B. IL MODELLO CIRCUITALE A COSTANTI CONCENTRATE: GRANDEZZE...

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F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti BIBLIOGRAFIA M.SALERNO - G.COSTANTINI: Cap. 1 G. MARTINELLI - M. SALERNO: “Vol. I” - pp. 1 - 19; 32-43 R. PERFETTI: Cap. 1 e 2 G. RIZZONI: Cap. 2 B-1 B. IL MODELLO CIRCUITALE A COSTANTI CONCENTRATE: GRANDEZZE FISICHE, PROPRIETA’ ED ELEMENTI IDEALI Corrente, Tensione e Potenza elettrica Note operative sull’Ipotesi delle Costanti Concentrate Bipoli e Reti 2-porte: definizioni e generalità Leggi di equilibrio di Kirchhoff (correnti e tensioni) Proprietà generali degli elementi e dei circuiti: Linearità, Tempo-invarianza, Passività, Causalità Bipoli ideali: Resistore, Generatore indipendente di corrente, Gen. indip. di tensione Connessioni elementari tra bipoli: Collegamenti serie e parallelo, Partitore di tensione e corrente, Configurazioni di Thevenin e Norton, alcune equivalenze elettriche, trasformazioni Stella/Triangolo Incongruenze dovute all’eccessiva idealizzazione Reti 2-porte ideali: Trasformatore ideale, Giratore, Generatori controllati

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BIBLIOGRAFIA

• M.SALERNO - G.COSTANTINI: Cap. 1

• G. MARTINELLI - M. SALERNO: “Vol. I” - pp. 1 - 19; 32-43

• R. PERFETTI: Cap. 1 e 2

• G. RIZZONI: Cap. 2

B-1

B. IL MODELLO CIRCUITALE A COSTANTI CONCENTRATE:

GRANDEZZE FISICHE, PROPRIETA’ ED ELEMENTI IDEALI

• Corrente, Tensione e Potenza elettrica

• Note operative sull’Ipotesi delle Costanti Concentrate

• Bipoli e Reti 2-porte: definizioni e generalità

• Leggi di equilibrio di Kirchhoff (correnti e tensioni)

• Proprietà generali degli elementi e dei circuiti: Linearità, Tempo-invarianza,

Passività, Causalità

• Bipoli ideali: Resistore, Generatore indipendente di corrente, Gen. indip. di

tensione

• Connessioni elementari tra bipoli: Collegamenti serie e parallelo, Partitore di

tensione e corrente, Configurazioni di Thevenin e Norton, alcune equivalenze

elettriche, trasformazioni Stella/Triangolo

• Incongruenze dovute all’eccessiva idealizzazione

• Reti 2-porte ideali: Trasformatore ideale, Giratore, Generatori controllati

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GRANDEZZE FISICHE

CORRENTE ELETTRICA:

Flusso di cariche attraverso un materiale conduttore.

Le cariche elementari in moto nei conduttori metallici sono gli elettroni:

qe=-1.60210-19 [C] (la stessa, cambiata di segno, è la carica del protone).

Per definizione: in senso limite:

Nota: in analogia con un impianto idraulico, affinché scorra una corrente occorreche ci sia un percorso chiuso di conduttori e di elementi.

B-2

TENSIONE ELETTRICA O POTENZIALE:

E’ definita come il lavoro svolto dal campo elettrico per spostare una carica

unitaria da un punto ad un altro (la forza in gioco è quella coulombiana):

Nota: è una grandezza fisica ai capi, cioè definita in modo relativo (come

differenza). Si può mettere in analogia con l’energia potenziale legata alla forza

di gravità.

i q

t

C s

A

i(t) dq

dt

V lavoro

carica

J C

V

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(continua…)

TERRA:

La terra rappresenta una specifica di tensione di riferimento, alla quale èconveniente assegnare un potenziale di 0 V.

I valori dei potenziali elettrici presenti sono pertanto definiti rispetto ad essa.

Simboli:

al terreno al telaio

B-3

POTENZA ELETTRICA:

La potenza è definita come il lavoro compiuto nell’unità di tempo. Nel caso delle

grandezze elettriche si ha:

Nota: pertanto 1 Watt = 1 Volt 1 Ampère.

