A. Teta

APPUNTI DI MECCANICA RAZIONALE

Introduzione alle equazioni di Hamilton

a.a. 2007/08

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2

INDICE

1. Equazioni di Hamilton pag. 32. Principio variazionale 63. Equazioni di Hamilton per un sistema meccanico 74. Integrali primi e parentesi di Poisson 95. Trasformazioni canoniche 116. Funzioni generatrici 167. Equazione di Hamilton-Jacobi 178. Flusso di fase, teoremi di Liouville e Poincare 199. Equazione di Liouville 23

3

1. Equazioni di Hamilton

Si consideri un sistema a n gradi di liberta descritto dalla lagrangiana L(q, η, t). Le corrispon-denti equazioni di Lagrange

d

dt

∂L

∂ηk(q(t), q(t), t) =

∂L

∂qk(q(t), q(t), t), k = 1, . . . , n (1.1)

sono un sistema di n equazioni differenziali del secondo ordine nell’incognita t 7→ q(t) ≡(q1(t), . . . , qn(t)). Come e noto, il sistema del secondo ordine (1.1) si puo sempre ridurre ad unsistema di 2n equazioni del primo ordine. Per esempio

qk = ηkd

dt

∂L

∂ηk(q(t), η(t), t) =

∂L

∂qk(q(t), η(t), t) (1.2)

In (1.2) le coordinate q, η giocano ruoli diversi. Per motivi che saranno piu chiari in seguito,vogliamo invece ottenere un sistema del primo ordine che sia il piu possibile simmetrico nellesue coordinate. A questo scopo consideriamo una lagrangiana L(q, η, t) regolare cioe tale che∣∣∣∣ ∂2L

∂ηh∂ηk

∣∣∣∣ 6= 0 (1.3)

e poniamo

ph =∂L

∂ηh(q, η, t) (1.4)

Per la condizione (1.3), da (1.4) si puo ricavare l’inversa

ηh = αh(q, p, t) (1.5)

Facendo uso di (1.4) e (1.5) in (1.2) si ottiene il seguente sistema del primo ordine nelle variabili(q, p)

qh = αh(q, p, t)

ph =∂L

∂qh(q, α(q, p, t), t) (1.6)

Definiamo ora l’hamiltoniana del sistema come la trasformata di Legendre della lagrangiana

H(q, p, t) =n∑k=1

αk(q, p, t)pk − L(q, α(q, p, t), t) (1.7)

Calcoliamo poi le derivate parziali della hamiltoniana

∂H

∂qh=∑k

∂αk∂qh

pk −∂L

∂qh−∑k

∂L

∂ηk

∂αk∂qh

= − ∂L∂qh

(1.8)

4

∂H

∂ph=∑k

∂αk∂ph

pk + αk +∑k

∂L

∂ηk

∂αk∂ph

= αh (1.9)

Utilizzando (1.8) e (1.9) in (1.6) si ottiene infine il sistema

qh =∂H

∂ph

ph = −∂H∂qh

(1.10)

Le equazioni (1.10) si dicono equazioni di Hamilton. Si tratta di un sistema di 2n equazioni delprimo ordine nelle variabili (q, p) che, come si vede, giocano sostanzialmente lo stesso ruolo. Lospazio su cui variano (q, p) si dice spazio delle fasi e si indica con Γ. La soluzione t 7→ (q(t), p(t))e dunque una curva nello spazio delle fasi Γ . Resta cosi dimostrata la seguente proposizione.

Proposizione 1.1. Sia L(q, η, t) una lagrangiana regolare, t 7→ q(t) la soluzione delle corri-spondenti equazioni di Lagrange con dato iniziale (q0, q0) e H(q, p, t) definita da (1.7). Allorat 7→ (q(t), p(t)), con p(t) = ∂L

∂η(q(t), p(t), t), e soluzione delle equazioni di Hamilton (1.10) con

dato iniziale (q0, p0) e con p0 = ∂L∂η

(q(0), q(0), 0)

In modo analogo si puo fare il procedimento inverso per passare dalle equazioni di Hamiltonalle equazioni di Lagrange. Sia H(q, p, t) un’hamiltoniana regolare, cioe tale che∣∣∣∣ ∂2H

∂ph∂pk

∣∣∣∣ 6= 0 (1.11)

e supponiamo che valgano le corrispondenti equazioni di Hamilton (1.10). Poniamo ηh =∂H∂ph

(q, p, t) e ricaviamo l’inversa ph = πh(q, η, t). Definiamo quindi la lagrangiana

L(q, η, t) =∑k

πk(q, η, t)ηk −H(q, π(q, η, t), t) (1.12)

Come prima calcoliamo le derivate parziali di L

∂L

∂qh=∑k

∂πk∂qh

ηk −∂H

∂qh−∑k

∂H

∂πk

∂πk∂qh

= −∂H∂qh

(1.13)

∂L

∂ηh=∑k

∂πk∂ηh

ηk + πh −∑k

∂H

∂pk

∂πk∂ph

= πh (1.14)

Derivando (1.14) rispetto al tempo si ha

d

dt

∂L

∂ηh=

d

dtπh = ph = −∂H

∂qh=∂L

∂qh(1.15)

Inoltre

5

ηh =∂H

∂ph= qh (1.16)

Le (1.16), (1.15) sono le equazioni di Lagrange per L. Abbiamo cosı provato la seguenteproposizione.

