizi. Trasformata di Fourier Discreta

3.1 Sia f a supporto in r´R,Ss, R e S positivi. Siano xj “ ´R`jN pR`Sq, fj “

fpxjq , j “ 0, . . . , N ´ 1 e sia Fk “1N

řN´1j“0 fjω

´kj la DFT di`

f0, f1, . . . , fN´1

˘

.Verificare la formula (1.13) delle dispense, che qui riscriviamo

pR` Sq e2πikRpR`Sq Fk “ÿ

jPZ

e2πijNRpR`Sqf` 1

R` Spk ´ jNq

˘

k P Z

3.2 Sia pekq la N -pla di l2pGN q definita da ekpωjN q “ ωjkN , dove ωN “ e´

2πN i.

Verificare che pe0, e1, .., eN´1q, e una base ortonormale per l2pGN q.

3.3 Verificare che se f e una funzione reale, la parte reale della trasformata diFourier e pari e la parte immaginaria e dispari. La stessa cosa accde per la DFT:

RepFkq “ RepF´kq ImpFkq “ ´ImpF´kq k P Z.

3.4 Verificare che se f e g sono due funzioni su l2pGN q, allora si ha

pf ˚ gqpmq “ fpmqgpmq, f ˚ em “ fpmqem, δ ˚ f “ f

per m “ 0, . . . , N ´ 1.

3.5 Calcolare la trasformata coseno discreta dei seguenti dati

X1 “ p1, 1, 1, 1q, X2 “ p1,´1, 1,´1q, X3 “ p1, 0, 0, 0q, X4 “ p0, 1, 0, 0, 0q.

Cap. III , n. 7 . Esercitazioni. FFT e DCT 129

7 . Esercitazioni

Premettiamo alcune considerazioni utili per il calcolo numerico della trasformatadi Fourier di una funzione.Osservazione 1 (La definizione di DFT nelle routine Matlab) Si e visto (vedi(1.12)) che se una funzione f ha supporto in r´S, Ss la sua trasformata di Fouriere approssimata da

(7.1) p´1qk 2S Fk “ p´1qk2S

N

N´1ÿ

j“0

fjω´kj k P Z.

dove pf0, f1, . . . fN´1q sono i campioni di f nei punti xj “ ´S ` j2SN .Per l’implementazione della routine di Matlab che calcola la trasformata (fft.m),puo essere utile scrivere l’espressione di (7.1) in termini della DFT fornita dallaroutine. Denotiamo con

`

Xp1q, Xp2q, . . . , XpN ´ 1q˘

la N -pla fornita dalla routine FFT

Xpkq “Nÿ

j“1

xpjqwpj´1qpk´1q, k “ 1, . . . N,

dove xpjq, j “ 1, . . . N e il dato.Rinominando pf0, f1, . . . fN´1q con pfp1q, fp2q, . . . fpNqq, la (7.1) si riscrive

p´1qk2S

N

Nÿ

j“1

fpjqω´pj´1qk, k “ 0, . . . N ´ 1;

cioe

p´1qk´1 2S

NXpkq k “ 1, . . . N.

Osservazione 2 (Come migliorare l’errore di aliasing). Sia f una funzione reale asupporto in r0, Ss. Per ogni k fissato, la somma che appare in (1.10):

SFk “ÿ

jPZ

fpk

S´ j

N

Sq k P Z.

non e finita perche f non ha supporto limitato. Percio nel calcolo della DFT simanifestera un errore di aliasing, che sara tanto piu grande quanto minore e il de-cadimento all’infinito della funzione f . Inoltre per una assegnata funzione questoerrore sara minore se il parametro di periodizzazione 1T “ NS e grande, vale adire, poiche S e assegnato, se si sceglie un numero N di punti piu grande.

130 Cap. III .

Nella pratica, assegnata la funzione f , e deciso il numero N di punti di campiona-tura da usare per calcolare la DFT si determina il parametro T “ SN ; questo,come si vede dalla relazione (1.10), determina l’ampiezza dell’intervallo 1T “ NSin cui si ottiene l’approssimazione di f . Si noti che, se si aumenta il numero dipunti di discretizzazione, questo intervallo aumenta di ampiezza. Percio si devetener presente che, se si aumenta il numero di punti N per il calcolo della DFT, siottiene la f in un intervallo piu grande.Viceversa si puo partire con l’esigenza di ottenere una approssimazione di f in undato intervallo r´12T, 12T s; in tal caso si sceglie N “ ST .Considerazioni del tutto simili valgono quando il supporto di f e r´R,Ss.

Osservazione 4 Se la funzione f e a banda in r´Ω,Ωs, allora la funzione f hasupporto illimitato e, per il calcolo della somma di Cauchy, la funzione va troncatasu un intervallo r´S, Ss con S opportunamente scelto.Esercizio Mostrare che se N ě 4ΩS l’errore di aliasing e zero.

Osservazione 5 ( La DFT non individua in maniera unica f) Si noti che unavolta trovata la DFT di un segnale, la trasformata di Fourier non e individuata inmaniera unica. Il seguente esercizio mostra che ci sono piu funzioni che hanno lastessa DFT.

Esercizio Sia data una funzione f definita in r0, Ss. Mostrare che la funzione

gpxq “ e2πiNxSfpxq

ha la stessa DFT di f a N punti, ma f e g sono diverse, infatti g e una traslatadi f . Questo mostra che la trasformata di Fourier e individuata a meno di unatraslazione di f di un multiplo di 1T “ NS.

Esercizi di laboratorio sul calcolo della trasformata di Fourier

5.0 (Un caso studio come esempio) Usando la routine fft.m di Matlab calcolare latrasformata di Fourier della funzione f che e definita da fpxq “ e´x per x ą 0, euguale a 12 per x “ 0 ed zero altrimenti.Confrontare con la trasformata vera.Evidenziare l’errore di aliasing e di oscillazione mediante esperimenti.E facoltativo il calcolo (numerico) della trasformata della funzione f .

