Copyright © ZINO MAGRI 2013

ALGORITMO PER GENERARE COSTANTI MATEMATICHE

di

Zino Magri

zino.magri@libero.it

2 Vorrei porre alla vostra attenzione un algoritmo in grado di generare una quantità illimitata di costanti numeriche (non banali come 17 /11 o 5 o ππ ). Queste costanti si possono ricavare da ogni serie divergente la cui funzione sia continua e derivabile più volte. Poiché le serie divergenti sono in numero illimitato, anche le costanti ad esse associate lo sono. Dal famoso algoritmo di Eulero-MacLaurin, utilizzato per comparare la serie di una funzione continua al suo integrale improprio, con particolari modifiche si ricava un semplice algoritmo per produrre costanti numeriche(copyright 2013). Tale algoritmo, troncato alla derivata − −(2 1)p esima, può essere scritto così:

→∞ =

− − −

= { − − − − − +

+ − − − +

.. − − + − − }

∑ ∫ g

21 (2 1) (2 1)

1 1lim ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ '( ) '( )]2 12

1 1 1[ '''( ) '''( )] [ ( ) ( )] ..720 30240 1209600

[ ( ) ( )] .... ( 1) [ ( ) ( )](2 )!

II II

z z

mz x m

v v

pv v p p p

C F x F x dx F x F m F x F m

F x F m F x F m

BF x F m F x F mp

(1)

C sarà una costante numerica se

(2 1)lim [( ) ( ) ]p

x

d f xdx

−

→∞ = ∞

[2( 1) 1]lim [( ) ( ) ]p

x

d f x ddx

+ −

→∞ =

e d è un numero reale, anche se in genere vale zero. Infatti in questo caso i termini della Eulero-MacLaurin dopo la derivata − −(2 1)p esima, al limite per x→∞ sono nulli o di valore costante. Ecco dunque perché nella (1) sono assenti alcuni termini rispetto all'algoritmo originale di Eulero-MacLaurin. Dopo aver sostituito z alla variabile x nella (1) si ottiene:

→∞ =

− −

= [ − − − + +

− + + − + − ]

∑ ∫021 (2 1)

1 1 1lim ( ) ( ) ( ) '( ) '''( )2 12 720

1 1( ) ( ) ... ( 1) ( )30240 1209600 (2 )!

II

z z

z x m

pv v p p

C F x F x dx F z F z F z

BF z F z F zp

(2)

Il numero m può essere preso a piacere (esso influenza solo il valore numerico della costante). Sulla (2) si può effettuare un’ulteriore semplificazione, togliendo nell’integrale e in ogni funzione derivata, la parte numerica che non dipende dalla variabile x. Con il simbolo (x)f si intende indicare che dalla funzione (x)f si prendono solo i monomi contenenti la variabile x , e si escludono i monomi contenenti la parte numerica (a,b,c,..) .

3 Avremo dunque

→∞ =

− −

= [ − − − + +

− + + − + − ]

∑ ∫021 (2 1)

1 1 1lim ( ) ( ) ( ) '( ) '''( )2 12 720

1 1( ) ( ) ... ( 1) ( )30240 1209600 (2 )!

II

z z

z x m

pv v p p

C F x F x dx F z F z F z

BF z F z F zp

(3) Ad esempio presa la funzione

=+

2

( ) xF xax b

la sua serie

→∞ =

+

∑2

1lim ( )

z

z x

xax b

è divergente per bxa

> − .

