L’analogia di HamiltonGiulio Stancari

Istituto Nazionale di Fisica NucleareSezione di Ferrarastancari@fe.infn.it

Insegnare l’ottica. ITIS Vinci, Carpi (MO), 4 aprile 2006

• Legame tra ottica geometrica e meccanica classica

• Basata su principi variazionali

• Meccanica quantistica ondulatoria come estensione della meccanica classica

• Esplorazione dei concetti tramite esempi

Le leggi dell’ottica geometrica

Propagazione rettilineaDall’esperienza, la luce si propaga in linea retta con grande velocità:

• interposizione di oggetti

• guardare attraverso tubi diritti o curvi

• prospettiva

• osservazioni astronomiche

• ...

Riflessione

• Specchi curvano i raggi luminosi

• Angolo di riflessione pari all’angolo di incidenza

Rifrazione

Rifrazione

• Tra mezzi trasparenti (es. acqua e aria) i raggi si piegano

• Proiezioni sulla superficie in rapporto costante

• Legge di Snell nA sinθA = nB sinθB

Indice di rifrazione

• Dipende dalla sostanza

• Dipende dal colore della luce (dispersione)

n =(velocita della luce nel vuoto)(velocita della luce nel mezzo)

=cu

Indice di rifrazionesostanza n

vuoto 1aria STP 1.00029

acqua 20°C 1.33vetro 1.46

diamante 2.42

Dispersione

Sistemi ottici

Limiti dell’ottica geometrica

La validità dell’ottica geometrica cessa quando la curvatura dei raggi diviene confrontabile con la lunghezza d’onda (diffrazione)

Un punto di vista diverso

Fermat riassume l’ottica geometrica inun unico principio (1657)

Nel propagarsi tra due punti, i raggi di luce seguono il tragitto più rapido

✓ Propagazione rettilinea

✓ Riflessione (teorema di Erone)

✓ Rifrazione? → `problema del bagnino’

!

!

B

P X Q

N

x d-x

a

b

s

m

“problema delbagnino”

spiaggia

mare

Tempo impiegato: !

!

B

P X Q

N

x d-x

a

b

s

m

t=BXus

+XNum

=√

a2 + x2

us+

√b2 +(d− x)2

um

Esempio numerico

us = 7 m/sum = 2 m/s

a = 30 mb = 60 md = 67.284 m

Al variare di x:

x (m) 44 48 51.962 52 56 60t (s) 39.79 39.60 39.53 39.53 39.60 39.80

!

!

B

P X Q

N

x d-x

a

b

s

m

Analiticamente, derivando t(x)

t ′ =x

us√

a2 + x2− d− x

um√

b2 +(d− x)2=

sinθs

us− sinθm

um

Abbiamo il minimo tempo per(1us

)sinθs =

(1

um

)sinθm

Legge di Snell!

• Il principio di Fermat comprende le leggi dell’ottica geometrica: propagazione rettilinea, riflessione, rifrazione

• Non prevede le traiettorie

• Utile strumento di calcolo

• Approccio complementare al tracciamento passo passo dei raggi

• Se l’indice di rifrazione varia con continuità, si divide la traiettoria in piccoli segmenti

Estensione al continuo

t =B

∑A

∆t =B

∑A

∆su

∆s→0−→Z B

A

dsu

n = 1.00029

n = 1

Rifrazioneatmosferica

Meccanica eprincipi di minimo

• Meccanica classica o newtoniana: moto determinato da forze che fanno variare l’impulso

• Procedura “differenziale,” simile al tracciamento dei raggi

• Traiettoria seguita punto per punto

F =dpdt

Caduta di un grave

Moto orizzontalerettilineo uniforme

Moto verticaleuniformemente accelerato

!(")

!(#)

p(B)

B

p(A)

A x

y

energia potenzialeU ∝ -mgy

F = mg

Somiglianza non superficiale con la rifrazione

La componente orizzontale dell’impulsosi conserva

Stessa forma della legge di Snell!

pA sinθA = pB sinθB

Per le particelle, “indice di rifrazione” ∝ velocità

Per le onde, n ∝ 1/(velocità)

In termini dell’energia totale E = T + Ue dell’energia potenziale U

p =√

2mT =√

2m(E−U)

√2m(E−UA) sinθA =

√2m(E−UB) sinθB

dispersione

“proprietàdel mezzo” angolo tra orbita e

superfici equipotenziali

• Le orbite si “rifrangono” sulle superfici equipotenziali come i raggi di luce quando cambia l’indice di rifrazione

• Anche la meccanica classica è derivabile da un principio di minimo?

