A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008 LA GEOMETRIA SOLIDA Illustrazione dal...
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A cura della prof.ssa Enza Morvile – a. sc. 2007/2008
LA GEOMETRIA SOLIDALA GEOMETRIA SOLIDA
Illustrazione dal “Paradiso Perduto” di Milton
(libro VII)
GEOMETRIA SOLIDAGEOMETRIA SOLIDA• La geometria dello spazioLa geometria dello spazio
• Rette e piani nello spazioRette e piani nello spazio
• Diedri e angoloidiDiedri e angoloidi
• Poliedri Poliedri – Prisma, piramide, tronco di piramide Prisma, piramide, tronco di piramide
• Solidi di rotazioneSolidi di rotazione– Cilindro, cono, tronco di conoCilindro, cono, tronco di cono
• Equivalenza dei solidiEquivalenza dei solidi
P 1- Per tre punti non allineati
passa uno ed un solo piano.
P 2- Se due punti di una retta
appartengono a un piano,
essa giace interamente sul
piano.
P 3- Un qualunque piano divide
l’insieme dei punti dello spazio
in due regioni dette semispazi.
ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO
r(A,B)a
·A
·B
r
semispazi
(A,B,C)=
·C·A
·B
ALCUNI POSTULATI DELLO SPAZIO
P 4- Ogni piano divide lo spazio in due insiemi infiniti e disgiunti
e , detti semispazi aperti tali che per ogni coppia di punti non
appartenenti ad si ha :
-se A e B appartengono allo stesso semispazio allora il segmento
AB non interseca il piano ;
-se C e D appartengono a semispazi opposti allora il segmento CD
interseca il piano .
semispazi
B
A
D
C
RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO
D 1- Si chiama fascio proprio di piani l’insieme di tutti e soli i piani
che passano per una stessa retta r, detta sostegno o asse del fascio.
D 2- Si chiama stella propria di piani l’insieme di tutti e soli i piani che
hanno un punto P in comune, detto centro della stella.
fascio proprio di piani
r
stella di piani
C·
RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO
D 3- Si chiama fascio proprio di rette l’insieme di tutte e sole le
rette appartenenti ad uno stesso piano α e passanti per un dato
punto C detto centro del fascio.
D 4- Si chiama stella di rette l’insieme di tutte e sole le rette
che passano per un punto C detto centro della stella.
C r
s
t
u
fascio di rette
stella di rette
C
us t
r
RETTE E PIANI NELLO SPAZIORETTE E PIANI NELLO SPAZIO LA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIOLA POSIZIONE DI DUE RETTE NELLO SPAZIO
D - Due rette distinte nello spazio si dicono:
- complanari se esiste un piano che le
contiene. In tal caso possono essere
incidenti o parallele.
- sghembe se non esiste un piano che le
contenga entrambe.
r e s parallele
C
ABr
sD
r e s incidenti
C
sD
A
B
r P
A
B
r C
s
r e s sghembe
LA POSIZIONE DI UNA RETTA E DI UN PIANO
NELLO SPAZIO
D- Una retta e un piano nello spazio
si dicono :
- incidenti: se hanno un solo punto
in comune.
-paralleli: se non hanno punti in
comune, oppure se li hanno tutti
T- Se una retta è parallela ad una
retta di un piano, essa è parallela al
piano
. P
r
r P
r //
r
r
s//r rs
s
Due piani distinti nello spazio possono
essere :
- incidenti se hanno una retta in comune,
che è l’intersezione tra i due piani
- paralleli se non hanno punti in comune.
LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
piani incidenti =r
r
piani paralleli
La relazione di parallelismo tra piani (o tra rette) è una relazione di equivalenza. L’insieme di tutte le rette parallele ad una retta data è detto fascio improprio di rette: esso individua la direzione della retta L’insieme di tutti i piani paralleli ad un piano dato si dice fascio improprio di piani esso individua la giacitura del piano
T- Le intersezioni di piani paralleli
con un piano incidente sono rette
parallele.