Calcolando la (3) si ha

=

− + += − =+

− + + .. =

∫2 2 2 2 5 2

3 30

2 2 2

3

2(3 4 8 ) 16( ) ..15 15

2(3 4 8 )15

z

x

x a z abz b az b bdxa aax b

a z abz b az ba

=+

21 ( )2 2

zF xaz b

+=+ 3

1 (3 4 )'( )12 24 ( )

z az bF xaz b

essendo il limite della derivata terza pari a zero:

→∞ →∞

+ + [ = [ =+

2 2 2

7

1 3 ( 4 8 )lim '''( )] lim ] 0720 5760 ( )x x

a a x abx bF xax b

sarà quindi 1p = . La funzione

→∞ =

− + ⋅ + + [ − − − ]+ + +

∑2 2 2 2 2

3 3

2(3 4 8 ) (3 4 )lim ( )15 2 24 ( )

z

z x m

x a z abz b az b z z az baax b az b az b

per ogni valore di (a,b) con ( )bma

> − genera perciò costanti.

Ad esempio per [ 2 3 1]a b m= = =

→∞ =

− + + + − − − = −+ + +

∑2 2 2

31

(12 24 72) 2 3 ( 2)lim ( ) 2,0799023306819..602 3 2 2 3 4 (2 3)

z

z x

x z z z z z zx z z

4 Data una serie divergente di una funzione ( )F x continua e derivabile più volte, dalla (3) si può ricavare la Funzione Equivalente Della Serie

→∞ =

− −

= + + − + +

− + − + − + (4)

[

∑ ∫021 (2 1)

1 1 1 1lim ( ) ( ) ( ) '( ) '''( ) ( )2 12 720 30240

1 ( ) ... ( 1) ( )1209600 (2 )!

]II

z z v

z x m

pv p p

F x F x dx F z F z F z F z

BF z F z Cp

Si presentano però tre casi: 1°) La serie in oggetto è perfetta ( 0)C = , e in questo caso esiste una funzione con un numero finito di monomi, che eguaglia perfettamente la serie, come ad esempio

→∞ =

+ + =∑ 2

1

(z 1)(2z 1)lim ( )6

z

z n

zn

2°) La serie in oggetto è speciale, come

→∞ =

∑2

1lim ( )log(n)

z

z n

in questo caso non si ha una funzione equivalente alla serie, che sia composta da un numero finito di monomi (ma una funzione equivalente composta da un numero illimitato di essi). Queste serie sono molto rare. 3°) La serie in oggetto è imperfetta (caso più diffuso), per cui si può applicare la (4). Si osserva poi, che la costante C può essere calcolata senza utilizzare le serie, attraverso una funzione diversa dalla (3), la quale si calcola come limite per z→∞ , e il cui sviluppo (escluse le serie speciali) richiede un numero finito di monomi. Per i pochi casi che ho studiato (serie di frazioni polinomiali) C è funzione di ψ (digamma). Possiamo chiamare Funzione Antagonista della serie in oggetto la funzione equivalente mancante della relativa costante. Nel caso in cui la serie sia perfetta, la funzione antagonista coincide con la funzione equivalente della serie. La funzione antagonista delle serie imperfette, per sua natura tende ad essere il più possibile uguale alla serie in oggetto, e il risultato della "scontro" fra queste due funzioni (più precisamente la loro differenza), sono le costanti; per cui è facile capire che il valore di queste ruota intorno allo zero, e quindi le costanti matematiche in genere hanno un piccolo valore numerico (o meglio ancora la loro media). Ad esempio:

→∞ =

+= − + = −+∑ 2

1

13 6 13 1lim ( ) ln(z) 0,0000000000000157044335227261177..821 379 821 821

z

z x

xC zx

5 Questa costante si ottiene risolvendo l'equazione

→∞ =

+ −= − ++

[ ] = 0∑ 1 0 1 0 1 1 02

1 0 1 11lim ( ) ln(z)

z

z x

c x c c c d c dC zd x d d d

(5)

nelle incognite 1 0 1 0( , , , )c c d d . La soluzione è facile se si conosce la funzione equivalente alla (5): che in questo caso è ψ−= +0 1 1 0 0

