A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008

A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008

LA GEOMETRIA SOLIDALA GEOMETRIA SOLIDA

Illustrazione dal “Paradiso Perduto” di Milton

(libro VII)

GEOMETRIA SOLIDAGEOMETRIA SOLIDA• La geometria dello spazioLa geometria dello spazio

• Rette e piani nello spazioRette e piani nello spazio

• Diedri e angoloidiDiedri e angoloidi

• Poliedri Poliedri – Prisma, piramide, tronco di piramide Prisma, piramide, tronco di piramide

• Solidi di rotazioneSolidi di rotazione– Cilindro, cono, tronco di conoCilindro, cono, tronco di cono

• Equivalenza dei solidiEquivalenza dei solidi

P 1- Per tre punti non allineati

passa uno ed un solo piano.

P 2- Se due punti di una retta

appartengono a un piano,

essa giace interamente sul

piano.

P 3- Un qualunque piano divide

l’insieme dei punti dello spazio

in due regioni dette semispazi.

ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO

r(A,B)a

·A

·B

r

semispazi

(A,B,C)=

·C·A

·B

ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO

P 4- Ogni piano divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti

e , detti semispazi aperti tali che per ogni coppia di punti non

appartenenti ad si ha :

-se A e B appartengono allo stesso semispazio allora il segmento

AB non interseca il piano ;

-se C e D appartengono a semispazi opposti allora il segmento CD

interseca il piano .

semispazi

B

A

D

C

RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO

D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani

che passano per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio.

D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che

hanno un punto P in comune, detto centro della stella.

fascio proprio di piani

r

stella di piani

C·

RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO

D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le

rette appartenenti ad uno stesso piano α e passanti per un dato

punto C detto centro del fascio.

D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette

che passano per un punto C detto centro della stella.

C r

s

t

u

fascio di rette

stella di rette

C

us t

r

RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIOLA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO

D - Due rette distinte nello spazio si dicono:

- complanari se esiste un piano che le

contiene. In tal caso possono essere

incidenti o parallele.

- sghembe se non esiste un piano che le

contenga entrambe.

r e s parallele

C

ABr

sD

r e s incidenti

C

sD

A

B

r P

A

B

r C

s

r e s sghembe

LA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO

NELLO SPAZIO

D- Una retta e un piano nello spazio

si dicono :

- incidenti: se hanno un solo punto

in comune.

-paralleli: se non hanno punti in

comune, oppure se li hanno tutti

T- Se una retta è parallela ad una

retta di un piano, essa è parallela al

piano

. P

r

r P

r //

r

r

s//r rs

s

Due piani distinti nello spazio possono

essere :

- incidenti se hanno una retta in comune,

che è l’intersezione tra i due piani

- paralleli se non hanno punti in comune.

LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO

piani incidenti =r

r

piani paralleli

La relazione di parallelismo tra piani (o tra rette) è una relazione di equivalenza. L’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data è detto fascio improprio di rette: esso individua la direzione della retta L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio improprio di piani esso individua la giacitura del piano

T- Le intersezioni di piani paralleli

con un piano incidente sono rette

parallele.

T- Per un punto esterno ad un

piano si può condurre uno ed un

solo piano parallelo al piano dato.

LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO

r

r=s=r//s

s

P .

PP

D- Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando la retta

interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che

passano per il punto di intersezione, detto piede della

perpendicolare.

LE RETTE PERPENDICOLARI AD UN PIANO

T- Se una retta r è perpendicolare a due

rette ,s e t, passanti per un suo punto P,

essa (r) è pure perpendicolare a tutte le

altre rette, u, passanti per il punto P e

giacenti nel piano individuato dalle due

rette s e t.

T- Tutte le rette perpendicolari ad una

retta data in un suo punto giacciono sullo

stesso piano.

r

r

P t

s

u

T- Dati un punto P e un piano , esiste

una sola retta passante per il punto e

perpendicolare al piano.

T- Dati un punto e una retta, esiste un

solo piano passante per il punto e

perpendicolare alla retta

T- Piani perpendicolari alla stessa retta

sono paralleli tra loro.

T- Rette perpendicolari allo stesso piano

sono parallele tra loro.

Teorema delle tre perpendicolari

Se dal piede P di una perpendicolare r ad un piano si conduce la

perpendicolare s ad una retta qualunque t del piano, questa retta t

risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette r,s.

s

P

r

t

rrP s sP st tr,s

Proiezione ortogonale di un punto su un

piano è il piede della perpendicolare

condotta dal punto al piano.

