Analisi 1 4Settembre2020tommaso.leonori/tommaso... · Analisi 1 7 Gennaio 2020 Svolgere gli...

Analisi 1

4 Settembre 2020

Svolgere gli esercizi in maniera chiara e dettagliando le risposte.

Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente limite:

limx!0

✓1

1 + 2x2

◆ 14

� cos(x)

ex2 � 1� sin2(x)

.

Esercizio 2 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:8>>><

>>>:

x00(t) + 2x0(t) + 5x(t) = 20et cos(2t) + 5

x0(0) = 1

x(0) = 0.

Esercizio 3 (6 pt.) Sia data la funzione f(x) = log(1+x2)

1+x2 .

(a) Tracciare il grafico di f(x) studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi,asintoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti. Lo studio degli insiemi diconcavità, convessità ed eventuali punti di flesso è facoltativo.

(b) Calcolare inoltre l’equazione della retta tangente al grafico della funzione in x0 = 1.

Esercizio 4 (6 pt.) Studiare la convergenza delle serie:1X

n=1

(1 + n)n�1 log(e�n + 1)

n!;

1X

n=1

(�1)n 12n� 15 .

Esercizio 5 (5 pt.) Studiare la convergenza e calcolare il seguente integrale improprio:Z 1

�1

1

|x|�1 + 2 log |x|+ log2 |x|

�dx .

Esercizio 6 (6 pt.) Risolvere le seguenti equazioni in campo complesso:

z|z|� 2z + i = 0 e z6 � 4z3 + 8 = 0 .

Apporre su ogni foglio da consegnare: nome, cognome e numero di matricola.

Analisi 1

1 Luglio 2020



limx!0+

log(1 + e1x )[x2ex � log(cos(x))]ex2 �

p1 + x2

.

Esercizio 2 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:8><

>:

x0(t) =�tx2(t) + t3e�t2

x(t)

x(0) = 1.

Esercizio 3 (6 pt.) Sia data la funzione f(x) = e�x � e�3x.(a) Tracciare il grafico di f(x) studiando, in particolare:

dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significa-tivi, asintoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti, insiemi di concavità,convessità ed eventuali punti di flesso.

(b) Calcolare inoltre l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel suo unicopunto di flesso.

Esercizio 4 (6 pt.) Studiare la convergenza delle serie:

1X

n=1

pn� n2 sin(1/n) ;

1X

n=1

sin( 1n↵ �1n2 )

log(n+ 1)al variare di ↵ > 0 .

Esercizio 5 (5 pt.) Studiare la convergenza e calcolare il seguente integrale improprio:Z +1

1

px2 � 1� x

xdx .

Esercizio 6 (6 pt.) Si consideri la successione

an =

s(�1)n � 1

�n+1

1 + bncon b > 0 .

(a) Dire se an è ben definita 8n 2 N e studiarne il segno;(b) Dire se an è monotona;(c) Calcolare

limn!1

an .


Analisi 1

3 Giugno 2020



limx!0

log(cos(x)) + 12 tan(x2)

cos(p2 x)� e�x2

.


>:x0(t) =

�x(t) + 2

�2�1 + t

�2

t2 + 1

x(0) = �1.

Esercizio 3 (6 pt.) Tracciare il grafico della funzione

f(x) = e13x

p4 + x ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti, insiemi di concavità, convessità edeventuali punti di flesso (lo studio della derivata seconda è facoltativo).


n=1

(2n)!

(n!)2 e2n�1;

1X

n=2

n

✓1 +

1

n2 log2 n

◆3� n

�.

Esercizio 5 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale:Z ⇡

2

�⇡2

sin(2x) log�1� sin(x)

�dx .

Esercizio 6 (6 pt.) Determinare per quali valori di b 2 R la successionean := log(1 + b

n) ,

è ben definita 8n 2 N, e calcolare

limn!+1

an e limn!+1

ann

.


Analisi 1

((((((13 Marzo 7 Maggio 2020



limx!1

[sin(x� 1)� sin(⇡x)](x2 � 1)(x+ 1) log2(x)

.

Esercizio 2 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:8>><

>>:

x0(t)

t� x(t)

t+ 1+

1

t� 1

t+ 1= 0

x(1) =1� e2

.


f(x) = arctan

✓1

x2 � 1

◆,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti, insiemi di concavità, convessità edeventuali punti di flesso.


1X

n=1

n

✓1 +

2

n2

◆n2� ne2

�;

1X

n=1

n!(x� 2)n al variare di x 2 R .