T- Per un punto esterno ad un
piano si può condurre uno ed un
solo piano parallelo al piano dato.
LA POSIZIONE DI DUE PIANI NELLO SPAZIO
r
r=s=r//s
s
P .
PP
D- Una retta ed un piano si dicono perpendicolari quando la retta
interseca il piano ed è perpendicolare a tutte le rette del piano che
passano per il punto di intersezione, detto piede della
perpendicolare.
LE RETTE PERPENDICOLARI AD UN PIANO
T- Se una retta r è perpendicolare a due
rette ,s e t, passanti per un suo punto P,
essa (r) è pure perpendicolare a tutte le
altre rette, u, passanti per il punto P e
giacenti nel piano individuato dalle due
rette s e t.
T- Tutte le rette perpendicolari ad una
retta data in un suo punto giacciono sullo
stesso piano.
r
r
P t
s
u
T- Dati un punto P e un piano , esiste
una sola retta passante per il punto e
perpendicolare al piano.
T- Dati un punto e una retta, esiste un
solo piano passante per il punto e
perpendicolare alla retta
T- Piani perpendicolari alla stessa retta
sono paralleli tra loro.
T- Rette perpendicolari allo stesso piano
sono parallele tra loro.
Teorema delle tre perpendicolari
Se dal piede P di una perpendicolare r ad un piano si conduce la
perpendicolare s ad una retta qualunque t del piano, questa retta t
risulta perpendicolare al piano individuato dalle prime due rette r,s.
s
P
r
t
rrP s sP st tr,s
Proiezione ortogonale di un punto su un
piano è il piede della perpendicolare
condotta dal punto al piano.
D-La lunghezza del segmento che ha per
estremi il punto e la sua proiezione sul
piano si dice distanza del punto dal piano.
T-Se una retta è parallela ad un piano
allora tutti i suoi punti sono equidistanti
dal piano
D-Si dice distanza di una retta da un piano
ad essa parallelo la distanza di un punto
qualsiasi della retta dal piano.
LA DISTANZA PUNTO- PIANO E RETTA-PIANO
P
H
b
A1
B1
· ·s
a BA· ·r
Dist(s,a) – dist(a,b)
rP
H
D-Si dice proiezione ortogonale di una figura F su un piano la figura F’ costituita dalle proiezioni dei punti di F sul piano.La proiezione di una retta r su un piano a non perpendicolare ad essa è una retta r’. D-Si dice retta obliqua ad un piano una retta secante il piano e ad esso non perpendicolare. T-Se da un punto esterno ad un piano si conducono il segmento perpendicolare e alcuni segmenti obliqui, si ha:• il segmento perpendicolare è minore di qualunque segmento obliquo;• due segmenti obliqui aventi proiezioni congruenti sono congruenti e viceversa;• due segmenti obliqui aventi proiezioni disuguali sono disuguali nello stesso verso.
r’
r
P
Q
H
PH<PQ
T-Date due rette sghembe esiste una ed una sola retta perpendicolare ad entrambe.
D-Si dice distanza di due rette sghembe il segmento compreso tra le due rette e giacente sulla loro perpendicolare.
D-Si chiama angolo di una retta con un piano l’angolo acuto che la retta forma con la sua proiezione sul piano.
r’
r
t
s
r
( r, s) e (s,t) complanari
(r,t) sghembe
dist(r,t) =dist(P,Q)
P
Q
DIEDRIDIEDRI D-Si dice diedro ciascuna delle due parti di spazio delimitate da due semipiani aventi la stessa origine ( semipiani compresi ).
I due semipiani si chiamano facce del diedro e la loro origine comune si dice spigolo del diedro.
Un diedro è convesso se è una figura convessa, concavo se non è convesso. D-Si dice sezione normale di un diedro l’angolo che si ottiene intersecando il diedro con un piano perpendicolare al suo spigolo. Sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti.Diedri congruenti hanno sezioni normali congruenti e viceversa.
r
Sezione normale di un diedro
r
angolo diedro
DIEDRIDIEDRISi dice ampiezza di un diedro l’ampiezza della sua sezione normale.