D-La lunghezza del segmento che ha per

estremi il punto e la sua proiezione sul

piano si dice distanza del punto dal piano.

T-Se una retta è parallela ad un piano

allora tutti i suoi punti sono equidistanti

dal piano

D-Si dice distanza di una retta da un piano

ad essa parallelo la distanza di un punto

qualsiasi della retta dal piano.

LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO

P

H

b

A1

B1

· ·s

a BA· ·r

Dist(s,a) – dist(a,b)

rP

H

D-Si dice proiezione ortogonale di una figura F su un piano la figura F’ costituita dalle proiezioni dei punti di F sul piano.La proiezione di una retta r su un piano a non perpendicolare ad essa è una retta r’. D-Si dice retta obliqua ad un piano una retta secante il piano e ad esso non perpendicolare. T-Se da un punto esterno ad un piano si conducono il segmento perpendicolare e alcuni segmenti obliqui, si ha:• il segmento perpendicolare è minore di qualunque segmento obliquo;• due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono congruenti e viceversa;• due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono disuguali nello stesso verso.

r’

r

P

Q

H

PH<PQ

T-Date due rette sghembe esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe.

D-Si dice distanza di due rette sghembe il segmento compreso tra le due rette e giacente sulla loro perpendicolare.

D-Si chiama angolo di una retta con un piano l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.

r’

r

t

s

r

( r, s) e (s,t) complanari

(r,t) sghembe

dist(r,t) =dist(P,Q)

P

Q

DIEDRIDIEDRI D-Si dice diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine ( semipiani compresi ).

I due semipiani si chiamano facce del diedro e la loro origine comune si dice spigolo del diedro.

Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non è convesso. D-Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene intersecando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. Sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.Diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa.

r

Sezione normale di un diedro

r

angolo diedro

DIEDRIDIEDRISi dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale.

Si dice diedro retto un diedro la cui ampiezza è un angolo retto

Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti.

Analogamente agli angoli piani, si hanno diedri acuti, diedri adiacenti, diedri opposti allo spigolo.....)

Diedri retti

Piani perpendicolari

Teorema di Talete nello Teorema di Talete nello spaziospazio

Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali

segmenti corrispondenti direttamente proporzionali.

s

r

t

r s

Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro.

Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al teorema di Talete nel piano.

ANGOLOIDANGOLOIDEE

D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto V non appartenente al piano del poligono, si chiama superficie piramidale indefinita la figura formata dagli angoli AVB , BVC, CVD… Il punto V si chiama vertice della superficie piramidale.Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli .Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano facce. D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata da tutte le semirette che hanno origine in V e che passano per un punto di un poligono convesso

T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di tutte le altre.

T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro.

Superficie piramidale

D

E

A B

C

V

ANGOLOIDEANGOLOIDE

Le sezioni di un angoloide con dei

piani paralleli sono poligoni simili

I perimetri dei poligoni sono

proporzionali alle distanze del vertice

dai piani delle sezioni

Le aree dei poligoni sono proporzionali

ai quadrati delle distanze del vertice dai

piani sezioni

Sezione angoloide

D

E

A B

C

E’D’

C’

B’A’

TRIEDRITRIEDRID-Si dice triedro un angoloide con tre

facce.

T- La somma delle facce di un triedro è minore di un angolo giro : AVB +BVC +CVA < 2

Criteri di congruenza dei triedri 1. Due triedri che hanno due facce e il

diedro compreso congruenti sono congruenti

2. Due triedri che hanno due diedri e la faccia compresa congruenti sono congruenti

3. Due triedri che hanno le tre facce congruenti sono congruenti

4. Due triedri che hanno i tre diedri congruenti sono congruenti.

triedro

A B

C

V

La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla. Poliedri, cilindri, coni e loro parti hanno le superfici sviluppabili La misura delle loro superfici è riconducibile ad un problema di misura di superfici piane.

L’area della superficie di un poliedro è uguale alla somma delle aree di tutte le facce

La sfera e le sue parti non sono sviluppabili. La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della misura della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito.

MISURA DI MISURA DI SUPERFICISUPERFICI

Sviluppo sup_lat cono

POLIEDRIPOLIEDRIPIRAMIDED-Si chiama piramide l’intersezione tra un angoloide di vertice V ed un semispazio contenente V e tale che il suo piano origine intersechi tutti gli spigoli laterali.