5.1 Calcolare la trasformata di fpxq “ e´πx2

usando la FFT.Usare N “ 32 e l’intervallo r´4, 4s. Confrontare con la trasformata vera.5.2 Calcolare la trasformata di fpxq “ e´|x| e di gpxq “ e´2π|x| usando la FFT.In entrambi i casi usare N “ 64 e l’intervallo r´4, 4s. Poi N “ 1024 e l’intervallor´4, 4s.In entrambi i casi confrontare con la trasformata vera. Commentare i risultatievidenziando l’errore di aliasing e l’errore di oscillazione.


Esercizi sulla Compressione5.3 Compressione di un segnale unidimensionale Il file HochNMR.asc for-mato ascii contiene un vettore che e il logaritmo dello spettro di una risonanzamagnetica nucleare. Calcolare la DCT del segnale, tagliare, ponendoli uguali azero, i coefficienti al di sotto di una certa soglia, e ricostruire il segnale. Provarecon vari valori della soglia.5.4 Compressione di immagine IL’elaborazione delle immagini viene fatta sulla loro rappresentazione numerica.Per una immagine in bianco e nero, la rappresentazione numerica viene creata ri-coprendo l’immagine con una griglia di punti sufficientemente fine e associando aogni punto px, yq della griglia un valore fpx, yq della “scala di grigio,” che e la mediadei valori di grigio dei punti vicini. L’immagine quindi diventa una grande matrice,tipicamente quadrata, e le sue elaborazioni vengono fatte su questa matrice.Le immagini in formato jpeg , sono ottenute per compressione con una procedurache si basa sulla DCT in due dimensioni e che funziona molto bene sulle immagininaturali (scene, panorami).Eseguiremo inizialmente un semplice procedimento di compressione di una imma-gine e che consiste nei seguenti passi :1. Si divide l’immagine (digitalizzata) in blocchi di 8ˆ 8 pixel2. Ad ogni blocco viene applicata la Trasformata Coseno Discreta (in due dimen-sioni) ottenendo cosı, per ogni blocco, una matrice di coefficienti.3. Si eliminano parte di questi coefficienti, ponendo uguale a zero quelli sotto unacerta soglia (oppure quelli con indice elevato).4. Ad ogni matrice 8 ˆ 8 si applica la DCT inversa utilizzando solo i coefficientiritenuti, ricostruendo cosı l’immagine di ogni quadratino.5. Si incollano i quadratini ricostruiti, ricostruendo cosı l’immagine data, in formacompressa.

In realta la procedura che si usa per le immagini JPEG e piu sofisticata, esostanzialmente e diversa in due punti. Il primo punto riguarda il modo in cui siriduce il numero degli elementi della matrice dei coefficienti DCT ( quindi il passo3 qui sopra). Invece di eliminare gli elementi al di sotto di una certa soglia, ognielemento viene diviso per l’elemento di ugual posto di una matrice 8 ˆ 8, dettamatrice di quantizzazione, che chiameremo Q, e poi lo si arrotonda all’intero piuvicino. Durante le esercitazioni di laboratorio descriveremo meglio queste matricidi quantizzazione e ne descriveremo gli effetti.L’altro punto di diversita e l’aggiunta di un ulteriore algoritmo (dopo il passo 3)che ha l’effetto di comprimere ulteriormente. La procedura consiste quindi nei se-guenti passi1. Suddivisione in blocchi2. Applicazione della DCT2 ad ogni blocco3. Quantizzazione4. Applicazione di algoritmi di codifica per comprimere ulteriormente.Una volta effettuata la compressione, per ottenere l’immagine compressa si devonofare i seguenti passi “inversi”:

132 Cap. III .

1. Applicazione degli algoritmi di decodifica2. Moltiplicazione dei singoli blocchi 8ˆ 8 per la matrice di quantizzazione3. Applicazione della DCT2 inversa4. Incollamento dei blocchi.

Compressione immagine impronte digitali. In questa esercitazione vo-gliamo comprimere un’immagine con la procedura “semplice”descritta sopra: dopoaver calcolato la DCT eliminiamo parte dei coefficienti, e ricostruiamo l’immaginecon i soli coefficienti ritenuti. Il file detfingr.mat contiene una matrice quadrata cherappresenta l’immagine di impronte digitali in Figura 1.

Spieghiamo ora come prendere i dati e visualizzare l’immagine. Il file contenente idati e un file di tipo .mat. Per caricarlo e far apparire l’immagine:

load detfingr.mat;

whos

figure(1);

colormap(gray);

imagesc(X);

colormap(gray)

end

il primo comando carica i dati che sono nel file detfingr.mat Con il comando whosappaiono le variabili contenute nel file con le loro dimensioni.Effettuare la compressione seguendo i passi:

1) spezzare la matrice in blocchetti di sottomatrici quadrate di lato 8 (o 16) Aciascun blocchetto si applica la DCT in due dimensioni dct2.m.

2) per ciascun blocchetto si elimina parte dei coefficienti. Questo si puo fare in duemodi: porre uguali a zero quelli il cui valore assoluto e al di sotto di una sogliaprefissata, oppure porre uguale a zero quelli che hanno indice alto.

3) usando la idct.m si ricostruisce il dato cioe i valori di ciascun blocchetto coi isoli coefficienti ritenuti.

4) si incollano i vari blocchi 8ˆ 8, ottenendo cosı l’intera matrice ricostruita.Gli studenti sono incoraggiati a sperimentare, per esempio usando blocchetti 16ˆ16o 4ˆ 4.Si consiglia di guardare l’immagine che rappresenta la matrice dei coefficienti DCTdella matrice intera, che si ottiene incollando i blocchetti 8 ˆ 8 dei coefficienti. Edi fare un confronto fra quelle ottenute per varei immagini.

5.5 Compressione di una immagine II Anche in questo esercizio si vuolecomprimere una immagine usando la DCT. La procedura di compressione e lastessa. Ma questa volta viene assegnata l’immagine, non i dati numerici, che quindidevono essere ricavati dall’immagine.

1) Per trasformare l’immagine in una matrice numerica quadrata di nome, peresempio, Im si puo usare il comando Im=imread(’saturn.tif ’).

