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Analisi delle serie storiche:modelli ARCH e GARCH

Prof. M. Ferrara

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Scelte di portafoglio

Markowitz ci insegna che i parametri decisionali fondamentali per operare scelte di portafoglio sono:

� Media � Varianza

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Obiettivi 1

L’obiettivo che ci siamo proposti in questa prima fase del lavoro èapprofondire le nostre conoscenze in ambito econometrico per essere in grado, una volta costruita la banca dati con le serie storiche dei titoli appartenenti allo S&P 500, di studiare le loro caratteristiche statistiche.

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Obiettivi 2

Note le caratteristiche delle serie èpossibile scegliere il modello econometrico che meglio le descrive per poterne prevedere il comportamento futuro.

Ciò sta alla base di scelte di portafoglio consapevoli.

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In particolare, dato un processo stocastico y={ yt }t∈τ che rappresenta i prezzi in chiusura della giornata borsistica, è importante conoscere il comportamento della� media� varianza� Funzione di autocovarianza

del processo stocastico nel passato per poter “dire qualcosa sul futuro”.ττττ è un insieme discreto, per cui il processo y è detto in tempo discreto

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Caratteristiche delle serie finanziarie

1. La varianza di una serie finanziaria è un parametro fondamentale nella determinazione del portafoglio ottimo dell'investitore: nella definizione di quest'ultimo occorre infatti trovare il giusto compromesso tra il rendimento medio atteso e la rischiosità, misurata dalla varianza.

Accettare l'ipotesi di omoschedasticità significa introdurre nell'analisi della serie un elemento fortemente distorcente nella stima dei parametri dei modelli econometrici e dei relativi test. Le analisi empiriche mostrano, infatti, che grandissima parte delle serie finanziarie è caratterizzata da eteroschedasticità.

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Eteroschedasticità

Una serie storica è omoschedasticase presenta varianza costante nel tempo.

Omoschedasticità

Una serie storica è eteroschedasticase presenta una varianzacaratterizzata da un comportamento non costante.

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Caratteristiche delle serie finanziarie

2. Empiricamente è stato verificato che è data dal fatto che le loro distribuzioni di probabilità delle serie finanziarie sono leptocurtiche.

Le distribuzioni leptocurtiche hanno la particolarità di assegnare una maggiore probabilità ad eventi molto lontani dal valor medio della distribuzione rispetto alle probabilità che verrebbero assegnate a tali eventi da una distribuzione normale. Per questo motivo si parla di distribuzioni con code spesse.

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Caratteristiche delle serie finanziarie

3. E’ stata verificata empiricamente l’influenza di lungo periodo degli shock sulle quotazioni dei titoli.

A ciò si aggiunge il comportamento asimmetrico, evidenziato dalle quotazioni, in base al quale shock negativi sembrano incrementare la volatilità più di quanto non facciano shock positivi (leverage effect).

I rendimenti hanno caratteristiche contrapposte, per cui a bassa volatilità corrisponde alta correlazione e viceversa: intuitivamente, piccole escursioni dei titoli, tipiche di fasi di stagnazione del mercato, sono legate da una forte correlazione lineare.

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Caratteristiche delle serie finanziarie

4. Un’altra caratteristica tipica delle serie finanziarie èil cosiddetto effetto clustering:

In altri termini, la volatilità dei rendimenti èautocorrelata.

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ARCH

Noi per il momento abbiamo concentrato la nostra attenzione sui modelli di tipo ARCH e loro varianti .

Il nostro interesse a questa tipologia di modelli è nato dalla constatazione che i contributi che abbiamo consultato a proposito di studi sul comportamento caotico dei mercati ne facevano spesso riferimento.

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Jingrong, Dong“Chaos in an Emerging Capital Market? The Case of the Shanghai Stock Exchange”Journal of Emerging Markets, Fall-Winter 2002, v. 7, iss. 3, p. 38-49

Chu, Patrick“Study on the Non-Random and Chaotic Behavior of Chi nese Equities Market “Review of Pacific Basin Financial Markets & Policies,Jun2003, Vol. 6 Issue2, p199, 24p

Chen, Shu-Heng; Lux, Thomas; Marchesi, Michele“Testing for Non-Linear Structure in an Artificial Fi nancial Market”Universitat Bonn Sonderforschungsbereich 303, Discussion Paper: B/447 (1999)

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ARCH= Autoregressive Conditional Heteroskedastiks

E’ un modello introdotto da Engle

E’ il primo modello che studia l’eteroschedasticitàcondizionata.

