61210895 Elementi Di Cosmologia

7/30/2019 61210895 Elementi Di Cosmologia

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Marino Mezzetti ELEMENTI DI COSMOLOGIA

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Marino Mezzetti

ELEMENTIDI

COSMOLOGIA

a.a. 2005/06


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Testi consigliati:

Gravitation and Cosmology S. Weinberg - Wiley Introduzione alla Cosmologia F. Lucchin

Zanichelli Cosmology, The Origin and Evolution of Cosmic

Structure P. Coles, F. Lucchin Wiley

Structure Formation in the Universe T.Padmanabhan - Cambridge The Early Universe E.W. Kolb, M.S. Turner -

Perseus Books Cosmological Physics J.A. Peacock - Cambridge Particle Physics and Cosmology P.D.B. Collins,

A.D. Martin, E.J. Squires - Wiley

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SOMMARIOCENNI STORICI................................................................................................................................4

RELATIVITA GENERALE..............................................................................................................7

IL PRINCIPIO COSMOLOGICO ...................................................................................................12

IL MODELLO DI MILNE ...............................................................................................................31

LE EQUAZIONI DI FRIEDMANN ................................................................................................34

LA DENSITA DELLUNIVERSO..................................................................................................35

LA COSTANTE COSMOLOGICA ..................................................................................................38

LEQUAZIONE DI STATO .............................................................................................................40

LE STIME DI WMAP + LSS ...........................................................................................................41

IL PARAMETRO DI HUBBLE.......................................................................................................43

RELAZIONI TRA PARAMETRI COSMOLOGICI .................Errore. Il segnalibro non definito.

(z) ....................................................................................................................................................44LE TRE EPOCHE DELLUNIVERSO...........................................................................................46

MODELLI COSMOLOGICI............................................................................................................47IL MODELLO DI EINSTEIN..........................................................................................................49

IL MODELLO DI LEMAITRE........................................................................................................50

IL MODELLO DI EINSTEIN-DE SITTER....................................................................................50

MODELLI CON MATERIA E RADIAZIONE...............................................................................53

MODELLI DOMINATI DA MATERIA..........................................................................................54

MODELLI CON0........................................................................................................................56IL NOSTRO UNIVERSO? ...............................................................................................................59

LETA DELLUNIVERSO..............................................................................................................60

ORIZZONTE DELLE PARTICELLE.............................................................................................62

r(z)......................................................................................................................................................65

DISTANZA DI LUMINOSITA.......................................................................................................67DIAMETRI ANGOLARI..................................................................................................................70

CONTEGGI DI SORGENTI............................................................................................................74

FONDI COSMICI.............................................................................................................................75

IL BIG BANG CALDO.....................................................................................................................78

LEPOCA DI PLANCK ....................................................................................................................79

TERMODINAMICA DELLUNIVERSO PRIMORDIALE...........................................................81

ENTROPIA .......................................................................................................................................86

NEUTRINI........................................................................................................................................89

(RI)COMBINAZIONE E DISACCOPPIAMENTO DEI FOTONI ...............................................93

BREVE STORIA COSMICA..........................................................................................................135

GRANDEZZE UTILI .................................................................Errore. Il segnalibro non definito.ESERCIZI...................................................................................Errore. Il segnalibro non definito.

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CENNI STORICI1692-93: Newton cerca di costruire un modello diuniverso omogeneo ed isotropo, ma statico (instabile).

Un universo finito sarebbe collasserebbe nel suo centroformando ununica massa sferica. Ma se la materiafosse stata distribuita in uno spazio infinito una parte diessa si raccoglierebbe su una massa, una parte suunaltra e cos via, formando il Sole e le stelle fisse. E

luniverso sarebbe statico perch, per simmetria, larisultante delle forze su ogni stella sarebbe nulla e nonvi sarebbe movimento.Ma: supponiamo di rimuovere una sfera finita dimateria da un universo infinito. Quale sarebbe il camponella cavit? Se calcoliamo il potenziale, questo

diverge.

Se il campo entro la cavit fosse nullo, reintroducendola materia questa collasserebbe per autogravit

?=gr

r

dV =gr

= V rdV

G

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(luniverso esterno dovrebbe fornire una specie di forzacentrifuga).

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Ma quando integriamo il campodovuto ad una quantit infinita digusci sferici attorno alla cavitotteniamo proprio zero. Alla radicedel problema sta il fatto che

lequazionedi Poisson G42 =

Lequazione di Poisson diventa:

e:

(Einstein far qualcosa di simile introducendo lacostante cosmologica

non ammette una soluzione costante.Una proposta di soluzione (Neumann 1896):modificare il potenziale newtoniano

Che ammette la soluzione costant

:

0=gr

0gr

)0cos( === ter

mG

r

mG r

G4

2

=

=

G4

Gc 422 =+


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Questa forma delleq. di Poisson ammette la soluzione= 0 purch sia

Avremo modo di tornare su questo.)

Ma lidea di un universo statico, legata allo spazio

assoluto, che crea il problema. Rinunciando allo

spazio assoluto sarebbe possibile una contrazione

omogenea globale per autogravit di un universo

infinito: nessuna stella si muoverebbe in modo

preferenziale rispetto alle altre.

914: Slipher e altri iniziano a trovare generalmente1un redshift negli spettri delle nebulose.

t Generale; la1915: Einstein, Teoria della Relativi

gravitazione legata alla geometria dello spazio e deltempo.

instein costruisce il primo modello di universo,1917: Ema, per ottenere un modello statico, aggiunge alle sueequazioni un termine contenente la costantecosmologica . Con le stesse equazioni De Sitter

propone un modello vuoto ma in espansione. iverso in1922 24: Friedmann ottiene modelli di unespansione senza costante cosmologica.1924: Hubble, usando le Cefeidi com e indicatori di

ottiene anchegli

distanza, stabilisce che la Nebulosa di Andromeda cos lontana da essere extragalattica.

1927: Lematre (indipendentemente)modelli di universo in espansione senza costante

G4=c2

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cosmologica. Predice una relazione lineare tra velocite distanza.

1929: Hubble annuncia la scoperta di una relazionevelocit distanza per le nebulose extragalattiche.

v = H0 d (legge di Hubble): H0 = 540km s-1 Mpc-1!!!

Dopo che la legge di Hubble venne accettata, Einsteineconsider non pi realistico un universo staticoabbandon la costante cosmologica, considerandola il

pi grande errore della sua vita. Ma ...

RELATIVITA GENERALE

Equazion

e del campo gravitazione:

g+

42 T

GRgR =

81

c

,= 0, 1, 2, 3;R ,g ,T sono tensori;

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R tensore di Ricci (contiene linearmente le derivategseconde e in modo quadratico le derivate prime di

g tensore metrico; la distanza ds tra due eventi nellospazio-tempo si scrive

gds = 2

dxdxgdxdx

dove dx0=cdt, dx1=dx, dx2=dy, dx3=dz nel caso pisemplice (in generale: coordinate curvilinee). Per lo

spazio-tempo di Minkowskig= = diag(1,-1,-1,-1).ds2>0 tipo tempo traiettoria fisica con v < cds2


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energia e quantit di moto). In un sistema inerzialelocalmente in quiete (c2 densit di massa-energia, p

pressione)T= diag(c2,p,p,p)

re di Ricci, derivato daRR lo scala la costante cosmologica, introdotta da Einstein per

avere un modello duniverso statico.nstein si possono

i

I due termini a destra nelleq. di Ei

nglobare in un Tmodificato, sostituendo22

8c

Gc

+

4~c

pG

c 4p ~

8

L eq. di Einstein equivale in realt a 4x4=16 eq., unaper ogni coppia (,); ma R , g , T sonosimmetrici eq. sono 10 e, in condizioni di

particolare simmetria, le eq. indipendenti e/o non nullepossono essere molte di meno.Leq. di Einstein si esprime tramite grandezzetensoriali, che si trasformano allo stesso modo pas-sando da un sistema di riferimento ad un altro, le eq.mantengono la stessa forma in ogni sist. di riferimento.