2) Per visualizzare l’immagine: imagesc(Im) colormap(bone)


3) Dopo aver ottenuto la matrice che rappresenta l’immagine, dobbiamo dividerein blocchetti di sottomatrici quadrate e a ciascuna matrice applicare la DCT.4) Nella matrice assegnata in questa esercitazione il numero di righe (328q e il nu-mero delle colonne, (438) non sono multipli di 16. Allora sara necessario aggiustarecon un bordo di valori nulli. Percio aggiungiamo due colonne di zeri ottenendo cosıuna matrice 328ˆ440. Da questa otterremo una matrice 320ˆ432 fatta da blocchida 16 piu un bordo, fatto da blocchetti di 8.5) La procedura poi prosegue come nel precedente esercizio: si applica la routinedct2 , si mettono a zero i coefficienti al di sotto di una certa soglia. e successivamentesi ricostruisce usando la routine idct2 e rincollando le matrici 8ˆ 8.6) Evidenziare e spiegare il fenomeno del blocking.7) Sperimentare, per esempio usando blocchetti 16ˆ 16 o 4ˆ 4.Si consiglia di guardare l’immagine che rappresenta la matrice dei coefficienti DCTdella matrice intera, che si ottiene incollando i blocchetti 8 ˆ 8 dei coefficienti. Edi fare un confronto fra quelle ottenute per varie immagini.

134 Cap. III .

Capitolo IV

L’analisi in tempo frequenza e la trasformata di

Gabor

Questo capitolo e dedicato all’analisi in tempo-frequenza e alla trasformata a fine-stra mobile. L’analisi in tempo frequenza e un capitolo dell’analisi armonica chetratta simultaneamente e simmetricamente il tempo e la frequenza per l’analisi difunzioni e di operatori; le sue origini risalgono al 1930, nel lavoro di H. Weyl, E.Wigner e J. von Neumann in meccanica quantistica e nei successivi sviluppi dellateoria dell’informazione e dell’analisi del segnale dovuti a D. Gabor (1946).Nella Sezione 1 discutiamo i limiti dell’analisi di Fourier classica nell’analisi delsegnale e descriviamo le idee dell’analisi in tempo frequenza. Nella Sezione 2 defi-niamo la trasformata di Gabor e mostriamo che e un multiplo di una isometria, daL2pRq su un sottospazio proprio di L2pR2q e diamo una formula di inversione.

I limiti dell’analisi di Fourier classica. In linea di principio la conoscenza difptq per ogni valore di t determina completamente tutte le proprieta di f ; quindianche della sua trasformata di Fourier, perche la trasformata di Fourier e iniettiva.Pero non e sempre facile estrarre le proprieta di f dalla sola f. Concettualmentepossiamo pensare a f e f come due diverse rappresentazioni dello stesso oggettof. Ognuna contiene le stesse informazioni, ma ciascuna delle due rende visibili edaccessibili aspetti piuttosto diversi di f.Nell’analisi tempo-frequenza si cercano rappresentazioni che combinino assieme gliaspetti e la fisionomia di f e f in una sola funzione, la cosiddetta rappresentazionein tempo-frequenza.Nel seguito di questa discussione adotteremo il linguaggio dell’analisi del segnale.Un segnale nella vita reale puo essere l’intensita della corrente in un conduttore,un brano di musica, il fischio di un treno; oppure i dati relativi al tracciato diun sismografo, i dati dell’andamento di titoli in borsa, o infine una onda elettro-magnetica. Dal punto di vista matematico un segnale e una funzione continua odiscreta. L’analisi del segnale si occupa di analizzare accuratamente, codificare effi-cientemente, trasmettere rapidamente e poi ricostruire le oscillazioni e fluttuazionidi questa funzione.Pensiamo ad f come a un breve brano musicale. Come quantita fisica, fptq puoessere l’ampiezza della vibrazione di una membrana di un altoparlante o un segnaleelettrico al tempo t. Cosı f descrive il comportamento temporale del segnale, e in

136 Cap. III .

esso dovremmo essere in grado di individuare le configurazioni ritmiche della musi-ca. Pero e impossibile scoprire la melodia o la tonalita della musica semplicementeguardando il grafico di f. D’altra parte, guardando f , forse potremmo forse ricono-scere la tonalita della musica dalle bande di frequenza, ma sara difficile percepirela melodia o il ritmo. La rappresentazione di Fourier ci fornisce una chiara indi-cazione sulle note prevalenti in termini delle corrispondenti frequenze, ma nessunainformazione sul momento di attacco o di durata di una nota. Dunque, benche siaf sia f contengano tutte le possibili informazioni, nessuna delle due mostra tuttele informazioni che il nostro orecchio percepisce. Sotto questo aspetto si ottengonomolte piu informazioni dalla notazione musicale: su un brano di musica si leggequale nota va suonata, ma anche il momento dell’attacco e la sua durata. L’asseorizzontale rappresenta il tempo, e l’asse verticale rappresenta la frequenza,Se cerchiamo di capire le ragioni per cui la trasformata di Fourier non e adatta arappresentare informazioni locali nel tempo, individuiamo una causa nelle funzioniche compaiono nella sua rappresentazione, che non sono per nulla localizzate neltempo: si ha |e2πint| “ 1 per ogni n e t. Una piccola perturbazione di f avra effettosu tutti i coefficienti di Fourier. Un ragionameno simile si applica all’integrale diFourier.L’analisi in tempo frequenza Prima di descrivere i recenti sviluppi dell’anali-si di Fourier nell’analisi del segnale mostriamo con un esempio concreto come glistrumenti dell’analisi di Fourier classica sono inadeguati per rappresentare e com-prendere certi segnali. Il segnale f che appare in Figura 1, ottenuto sinteticamente,e la somma di tre segnali elementari: una funzione seno (cioe una frequenza pura),un “chirp” (cioe una funzione del tipo sin t3) e una funzione “tenda” molto similead una funzione impulsiva. In Figura 2 compare il modulo della sua trasformata diFourier, calcolata numericamente. Come si vede, l’unico elemento evidente dall’e-same del grafico di f e una componente dominante e localizzata in frequenza, mal’informazione sul comportamento del segnale nel tempo e persa.Questo esempio mostra che l’ideale sarebbe avere a disposizione una rappresenta-zione che fornisce informazioni dirette sulle frequenze in gioco all’istante t, per ognit. D. Gabor aveva in mente queste considerazioni quando, nel 1946, introdusse unmetodo per rappresentare un segnale in due dimensioni, con il tempo e la frequenzacome coordinate.