Il vertice dell’angoloide si dice vertice della piramide

La sezione dell’angoloide con il piano origine del semispazio si chiama base della piramide

I triangoli che delimitano la piramide si dicono facce della piramide ed i loro lati spigoli

Secondo il numero delle facce la piramide si dice triangolare, quadrangolare, ecc... L’altezza di una piramide è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice al piano di base.

V

D A

BH

C

Piramide quadrangolare

PIRAMIDEPIRAMIDEUna piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza della piramide T-In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza dei lati del poligono di base con la circonferenza inscritta sono congruenti

In una piramide retta l’altezza della faccia laterale si chiama apotema

Una piramide retta si dice regolare se ha per base un poligono regolare. Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli

Piramide retta quadrandolare

PIRAMIDEPIRAMIDE

Misura della superficie

AB = Area di base

AL,= Area laterale

AT = Area totale

pB = perimetro di base

a = apotema

O

h2 + r2= a2

r

ha

Piramide retta

AALL==½½··ppBB··a se piramide a se piramide rettaretta

AAT=T=AALL+A+ABB

TRONCO PIRAMIDETRONCO PIRAMIDE

TRONCO DI PIIRAMIDE

Sezionando una piramide con un piano parallelo alla base, nel semispazio non contenete il vertice si ottiene un tronco di piramide .

La distanza dei due piani paralleli delle basi è l’altezza del tronco.

Le due basi sono poligoni simili

Un tronco di piramide si dice retto o regolare se la piramide da cui è stato ottenuto è retta o regolare.

Tronco piramide

A

BC

C’ B’

A’

Tronco piramide retto A

C BO °

C’ B’

A’O

’


AD

BC

V

O

Tronco piramide retto quadrangolare

O1·

·

A’

C’ B’

D’ H’

K’

K

H

In un tronco di piramide retto :

-i segmenti, che uniscono i punti di tangenza delle circonferenze inscritte nelle due basi ai lati omologhi dei poligoni di base, sono congruenti;

-le facce laterali sono trapezi aventi la stessa altezza.

Si chiama apotema del tronco di piramide retto l’altezza della faccia laterale



AL = area laterale AT =area totale AB =area basepB =perimetro base h =altezzaa= apotema

AALL==½½··(p(pB1B1+ p+ pB2B2))··a se a se rettoretto

AAT=T=AALL+A+AB1B1+A+AB2B2

h a

POLIEDRIPOLIEDRI

.

Se il poligono che genera il prisma ha n lati (n vertici) il prisma risulta delimitato da n diedri.

Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono poligoni congruenti

PRISMA

D-Si chiama prisma indefinito il solido costituito da tutte le rette parallele tra loro passanti per i punti di un poligono convesso e non appartenenti al piano di questo.

Le rette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma.

L’insieme di tutte le rette parallele che passano per un lato del poligono formano una striscia di piano che si dice faccia del prisma indefinito Prisma indefinito

PRISMAPRISMA

D-Si dice prisma finito o prisma la parte di prisma indefinito compreso tra due piani paralleli distinti (piani delle basi).

Le sezioni poligonali appartenenti ai piani delle basi sono le basi del prisma.

L’altezza del prisma è la distanza tra i due piani di base

Le facce laterali di un prisma sono parallelogrammi.

Gli spigoli laterali di un prisma sono congruenti.

Un prisma si dice retto se gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli

Un prisma si dice regolare se è retto ed ha per basi poligoni regolari. Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli tutti congruenti tra loro.

E’

D’C’

B’A’

Prisma retto

D

E A

BC

PRISMAPRISMA

AB =area baseAL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base h =altezza

AALL= p= pBB··hh

AATT=A=ALL+ 2+ 2··AABB

h


POLIEDRIPOLIEDRIPARALLELEPIPEDO

D-Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi

Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti.

Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in uno stesso punto, centro di simmetria del parallelepipedo

PARALLELEPIPEDO - CUBOPARALLELEPIPEDO - CUBO

Un parallelepipedo si dice rettangolo se è retto ed ha per base un rettangolo

Le facce di un parallelepipedo rettangolo sono rettangoli

Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un vertice del parallelepipedo rettangolo si chiamano dimensioni del parallelepipedo (a,b,c )

Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti.