Si dice diedro retto un diedro la cui ampiezza è un angolo retto
Due piani incidenti si dicono perpendicolari se formano quattro diedri retti.
Analogamente agli angoli piani, si hanno diedri acuti, diedri adiacenti, diedri opposti allo spigolo.....)
Diedri retti
Piani perpendicolari
Teorema di Talete nello Teorema di Talete nello spaziospazio
Un fascio di piani paralleli determina su due rette trasversali
segmenti corrispondenti direttamente proporzionali.
s
r
t
r s
Le due rette trasversali sono, in generale, sghembe tra loro.
Se le due rette trasversali sono complanari il teorema si riduce al teorema di Talete nel piano.
ANGOLOIDANGOLOIDEE
D-Dato un poligono convesso ABCD… e un punto V non appartenente al piano del poligono, si chiama superficie piramidale indefinita la figura formata dagli angoli AVB , BVC, CVD… Il punto V si chiama vertice della superficie piramidale.Le semirette AV , BV, CV, DV.. si chiamano spigoli .Gli angoli AVB, BVC , CVD … ...... si chiamano facce. D-Si chiama angoloide la parte di spazio formata da tutte le semirette che hanno origine in V e che passano per un punto di un poligono convesso
T- L’ampiezza di ogni faccia di un angoloide è minore delle somma di tutte le altre.
T- La somma delle ampiezze delle facce di un angoloide è minore di un angolo giro.
Superficie piramidale
D
E
A B
C
V
ANGOLOIDEANGOLOIDE
Le sezioni di un angoloide con dei
piani paralleli sono poligoni simili
I perimetri dei poligoni sono
proporzionali alle distanze del vertice
dai piani delle sezioni
Le aree dei poligoni sono proporzionali
ai quadrati delle distanze del vertice dai
piani sezioni
Sezione angoloide
D
E
A B
C
E’D’
C’
B’A’
TRIEDRITRIEDRID-Si dice triedro un angoloide con tre
facce.
T- La somma delle facce di un triedro è minore di un angolo giro : AVB +BVC +CVA < 2
Criteri di congruenza dei triedri 1. Due triedri che hanno due facce e il
diedro compreso congruenti sono congruenti
2. Due triedri che hanno due diedri e la faccia compresa congruenti sono congruenti
3. Due triedri che hanno le tre facce congruenti sono congruenti
4. Due triedri che hanno i tre diedri congruenti sono congruenti.
triedro
A B
C
V
La superficie di un solido si dice sviluppabile se, mediante un numero finito di tagli, si può distendere completamente su un piano senza deformarla. Poliedri, cilindri, coni e loro parti hanno le superfici sviluppabili La misura delle loro superfici è riconducibile ad un problema di misura di superfici piane.
L’area della superficie di un poliedro è uguale alla somma delle aree di tutte le facce
La sfera e le sue parti non sono sviluppabili. La misura della superficie sferica si può calcolare come limite della misura della superficie di un poliedro inscritto (o circoscritto) nella sfera quando il numero delle facce tende all’infinito.
MISURA DI MISURA DI SUPERFICISUPERFICI
Sviluppo sup_lat cono
POLIEDRIPOLIEDRIPIRAMIDED-Si chiama piramide l’intersezione tra un angoloide di vertice V ed un semispazio contenente V e tale che il suo piano origine intersechi tutti gli spigoli laterali.
Il vertice dell’angoloide si dice vertice della piramide
La sezione dell’angoloide con il piano origine del semispazio si chiama base della piramide
I triangoli che delimitano la piramide si dicono facce della piramide ed i loro lati spigoli
Secondo il numero delle facce la piramide si dice triangolare, quadrangolare, ecc... L’altezza di una piramide è il segmento di perpendicolare condotto dal vertice al piano di base.