La notazione musicale. Sonata. L van Beethoven op. 22

138 Cap. IV . L’analisi in tempo frequenza e la trasformata di Gabor.

Figura 1 Il segnale f

Figura 2 La trasformata di Fourier di f.

1 . La trasformata di Gabor

In questo capitolo denoteremo con L2pRnq lo spazio delle funzioni di quadratosommabile su Rn; se f e g sono due funzioni di L2pRnq, con fL2pRnq denoteremola norma di f in questo spazio e con pf, hqL2pRnq il prodotto interno. Sia g “ 0 unafunzione (detta funzione finestra) fissata in L2pRq. Se f e una funzione in L2pRq,la funzione definita da

(1.1) Wfpω, tq “

ż

fpsqgps´ tqe´2πiωs ds

per ω e t in R, si chiama Trasformata di Gabor di f . L’integrale ha senso per ognit e ogni ω perche pfτtgq P L

1pRq. Si noti che W e lineare e dipende da g.Per interpretare la formula (1.1) supponiamo che g sia reale. Allora Wfpωo, toq e latrasformata di Fourier di fτtog in ωo. Se g e la funzione caratteristica di un inter-vallo centrato nell’origine, allora Wfpωo, toq e la trasformata in ωo della restrizionedi f a un intervallo centrato attorno al punto to. Quando t varia, la funzione g tra-sla lungo l’asse delle t agendo come una finestra che scorrendo, coglie informazioni

Cap. IV , n. 1 . La trasformata di Gabor 139

sulla trasformata di Fourier delle localizzazioni di f (Figura 3). Per questo Wf sichiama anche trasformata a finestra mobile di f.Nella teoria e nella pratica si considerano funzioni finestra piu regolari, non neces-sariamente a supporto compatto come nella Figura 3.

f ( t )

g ( t ) g ( t - to )

f ( t ) g ( t )

Figura 3 Wfpω, toq descrive il contenuto di f in frequenza vicino a to

Denotiamo con eω, ω P R, la funzione eωpsq “ e2πisω; l’operatore definito daMωf “ eωf e detto operatore di modulazione. Ricordiamo che Mω e continuorispetto al parametro ω in L2pRq (Esercizio 2.8 Cap 2).

Lemma 1.1. Sia g P L2pRq. Allora per ogni f P L2pRq la formula (1.1) puo esserescritta nei seguenti modi equivalenti

Wfpω, tq “ pf,MωτtgqL2pRq(1.2)

Wfpω, tq “ pf ¨ τtgqppωq(1.3)

Wfpω, tq “ pf , τωpM´tgqqL2pRq “ e´2πitω

ż

fpξqpgpξ ´ ωqe2πitξdξ.(1.4)

Dimostrazione. Le prime due formule sono ovvie. Si noti che, poiche f ¨ τtg ein L1pRq, la formula (1.3) mostra che Wf e definita puntualmente per ogni t eω ed e continua rispetto a ω. Nel Lemma 1.2 mostreremo che e continua comefunzione di due variabili. Dalla (1.2), per la formula di Plancherel, si ottieneWfpω, tq “

`

f , pMωτtgqp˘

L2pRq. Usando la relazione fra trasformata di Fourier e

traslazione (formule (iii) del Teorema 3.1) si ha

`

Mωτtg˘

ppξq “ τω`

τtg˘

ppξq “ τωM´tgpξq “ e2πitpξ´ωqgpξ ´ ωq.

da cui la (1.4) segue subito.

Supponiamo per il momento che g sia reale. La formula (1.4) mostra che, a meno diuna modulazione, Wfpω, tq e la trasformata di Fourier di f τω g. Se quindi g e benlocalizzata attorno all’origine, Wfpω, tq fornisce informazioni sulla antitrasformatadi f ristretta attorno a ω.Dunque, se scegliamo la funzione finestra g ben localizzatasia in tempo che in frequenza, W fornira informazioni locali su f e f . Una funzionedi questo tipo molto usata e la gaussiana, ma sono state studiate anche funzioniscarsamente localizzate in frequenza come le splines.


Lemma 1.2. Sia f P L2pRq. Allora Wf e continua in R2.

Dimostrazione. Dalle formule (1.2) e (1.3), usando la diseguaglianza di Schwarz, siha

ˇ

ˇWfpω, tq ´Wfpωo, toqˇ

ˇ

ďˇ

ˇWfpω, tq ´Wfpω, toqˇ

ˇ`ˇ

ˇWfpω, toq ´Wfpωo, toqˇ

ˇ

“ˇ

ˇ

`

f,Mωτtg ´Mωτtog˘

L2pRq

ˇ

ˇ`ˇ

ˇ

`

M´ωf ´M´ωof, τtog˘

L2pRq

ˇ

ˇ

ď fL2pRqτtg ´ τtogL2pRq ` M´ωf ´M´ωofL2pRqgL2pRq

La continuita di Wf discende subito dalla continuita di τto (Lemma 2.9) e dall’os-servazione che precede il Lemma 1.1.

Il seguente teorema mostra che W e multiplo di una isometria da L2pRq in L2pR2q.

Teorema 1.3. Sia g P L2pRq. Allora per ogni f in L2pRq si ha

WfL2pR2q “ gL2pRqfL2pRq(1.5)

pWf,WhqL2pR2q “ γgpf, hqL2pRq(1.6)

dove γg “ g2L2pRq.

Dimostrazione. Basta provare la prima identita, la seconda segue per polarizza-zione. Siano f e g in L2pRq. Usando la (1.2) e la formula di Plancherel siha

Wf2L2pR2q “

ż

´

ż

|Wfpω, tq|2dω¯

dt

“

ż

Wfp¨, tq2L2pRq dt

“

ż

`

f τtg˘

p

2L2pRq dt

“

ż

fτtg2L2pRq dt.

Il secondo membro e uguale a

ż

´

ż

|fpsqgps´ tq|2 ds¯

dt “

ż

|fpsq|2`

ż

|gps´ tq|2 dt˘

ds

“ f2L2pRqg2L2pRq,

lo scambio dell’ordine di integrazione e lecito per il Teorema di Fubini.

