Alcune note sulle serie di potenze1

G. Falqui

Contents

1 Preliminari 1

2 Serie di potenze 3

3 Rappresentazione di funzioni mediante serie di potenze 73.1 Esempi notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93.2 Formula di Eulero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

4 Derivazione ed integrazione per serie 154.1 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

5 Prodotto di serie 21

1 Preliminari

Nel corso di Matematica I (o Istituzioni di Matematica) sono stati illustrati iconcetti di serie numerica ed i criteri per la convergenza di una serie.

Ricordiamo brevemente che il concetto di serie numerica formalizza la nozionedi somma infinita, nel seguente modo: sia data una successione di numeri (realio complessi) {an}∞n=1. Il simbolo

∞∑

n=1

an (1.1)

si dice serie numerica (associata alla – o definita dalla) successione {an}∞n=0. Apartire dalla (1.1) si considera la successione delle somme parziali, ovvero la

1Queste sono note non formali delle lezioni relative alle serie di potenze tenute duranteil corso di Matematica II e Complementi di Matematica nell’ a/a 2006/2007. Commenti ecorrezioni saranno benvenuti. Per una esposizione piu sistematica, si puo consultare il librodi J. Stewart, Calcolo, Vol. I, Apogeo Editori, Milano (2002).

1

successione {sn}∞n=1 definita da

sn =

n∑

k=1

ak, n = 1, 2, . . . ,∞, (1.2)

e.g., s1 = a1, s2 = a1 + a2 e cosı via.Se vale che

limn→∞

sn = S, con S finito,

si dice che la serie∑

∞

n=1 an e convergente, e S si chiama somma della serie. Seil limite o non esiste, o, se esiste, e infinito, la serie si dice non convergente.

Esempio 1. Riportiamo qui l’esempio della serie geometrica di ragione r,con |r| < 1 anche perche ci sara utile in seguito.

Consideriamo dunque∑

∞

n=1 rn−1. La successione delle somme parziali sn adessa associata e data da

s1 = 1, s2 = 1 + r, s3 = 1 + r + r2, s4 = 1 + r + r2 + r3, . . . ,

Fissiamo n e consideriamo:

sn = 1 + r + r2 + · · ·+ rn−1

r sn = r + r2 + · · · + rn−1 + rn.(1.3)

Sottraendo termine a termine,

sn − r sn ≡ (1 − r)sn = 1 − rn ⇒ sn =1 − rn

1 − r.

Dunque dato che |r| < 1 si ha che la serie geometrica e convergente, e la sua

somma e S = limn→∞

1 − rn

1 − r=

1

1 − r.

Criterio del confronto. Siano∑

an e∑

bn serie a termini non negativi.Allora:

1. Se an ≤ bn ∀n e∑

bn e convergente, allora∑

an e convergente.

2. an ≥ bn ∀n e∑

bn non e convergente, allora∑

an non e convergente.

Definizione. Una serie∑

an si dice assolutamente convergente se la serie deivalori assoluti (o moduli, nel campo complesso)

∑|an| e convergente.

Osservazione. Una serie assolutamente convergente e convergente. Non e,in generale, vero il viceversa.

2

Criterio del rapporto. Questo criterio permette di stabilire (condizion-atamente) la convergenza assoluta di una serie calcolando il limite del rapportotra due termini successivi. In particolare, il criterio si formula cosıSia

limn→∞

|an+1

an

| = L; Allora:

1. Se L < 1 (strettamente),∑

an e assolutamente convergente e dunqueconvergente;

2. Se L > 1 (strettamente),∑

an non e convergente.

3. Se L = 1 il criterio non dice nulla.

Ancora, risulta spesso molto utile, per le serie a termini alternati ilCriterio di Leibniz: sia

∑an una serie a termini alternati (cioe di segno al-

ternativamente positivo e negativo, ovvero, in una formula, an = (−1)nbn, con bn >0). Supponiamo inoltre che la successione dei numeri positivi bn sia decresente,(bn+1 < bn, ∀n). Allora la serie

∑(−1)nbn e convergentre, e, inoltre, se S e la

sua somma (S =∑

n(−1)nbn), e sn denota la sua n-esima somma parziale, siha

|S − sn| < bn+1.

A parole: per una serie a termini alternati che soddisfi le ipotesi di cui sopra,la somma parziale n-esima stima il valore della somma della serie con un erroreche in modulo e non superiore a primo termine che si “trascura”.

2 Serie di potenze

Le serie di potenze (centrate in x0, dove x0 e un numero reale o complesso) pos-sono essere pensate come generalizzazioni dei polinomi di Taylor. In generale,esse sono “definite” da espressioni del tipo

n∑

n=0

bn(x − x0)n (2.1)

dove bn sono numeri reali (o complessi).Esse possono essere viste come serie nelle quali il termine generale an = bn(x−x0)

n dipende dal “parametro” x attraverso il fattore (x − x0)n. E chiaro che,

per i valori di x per i quali la serie converge, la serie (o meglio, la somma dellaserie) definira una funzione di x. Il problema primo che ci si pone, data un serie

3

di potenze della forma (2.1), e dunque determinare per quali valori di x essaconverge.

Osservazioni preliminari:1) La serie (2.1) converge sempre (cioe, indipendentemente dalla scelta dei

coefficienti numerici an) almeno per x = x0; infatti, per x = x0, la sequenza deitermini generali si banalizza a

a0 = b0, 0, 0, 0, 0, · · ·

e dunque per x = x0 non siamo in presenza di una serie, ma di una sommafinita (anzi, di un solo numero non nullo!).

