A CHI E' RIVOLTA? CHI PUO' ESSERE DEFINITO … · Si immagini di voler realizzare un sistema di...

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ALGEBRA BOOLEANA O LOGICA

GEORGE BOOLE (1815 1864)

A CHI E' RIVOLTA?

Alla classe degli elementi binari : 1; 0

Alla classe delle proposizioni logiche

CHI PUO' ESSERE DEFINITO PROPOSIZIONE LOGICA?

PROPOSIZIONE LOGICA viene inteso il contenuto di una dichiarazione che è possibile riconoscere come vera o falsa, per questo può essere definita una proposizione dichiarativa oggettiva.

Esempi

OGGI NEVICA

TUTTI GLI UOMINI HANNO TRE OCCHI

MARIO E' SIMPATICO

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A COSA SERVE?

L'algebra di Boole trova applicazione nella risoluzione di tutti i problemi in cui le variabili che li descrivono possono assumere solo due valori distinti.

In questo ambito si collocano tutti i problemi di automazione

Esempi:

Si immagini di voler realizzare un antifurto, capace di inserire una allarme in corrispondenza dell'apertura di una porta o di una finestra, con la possibilità di disattivare il sistema tramite una serratura a otto combinazioni.

Si immagini di voler realizzare un sistema di smistamento, gestendo due diverse vie di trasporto, per colli di forma parallelepipeda in transito su di un nastro trasportatore, sapendo che essi possono essere di due misure e che si hanno a disposizione due fotocellule per effettuare la distinzione dei colli tra loro.

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YES

Dato un numero l'operazione restituisce il valore 1 quando il numero vale 1 e viceversa.

Operazione logica di affermazione (Yes) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta un numero alla volta.

=

Simbolo IEC

Num

A

Affermazione

U

Tabella delle verità

Num Affermazione

0 0

1 1

Tratta una variabile booleana alla volta.

Data una variabile booleana l'operazione restituisce il valore VERA quando la variabile è VERA e viceversa.

A U

FALSA FALSA

VERA VERA


Operazione logica di affermazione (Yes) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.

U = A

Num = Num

6

NOT

Dato un numero l'operazione restituisce il valore 0 quando questi vale 1 e viceversa.

Operazione logica di negazione (Not) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta un numero alla volta.

1

Simbolo IEC

Num

A

Negazione

U


Num Negazione

0 1

1 0

Tratta una variabile booleana alla volta.

Data una variabile booleana l'operazione restituisce il valore FALSA quando la variabile è VERA e viceversa.

A U

FALSA VERA

VERA FALSA


Operazione logica di negazione (Not) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.

U = NOT A = A

Negazione = NOT Num = Num

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AND

Dato il prodotto di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSA quando le due variabili booleane sono FALSE, mentre restituisce il valore VERA quando entrambe sono VERE.

Dato il prodotto di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Prodotto logico (And) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta coppie di numeri o in quantità superiore.

&

Simbolo IEC

Num1A

Num2B

ProdottoU

Num1 Num2 Prodotto

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1


Prodotto logico (And) di due variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta coppie di variabili booleane o in quantità superiore.

Dato il prodotto di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono uguali a 0, mentre restituisce il valore 1 quando entrambi valgono 1.

Dato il prodotto di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSA quando le due variabili booleane sono diverse tra loro, cioè A =FALSA e B =VERA o A =VERA e B =FALSA.

A B U

FALSA FALSA FALSA

FALSA VERA FALSA

VERA FALSA FALSA

VERA VERA VERA


U = A*B

Prodotto = Num1*Num2

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NOT AND o NAND

Dato il prodotto negato di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSA quando le due variabili booleane sono VERE, mentre restituisce il valore VERA quando entrambe sono FALSE.

Dato il prodotto negato di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Prodotto logico negato (Not And) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.


&

Simbolo IEC

Num1A

Num2B

Prodotto negato

U

Num1 Num2 Prodotto negato

0 0 1

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Prodotto logico negato (Not And) di due variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.


Dato il prodotto negato di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono uguali a 0, mentre restituisce il valore 0 quando entrambi valgono 1.

Dato il prodotto negato di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore VERA quando le due variabili booleane sono diverse tra loro, cioè A =FALSA e B =VERA o A =VERA e B =FALSA.

A B U

FALSA FALSA VERA

FALSA VERA VERA

VERA FALSA VERA

VERA VERA FALSA


U = A*B

Prodotto negato = Num1*Num2

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OR

Data la somma di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono uguali a 0, mentre restituisce il valore 1 quando entrambi valgono 1.

Data la somma di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Somma logica (Or) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.


>1

Simbolo IEC

Somma

U

Num1 Num2 Somma

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1


Somma logica (Or) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.


Data la somma di due variabili booleane restituisce il valore FALSA quando le due variabili sono FALSE, mentre restituisce il valore VERA quando entrambe sono VERE.

Data la somma di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore VERA quando le due variabili sono diverse tra loro, cioè A = FALSA e B = VERA o A = VERA e B = FALSA.

Somma = Num1 + Num2

A B U

FALSA FALSA FALSA

FALSA VERA VERA

VERA FALSA VERA

VERA VERA VERA


U = A + B

Num1A

Num2B

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NOT OR o NOR

Data la somma negata di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono uguali a 0, mentre restituisce il valore 0 quando entrambi valgono 1.

Data la somma negata di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Somma logica negata (Not Or) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.


>1

Simbolo IEC

Somma negata

U

Num1 Num2 Somma Negata

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 0


Somma logica negata (Not Or) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.