Proposizione 1.2. Sia H(q, p, t) una hamiltoniana regolare e t 7→ (q(t), p(t)) la soluzione delle

corrispondenti equazioni di Hamilton con dato iniziale (q0, p0); sia L(q, η, t) definita da (1.12).

Allora q(t) e soluzione delle equazioni di Lagrange associate alla lagrangiana L(q, η, t) con datiiniziali q(0) = q0 e q(0) = ∂H

∂p(q0, p0, 0).

Si osservi che applicando due volte la trasformata di Legendre si riottiene la funzione dipartenza. Infatti se si valuta l’uguaglianza L = π(q, η)η − H(q, π(q, η)) in η = ∂H

∂p(q, p) si

ottiene

L(q,∂H

∂p(q, p)) = p

∂H

∂p−H(q, p) (1.17)

Basta ora osservare che H(q, p) = α(q, p)p− L(q, α(q, p), ∂H∂p

= α(q, p) e sostituire in (1.17).

Osservazione 1.1. Si ricordi che l’energia generalizzata per un sistema lagrangiano e

ε(q, η, t) =∑i

∂H

ηiηi − L

e quindi si riconosce cheH(q, p, t) = ε(q, α(q, p), t)

L’hamiltoniana coincide con l’energia generalizzata del sistema e quindi e un integrale primonel caso autonomo. Si noti che, a differenza della lagrangiana, la hamiltoniana ha un precisosignificato fisico.

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2. Principio variazionale

Vogliamo derivare le equazioni di Hamilton da un principio variazionale. Cominciamo con defi-nire un opportuno funzionale d’azione definito su traiettorie nello spazio delle fasi. Denotiamocon z = (q, p) un punto dello spazio delle fasi e w = (p, q). Definiamo un insieme di traiettorienello spazio delle fasi con estremi fissati z(1), z(2)

M = {γ|γ : [0, T ]→ Γ, γ ∈ C1, γ(0) = z(1), γ(T ) = z(2)} (2.1)

e la lagrangiana

L(z, w, t) =n∑k=1

zkwn+k −H(z, t) =n∑k=1

pkqk −H(p, q, t) (2.2)

Definiamo poi il funzionale d’azione

S(γ) =

∫ T

0

dtL(γ(t), γ(t), t) =

∫ T

0

dt (p(t)q(t)−H(p(t), q(t), t) (2.3)

Si noti che in (2.2) non c’e relazione tra p e q e dunque L non e la trasformata di Legendre diH. Cerchiamo ora i punti critici di (2.3) su M. Si deve dunque risolvere il problema ai limiti{

ddt

∂L∂wk

(γ(t), γ(t), t) = ∂L∂zk

γ(0) = z(1) γ(T ) = z(2) (2.4)

Osserviamo che le equazioni (2.4) si scrivono

d

dt

∂L

∂pk=∂L

∂pkper k = 1 . . . n (2.5)

d

dt

∂L

∂qk=∂L

∂qkper k = n+ 1 . . . 2n (2.6)

Dalla definizione di L si ricava

∂L

∂pk= 0;

∂L

∂pk= qk −

∂H

∂pk;

∂L

∂qk= pk;

∂L

∂qk= −∂H

∂qk(2.7)

Sostituendo in (2.5) e (2.6) si ottengono le equazioni di Hamilton.

Osservazione 2.1. Siccome si tratta di equazioni del primo ordine,una volta assegnato z(1),risulta univocamente determinato z(2) = (p(T ), q(T )) per il teorema di esistenza ed unicita.Quindi il punto critico di S(γ) non esiste in generale per una scelta arbitraria di z(2), ma soloquando z(2) = γ(T ; z(1)).

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3. Equazioni di Hamilton per un sistema meccanico

Vogliamo ora ricavare l’Hamiltoniana per un sistema meccanico con vincoli indipendenti daltempo a partire dalla espressione della corrispondente lagrangiana. Ricordiamo che L ha laforma

L(q, η) =1

2

∑hk

ahk(q)ηhηk − V (q) ≡ 1

2< η,A(q)η > −V (q) (3.1)

dove A(q) = (ahk(q)) e una matrice simmetrica, definita positiva e <,> indica il prodottoscalare. Quindi

pi =∂L

∂ηi(q, η) =

∑k

aik(q)ηk

o equivalentemente in notazione vettoriale

p = A(q)η

Dunque

η = A−1(q)p

Possiamo ora definire l’hamiltoniana del sistema

H(p, q) =< p,A−1(q)p > −1

2< A−1(q)p,A(q)A−1(q)p > +V (q)

=1

2< p,A−1(q)p > +V (q) (3.2)

Esercizio. Si scriva l’hamiltoniana in coordinate sferiche e cilindriche per un punto materialesoggetto ad una forza di energia potenziale V .