2) x = x0 puo essere l’unico punto in cui una serie converge; ad esempio,

∑

n

n!(x − x0)n

non converge per alcun x diverso da x0.Se riprendiamo l’esempio della serie geometrica, notiamo che essa e una

serie di potenze; infatti (scrivendo x al posto di r, e rinumerando i termini nellaespressione data piu sopra) si ha che la serie geometrica di ragione x si scrivecome

∞∑

n=0

xn,

ovvero e proprio della forma (2.1), con:

x0 = 0, bn = 1 ∀n.

Il risultato base della teoria delle serie di potenze si puo formulare nelseguente modo:

Teorema: Supponiamo che la serie di potenze

∞∑

n=0

an(x − x0)n (2.2)

converga assolutamente per x = x1 6= x0; allora converge assolutamente per

−|x1 − x0| < |x − x0| < |x1 − x0| (2.3)

Osservazione. Il risultato dice che, se x e una variabile reale, se la serie (2.2)converge assolutamente in un punto x1 diverso da x0, allora converge in tutto

4

l’intervallo simmetrico di semiapiezza |x1 − x0|; se x e complesso, allora la serieconverge in tutto il cerchio di raggio r = |x1 − x0| centrato in x0.Dimostrazione. Poniamo per semplicita x0 = 0 e x1 > 0. Dall’ipotesi sappi-amo che la serie numerica

∞∑

n=0

an(x1)n, con x1 > 0

converge assolutamente. Consideriamo la serie (2.2), e riscriviamo il suo terminegenerale come

anxn = an(x

x1)nxn

1 ;

la serie dei moduli si scrivera, analogamente, come

∞∑

n=0

|an|(|x|)n =

∞∑

n=0

|an|(∣∣x

x1

∣∣n

︸ ︷︷ ︸

=rn

xn1 .

La condizione (2.3) si traduce nel caso x0 = 0 nella condizione |x| < |x1|, ovvero0 < r < 1. Quindi abbiamo che il termine generale della serie dei moduli quisopra e maggiorato dal termine generale della serie

∑ |an|xn1 , che e convergente.

Dunque, il criterio del confronto assicura la convergenza assoluta della serie(2.2) per |x| < |x1|.

Il caso delle serie di potenze centrate in x0 6= 0 e del tutto analogo.Osserviamo ora che, se riusciamo a stabilire che la serie data

∑∞

n=0 an(x −x0)

n converge per x = x2, con |x2 − x0| > |x1 − x0|, allora possiamo concludereche la serie converge in tutto l’intervallo (o cerchio, se siamo sui complessi)|x − x0| < |x2 − x0|; di fatto, data la serie

∑∞

n=0 an(x − x0)n, si danno tre casi:

1. La serie converge solo in x = x0

2. La serie converge per tutti gli x reali (o complessi)

3. Esiste un numero positivo R tale che la serie converge in |x − x0| < R enon converge per |x − x0| > R.

Il numero R in questione si chiama raggio di convergenza della serie (2.1). Tal-volta si compendiano i casi 1 e 2 qui sopra dicendo che nel caso 1, il raggio ezero, e nel caso 2, il raggio e infinito.

Il problema tipico che ci si pone in questo ambito e il seguente: data unaserie di potenze, si vuole determinare il suo raggio di convergenza; se questo e

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finito (e non nullo, beninteso), ci si puo domandare che cosa succede se x assumei valori “estremi”, ovvero se |x − x0| = R.

Esempio 2. Consideriamo la serie

∞∑

n=1

2n

n3xn. (2.4)

Vogliamo calcolare per quali valori (reali) di x essa converge. Utilizziamo ilcriterio del rapporto. Detto an il termine generale di (2.4) si ha:

∣∣an+1

an

∣∣ =

∣∣

2n+1

(n+1)3xn+1

2n

n3 xn

∣∣,

e dunque, semplificando,

∣∣an+1

an

∣∣ = 2 |x|

(n + 1

n

)n

︸ ︷︷ ︸

=(1+ 1

n)3)

.

Otteniamo

limn→∞

∣∣an+1

an

∣∣ = 2 |x| lim

n→∞

(1 +1

n)3 = 2 |x|.

Quindi, per il criterio del rapporto, la serie converge assolutamente per

2 |x| < 1, ⇔ |x| <1

2,

mentre non converge per |x| > 12. Dunque la serie (2.4) ha raggio di convergenza

R = 12.

Resta da esaminare il caso x = ±12; sostituendo direttamente nella (2.4)

questi valori di x si ottiene

per x =1

2si ha

∞∑

n=1

1

n3, per x = −1

2si ha

∞∑

n=1

(−1)n

n3

Entrambe queste serie convergono, per cui l’insieme dei valori reali per i quali∑

∞

n=12n

n3 xn converge e l’intervallo chiuso [−12, 1

2].

Esercizio. Si dimostri che la serie

∞∑

n=0

(−13

)n

√n + 3

xn

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converge in (−3, 3] (ovvero per −3 < x ≤ 3).Esercizio Sui calcoli per quali valori di x reali la serie

∞∑

n=1

(−1)n (x + 2)n

n 2n

converge.

3 Rappresentazione di funzioni mediante serie

di potenze

L’idea della rappresentazione di una funzione come serie di potenze si puo intuirericonsiderando la serie geometrica (Esempio 1), con r = x. Quando leggiamoda sinistra a destra la relazione

“ Per |x| < 1

∞∑

n=0

xn =1

1 − x,′′ (3.1)

vogliamo significare che se |x| < 1 la serie in questione converge; al variare di xnell’intervallo (−1, 1) definisce una funzione f di x a valori reali, e, finalmente,

questa funzione non e nient’altro che il reciproco di (1−x), cioe f(x) =1

(1 − x).