V
D A
BH
C
Piramide quadrangolare
PIRAMIDEPIRAMIDEUna piramide si dice retta se ha per base un poligono circoscrittibile ad una circonferenza il cui centro coincide con il piede dell’altezza della piramide T-In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice con i punti di tangenza dei lati del poligono di base con la circonferenza inscritta sono congruenti
In una piramide retta l’altezza della faccia laterale si chiama apotema
Una piramide retta si dice regolare se ha per base un poligono regolare. Nelle piramidi regolari gli spigoli laterali sono congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli
Piramide retta quadrandolare
PIRAMIDEPIRAMIDE
Misura della superficie
AB = Area di base
AL,= Area laterale
AT = Area totale
pB = perimetro di base
a = apotema
O
h2 + r2= a2
r
ha
Piramide retta
AALL==½½··ppBB··a se piramide a se piramide rettaretta
AAT=T=AALL+A+ABB
TRONCO PIRAMIDETRONCO PIRAMIDE
TRONCO DI PIIRAMIDE
Sezionando una piramide con un piano parallelo alla base, nel semispazio non contenete il vertice si ottiene un tronco di piramide .
La distanza dei due piani paralleli delle basi è l’altezza del tronco.
Le due basi sono poligoni simili
Un tronco di piramide si dice retto o regolare se la piramide da cui è stato ottenuto è retta o regolare.
Tronco piramide
A
BC
C’ B’
A’
Tronco piramide retto A
C BO °
C’ B’
A’O
’
TRONCO PIRAMIDETRONCO PIRAMIDE
AD
BC
V
O
Tronco piramide retto quadrangolare
O1·
·
A’
C’ B’
D’ H’
K’
K
H
In un tronco di piramide retto :
-i segmenti, che uniscono i punti di tangenza delle circonferenze inscritte nelle due basi ai lati omologhi dei poligoni di base, sono congruenti;
-le facce laterali sono trapezi aventi la stessa altezza.
Si chiama apotema del tronco di piramide retto l’altezza della faccia laterale
TRONCO PIRAMIDETRONCO PIRAMIDE
Misura della superficie
AL = area laterale AT =area totale AB =area basepB =perimetro base h =altezzaa= apotema
AALL==½½··(p(pB1B1+ p+ pB2B2))··a se a se rettoretto
AAT=T=AALL+A+AB1B1+A+AB2B2
h a
POLIEDRIPOLIEDRI
.
Se il poligono che genera il prisma ha n lati (n vertici) il prisma risulta delimitato da n diedri.
Le sezioni di un prisma indefinito con piani paralleli tra loro sono poligoni congruenti
PRISMA
D-Si chiama prisma indefinito il solido costituito da tutte le rette parallele tra loro passanti per i punti di un poligono convesso e non appartenenti al piano di questo.
Le rette passanti per i vertici del poligono si dicono spigoli del prisma.
L’insieme di tutte le rette parallele che passano per un lato del poligono formano una striscia di piano che si dice faccia del prisma indefinito Prisma indefinito
PRISMAPRISMA
D-Si dice prisma finito o prisma la parte di prisma indefinito compreso tra due piani paralleli distinti (piani delle basi).
Le sezioni poligonali appartenenti ai piani delle basi sono le basi del prisma.
L’altezza del prisma è la distanza tra i due piani di base
Le facce laterali di un prisma sono parallelogrammi.
Gli spigoli laterali di un prisma sono congruenti.
Un prisma si dice retto se gli spigoli sono perpendicolari ai piani delle basi. Le facce laterali di un prisma retto sono rettangoli
Un prisma si dice regolare se è retto ed ha per basi poligoni regolari. Le facce laterali di un prisma regolare sono rettangoli tutti congruenti tra loro.