Nel caso di un sistema meccanico soggetto a vincoli dipendenti dal tempo la lagrangiana ha laforma

L(q, η, t) =1

2

∑hk

ahk(q, t)ηhηk +∑k

bk(q, t)ηk + c(q, t)− V (q, t)

≡ 1

2< η,Aη > + < b, η > +c− V (q, t) (3.3)

quindi

pi =∂L

∂ηi=∑k

aik(q, t)ηk + bi(q, t) (3.4)

che in notazione vettoriale si scrive

8

p = Aη + b (3.5)

Possiamo allora ricavareη = A−1(p− b) (3.6)

In definitiva l’hamiltoniana del sistema si scrive

H(p, q, t) =< p,A−1(p− b) > −1

2< A−1(p− b), A(q, t)A−1(p− b) >

− < b(q, t), A−1(p− b) > −c(q, t) + V (q, t)

=1

2< p,A−1p > − < p,A−1b > +

1

2< b,A−1b > −c+ V (3.7)

Ricordiamo che anche la lagrangiana per una carica in un campo elettromagnetico si scrivenella forma (3.3)

Lem(q, η, t) =1

2mη2 +

q

cη · Am − qφe (3.8)

dove Am(q, t) e φe(q, t) sono rispettivamente il potenziale vettore e il potenziale scalare delcampo elettromagnetico. Calcoliamo l’hamiltoniana associata a Lem

p = mη +q

cAm (3.9)

da cui

η =1

m

(p− q

cAm

)(3.10)

quindi

Hem(p, q, t) =p

m(p− q

cAm)− 1

2m

1

m2(p− q

cAm)2 − q

cAm

1

m(p− q

cAm) + qφe

=1

2m(p− q

cAm)2 + qφe (3.11)

Naturalmente la (3.11) si poteva ricavare direttamente da (3.7) sostituendo A, b, c, V con m1 ,qcAm , 0 , qφe.

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4. Integrali primi e parentesi di Poisson

La nozione di integrale primo nel formalismo hamiltoniano e del tutto analoga al caso lagran-giano.

Definizione 4.1. La funzione G(q, p, t) si dice integrale primo per il sistema di equazioni diHamilton

qi =∂H

∂pi, pi = −∂H

∂qi(4.1)

se risultad

dtG(q(t), p(t), t) = 0 (4.2)

per ogni soluzione t→ (q(t), p(t)) del sistema (4.1).

Ovviamente si ha cheG(q, p, t) e un integrale primo di (4.1) se e solo seG(q, p, t) ≡ G(q, p(q, η), t)e un integrale del corrispondente sistema lagrangiano, dove p = p(q, η) si ottiene invertendo larelazione η = ∂H

∂p(q, p).

La condizione (4.2), che determina un integrale primo per un sistema hamiltoniano, si puoscrivere in una forma piu conveniente utilizzando le parentesi di Poisson.

Definizione 4.2. Date due funzioni F (q, p, t),G(q, p, t) di classe C1, si dice parentesi di Poissondi F e G La funzione

{F,G} =∑k

(∂F

∂qk

∂G

∂pk− ∂F

∂pk

∂G

∂qk

)(4.3)

Si ha allora la seguente proposizione.

Proposizione 4.1. La funzione G(q, p, t) e un integrale pimo per il sistema descritto dall’ha-miltoniana H se e solo se

{G,H}+∂G

∂t= 0 (4.4)

In particolare se G non dipende eplicitamente dal tempo allora e un integrale primo se e solose

{G,H} = 0 (4.5)

Dimostrazione. L’enunciato segue dalla seguente catena di uguaglianze

d

dtG(p(t), q(t), t) =

∑k

(∂G

∂pkpk +

∂G

∂qkqk

)+∂G

∂t=∑k

(∂G

∂qk

∂H

∂pk− ∂G

∂pk

∂H

∂qk

)+∂G

∂t

= {G,H}+∂G

∂t(4.6)

�

Valgono alcune proprieta fondamentali per le parentesi di Poisson, che sono un’immediataconseguenza della definizione (verificare per esercizio).

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(1) Linearita rispetto ad entrambi i suoi argomenti

{F1 + F2, G} = {F1, G}+ {F2, G} {F,G1 +G2} = {F,G1}+ {F,G2} (4.7)

(2) Antisimmetria{F,G} = −{G,F} (4.8)

(3) Identita di Jacobi

{F, {G,L}}+ {L, {F,G}}+ {G, {L, F}} = 0 (4.9)

(4) Parentesi fondamentali per le funzioni coordinate

{qi, pj} = δij {qi, qj} = {pi, pj} = 0 (4.10)

Possiamo allora enunciare la seguente proposizione.

Proposizione 4.2. Nel caso di un sistema autonomo con hamiltoniana H = H(q, p) valgonole seguenti affermazioni1) H e un integrale primo.2) Se F,G sono integrali primi allora anche {F,G} lo e.3) Se F e integrale primo quando l’hamiltoniana e H allora, H e integrale primo quandol’hamiltoniana e F.4) Le equazioni di Hamilton possono scriversi equivalentemente:

qi = {qi, H} , pi = {pi, H} (4.11)

Dimostrazione. La prima e la terza affermazione sono ovvie.Se F,G sono integrali primi allora {F,H} = 0 = {G,H}; riscrivendo l’identita di Jacobi conH al posto di L si ottiene {F, {G,H}} + {H, {F,G}} + {G, {H,F}} = 0 da cui si ricava{H, {F,G}} = 0 e quindi l’affermazione 2) e’ provata.

