Sviluppo in serie di Fourier - Corsi di Laurea a Distanza...

Teoria dei segnali Sviluppo in serie di Fourier

© 2005 Politecnico di Torino 1

Introduzione ai segnali determinati

Titolo unitàSviluppo in serie di Fourier

2

Sviluppo in serie di Fourier

Introduzione e richiami sulle basi di spazivettorialiSerie di Fourier di segnali a supporto limitatoSpettro di un segnaleSerie di Fourier di segnali a supporto illimitato




Titolo unitàIntroduzione e richiami sulle basi di spazi vettoriali

4

Serie di Fourier

Storicamente: proposta da Joseph Fourier all’accademia francese nel 1807Concetto principale: è possibile costruire un segnale, anche discontinuo, come somma di infinite funzioni continue oscillanti a frequenzediverse

… =



5

Serie di Fourier

Concetto di scomposizione di un segnale in unabaseConcetto di base trigonometrica e calcolo deicoefficienti della scomposizioneConcetto di spettro di un segnaleEsempi di calcolo

6

Basi di funzioni

Dalla geometria, un vettore si può scomporre in una base come:

dove:

La stessa notazione si può usare per funzioni e basi di funzioni: i vettori diventano funzioni del tempo (segnali)

v=v0s0 + v1s1 + … + vnsn

vi=<v,si> e <.,.> indica un prodotto scalare



7

Basi di funzioni

Iniziamo a considerare uno spazio di funzionicomplesse ad energia finita definite nell’intervallo(-T/2,T/2) ( )tx

t

2T

−2T

8

Basi di funzioni

Ci chiediamo se esiste una “base” di questospazio di funzioni

un insieme di segnaliuna definizione di prodotto scalare

La base viene utilizzata per “scomporre” ilsegnale come

s(t)=v0s0(t) + v1s1(t) + … + vnsn(t)



9

Serie di Fourier

Organizzazione:base di Fourierserie di Fourier di un segnale a supporto limitatoconcetto di frequenza e spettroserie di Fourier di un segnale a supporto illimitato

Segnale a supporto limitato: è nullo al di fuori di un certo intervallo. Per esempio:

x(t) = 0 per t ∉ (-T/2,T/2)

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Base trigonometrica

Scelta della base per l’analisi dei segnali: le funzioni di base devono evidenziarecaratteristiche importanti del segnale

Diverse applicazioni possono richiedere diverse definizioni della base

analisi armonica: base di funzioni sinusoidalicompressione: base di funzioni con supportotemporale diversorilevazione di segnali: base progettata in funzionedelle caratteristiche del segnale da rilevare



11

Base trigonometrica

Funzioni di base: sinusoidi ed esponenzialicomplessi, del tipo

Prodotto scalare:

2( ) etj n T

ns t π=

/ 2 2

/ 2

1( ), ( ) ( )e

T tj n Tn T

x t s t x t dtT

π−

−= ∫

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Osservazioni

La base trigonometrica contiene segnalidi durata infinitacontenenti una singola componente di oscillazionea frequenza n/T

Il prodotto scalare misura quale componente del segnale sn(t) è presente nel segnale

2( ) e

tj n Tns t

π=




Titolo unitàSerie di Fourier di segnali a supporto limitato

14

Sviluppo in serie

Premessa

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4



15

Sviluppo in serie

Premessa

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4

+ ( )tx

16

Sviluppo in serie

Premessa

+ ( )tx

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4



17

Sviluppo in serie

Premessa

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4

18

Sviluppo in serie

Premessa

1

0.1

0.5

-2.5

3

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4



19

Sviluppo in serie

Premessa

1

0.1

0.5

-2.5

3

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4

+( )tx

20

Sviluppo in serie

Premessa

1

0.1

0.5

-2.5

3

+( )tx

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4



21

Sviluppo in serie

È possibile invertire il processo?

22

Sviluppo in serie


+( )tx



23

Sviluppo in serie


?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

+( )tx

24

Serie di Fourier

Segnale realenella forma trigonometrica:

dove:



25

Serie di Fourier


dove:

( ) 01

2 2cos sinn nn

x t a a n t b n tT Tπ π∞

=

= + + ∑ ( )2, 2t T T∈ − +

26

Serie di Fourier


dove:

( )/ 2

0/2

1 T

T

a x t dtT −

= ∫ ( )/ 2

/ 2

2 2cosT

nT

a x t n t dtT T

π

−

= ∫

( )/ 2

/2

2 2sin

T

nT

b x t n t dtT T

π

−

= ∫

( ) 01

2 2cos sinn nn

x t a a n t b n tT Tπ π∞

=

= + + ∑ ( )2, 2t T T∈ − +



27

Serie di Fourier

Segnale complessonella forma esponenziale:

dove:

nota:

28

Serie di Fourier


dove:

nota:

( )2jn tT

nn

x t eπ

µ+∞

=−∞

= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +



29

Serie di Fourier


dove:

nota:

( )/ 2 2

/2

1 Tjn t

Tn

T

x t e dtT

π

µ−

−

= ∫

( )2jn tT

nn

x t eπ

µ+∞

=−∞

= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +

30

Serie di Fourier


dove:

nota:

cos sinje jα α α= +

( )/ 2 2

/2

1 Tjn t

Tn

T

x t e dtT

π

µ−

−

= ∫

( )2jn tT

nn

x t eπ

µ+∞

=−∞

= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +




Titolo unitàSpettro di un segnale

32

Sviluppo in serie

Serie trigonometrica

T

( )tx



33

Sviluppo in serie


T

calcolo deicoefficienti

( )tx

34

Sviluppo in serie


T

( )tx

1

0.1

0.5

-2.5

3

( )ts0

( )ts1

( )ts2

( )ts3

( )ts4

calcolo deicoefficienti



35

Il concetto di frequenza

τ (periodo)

T

36


τ (periodo)

τ1=f (frequenza)

T



37


τ (periodo)

τ1=f (frequenza)

continua

fondamentale

prima armonica

seconda armonica

terza armonica

0=cf

Tf 10 =

01 22 fTf ==

02 33 fTf ==

03 44 fTf ==

T

38

Rappresentazione in frequenza

0=cf

Tf 10 =

01 22 fTf ==

02 33 fTf ==

03 44 fTf ==T

1

0.1

0.5

-2.5

3



39


0=cf

Tf 10 =

01 22 fTf ==

02 33 fTf ==

03 44 fTf ==T

fcf 0f 1f

2f

3f

1

0.1

0.5

-2.5

3

40

Sviluppo in serie Fourier

( ) ∑+∞

−∞=

=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

0iffi =T

f1

0 =



41


( ) ∑+∞

−∞=

=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

0iffi =T

f1

0 =

iy

pianocomplesso

42


( ) ( )ii

ii ytftx += ∑ πµ 2cos( )tx reale

( ) ∑+∞

−∞=

=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

0iffi =T

f1

0 =

iy

pianocomplesso



43


( ) ∑=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

44


( ) ∑=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

cf 0f 02 f

iµ iy

cf 0f 02 ff f



45


( ) ∑=i

tTi

j

ietxπ

µ2

ijyii eµµ =

cf 0f 02 f

iµ iy

cf 0f 02 ff f


Titolo unitàSerie di Fourier di segnali a supporto illimitato



47

Allargando la finestra...

il segnale

T=100

rappresentazionein frequenza

01.01 ==∆T

f

48




49


T=100

rappresentazionein frequenza

01.0=∆f

005.0=∆fT=200

il segnalenel tempo

50




51


T=100

T=200

T=400

52

Segnali a supporto illimitato

Cosa succede se considero il caso T→∞ ?

Le funzioni sono periodiche di periodoT/n. Ci chiediemo se la funzione w(t) siaanch’essa periodica, e di che periodo

( )2jn tT

nn

x t eπ

µ+∞

=−∞

= ∑ ( )2, 2t T T∈ − +

( )2jn tT

nn

w t eπ

µ+∞

=−∞

= ∑ ( ),t ∈ −∞ +∞

Ttnj π2e



53

Segnali a supporto illimitato

Si mostra facilmente che w(t) è periodica diperiodo T:

Nell’intervallo (-T/2,T/2) w(t)=x(t), e al di fuoricontiene repliche di x(t) spaziate di TQuindi w(t) è un segnale periodicizzato a partireda x(t)La serie di Fourier su tutto l’asse dei tempi permette di descrivere segnali periodici

( )2 2( ) 2 ( )

jn t T jn t j nT Tn n

n n

w t T e e e w tπ π

πµ µ+∞ +∞+

=−∞ =−∞

+ = = =∑ ∑

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In sintesi…

Spettro: andamento “in frequenza” del segnale, ovvero descrizione delle sue componentiarmonicheSerie di Fourier: descrive lo spettro di un segnalea supporto limitato; va guardata in (-T/2,T/2)Serie di Fourier al di fuori dell’intervallo (-T/2, T/2): descrive un segnale periodico ottenutoreplicando il segnale fondamentale in (-T/2,T/2)Descrizione di un segnale non periodico in (-∞,+ ∞): trasformata di Fourier



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Esempio di calcolo – supporto limitato

x(t)=pA(t) con A<T

L’inviluppo dello spettro è una funzione sinc, chedescrive i vari contenuti armonici della porta. Alcuni di questi coefficienti possono essere nulli, p. es. se A=T/2Il segnale è di tipo “passabasso”

/2 / 22 2

/2 / 2

1 1( ) e e

sinc

T At tj n j nT Tn AT A

p t dt dtT T

A nAT T

π πµ − −

− −= = =

=

∫ ∫

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Esempio di calcolo – supporto limitato

x(t)=cos(4πf0t) con f0=1/T

Gli unici coefficienti µn diversi da zero sono per n=±2, corrispondenti alle frequenze ±2f0

( )( ) ( )n2sinc

21

n2sinc21

dteee2T1

dtt)ecos(4poT1

µT/2

T/2T

tj2p2j4p4ptj4p4pt

T/2

T/2T

tj2p20n

++−=

=+

==

∫∫

−

−−

−

−

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