In un intorno spazio-temporale infinitesimo di ognievento possibile trovare un sist. di riferimento in cui

g= e le derivate parziali prime dig sono nulle(ma non tutte le derivate seconde).

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cui g = in

Se nello spazio (o in una zona di esso) possibiletrovare un sistema di riferimento ingrande, allora lo spazio detto piatto, ed ha le

propriet dello spazio Euclideo (somma angolitriangolo = 180o, rapporto circonferenza/raggio = 2,...). Se questo non possibile allora lo spazio si dicecurvo, e devia dalle propriet dello spazio Euclideo.

u

In2-D, la curvatura di Gauss una propriet intrinsecadellelemento di superficie, nel senso che si p

dedurre dal tensor metrico g , cio attraverso misurecondotte rimanendo entro la superficie. Questo siestende in N-D, definen l tensore di curvaturaR

do i

(dal quale derivanoRedR); seR 0 in unazona di spazio, questo curvo.

Esempi 2-D di spazi curvi

SFERA

x

r

pianotangente

Curvatura K > 0(la sup. sta tutta dallostesso lato del piano

tangente)

triangolo > 180o

circonferenza/raggio=2x/r < 2

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PARABOLOIDE IPERBOLICO(Punto di sella)

Materia e/o energia o curvo. Solo local- spa io-tempzmente g = : sistemi localmente inerziali (in cadutalibera).

Eq. di Einstein g azione newravit toniana per v


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IL PRINCIPIO COSMOLOGICO

Il problema di determinare la struttura delluniverso centrato sul fatto che, per definizione, c un solouniverso da osservare, e noi lo osserviamo da un punto divista particolare. La nostra prospettiva simile a quella di

perta della navigazione, sitrova su una piccola isola in mezzo alloceano, con altre

r

u

un uomo che, prima della sco

isolette distribuite in modo appa entemente casuale

l i, in un mare apparentemente senza limiti.attorno aOccorre fare delle assunzioni, che non sono direttamenteverificabili:

Le leggi della fisica locali sono valide ovunque (nellospazio e nel tempo)( continuit dello spazio, non esiste

un orlo delluniverso)Luniverso isotropo attorno a noi. In realt seosserviamo il cielo vediamo che la distribuzione delle

galassie sulla sfera celeste tuttaltro che uniforme.Se tuttavia osserviamo la distribuzione delleradiosorgenti, poste a distanze maggiori delle galassie quisopra, essa risulta pi uniforme; da distanze moltomaggiori ci proviene il fondo a microonde (CMB) a 3K

ia non pare n essere di un tipo speciale, noccupare una posizione speciale; perci si assume un

che presenta fluttuazioni relative dellordine di 10-5. Lanostra galass

punto di vista Copernicano: non siamo al centrodelluniverso. Questo implica che ci deve essere isotropia

attorno ad ogni punto delluniverso Luniverso

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spazialmente omogeneo (se la densit di materia unafunzione analitica) almeno mediando su una certa scala.

Mappa del CMB - WMAP

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Questo sembra suffragato dalle recenti analisi delladistribuzione spaziale delle galassie che mostrano unastruttura a grande scala caratterizzata da grandi zone vuote

o sottopopolate, pareti e filamenti di galassie che tende peralluniformit su scale dellordine dei 50-100 h-1 Mpc.

Lassunzione di omogeneit per luniverso porta ad

esprimere il Principio Cosmologico: Ad ogni epocaluniverso appare lo stesso in ogni punto, a parte leirregolarit locali.

Questo permette di definire untempo cosmico(=tempoproprio), valido per tutti gli osservatori: in ogni luogole cose evolvono allo stesso modo (questa assunzione,

apparentemente ovvia e innocua, ha invece profonderipercussioni sulla geometria delluniverso).

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Losservatore tipo quello in quiete rispetto allamateria locale che lo circonda (osservatore co-movente) Si rinuncia allo spazio assoluto.

Lomogeneit e lisotropia implicano che, al passaredel tempo cosmico, le mutue distanze tra vari puntidello spazio possono solo variare tutte per un comunefattore di scala a(t) (se cos non fosse avremmo delleanisotropie).

Possiamo caratterizzare ogni osservatore con delle

coordinate co-moventi, tali cio che non variano neltempo, mentre la dipendenza dal tempo delle mutuedistanze inglobata ina(t).

Isotropia coordinate sferiche (r,,) co-moventi;ma, per la curvatura dello spazio, r sar legata alladistanza propria (quella che potremmo misurare con

un regolo) radiale, ma non coincider con essa (se nonnel caso euclideo piatto), ed a parte il fattore di scala.Lassunzione di omogeneit spazio ha curvatura

costante (spazialmente). Questo porta ad ottenere lametrica di Robertson e Walker (RW):

++

= )(

1)( 2222

2

22222 dsendr

kr

drtadtcds

2 2 2(d + sen d si indica anche semplicemente con d2)

in cuik = +1, 0, -1, e la curvatura (lo scalare di RicciR)

K=6 k/a2(t)

k = 0 spazio euclideo (piatto)

k = +1 spazio curvo positivamentek = -1 spazio curvo negativamente

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AT

nella forma, peraltro equivalente,TENZIONE: la metrica di RW si trova anche scritta

)])(()[( 222222222 dsendSdtRdtcdsk

++=nR(t) fattore di scala e la funzione Sco

M

us

kdefinita da:

sen() (k=1)Sk()= (k=0)

senh() (k=-1)

a, al posto di, si pu trovare scritto r, per cui bisognacapire dal contesto quale delle due relazioni usata! Qui

eremo generalmente la prima delle due forme.

TOPOLOGIA DELLUNIVERSO

Vediamo le propriet topologiche dei tre casi k= 0,+1,-1:

k = 0: La sezione spaziale a tempo cosmico costante uno spazio euclideo (piatto)E3, rvaria tra 0 e : lospazio infinito, superfici e volumi si esprimono nelmodo abituale.

k =+1: La sezione spaziale a tempo cosmico costanteS

3 si pu rappresentare con unipersfera in uno

costante

Scrivendo la metrica della parte spaziale come

spazioE4:x2 + y2 + z2 +u 2=

22222 )( += dsendtadl

la superficie di una sfera di raggio a(t)sarA() = 4a2(t)sen2

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m massima per /2; ilrapporto tra la superficie della sfera ed il suo raggio

inima per0 e per,

(a) al quadrato minore di 4. Il volume entro lacoordinata:

= R

t

Esso funzione del tempo; se pr H, vr > c. Questonon in contrasto con la Relativit Ristretta, perchrispetto agli osservatori co-moventi la velocit di

localmente, sempre < c. Nessunainformazione viaggia con v > c.Abbiamo visto che un segnale, emesso da r=rH a t=0

arriva al tempo tallosservatore (r=0) secondo la

qualunque oggetto ,

)()(

1)'(

0 0

2 tarf

krta

Hpr

Hk =

= ),(' rtddrcdtt

rH

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=t

HprHta

cdttartdtd

0 )'(

')(),()(

rappresenta la distanza propria massima dalla quale, altempo t, abbiamo ricevuto segnali luminosi. Se dH(t) finito, esiste un orizzonte delle particelle: abbiamoaccesso solo a una parte finita di universo. Questodipende dallandamento di a(t). Per modelli cosmo-

, ma a -.

logici ragionevoli dH(t) t ed quindi finito. Per

modelli senza singolarit iniziale il limite inferiore diintegrazione va posto non a 0E da quale distanza potremo ricevere in futuro segnali

che partono oggi? La risposta si ottiene non integrandopi tra 0 e t, ma tra te (o t = tmax se c ricollasso):

ta )'( Se lintegrale diverge basta avere pazienza per vedereun qualunque evento; altrimenti ci sono distanze dalle

t

E

cdttatd

')()(

quali non riceveremo mai informazioni. In questo casoabbiamo un orizzonte degli eventi. Perch questoaccada occorre che a(t) cresca pi rapidamente di t.