Formula di inversione Dal Teorema 1.3 segue che l’immagine di W e chiusa e, peril Lemma 1.2, e un sottospazio proprio dello spazio L2pR2q. Quindi l’operatore W einiettivo ma non surgettivo. Pertanto esiste soltanto l’inverso sinistro. Denotiamo


con W˚ : L2pR2q Ñ L2pRq l’aggiunto di W. Ricordiamo che si tratta dell’operatorelineare continuo definito da

pW˚F, hqL2pRq “ pF,WhqL2pR2q F P L2pR2q, h P R,

(vedi Appendice). Per la definizione di aggiunto e per la (1.6) si ha

pW˚Wf, hqL2pRq “ pWf,WhqL2pR2q “ γgpf, hqL2pRq, f, h P L2pRq.

Ne segue che

(1.7) γg´1W˚ W “ I,

dove con I abbiamo denotato l’operatore identita in L2pRq. Quindi γ´1g W˚ e

l’inverso sinistro di W.

Teorema 1.4. Sia g in L2pRq. Se F P L1pR2q X L2pR2q allora

(1.8) W˚ F psq “

żż

F pω, tqgps´ tqe2πisω dωdt

per q.o. s in R. Sia f P L2pRq, se Wf P L1pR2q, si ha la formula di inversione

(1.9) fpsq “ γg´1

żż

Wfpω, tqgps´ tqe2πisωdωdt.

Dimostrazione. L’integrale in (1.8) e finito per q.o. s ed e una funzione di L2pRq.Infatti, denotiamo con ` la funzione definita da

`psq “

żż

ˇ

ˇF pω, tqˇ

ˇ |gps´ tqˇ

ˇ dωdt;

per la disuguaglianza integrale di Minkowski p1q si ha

(1.10) `L2pRq ď

żż

F pω, tqgp¨ ´ tqL2pRq dωdt “ gL2pRqF L1pR2q.

Inoltre per ogni F P L1pR2q X L2pR2q e h P L2 si ha

pW˚F, hqL2pRq “ pF,WhqL2pR2q “

żż

F pω, tqWhpω, tq dω dt

“

żż

F pω, tq´

ż

hpsqgps´ tqe2πisω ds¯

dω dt

“

ż

hpsq´

żż

F pω, tqgps´ tqe2πiωsdωdt¯

ds,


assumendo per il momento che sia lecito lo scambio di integrali. Quindi abbiamoprovato che per ogni h P L2pRq si ha

pW˚F, hqL2pRq “´

żż

F pω, tqgps´ tqe2πiωs dωdt, h¯

L2pRq.

Da cio la (1.8) segue subito. Rimane da provare che lo scambio di integrali e lecitoe questo segue subito dall’osservazione che per la (1.10) si ha

żżż

ˇ

ˇ

ˇF pω, tqhpsqgps´ tq

ˇ

ˇ

ˇds dωdt ď F L1pR2qhL2pRqgL2pRq.

La formula di inversione (1.9) segue dalla (1.8) e dal fatto che W˚W “ γgI.

Il Teorema precedente fornisce una formula di inversione nel caso in cui Wf siain L1pR2q XL2pR2q. Per invertire la trasformata di Gabor nel caso generale, bastausare che L1pR2q X L2pR2q e denso in L2pR2q.

Teorema 1.5. Sia F “ Wf. Per ogni successione pFnq in L1pR2q X L2pR2q

tendente a F in L2pR2q si ha

(1.11) fpsq “ γg´1 lim

n

żż

Fnpω, tqgps´ tqe2πisωdωdt in L2pRq.

Dimostrazione. Sia pFnq una successione in L1pR2qXL2pR2q che converge ad F inL2pR2q. Allora per la continuita di W˚ si ha

f “ γ´1g W˚Wf “ γg

´1W˚F “ γg´1 lim

nW˚Fn.

Poiche Fn P L1pR2qXL2pR2q, per la (1.8) W˚Fn coincide con l’integrale a secondo

membro della formula (1.11).

Per una formula di inversione piu esplicita si puo scegliere la famiglia χRpω, tqF pω, tqcon χR funzione caratteristica del cerchio CR di centro l’origine e raggio R; allorada (1.11) si ottiene

fpsq “ γg´1 lim

RÑ8

żż

CR

F pω, tqgps´ tqe2πisωdωdt

in L2pR2q. Si noti che se il limite del secondo membro esiste anche quasi ovunque,allora e uguale a fpsq per quasi ogni s. La formula precedente costituisce unaformula di inversione.Schematicamente l’analisi in tempo-frequenza consiste nei tre passi seguenti:1. Analisi: dato un segnale, f si calcola la sua trasformata di Gabor Wfpω, tqrispetto ad una finestra g opportuna, e si interpreta come una informazione intempo-frequenza.2. Elaborazione: Wfpω, tq viene modificata, per esempio troncata ai soli suoi valoriin una regione di interesse, per esempio dove |Wfpω, tq| e superiore ad una soglia


fissata, o laddove si ha necessita di separare e analizzare le sue componenti.3. Sintesi: dopo aver cosı elaborato il segnale, lo si ricostruisce mediante unaformula di inversione.

Discretizzazione della trasformata continua e gli sviluppi in serie di Ga-bor.Accenniamo brevemente al fatto che la trasformata di Gabor e ancora piu cono-sciuta nella sua versione discreta: fissati due parametri positivi ωo, to, scegliamoω “ mωo e t “ nto, con n,m P Z; allora la (1.1) diventa

(1.12) Wm,nf “

ż

fpsqgps´ ntoqe´2πimωos ds.

Introducendo la famiglia

tgmωo,ntoptq, m, n P Zu,

dove

gmωo,ntopsq “ gps´ ntoq e2πimωos m,n P Z,

la (1.12) si puo scrivere

Wm,nf “ pf, gmωo,ntoq.

La teoria si occupa di trovare sotto quali condizioni su g e possibile l’analisi e lasintesi di funzioni f di L2 in termini della famiglia tgmωo,nto , m, n P Zu, cioe epossibile uno sviluppo del tipo

(1.13) f “ÿ

n,m

pf, gmωo,ntoqgmωo,nto .