E’ un modello adeguato alla descrizione del fenomeno empirico del volatility clustering secondo il quale periodi di elevata volatilità tendono a permanere e sono seguiti da periodi di relativa stabilità che a loro volta manifestano una certa persistenza.

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Assunzioni di base del modello:

1. Gli shock che influiscono sui processi sottostanti non sono indipendentemente distribuiti anche se sono serialmente non correlati;

2. La distribuzione del processo condizionata al set informativo disponibile ha momenti secondi temporalmente dipendenti

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Consideriamo i rendimenti di un titolo rt=µt+yt dove

rt= yt=σtεt se assumiamo, come spesso accade, che la media sia pari a zero

εt ~ IID L(0,1) legge di probabilità di una variabile aleatoria a media nulla e varianza unitaria

σt ∈It-1 non è necessariamente costante ma dipende dalla storia passata

Date le ipotesi accade che:

E(yt| It-1)= E(σtεt| It-1)= σt E(εt| It-1)= σt E(εt)=0 Media condizionata E(yt

2| It-1)= E(σt2εt

2| It-1)= σt2 E(εt

2| It-1)= σt 2E(εt

2)= σt2 Varianza condizionata

Per cui il processo yt ha media condizionata nulla e varianza condizionata σt2 :

yt ~ L(0, σt2 )

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1. Alla base dei modelli di tipo ARCH(p) vi è l’idea che la varianzacondizionata non sia costante nel tempo, ma dipenda dalla storiapassata di yt ove p è il numero di passi indietro nel tempo di cui si tiene conto per la previsione:

σt2= α0+ α1 py2

t-1 +…+ αpy2t-p

2. Si ipotizza che la componente stocastica εt

εt ~ IID N(0,1) 3. Ricordando che

yt=σtεt

yt=(α0+ α1 py2t-1 +…+ αpy2

t-p)1/2 εt, εt ~ IID N(0,1)

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Affinché la varianza condizionata σt2 sia strettamente

maggiore di zero è necessario che:

α0>0, α1 ≥0,…, αp ≥0

Talvolta viene anche richiesto che i coefficienti αi abbiano decrescenza monotona, così che i pesi più elevati nel determinare la varianza condizionale siano assegnati agli shock più recenti.

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Proprietà del modello ARCH1. Il processo ARCH(p) è debolmente stazionario se e solo

se le radici dell’equazione caratteristica α0+ α1 z +…+ αpzp=0sono esterne al cerchio unitario.

Se così è la varianza non condizionata è:E(yt

2)= α0/ (1-α1 +…+ αp)

Qualora la varianza non condizionata sia non negativa la condizione necessaria e sufficiente per per la stazionarietàdel processo ARCH è che α1+…+ αp<1

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2. Il processo è non lineare. Ciò significa che non può essere espresso come combinazione lineare di una successione (anche infinita) di variabili casuali.

3. Il processo ARCH(p)ha una distribuzione non condizionata di yt caratterizzata da code più elevate rispetto alla distribuzione condizionata (indice di curtosi > di 3).

4. I residui del modello sono incorrelati ma non indipendenti, per cui si può dire che presentano una dipendenza non lineare . I quadrati dei residui sono invece correlati.

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Stima dei parametri del modello

La stima dei parametri di un processo con eteroschedasticità condizionata di tipo ARCH non può essere fatta ricorrendo a modelli lineari in quanto il processo yt è non lineare.

E’ utile invece il ricorso al metodo della massima verosimiglianza che garantisce la consistenza e l’efficienza asintotica delle stime.

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Ponendo αααα=(α0,…,αp)’ è possibile esprimere la funzione di densità condizionata come:

Da cui è possibile costruire la funzione di verosimiglianza

E da essa quella di log-verosimiglianza

Che può essere massimizzata numericamente per ottenere così le stime di massima verosimiglianza dei parametri del modello.

( ) ( )

−= −− 2

22/12

1 2exp2;|

t

tttt

yIyf

σπσα

( ) ( ) ( ) ( )

−== ∑∏=

−

=

−T

t t

tT

tt

TT

yyyfL

12

22/1

1

22/1 2

1exp2;,...,

σσπαα

( ) ( ) ( )

( )∑

∑

= −−

=−−

+++−

+++−−=

T

t ptpt

t

T

tptpt

yy

y

yyT

l

122

110

2

1

22110

...2

1

...log2

12log

2

ααα

αααπα

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GARCH

Il modello ARCH richiede un elevato ordine p del processo per catturare l’autocorrelazione presente in yt

2, andando così a contraddire il “principio di parsimonia” che guida la scelta dei modelli econometrici.