Se a(t)=exp(Ht) con H costante, dE=c/H=costcorrisponde ad RH. questo il caso dei modelli

comea(t) e le galassie escono da dE. Ma le loro immaginirestano per sempre visibili, seppur sempre piindebolite e spostate verso il rosso; infatti, dalle

dominati da una costante cosmologica. Ma, mentredE=cost, la distanza propria delle galassie cresce

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galassie sul bordo ci arrivano i fotoni a t=, quandoa(t), e quindi con redshiftz(oss).

IL MODELLO DI MILNE

Il modello di Milne (1935): non usa la RelativitGenerale (RG), bens quella Ristretta. Consideriamouno spazio vuoto di Minkowski e supponiamo che adun certo istante t=0, dallorigine O, venga emessa in

tutte le direzioni, e con tutte le velocit u


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possiamo definire un tempo cosmico legato al tempotdellosservatore centrale O secondo la relazione della

elativit Ristretta (dilatazione temporale):R2122 )1( cut =

Consideriamo ora un altro aspetto interessante delmodello di Milne. Prendiamo in considerazione lospazio di MinkowskiM4 entro il quale si espandono le

particelle. Rispetto allosservatore centrale O la metricasi pu scrivere (in coordinate spaziali polari):

22222222 sin ddrdrdtcds ++=

e supponiamo che r=t=0 corrisponda alla creazione.Se vogliamo ora passare al tempo cosmico di ungenerico osservatore, ed usare coordinate co-moventi,la prima scelta possibile quella di usare la velocit u e

gli angoli e. In realt una scelta pi conveniente perla coordinata radiale quella di usare la grandezza(comunque legata ad u) r~ cos definita:

2122 )1(~ cuurc = Per procedere utile usare la variabile definita dalla

relazione

= sinh~r

. Si ha allora:

==

=

=

==

1

2

22sinh~

cosh

11cosh

2

t

cu

crccu

utur

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Differenziando queste relazioni e sostituendo nellametrica di Minkowski ted rcon e r~ , nonch usandola

2222222 )~1()sinh1(cosh~ +=+== drddrd

si ottiene alla fine

( )

io) te lacoordinata radiale co-movente r vediamo che questa

++

+= 2222

2

222222 sin~~1

~ ddr

r

rdcdcds

Se chiamiamo il tempo cosmico (tempo proprmetrica corrisponde ad una metrica di RWcon k=-1ea(t)=ct.La sezione a t=cost. dello spazio-tempo (cio la partespaziale) presenta una curvatura intrinseca negativa acausa dellintroduzione di un tempo cosmico legato

agli osservatori (particelle) ed al valore finito dellavelocit della luce c, mentre la curvatura dello spazio-tempo globale (4-dim.) sulta nulla (ri uno spazio diMinkowski!).Pur non essendo un modello soddisfacente (c un

e e circo asse sono nulle), ilmodello di Milne ci fa vedere gli effettidellintroduzione del tempo cosmico: non occorre laRelativit Generale per avere uno spazio curvo!In questo modello, basato sulla Relativit Ristretta, laformula delleffetto Doppler relativistico si puapplicare, cosa che generalmente errata.

confine, luniverso si espande in uno spazio

preesistent stante e le m

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LE EQUAZIONI DI FRIEDMANN

Ap plicando le eq. di Einstein alluniverso, pensatoriempito da un fluido perfetto (caratterizzato dal suopartendo dalla metrica di RW, trere di scala a(t):

T), si ottengono,relazioni per il fatto

Ma (F1) ed (F2) non sono indipendenti; da esse si

ottiene la

che per gi contenuta nelle propriet di conser-

vazione implicite in T. La (F3) si pu anche scriverecome

0)()()()( 3 =+= adpacdatd

pactd

32332 dd

che del tipo dU+pdV=dU+dL=dQ=0: lespansionedel fluido cosmico adiabatica.

)2(3

1)

3(

3

4 33 22

Facac

pGa ++=

)1(18 22222 Faca

Gcka +=+

&&

&

)3(0)(32

Fc

p

a

a=++

&&

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LA DENSITA DELLUNIVERSO

Densit critica:

G

Hcr

8

3 2

pari, allepoca attuale, a3229

0 88.1 =cr 10 cmgh

Parametro di densit:

23

8

H

G

cr

=

rappresenta la densit; 0=(t0).dove

Vari sono i contributi alla totale:Materia luminosa (stelle): densit di luminosit dello

universo (1.70.6)108 h L Mpc

-3; per un M/L~1 for-

nisce lum h = 0.002-0.006 alassie: Aloni massicciM/L30 hgal0.03-0.05G

alonediscogas

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Nu t BigBang prevede la sintesi di He ed He, D, Li; questo

di barionipresenti nelluniverso:

cleosintesi primordiale: Il modello dellHo4 3 7

vincola la quantitb h 0.005 0.024 (da D basso: 0.0190.001)2

Ammassi di galassie: (Zwicky, 1933; ...) dalla dina-i gravitazionali, emission X)mica (masse viriali, lent e

M/L100-400 h M 0.1-0.3

Dall effettoSunyaev-Zeldovich: Mh=0.22+0.05-0.08Catastrofe barionica: Il gas che emette raggi X nel

mezzo intra-ammasso degli ammassi di galassierappresenta circa il 6 h-3/2% della massa totale, mentrele stelle (delle galassie) forniscono un ulteriore 2%; se

il rapporto M(barioni)/M(totale)=b/ , tenendoM

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conto che una parte dei barioni potrebbe essere oscura,fornisce (assumendo b h

20.02):b/M 0.06h-3/2+ 0.02

)71.0(33.002.006.0

02.0 2h2/3

= hM +h(il nome di catastrofe barionica risale a quando sivoleva ancora che fosse M1).

Moti su grande scala: permettono, in linea di principio,una stima di M su scale che evolvono ancoralinearmente; si stima in realt il parametro M0.6/bdove b il parametro di bias [(/)lum=b (/)tot]. Irisultati sono ancora controversi (M=0.5-0.7 maanche M0.250.05).

Radiazione CMB: Il fondo cosmico a microondefornisce un contributo

h2 2.510-5

Neutrini: Se i neutrini sono privi di massa, o questa ascurabile, le tre famiglie leptoniche fornisconotr

h2 1.710-5ma vi sono indicazioni (Superkamiokande) di unamassa minima almeno per un neutrino (m0.1 eV/c

2)che fornisce

h2 1.110-3(limiti superiori su vengono dalla struttura a grandescala delluniverso e dal fondo a microonde CMB).

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I neutrini non massicci si comportano, analogamente aifotoni, come materia relativistica, e il loro contributototale fornisce

R h2= ( + ) h2 4.210-5Vediamo che allepoca attuale il contributo della

ibuti, sopra elencati,lla densit di materia. Appare chiaro che non tutti i

materia relativistica trascurabile.Possiamo comparare i vari contra

barioni sono luminosi ( materia oscura barionica)oltre al fatto che materia oscura non barionica.