Per l’affermazione 4) basta osservare che {qi, H} =∑

k

(∂qi∂qk

∂H∂pk− ∂qi

∂pk

∂H∂qk

)= ∂H

∂pie analogamente

{pi, H} = −∂H∂qi

. �

Osservazione 4.1. Le parentesi di Poisson giocano un ruolo importante nel formalismo ha-miltoniano, in particolare nello studio delle trasformazioni canoniche, delle simmetrie e piu ingenerale della struttura algebrica della meccanica classica.

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5. Trasformazioni canoniche

Nel caso di un sistema lagrangiano un cambio di coordinate nello spazio delle configurazionidel tipo

Q = Q(q) (5.1)

con inversa

q = q(Q) (5.2)

induce una trasformazione per le velocita

Q =∂Q

∂qq (5.3)

da cui

q =∂q

∂QQ (5.4)

Sappiamo inoltre che se t 7→ q(t) e soluzione delle equazioni di Lagrange associate a L(q, q)allora t 7→ Q(q(t)) e soluzione delle equazioni associate alla lagrangiana

L′(Q, Q) = L

(q(Q),

∂q

∂Q(Q)Q

)(5.5)

Per vedere cosa accade alle equazioni di Hamilton dobbiamo determinare la trasformazione deimomenti. Per definizione

p =∂L

∂q(5.6)

e quindi

P =∂L′

∂Q=∂L

∂q

∂q

∂Q=

∂q

∂Qp (5.7)

Resta allora definita la trasformazione nello spazio delle fasi

Q = Q(q), P =∂q

∂Qp (5.8)

Sia t 7→ (q(t), p(t)) soluzione delle equazioni di Hamilton

q =∂H

∂p, p = −∂H

∂q, H = H(q, p) (5.9)

Verifichiamo che

t 7→ (Q(t), P (t)) ≡ (Q(q(t)), P (q(t), p(t))) (5.10)

soddisfa le equazioni associate alla hamiltoniana

H ′(Q,P ) = H(q(Q),∂Q

∂qP ) (5.11)

12

o equivalentemente

H(q, p) = H ′(Q(q),∂q

∂Qp) (5.12)

Infatti risulta

Q =∂Q

∂qq =

∂Q

∂q

∂H

∂p=∂Q

∂q

∂H ′

∂P

∂q

∂Q=∂H ′

∂P

P =∂P

∂qq +

∂P

∂pp =

∂P

∂q

∂H

∂p− ∂P

∂p

∂H

∂q=∂P

∂q

∂H ′

∂P

∂q

∂Q

− ∂q∂Q

(∂H ′

∂Q

∂Q

∂q+∂H ′

∂P

∂P

∂q

)=∂H ′

∂P

(∂P

∂q

∂q

∂Q− ∂q

∂Q

∂P

∂q

)− ∂q

∂Q

∂Q

∂q

∂H ′

∂Q= −∂H

′

∂Q

La trasformazione nello spazio delle fasi definita da (5.8) ha quindi la proprieta di trasformareun sistema hamiltoniano in un nuovo sistema ancora hamiltoniano. Le trasformazioni che hannotale proprieta si dicono canoniche.

Definizione 5.1. Una trasformazione nello spazio delle fasi{Q = Q(q, p, t)P = P (q, p, t)

con inversa

{q = q(Q,P, t)p = p(Q,P, t)

si dice canonica se per ogni hamiltoniana H e per ogni soluzione t 7→ (q(t), p(t)) delle cor-rispondenti equazioni di Hamilton esiste una hamiltoniana K = K(Q,P, t) tale che t 7→(Q(q(t), p(t), t), P (q(t), p(t), t)) e soluzione delle equazioni di Hamilton associate all’hamilto-niana K.La trasformazione si dice completamente canonica se, per ogni H si ha che K(Q,P, t) =H(q(Q,P, t), p(Q,P, t), t).

Oltre all’esempio visto prima esistono altre trasformazioni canoniche che non provengono datrasformazioni di pure coordinate del corrispondente sistema lagrangiano.

Esempio 5.1. Consideriamo la seguente trasformazione

Q = −p , P = q

Le equazioni per le nuove variabili P e Q risultano

P = q =∂H

∂p=∂H ′

∂P

∂P

∂p+∂H ′

∂Q

∂Q

∂p=∂H ′

∂Q

Q = −p =∂H

∂q=∂H ′

∂Q

∂Q

∂q+∂H ′

∂P

∂P

∂q=∂H ′

∂P

La trasformazione e dunque completamente canonica perche’ risulta K = H ′.

Esempio 5.2. Q = p, P = q e canonica con hamiltoniana K = −H ′.

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Esempio 5.3. La trasformazione

P =p2 + q2

2, Q = tan−1 q

p(5.13)

e completamente canonica (verificare). Tale trasformazione puo’ essere utilizzarla per risolverele equazioni del moto di un oscillatore armonico. L’hamiltoniana del sistema in questo caso

si scrive H = p2+q2

2. Nelle nuove coordinate risulta ovviamente H ′ = P e quindi e’ banale

risolvere le corrispondenti equazioni di Hamilton

Q = 1, P = 0 =⇒ Q(t) = t+Q0, P (t) = P0 (5.14)

Per scrivere la soluzione nelle vecchie coordinate basta considerare la trasformazione inversa

q =√

2P sinQ, p =√

2P cosQ (5.15)

e usare la (5.14).