D-Si chiama cubo o esaedro regolare un parallelepipedo rettangolo con gli spigoli congruenti (a = b = c = l )

a

cd

b

l

d

PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - CUBOCUBO

AB =area base AL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base

AAB B = a= a··bb

AALL= 2= 2··(a(a··c+bc+b··c)c)

AATT= = 22··(a(a··b+ab+a··c+bc+b··c)c)

dd2 2 = a= a22+b+b22+c+c22

AABB = l = l22

AALL= 4= 4··ll22

AATT= 6= 6··ll22

dd22 = 3 = 3··ll2 2

a

cd

b

a, b, c =dimensioni parallelepipedo rettangolo d =diagonalel =spigolo del cubo

l

d


POLIEDRI POLIEDRI

D-Si chiama poliedro convesso un solido delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo i lati (spigoli) e tali che il piano di ciascuno di essi non attraversi il solido.

I vertici di ciascun poligono sono anche vertici del poliedro.

Ogni vertice del poligono è vertice di un angoloide che contiene il poliedro.

Teorema di Eulero

Indicati con f, v, s rispettivamente il numero di facce, di vertici e di spigoli di un poliedro, risulta

f + v =s + 2

POLIEDRI REGOLARIPOLIEDRI REGOLARIUn poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti gli angoloidi sono congruenti..

Esistono soltanto cinque poliedri regolari. Essi sono detti solidi platonici.

Tutti i poliedri regolari si possono inscrivere e circoscrivere ad una sfera.

1. tetraedro regolare :piramide triangolare regolare con le facce uguali alla base;

2. esaedro regolare (cubo);3. ottaedro regolare:unione di due piramidi

quadrangolari regolari situate da parti opposte rispetto alla comune base e le cui facce sono triangoli equilateri;

4. dodecaedro regolare che ha per facce 12 pentagoni regolari

5. icosaedro regolare che ha per facce venti triangoli equilateri

SOLIDI DISOLIDI DI ROTAZIONEROTAZIONED-Dato un semipiano limitato dalla retta a, sia g una linea appartenente al semipiano ; ruotando il semipiano di un angolo giro attorno alla retta a, la linea g genera una superficie di rotazione: -se la generatrice g è una retta parallela all’asse di rotazione , si chiama superficie cilindrica indefinita;

-se la generatrice g è una semiretta avente l’origine sull’asse di rotazione, si chiama superficie conica indefinita.L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalla generatrice e dall’asse di rotazione è detta semiapertura del cono.

La retta a si chiama asse di rotazione e la linea g si chiama generatrice della superficie di rotazione.

a

g

a

g

a

g

a

g

Se la generatrice g è una retta incidente l’asse di rotazione a in un punto V e non perpendicolare ad esso si ottiene una superficie conica a due falde.

Le sezioni di una superficie conica a due falde con un piano che non passi per il suo vertice V sono curve piane dette sezioni coniche o coniche

( parabola, ellisse, iperbole).

SOLIDI DI ROTAZIONE - ConicheSOLIDI DI ROTAZIONE - Coniche

SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONED-La parte di spazio costituita dalla superficie di rotazione e da tutti i punti ad essa interni si chiama solido di rotazione. Ogni punto di g descrive una circonferenza.Tale circonferenza si chiamano parallelo della superficie. I paralleli si ottengono come sezione della superficie di rotazione con piani normali al suo asse di rotazione.

Un piano passante per l’asse di rotazione interseca la superficie secondo due generatrici, simmetriche rispetto ad esso, dette meridiani.

a

g

SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE

CILINDRO

Si dice cilindro retto il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa attorno alla retta cui appartiene un lato, detta asse di rotazione.

Il lato (su cui ruota) è l’altezza del cilindro mentre l’altro lato è il raggio di base che , nella sua rotazione , descrive un cerchio

Il cilindro si dice equilatero se l’altezza è congruente al diametro di base (h= 2··r)

B

C D

AB’

C’

h

r

Prisma triangolare inscritto nel cilindro

SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE

cono retto

OA

V

A’

h

a

r

CONO

D-Si dice cono retto (cono) il solido generato da un triangolo rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente un cateto ,ovvero la figura limitata compresa tra una superficie conica indefinita ed un piano perpendicolare al suo asse di rotazione.

Il cateto su cui ruota il triangolo è l’altezza del cono.

il cateto che descrive il cerchio di base è il raggio di base del cono.

I segmenti che uniscono il vertice del cono con un punto qualsiasi della circonferenza di base sono congruentiEssi sono detti apotema del cono.L’apotema del cono è uguale all’ipotenusa del triangolo

Un cono retto si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di base.( a= 2··r)

SOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTISOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Una piramide retta si dice inscritta (circoscritta) a un cono se il suo vertice coincide con il vertice del cono e la sua base è inscritta (circoscritta) al cerchio di base del cono

Una piramide regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cono.