0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 11 .10

3

0.01

0.1

11

1 103

lumupi

lumloibup i

bloi

0.1

Barrai

bDup i

bDloi

bcati

0.3

SZup i

SZloiSZmedi

10.3 h h, h, h, h, h, h, h, h, h, h, h, 0.72,i i i i i i i i i i i i

LA COSTANTE COSMOLOGICA

0.001

0.01

1

0.1

30 40 50 60 70 80 90 100

H0 [km s Mp-1

c-1]

materia luminosa barioni catastrofe barionica dinamica ammassi effetto SZ

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finIn questi ultimi anni, da un lato losservazione di SNIa

o a z ~ 1, dallaltro la misura da satellite (COBE,W lone del CMB, hanno suggerito che la

geometria della z . la metrica

MAP) e da pal

parte spa iale (t = cost) delprossima a quella Euclidea (k = 1). Questo grazie alcontributo di una costante cosmologica non nulla. Ilcontributo di questa alla densit globale si esprimetramite il parametro

20

2

0 3H

c

cr

=

Il diagramma- MSono riportati i vincoli

sui valori di edMderivati dalle SNIa

lontane, dal CMB e

dagli ammassi di

galassie. Il significato

delle varie curve sar

chiarito pi avanti.

-----------------

Adattato da:

Knop et al., 2003, ApJ

598, 102.

k=+1

k=-1

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Questo, assieme allevidenza che M0.3, suggerisceche 0.7, da cui

22562

2

0 1023 = cmhcH

LEQUAZIONE DI STATO

Per risolvere le equazioni di Friedmann occorre conosce-re la relazione tra pressione e densit; si usa la relazione

p = w c2con il parametro w uguale a:

w = 0: polvere, gas non relativistico, per cuip


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LE STIME DI WMAP + LSS

Il satellite WMAP, che ha misurato il fondo a microonde,assieme ai dati della struttura a grande scala delluniverso(LSS), ha fornito le seguenti stime aggiornate e precisedei parametri cosmologici:

Grande . - errzza Simbolo Valore + errDensit totale tot 1.02 0.02 0-02

Eq. di stato w < - 0.78 95%CL -Densit dark energy 0.73 0.04 0.04Densit barioni 0224 0.0009 0.0009b h

2 0.Den 0.044 0.004 0.004sit barioni bDensit materia m h 0.135 0.008 0.009

2

D 4ensit materia m 0.27 0.04 0.0

Densit di neutrini leggeri h < 0.0076 95%CL -2

T 2emperatura del CMB(K) TCMB 2.725 0.002 0.00R b map orto barioni/materia / 0.17 0.01 0.01pCostante di Hubble 0.03h 0.71 0.04

RELAZIONI TRA PARAMETRI

COSMOLOGICI

le seguen n

Dalle eq. di Friedmann valutate allepoca attuale (ma undiscorso analogo si pu fare ad ogni epoca) si ottengono

ti relazio i:

++=;= RMHa

kc00

202

0

2

)1(

- 41 -


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dalla quale

= 1 k = 0

naltra relazione utile quella che esprime il parametrodi decelerazione

vediamo che:

0

0>1 k = +1

0 < 1k = -1

U

w+=q 23

2

10

zione si appli rea gn p

iii0

Questa rela ca in lt ad o i epoca urchsi usino i valori di i relativi a quellepoca; ad esempio,in un universo piatto con eria co gic

e)mat e cost. smolo a (R

trascurabil

)

+1(23

+=

2)(zq

1()3z

1

in cui i q(z)1/ no ed

inizia la espansio cade a

l termine in parentesi quadra (z). Perzgrande2, ma ad un certo punto q(z) cambia seg

ne accelerata; questo acz = [2 1/3

re di scala:

/ (1- )] 0.7 se-1 0.7

Dalla prima relazione del paragrafo si ricava anche ilvalore attuale del fatto

2/1

000 1

=

k

H

c

a

- 42 -


43/135


IL PARAMETRO DI HUBBLE

Dalla prima delle eq. Di Friedmann, divisa perao2, e dalla

prima relazione del paragrafo precedente, si ottiene

ii aa0

e, ricordando che

+

+

i

w

i

ia

)1(31

002

2

= Ha 2&

aaaatH +== 1//)( 0& z

[ ]22220

31

0

2

020

2

)1(

)1(),(

+

=

+

=

+

zH

a

a

a

aHzt

R

i

i

i

w

i

i

01)1()1()1( ++++++= zzz

H

M

che lega il parametro di Hubble con a(t) oz.

Questa relazione anche utile per trovare il legame tra lacoordinata co-movente r ed il redshift. Lequazioneradiale del moto di un fotone verso di noi :

aHdacadacdtckrdra //1/ 2 === &

che forn sisce, e sendo a = a0/(1 + z),

dzH

c

kr

dra

(1 20 = z)

Questa mostra come legare ra z, H0, i, tramite la fk(r).Torneremo pi avanti su questa fondamentale relazione.

- 43 -


44/135


Se lun , dallaiverso in espansione ( 0>a& ) e =0seconda eq. Di Friedmann segue 0


45/135


da cui:

220

0

)1()1()1(1

11

++++++

=

zzz MR

che mi fornisce levoluzione di (z). Vedo anzitutto che,essendo il denominatore della parte destra della relazionesempre positivo (si veda la relazione che esprimeH(z)), ilsegno di -1 non cambia durante levoluzione, e cos

pure il segno della curvatura k della sezione spaziale: knon muta mai segno. Vediamo anche che, se i modellinon sono dominati da , risalendo indietro nel tempo(z), 1

prime fasi di evoluzione cosmica. Quindi, se oggi 1,nel lontano passato (z) differiva per mo

! Il termine di curvatura trascurabile nelle

lto poco da 1.

Invece, nei modelli dominati dal vuoto, succede ilcontrario: al trascorrere del tempo 1!

Il fatto che tenda a divergere da 1 al passare delmpo, mentre in realt oggi sembra essere molto

prossimo ad 1, richiede che nel lontano passato siastato in realt estremamen ssimo ad 1, con notevole

e tasso di espansione. Questo il

te

te pro

fine tuning tra densitcosiddettoproblema he viene risolto dal

paradigma dellinflazione. Lesistenza di una fase di

mima gli effetti di una costantecosmologica, fornisce il meccanismo attraverso il quale

viene talmente forzato verso lunit, da rimanere finoad oggi non molto diverso da 1.

della piattezza, c

inflazione, dominata cio dalla densit di energia di unfalso vuoto che

- 45 -


46/135


LE TRE EPOCHE DELLUNIVERSO

Nellequazione che descrive levoluzione di H(t), e

quindi anche della a(t), vediamo che ci sono trecontributi, legati ad R, M, , che variano in mododiverso con il redshift.

0H

22220

2 1)1()1()1()1()( +++++++= zzzzHz MR

Vediamo che, azelevato, il termine in conta poco,metre gli altri due crescono; ma quello in R cresce pirapidamente e, anche se oggi R


47/135


MODELLI COSMOLOGICI

Esaminando le eq. Di Friedmann

)2(3

1)

3(

3

4

)1(1

3

8 22222 FacaG

cka +=+ 3

22

Facac

pGa ++=

&&

i

&

possiamo riassumere qualitativamente l comporta-mento dei modelli cosmologici

Se a& sempre e anche a&& diventa > 0 :luniverso si espande sempre ed alla fine accelera.