Il problema è stato superato grazie a Bollerslev che suggerisce l’applicazione del metodo GARCH (GeneralisedAutoregressive Conditional Heteroskedasticity) che,pur essendo basato su un numero limitato di parametri, permette di riprodurre situazioni di lunga memoria.

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A partire dalle stesse ipotesi usate per l’ARCH:

yt=σtεt

εt ~ IID L(0,1) legge di probabilità di una variabile aleatoria a media nulla e varianza unitaria

σt ∈It-1 non è necessariamente costante ma dipende dalla storia passata

Questa volta, nel GARCH (p,q) si esprime la varianza condizionata come:

σt2= α0+ α1 py2

t-1 +…+ αpy2t-p+β1σ2

t-1+…+ βq σ2t-q

La varianza condizionata è cioè funzione dei p più recenti valori di y2t e

delle q più recenti stime della varianza, cercando così di cogliere da un lato gli effetti di breve/brevissimo termine legati all’evoluzione della variabile considerata e dall’altro gli effetti di lungo periodo legati alla persistenza della volatilità.

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Il processo GARCH è cioè una naturale generalizzazione dell’ARCH:

E’ agevole ricondursi all’ARCH imponendo la restrizione:

β1= β2 =…= βq =0

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Varianti

ARCH – M (ARCH in Mean)

EGARCH (Exponential GARCH)

AGARCH (Asymmetric GARCH)IGARCH (Integrated GARCH)GARCH – M (GARCH in Mean)

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ARCH – M (ARCH in Mean) 1Nei modelli ARCH e GARCH la media condizionata èconvenzionalmente posta =0.=> la media condizionata è completamente indipendente dalla variabilità condizionata.

In accordo con la teoria classica di portafoglio di fronte ad una maggiore variabilità dei rendimenti ci attendiamo una maggior rendimento=> i modelli ARCH e GARCH non rispondono all’esigenza di ottenere un effetto feedback tra media e varianza

L’ostacolo è stato superato grazie a Engle, Lilien, Robins (1987) che hanno introdotto l’Arch-M :

rt=µt+ σtεt

εt ~ IID L(0,1) µt= δσt

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ARCH – M (ARCH in Mean) 2

Dove σt ∈ It-1 che implica la seguente distribuzione condizionata di yt

rt |I t-1~ L(δσt, σt2 )

Così facendo la varianza condizionata determina anche la media condizionata, in ragione della relazione lineare

µt= δσt.

Il modello presenta cioè una media e una varianzacondizionate che variano in modo non lineare in relazione ai valori passati di rt

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EGARCH (Exponential GARCH)

Risponde all’esigenza di dare soluzione al problema dei segni degli errori di previsione che nel GARCH sono elevati al quadrato, rendendo ininfluente il fatto che essi siano al rialzo o al ribasso. L’evidenza empirica contrasta con ciò.

Questo modello, che prende in considerazione non la varianza ma il logaritmo naturale della stessa, mantiene gli errori con il proprio segno, dando così adeguata spiegazione alla diversa reazione degli operatori alle “buone notizie” e alle “cattive notizie”.

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AGARCH (Asymmetric GARCH)

Risponde alla stessa esigenza che ha condotto all’elaborazione dell’EGARCH. Introducendo un parametro addizionale, positivo per ipotesi di lavoro, si ottiene un’amplificazione degli effetti degli shock negativi ed uno smorzamento di quelli positivi.Predilige il ricorso ad una distribuzione t di Student e non ad una normale degli errori di previsione.

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IGARCH ( Integrated GARCH)

Corrisponde al caso in cui:σt

2= α0+ α1 py2t-1 +…+ αpy2

t-p+β1σ2t-1+…+ βq σ2

t-q

ed è verificata la restrizione:

Σ αj +Σ βj =1che fa sì che il processo non soddisfi la condizione di stazionarietàdebole.L’IGARCH è non stazionario in varianza per cui si rivela prezioso nel caso in cui la varianza condizionata sia fortemente autocorrelata, ovvero nei casi in cui shock subiti dalla varianza nel passato si ripercuotono sui valori futuri della stessa.

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GARCH – M (GARCH in Mean)

Analogamente a quanto accade nell’ARCH – M, la varianza condizionale entra a determinare la media condizionale del processo determinando premi per il rischio attesi che mutano temporalmente al variare delle diverse volatilità del mercato.