Esercizio 5 (5 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:Z +1

1

arctan12 (x� 1)5

(x� 1) log2 xdx .

Esercizio 6 (6 pt.) Risolvere le seguenti equazioni a valori complessi:

z6 + 4z3 + 5 = 0 e |z � 1|+ i|z| = |z � i|+ i .


Analisi 1

31 Gennaio 2020



limx!0

log(1� x2 + x)log(cos(x))

✓1

x� cos(x)

sin(x+ 2x3)

◆.


>:

x00(t) + 4x0(t) + 5x(t) = 3e�2t + 4 sin(t)

x(0) = 0

x0(0) = �12 .


f(x) =x� 1x2

e�x ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti.

Lo studio della derivata seconda e degli insieme di concavità, convessità ed eventuali puntidi flesso è facoltativo.


n=1

log

✓1 +

(�1)n + log(n)n3 + 2n

◆;

1X

n=1

1✓3nn

◆ .

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:Z 1

0

px� x

1� cos (2⇡px)

dx .

Esercizio 6 (5 pt.) Calcolare

limn!+1

✓a

1n + bn

◆ 1n

,

al variare di a, b 2 R+. Calcolare inoltre per b > 1

limn!+1

✓a

1n + bn

◆ 1n

� b�nbn�1 .

Consegnare solo i fogli protocollo su cui devono essere apposti:nome, cognome e numero di matricola.

Analisi 1

7 Gennaio 2020



1

x sin(1/x) log(x+ 1)

x+ 1dx .


limx!0

sin(x+ 2x2)� sin(x� x2)� log(1 + 3x2 + x3) + x3

4(1� cos(x2)) .


f(x) =

8><

>:

e�x2�2x se x � 0

log

✓2

2�2x+x2

◆se x < 0

,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, insiemi di monotonia, estremi relativi ed assoluti, insieme di concavità e convessitàed eventuali punti di flesso.

Determinare inoltre il massimo assoluto di f su R.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t) = 2t

p1� x2(t)

x(0) = ⇡4 .


n=1

n2 � n log(en + n2)

�;

1X

n=1

(n!)3 32n

(3n+ 1)!n2 .

Esercizio 6 (6 pt.) Sia F : R ! R la funzione definita da

F (x) =

Z x2

0

e�t2dt.

Sapendo cheR +10 e

�t2dt =p⇡2 , determinare quante radici ha l’equazione F (x) = � al variare

di � 2 R.


Analisi 1

22 Gennaio 2018 Fila B



e3

log2(x)

x2dx .


limx!0

2x+ arctan(x2)

log(1� 2x2 + x3) �cos(2x)

x.


f(x) =x2

log(|x|)� 1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti.

Facoltativo: Trovare i punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la famiglia di soluzioni della seguente equazione differenziale:

4t x(t)x0(t) = x2(t) + 1 ,

specificandone il dominio di definizione.Tra tutte le soluzioni, determinare l’unica che soddisfa x(1) = �2.


n=2

(�1)n�

3pn4 + n2 � 3

pn4 + 1

�log

n

n� 1 ;1X

n=1

1� n�1n2 .

Esercizio 6 (5 pt.) Si consideri la seguente funzione:

F↵(x) =

Z x�x2

x

et2dt+ ↵ log(1 + x2) con ↵ 2 R .

Determinare il valore di ↵ in maniera cheF↵(x) = 4x

2 + o(x2) per x ! 0 .


Analisi 1

22 Gennaio 2018 Fila A



e2

log2(x)

x2dx .


limx!0

2x+ arctan(x2)

log(1 + 2x2 � x3) �cos(2x)

x.


f(x) =x2

log(|x|)� 1 ,




4t x(t)x0(t) = x2(t) + 1 ,



n=1

(�1)n�

3pn4 + 1� 3

pn4 + n2

�log

n

n+ 1;

1X

n=1

n1n2 � 1 .


F↵(x) =

Z x+x2

x

e�t2dt+ ↵ log(1� x2) con ↵ 2 R .


2 + o(x2) per x ! 0 .


Analisi 1

12 Febbraio 2018 Fila A


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale indefinitoZ

x

1 + x2 + (1 + x2) log2(1 + x2)4dx .


limx!0

log(1 + sinx)� log(1 + x)x� tan(x) .


f(x) = (x+ 1)ex

x�1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità, convessità e punti diflesso.