E’
D’C’
B’A’
Prisma retto
D
E A
BC
PRISMAPRISMA
AB =area baseAL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base h =altezza
AALL= p= pBB··hh
AATT=A=ALL+ 2+ 2··AABB
h
Misura della superficie
POLIEDRIPOLIEDRIPARALLELEPIPEDO
D-Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi
Le facce opposte di un parallelepipedo sono parallele e congruenti.
Le diagonali di un parallelepipedo si intersecano in uno stesso punto, centro di simmetria del parallelepipedo
PARALLELEPIPEDO - CUBOPARALLELEPIPEDO - CUBO
Un parallelepipedo si dice rettangolo se è retto ed ha per base un rettangolo
Le facce di un parallelepipedo rettangolo sono rettangoli
Le lunghezze dei tre spigoli uscenti da un vertice del parallelepipedo rettangolo si chiamano dimensioni del parallelepipedo (a,b,c )
Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti.
D-Si chiama cubo o esaedro regolare un parallelepipedo rettangolo con gli spigoli congruenti (a = b = c = l )
a
cd
b
l
d
PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - PARALLELEPIPEDO RETTANGOLO - CUBOCUBO
AB =area base AL = area laterale AT =area totale pB =perimetro base
AAB B = a= a··bb
AALL= 2= 2··(a(a··c+bc+b··c)c)
AATT= = 22··(a(a··b+ab+a··c+bc+b··c)c)
dd2 2 = a= a22+b+b22+c+c22
AABB = l = l22
AALL= 4= 4··ll22
AATT= 6= 6··ll22
dd22 = 3 = 3··ll2 2
a
cd
b
a, b, c =dimensioni parallelepipedo rettangolo d =diagonalel =spigolo del cubo
l
d
Misura della superficie
POLIEDRI POLIEDRI
D-Si chiama poliedro convesso un solido delimitato da poligoni (facce) che si saldano lungo i lati (spigoli) e tali che il piano di ciascuno di essi non attraversi il solido.
I vertici di ciascun poligono sono anche vertici del poliedro.
Ogni vertice del poligono è vertice di un angoloide che contiene il poliedro.
Teorema di Eulero
Indicati con f, v, s rispettivamente il numero di facce, di vertici e di spigoli di un poliedro, risulta
f + v =s + 2
POLIEDRI REGOLARIPOLIEDRI REGOLARIUn poliedro si dice regolare se tutte le sue facce sono poligoni regolari e congruenti e tutti gli angoloidi sono congruenti..
Esistono soltanto cinque poliedri regolari. Essi sono detti solidi platonici.
Tutti i poliedri regolari si possono inscrivere e circoscrivere ad una sfera.
1. tetraedro regolare :piramide triangolare regolare con le facce uguali alla base;
2. esaedro regolare (cubo);3. ottaedro regolare:unione di due piramidi
quadrangolari regolari situate da parti opposte rispetto alla comune base e le cui facce sono triangoli equilateri;
4. dodecaedro regolare che ha per facce 12 pentagoni regolari
5. icosaedro regolare che ha per facce venti triangoli equilateri
SOLIDI DISOLIDI DI ROTAZIONEROTAZIONED-Dato un semipiano limitato dalla retta a, sia g una linea appartenente al semipiano ; ruotando il semipiano di un angolo giro attorno alla retta a, la linea g genera una superficie di rotazione: -se la generatrice g è una retta parallela all’asse di rotazione , si chiama superficie cilindrica indefinita;
-se la generatrice g è una semiretta avente l’origine sull’asse di rotazione, si chiama superficie conica indefinita.L’ampiezza dell’angolo acuto formato dalla generatrice e dall’asse di rotazione è detta semiapertura del cono.
La retta a si chiama asse di rotazione e la linea g si chiama generatrice della superficie di rotazione.
a
g
a
g
a
g
a
g
Se la generatrice g è una retta incidente l’asse di rotazione a in un punto V e non perpendicolare ad esso si ottiene una superficie conica a due falde.
Le sezioni di una superficie conica a due falde con un piano che non passi per il suo vertice V sono curve piane dette sezioni coniche o coniche
( parabola, ellisse, iperbole).