P lavoro

tempo

lavoro

caricacarica

tempo tensione corrente V I

J s W

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NOTE SULL’IPOTESI DELLE COSTANTI CONCENTRATE:

Alcune considerazioni di carattere operativo:

•E’ una ipotesi semplificativa che induce ad una astrazione;

•Le dimensioni geometriche del circuito diventano trascurabili (si parla infatti di

topologia e non di geometria del modello circuitale);

•Gli elementi costitutivi il circuito vengono allora rappresentati in forma simbolica.

Ciò che conta sono le funzioni che svolgono ed il modo in cui sono interconnessi;

•Le variazioni temporali delle grandezze fisiche presenti si propagano

istantaneamente in tutto il circuito (assenza di ritardi).

B-4

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(continua…)

B-5

Verifica:

L’ipotesi delle c.c. è soggetta a verifica. In base alla conoscenza dei parametri

fisici in gioco si può dire se è lecito porla o no;

In prima approssimazione, si può dire che l’ipotesi è verificata laddove le

frequenze in gioco siano relativamente basse cioè le variazioni temporali non

siano molto rapide (ad esempio in campo audio, tra 20 Hz e 20 kHz) e/o le

dimensioni geometriche della struttura sede del fenomeno non siano molto

grandi.

Limiti:

L’ipotesi delle c.c. pone dei limiti alle strutture rappresentabili dal modello

circuitale alle costanti concentrate:

•NO presenza di frequenze molto alte (microonde)

•NO dimensioni geografiche (linee di trasmissione)

In tali casi il modello risulta inadeguato e bisogna ricorrere alle metodologie

generali basate sulle equazioni di Maxwell.

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BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ

B-6

+

I

V -

V1 V2

I1 I2+

-

+

-

V1 V2

- -

+ +

I1 I2

V

+

-

I

BIPOLO RETE 2-PORTE

BILANCIATA

o “doppio-bipolo”

SBILANCIATA

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F.M.F.M. - Teoria dei Circuiti B-7

GENERICO SCHEMA CIRCUITALE:

BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ (continua...)

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BIPOLI E RETI 2-PORTE: DEFINIZIONI E GENERALITÀ (continua...)

B-8

• Definizione di PORTA:

• Effetti energetici: Un elemento è un sistema aperto i cui scambi

energetici avvengono solo attraverso i suoi terminali o porte, essi si

misurano esclusivamente attraverso le relazioni costitutive e sono

indeterminati finché l’elemento non viene inserito nel circuito

• Verso convenzionale bipolo:

(con i versi prima riportati potenza entrante nel bipolo positiva

convenzione degli utilizzatori)

• Potenza entrante in una rete 2 - porte:

Iin Iout

Iin

Iout

P V I 0

P VK IK V1I1 V2I2

K1

2

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Note sui versi convenzionali di tensione e di corrente:

Convenzione degli utilizzatori:

CASO 1: Le cariche passano da un potenziale più alto ad uno più basso

(da A a B) e quindi il bipolo sta dissipando energia (è come lasciar cadere

un oggetto attratto dalla gravità).

La potenza utilizzata dal bipolo si considera positiva: P=VI>0

CASO 2: Le cariche passano da un potenziale più basso ad uno più alto

(da B a A) per cui si compie un lavoro (è come sollevare un peso).

Per la convenzione, essendo la corrente uscente una corrente entrante

cambiata di segno, la potenza risulta negativa cioè erogata dal bipolo:

P=V(-I)=-VI<0

B-9

V

+

-

I

V

+

-

I

A

A

B

B

CASO 2

CASO 1

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LEGGI DI EQUILIBRIO DI KIRCHHOFF (VINCOLI TOPOLOGICI)

K1 – EQ. DELLE CORRENTI: La somma delle correnti entranti (-) ed uscenti (+) attraverso una superficie chiusa (TAGLIO) è nulla (sul piano è una linea).

K2 – EQ. DELLE TENSIONI: La somma algebrica delle tensioni (+ se concordi con il verso scelto, altrimenti - ) che si incontrano in un circuito lungo un percorso chiuso e finito (MAGLIA) è nulla.