Consideriamo ora il problem di construire il polinomio k-esimo di Taylor

associato a f(x) =1

1 − xcentrato in x0 = 02. Per farlo dobbiamo calcolare

f(0) e il valore delle derivate di f(x) in x = 0 fino all’ordine k. Ovviamente,f(0) = 1; poi, per la derivata prima,

f ′(x) =−1

(1 − x)2(−1) =

1

(1 − x)2⇒ f ′(0) = 1.

Per la derivata seconda,

f ′′(x) =d

dx

1

(1 − x)2=

−2

(1 − x)3(−1) =

2

(1 − x)3⇒ f ′′(0) = 2,

e per la derivata terza,

f ′′′(x) =d

dx

2

(1 − x)3=

−3 · 2(1 − x)4

(−1) =3 · 2

(1 − x)4⇒ f ′′′(0) = 1.

2Serie (o polinomi) di Taylor centrati in x0 = 0 si dicono solitamente serie (o polinomi) diMc Laurin.

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Non e difficile convincersi (o dimostrare per induzione) che, per la derivataj-esima vale la formula

dj

dxj

1

(1 − x)=

j!

(1 − x)j+1, e dunque

dj

dxj

1

(1 − x)

∣∣x=0

= j!, ∀ j ∈ N.

Quindi, per ogni k finito, il polinomio di Taylor di ordine k centrato in zero

(ovvero il polinomio di Mc Laurin di ordine k) di1

1 − xe dato da3

1 + x + x2 + · · ·xk.

Allora posso leggere la relazione (3.1), da destra a sinistra, come la serie geomet-

rica∑

n xn rappresenta la funzione 11−x

nell’intervallo |x| < 1, cioe generalizzala nozione di polinomio di Taylor.

In generale, rappresentare una funzione in serie di potenze nell’intorno dix = x0 significa esprimerla mediante una somma infinita di termini della formaan(x − x0)

n, n = 0, 1, . . ..Talvolta (poche volte) la rappresentazione in serie di potenze di una funzione

puo essere trovata con metodi elementari (cioe, “trucchi”). Un esempio e ilseguente:

Sia f(x) =1

1 + x2. Per esprimerla in serie di potenze centrate in x0 = 0,

basta notare che

f(x) =1

1 + x2=

1

1 − (−x2),

e dunque che, con la sostituzione −x2 = y, abbiamo (nella nuova variabile y)una funzione della quale conosciamo lo sviluppo in serie di potenze (e la solitaserie geometrica...); quindi lo sviluppo in serie (in y) di f sara

f(y) =∞∑

n=0

yn

che e assolutamente convergente per |y| < 1; sostituendo y = −x2 in questaformula si ha lo sviluppo

1

1 + x2=

∞∑

n=0

(−x2)n =∞∑

n=0

(−1)nx2n. (3.2)

3Si ricordi che in generale, il polinomio di Taylor di ordine k di una funzione f(x), centratoin x = x0 e dato dal polinomio in x Pk(f)(x) = f(x0) + f ′(0)(x − x0) + 1

2!f′′(x0)(x − x0)

2 +13!f

′′′(x0)(x − x0)3 + · · · + 1

k!f(k)(x0)(x − x0)

k.

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Esercizio. Calcolare lo sviluppo in serie di potenze nell’intorno di x0 = 0 dellafunzione

g(x) =x2

4 − x2

Suggerimenti: a) g(x) = x2 · 1

4 − x2, e 4 − x2 = 4(1 − (x

2)2).

Un metodo algoritmico (ma non sempre il piu efficace) per calcolare losviluppo in serie di una funzione f(x) si basa sulla osservazione (riportata anchepiu sopra) che lo sviluppo in serie di una funzione generalizza la nozione di poli-nomio di Taylor. Dunque, se una serie di potenze

∑∞

n−0 an(x−x0)n rappresenta

una funzione f(x) dovra valere

a0 = f(x0), a1 = f ′(x0), a2 =f ′′(x0)

2(!), a3 =

f ′′′(x0)

3!, . . . , ak =

dk

dxk f(x)∣∣x=x0

k!.

Leggendo queste relazioni da destra a sinistra si ha che i coefficienti ak dellosviluppo in serie di una funzione f(x) nell’intorno di x = x0 sono dati dai valoriche la derivata k-esima di f assume in x = x0, divisi per k!.Osservazioni. 1) La serie geometrica e un esempio lampante del fatto che laserie di potenze centrata in 0 di 1

1−xrappresenta la funzione solo nell’intervallo

|x| < 1, cioe un intervallo piu piccolo dell’insieme di definizione della funzionedi partenza. Come vederemo piu sotto, lo stesso accade per f(x) = arctan(x).2) Il metodo del calcolo delle derivate e algoritmico, ma puo essere pesante, inquanto richiede il calcolo di tutte le derivate della funzione.

3.1 Esempi notevoli

1. La funzione esponenziale.Cerchiamo lo sviluppo in serie di f(x) = exp x = ex nell’intorno di x0 = 0.Abbiamo

f(0) = e0 = 1, f ′(x) = ex ⇒ f ′(0) = 1,

e, in generale,dk

dxkex = ex ⇒ dk

dxkex∣∣x=0

= 1

Dunque la serie di potenze di ex nell’intorno di x = 0 e data da

∞∑

n=0

1

n!xn (3.3)

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Proposizione. La serie (3.3) converge per ogni x reale e quindi si puo scrivere,senza ulteriori specificazioni,

ex =

∞∑

n=0

1

n!xn.