I vantaggi di tali rappresentazioni rispetto alla rappresentazione di Fourier sonoevidenti: supponiamo che la funzione g sia ben localizzata vicino all’origine. Perla (1.1) se la funzione f viene modificata in un piccolo intorno di un punto fissatot, questo modifichera essenzialmente solo i coefficienti dello sviluppo Wm,n per cuinto e vicino a t e non, come avviene per le serie di Fourier, tutti i coefficienti.Un analogo discorso vale per la frequenza: supponiamo che la funzione g sia benlocalizzata attorno a zero. Per la (1.4) una perturbazione della funzione f inun piccolo intorno di un punto ξ influira essenzialmente solo sui coefficienti dellosviluppo Wm,n per cui mωo e vicino a ξ.


Spettrogramma La rappresentazione della funzioneˇ

ˇWpω, tqfˇ

ˇ nel pianoavente in ascissa e tempi e in ordinata le frequenze si chiama spettrogramma. NellaFigura 4 compare un segnale vocale (la parola never) ed il suo spettrogramma.

0 1000 2000 3000 4000-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Time

Frequ

ency

0 0.1 0.2 0.3 0.40

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

Figura 4 Trasformata di Gabor di un segnale vocale

Utilizzando finestre sufficientemente localizzate in tempo e frequenza, e possibiledefinire la trasformata di Gabor anche per funzioni che non sono in L2pRq. Siconsideri ad esempio la funzione sptq “ sinpωopt`

12 qq, con ωo “ 70π; il suo grafico

compare in Figura 5 assieme a quello della sua trasformata. E stata calcolatala trasformata di Gabor della funzione utilizzando come finestra una gaussiana.In Figura 7 (a sinistra) appare lo spettrogramma, si noti che, poiche la funzionee perfettamente localizzata attorno alle sequenze ω “ ˘ωo, lo spettrogramma econcentrato attorno alle due rette ω “ ˘ωo.

Figura 5 La funzione seno e la sua trasformata di Fourier

Invece la funzione i in (2.1) piu avanti, che e localizzata nel tempo attorno all’istanteto “ .3, ha lo spettrogramma concentrato attorno alla retta t “ to del piano tempo-frequenza. I grafici della funzione e della sua trasformata sono in Figura 6. Lo


spettrogramma e in Figura 7 (a destra).

Figura 6 La funzione tenda e la sua trasformata di Fourier

Figura 7 Spettrogramma delle funzioni seno e impulso, con finestra fine.


1 Vedi l’Appendice.

2 Vedi l’Appendice.

3 CIND e il Centro Interuniversitario per la Neurofisiologia del Dolore pressol’Universita di Genova.

Cap. IV , n. 2 . Esercitazioni 147

2 . Esercitazioni

Applicazioni ed esempi

Esempio 1.1 Un segnale biomedico: la reazione di un muscolo ad una stimolazione.Quando un muscolo viene stimolato in un punto, le “unita motorie ” vicine emet-tono un segnale elettrico continuo e delle piccole scariche che si manifestano gra-ficamente in un certo numero di “deflessioni” successive. Con questo termine siintende un picco, un attraversamento dello zero, e un altro picco. Nella ricercamedica interessano: il numero di deflessioni, la durata complessiva della reazione,il numero, la durata e le ampiezze di ciascun picco.La Figura 8, che mi e stata gentilmente messa disposizione dal Prof. Leandri delCIND p2q, rappresenta il grafico di un segnale ottenuto dalla stimolazione di unmuscolo. Come si vede, dalla rappresentazione grafica e impossibile riconoscere oisolare queste componenti del segnale. Uno sviluppo in seni e coseni (come quellodella trasformata di Fourier) non potrebbe dirci nulla di piu. Provate a leggere daicoefficienti di Fourier informazioni sul segnale! Tutto cio che si indovina e qualcheindicazione sulla regolarita della funzione. Naturalmente considerazioni analoghevalgono per l’integrale di Fourier.In maniera analoga, nella lettura di un elettrocardiogramma si cercano componentiben note, come ad esempio un’ onda anomala, che possano denotare l’inizio di unamalattia cardiaca, mentre nella lettura di un encefalogramma si cerca la presenza diun episodio di attacco di natura neurologica. Anche in questo caso la trasformatadi Fourier, che e una analisi in seni e coseni, non sarebbe di nessun aiuto per lasemplice ragione che

seni e coseni non hanno nulla a che fare con le onde che stiamo cercandoL’idea nuova e quella di sostituire le funzioni seno e coseno con funzioni piu flessibili(come le funzioni finestra) e adatte ad analizzare il segnale che ci interessa, magarisimili al segnale che vogliamo analizzare.

Figura 8 segnale elettrico biomedico.


EsercitazioneLa funzione il cui grafico e raffigurato nella Figura 1 e la somma delle tre funzioniseguenti

sptq “ sinp70πtq iptq “ maxp0, 2.5´ 300|pt´ 0.3qq|(2.1)

cptq “ sinp2πp25` 24t2qt.(2.2)

I grafici delle funzioni s ed i e delle loro trasformate di Fourier sono in Figura 5 eFigura 6 qualche pagina indietro, il grafico delle funzioni c e della sua trasformatasono in Figura 9.Usando l’algoritmo della FFT di Matlab calcolare la trasformata di Fourier dellefunzioni

spt` 0.5q, ipt` 0.5q, cpt` 0.5q, t P p´0.5, 0.5q

e della loro somma.2. Usando come finestra la funzione gaussiana h “

?δe´

12 pδyq

2

con δ ą 0, cal-colare lo spettrogramma di ciascuna di queste quattro funzioni per vari valori delparametro δ.Suggerimento: rappresentare la matrice dei coefficienti usando imagesc (coloredefault), e una rappresentazione tridimensionale (imagesc(y,x, (cf2)).