Esercizio 4 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t)� log(t+ 1)x(t) = (t+ 1)t+1 ,x(0) = 2 .


n=1

log(cos(1/n)) ;1X

n=1

n23n

n!.

Esercizio 6 (5 pt.) Scrivere il polinomio di Taylor di grado 2 di log(1+z) centrato in z = 0 ed utilizzaretale informazione per calcolare il seguente limite

limx!+1

x

✓1 +

1

x

◆x� e

�.

Consegnare solo i fogli protocollo su cui deve esserci nome, cognome e numero dimatricola.

Analisi 1

12 Febbraio 2018 Fila B



x

1 + x2 + (1 + x2) log2(1 + x2)4dx .


limx!0

log(1 + sinx) + log(1� x)tan(x)� x .


f(x) = (x� 1)ex

x+1 ,




n=1

log(n sin(1/n)) ;1X

n=1

n32n

n!.


limx!+1

x

✓1� 1

x

◆x� e

�.


Analisi 1

25 Giugno 2018 Compito A



f(x) = log(cosx) + sin(x)− xe−x .• Si trovi il dominio di tale funzione;• Si determini il polinomio di Taylor di grado 3 centrato in x = 0;• Si calcoli

limx→0

log(1 + x2)(esinx − 1)− x4

sin(x)f(x).

Esercizio 2 (5 pt.) Dopo aver fatto le opportune osservazioni, calcolare∫ 1

−1

dx√

|x| (x+ 2).


f(x) = x3(

log(x2)− 1)

,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asintoti,crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità, convessità e punti di flesso.

Calcolare le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione nei punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

x′(t) =x(t)

t+ x2(t)t log(t)

x(1) = 9 .


+∞∑

n=1

2n+2 (n+ 1)n−1

(n + 1)! 3n−3e

+∞∑

n=1

(−1)n(

n

√7− 1

)

.

Esercizio 6 (6 pt.) Dimostrare che ∀n ∈ N:∫

e

1

logn(x)

x2dx =

n!

e

[

e− 1−n

∑

k=1

1

k!

]

.

Consegnare solo i fogli protocollo su cui devono essere apposti: nome, cognome e numero di matricola.

Analisi 1


Esercizio 1 (5 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ π

4

0

1 + tan(x)

1− tan(x)dx .


limx→0+

ex − cos(x)− sin(x)(

esin2(x) − 1

)

log(x).


f(x) = e2 sin(x)+12 sin(x)−1 − 1 ,


Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

x′′(t)− 2x′(t) + 5x(t) = 17 cos(2t) + 4et ,

x(0) = 0 ,

x′(0) = −1 ,

specificandone il dominio di definizione.


∞∑

n=1

log2(

n2 + n

n2

)

;∞∑

n=1

n! en

2n nn.

Esercizio 6 (6 pt.) Si calcolino le soluzioni delle seguenti equazioni in campo complesso:

|z|2 + z2 − iz − 1 = 0 e z6 + 2z3 + 2 = 0 .

Consegnare solo i fogli protocollo su cui devono essere apposti:

nome, cognome e numero di matricola.

Analisi 1

17 Settembre 2018


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale definito:∫π

π

2

sin(x)

2 cos(x)− sin2(x) + 3dx .


limx→0

2(√1 + x2 − 1)(1− ex) + x3

ex2 + 2 cos(x)− 3.


f(x) = ex

x2−1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti signi-ficativi, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti.

Non è richiesto lo studo della concavità, convessità e dei punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione non costante della seguente equazione differenziale

x′(t) =ex

2(t) t log(t)

x(t)

che soddisfalimt→0+

x(t) = 1 .

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

n3 + 2n

(−1)nen − sinn+ 3ne

∞∑n=1

(−1)nn

n2 + 6.

Esercizio 6 (5 pt.) Dimostrare che l’equazione∫x

0

et2

dt = 1

ha un’unica soluzione x0 e che x0 ∈ (0, 1).



Analisi 1

31 Ottobre 2018


Esercizio 1 (5 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio∫ +∞

1

1 + arctan2(x)

(1 + x2) arctan(x)dx .


limx→0

sin(x) − tan(x)− x2

2

(ex − 1) sin2(x2).


f(x) = eg(x) , essendo g(x) =

−1

x2se x < 0

x2

x+ 1se x > 0

,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asintoti,crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti.


Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

x′′(t) + 4x′(t) + 5x(t) = 4 cos(t) + 5t2 , t > 0 ,

x(0) = − 85 ,

x′(0) = − 85 .