Verifichiamo l’affermazione sulla convergenze della serie in questione. Si ha

∣∣an+1

an

∣∣ =

∣∣

xn+1

(n+1)!

xn

n!

∣∣.

Semplificando,

∣∣an+1

an

∣∣ =

|x|n + 1

⇒ limn→∞

∣∣an+1

an

∣∣ = 0, ∀x ∈ R,

e dunque il criterio del rapporto ci dice appunto che questa serie converge pertutti i valori di x reali. Osserviamo inoltre che la serie (3.3) converge anche perx = z complesso. Si puo dunque vedere la serie

∑∞

n=0zn

n!come una definizione

dell’esponenziale in campo complesso.

2 Le funzioni cos(x) e sin(x).

Consideriamo lo sviluppo in serie di cos(x) sempre nell’intorno di x0 = 0.Notiamo che:

d

dxcos x = − sin(x);

d2

dx2cos x

(=

d

dx(− sin(x))

)= − cos(x);

d3

dx3cos(x) = sin(x);

d4

dx4cos(x) = cos(x).

Dunque le derivate hanno un andamento “periodico” in n, di periodo 4; infatti,iterando la formula qui sopra (e chiamando per comodita di notazione d0

dx0 f(x) ≡f(x)), si ha:

dn

dxncos(x) = cos(x), se n = 4k;

dn

dxncos(x) = − sin(x), se n = 4k + 1;

dn

dxncos(x) = − cos(x), se n = 4k + 2;

dn

dxncos(x) = sin(x), se n = 4k + 3.

(3.4)

10

Per calcolare lo sviluppo in serie di Taylor in un intorno di 0 di cos(x) si devonocalcolare il valore delle derivate di cos(x) in x = 0; dalla formula qui sopra si ha

dn

dxncos(x)

∣∣x=0

= 1, se n = 4k;dn

dxncos(x)

∣∣x=0

= 0, se n = 4k + 1;

dn

dxncos(x) =

∣∣x=0

= −1, se n = 4k + 2;dn

dxncos(x) = 0, se n = 4k + 3.

(3.5)

Dunque, lo sviluppo in serie di Taylor centrato in x0 = 0 di cos(x) e:

1 +(−1)

2x2 +

1

4!x4 + · · · =

∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!x2n. (3.6)

Proposizione. Lo sviluppo in serie qui dato di cos(x) converge per ogni xreale.

Per verificare questo fatto, e utile fare una premessa di carattere abbastanzagenerale. Vogliamo applicare anche qui il criterio del rapporto. Peraltro, cosıcome l’abbiamo enunciato, sembra che qui non abbia senso, dato che i coefficientia1, a3, a5 eccetera (cioe i coefficienti di posto dispari, in una sola frase) sono nulli.Si puo pero notare che la serie di potenze qui sopra, scritta nella variabile y = x2

e∞∑

n=0

(−1)n

(2n)!yn,

ovvero, ha tutti i coefficienti an non nulli. Applichiamo dunque il criterio delrapporto a quest’ultima rappresentazione. Abbiamo

∣∣an+1

an

∣∣ =

∣∣

yn+1

(2n+2)!

yn

(2n)!

∣∣.

Semplificando,

∣∣an+1

an

∣∣ =

|y|(2n + 2)(2n + 1)

⇒ limn→∞

∣∣an+1

an

∣∣ = 0, ∀ y ∈ R,

il che verifica l’asserto, dato che, in particolare, vale per y = x2. Anche quiosserviamo che questo procedimento puo essere visto come la definizione dellafunzione cos(z) per z ∈ C, dato che la convergenza della serie e assoluta.

11

Esercizio Verificare che lo sviluppo in serie di Taylor centrato nell’origine disin(x) e

sin(x) =∞∑

n=0

(−1)n

(2n + 1)!x2n+1. (3.7)

e che questo sviluppo converge per ogni x reale, nonche ogni z complesso.Esercizio Calcolare lo sviluppo in serie di Mc Laurin di

cosh(x) =ex + e−x

2, e sinh(x) =

ex − e−x

2,

o notando che la derivata di cosh(x) e sinh(x) e viceversa, oppure utilizzandole proprieta dello sviluppo in serie dell’esponenziale.

3.2 Formula di Eulero

Interpretando le formule (3.3, 3.6, e 3.7) possiamo dare la dimostrazione dellaformula di Eulero (che verra usata nella teoria delle equazioni differenziali linearidel secondo ordine),

eiθ = cos(θ) + i sin(θ). (3.8)

L’osservazione di base e la seguente: dalla definizione di funzione esponenzialecome funzione inversa del logaritmo naturale, e dunque, sostanzialmente, dalfatto che

d

dxex = ex, (3.9)

abbiamo calcolato lo sviluppo in serie di ex come (3.3). Dal fatto che la serieconverge assolutamente per tutti gli x, possiamo definire l’esponenziale di unnumero complesso z come la somma della serie corrispondente, ovvero, porreper definizione

ez =

∞∑

n=0

zn

n!, ∀z ∈ C.

In particolare, per z = iθ puramente immaginario (e dunque θ reale) abbiamo:

ei θ =

∞∑

n=0

in θn

n!.

12

Ora suddividiamo questa serie in due, sommando separatamente i termini diindice pari e indice dispari4, ovvero scriviamo

∞∑

n=0

in θn

n!=∑

n pari

in θn

n!+

∑

n dispari

in θn

n!.