Un prisma retto si dice inscritto (circoscritto) in un cilindro quando le sue basi sono inscritte (circoscritte ) nelle basi del cilindro.

Un prisma regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cilindro.

Prisma triangolare inscritto nel cilindro

Piramide triangolare inscritta nel cono

CILINDRO E CILINDRO E CONOCONO


AALL=2 =2 ·· ··r r ·· h h

AATT=2=2····rr··(r+h)(r+h)

AALL··r r ·· a a rettoretto

AATT··r r ··(r+a)(r+a)

AL = area laterale AT =area totale

a= apotemah =altezza r =raggio

h

r

ah

r

SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE TRONCO DI CONO

Si dice tronco di cono a basi parallele il solido generato da un trapezio rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente il lato perpendicolare alle basi (altezza) ,ovvero l’intersezione di un cono con un semispazio che non contiene il vertice e che ha per origine un piano parallelo alla base.

La base maggiore ed la base minore del tronco sono i cerchi descritti dalla base maggiore e dalla base minore del trapezio.

La distanza tra le due basi è l’altezza del tronco di cono L’altezza del tronco è uguale all’altezza del trapezio

La generatrice della superficie del tronco si chiama apotema.L’apotema è uguale al lato obliquo del trapezio

O’A’

AO

B’

B

Tronco di cono

SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONESFERA

D-La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro

Il centro e il raggio del semicerchio sono anche centro e raggio della sfera.

D-La superficie sferica è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso, detto centro

Un diametro della sfera è un segmento che passa per il centro avente gli estremi sulla superficie sferica.

A Or

SFERASFERAUna circonferenza massima è l’intersezione di una superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera.

Il centro di ogni circonferenza massima coincide con il centro della sfera.

Per i due estremi di un qualunque diametro di una sfera passano infinite circonferenze massime

Per due punti di una superficie sferica non allineati con il centro passa una ed una sola circonferenza massima.

Si chiama linea geodetica la linea di minima distanza tra due punti di una superficie sferica è l’arco di circonferenza massima passante per essi

Circonferenza massima linea geodetica

O

A

B

TRONCO DI CONO - SFERATRONCO DI CONO - SFERA

AALL ··(r(r11+r+r22) ) ·· a a

se tronco rettose tronco retto

AATT== ··(r(r11+r+r22))··a +a +··(r(r1122 +r +r22

22))

ah

r1

r2

r

S = 4· · ·· r2

AL = area laterale AT =area totale S=superficie sfera a= apotema h =altezza r =raggio


VOLUME DEI SOLIDIVOLUME DEI SOLIDI

La misura di un solido si dice volume

Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione spaziale o uguale volume.. Solidi equiscomponibili sono equivalenti, ma non viceversa.

Principio di Cavalieri- Se due solidi si possono disporre, rispetto a un piano dato, in modo che le loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti.

cono e piramede equivalenti

VOLUME DEI SOLIDIVOLUME DEI SOLIDI

PrismaPrisma V= AV= ABB ·· h h

ParallelepipedParallelepipedoo

V = a V = a ·· b b ·· c c

CuboCubo V = lV = l33

PiramidePiramide V= V= 1/3 1/3 ·· AAB B ·· hh

Tronco Tronco PiramidePiramide

V= V= 1/3 (1/3 (AAB1B1+A+AB2B2+ + AAB1B1··AAB2B2) ) ·· h h

CilindroCilindro V= V= ·· r r22 ·· h h

ConoCono V= V= ··rr22 ·· h h

Tronco ConoTronco Cono V= V= ··rr1122+r+r22

22+r+r11··rr22) ) ·· h h

SferaSfera V= 4/3 V= 4/3 ·· ·· r r33

Parti della superficie sferica e della Parti della superficie sferica e della sferasfera

Superficie sferica Superficie sferica SferaSfera

Un piano secante una Un piano secante una superficie sfericasuperficie sferica la divide la divide in due parti,ciascuna delle in due parti,ciascuna delle quali si chiama calotta quali si chiama calotta sferica.sferica.

Un piano secante una Un piano secante una sferasfera la divide in due la divide in due parti, ciascuna delle quali parti, ciascuna delle quali si chiama segmento si chiama segmento sferico ad una base. sferico ad una base.