Esercizio 5 (7 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑

n=1

n23n + (−e)n

n! (1 + e)−ne

∞∑

n=1

n4

1 + sin2 n

(3− 2x)n

4nal variare di x ∈ R .

Esercizio 6 (6 pt.) Sia data la funzione

h(x) =

√

1 +1

x2−

√

1

x2− 1 se x #= 0

α se x = 0 .

Determinare:• Il dominio di h;• Il valore di α affinché h sia continua nel suo dominio;• per tale valore di α, h è anche differenziabile all’interno del suo dominio? In caso di si, la

derivata è continua?



Analisi 1

16 Luglio 2018 Compito A



0

| log x|(1 + x)2

dx .

Esercizio 2 (6 pt.) Si consideri la funzione g(x) = log(1 + log(ex � x)):• Scrivere il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in x0 = 0;• Calcolare il seguente limite:

limx!0

g(x)

sin(x2).

Esercizio 3 (5 pt.) Dimostrare chelog(x)

x<

1

e8x > 0 , x 6= e;

Determinare inoltre il numero di soluzioni dell’equazionelog(x)

x= � al variare di � 2 R.


x00(t)� 2x0(t) = 3t+ 1 + et+2 .Tra tutte le soluzioni, determinare l’unica che soddisfa x(0) = 0 e x0(0) = 1.

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza della serie1X

n=2

1

log(en � n2 + sinn) ;

e, data la successione an =✓1 + 1n2

◆n3e�n , calcolare i seguenti limiti:

limn!+1

an e limn!1

(an)n .

Esercizio 6 (5 pt.) Risolvere e rappresentare sul piano complesso le soluzioni delle seguenti equazioni edisequazioni:

z|z|� 2z + i = 0;(Re(z̄(z + i)) 34Im(z) � 0

.


Analisi 1

21 Gennaio 2019


Esercizio 1 (6 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:Z 1

0

x

(1 + x)↵dx ,

al variare di ↵ 2 R.


limx!0

�tan(x) + sin(x)� arctan(x)

�log(1 + x)

x5 + ex2 � cos(x2)� sin(x2).


f(x) = e�|x|(x2 � 3x+ 2) ,studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asin-toti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, insieme di concavcità e convessitàed eventuali punti di flesso.

Esercizio 4 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t) = (t+ 1)x2(t)� t� 1x(0) = 0 .

Trovare inoltre la soluzione con dato iniziale x(0) = �1.


n=1

(�1)n✓

4n+ 3

2n2 + n

◆�n 1n!

;1X

n=1

n tan

✓1

n

◆� 1 .

Esercizio 6 (6 pt.) Si consideri la seguente successione:

an =np3 + n

p2

2� 1 .

• Trovare un’asintotica per an;• Calcolare

limn!1

✓np3 + n

p2

2

◆n.


Analisi 1

13 Febbraio 2019


Esercizio 1 (6 pt.)• Calcolare le primitive della finzione g(x) = e2x3ex�2�e2x ;• Calcolare la misura dell’area compresa tra l’asse x, con x 2 (0,

p3), ed il grafico della

funzione h(x) = 2(1� x) arctan(x).


limx!0

x� tan(x) + 13 log(1 + x3)� 1 + ex2 � x2

ex2 � esin2(x).


f(x) = e1

|x�1|�1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, insieme di concavità e convessitàed eventuali punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:8<

:x0(t) =

cos2(x(t))

1 + t2

x(0) = 0 .

Esercizio 5 (7 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:

1X

n=1

rn2 +

1

n� n

�;

1X

n=1

(�1)n✓2x� 33 + x2

◆nal variare di x 2 R .


f(x) :=

8>>>><

>>>>:

1

x

Z x

sin(x)

sin(t2)dt se x > 0 ,

↵ se x = 0 ,log(1 + x2)� �x2 + x4

x4� 1

2se x < 0 ,

con ↵, � 2 R.• Trovare ↵ e � tali che f(x) sia continua in 0;• Per tali valori di ↵ e �, f(x) è anche differenziabile in 0?


Analisi 1

22 Marzo 2019


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:∫

∞

−1

arctan

(

1

1 + x

)

dx .


limx→0

e−x + log

(

1+xe

)

(ex + e−x)(ex − e−x)− 2ex + 2e−x.

Esercizio 3 (4 pt.) Determinare se la funzione

f(x) =

ecos(x) − e√x

se x > 0

0 se x = 0

e1

x se x < 0

è continua e derivabile in 0.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:{

x′(t) = cos(t)√

1− x2(t)x(π4 ) =

12 .