0>a&&

0


48/135


- 48 -

Se k = +1, = e siha >0 ma non moltogrande. La regione proibita ha landamento in figura;come si vede possibile avere contemporaneamente sia

che

con =0, per un certo valore di a, 2a& 0ricollasso; lo stesso accade se

0=a& 0=a&& , il modello statico di Einstein.

k 0> =0 a&&

0


49/135


IL MODELLO DI EINSTEIN

Imponendo che sia 0

== aa &&& si ottiene una soluzione

statica delle (F1) e (F2) che implica k = a2 e

GcEE

42

c

aaG

;4

====

da cui si vede che >0 e quindi k = + costanteosmologica agisce come una fo a il

modello instabile perch basta una piccola fluttuazionede it e la materia o il vuoto prevalgono, imponendo

na contrazione nespansione inarrestabili.

1. Lac rza repulsiva. M

in nsu o u

I modelli diEddington-Lematre hanno come asintoto (dipartenza o di arrivo) il modello di Einstein.

IL MODELLO DI DE SITTER

un modello dominato dal vuoto; se nella (F1) si pone azero il contributo della materia si ha

2222

3

1accka =+&

Per a sufficientemente grande il termine di curvatura2 ien tr rabi e oluz one diviene(kc ) div e ascu le la s i

tHct

AeAet)( a 03

=

- 49 -


50/135


IL MODELLO DI LEMAITRE

In questo modello (k= me che =1) si assu

si-statica,la cui durata pu essere allungata a piacere se 0. Fu

proposto nel 1967 per spiegare leccesso di quasaraz2.

E(1+), con

piccolo; in questo modo si ottiene unepoca qua

IL MODELLO DI EINSTEIN-DE SITTER

Questo modello (EdS) assume che =0 e che k=0; sisuppone inoltre che luniverso sia dominato solamente damateria o radiazione, per cui i=1(i=R,M). Leq. dievoluzione di a(t) diventa

+ iwaaa

3122&

= aaHa002

02

che ha come soluzione

)1(3

2

wt +

0

0)(i

t

ata

=

che, nel casoRD(w =1/3) forniscea(t) ~ t1/2, mentre nelicasoMD (wi=0) forniscea(t) ~ t

2/3.

Altre relazioni utili sono:

2

)1(3

0 )1(iw

ztt

+

+=

- 50 -


51/135


00

)1(3

2

Hwt

i+=

twtH

i )1(3

2)(

+=

22)1(6

1)(

twGt

i

i +=

In particolare:

wi=0 materia wi=1/3 - radiazione

3/2 t

00)(

=t

ata

2/1

00)(

=

t

tata

2/30 )1(

+= ztt 2

0 )1(+= ztt

00 3

2

Ht =

0

0 2

1

Ht =

ttH 2)( = 3 t

tH 1)( = 2

26)(

GttM

1232

3)(

GttR

= =

- 51 -


52/135


In realt, nelle fasi dominate dalla radiazione o dallamateria, quando il contributo di trascurabile,come anche il termine di curvatura, cio quando:

02 1)1()1( >+++ zz MR

M

zz

=+>+ 0*

111

levoluzione della a(t) data dalla

i

wa

31

0

+

iaa

a

a

2

0202

(dove lindice i si riferisce alla componente dominante

allepoca considerata) analoga a quella del modelloEdS, ma con una

=Ha2&

H0,eff = H0 i1/2

Quindi, perz > z*, si possono usare le relazioni delmodello diEdS, ma conH0,eff. Ad esempio,

2)1(3

2/10

)1()1(32)(

iw

ii

zHw

zt+

++

=

2

)1(32/1

0 )1()(iw

i zHzH+

+=

mentre lespressione per la i(t) non cambia.

- 52 -


53/135


Queste relazioni sono utili per avere delle stimeapprossimate dei valori corretti.

Vedo quindi che a z elevato, il modello di EdSrappresenta unottima approssimazione del modelloreale di universo, quale che sia la sua curvatura.

MODELLI CON MATERIA E

RADIAZIONESe curvatura e costante cosmologica sono trascurabili

possibile trovare una soluzione analitica esatta. Lequa-zione

+

=2

00

2

0202

2

a

a

a

a

a

aH

a

aRM

&

pu essere integrata, fornendo

+

+

= 2/3

0

2/1

020

223

2RMMR

M a

a

a

at

RH

che fornisce, per lepoca dellequivalenza,

annihzH

t MeqM

eq

2232/32/1

0

)(10032.1)1(3

222 +

=

corrispondenti a teq ~ 5.66104 anni per M h2=0.135,come da

WMAP.

- 53 -


54/135


MODELLI DOMINATI DA MATERIA

Perzsufficientemente elevato abbiamo visto che i model-

limsono simili a quello diEdS. Vediamo ora il comporta-ento esatto. Lequazione da risolvere

+= MM

a

aH

a

a10202

2

0

&

M>1: ci sar un t=tm tale che 0=a& e

1)( 0

==

M

Mmm ataa

0


55/135


ia(t)

M

MM

MM

tH

che, perM0, diventa

)3.0%99(2

ln100


56/135


MODELLI CON 0Abbiamo gi visto una classificazione qualitativa di

questi modelli. Vediamo ora di essere pi quantitativi.La F1 pi semplice se ignoriamo la radiazione,perch pu essere risolta analiticamente.

Ponendo a/a = R e = H leq. di Friedmann diventa0 0 t

)1(11

1 22

+

+=

R

Rd

dRM

ora

1>(1)

=(1)

0 (>0). Un valore di >0 tende a far espandere

universo a meno che M non sia cos elevato daforzare il ricollasso prima che il vuoto domini lal

- 56 -


57/135


dinamica. In questo caso si avr espansione se, con >1,M

3

341arccos

31cos4

+

> M

MM

punto di inversione nel passato, che separa una fase dicollasso da quella attuale di espansione. In questo caso

Per valori grandi e positivi di luniverso ha un

non vi Big Bangse

)1(1

arccoss3

1coss4

3

>M

MM

dove coss=cosh se M1/2. Il

rim lz (bounce) corrisponde ad un valore massimoba odel r t zB (minimo del fattore di scala)edshif

)2(11

arccoss1

coss2

= Mz

i ha zB=(5,2,1.25) e vediamo

3 M

Per M=(0.01,0.1,0.3) sche i modelli con rimbalzo sono esclusi, per valoriragionevoli di

ragione, dal CMB.M, dallesistenza di quasar conz>5 e, a

maggiorI modelli di Lematre (loitering models), con una fasequasi-statica, sono prossimi alla regione definita dalla1), appena esterni ad essa. La (2) fornisce il valore(

di zL corrispondente a questa fase, tanto pi lungaquanto pi prossimi siamo alla (1). Una durata

- 57 -


58/135


infinita corrisponde al modello diEddington- Lematre.Per un universo tipoLematre, nella fase quasi-statica,

3

)1(2

1LM z+=

( anche lo z per cui q(z)=0). Vediamo che una fasequasi-statica ad alto zL richiede valori troppo bassi diMse 0.7.

Il grafico seguente mostra una sintesi di quanto detto.

We are here

k=-1

k=+1

k=0

Ricordiamo che le attuali osservazioni suggeriscono ununiverso piatto con M0.3 e 0.7.

- 58 -


59/135


IL NOSTRO UNIVERSO?

Come abbiamo visto, il nostro universo, dopo

lequivalenza, stato dominato prima dalla materia epoi dal vuoto. Si pu trovare una soluzione analiticaper un universo con materia + costante cosmologica epiatto (M+ = 1).

3

2

0

3 3sinh

)(

= tHta M

1

0 2

a

a0

=

M

tatH

23

10

)(sinh

3

2

che permette anche di avere una stima per t0 e t(z) (vediparagrafo seguente) per questo modello.