SOLIDI DI ROTAZIONE - ConicheSOLIDI DI ROTAZIONE - Coniche
SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONED-La parte di spazio costituita dalla superficie di rotazione e da tutti i punti ad essa interni si chiama solido di rotazione. Ogni punto di g descrive una circonferenza.Tale circonferenza si chiamano parallelo della superficie. I paralleli si ottengono come sezione della superficie di rotazione con piani normali al suo asse di rotazione.
Un piano passante per l’asse di rotazione interseca la superficie secondo due generatrici, simmetriche rispetto ad esso, dette meridiani.
a
g
SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE
CILINDRO
Si dice cilindro retto il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa attorno alla retta cui appartiene un lato, detta asse di rotazione.
Il lato (su cui ruota) è l’altezza del cilindro mentre l’altro lato è il raggio di base che , nella sua rotazione , descrive un cerchio
Il cilindro si dice equilatero se l’altezza è congruente al diametro di base (h= 2··r)
B
C D
AB’
C’
h
r
Prisma triangolare inscritto nel cilindro
SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE
cono retto
OA
V
A’
h
a
r
CONO
D-Si dice cono retto (cono) il solido generato da un triangolo rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente un cateto ,ovvero la figura limitata compresa tra una superficie conica indefinita ed un piano perpendicolare al suo asse di rotazione.
Il cateto su cui ruota il triangolo è l’altezza del cono.
il cateto che descrive il cerchio di base è il raggio di base del cono.
I segmenti che uniscono il vertice del cono con un punto qualsiasi della circonferenza di base sono congruentiEssi sono detti apotema del cono.L’apotema del cono è uguale all’ipotenusa del triangolo
Un cono retto si dice equilatero se l’apotema è congruente al diametro di base.( a= 2··r)
SOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTISOLIDI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
Una piramide retta si dice inscritta (circoscritta) a un cono se il suo vertice coincide con il vertice del cono e la sua base è inscritta (circoscritta) al cerchio di base del cono
Una piramide regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cono.
Un prisma retto si dice inscritto (circoscritto) in un cilindro quando le sue basi sono inscritte (circoscritte ) nelle basi del cilindro.
Un prisma regolare è inscrittibile e circoscrittibile ad un cilindro.
Prisma triangolare inscritto nel cilindro
Piramide triangolare inscritta nel cono
CILINDRO E CILINDRO E CONOCONO
Misura della superficie
AALL=2 =2 ·· ··r r ·· h h
AATT=2=2····rr··(r+h)(r+h)
AALL··r r ·· a a rettoretto
AATT··r r ··(r+a)(r+a)
AL = area laterale AT =area totale
a= apotemah =altezza r =raggio
h
r
ah
r
SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONE TRONCO DI CONO
Si dice tronco di cono a basi parallele il solido generato da un trapezio rettangolo nella sua rotazione completa attorno ad una retta contenente il lato perpendicolare alle basi (altezza) ,ovvero l’intersezione di un cono con un semispazio che non contiene il vertice e che ha per origine un piano parallelo alla base.
La base maggiore ed la base minore del tronco sono i cerchi descritti dalla base maggiore e dalla base minore del trapezio.
La distanza tra le due basi è l’altezza del tronco di cono L’altezza del tronco è uguale all’altezza del trapezio
La generatrice della superficie del tronco si chiama apotema.L’apotema è uguale al lato obliquo del trapezio
O’A’
AO
B’
B
Tronco di cono
SOLIDI DI ROTAZIONESOLIDI DI ROTAZIONESFERA
D-La sfera è il solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro
Il centro e il raggio del semicerchio sono anche centro e raggio della sfera.
D-La superficie sferica è il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti da un punto fisso, detto centro
Un diametro della sfera è un segmento che passa per il centro avente gli estremi sulla superficie sferica.