Qui osserviamo che la somma su n pari si scrive come somma per n = 2k, k =0, · · · ,∞, e quella su n dispari come somma per n = 2k + 1, k = 0, · · · ,∞, edunque otteniamo

ei θ =∞∑

k=0

i2 k θ2 k

(2k)!+

∞∑

k=0

i2 k+1 θ2 k+1

(2k + 1)!(3.10)

A questo punto bisogna ricordare che

i2k =

1 con k pari

−1 con k dispari⇒

i2k = (−1)k

i2k+1(= i · (i2k) = (−1)k · i.

Utilizzando la prima di queste due formule nella prima serie del membro destrodi (3.10) e la seconda nella seconda serie si ha che (3.10) diviene

ei θ =

∞∑

k=0

(−1)k θ2 k

(2k)!+ i ·

∞∑

k=0

(−1)k θ2 k+1

(2k + 1)!.

Confrontando queste due espressioni rispettivamente con (3.6) ed (3.7) si otten-gono proprio le formule di Eulero.

La formula di Newton per (1 + x)α Un’altra funzione della quale e pos-sibile calcolare semplicemente ed esplicitamente lo sviluppo in serie di McLaurine la funzione

f(x) = (1 + x)α

dove α e un numero reale (e.g., un generico numero razionale, α =p

q, p e q

coprimi).Basta osservare che la formula

d

dx(1 + x)α = α(1 + x)α−1

4Questa operazione e lecita perche la serie converge assolutamente.

13

vale per ogni α. Iterando, si ha che, per k = 1, 2, . . .,

dk

dxk(1 + x)α = α · (α − 1) · · · (α − k + 1)

︸ ︷︷ ︸

k fattori

(1 + x)α−k

Se definiamo il simbolo combinatorio generalizzato

(α

k

)

=

k fattori︷ ︸︸ ︷

α · (α − 1) · · · (α − k + 1)

k!, k ≥ 1

(α

0

)

= 1,

otteniamo che la serie di McLaurin associata a (1 + x)α e data da

∞∑

k=0

(α

k

)

xk, dato chedk

dxk(1 + x)α

∣∣x=0

= α · (α − 1) · · · (α − k + 1)︸ ︷︷ ︸

k fattori

. (3.11)

Ci dobbiamo ora chiedere per quali valori di x questa serie converge (e dunquerappresenta effettivamente la funzione data. Applichiamo il criterio del rap-porto, supponendo che α non sia un intero positivo – anche perche, in questocaso, (1 + x)α e un polinomio.

∣∣ak+1

ak

∣∣ =

∣∣

(α

k+1

)xk+1

(αk

)xk

∣∣ = |x|

∣∣

(α

k+1

)

(αk

)∣∣

Quidi dobbiamo calcolare il limite per k → ∞ dell’ultimo rapporto. Abbiamo

∣∣

(α

k+1

)

(αk

)∣∣ =

∣∣∣

k+1 fattori︷ ︸︸ ︷

α · (α − 1) · · · (α − k)

(k + 1)!· k!

α · (α − 1) · · · (α − k + 1)︸ ︷︷ ︸

k fattori

∣∣∣

e dunque si ha

limk→∞

∣∣ak+1

ak

∣∣ = lim

k→∞

|x|∣∣(α − k)

k + 1

∣∣ = |x|,

dato che

limk→∞

∣∣α − k

k + 1

∣∣ = lim

k→∞

k − α

k + 1= 1.

Dunque il raggio di convergenza della serie binomiale (3.11) e 1 e dunque pos-siamo dire che

(1 + x)α =

∞∑

k=0

(α

k

)

xk, per |x| < 1.

14

Analogamente si ha che

(1 − x)α =∞∑

k=0

(−1)k

(α

k

)

xk, per |x| < 1

e, ad esempio,

(1 + x2)α =

∞∑

k=0

(α

k

)

x2k, per |x| < 1,

nonche varianti di queste formule.

4 Derivazione ed integrazione per serie

La proprieta di una funzione di potere essere rappresentatata in serie di potenzeimplica notevoli proprieta della stessa, proprieta che hanno, come vedremo,interesse in campo “applicativo”5.

Teorema: Sia f(x) rappresentabile (o sviluppabile) in serie di potenze in unintorno di x0, cioe supponiamo che valga

f(x) =∞∑

n=0

an(x − x0)n (4.1)

con la serie che ha raggio di convergenza non nullo (eventualmente, infinito).Allora f(x) e derivabile, e, nell’intervallo di convergenza della serie qui sopra

vale che f ′(x) e sviluppabile in serie di potenze, e la sua rappresentazione inserie e data da

f ′(x) =

∞∑

n=1

nan(x − x0)n−1 (4.2)

Dimostrazione. La dimostrazione di questo fatto e una semplice applicazionedel criterio del rapporto. Infatti, detto bn(x−x0)

n il termine generale della serie(4.2), si ha

bn(x − x0)n = nan+1 (x − x0)

n.

Dunque∣∣bn+1(x − x0)

n+1

bn(x − x−0)n

∣∣(n + 1)an+2(x − x0)

nan+1

∣∣.

5Cioe, proprieta che permettono di “fare dei conti”.

15

Ma allora

limn→∞

∣∣bn+1(x − x0)

n+1

bn(x − x−0)n

∣∣ = lim

n→∞

∣∣an+1(x − x0)

n+1

an(x − x−0)n

∣∣,

e dunque la serie della derivata converge dove converge quella della serie dipartenza.