Si chiama Si chiama altezza altezza di un segmento sferico ad una base di un segmento sferico ad una base o di una calotta sferica la parte del diametro o di una calotta sferica la parte del diametro perpendicolare al piano secante, compresa tra tale perpendicolare al piano secante, compresa tra tale piano e la calottapiano e la calotta

VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio

AAcalcal=2=2· · · · rr· · h Vh Vsegseg==3 3 · · hh22 · · (3(3··r-r-h)h)



Si chiama zona sferica la Si chiama zona sferica la parte di parte di superficie sfericasuperficie sferica compresa tra due piani compresa tra due piani paralleli , entrambi secanti paralleli , entrambi secanti la sferala sfera

Si chiama segmento sferico Si chiama segmento sferico a due basi la parte di a due basi la parte di sferasfera compresa tra due compresa tra due piani paralleli , entrambi piani paralleli , entrambi secanti la sferasecanti la sfera

VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio

AAzonazona=2 =2 ··· · rr··h Vh Vsegseg==66··hh (3r(3r112 2 +3r+3r2 2

2 2 + h+ h22))

r

h

r2

r1



Considerati due semipiani aventi per origine comune la Considerati due semipiani aventi per origine comune la retta di un diametro , la parte compresa tra i due semipiani retta di un diametro , la parte compresa tra i due semipiani si chiamasi chiama

fuso sfericofuso sferico spicchio sfericospicchio sferico

VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio =raggio

=misura in radianti dell’angolo del fuso=misura in radianti dell’angolo del fuso

Area fuso Area fuso r r22 Volume Volume

spicchio=2/3 spicchio=2/3 r r3 3

Il diedro formato dai due semipiani si chiama Il diedro formato dai due semipiani si chiama angolo del angolo del fusofuso..

I fusi (e gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente I fusi (e gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli diedriproporzionali ai corrispondenti angoli diedri

O

FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale AABB =area base=area base

ppB B =perimetro base =perimetro base hh =altezza =altezza dd=diagonale =diagonale ll =spigolo =spigolo

prismaprisma AALL= p= pBBhh

AATT=A=ALL+ 2 + 2 A ABB

V= AV= AB B hh

parallelepipedoparallelepipedo

rettangolorettangoloAALL= 2 = 2 (a (ac+bc+bc)c)

AATT=2 =2 (a (a b+a b+a

c+b c+b c)c)

V= a V= a b b c c

d= ad= a22+b+b22+c+c22

cubocuboAALL=4 =4 l l22

AATT=6 =6 l l22

V= lV= l33l

d

a

cd

b

h

FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale AABB =area base=area base

ppB B =perimetro base =perimetro base hh =altezza =altezza aa= apotema = apotema

PiramidePiramide AALL==½ ½ ppB B a rettaa retta

AAT=T=AALL+A+ABB

V= V= 1/3 1/3 AAB B hh

Tronco Tronco

PiramidePiramideAALL==½ ½ ( (PPB1B1+ P+ PB2B2) ) a retto a retto

AAT=T=AALL+A+AB1B1+A+AB2B2

V= V= 1/3 (1/3 (AAB1B1+A+AB2B2 + + AAB1B1 AAB2B2) )

h h

ah

h a

FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale

aa= apotema = apotema hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio

cilindro cilindro AALL=2 =2 r r h h

AATT=2 =2 r r (r+h) (r+h)

V= V= rr2 2 hh

ConoCono AALLr r a retto a retto

AATTr r (r+a) (r+a)

V= V= rr2 2 hh

h

r

ah

r

r

FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale

S S=superficie=superficie sfera sfera aa= apotema = apotema hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio

Tronco Tronco cono rettocono retto

AALL (r(r11+r+r22) ) a a rettoretto

AATT== (r(r11+r+r22))a +a +(r(r1122

+r+r2222))

V= V= rr1122+r+r22

22+r+r1 1 rr22) ) hh

SferaSfera S=4 S=4 rr22

V=4/3 V=4/3 rr33

ah

r1

r2

FormularioFormulario VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio

Calotta sfericaCalotta sferica

Segmento Segmento sferico ad una sferico ad una basebase

AAcalcal=2 =2 r r h h

VVsegseg==3 3 h h2 2 (3(3r-r-h)h)

Zona sfericaZona sferica

Segmento Segmento sferico a due sferico a due basibasi

AAzonazona=2 =2 r r h h

VVsegseg==6 6 h h2 2 (3(3r-r-h)h)

rhr2

r1

hr1

r

A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008

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