21 1

( 1)c d c d dCd d

Da questa uguaglianza ponendo 0C = si ricavano facilmente le due soluzioni. Se fosse possibile calcolare la funzione equivalente alla (3) di ogni generica funzione, le equazioni contenenti serie, non presenterebbero grandi difficoltà di risoluzione. Anche le produttorie divergenti possono avere una funzione antagonista, e una costante a loro associata, ma se anche ciò è possibile il loro calcolo è in genere complesso. Abbiamo però un caso particolare di produttoria per la quale è abbastanza facile calcolare la funzione antagonista e la relativa costante:

=→∞ ∏lim log{ [f(x)]}z

x mz

Infatti poiché vale l'uguaglianza

=→∞ →∞ =

= ∏ ∑lim log{ [f(x)]} lim {log[f(x)]}zz

x mz z x m

lo studio di questa produttoria di f(x), si può ricondurre allo studio della sommatoria del logaritmo della stessa funzione. Anche gli integrali impropri divergenti, hanno una funzione antagonista, una funzione equivalente e una costante associata. Questi si possono classificare in perfetti, speciali e imperfetti come le serie. Vediamo ad esempio la funzione equivalente all'integrale di una frazione, al cui numeratore vi sia un polinomio di terzo grado e al denominatore un polinomio di secondo grado: −

=→∞

+ + + + − −= + ++ +

+ ∫23 2 2

3 2 1 0 3 2 2 3 1 1 2 3 1 2 0 3 2 1 222 2 30 2 1 0 2 2 2

lim ( )2

log[ ]z

xzx

c x c x c x c c c d c d c d c d d d c c d dd z z d x d x d d d d

z C

≠ ≠ + + ≠23 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d x d x d C è funzione di 3 2 1 0 2 1 0( , , , , , , )c c c c d d d

Ad esempio

=→∞

+ + += − + − =+ +∫

3 22

20

5 2 9 14 5 7 95lim ( ) log 2,297463..8 6 7 16 32 128

z

xzx

x x xC d z z zx x

6 Alcuni risultati interessanti sulle serie divergenti ottenuti nel 2012.

→∞ =

+ += −+∑

1

2 1lim ( )2( 1)

zk k

z x

kz kC x zk

→∞ =

+ + += + − ++∑

0

2 2 ( 1)lim ( )2 ( 1)

zk k

z x

akz bk a kC ax b az ba k

− −

→∞ =

+= + + + + + − − +

− − −

∑ k-1k-1 k-2 2 1

k-2 k-1

1 2 2

02

2

1 2lim ( ... )2 2

2 ( 1) ln( )2

zk k kk

z x

a kC x a x a x a x a z zk

ka k a zk

ψ→∞ =

= − − −∑1

1 1lim [ ( )] ln[( 1)!] ln( )2

z

z xC ax az z

a

→∞ =

= − − =∑ 2

1

1lim [ ] [ln( )] 0,988550589905..2

zx

z xC x z z

→∞ =

= − − −∑ g1

lim [ ] ln( ) ln( )z

xz x

C a a z a z

−

→∞ =

= −−∑

1

1

1lim [ ]1

kzk

kz x

kCkxz

Da questa si traggono i valori frazionari della funzione Zeta di Riemann. Ad esempio

ζ→∞ =

= − = −∑45

51

1 5(1 / 5) lim [ ] 0,7339209248963..4

z

z x xz

→∞ =

− += − −∑2

1

2 1lim [ ] ln( )2 2

z

kxz x

x z k kC z ze

→∞ =

= − −∑2

1lim ( 1) [ln( )] [ln( )]2

{ }z

x k k

z xC x z

→∞ =

= − −∑1

1lim ( 1)2

{ }z

x k k

z xC x z

7 − +

→∞ = =

= − − − − −−∑ ∑ 1

2 0

! 1lim [ln( )] [( 1) [ln( )] ] [ln( )] ( 1) !( )! 2

{ }z k

k j k j k k

z x j

kC x z z z kk j

→∞ =

= − + ++∑

/ /

2

[ln( )] [ln( )]lim [2 ln( ) ]2 ( )

{ }p k p kz

z x

x xC kz z p kx z p k

−

→∞ =

−+ −

=

= − + + + +

+ − + −−

∑

∑

2 1

2

21 3

1

1lim [ln( )] [4(6 6 1)][ln( )] 4 [ln( )] ..48

! !( 1) {( 1) [ln( )] }2 2 ( )!