B-10

K1) attraverso il taglio

K2) lungo la maglia

Ii 0i I3 I4 I6 I8 0

Vi 0i V2 V4 V5 V6 0

+V3

V1 V2

V4V5

V6

V7

V8

+

+

+ +

+

+

+

S

MAGLIA

C

n

t

I3

I4I1 I2

I5

I6

I7

I8

TAGLIO

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LEGGI DI EQUILIBRIO DI KIRCHHOFF (continua...)

B-11

NOTA 1:

La K1 applicata ad un bipolo ci dice che Iin = Iout sempre

(il bipolo si comporta sempre come una porta)

NOTA 2:

Le leggi di K. prescindono dalla natura fisica degli elementi ma dipendono

solo dal loro numero e dalla loro rete di interconnessione (GRAFO) sono

leggi TOPOLOGICHE.

NOTA 3:

K1 e K2 sono LINEARI e OMOGENEE in corrente e tensione

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PROPRIETÀ GENERALI DEGLI ELEMENTI E DEI CIRCUITI

• Il modello circuitale visto è di tipo NON-DIREZIONALE (o BI-

DIREZIONALE), cioè le variabili d’interfaccia (V ed I) svolgono indifferente-

mente il ruolo di CAUSA o EFFETTO.

B-12

PERMANENZA (o TEMPO-INVARIANZA):

L’effetto non dipende dall’istante di applicazione della causa (i parametri

costitutivi non dipendono dal tempo).

LINEARITÀ:

L’effetto dovuto ad una qualsiasi causa è proporzionale alla stessa, o

all’integrale/derivata della stessa (le relaz. costitutive sono LINEARI).

PRINCIPIO SOVRAPPOSIZIONE EFFETTI: se sono presenti più cause si

può considerare l’effetto globale come somma degli effetti dovuti ad ogni

singola causa come se questa agisse da sola.

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PROPRIETÀ GENERALI DEGLI ELEMENTI E DEI CIRCUITI

(continua…)

PASSIVITÀ:

Per una causa di breve durata l’effetto tende ad annullarsi (o a rimanere

limitato) al crescere del tempo.

Ovvero: l’energia interna è non negativa (assorbita)

(un elemento o circuito passivo è sempre stabile. Es.: pendolo con attrito)

V I dt 0

t

B-13

CAUSALITÀ:

L’effetto in un certo istante t0 dipende solo dalla causa applicata fino a

quell’istante (per t ≤ t0).

Ovvero: se la causa è nulla per t ≤ t0 anche l’effetto è nullo per t ≤ t0

• La violazione di tale proprietà implica l’inadeguatezza del modello usato

(fisicamente non accettabile).

• I circuiti passivi lineari sono sempre causali.

• (modelli circuitali non-fisici, come i circuiti digitali, possono essere non-

causali).

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BIPOLI IDEALI

v(t ) R i(t ) Legge di

OHM

R: param. cost. RESISTENZA [ Ω ]

i(t ) G v(t )

G = 1/R: CONDUTTANZA [ Ω-1 o S]

bidirezionalità

del modello

RELAZIONI COSTITUTIVE

RESISTORE:

+v (t)

i (t) R

-

SIMBOLO CIRCUITALE

B-14

Per l’ipo. di c.c. ogni elemento costitutivo svolge un’unica funzione

rappresentata dalla sua relazione o equazione costituitiva.

Sostituisce il generico:

+

I

V -

Nota: la relaz. costitutiva rispetta le proprietà di linearità e tempo-invarianza

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BIPOLI IDEALI (continua…)

CARATTERISTICA V-I: Rappresentazione grafica

della relaz. costitutiva

Punto di vista energetico: R > 0 Elemento PASSIVO [regione IC]

(dissipa en. el. in modo irreversibile: effetto Joule)

• Potenza elettrica assorbita:

• Resistore ATTIVO:

(ambiti funzionali molto ristretti può portare ad assurdi fisici)

p t v t i t R i2

t G v2

t sempre > 0

R 0 in tal caso l’elemento cede energia

v v = R i

R

i

B-15

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BIPOLI IDEALI (continua…)