Figura 9 La funzione chirp e la sua trasformata

Capitolo V

Appendice

1 . Disuguaglianza integrale di Minkowski

Lemma Sia ` una funzione misurabile tale che `ϕ P L1 per ogni ϕ P L2 e

(1.1)ˇ

ˇ

ˇ

ż

`ϕ dxˇ

ˇ

ˇď cϕ2

Allora si ha ` P L2 e `2 ď c.Dimostrazione Sia

En “ tx P r´n, ns : |`pxq| ď nu n P N

e sia ϕn la successione

(1.2) ϕn “ `χEn n P N.

dove χEn denota la funzione caratteristica dell’insieme En. Si ha ϕn P L2 per ogni

n perche ϕn2 “

ş

En`` dx ă 2n3. Ne segue, per l’ipotesi, che

ż

En

|`|2dx “

ż

R``χEndx “

ż

R`ϕndx ď cϕn2 “ c

´

ż

En

`` dx¯12

e quindi abbiamo provato che´

ş

En`` dx

¯12

ď c; cioe

´

ż

R|`|2 χEn dx

¯12

ď c.

Per il teorema della convergenza monotona, facendo il limite per n tendente

a infinito, si ottiene che questo integrale tende a´

ş

R `|2dx

¯12

e quindi abbiamo

provato che `2 ď c. Il lemma e cosı dimostrato.Teorema Sia fps, tq una funzione misurabile tale che l’integrale

ş

fp¨, tq2 dt esistafinito. Allora l’integrale

(1.3) `psq “

ż

fps, tq dt

150 Cap. V . Appendice

esiste per q.o. s, la funzione ` e in L2pRq e si ha

(1.4) `2 ď

ż

fp¨, tq2 dt.

Dimostrazione Scambiando gli ordini di integrazione e usando la disuguaglianza diSchwarz si ha

ż

´

ż

|fps, tq|dt¯

|ϕpsq|ds “

ż

´

ż

|fps, tq||ϕpsq|ds¯

dt

ď

ż

´

ż

|fps, tq|2ds¯12´

ż

|ϕpsq|2ds¯12

dt

ď ϕ2

ż

fp¨, tq2dt ă 8

Se ne deduce che per quasi ogni s l’integrale in (1.3) che definisce ` e finito, e quindi` esiste q.o. Di deduce inoltre che

(1.5)ˇ

ˇ

ˇ

ż

`psqϕpsqdsˇ

ˇ

ˇď

ż

ˇ

ˇ`psqϕpsqˇ

ˇds ď ϕ2

ż

fp¨, tq2dt ă 8

Questo mostra che ` soddisfa entrambe le ipotesi del Lemma. Percio per ogni` P L2 si ha la (1.4) .

Operatore aggiunto di un operatore limitato su spazi di Hilbert

Qui facciamo qualche breve richiamo sull’operatore aggiunto di un operatorelimitato su spazii di Hilbert.Siano H e K due spazi di Hilbert e T : H Ñ K un operatore lineare limitato.Allora si prova che esiste un unico operatore lineare limitato T˚ : K Ñ H tale che

(1.6) pTx, yqK “ px, T˚yqH x P H, y P K.

L’operatore T˚ si chiama operatore aggiunto di T .T˚ e limitato, infatti usando la disuguaglianza di Schwartz e la limitatezza di T siha

T˚x “ supy“1

|pT˚x, yq| “ supy“1

|px, Tyq| ď supy“1

xTy “

“ x supy“1

Ty “ xT

Valgono le seguenti proprieta

(1) pT ` Sq˚ “ T˚ ` S˚

(2) pαT q˚ “ αT˚

(3) pST q˚ “ T˚S˚

Cap. V , n. 1 . Disuguaglianza integrale di Minkowski 151

(4) pT˚q˚ “ T

(5) T˚ “ T , T˚T “ T 2,

La dimostrazione di queste effermazioni e lasciata per esercizio al lettore che alloscopo puo consultare le pagine 292-297 del Cap. 12 del libro Functional Analysisdi W. Rudin, dove questi fatti sono dimostrati nel caso K “ H.

152 Cap. V .

2 . Teorema di Paley-Wiener

Nel Capitolo 2 abbiamo enunciato il Teorema di Paley-Wiener (Teor 5.2) che carat-terizza le trasformate di Fourier delle funzioni in L2 a supporto compatto. Per ladimostrazione di questo teorema rimandiamo a [12, Thm 19.3]. In questa appendi-ce dimostriamo una versione diversa del Teorema di Paley-Wiener (vedi il Teorema2.2 piu sotto), in cui l’ipotesi:

(2.1) |F pzq| ď Ae2πτ |z| @z P C

viene sostituita dall’ipotesi un po piu forte

(2.2) |F pzq| ď Ke2πτ |Impzq| @z P C.

Premettiamo un lemma che caratterizza le trasformate di Fourier delle funzioniC8c .

Lemma 2.1. i) Sia f P C8c una funzione il cui supporto e in r´τ, τ s. Allora lafunzione

(2.3) F pzq “

ż

fptqe´2πizt dt z P C

e intera e per ogni n P N esiste una costante positiva Cn tale che

(2.4)ˇ

ˇF pzqˇ

ˇ ďCn

p1` |z|nqe2πτ |Impzq| z P C

ii) Sia F una funzione intera che soddisfa la (2.4) per ogni n P N. Allora esisteuna funzione f P C8c tale che f “ Fˇ

ˇRe il cui supporto e contenuto in r´τ, τ s.

Dimostrazione. Sia f P C8c avente supporto in r´τ, τ s. Allora la funzione definitain (2.3) e intera perche soddisfa le condizioni di Cauchy-Riemann. Si tratta ovvia-mente di una estensione al campo complesso della trasformata di Fourier di f . Perprovare la formula (2.4), osserviamo che, poiche f P S, vale la proprieta (3.2) perogni n P N. Dunque

p2πiξqnfpξq “

ż

f pnqptqe´2πiξt dt ξ P R.

Poiche fpξq “ F pξq, entrambi i membri sono restrizioni ad R di funzioni olomorfe(per il secondo membro basta usare le condizioni di Cauchy-Riemann), la relazionevale anche in C, cioe

p2πizqnF pzq “

ż

f pnqptqe´2πizt dt z P C.

Maggioriamo, ricordando che la funzione f ha supporto in r´τ, τ s :ˇ

ˇ

ˇp2πzqnF pzq

ˇ

ˇ

ˇď Cne

2π|Impzqτ | z P C, n P N.