0 5 10 15 200

0.5

1

1.5

2

a/a0

tem o in miliardi di anni

- 59 -


60/135


LETA DELLUNIVERSO

Abbiamo visto per vari modelli particolari landamento

dellet delluniverso t(z). Dalla stessa definizione delparametro di Hubble si ottiene la relazione generale

+

zzHz

dz

)()1(

dove

=zt )(

]1)1()1()1([)1()( 0222202 +++++++= zzzzHzH MR

Oppure la analoga

=0/

0

0 )()/(

aa

aaH

daaat

Nel caso di un universo piatto con materia + vuoto siha (un altro modo di scrivere la relazione di paginaprecedente)

+=

)(

)(1ln)()(

3

2)(

2/12/11

z

zzzHzt

M

dove

[ ]

++=

=

++

=

320

2

3

)1()(

)(1)(

)1/()(

zHzH

zz

zz

M

M

M

MM

- 60 -


61/135


Unappro =1) lassimazione utile per t0 (esatta per0seguente (vuoto + materia), buona entro qualche

percento se 0 < M1, 0 < 0 1 :

a

aatH

]/1[arcsenn2

1300

3.03.0 + oMadove e arcsenn definito

come arcsenh se a1 (il caso usuale) e arcsen sea>1. Se M=0.27e =0.73, con h=0.71 (come daWMAP), si ottiene t0=13.710

9anni.

Un parametro cosmologico usato anche il cosiddettolook-back time, tlb(z) t0 t(z), che indica il tempotrascorso tra il redshiftzed oggi.

- 61 -


62/135


Ad esempio, in un modello diEdSdominato da materia

[ ]2/30

)1(1

3

2)( += z

H

ztlb

ANCORA ORIZZONTI

mo visto che lorizzonteAbbia delle particelle datodalla

t

H

cdttatd

')()(

ta0 )'(

Nel caso di un modello di EdS, che per altro appropriato per descrivere le fasi non troppo avanzate

delluniverso, risulta

tcw

wtdH

31

)1(3)(

++

=

Vediamo che dH t (w=0 (MD) dH(t)=3ct; w=1/3(RD) dH(t)=2ct). Per questi modelli il raggio diHubbleRH(t)=c/H(t)

)(2

31

2

)1(3)( td

wtwctR HH

+=

+=

cio raggio di Hubble ed orizzonte coincidono o quasi;

ricordiamo per che RH una quantit istantanea,

mentre dH una quantit integrata.

- 62 -


63/135


Nei modelli con una fase inflattiva dH risulta in realtmolto maggiore diRH.

Il modello di Milne, con a(t)=ct, non ha orizzonte delleparticelle (dH).

Abbiamo gi visto che il modello in espansioneesponenzial orizzontedegli eventi d =c/H=R =cost. Cosa accade nel

= 1)? Se vediamo landamento di dE(t), essotende asintoticamente ad un valore costante (luniversotende ad un modello di de Sitter).

Orizzonte degli eventi e distanze proprie

e (conH=cost) di de Sitterha unE H

modello che pare rappresentare il nostro universo (M

+

Mpc

z=1.7z=5

z=1dE(t)

t in Gyr

t0

- 63 -


64/135


Se si traccia poi landamento della distanza propriadpr(t) per oggetti che oggi presentano un redshift z,

detto pi sopra, li vedremo sempre,

trovo che oggetti che oggi hanno z 1.7 stanno

uscendo da dE, per cui non conosceremo mai che nesar di loro! Comecon redshift crescente, ma i fotoni che partono oggi daloro non ci raggiungeranno mai. Oggetti che oggihannoz=5 sono usciti da dEa t6.2 Gyr; il CMB, oggiaz1100, uscito da dE a t0.6 Gyr. Vediamo quindi

che la presenza di una costante cosmologica fa sentire isuoi effetti anche su eventi lontani nel passato, nonsolo su quelli recenti e futuri.

Caveat: Il raggio di Hubble rappresenta la zona dispazio entro la quale possibile scambiareinformazioni; una scala molto importante perlevoluzione delle perturbazioni che hanno dato originealle strutture oggi presenti nelluniverso. Poich glistudi teorici che spiegano queste strutture sono iniziatiquando ancora non si parlava dellinflazione, e neimodelli di EdS raggio di Hubble ed orizzonte (delle

particelle) in pratica coincidono, invalso lusoimproprio del termine orizzonte per indicareRH. Primadellinflazione questo non cambiava molto le cose, manei modelli con fase inflattiva la differenza notevolissima! Ciononostante si tende spesso ad usareancora il termine orizzonte per indicare il raggio di

Hubble.

- 64 -


65/135


r(z)

Una grandezza fondamentale, come vedremo, per il

confronto tra modelli cosmologici ed osservazioni lacoordinata co-movente radiale r. In particolare, essenziale la sua dipendenza dal redshiftz.

Abbiamo visto la relazione

dz

zH

c

kr

dra

)(1 2

0 =

conH(z)H0E(z),

[ ] 2/12034 )1)(1()1()1()( zzzzE MR ++++++=

come anche:arcsin(r) (k=+1)

===

=zr

krzE

dz

Ha

c

kr

drr

00002

)0()'(

'

'1

')

kf (

arcsinh(r) (k=-1)

Se ricordiamo che

)1( 0202

0

2

=Ha

kc

si ottiene, definendo la funzione sinn(x), la seguenteealzione pera0 r(z):r

- 65 -


66/135


zEH 0

0

00

0 )'(1

= z

dzczra

'1sinn)(

dovesinn(x)=sin(x) per0>1(k=+1) esinn(x)=sinh(x)per0


67/135


Nel caso, invece, in cui sia M+=1 si ha:

4.00 M

0

2)(

H

czra

Per valori piccoli dizsi pu usare lo sviluppo in serie

++

K200

0 2

1)( z

qz

H

czra

DISTANZA DI LUMINOSITA

Il flusso bolometrico (integrale) Fbol che ci arriva dauna sorgente di luminosit L , ad un redshift z, concoordinata radiale r,

220

dove il termine 4a

2 4)1( raz

LFbol +

=

roviamo,mentre il fattore (1+z) deriva dal redshift subito dai

fotoni e dal loro tasso di arrivo.

Se vogliamo usare una relazione analoga a quella

02r2 rappresenta larea della sfera

centrata sulla sorgente e sulla quale noi ci t2

euclidea, definiamo ladistanza di luminosit dL

)1(4 0

2/1L

zraF

d

bol

L +=

- 67 -


68/135


Perzpiccolo

+

+ Kz

q

H

czd

L 2

11 0

0

lparagrafo precedente. Per passare alle magnitudinipossiamo usare la solita relazione, usando per dL:

mentre in generale si devono usare le relazioni viste ne

5log5 , = pcLbolbol dMm

In questo modo, se abbiamo degli oggetti da con-siderare stessacandele standard, che hanno tutti laMbol, la loro mbol in funzione dizdipender dal modellocosmologico: si ottiene il cosiddettodiagramma m-z odiagramma di Hubble.

In realt non si misuraFbol, ma il flusso entro una certabanda spettrale. Il flusso monocromatico dato dalla

[ ] [ ])()1(4)1(4)1(

)(0

220

2220

30

)1/()()1/( 000

zrazrazF

+

zLzL +

+=

+=

dove (), =

+

spettrale. Il secondo

re (nelcaso non ci sia anche unevoluzione intrinseca inluminosit)

0/(1+z), lo spettro, normalizzato, della

sorgente, ed il fattore supplementare (1+z) derivadallallargamento della bandafattore a destra nellespressione tiene conto dellamonocromaticit del flusso, e permette di scrive

)(5log5)()( 0,00 KdMm pcL +=

- 68 -


69/135


+

+

()1(

1log5.2)(

0

0

0

z

zK

)

K(0) detta correzione K.