Osservazione. Iterando il ragionamento, si vede che una funzione svilup-pabile in serie di Taylor in un intervallo (aperto) I = (x0 −R, x0 + R) ammettenello stesso intervallo I derivate di ogni ordine; tali derivate sono a loro voltasviluppabili in serie di potenze, e la loro rappresentazione in serie di potenze siottiene per iterazione della formula con la quale la (4.2) si ottiene dalla (4.1).Ad esempio, lo sviluppo inserie di f ′′(x) sara:

f ′′(x) =∞∑

n=2

(n(n − 1))an(x − x0)n−2,

e cosı via. A questa proprieta notevole si da il nome di derivazione termine

a termine. In altre parole, questa proprieta generalizza al caso delle serie as-solutamente convergenti la proprieta ben nota del fatto che la derivata di unasomma finita di funzioni e la somma delle derivate dei singoli addendi.

Analogamente al teorema di “derivazione termine a termine” vale anche unteorema di integrazione termine a termine. Esso dice che se per f(x) vale losviluppo (4.1), cioe

f(x) =

∞∑

n=0

an(x − x0)n,

allora f(x) e integrabile in ogni compatto contenuto in I, il suo integrale in-definito e a sua volta sviluppabile in serie di potenze in I, e si ha

∫

f(x) dx ≡∫(

∞∑

n=0

an(x − x0)n

)

dx = C +

∞∑

n=0

an

n + 1(x − x0)

n+1

Nota. Il modo piu corretto di scrivere la formula di integrazione termine atermine e, e.g. nel caso x0 = 0, il seguente:

∫ x

0

(∞∑

n=0

an(tn)

)

dt =∞∑

n=0

an

n + 1xn+1.

Esempio. Lo sviluppo in serie di arctan(x). Osserviamo che le primederivate di f(x) = arctan(x) sono:

f ′(x) =1

1 + x2, f ′′(x) = −2

x

(1 + x2)2 , f ′′′(x) = 23 x2 − 1

(1 + x2)3 , . . .

16

e dunque risulta difficile pensare di dare una formula finita per il calcolo delladerivata n-esima, con n generale. Per trovare lo sviluppo in serie di arctan(x)possiamo pero procedere in questo modo. Osserviamo che noi conosciamo losviluppo in serie della derivata di arctan(x) in 0; infatti

d

dxarctan(x) =

1

1 + x2=

∞∑

n=0

(−1)nx2n, per |x| < 1

Utilizzando la formula di integrazione termine a termine, e osservato che 6

∫ x

0

(d

dtarctan(t)

)

dt = arctan(x) − arctan(0) = arctan(x)

abbiamo che

arctan(x) =

∫ x

0

(

∞∑

n=0

(−1)nt2n) dt =

=

∞∑

n=0

(

(−1)n

∫ x

0

t2n dt

)

=

∞∑

n=0

(−1)n

n + 1x2n+1.

(4.3)

Esercizio. Dimostrare che lo sviluppo in serie di potenze log(1 + x) in unintorno di x = 0 e

log(1 + x) =

∞∑

n=0

(−1)n

n + 1xn+1

Suggerimento:d

dxlog(1 + x) =

1

1 + x.

Esercizio. Calocolare lo sviluppo inserie di Mc Laurin di f(x) = arcsin(x).

4.1 Applicazioni

.

Esercizio a

Calcolare

limx→0

cos(x) − 1 + x2/2

x2 sin(x2

4)

6Scegliendo la determinazione naturale (cioe piu semplice) dell’arco tangente, arctan(0) =0.

17

Soluzione

Il limite proposto e una forma indeterminata del tipo [0

0].

Il denominatore va a zero come x4; infatti, abbiamo che il suo sviluppo inserie e

x2(sin(x2/4)) ≃ x2(x2/4 − (x/4)3/3! + · · · ) ≃ x4/4 + · · ·Dobbiamo dunque calcolare lo sviluppo di Mc Laurin del numeratore fino alquarto ordine. Ricordando che cos(x) = 1 − x2/2! + x4/4! + · · · otteniamo che

cos(x) − 1 + x/2 = x4/4! + · · ·

Dunque abbiamo

limx→0

cos(x) − 1 + x2/2

x2 sin(x2

4)

= limx→0

x4/4! + · · ·x4/4 + · · · =

1

6.

Esercizio b

Si calcoli

limx→0

(

(1 − x)2/3 − 1)

x2

sin (x) − x.

Soluzione

Anche qui si ha una forma indeterminata del tipo[0

0

]

,

ovvero che sia il numeratore (N) che il denominatore (D) tendono a zero perx → 0.

Dato che N e D sono sviluppabili in serie di Mc Laurin, possiamo calcolareil limite proposto attraverso il loro sviluppo in serie.

Gli sviluppi in serie delle funzioni coinvolte sono:

sin(x) =

∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

2n + 1!= x − x3

6+

x5

120+ · · · ,

(1 − x)2/3 = (1 + (−x))2/3 =

∞∑

n=0

(2/3

n

)

(−x)n = 1 − 2

3x − 1

9x2 − 4

81x3 + · · · ,

(4.4)

18

dove con i puntini · · · indichiamo termini di ordine superiore a quelli scritti.Sostituendo (4.4) nel limite proposto otteniamo che il numeratore N diventa

N = (1 − 2

3x − 1

9x2 + · · · − 1)x2 = −2

3x3 + · · · ,

ed il numeratore diventa

D = x − x3

6+

x5

120+ · · · − x = −1

6x3 + · · · .