Cap. V , n. 2 . Il Teorema di Paley-Wiener 153

Da questa relazione si ottiene la (2.4).ii) Sia F una funzione intera tale che valga la (2.4) per ogni n P N. Allora Fˇ

ˇRe

in L2, e quindi esiste una funzione f P L2 tale che f “ FˇˇR

. Inoltre FˇˇR

e in L1 e

quindi vale la formula di inversione (5.8)

(2.5) fpxq “

ż

F pξq e2πiξx dξ q.o.x.

Poiche FˇˇR

e in L1, il secondo membro e una funzione continua e quindi, modificando

f su un insieme di misura nulla, possiamo supporre che f sia continua. Per provareche f ha supporto in r´τ, τ s usiamo la relazione

(2.6) fpxq “

ż

F pξ ` iηq e2πipξ`iηqx dξ @η @x,

la cui verifica e assegnata per esercizio. Sia ora x ą τ e scegliamo η ą 0.Maggioriamo l’integrale in (2.6) utilizzando la (2.4) per n “ 2. Si ottiene

|fpxq| ď

ż

C2

`

1` |ξ|2q´1 e2πηpτ´xq dξ ă C e2πηpτ´xq @x @η ą 0

dove C e una costante. Facendo tendere η a `8 si ottiene che fpxq “ 0. Questomostra che fpxq e nulla per x ą τ ; un analogo ragionamento mostra che e nullaanche per x ă ´τ.

Teorema 2.2. Sia f una funzione di L2. Allora f e nulla fuori di r´τ, τ s se e solose la sua trasformata di Fourier e la restrizione ad R di una funzione F intera taleche

(2.7)ˇ

ˇF pzqˇ

ˇ ď Ke2πτ |Impzq| @z P C

dove K e una costante positiva.

Dimostrazione. La condizione necessaria si prova in maniera del tutto analoga aquella del Teorema 5.2 del Cap.2, percio proviamo solo la seconda. Sia dunque Funa funzione intera la cui restrizione a R e in L2 e tale che valga la (2.7) per unacostante K ą 0. Dobbiamo provare che esiste una funzione f P L2, nulla fuori dir´τ, τ s tale che Fˇ

ˇR“ Ff.

Denotiamo con f l’antitrasformata di Fourier di F ristretta a R :

f “ F´1F.

Denotiamo con pϕεq una identita approssimata in L1, tale che ϕε P C8c e supppϕεq Ă

r´ε, εs. Per il Lemma 2.1, punto i), la funzione

Φεpzq “

ż

ϕεptqe´2πiztdt @z P C

154 Cap. V .

e intera e si ha

ˇ

ˇΦεpzqˇ

ˇ ď Cnp1` |z|nq´1e2πε|Impzq| @z P C,@n P N.

Allora per la (2.7) FΦε e una funzione intera tale che

ˇ

ˇF pzqΦεpzqˇ

ˇ ď KCnp1` |z|nq´1e2πpτ`εq|Impzq| @z P C,@n P N.

Ne segue, per il Lemma 2.1, ii), che la restrizione di F Φε ad R e la trasformata diuna funzione di C8c che ha supporto in r´pτ ` εq, τ ` εs. Poiche per la (5.15) delCap. 2 si ha

F´1pF Φεq “ F´1F ˚ F´1Φε “ f ˚ ϕε,

otteniamo che supp`

f ˚ ϕε˘

Ă r´pτ ` εq, τ ` εs. Per la Proposizione 5.5 la suc-cessione

`

f ˚ ϕε˘

tende a f in L2. Questo implica che f e nulla fuori di r´τ, τ s.La verifica di quest’ultima implicazione e lasciata per esercizio. Il teorema e cosıdimostrato.

Esercizio Provare il seguente enunciato:Sia pfnq una successione in Coc tale che suppfn Ă r´τ ´ 1n, τ ` 1ns e lim fn “ fin L2. Allora f e nulla quasi ovunque nel complementare di r´τ, τ s.Dimostrazione Scegliamo un rappresentante di f definito ovunque. Passando even-tualmente ad una estratta possiamo supporre che fn converge quasi ovunque ad f .Sia E l’insieme ( ovviamente di misura nulla) in cui fn non converge ad f .Sia ora x R E tale che |x| ą τ allora

fpxq “ lim fnpxq “ 0

perche se n e abbastanza grande x e fuori dal supporto di fn. Questo prova che

tx : |x| ą τ, fpxq “ 0u Ă E.

Poiche E ha misura nulla la tesi segue subito.Osservazione Si noti che entrambi i teoremi formiscono una caratterizzazione

dello stesso spazio funzionale. Se ne deduce che una funzine intera la cui restrizionea R e in L2, soddisfa la (2.1) se e solo se soddisfa la (2.7).

Indice

I Serie di Fourier 31 . Serie di Fourier di funzioni di quadrato integrabile . . . . . . . . . . . . . 42 . Serie di Fourier di funzioni assolutamente integrabili . . . . . . . . . . . . 93 . Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 . Altri risultati di convergenza puntuale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 . La temperatura della terra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346 . Il problema del calore in un disco isolato. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 . Il problema del calore su un filo circolare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 . Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 . Esercizi. Serie di Fourier in L2

2π e L12π. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

10 . Esercizi. Convergenza puntuale e applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . 53

II Integrale di Fourier 571 . Notazioni e richiami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 . Convoluzione e identita approssimate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653 . La trasformata di Fourier di funzioni di L1. . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 . Formula di Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795 . La trasformata di Fourier in L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 836 . Il teorema del campionamento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 927 . Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 998 . Esercizi. Trasformata di Fourier in L1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009 . Esercizi. Trasformata di Fourier in L2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10510 . Esercizi. Teorema del campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

IIICalcolo numerico della trasformata di Fourier. 1091 . La trasformata di Fourier discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102 . Le proprieta della DFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153 . La Fast Fourier Transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174 . La trasformata coseno e la DCT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1205 . Note . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1276 . Esercizi. Trasformata di Fourier Discreta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1287 . Esercitazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

IVL’analisi in tempo frequenza e la trasformata di Gabor 1351 . La trasformata di Gabor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1382 . Esercitazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

V Appendice 1491 . Disuguaglianza integrale di Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1492 . Teorema di Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

156 Cap. V .

Bibliografia

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