Esempio 5.4. La trasformazione

P = pq2, Q = qp2

non e canonica. Infatti si consideri H = p2

2cosicche q = p e p = 0. Allora si ha

P = 2pqq = 2p2q = 2Q

Q = qp2 = p3 =Q2

P

ed e’ immediato verificare che non esiste alcuna funzione K(Q,P ) tale che

2Q = −∂K∂Q

eQ2

P=∂K

∂P

Enunciamo qui di seguito una proposizione che caratterizza le trasformazione nello spazio dellefasi completamente canoniche facendo uso delle parentesi di Poisson.

Proposizione 5.1. Una trasformazione Q = Q(q, p) , P = P (q, p) e completamente canonicase e solo se

{Qi, Pj} = δij

{Qi, Qj} = {Pi, Pj} = 0 (5.16)

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Dimostrazione. Consideriamo il caso di un grado di liberta’. Definiamo

H ′(Q,P ) = H(q(Q,P ), p(Q,P ))

e quindiH(q, p) = H ′(Q(q, p), P (q, p))

Si ha allora

Q =∂Q

∂qq +

∂Q

∂pp =

∂Q

∂q

∂H

∂p− ∂Q

∂p

∂H

∂q=

=∂Q

∂q

(∂H ′

∂Q

∂Q

∂p+∂H ′

∂P

∂P

∂p

)− ∂Q

∂p

(∂H ′

∂Q

∂Q

∂q+∂H ′

∂P

∂P

∂q

)=

=∂H ′

∂Q

(∂Q

∂q

∂Q

∂p− ∂Q

∂p

∂Q

∂q

)+∂H ′

∂P

(∂Q

∂q

∂P

∂p− ∂Q

∂p

∂P

∂q

)=∂H ′

∂Q{Q,Q}+

∂H ′

∂P{Q,P}

Analogamente si trova

P = −∂H′

∂Q{Q,P}+

∂H ′

∂P{P, P}

cosicche’ la proposizione e’ provata per un grado di liberta’. L’estensione al caso di n gradi diliberta’ e’ immediata (verificare). �

Vogliamo ora delle condizioni sufficienti a stabilire se una trasformazione e canonica. A questoscopo e’ necessario prima definire lo spazio delle fasi esteso

Γ = Γ×RIndichiamo un punto di questo spazio con z = (p, q, t), dove (p, q) ∈ Γ e t ∈ R. Una curva inquesto spazio e una applicazione λ 7→ z(λ) = (p(λ), q(λ), t(λ)) , t ∈ [t1, t2]. Derivando rispettoa λ si ha

z = FH(z) = (p, q, t) =

(−∂H∂q

,∂H

∂p, 1

)Siccome t(λ) = λ+c, e chiaro che si tratta di un sistema di equazioni equivalente alle equazionidi Hamilton.Definiamo la seguente forma differenziale nello spazio esteso Γ

π = pdq −Hdt (5.17)

Vogliamo provare che una trasformazione e canonica se la forma π risulta invariante a menodel differenziale di una funzione.

Proposizione 5.2. Sia ψ : (p, q, t) 7→ (P,Q, t) una trasformazione regolare e invertibile.Supponiamo che, per ogni H(p, q, t) sufficientemente regolare, esistano K(P,Q, t) e G(p, q, t),sufficientemente regolari, tali che

pdq −Hdt = PdQ−Kdt+ dG (5.18)

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Allora ψ e canonica e K e l’hamiltoniana nel nuovo sistema di coordinate (P,Q).

Dimostrazione. Occorre provare che, comunque si scelga un’hamiltoniana H e una soluzionedelle equazioni ad essa associate γ0(t) = (p(t), q(t)), allora γ′0(t) = ψ(γ0(t)) e soluzione delleequazioni associate a K. Facendo uso del principio variazionale possiamo dire che γ0 e un puntocritico del funzionale

S(γ) =

∫ T

0

dt(p(t) ˙q(t)−H(p(t), q(t), t)

)=

∫γ

π

Facendo uso dell’ipotesi (5.18) si ha

S(γ) =

∫ T

0

dt(P (t)Q(t)−K(P (t), Q(t), t)

)+G(z(2), T )−G(z(1), 0)

≡ S ′(γ′) +G(z(2), T )−G(z(1), 0) (5.19)

Dove il funzionale S ′ e definito su γ′ = ψ(γ) appartenenti aM = {γ′|γ′ : [0, T ] 7→ Γ′, γ′(0) = z′1 = (P0, Q0), γ′(T ) = z′2 = (P (T ), Q(T ))}. Da (5.19)discende che, se γ0 e un punto critico di S, allora γ′0 e punto critico di S ′, quindi soluzione delleequazioni di Hamilton con hamiltoniana K. �

Osservazione 5.1. Facendo uso delle (5.18) in un sistema di coordinate misto (per esempio(q, P )) si puo determinare facilmente G. Infatti

pdq −Hdt = PdQ−Kdt+ dG±QdP = −QdP −Kdt+ d(G+QP )

Se definiamoF (q, P, t) = G(q, p(q, P, t), t) +Q(q, p(q, P, t), t)P

otteniamo l’uguaglianza

pdq −Hdt = −QdP −Kdt+∂F

∂qdq +

∂F

∂PdP +

∂F

∂tdt

dalla quale si ricava

p =∂F

∂q, Q =

∂F

∂P, K = H +

∂F

∂t(5.20)

Le (5.20) consentono di determinare F, data la trasformazione

ψ : (p, q) 7→ (P,Q) con∂P

∂∂p6= 0

In realta l’aspetto interessante e che il discorso puo essere rovesciato; assegnata F , si possonousare le (5.20) per determinare la trasformazione ψ.