Trovare inoltre la soluzione nel caso in cui dato iniziale sia x(0) = −1.


∞∑

n=1

log(n)

(

1− e−1

n2

)

sin

(

√

1n

) ;∞∑

n=1

1

nα− log

(

1 +1

n

)

,

al variare di α ∈ R.

Esercizio 6 (6 pt.) Dimostrare la seguente identità:n

∑

k=1

k3 − k =n4 + 2n3 − n2 − 2n

4, ∀n ∈ N .



Analisi 1

15 Luglio 2019


Esercizio 1 (6 pt.) Calcolare:Z

x22xdx e

Z 1

0

x arcsin(x2)dx .


limx!0

tan(x� x3) + x33ex2�x3 � sin(x2)� cos(x2)

.


f(x) = e�x|x�1| ,

studiando, in particolare:

dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-

intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità, convessità e punti di

flesso.


>:

x00(t) + 2x0(t)� 3t2 � 2 = cos(t) + 2e�2t ,x(0) = 0 ,

x0(0) = 1 .


1X

n=1

(n!)2

(2n)!;

1X

n=1

✓1 +

1

n2

◆n4e�n

2�n .

Esercizio 6 (7 pt.) Sia an la successione data da

an = ((�1)n + 1)1

2n� ((�1)n � 1) 1

n2.

• Dimostrare che an � 0;• Dimostrare che an NON è monotona 8n 2 N;• Calcolare lim

n!+1an;

• Studiare la convergenza della serie associata.


Analisi 1

17 Settembre 2019


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente limite al variare del parametro ↵ 2 R:

limn!+1

1� 1

n+ sin

✓1

n

◆� n↵1�cos( 1n )

.

Esercizio 2 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:Z +1

0

x2 � x+ 2x4 + 10x2 + 9

dx .


f(x) = |x� 1|p2� x ,


Esercizio 4 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t) = sin(x(t)) ,

x(0) = ⇡2 .


1X

n=1

1

n+ log(n)� log(n+ 1) ;

1X

n=1

n3

✓p3 + 1

◆n+ n

5n.

Esercizio 6 (6 pt.) Calcolare l’ordine di infinitesimo ed una asintotica della seguente funzione

g(x) = x3 + tan(x2)� ex3 � sin(x2) + 1 , per x ! 0 .


Analisi 1

24 Giugno 2019



�1

arctan(x+ 1)

(1 + x)32

dx .


limt!+1

hearctan(

1t ) � e 1t

i �t4 � (t+ 1)4

�.

Esercizio 3 (6 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:+1X

n=1

ne

1n�sin(

1n ) � 1

1� cos( 1n)e

+1X

n=1

(�1)n 1(n!)

2n

.

Esercizio 4 (5 pt.) Dimostrare la seguente disuguaglianza

arctan(x+ 1)� 1 x 8x � �1 .

Esercizio 5 (8 pt.) Sia f(x) la seguente funzione f(x) =p

|x|+ x+ 1� 1 .

• Tracciare un grafico di f(x);• Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1;• Calcolare l’area compresa tra la retta tangente ed il grafico della funzione per x 2 (0, 3).

Esercizio 6 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy8<

:x3(t)x0(t) =

1

4et�x4(t)� 1

�

x(0) = �e .


Analisi 1

17 Ottobre 2019


Esercizio 1 (4 pt.) Calcolare il seguente limite :

limx!0

ex2 � cos(x)� 32x

2

ex3 � cos(x2) + 6 sin(x)� 6x.


1

x2 sin

⇣1x

⌘� x

�dx .


f(x) = log |x|� arctan(x� 1) ,studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti signi-ficativi, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità,convessità e punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione della seguente equazione differenziale,

x0(t) = 2t tan(x(t)) ,

nei casi in cui il dato iniziale sia x(0) = 0 e x(0) = �⇡4 .

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza della serie:1X

n=1

log(2� e2n2 ) ;

Calcolare la somma della seguente serie:1X

n=2

3n+2

4n�1.

Esercizio 6 (6 pt.) Calcolare l’area della regione di piano compresa tra l’asse x con x 2 (0, 1)ed il grafico della funzione

g(x) = (x� 1) log(x2 + 4) .


Analisi 1

24 Giugno 2019



�1

arctan(x+ 1)

(1 + x)32

dx .


limt!+1

hearctan(

1t ) � e 1t

i �t4 � (t+ 1)4

�.