Il diagramma di Hubble non ha rappresentato un testcosmologico decisivo fino alluso delle SNIa.

- 69 -


70/135


DIAMETRI ANGOLARI

Se osserviamo un oggetto che, quando ha emesso i

fotoni oggi ricevuti, al tempo t1, aveva un diametroD,sar

21

222 )( dtarD =

Ad

D

ra

zD

tra

Dd

+==

01

)1(

)(

che definisce ladistanza dal diametro angolare dA.

20

)1(1 z

d

z

rad LA +

=+

=

Per piccoli valori diz

+

+ Kz

q

H

czdA 2

31 0

0

+

++ Kz

q

cz

DHd

2

31 00

Notiamo che langolo appare maggiore che nel casoingenuo, v = H0d = czd= D/d =DH0/cz. Questo dovuto allespansione delluniverso: quando i fotonisono partiti loggetto era pi vicino, e quindi sot-tendeva un angolo maggiore.

I test cosmologici non sono conclusivi e suggerisconopiuttosto effetti evolutivi.

- 70 -


71/135


0.01 0.1 1 101

10

100

1 .103

trace 1trace 2trace 3trace 4trace 5

In realt questo metodo ha dato i suoi frutti applicato alCMB, usando come scala D la dimensione delcosiddetto orizzonte sonoro (~RH), allepoca delloultimo scattering (zls1100).

Perzpossiamo scrivere (= 1 se 0, 0.4

c d0D

M=0.3 piattoM=0 piattoM=0.3 aperto Relazione - z per vari modelli

cosmologiciM=0 apertoM=1

se + M= 1) perdA edRH:

( )lsMlsA

zH

czd

+

1

2)(

0

( )23

00 1)()(

)(lsMlsls

lsH

zHzEHzH

zR

+

==

cc c

- 71 -


72/135


Otteniamo quindi

( ) ( )

21

21

21

9.012

)(

+

=

M

o

ls

M

lsA

lsH

s zzd

zR

Se usiamo invece il multipolo l/, usato nellapresentazione dello spettro di potenza angolare del

CMB, otteniamo:rap

( )2121

21 20012

+

MM

ls

s

s

z

l

Dipendenza di s edls da Mnei modelli aperto ( + =1)=0) e piatto ( M

Il calcolo esatto della posizione del primo piccoacustico porta in realt a risultati molto simili. Si noti

0 0.5 10

0.5

1

1.5

2

d_o

d_f

M

pen M( )

lat M( )

0 0.5 10

200

1000

400

600

800

1200

l_open M( )

l_flat M( )

M

- 72 -


73/135


la scarsa dipendenza da M nei modelli piatti e comesparisca la dipendenza daH0.

Spettro di potenza angolare del CMB (Satellite WMAP):si noti la posizione del primo picco a l200.

Abbiamo visto che langolo corrispondente, nel CMB,ad RH dellordine del grado. Ricordiamo che neimodelli di EdS, che peraltro sono una buona appros-simazione a zls, RHdH. Questo significa che regionidistanti tra loro qualche grado non erano mai entrateprima in contatto causale; come si spiega allora

lenorme uniformit del CMB, con fluttuazioni

T/T10-5? Questo il cosiddetto problemadellorizzonte, che viene superato dai modelliinflattivi, per i quali dH(zls)>>RH(zls).

WMAP

- 73 -


74/135


CONTEGGI DI SORGENTI

Altri vincoli osservativi vengono dai conteggi di

sorgenti. Il numero di sorgenti di densit propria nenute nellintervallo rr+dre nella golocont n solidodsar

2

23

1 kr

drdrandVndN

==

che si pu scrivere nella forma

[ ])()1(

)()(3

20

0 zEz

zrazn

H

c

dzd

dN

+=

Nel caso in cui non ci sia nascita e/o morte di sorgenti,n(z)/(1+z)3=n

0=cost. Integrando la relazione si ottiene

il numero di sorgenti entro un certo redshift,N(


75/135


(da Bahcall and Fan,1998, ApJ 504, 1)

FONDI COSMICI

In una situazione statica lintensit specifica (brillanza)

Iemin

si conserva lungo la linea di vista (se non ci sonoissioni e/o assorbimenti). Nelluniverso in espansione,

vece,

3330

30 )1( emz

00 )( em)]1([)( IzII =+

+

=

indipendente dal modello cosmologico.

- 75 -


76/135


Supponiamo ora che vi sia una sorgente diffusa diradiazione che emette in modo isotropo erg s

-1cm-3Hz-1Per unit di angolo solido: /4erg s

-1cm-3Hz-1sterad-1.

c dt

d

dA

/4

Lenergia dE che attraversa dA nel tempo dtentro ded per il contributo del volumetto dVsar

=

=

dddt

dV

dtcdA

dddtdAIdE

43421)(4/

da cui si ha

dt

c

dIem

em

4

)(

)( = che, allarrivo, diventa

dtz

zcdIdI em

em

30

3

00

)1(

)]1([

4)()(

+

+=

=

Essendo

- 76 -


77/135


)()1(

1

0 zEzHdz

dt

+=

lemissione totale alla frequenza , traz ez 0 1 2

( )[ ]

( ) ++

=2

1)(1

,1

4)( 0

00

z

z

dzzz

zz

H

cI

dove si esplicitata anche la dipendenza di da z.Questa relazione permette quindi di stimare, per i vari

4E

modelli cosmologici, il contributo al fondo cosmico deivari tipi di sorgenti.

Nel caso classico, newtoniano e statico con spazioeuclideo, lintensit specifica si mantiene costantelungo il cammino, ed non dipende dal tempo, per cuiil fondo prodotto tra il tempo ti e t0

( )icl ttc

I = 00

0 4)()(

Se luniverso fosse infinito nel tempo (ti -) avrem-

mo Icl(0) : il cosiddetto paradosso di Olbers(Perch il cielo buio di notte?). Se per luniverso

finito nel tempo o nello spazio, o se comunque le stelle

dosso, ma la vera chiave sta in quanto scritto sopra.

hanno una vita di durata finita, il paradosso si risolve.

Lespansione delluniverso aiuta a risolvere il para-

- 77 -


78/135


IL BIG BANG CALDO

HOT BIG BANG

e elativoallevoluzione nel tempo del nostro universo sono 3:Le basi su cui si fonda il mod llo standard r

1.lespansione delluniverso2.la radiazione termica di fondo a 2.73 K(CMB),

che rivela lesistenza di una fase di vita

delluniverso in equilibrio termodinamico3.la previsione delle abbondanze degli elementi

leggeri (D, 3He, 4He, 7Li), in particolare dellelio;questa nucleosintesi cosmologica richiede inoltreche vi sia stata unepoca in cui T109K

A questi fatti si pu aggiungere che let predetta perluniverso confrontabile allet stimata direttamenteper alcuni tipi di oggetti (ammassi globulari, ), eche possibile dare una spiegazione teorica ragio-n

i

heovano una risposta attraverso il meccanismoellinflazione.

evole per la formazione delle strutture cosmicheattraverso il loro collasso gravitazionale, a partire dalle

perturbazioni evidenziate nel fondo a microonde

(CMB). Ricordiamo peraltro i problemi dellapiattezza e dellorizzonte (+ quello dei monopoli) cuabbiamo gi accennato e che non trovano soluzione nelmodello standard di evoluzione cosmica, ma ctrd

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L

Al momento attuale, in attesa di una teoria quantistica

defeno

EPOCA DI PLANCK

lla gravitazione, le speculazioni a ritroso nel tempo sirmano allepoca in cui la gravitazione diventa forte en pu essere trascurata rispetto alle altre interazioni.