16

6. Funzioni generatrici di trasformazioni canoniche

Sia F (x, y, t) una funzione di classe C2 e tale che∣∣∣ ∂2F∂xi∂yj

∣∣∣ 6= 0. Poniamo x = q, y = P e

definiamo

pi =∂F

∂qi(q, P, t), Qi =

∂F

∂Pi(q, P, t) (6.1)

Vogliamo provare che (6.1) definisce una trasformazione canonica.

Per la condizione∣∣∣ ∂2F∂qi∂Pj

∣∣∣ 6= 0, dalla prima di (6.1) ricaviamo Pi = Pi(q, p, t) e sostituendo

quest’ultima nella seconda di (6.1) si trova Qi = Qi(q, p, t). Analogamente si vede che epossibile esplicitare p = p(Q,P, t), q = q(Q,P, t).Quindi le (6.1) definiscono una trasformazione di coordinate nello spazio delle fasi. Verifichiamo

che la trasformazione e canonica. Sia H(q, p, t) una hamiltoniana e definiamo H(P, q, t) =H(p(q, P, t), q, t), dove p(q, P, t) e’ definita dalla prima delle (6.1). Allora

pdq − Hdt =∂F

∂qdq − Hdt± ∂F

∂PdP ± ∂F

∂tdt =

=

(∂F

∂qdq +

∂F

∂PdP +

∂F

∂tdt

)− ∂F

∂PdP −

(∂F

∂tdt+ Hdt

)=

= dF −QdP −(H +

∂F

∂t

)dt± PdQ = PdQ−

(H +

∂F

∂t

)dt+ d(F − PQ)

Dunque, per la proposizione gia provata, la trasformazione e canonica e la nuova hamiltonianae

K = H +∂F

∂t(6.2)

La costruzione della trasformazione canonica a partire dalle posizioni (6.1) si dice procedimentodi seconda specie.

A partire da una assegnata funzione F (x, y, t), con∣∣∣ ∂2F∂xi∂yj

∣∣∣ 6= 0, si possono generare anche altre

trasformazioni canoniche.Per esempio, poniamo x = q, y = Q e definiamo

pi =∂F

∂qi(q,Q, t), Pi = − ∂F

∂Qi

(q,Q, t) (6.3)

Procedendo come prima si trova che a partire da (6.3) si costruisce una trasformazione canonica,con la nuova hamiltoniana K = H + ∂F

∂t(verificare).

In questo caso si parla di procedimento di prima specie.

17

7. Equazioni di Hamilton-Jacobi

La costruzione di trasformazioni canoniche a partire da funzioni generatrici suggerisce unamaniera, particolarmente efficace, di risolvere le equazioni del moto. L’idea e quella di trovareuna funzione F che generi un opportuna trasformazione canonica (p, q) −→ (P,Q) tale chenelle nuove coordinate (P,Q) l’integrazione delle equazioni di Hamilton sia banale. Tenendoconto della (6.2), il problema e ricondotto a trovare una F tale che

H

(∂F

∂q, q, t

)+∂F

∂t= 0 (7.1)

La (7.1) si dice equazione di Hamilton-Jacobi. Si osservi che, data H(p, q, t), la (7.1) eun’equazione differenziale alle derivate parziali del primo ordine per la funzione incognitaF (q, t).

Definizione 7.1. Si dice integrale completo dell’equazione di Hamilton-Jacobi una soluzioneF (q, α, t), dipendente da n parametri reali α = (α1, . . . , αn) in modo tale che∣∣∣∣ ∂2F

∂qi∂αj

∣∣∣∣ 6= 0 (7.2)

Facciamo ora vedere come, noto un integrale completo di (7.1), si costruisce la soluzione delleequazioni di Hamilton associate a H(p, q, t).A partire da F (q, α, t), si pone

p =∂F

∂q(q, α, t), β =

∂F

∂α(q, α, t) (7.3)

e si costruisce la trasformazione canonica generata da F{α = α(p, q, t)β = β(p, q, t)

e l′inversa

{p = p(α, β, t)q = q(α, β, t)

(7.4)

L’hamiltoniana nelle nuove coordinate e ovviamente nulla, tenendo conto che F risolve (7.1).Quindi la soluzione delle equazioni di Hamilton nelle coordinate (α, β) e semplicemente

αi(t) = αi(0) βi(t) = βi(0) (7.5)

La soluzione delle equazioni di Hamilton nelle coordinate (p, q) si ottiene sostituendo (7.5) nelsecondo sistema di (7.4) {

p(t) = p(α(0), β(0), t)q(t) = q(α(0), β(0), t)

(7.6)

In conclusione, con il metodo di Hamilton-Jacobi, si riconduce il problema di integrare le equa-zioni del moto al problema di trovare un integrale completo di (7.1). Si ottengono cosı alcunivantaggi:− in alcuni casi interessanti la soluzione esplicita delle equazioni del moto si puo trovare solo

18

attraverso la soluzione di di (7.1).− l’equazione di Hamilton-Jacobi si presta in modo efficace per calcoli perturbativi.− A partire da (7.1) si ottiene una formulazione dell’analogia tra ottica e meccanica parti-colarmente interessante.