Quindi,

limx→0

N

D= lim

x→0

−23x3 + · · ·

−16x3 + · · · = lim

x→0

−23x3

−16x3

= 4. (4.5)

Per risolvere l’esercizio non e peraltro necessario ricordarsi a memoria gli sviluppi(4.4). Infatti sappiamo che:

sin(0) = 0; sin′(0) = cos(0) = 1, sin′′(0) = − sin(0) = 0, sin′′′(0) = − cos(0) = 1.

Dalla definizione di sviluppo di Mc Laurin (di una funzione sviluppabile in serie

di Mc Laurin....),

f(x) =

∞∑

n=0

f (n)(0)

n!(4.6)

abbiamo sin(x) = x − 16x3 + · · · , e dunque vediamo che il primo termine non

nullo dello sviluppo in serie di Mc Laurin del denominatore D = sin(x) − x e iltermine cubico

−1

6x3 (4.7)

Quindi, per calcolare il limite proposto dobbiamo calcolare lo sviluppo di McLaurin del numeratore fino all’ordine 3. Data la presenza a numeratore delfattore x2, dobbiamo in ultima analisi calcolare lo sviluppo al primo ordine di(1 − x)2/3 − 1. Utilizzando la definizione (4.6) ho

(1 − x)2/3 = 1 +d

dx(1 − x)2/3

∣∣x=0

x + · · ·

Dato che, per x > 1,

d

dx(1 − x)2/3 = −2

3(1 − x)−1/3(= −2

3

13√

1 − x),

19

si ha ched

dx(1 − x)2/3

∣∣x=0

= −2

3. Dunque il termine di ordine 3 nello sviluppo

del numeratore e

−2

3x3. (4.8)

Il limite proposto si puo dunque calcolare facendo il limite del rapporto di (4.7)e (4.8). Tale limite da (come deve....) 4, ovvero il risultato del calcolo svolto in(4.5).

Esercizio c

Calcolare ∫ 1

0

exp(−x2) dx

con un errore inferiore a1

100.

Soluzione

L’integrando e la serie esponenziale con argomento x2. Tale serie convergeassolutamente ed uniformemente per tutti i valori reali dell’argomento, quindipossimo integrare termine a termine.

Lo sviluppo in serie di Mc Laurin di exp(−x2) e

exp(x2) =∞∑

i=0

(−1)n x2n

n!= 1 − x2 + x4/2! − x6/3! + · · · .

Integrando termine a termine ottengo:

∫ 1

0

exp(−x2) dx = (x − x3

3+

x5

10+ · · · )

∣∣1

0=

∞∑

i=0

(−1)n 1

(2n + 1)n!, (4.9)

dato che il contributo dell’estremo inferiore di integrazione e nullo.La serie cosı ottenuta e una serie a termini alternati, con il modulo del

termine generale, ovvero1

(2n + 1)n!decrescente e che tende a zero per n → ∞.

Posso quindi utilizzare il teorema di Leibnitz che dice che, se∑

∞

i=0(−1)nbn euna serie che soddisfa le ipotesi di cui sopra, essa converge (diciamo a S) edinoltre

|S −N∑

i=1

(−1)nbn| ≤ bN+1

20

ovvero, a parole, che la differenza tra la somma della serie e la sua n-sima sommaparziale e limitata dal modulo del primo termine che si trascura.

Quindi, riconsiderando la equazione (4.9), per risolvere il problema nellamaniera piu “economica”, dovro trovare il piu piccolo valore di n per il qualevalga

1

(2n + 1)n!≤ 1

100

ovvero il minimo valore di n per il quale (2n + 1)n! ≥ 100.Conviene tabulare i primi valori di n e (2n + 1)n! come:

[0 1 2 3 4 5 · · ·1 3 10 42 216 · · · · · ·

]

Quindi il valore cercato di n e n = 4 e dunque, a meno di 1/100,∫ 1

0

exp(−x2) dx ≃3∑

i=0

(−1)n 1

(2n + 1)n!

= 1 − 1/3 + 1/10 − 1/42 =210 − 70 + 21 − 5

210=

156

210=

26

35.

5 Prodotto di serie

In questa ultima sezione introduciamo il concetto di prodotto di serie di potenze.Per comodita di notazione, le serie saranno centrate in x0 = 0.

Siano f(x) =∑

∞

i=0 anxn e g(x) =∑

∞

n=0 bnxn due serie di potenze con raggiodi convergenza, rispettivamente rf ed rg. Allora il prodotto h(x) = f(x) · g(x)e rappresentabile in serie di potenze in |x| < min(rf , rg) come

h(x) =∞∑

n=0

cnxn, dove cn =

n∑

j=0

ajbn−j . (5.1)

Questa definizione/risultato di serie di potenze e una diretta generalizzazionedelle note regole di moltiplicazioni di polinomi7. Infatti, scrivendo per esteso,si ha:

h(x) = f(x) · g(x) =

(a0 + a1x + a2x2 + a3x

3 + · · · )(b0 + b1x + b2 x2 + b3x3 + · · · )

= (a0b0) + (a1b0 + a0b1) x + (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2+

(a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0) x3 + · · · ,

7La dimostrazione della convergenza della serie prodotto e troppo lunga e tecnica per esserequi riportata.

21

cioe i coefficienti dello sviluppo di h(x) sono proprio dati dalla seconda delleformule (5.1).

La formula (5.1) puo essere utile per calcolare lo sviluppo in serie di potenze(in particolare, almeno i primi termini) di un prodotto di funzioni – delle quali siconoscano gli sviluppi in serie di Mc Laurin – , senza dover calcolare le derivatedella funzione prodotto.