-

i0(t)

+

i t i0 t

v (t)

GENERATORE INDIPENDENTE DI CORRENTE:

[A]

• v (t) indeterminata

(dipende dalle condizioni di chiusura)

• E’ comodo per i generatori invertire il verso della corrente rispetto a quello convenzionale (potenza erogata positiva)

• Idealmente è un accumulatore di energia con capacità di accumulo infinita

• Rappresenta uno dei due modi di eccitare il circuito. È stato introdotto inmodo ideale (come ingrediente per circuiti equivalenti) ancor prima che latecnologia ne consentisse la realizzazione.

B-16

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BIPOLI IDEALI (continua…)

-v0(t)

+

v t v0 t

i (t)

GENERATORE INDIPENDENTE DI TENSIONE:

[V]

• i (t) indeterminata

• È l’altro tipo di eccitazione [regione IE]

• Nella pratica: rete elettrica, batterie (v0(t) = E0), ecc...

B-17

i t 0

v t 0

[tensione indeterminata]

[corrente indeterminata]

CIRCUITO APERTO:

• Caso limite del gen. di corrente (i0 = 0) o del resistore (G = 0)

CORTO CIRCUITO:

• Caso limite del gen. di tens. (v0 = 0) o del resistore (R = 0)

-

-

+

+

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CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI

SERIE di resistori:R1 R2

RS R1 R2

1/ GS 1/ G1 1/ G2

GS G1G2 / G1 G2

B-18

R c.a.

c.a.

R c.c.

R

c.a.

c.c.

R

c.c.R

RCasi particolari di

Serie e parallelo:

R1

R2

GP G1 G2

1/ RP 1/ R1 1/ R2

RP R1R2 / R1 R2 PARALLELO di resistori:

(dualità)

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CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)

PARTITORE DI TENSIONE:

RS R1 R2

i v0

RS

v0

R1 R2

i R1

+

v0

+

R2

v2

v2 R2 i R2

R1 R2

v0

B-19

+

i0R2

i2i1

vR1

RP R1R2

R1 R2

v Rpi0 R1R2

R1 R2

i0

i2 v

R2

R1

R1 R2

i0

PARTITORE DI CORRENTE:

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CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)

Configurazione THEVENIN:

RTH

+

vTH

Configurazione NORTON:

iNORGNOR

iNOR vTH

RTH

GNOR 1

RTH

vTH iNOR

GNOR

RTH 1

GNOR

Equivalenze:

• Da THEVENIN a NORTON:

• Da NORTON a THEVENIN:

B-20

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CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)

• 3) 4)

– Il gen. indip. di tensione in parallelo con R o i0 prevale sempre

+v0

Rvo

+ +v0 io vo

+

ioio

R vo

io

io

+

Equivalenze elettriche elementari:

• 1) 2)

– Il gen. indip. di corrente in serie con R o v0 prevale sempre

B-21

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CONNESSIONI ELEMENTARI TRA BIPOLI IDEALI (continua…)

• 5)

– I gen. indip. di corr. in parallelo si sommano

I0 Ig

I0+ Ig

vg

vo

+

+v0+ vg

• 6)

– I gen. indip. di tens. in serie si sommano

+

B-22

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TRASFORMAZIONI STELLA/TRIANGOLO

ra

Rb Rc

Ra Rb Rc

rb Ra Rc

Ra Rb Rc

rc RaRb

Ra Rb Rc

• Se Ra Rb Rc R

ra rb rc R

3

Ga

gbgc

ga gb gc

Gb gagc

ga gb gc

Gc gagb

ga gb gc

Ra rarb rarc rbrc

ra

Rb rarb rarc rbrc

rb

Rc rarb rarc rbrc

rc

ra rb rc r• Se

Ra Rb Rc 3r

B-23

Rc Rb

Ra

B

A

rb rc

ra

A

B C

C

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INCONGRUENZE DOVUTE ALL’ECCESSIVA IDEALIZZAZIONE

• I parametri cost. ideali non tengono conto di molti aspetti fisici reali quali:

tolleranze di precisione, tensione e corrente massime, comportamento

termico, ecc…

• L’eccessiva idealizzazione può condurre alla violazione di alcune

proprietà (mai il principio di conservazione) o a situazioni di assurdo fisico

o di indeterminazione delle grandezze in gioco

B-24

++

v1 v2

+ +

i1

i2

se v1 ≠ v2 ASSURDO

se v1 = v2 (correnti indeterminate)