{ }z

k k k

z xk

k j k jk j

j

C x x z z z k z

k kz zk j

−−

+→∞ = =

−= + −− −

∑ ∑1 22 0

[ln( )] 1 1 !( 1)lim [ln( )] !( 1) ( )!

}{ } {{ }{ }k k jz k

k js kz x j

x k sC z kx s z k j

per 1s >

=

∞

= +

=∏

∑0

1 ( )

! 1[ ]t

s

j j s

tt per 1t = si ricava la nota serie di Mengoli

φ→∞ =

− − =∑1

1 lnlim [ ] 0,37708416..2,010682079..(x)

z

z xx

z zFibonacci

dove φ è il rapporto aureo, e 2,01.. una costante che si ricava dai numeri di Fibonacci.

→∞ =

+ + + − =∑2 2

12

( 2)(2 1)(3 2)lim [ ] 0,0233375803177692846064..1 30sin( )

z

z x

x z z z z

x

→∞ =

+ + − − − =∑2

3

1

1 1 ( 1)(4 4 5) 41lim [ cos( )cos( )] ln( ) 0,052430077..2 16 384

z

z x

z z z zx zx x

→∞ =

+ + − − − = −∑3 2

1

( 1)(3 3 2) 1lim [ ] ln( ) 0,015614..1 12 45tan( )

z

z x

x z z z z z

x

→∞ =

+ + + − − =∑ g2

4

1

1 ( 1)(3 3 1) 1lim [ sinh( )] ln( ) 0,0050515..12 120

z

z x

z z z zx zx

8

→∞ =

+ + + + + − + = −∑3 5 4 3 2

21

(30 30 35 20 7 2) 2lim ln( ) 0,00134434..1 12 185[tanh( )]{ }

z

z x

x z z z z z z z

x

→∞ =

−

+ + + + + − −= − − ++ +

+ + + − + + − + +− + +

∑5 4 3 2

5 4 3 2 1 0 5 4 2 5 1 24 32 2

2 1 0 2 21

2 2 2 35 2 2 1 0 1 2 4 2 1 3 2 5 2 1 0 2 1 1 0 12

3 42 2

2

2 (2 3 )lim ( ) ..4 6

[ ( ) 2 ] 2 [ ( ) ] [ ( 3 ) 3 ( 4 ) 6 ] ..4 6

z

z x

c x c x c x c x c x c c c d c d dC z zd x d x d d d

c d d d d d d c d d c d c d d d d d d d d z z

d d

−− + + + + − +− − +

− − − + −−

22 2 2 2 42 4 2 2 1 0 1 2 3 2 1 2 2 5 2 0 2 1 0 1

4 52 2

2 22 4 1 2 0 1 2 3 2 0 1 2 2 1 1 2

52

[ 3 ( 2 ) 6 ] 3 [ ( 2 ) 2 ] ( 3 )log ..6

(2 ) [ ( )] ( ) log}

}{

{

d c d d d d d d c d d c d c d d d d d d z zd d

d c d d d d d c d d d d c d c d zd

≠ ≠ + + ≠25 2 2 1 0[ 0 0 0]c d d x d x d

es:

→∞ =

+ + + + += − − − − − =+ +

=

∑5 4 3 2

4 3 22

1

29 14 13 9 7 2 29 1359 100621 807436 13271201lim ( ) log41 11 3 164 3362 275684 2825761 115856201

0,0679954..

z

z x

x x x x xC z z z z zx x

e moltissime altre costanti (più di 5000) che descriverò nel tempo sul mio sito internet. Con affetto Magri Zino Edoardo