A Or
SFERASFERAUna circonferenza massima è l’intersezione di una superficie sferica con un piano passante per il centro della sfera.
Il centro di ogni circonferenza massima coincide con il centro della sfera.
Per i due estremi di un qualunque diametro di una sfera passano infinite circonferenze massime
Per due punti di una superficie sferica non allineati con il centro passa una ed una sola circonferenza massima.
Si chiama linea geodetica la linea di minima distanza tra due punti di una superficie sferica è l’arco di circonferenza massima passante per essi
Circonferenza massima linea geodetica
O
A
B
TRONCO DI CONO - SFERATRONCO DI CONO - SFERA
AALL ··(r(r11+r+r22) ) ·· a a
se tronco rettose tronco retto
AATT== ··(r(r11+r+r22))··a +a +··(r(r1122 +r +r22
22))
ah
r1
r2
r
S = 4· · ·· r2
AL = area laterale AT =area totale S=superficie sfera a= apotema h =altezza r =raggio
Misura della superficie
VOLUME DEI SOLIDIVOLUME DEI SOLIDI
La misura di un solido si dice volume
Due solidi si dicono equivalenti quando hanno la stessa estensione spaziale o uguale volume.. Solidi equiscomponibili sono equivalenti, ma non viceversa.
Principio di Cavalieri- Se due solidi si possono disporre, rispetto a un piano dato, in modo che le loro sezioni con un piano parallelo a quello dato siano equivalenti, allora i due solidi sono equivalenti.
cono e piramede equivalenti
VOLUME DEI SOLIDIVOLUME DEI SOLIDI
PrismaPrisma V= AV= ABB ·· h h
ParallelepipedParallelepipedoo
V = a V = a ·· b b ·· c c
CuboCubo V = lV = l33
PiramidePiramide V= V= 1/3 1/3 ·· AAB B ·· hh
Tronco Tronco PiramidePiramide
V= V= 1/3 (1/3 (AAB1B1+A+AB2B2+ + AAB1B1··AAB2B2) ) ·· h h
CilindroCilindro V= V= ·· r r22 ·· h h
ConoCono V= V= ··rr22 ·· h h
Tronco ConoTronco Cono V= V= ··rr1122+r+r22
22+r+r11··rr22) ) ·· h h
SferaSfera V= 4/3 V= 4/3 ·· ·· r r33
Parti della superficie sferica e della Parti della superficie sferica e della sferasfera
Superficie sferica Superficie sferica SferaSfera
Un piano secante una Un piano secante una superficie sfericasuperficie sferica la divide la divide in due parti,ciascuna delle in due parti,ciascuna delle quali si chiama calotta quali si chiama calotta sferica.sferica.
Un piano secante una Un piano secante una sferasfera la divide in due la divide in due parti, ciascuna delle quali parti, ciascuna delle quali si chiama segmento si chiama segmento sferico ad una base. sferico ad una base.
Si chiama Si chiama altezza altezza di un segmento sferico ad una base di un segmento sferico ad una base o di una calotta sferica la parte del diametro o di una calotta sferica la parte del diametro perpendicolare al piano secante, compresa tra tale perpendicolare al piano secante, compresa tra tale piano e la calottapiano e la calotta
VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio
AAcalcal=2=2· · · · rr· · h Vh Vsegseg==3 3 · · hh22 · · (3(3··r-r-h)h)
Parti della superficie sferica e della Parti della superficie sferica e della sferasfera
Superficie sferica Superficie sferica SferaSfera
Si chiama zona sferica la Si chiama zona sferica la parte di parte di superficie sfericasuperficie sferica compresa tra due piani compresa tra due piani paralleli , entrambi secanti paralleli , entrambi secanti la sferala sfera
Si chiama segmento sferico Si chiama segmento sferico a due basi la parte di a due basi la parte di sferasfera compresa tra due compresa tra due piani paralleli , entrambi piani paralleli , entrambi secanti la sferasecanti la sfera
VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio
AAzonazona=2 =2 ··· · rr··h Vh Vsegseg==66··hh (3r(3r112 2 +3r+3r2 2
2 2 + h+ h22))
r
h
r2
r1
Parti della superficie sferica e della Parti della superficie sferica e della sferasfera
Superficie sferica Superficie sferica SferaSfera
Considerati due semipiani aventi per origine comune la Considerati due semipiani aventi per origine comune la retta di un diametro , la parte compresa tra i due semipiani retta di un diametro , la parte compresa tra i due semipiani si chiamasi chiama
fuso sfericofuso sferico spicchio sfericospicchio sferico
VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio =raggio
=misura in radianti dell’angolo del fuso=misura in radianti dell’angolo del fuso
Area fuso Area fuso r r22 Volume Volume
spicchio=2/3 spicchio=2/3 r r3 3
Il diedro formato dai due semipiani si chiama Il diedro formato dai due semipiani si chiama angolo del angolo del fusofuso..