Esercizio 3 (6 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:+1X

n=1

ne

1n�sin(

1n ) � 1

1� cos( 1n)e

+1X

n=1

(�1)n 1(n!)

2n

.

Esercizio 4 (5 pt.) Dimostrare la seguente disuguaglianza

arctan(x+ 1)� 1 x 8x � �1 .

Esercizio 5 (8 pt.) Sia f(x) la seguente funzione f(x) =p

|x|+ x+ 1� 1 .

• Tracciare un grafico di f(x);• Trovare l’equazione della retta tangente al grafico di f nel punto x0 = 1;• Calcolare l’area compresa tra la retta tangente ed il grafico della funzione per x 2 (0, 3).

Esercizio 6 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy8<

:x3(t)x0(t) =

1

4et�x4(t)� 1

�

x(0) = �e .


Analisi 1

17 Settembre 2019


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente limite al variare del parametro ↵ 2 R:

limn!+1

1� 1

n+ sin

✓1

n

◆� n↵1�cos( 1n )

.

Esercizio 2 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:Z +1

0

x2 � x+ 2x4 + 10x2 + 9

dx .


f(x) = |x� 1|p2� x ,


Esercizio 4 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t) = sin(x(t)) ,

x(0) = ⇡2 .


1X

n=1

1

n+ log(n)� log(n+ 1) ;

1X

n=1

n3

✓p3 + 1

◆n+ n

5n.

Esercizio 6 (6 pt.) Calcolare l’ordine di infinitesimo ed una asintotica della seguente funzione

g(x) = x3 + tan(x2)� ex3 � sin(x2) + 1 , per x ! 0 .


Analisi 1

15 Luglio 2019


Esercizio 1 (6 pt.) Calcolare:Z

x22xdx e

Z 1

0

x arcsin(x2)dx .


limx!0

tan(x� x3) + x33ex2�x3 � sin(x2)� cos(x2)

.


f(x) = e�x|x�1| ,

studiando, in particolare:

dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-

intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità, convessità e punti di

flesso.


>:

x00(t) + 2x0(t)� 3t2 � 2 = cos(t) + 2e�2t ,x(0) = 0 ,

x0(0) = 1 .


1X

n=1

(n!)2

(2n)!;

1X

n=1

✓1 +

1

n2

◆n4e�n

2�n .

Esercizio 6 (7 pt.) Sia an la successione data da

an = ((�1)n + 1)1

2n� ((�1)n � 1) 1

n2.

• Dimostrare che an � 0;• Dimostrare che an NON è monotona 8n 2 N;• Calcolare lim

n!+1an;

• Studiare la convergenza della serie associata.


Analisi 1

22 Marzo 2019


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:∫

∞

−1

arctan

(

1

1 + x

)

dx .


limx→0

e−x + log

(

1+xe

)

(ex + e−x)(ex − e−x)− 2ex + 2e−x.

Esercizio 3 (4 pt.) Determinare se la funzione

f(x) =

ecos(x) − e√x

se x > 0

0 se x = 0

e1

x se x < 0

è continua e derivabile in 0.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:{

x′(t) = cos(t)√

1− x2(t)x(π4 ) =

12 .

Trovare inoltre la soluzione nel caso in cui dato iniziale sia x(0) = −1.


∞∑

n=1

log(n)

(

1− e−1

n2

)

sin

(

√

1n

) ;∞∑

n=1

1

nα− log

(

1 +1

n

)

,

al variare di α ∈ R.

Esercizio 6 (6 pt.) Dimostrare la seguente identità:n

∑

k=1

k3 − k =n4 + 2n3 − n2 − 2n

4, ∀n ∈ N .



Analisi 1

13 Febbraio 2019


Esercizio 1 (6 pt.)• Calcolare le primitive della finzione g(x) = e2x3ex�2�e2x ;• Calcolare la misura dell’area compresa tra l’asse x, con x 2 (0,

p3), ed il grafico della

funzione h(x) = 2(1� x) arctan(x).


limx!0

x� tan(x) + 13 log(1 + x3)� 1 + ex2 � x2

ex2 � esin2(x).


f(x) = e1

|x�1|�1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, as-intoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, insieme di concavità e convessitàed eventuali punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:8<

:x0(t) =

cos2(x(t))

1 + t2

x(0) = 0 .