ANOMALO

se i1 ≠ i2 ASSURDO

se i1 = i2 (tensioni indeterminate)

ANOMALO

Esempio:

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INCONGRUENZE DOVUTE ALL’ECCESSIVA IDEALIZZAZIONE

(continua…)

• In tal caso l’eccessiva idealizzazione nasce dall’aver considerato le regionicostitutive dei due componenti prive di perdite.

• Per avere generatori più vicini alla realtà fisica basta allora:

(RS o RP tengono conto delle perdite)

• Per un’aderenza ancora maggiore con la realtà occorre tuttavia aggiungere altri fattori, come ad esempio la capacità dell’alimentatore di seguire le variazioni di carico.

+

v0RS

B-25

i0

RP

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RETI 2-PORTE IDEALI PASSIVE

TRASFORMATORE IDEALE:

• Passività:

• Proprietà tipiche: altera le grand. el. al passaggio da una porta all’altra

altera i parametri dei bipoli ideali chiusi su una porta

(segue:)

v1 n v2

i1 1

ni2

(avvolgimenti concordi)

i1

v2• •n

v1

+ +

i2

(segni opposti per

avvolgimenti discordi)

n = rapporto di trasformazione

p t v1i1 v2i2 nv2 1

ni2

v2i2 0

B-26

Idealizzazione di dispositivi fisici in cui è presente la interazione tra un circuito

elettrico (avvolgimenti) ed uno magnetico (nuclei ferromagnetici).

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TRASFORMATORE (continua…)

Resistenza vista dal primario con il secondario chiuso su R:

B-27

v1 nv2 n Ri2 nR ni1 n2Ri1

n2R

i1 i2

Rv2

• •n

v1

++

+

R1 v1

i1

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RETI 2-PORTE IDEALI PASSIVE (continua…)

GIRATORE:

• È l’idealizzazione molto spinta di dispositivi fisici basati sull’effetto Hall

(trasformazione di campo elettrico in magnetico).

• Passività:

• Proprietà tipica: scambia tensione con corrente

v1 Ri2

v2 Ri1R = resistenza di girazione

i1 i2

v2

R

v1

+ +

p t v1i1 v2i2 Ri2 i1 Ri1i2 0

C-22

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RETI 2-PORTE IDEALI ATTIVE

Il processo di modellizzazione deve sposare le esigenze contrastanti di

semplicità e accuratezza. Per gli elem. 2-p attivi il compromesso è meno

soddisfacente che nel caso dei bipoli

Il comportamento può essere molto distante dalla realtà fisica: sono

comunque utili per analisi rapide (seppure poco accurate) o per la

derivazione di dispositivi attivi complessi.

B-29

v2 ri1

v1 0

Generatore Tensione

Controllato in Corrente

(Transimpedenza)

gr. impressa

r: param. di controllo

(impedenza [])

r v2

+

i1

GENERATORI CONTROLLATI:

– Caratterizzati da:

1 grandezza elettrica controllata tramite un parametro (impressa)

1 grandezza elettrica di controllo

v1

+

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• Sono le reti 2-p attive più utilizzate: tramite essi si possono ottenere modelli

di dispositivi attivi complessi

RETI 2-PORTE IDEALI ATTIVE (continua…)

B-30

i2 Bi1

v1 0

Gen. Corr.

Controllato in

Corrente

Bv1

+

i1

+B: guadagno di corrente

(adimensionale)

+i2

v2 Av1

i1 0

Gen. Tens.

Controllato in

Tensione

A v2

+

v1

+ A: param. di contr.

adimensionale

(guadagno di tensione)

+

i1

i2 gv1

i1 0

Gen. Corr. Contr.

in Tensione

(Transammettenza)

g

+

v1

+g: ammettenza [-1]

i2

i1