Algebra di Boole e reti logiche

Giovedì 8 ottobre 2015

Punto della situazione

• Abbiamo visto le varie rappresentazioni dei numeri in binario e in altre basi e la loro aritmetica

• Adesso vedremo la logica digitale usata dal calcolatore nell’ottica di

• Costruire l’ALU, Unità Logica Aritmetica, e altri moduli combinatorici

• L’ALU è usata da quasi tutti i tipi di istruzioni dell’architettura che studieremo

AND ovvero il prodottoAND(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso.

Risultato Vero se entrambe le variabili sono poste a Vero, Falso, altrimenti.

Interpretando Vero come 1 e Falso come 0

AND(x,y) corrisponde al prodotto x y.

AND(F,F) = FAND(F,V) = FAND(V,F) = FAND(V,V) = V

0 0 = 00 1 = 01 0 = 01 1 = 1

x y x y 0 0 00 1 01 0 01 1 1

Tavola di verità

OR ovvero la sommaOR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso.

Risultato Vero se almeno una variabile è posta a Vero, Falso, altrimenti.

Interpretando Vero come 1 e Falso come 0

OR(x,y) corrisponde alla somma x + y, in cui 1+1 = 1.

OR(F,F) = FOR(F,V) = VOR(V,F) = VOR(V,V) = V

0 + 0 = 00 + 1 = 11 + 0 = 11 + 1 = 1

x y x + y 0 0 00 1 11 0 11 1 1

Tavola di verità

NOT ovvero la negazioneNOT(x) con x variabile che può assumere valore Vero o Falso.

Risultato Vero se la variabile è posta a Falso;

Falso, altrimenti.

Interpretando Vero come 1 e Falso come 0

NOT(x) corrisponde alla negazione.

NOT(V) = FNOT(F) = V

0 = 11 = 0

x x 0 11 0

XOR o OR esclusivoXOR(x,y) con x, y variabili che possono assumere valore Vero o Falso.

Risultato Vero se una variabile è posta a Vero, ma non entrambe,

Falso, altrimenti.

Interpretando Vero come 1 e Falso come 0

XOR(x,y) corrisponde a x y + x y = x y

XOR(F,F) = FXOR(F,V) = VXOR(V,F) = VXOR(V,V) = F

0 0 = 00 1 = 11 0 = 11 1 = 0

x y x y 0 0 00 1 11 0 11 1 0

f1(0,1)=0, f1(1,1) = 1f2(0,1,0)= 11 + 0 + 0 = 1 f3(0,0,0)= 1 + 0(0 + 1) = 1

La combinazione delle variabili e degli operatori viene chiamata espressione logica.

Mappa di verità o tavola di verità: tabella che definisce i valori dell’output per ogni possibile input

Espressione SOPLetterale = variabile o la sua negazione

• Un’espressione booleana è in forma normale SOP (Sum Of Products) quando è l’OR/somma di AND/prodotto di letterali

• Mintermine = prodotto di letterali in cui compare ognivariabile o vera o negata

• Una espressione normale SOP è in forma canonica SOP se i suoi termini sono tutti mintermini

Scambiando Somma con Prodotto si definiscono le espressioni POS

3131321 xxxxxxx

321321321 xxxxxxxxx

Espressione POSLetterale = variabile o la sua negazione

• Un’espressione booleana è in forma normale POS (Product Of Sums ) quando è il prodotto (AND) di somme (OR) di letterali

• Maxtermine = somma di letterali in cui compare ognivariabile o vera o negata

• Una espressione normale POS è in forma canonica POS se i suoi termini sono tutti maxtermini

))(( 3132 xxxx

))(( 321321 xxxxxx

Circuito per l’ AND

Circuito per l’ OR

Circuito per lo XOR

Rete logica

Una rete logica è un’interconnessione di porte logiche AND, OR, NOT, in modo che ogni uscita da una porta alimenti al più un ingresso di una porta e non vi sono cicli

Valori in uscitax1= 0, x2= 0, x3= 1

Analisi di una rete: dalla rete alla funzione

• Ogni rete logica calcola una funzione booleana dei suoi ingressi

f(x1,x2,x3) = x3 ( x1 . x2) + (x1+x3)

Risultato principale

Corrispondenza fra funzioni logiche e reti logiche:

Analisi: data una rete determinare la funzione calcolata

Sintesi: data una funzione logica costruire una rete che la calcola

• Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza e viceversa

• Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND, OR, NOT.

Analisi e Sintesi di reti

• Analisi è abbastanza semplice:– Calcola per ogni porta logica di cui sono specificati

tutti gli input l’espressione booleana associataall’output• Fino ad ottenere l’espressione associata al terminale d’uscita

della rete

• Vediamo ora la sintesi di una funzione logica f:1. Da f alla tavola di verità2. Dalla tavola di verità all’espressione «SOP»3. Dall’espressione «SOP» ad una rete a due stadi: il primo di

porte AND, il secondo con una sola porta OR

Tavole di verità di minterminiPer ogni mintermine, la tavola di verità ha un solo valore 1.

Per esempio:

se f = x3 x2 x1 allora avrà un solo 1 in corrispondenza di x3=0, x2=1, x1=1.

• Ricorda:

• Il prodotto è 1 sse ogni fattore è 1x3 x2 x1 f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 0

1 1 0 0

1 1 1 0

Viceversa, se la tavola di verità di f ha un solo valore 1 necessariamente f è un mintermine.

f = x3 x2 x1

Dalla tavola di verità alla SOP

Se invece la tavola di verità ha più occorrenze di 1:

f ha valore 1 se:

x3=0, x2=1, x1=1 oppure

x3=1, x2=0, x1=1

x3 x2 x1 f

0 0 0 0

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 1

1 0 0 0

1 0 1 1

1 1 0 0

1 1 1 0

x3 x2 x1

x3 x2 x1

f = x3 x2 x1 + x3 x2 x1

Espressione canonica SOP

1. Per ogni 1 nella tavola di verità trovare il mintermine corrispondente

2. Sommare i mintermini ottenuti

Quindi abbiamo che:

• Per ogni funzione logica possiamo costruire una rete logica che la realizza (e viceversa)

• Ogni funzione logica può essere espressa in termini soltanto di AND OR NOT.

Sintesi di una rete: dalla funzione alla rete

Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 1Supponiamo di avere una funzione f data tramite la sua tavola di verità

Espressione SOP

Dalla tavola di verità alla SOP: esempio 2

Dalla tavola di verità all’espressioneSOP

Espressione SOP

Dall’espressioneSOP alla rete a due livelli: un livello varie porte AND, un secondo livello solo una porta OR

• Lo vedremo nelle prossime lezioni

Riferimenti

Appendice B di [PH] «The Basic of Logic Design»: Gates, Truth tables, and Logic Equations: B.1, B.2

Nella III edizione è l’Appendice C

Oppure [P] cap. 3, parr. 4.1, 4.2

Esercizio (maggioranza)

Sia f(x,y,z) la funzione che vale 1 se (e solo se) la maggioranza delle variabili vale 1.

Effettuare la sintesi di f:1. Da f alla tavola di verità2. Dalla tavola di verità all’espressione SOP3. Dall’espressione SOP ad una rete a due stadi: il

primo di porte AND, il secondo con una sola porta OR

Esercizi

• Disegnare una rete logica che realizza lo XOR fra due variabili

• L’operazione di NAND di 2 variabili è la negazione dell’AND, mentre quella di NOR è la negazione dell’OR.