1X

n=1

rn2 +

1

n� n

�;

1X

n=1

(�1)n✓2x� 33 + x2

◆nal variare di x 2 R .


f(x) :=

8>>>><

>>>>:

1

x

Z x

sin(x)

sin(t2)dt se x > 0 ,

↵ se x = 0 ,log(1 + x2)� �x2 + x4

x4� 1

2se x < 0 ,

con ↵, � 2 R.• Trovare ↵ e � tali che f(x) sia continua in 0;• Per tali valori di ↵ e �, f(x) è anche differenziabile in 0?


Analisi 1

21 Gennaio 2019


Esercizio 1 (6 pt.) Calcolare il seguente integrale improprio:Z 1

0

x

(1 + x)↵dx ,

al variare di ↵ 2 R.


limx!0

�tan(x) + sin(x)� arctan(x)

�log(1 + x)

x5 + ex2 � cos(x2)� sin(x2).


f(x) = e�|x|(x2 � 3x+ 2) ,studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asin-toti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, insieme di concavcità e convessitàed eventuali punti di flesso.

Esercizio 4 (6 pt.) Trovare la soluzione del seguente Problema di Cauchy:(x0(t) = (t+ 1)x2(t)� t� 1x(0) = 0 .

Trovare inoltre la soluzione con dato iniziale x(0) = �1.


n=1

(�1)n✓

4n+ 3

2n2 + n

◆�n 1n!

;1X

n=1

n tan

✓1

n

◆� 1 .

Esercizio 6 (6 pt.) Si consideri la seguente successione:

an =np3 + n

p2

2� 1 .

• Trovare un’asintotica per an;• Calcolare

limn!1

✓np3 + n

p2

2

◆n.


Analisi 1

16 Luglio 2018 Compito A



0

| log x|(1 + x)2

dx .

Esercizio 2 (6 pt.) Si consideri la funzione g(x) = log(1 + log(ex � x)):• Scrivere il polinomio di Taylor di grado 4 centrato in x0 = 0;• Calcolare il seguente limite:

limx!0

g(x)

sin(x2).

Esercizio 3 (5 pt.) Dimostrare chelog(x)

x<

1

e8x > 0 , x 6= e;

Determinare inoltre il numero di soluzioni dell’equazionelog(x)

x= � al variare di � 2 R.


x00(t)� 2x0(t) = 3t+ 1 + et+2 .Tra tutte le soluzioni, determinare l’unica che soddisfa x(0) = 0 e x0(0) = 1.

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza della serie1X

n=2

1

log(en � n2 + sinn) ;

e, data la successione an =✓1 + 1n2

◆n3e�n , calcolare i seguenti limiti:

limn!+1

an e limn!1

(an)n .

Esercizio 6 (5 pt.) Risolvere e rappresentare sul piano complesso le soluzioni delle seguenti equazioni edisequazioni:

z|z|� 2z + i = 0;(Re(z̄(z + i)) 34Im(z) � 0

.


Analisi 1

31 Ottobre 2018


Esercizio 1 (5 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio∫ +∞

1

1 + arctan2(x)

(1 + x2) arctan(x)dx .


limx→0

sin(x) − tan(x)− x2

2

(ex − 1) sin2(x2).


f(x) = eg(x) , essendo g(x) =

−1

x2se x < 0

x2

x+ 1se x > 0

,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asintoti,crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti.


Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy

x′′(t) + 4x′(t) + 5x(t) = 4 cos(t) + 5t2 , t > 0 ,

x(0) = − 85 ,

x′(0) = − 85 .

Esercizio 5 (7 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑

n=1

n23n + (−e)n

n! (1 + e)−ne

∞∑

n=1

n4

1 + sin2 n

(3− 2x)n

4nal variare di x ∈ R .

Esercizio 6 (6 pt.) Sia data la funzione

h(x) =

√

1 +1

x2−

√

1

x2− 1 se x #= 0

α se x = 0 .

Determinare:• Il dominio di h;• Il valore di α affinché h sia continua nel suo dominio;• per tale valore di α, h è anche differenziabile all’interno del suo dominio? In caso di si, la

derivata è continua?



Analisi 1

17 Settembre 2018


Esercizio 1 (5 pt.) Calcolare il seguente integrale definito:∫π

π

2

sin(x)

2 cos(x)− sin2(x) + 3dx .


limx→0

2(√1 + x2 − 1)(1− ex) + x3

ex2 + 2 cos(x)− 3.


f(x) = ex

x2−1 ,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti signi-ficativi, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti.


Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione non costante della seguente equazione differenziale

x′(t) =ex

2(t) t log(t)

x(t)

che soddisfalimt→0+

x(t) = 1 .

