![Verifica di Matematica - · PDF fileUna volta mostrato che per x che tende a 2 la funzione f(x)=ln(2x−3) è un infinitesimo, determinarne l’ordine. [inventato] ... (x+1) x =1 ottengo:](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5a9d94f07f8b9a21688c99e6/verifica-di-matematica-volta-mostrato-che-per-x-che-tende-a-2-la-funzione-fxln2x3.jpg)
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Quest˜ ao 1 (Turma A) Item a) Aplicamos duas vezes a integra¸c˜ ao por partes: x 2 (ln(x)) 2 dx = x 3 3 (ln(x)) 2 - 2 3 x 2 ln(x)dx = x 3 3 (ln(x)) 2 - 2 3 ( x 3 3 ln(x) - 1 3 x 2 dx) = x 3 3 (ln(x)) 2 - 2 9 x 3 ln(x)+ 2 27 x 3 + c Item b) Usamos a substitui¸ c˜ ao u = x 3 e, em seguida, v = tan(u): x 2 tan 3 (x 3 ) sec 4 (x 3 )dx = 1 3 tan 3 (u) sec 4 (u)du = 1 3 tan 3 (u)(1 + tan 2 (u)) sec 2 (u)du = 1 3 v 3 (1 + v 2 )dv = 1 3 v 4 4 + v 6 6 + c = tan 4 (x 3 ) 12 + tan 6 (x 3 ) 18 + c Item c) Usamos a substitui¸ c˜ ao trigonom´ etrica x - 2 = tan(θ): x +1 (x 2 - 4x + 5) 2 dx = x +1 ((x - 2) 2 + 1) 2 dx = tan(θ)+3 (tan 2 (θ) + 1) 2 sec 2 (θ)dθ = tan(θ)+3 sec 2 (θ) dθ = sen(θ) cos(θ)dθ +3 cos 2 (θ)dθ = sen 2 (θ) 2 + 3 2 (θ + sen(θ) cos(θ)) + c = (x - 2) 2 2(x 2 - 4x + 5) + 3 2 arctan(x - 2) + x - 2 x 2 - 4x +5 + c 1
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Questao 1 (Turma A)
Item a) Aplicamos duas vezes a integracao por partes:
∫
x2(ln(x))2dx =
x3
3(ln(x))2 −
2
3
∫
x2 ln(x)dx
=x3
3(ln(x))2 −
2
3(x3
3ln(x)−
1
3
∫
x2dx)
=x3
3(ln(x))2 −
2
9x3 ln(x) +
2
27x3 + c
Item b) Usamos a substituicao u = x3 e, em seguida, v = tan(u):
∫
x2 tan3(x3) sec4(x3)dx =
1
3
∫
tan3(u) sec4(u)du
=1
3
∫
tan3(u)(1 + tan2(u)) sec2(u)du
=1
3
∫
v3(1 + v
2)dv
=1
3
(
v4
4+
v6
6
)
+ c
=tan4(x3)
12+
tan6(x3)
18+ c
Item c) Usamos a substituicao trigonometrica x− 2 = tan(θ):∫
x+ 1
(x2− 4x+ 5)2
dx =
∫
x+ 1
((x− 2)2 + 1)2dx
=
∫
tan(θ) + 3
(tan2(θ) + 1)2sec2(θ)dθ
=
∫
tan(θ) + 3
sec2(θ)dθ
=
∫
sen(θ) cos(θ)dθ + 3
∫
cos2(θ)dθ
=sen2(θ)
2+
3
2(θ + sen(θ) cos(θ)) + c
=(x− 2)2
2(x2− 4x+ 5)
+3
2
(
arctan(x− 2) +x− 2
x2− 4x+ 5
)
+ c
1
-A-
Questão 3. (3,0 pontos) Considere f : [O,+oo[--t JRdada por f(x) = fox V4e2t -1 dt e(sen x 2g: JR--t JR,dada por g(x) =
iax3et dto
a) Calcule g' (x).
b) Seja F(x) = f(g(x)). Calcule F'(rr).
c) Calcule o comprimento do gráfico de f entre x = Oe x = 1.
b) A ~ça1 Ã.i-) ~'4~~1 L' ~~ vm [&i~)TCDr
-PJ.1o II=CI .f'(:t).::,j 4iÃ._ ~' I V Ã-7 1m ~) .um FUJ-tO.A J pCULCl 1- ~() .
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