I fusi (e gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente I fusi (e gli spicchi) di uguale raggio sono direttamente proporzionali ai corrispondenti angoli diedriproporzionali ai corrispondenti angoli diedri
O
FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale AABB =area base=area base
ppB B =perimetro base =perimetro base hh =altezza =altezza dd=diagonale =diagonale ll =spigolo =spigolo
prismaprisma AALL= p= pBBhh
AATT=A=ALL+ 2 + 2 A ABB
V= AV= AB B hh
parallelepipedoparallelepipedo
rettangolorettangoloAALL= 2 = 2 (a (ac+bc+bc)c)
AATT=2 =2 (a (a b+a b+a
c+b c+b c)c)
V= a V= a b b c c
d= ad= a22+b+b22+c+c22
cubocuboAALL=4 =4 l l22
AATT=6 =6 l l22
V= lV= l33l
d
a
cd
b
h
FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale AABB =area base=area base
ppB B =perimetro base =perimetro base hh =altezza =altezza aa= apotema = apotema
PiramidePiramide AALL==½ ½ ppB B a rettaa retta
AAT=T=AALL+A+ABB
V= V= 1/3 1/3 AAB B hh
Tronco Tronco
PiramidePiramideAALL==½ ½ ( (PPB1B1+ P+ PB2B2) ) a retto a retto
AAT=T=AALL+A+AB1B1+A+AB2B2
V= V= 1/3 (1/3 (AAB1B1+A+AB2B2 + + AAB1B1 AAB2B2) )
h h
ah
h a
FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale
aa= apotema = apotema hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio
cilindro cilindro AALL=2 =2 r r h h
AATT=2 =2 r r (r+h) (r+h)
V= V= rr2 2 hh
ConoCono AALLr r a retto a retto
AATTr r (r+a) (r+a)
V= V= rr2 2 hh
h
r
ah
r
r
FormularioFormularioVV =volume =volume AALL = area laterale = area laterale AATT =area totale =area totale
S S=superficie=superficie sfera sfera aa= apotema = apotema hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio
Tronco Tronco cono rettocono retto
AALL (r(r11+r+r22) ) a a rettoretto
AATT== (r(r11+r+r22))a +a +(r(r1122
+r+r2222))
V= V= rr1122+r+r22
22+r+r1 1 rr22) ) hh
SferaSfera S=4 S=4 rr22
V=4/3 V=4/3 rr33
ah
r1
r2
FormularioFormulario VV =volume =volume AA =area =area hh =altezza =altezza r r =raggio=raggio
Calotta sfericaCalotta sferica
Segmento Segmento sferico ad una sferico ad una basebase
AAcalcal=2 =2 r r h h
VVsegseg==3 3 h h2 2 (3(3r-r-h)h)
Zona sfericaZona sferica
Segmento Segmento sferico a due sferico a due basibasi
AAzonazona=2 =2 r r h h
VVsegseg==6 6 h h2 2 (3(3r-r-h)h)
rhr2
r1
hr1
r