Esercizio. Provare che lo sviluppo al settimo ordine di

f(x) = sin(2 x)(1 + x2)1

2

e

f(x) = 2 x − 1

3x3 − 13

20x5 +

1007

2520x7 + o

(x8).

Le formule (5.1) possono essere usate per calcolare il reciproco di una seriedi potenze. Ovvero: supponiamo che f(x) =

∑∞

n=0 sia una serie di potenze(centrata in x0 = 0) con raggio di convergenza R, e sia

f(0) = a0 6= 0. (5.2)

Allora esiste un intervallo −R′ < x < R′, con R′ eventualmente piu piccolo di

R nel quale la funzione g(x) :=1

f(x)e sviluppabile in serie di potenze, cioe

rappresentabile come

g(x) =∞∑

n=0

bnxn, |x| < R′. (5.3)

I coefficienti bn si possono calcolare ricorsivamente attraverso la seconda formula(5.1), utilizzando la seguente

Proposizione (“principio” di identita per le serie di potenze): Due serief1(x) =

∑∞

n=0 anxn ed f2(x) =∑

∞

n=0 bnxn, assolutamente convergenti in |x| < R(eventualemnte, R = ∞) coincidono se e solo se vale l’ugualglianza di tutti icoefficienti, ovvero se e solo se

an = bn, n = 0, 1, 2, . . . . (5.4)

Prima di dimostrare questa proposizione, notiamo che essa rappresenta la nat-urale estensione al caso delle serie (convergenti) del principio di identita dipolinomi di grado N finito.

La validita della proposizione si puo verificare, ad esempio, in questo modo.Se vale (5.4), allora, evidentemente, f1(x) coincide con f2(x). Il viceversa elievemente piu sottile. Ricordiamo che, per |x| < R le funzioni f1(x) ed f2(x),

22

definite come somma delle serie corrispondenti, sono infinitamente derivabili, evale che

dn

dxnf(x)

∣∣x=0

= n!an, n = 0, 1, 2, . . . .

Ora, se f1(x) = f2(x) per |x| < R, allora vale chedn

dxnf1(x) = dn

dxn f2(x), sempre

per |x| < R e, a fortiori,

dn

dxnf1(x)

∣∣x=0

︸ ︷︷ ︸

=n!an

=dn

dxnf2(x)

∣∣x=0

︸ ︷︷ ︸

=n!bn

il che dimostra l’asserto.

Ritorniamo al problema di determinare lo sviluppo del reciproco di f(x) =∑

∞

n=0 anxn, a0 6= 0, cioe di calcolare i coefficienti bn che compaiono nella (5.3).Osserviamo che, per definizione di reciproco,

f(x)g(x) ≡ 1

e possiamo (anche se e un modo un po’ barocco di rappresentarla) pensare allacostante 1 come alla serie di potenze definita da

1 =

∞∑

n=0

αnxn, con α0 = 0, αi = 0 se i 6= 0. (5.5)

Questo di permette di scrivere

1 = f(x)g(x) come (∞∑

n=0

an xn)(∞∑

n=0

bnxn) =∞∑

n=0

αnxn,

con gli αn definiti da (5.5). Ricordando la definizione di coefficiente n-esimodel prodotto di serie di potenze e utilizzando il principio di identita delle serie,vediamo che i coefficienti cn della serie prodotto devono verificare le equazioni:

c0 = 1c1 = 0c2 = 0c3 = 0

...cn = 0

...

⇐⇒

a0b0 = 1a0b1 + a1b0 = 0a0b2 + a1b1 + a2b0 = 0a0b3 + a1b2 + a2b1 + a3b0 = 0

...∑n

j=0 ajbn−j = 0...

(5.6)

23

La seconda colonna (di infinite equazioni) di questa formula deve esser pensatacome un sistema lineare nelle incognite {bj}j=0,...,∞ con coefficienti noti dati daicoefficienti ai.

Le proprieta di (5.6) che fanno sı che (ricorsivamente) il sistema sia risolubilesono le seguenti:1) a0 6= 02) la n − esima equazione (con n ≥ 1) si puo riscrivere come

a0bn = −n∑

j=1

ajbn−j = − (a1bn−1 + a2bn−2 + · · ·+ anb0)

Infatti, tenuto conto della prima proprieta, si ha:

b0 =1

a0; bn = − 1

a0((a1bn−1 + a2bn−2 + · · ·+ anb0) , n ≥ 1,

dal che si evince che il sistema e ricorsivamente risolubile perche, dalla secondadi queste, si vede che, una volta noti i coefficienti {b1, b2 . . . , bn−1} e possibilecalcolare esplicitamente il coefficiente bn.Esercizio. Calcolare lo sviluppo di Mc Laurin all’ottavo ordine di

1

cos(x).

Risultato:

1

cos(x)= 1 +

1

2x2 +

5

24x4 +

61

720x6 +

277

8064x8 + O

(x10)

Esercizio. Utilizzando il risultato precedente, – nonche le formule per il prodottodelle serie di potenze - calcolare lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di

g(x) = tan(x)

Risultato

tan(x) = x +1

3x3 +

2

15x5 +

17

315x7 + O

(x8)

Esercizio. Verificare che lo sviluppo di Mc Laurin al settimo ordine di

tanh(x) ≡ sinh(x)

cosh(x)

e

tanh(x) = x − 1

3x3 +

2

15x5 − 17

315x7 + O

(x8).

24