• Sostituiamo l’impulso all’indice di rifrazione

ottica geometrica meccanica classica

tempo impiegato

cammino ottico

principio di Fermat

azione

principio di minima azione

t =B

∑A

∆su

L = ct =B

∑A

n∆s

L’analogia di Hamilton

A =B

∑A

p∆s =B

∑A

2T ∆t

• Principio di minima azione: Nel propagarsi tra due punti, le particelle seguono il tragitto per cui l’azione è minima

• Proposto da Maupertuis (1746) su basi filosofiche/teologiche

• Basato da Eulero e Lagrange sul calcolo delle variazioni

• Generalizzato da Hamilton (1833)

Verifichiamolo perla caduta del grave,variando la traiettoria

xA = yA = 0 mtA = 0 s

m = 0.1 kgvA = 1 m/sθA = 60°

tB = 2 s

!(")

!(#)

p(B)

B

p(A)

A x

y

ε (m) A (J s)-3 30.0-2 28.8-1 28.10 27.81 28.12 28.83 30.0

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

−20

−15

−10

−50

x (m)

y (m

)Come varia l’azione per traiettorie arbitrarie

Ottica ionica

• Moto analogo al caso gravitazionale

• Lente elettrostatica focalizza ioni tramite opportuni potenziali

Lente elettrostatica (tripletto) costruita per l’esperimento TRAP-RAD ai Laboratori Nazionali di Legnaro dell’INFN

Alcune differenze

• Variazioni di n: brusche in ottica, graduali in meccanica

• Dispersione: lunghezza d’onda simili per la luce; particelle con impulsi molto diversi

Verso la meccanica quantistica

L’analogia di Hamilton

• è interessante

• può aiutare nei calcoli

• introduce una questione fondamentale

• Ottica geometrica e meccanica classica sono simili

• L’ottica geometrica è un’approssimazione dell’ottica ondulatoria

• E’ la meccanica classica la forma approssimata di una meccanica “ondulatoria” più generale?

• Studi di de Broglie e Schrödinger negli anni 1920

• Ipotesi di de Broglie (1923): ad ogni particella è associata un’onda. Dall’analogia di Hamilton:

λ =hp

• Conferme sperimentali di Davisson e Germer e G. P. Thomson nel 1927

• Osservata la diffrazione degli elettroni!

D I S C O V E R Y O F E L E C T R O N W A V E S 391

tically scattered electrons and their near neighbors, could be moved on an

arc about the crystal. The crystal itself could be revolved about the axis of

the incident beam. It was possible thus to measure the intensity of elastic

scattering in any direction in front of the crystal face with the exception of

those directions lying within 10 or 15 degrees of the primary beam.

Fig. I. Schematic diagram showing disposition of primary beam, nickel crystal, andcollector. Crystal shown revolved to bring one principal azimuth after another into

plane of observation.

Fig. 2. Polar diagram showing intensity of elastic scattering in A-azimuth (Fig. I)as function of latitude angle, for series of primary-beam voltages.

The curves reproduced in Fig. 2 show the distribution-in-angle of inten-

sity for a particular azimuth of the crystal. The curves are for a series of elec-

tron speeds, therefore, for a series of electron wavelengths. For a particular

wavelength a diffraction beam shines out. Setting the collector on this beam

at its brightest, and revolving the crystal, the intensity was found to vary in

azimuth as illustrated in Fig. 3. The high peak on the left represents the cross-

D I S C O V E R Y O F E L E C T R O N W A V E S 391

tically scattered electrons and their near neighbors, could be moved on an

arc about the crystal. The crystal itself could be revolved about the axis of

the incident beam. It was possible thus to measure the intensity of elastic

scattering in any direction in front of the crystal face with the exception of

those directions lying within 10 or 15 degrees of the primary beam.

Fig. I. Schematic diagram showing disposition of primary beam, nickel crystal, andcollector. Crystal shown revolved to bring one principal azimuth after another into

plane of observation.

Fig. 2. Polar diagram showing intensity of elastic scattering in A-azimuth (Fig. I)as function of latitude angle, for series of primary-beam voltages.

The curves reproduced in Fig. 2 show the distribution-in-angle of inten-

sity for a particular azimuth of the crystal. The curves are for a series of elec-

tron speeds, therefore, for a series of electron wavelengths. For a particular

wavelength a diffraction beam shines out. Setting the collector on this beam

at its brightest, and revolving the crystal, the intensity was found to vary in

azimuth as illustrated in Fig. 3. The high peak on the left represents the cross-

• Schrödinger (1926) applica l’ipotesi di de Broglie all’equazione delle onde

• Meccanica “ondulatoria” per la “funzione d’onda”

• Successo nelle applicazioni atomiche

• Formulazione di Feynman (1942) della meccanica quantistica da principi variazionali

• ...

Analogia di Hamilton

• interessante legame tra ottica e meccanica

• collegamenti col calcolo differenziale e variazionale

• utile strumento didattico a diversi livelli di approfondimento

Grazie per l’attenzione!