19

8. Flusso di fase, teorema di Liouville, teorema di Poincare

Consideriamo un sistema hamiltoniano con hamiltoniana H = H(q, p) non dipendente esplici-tamente dal tempo. Denotiamo z = (q, p) ∈ R e definiamo il campo vettoriale hamiltoniano

z → FH(z), FHi (z) =

{ ∂H∂pi

i = 1, . . . , n

−∂H∂qi

i = n+ 1, . . . , 2n(8.1)

Le corrispondenti equazioni di Hamilton si scrivono allora

z = FH(z)

oppure per componenti

zi = FHi (z1, . . . , z2n) i = 1, . . . , 2n

Osserviamo che il campo FH ha divergenza nulla

divFH =2n∑i=1

∂F 2ni

∂zi=

n∑i=1

∂

∂qi

∂H

∂pi+

2n∑i=n+1

∂

∂pi

(−∂H∂qi

)= 0

L’evoluzione temporale del sistema z = FH(z) puo essere descritta mediante l’applicazione

gt : (q, p) 7→ (q(t), p(t)) (8.2)

che fornisce la soluzione delle equazioni di Hamilton al tempo t in corrispondenza del datoiniziale (q, p).La famiglia di applicazioni (gt)t∈R si dice flusso di fase hamiltoniano. Esso e un gruppocommutativo a un parametro di trasformazioni nello spazio delle fasi in se. Infatti

gt ◦ gs(q, p) = gt (q(s), p(s)) = (q(s+ t), p(s+ t)) = gt+s(q, p)

definisce la legge di composizione che e evidentemente associativa e commutativa; l’identita delgruppo e g0; per ogni gt resta definita l’applicazione inversa (gt)

−1= g−t. Oltre alla struttura

di gruppo un’altra proprieta importante del flusso di fase e che conserva il volume nello spaziodelle fasi.

Teorema 8.1 (di Liouville). Sia A ⊇ R2n un insieme misurabile. Allora ancheAt = gtA = {(q, p) ∈ R2n | ∃(Q,P ) ∈ A : (q, p) = gt(Q,P )}e misurabile e µ(At) = µ(A).La misura µ(At) =

∫Atdqdp e detta misura di Liouville.

La dimostrazione di questo teorema si basa sul seguente lemma.

Lemma 8.1. Se B e una matrice d× d della forma

B = 1+ hC+O(h2)

20

alloradetB = 1 + hTrC+O(h2)

Dimostrazione. Sia P il gruppo delle permutazioni di {1, . . . , d} e sia σ(π) = 0, 1 a seconda chela permutazione π sia pari o dispari; per definizione di determinante si ha allora

detB =∑π∈P

(−1)σ(π)

d∏i=1

Bi,π(i) =∑π∈P

(−1)σ(π)

d∏i=1

(δi,j + hCi,π(i) +O(h2)

)=

= 1 + h∑j

Cjj +O(h2) = 1 + hTrC+O(h2)

�

Dimostrazione del teorema di Liouville. L’insieme At e misurabile per la regolarita del flussohamiltoniano. Inoltre risulta

µ(At) =

∫At

dq1 . . . dqndp1 . . . dpn

Si tratta dunque di provare che

d

dtµ(At) = 0

Consideriamo l’espressione

µ(At+h) =

∫At+h

dqdp =

∫gh(At)

dqdp

Introducendo il cambio di coordinate (Q,P ) = g−h(q, p) si ha

µ(At+h) =

∫At

∣∣∣∣ ∂(q, p)

∂(Q,P )

∣∣∣∣ dQdP (8.3)

Calcoliamo il determinante dello jacobiano della trasformazione di coordinate. Notiamo aquesto proposito che (q, p) e la soluzione al tempo t = h delle equazioni di Hamilton con datoiniziale (Q,P ). Quindi dalle equazioni di Hamilton

qi =∂H

∂pi(q(t), p(t)) pi = −∂H

∂qi(q(t), p(t))

si ottiene

qi ≡ qi(h) = qi(0) +

∫ h

0

ds∂H

∂pi(q(s), p(s))

= qi(0) +∂H

∂pi(q(0), p(0))h+

∫ h

0

ds

∫ s

0

ds′d

ds′∂H

∂pi(q(s′), p(s′))

21

= Qi +∂H

∂pi(Q,P )h+O(h2)

Analogamente

pi ≡ pi(h) = Pi −∂H

∂qi(Q,P )h+O(h2)

quindi

∂(q, p)