Esercizio 5 (6 pt.) Studiare la convergenza delle seguenti serie:∞∑n=1

n3 + 2n

(−1)nen − sinn+ 3ne

∞∑n=1

(−1)nn

n2 + 6.

Esercizio 6 (5 pt.) Dimostrare che l’equazione∫x

0

et2

dt = 1

ha un’unica soluzione x0 e che x0 ∈ (0, 1).



Analisi 1


Esercizio 1 (5 pt.) Studiare la convergenza del seguente integrale improprio:∫ π

4

0

1 + tan(x)

1− tan(x)dx .


limx→0+

ex − cos(x)− sin(x)(

esin2(x) − 1

)

log(x).


f(x) = e2 sin(x)+12 sin(x)−1 − 1 ,


Esercizio 4 (5 pt.) Trovare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

x′′(t)− 2x′(t) + 5x(t) = 17 cos(2t) + 4et ,

x(0) = 0 ,

x′(0) = −1 ,

specificandone il dominio di definizione.


∞∑

n=1

log2(

n2 + n

n2

)

;∞∑

n=1

n! en

2n nn.

Esercizio 6 (6 pt.) Si calcolino le soluzioni delle seguenti equazioni in campo complesso:

|z|2 + z2 − iz − 1 = 0 e z6 + 2z3 + 2 = 0 .



Analisi 1

25 Giugno 2018 Compito A



f(x) = log(cosx) + sin(x)− xe−x .• Si trovi il dominio di tale funzione;• Si determini il polinomio di Taylor di grado 3 centrato in x = 0;• Si calcoli

limx→0

log(1 + x2)(esinx − 1)− x4

sin(x)f(x).

Esercizio 2 (5 pt.) Dopo aver fatto le opportune osservazioni, calcolare∫ 1

−1

dx√

|x| (x+ 2).


f(x) = x3(

log(x2)− 1)

,

studiando, in particolare:dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi, asintoti,crescenza e decrescenza, estremi relativi ed assoluti, concavità, convessità e punti di flesso.

Calcolare le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione nei punti di flesso.

Esercizio 4 (5 pt.) Determinare la soluzione del seguente problema di Cauchy:

x′(t) =x(t)

t+ x2(t)t log(t)

x(1) = 9 .


+∞∑

n=1

2n+2 (n+ 1)n−1

(n + 1)! 3n−3e

+∞∑

n=1

(−1)n(

n

√7− 1

)

.

Esercizio 6 (6 pt.) Dimostrare che ∀n ∈ N:∫

e

1

logn(x)

x2dx =

n!

e

[

e− 1−n

∑

k=1

1

k!

]

.

Consegnare solo i fogli protocollo su cui devono essere apposti: nome, cognome e numero di matricola.

Analisi 1

12 Febbraio 2018 Fila B



x

1 + x2 + (1 + x2) log2(1 + x2)4dx .


limx!0

log(1 + sinx) + log(1� x)tan(x)� x .


f(x) = (x� 1)ex

x+1 ,




n=1

log(n sin(1/n)) ;1X

n=1

n32n

n!.


limx!+1

x

✓1� 1

x

◆x� e

�.


Analisi 1

12 Febbraio 2018 Fila A



x

1 + x2 + (1 + x2) log2(1 + x2)4dx .


limx!0

log(1 + sinx)� log(1 + x)x� tan(x) .


f(x) = (x+ 1)ex

x�1 ,




n=1

log(cos(1/n)) ;1X

n=1

n23n

n!.


limx!+1

x

✓1 +

1

x

◆x� e

�.


Analisi 1

22 Gennaio 2018 Fila A



e2

log2(x)

x2dx .


limx!0

2x+ arctan(x2)

log(1 + 2x2 � x3) �cos(2x)

x.


f(x) =x2

log(|x|)� 1 ,




4t x(t)x0(t) = x2(t) + 1 ,



n=1

(�1)n�

3pn4 + 1� 3

pn4 + n2

�log

n

n+ 1;

1X

n=1

n1n2 � 1 .


F↵(x) =

Z x+x2

x

e�t2dt+ ↵ log(1� x2) con ↵ 2 R .


2 + o(x2) per x ! 0 .


Analisi 1 4Settembre2020tommaso.leonori/tommaso... · Analisi 1 7 Gennaio 2020 Svolgere gli...

Documents

Transcript of Analisi 1 4Settembre2020tommaso.leonori/tommaso... · Analisi 1 7 Gennaio 2020 Svolgere gli...