Data la somma negata di due variabili booleane restituisce il valore VERA quando le due variabili sono FALSE, mentre restituisce il valore FALSO quando entrambe sono VERE.

Data la somma negata di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSA quando le due variabili sono diverse tra loro, cioè A = FALSA e B = VERA o A = VERA e B = FALSA.

Somma Negata = Num1 + Num2

A B U

FALSA FALSA VERA

FALSA VERA FALSA

VERA FALSA FALSA

VERA VERA FALSA


U = A + B

Num1A

Num2B

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U = A + B

EXOR

Data la somma esclusiva di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono uguali, cioè tutti e due 1 o 0.

Data la somma esclusiva di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Somma esclusiva (Exclusive Or) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.

1=

Simbolo IEC

Num1 Num2 Somma Esclusiv

a 0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0


Somma esclusiva (Exclusive Or) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta coppie di variabili booleane.

Tratta coppie di numeri.

Data la somma esclusiva di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSO quando le due variabili sono uguali, cioè tutte e due VERE o FALSE.

Data la somma esclusiva di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore VERO quando le due variabili sono diverse tra loro, cioè A = FALSA e B = VERA o A = VERA e B = FALSA.

Num1A

Num2B

Somma esclusivaU

Somma Esclusiva = Num1 + Num2


A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

FALSA FALSA FALSA

FALSA VERA VERA

VERA FALSA VERA

VERA VERA FALSA

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U = A + B

EXNOR

Data la somma esclusiva negata di due numeri l'operazione restituisce il valore 1 quando i due numeri sono uguali, cioè tutti e due 1 o 0.

Data la somma esclusiva negata di due numeri l'operazione restituisce il valore 0 quando i due numeri sono diversi tra loro, cioè 0 e 1 o 1 e 0.

Somma esclusiva negata (Exclusive Nor) di numeri binari caratterizzata da particolari proprietà.

1=

Simbolo IEC

Num1 Num2 Somma Esclusiva Negata

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1


Somma esclusiva negata (Exclusive Nor) di variabili booleane caratterizzata da particolari proprietà.

Tratta coppie di variabili booleane.

Tratta coppie di numeri.

Data la somma esclusiva negata di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore VERA quando le due variabili sono uguali, cioè tutte e due VERE o FALSE.

Data la somma esclusiva negata di due variabili booleane l'operazione restituisce il valore FALSA quando le due variabili sono diverse tra loro, cioè A = FALSA e B = VERA o A = VERA e B = FALSA.

Num1A

Num2B

Somma Esclusiva NegataU

Somma Esclusiva Negata = Num1 + Num2


A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

A B U

FALSA FALSA VERA

FALSA VERA FALSA

VERA FALSA FALSA

VERA VERA VERA

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Espressioni ed Equazioni booleane

Utilizzando le regole dell'algebra booleana è possibile esprimere delle relazioni tra le variabili booleane, attraverso la formulazione di una Espressione logica.Il passo successivo è il confronto tra espressioni, così si arriva a formulare la Equazione logica.Poichè il risultato delle espressioni logiche è un elemento che appartiene alla classe delle variabili logiche è possibile esprimere un'equazione logica particolare chiamata Funzione logica (esiste un legame biunivoco tra le variabili dell'equazione e la variabile singola). In questo caso le variabili dell'espressione prendono il nome di Variabili d'ingresso (A, B, C, D, E, ecc.), mentre la variabile singola assume il nome di Variabile d'uscita (U, X, Y, W, ecc.)

Esempi

A + B *(C + D)

A + B *(C + D) = A + B * C + B * D

U = A + B *(C + D)

ESPRESSIONE

EQUAZIONE

FUNZIONE

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Teoremi Fondamentali

Teorema di annullameno o di somma di una variabile con la costante 1

A + 1 = 1

Principio di dualitàIl principio di Dualità si applica alle espressioni booleane, per cui da una relazione che esprime una determinata regola, si può ottenere un'altra proprietà (vera anch'essa), che si dice duale della prima, sostituendo ordinatamente 0, 1, OR, AND, con 1, 0, AND, OR.

Teorema duale

A * 0 = 0

Teorema di identità o di somma di una variabile con la costante 0

A + 0 = A

Teorema duale

A * 1 = A

Teorema dei complementi o di complementarietà

A + A = 1

Teorema duale

A * A = 0

Teorema di idempotenza

A + A = A

Teorema duale

A * A = A

Primo Teorema dell'assorbimento

A + (A * B) = A

Teorema duale

A * (A + B) = A

Secondo Teorema dell'assorbimento o di raccoglimento

A + (A * B) = A + B

Teorema duale

A * (A * B) = A * B

Teorema di De Morgan

A + B = A * B

Teorema duale

A * B = A + B

Teorema di Shannon

Il complemento di una espressione logica è ottenibile complementando le singole variabili e scambiando tra loro le operazioni di somma e prodotto.

Tale teorema è una estensione del teorema di De Morgan ed è così definito:

A + (B * C) = A * (B + C)Esempio:

Teorema della negazione o dell'involuzione (doppia negazione o complementazione)

1 = 0

Espressione duale

0 = 1

(A) = A

(A) = A

negazione pari

negazione dispari

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Proprietà Fondamentali

Proprietà Commutativa

A + B = B + A

Proprietà duale

A * B = B * A

Proprietà Associativa

(A + B) + C = A + (B + C)

Proprietà duale

(A * B) * C = A * (B * C)

Proprietà Distributiva

(A * B) + (A * C) = A * (B + C)

Proprietà duale

(A + B) * (A + C) = A + (B * C)

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