∂(Q,P )=

(∂qi∂Qj

∂qi∂Pj

∂pi

∂Qj

∂pi

∂Pj

)=

(δij + ∂2H

∂Qj∂Pih ∂2H

∂Pi∂Pjh

− ∂2H∂Qi∂Qj

h δij − ∂2H∂Qi∂Pj

h

)+O(h2) =

= 1+ hC+O(h2) , C =

(∂2H

∂Qj∂Pi

∂2H∂Pi∂Pj

− ∂2H∂Qi∂Qj

− ∂2H∂Qi∂Pj

)(8.4)

Si osservi che la matrice C ha traccia nulla, infatti

trC =∑j

Cj,j =∑j

(∂2H

∂Qj∂Pj− ∂2H

∂Qj∂Pj

)= divFH = 0

Usando il lemma prima dimostrato si ottiene

det

∣∣∣∣ ∂(q, p)

∂(Q,P )

∣∣∣∣ = 1 +O(h2) (8.5)

Sostituendo (8.5) in (8.3) si ricava

µ(At+h) = µ(At) +O(h2)

e quindi la tesi e provata.2

Si noti che il teorema di Liouville vale se al posto di FH sostituiamo un qualsiasi campovettoriale F con divF = 0.Una importante conseguenza del teorema di Liouville e il seguente teorema di Poincare.

Teorema 8.2 (di Poincare). Sia D ⊂ R2n un insieme compatto tale che gt(D) ⊆ D (si dice inquesto caso che D e lasciato invariante dal flusso). Allora per ogni x ∈ D e per ogni intorno Idi x si ha che esiste x ∈ I ed esiste n ∈ N tale che gn(x) ∈ I.

Dimostrazione. Fissato x e un suo intorno I, consideriamo la successione di insiemi g0(I) ,g1(I) . . . gn(I) . . .. Se tali insiemi fossero disgiunti, per la σ−additivita della misura e per ilteorema di Liouville si otterrebbe

µ

(⋃n

gn(I)

)=∑n

µ(gn(I)) =∑n

µ(I) =∞

22

Ma questo e un assurdo perche⋃n g

n(I) ⊆ D e

µ

(⋃n

gn(I)

)6 µ(D) <∞

Dunque gli insiemi non sono tutti disgiunti e quindi devono esistere l,m ∈ N tali che

gl(I) ∩ gm(I) 6= ∅Supponiamo per fissare le idee che l < m e sia y ∈ gl(I)∩ gm(I). Allora esistono x1, x2 ∈ I taliche y = gl(x1) = gm(x2) e quindi x1 = gm−l(x2).Questo vuol dire che il punto x2 ≡ x ∈ I viene portato dal flusso hamiltoniano (all’istanten ≡ m− l) nel punto x1 ∈ I, cioe la tesi. �

23

9. Equazione di Liouville

Consideriamo un sistema meccanico di cui non si conosce precisamente lo stato iniziale, ma enota solo la probabilita che lo stato iniziale sia in un insieme arbitrario A

ν0(A) =

∫A

ρ0(x)dx, x = (q, p)

dove ρ0(x) e una densita di probabilita, cioe una funzione positiva tale che∫R2n

ρ0(x)dx = 1

Se lasciamo evolvere il sistema, al tempo t la probabilita che lo stato del sistema sia in uninsieme A sara data da

νt(A) =

∫A

ρ(x, t)dx

dove ρ(x, t) e la densita di probabilita al tempo t.Vogliamo trovare una equazione che determini ρ(x, t) una volta assegnata ρ0(x).Osserviamo che un punto dello spazio delle fasi x al tempo t e l’evoluto al tempo t di un datoiniziale x0, cioe x0 = g−tx. Quindi

ρ(x, t) = ρ0(g−tx) (9.1)

Consideriamo una funzione regolare ϕ definita sullo spazio della fasi. La sua media al tempo te definita da

< ϕ > (t) =

∫ϕ(x)ρ(x, t)dx (9.2)

Vale dunque l’uguaglianza∫ϕ(x)ρ(x, t)dx =

∫ϕ(x)ρ0(g−tx)dx =

∫ϕ(gtx0)ρ0(x0)dx0 (9.3)

Derivando rispetto a t si ha∫ϕ(x)

∂ρ(x, t)

∂tdx =

∫∇ϕ(gtx0) · FH(gtx0)ρ0(x0)dx0

=

∫∇ϕ(x) · FH(x)ρ(x, t)dx = −

∫ϕ(x) div

(FH(x)ρ(x, t)

)dx

= −∫ϕ(x)FH(x) · ∇ρ(x, t)dx (9.4)

Siccome l’eguaglianza (9.4) vale per ogni scelta della funzione ϕ allora possiamo concludere

∂ρ(x, t)

∂t= −FH(x) · ∇ρ(x, t) (9.5)

24

Tenendo conto che

FH =

(∂H

∂pi,−∂H

∂qi

)risulta

FH · ∇ρ =∑i

(∂H

∂pi

∂ρ

∂qi− ∂H

∂qi

∂ρ

∂pi

)e quindi da (9.5) si ottiene l’equazione finalmente l’equazione di Liouville

∂ρ

∂t+ {ρ,H} = 0 (9.6)

Nel caso specifico in cui H = p2

2m+ V (q) l’equazione di Liouville si scrive

∂ρ

∂t+p

m· ∇q ρ−∇V · ∇p ρ = 0 (9.7)