1.Elettromagnetismo 137/1/2= ce hem

2.Interazioni deboli 30/1/2 WemW sen

3.Interazioni forti2

0ad12.0)/ln(/73.0~ cMEE ZQCDs = n co QCD ~ 200 MeV (MZc

2 ~ 90 GeV)

4.Gravitazione 392 106/ = cGm h ma m=E/c2pG2

552 ~~se1/

21

cMG

cEEcGE PlPlG

==

hh

1/i60

40

20

Log E

3/81/em

1/W

1/s

EGUT~1016

GeV

1/G

- 79 -


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EPl 21016 0-5 g. Dalleerg 1.21019 GeV; M 21Pl

clttE /~e relazioni h , lenergia di PlanckEPlcorrisponde ad una scala (lunghezza di Planck)

cmc

G

E

clPl

333

106.1~~~2

1

hh

Pl

e ad un tempo di Planck

sc

G

c

l

t

Pl

Pl ~~

445 105~

21

h

Possiamo quindi andare a ritroso nel tempo fino allaenergia E l, quando let delluniverso era t ~ tPl (epocadi P Pl, la densitera

P

lanck), lorizzonte delle particelle era ~ l

3932

5

2 105~~1~ cmgGc

GtPlPl

h

e la massa entro lorizzonte era MH ~ Pl lPl3 ~ MPl.

Secondo alcuni sviluppi della teoria delle stringhe lPlpotrebbe essere la scala minima delluniverso a causa diuna dualit tra scale piccole e grandi r1/r edesisterebbe una storia pre-big bang delluniverso.

http://www.to.infn.it/~gasperin/

- 80 -


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TERMODINAMICA DELLUNIVERSO

PRIMORDIALE

Risalendo nel tempo Tecrescono e ci si aspetta che leparticelle raggiungano lequilibrio termodinamico attra-veso rapide interazioni. Il rate di interazione =nv

on la temperatura, del rate dicresce pi rapidamente, cespansioneH, per cui Ha Televate. Questo significache, per quanto riguarda le interazioni, lespansione quasi-statica e c il tempo perch luniverso si riaggiusticontinuamente in condizioni di equilibrio termodinamico.Questo permette una trattazione molto semplice dellefunzioni di distribuzione delle particelle.

In eq. termodinamico la densit numerica n di particelledi una specie, con quantit di moto trap ep+dp

12 32

2

=dppg

dn

kT

E

e

h

dove E2=p2c2+m2c4, il potenziale chimico e g ilnumero di stati di spin per la specie (g=1 se m=0,s=0;g=2 se m=0, s0; g=2s+1 se m0;g=2, ge=2, mag=1perch solo neutrini left handed); il segno + o corrisponde a fermioni (f) e bosoni (b). Per varie ragionisi pone =0 (fermioni non degeneri).

I fotoni: distribuzione planckiana con T(t); se una specie

A in eq. con i fotoni (A

H), TA=T e lo stesso pertutte le specie in equilibrio; TTuniverso.

- 81 -


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2 2 2 2Caso ultra-relativistico:kTmic ; E ~ p c

2i kTgdpp

02

0/32 1212 ukTpci ece hh

Per i fotoni (g

23

i duug

n

= 2) 3

2)3(

2

=c

kTn

h

e per bosoni e fermioni

)(

2

)3(33

2,Tn

T

Tg

c

kTgn iiiiib

=

=

h

)(8

3)3(

4

333

2,Tn

T

Tg

c

kTgn ii

iiif

=

=

h

Per quanto riguarda la densit di energia

( )

0

3

332

4

0/

3

322

1212 ui

kTpc

ii

e

duu

c

kTg

e

dppcgc

hh

(x): funz. Zeta di Riemann(3)=1.202(4)=4/90=1.082

(+)fermioni

=3/2(3)(-)bosoni

=2(3)

Cost. d Stefan-Boltzmanni(-)bosoni(+)fermioni

=7/86(4) =6(4)4315

33

105659.7

15=

=

Kcmerg

ca

h

42k

- 82 -


83/135


Abbiamo:

41672

,4

212

, iiifiiib aTgcaTgc ==

kTkTEkTkTEfb

15.3)3(180

770.2

30

44

====

)3(

Pres i c2sione P =: i 1/3

Caso non relativistico:kT


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conto del fatto che il contributo alla c2Se teniamototale (come pure alla P totale) delle specie nonrelativistiche trascurabile, si pu ben approssimare

44444 344444 21)(

*

,

4

,87

44

2122

Tg

T

Tg

T

TgaTcc

relfi

ii

relbi

iiR

+

= ==

doveg*(T) il numero efficace di gradi di libert delleparticelle relativistiche, cio con m ci2


85/135


Scala dei tempi: Nellepoca RD luniverso ~ EdS,

per cui=3/(32G t2

),E ~ 3kT,=R e

( )22/1*2/1

*

5 4.2102.2(sec)

MeVGeV kTgEgt

2

Equilibrio termodinamico: Si trova che luniverso in equilibrio termodinamico per

1 MeV kT 1016GeV (~EGUT)Allenergia di ~ 1 MeV i neutrini cessano di interagirecon materia e radiazione, cio si disaccoppiano. Inrealt lequilibrio termodinamico tra fotoni, elettroni e

protoni si mantiene fino a z~107 per effetto delle

transizioni free-free e doppio scattering Thomson chepossono sia creare che distuggere fotoni. Perz


86/135


scattering Thomson mantiene il numero di fotoni econserva la distribuzione di corpo nero dei fotoni. Si

pu anche verificare che il cammino libero medio delle

particelle molto maggiore della loro mutua distanzamedia gas perfetto.

ENTROPIA

In eq. termodinamico lentropia S in un elemento divolume co-movente si conserva durante lespansione(in assenza di eventi che producono entropia, cometransizioni di fase e decadimeto di particelle). Ssi puscrivere come

T Pca

S)( 23 +

=

Si definisce la densit di entropias

T

Pc

V

Ss

+=

2

Questa dominata dal contributo delle particelle relati-vistiche, per cui sar, con buona approssimazione, perogni speci 2 c2 T=4ic

2/3T,e il contributo totale diventa

e relativistica si=(ic +1/3i )/

3

*

2

*

, ,,

333 )(

45

2

)(

8

7

3

2

=

+

= c

kTTg

k

Tg

T

Tg

T

TgaT S

S

relbi rel fi

ii

ii

h44444 344444 21

=s

- 86 -


87/135


Notiamo che se Ti T per tutte le particelle relativi-stiche, come accade per buona parte della storiadelluniverso primordiale, allora g*=g*S (vedi figura

sopra). proporzionale ad n; si ha infattiNotiamo anche ches

nTgkks S )()3(45 *4

=

nTg S 8.1)(* =

Oggi (kT1 MeV)g*S=2+7/8234/11=3.909 e

nks 04.7

So * *S *S n non possono essere sempre usati in modointercambiabile!

pra ~ 1 MeV:g g N.B.:g funzione di Ts ed

La conservazione di Simplicas a-3, ed anche che

costan33* = aTgS te mentre luniverso si espande.

Poich s a-3, la dimensione fisica di un volume co-movente a3s-1. Il numeroNdi particelle di una speciein un volume co-movente , Nna3, uguale (in realt

proporzionale) a n/s: Ni ni/s. Se le particelle nonvengono n create n distrutte, alloraNi ni/s=cost.

Il numero di barioni (differenza tra barioni ed antibarioni)in un volume co-movente

s

nn

s

n bbB

- 87 -


88/135


Fintanto che le interazioni che non conservano il numerorionico (se esistono!) avvengono molto lentamente,ba

nB/s conservato.

Tuttavia il rapporto barioni-fotoni , un parametroimportante nella nucleosintesi cosmologica,

s

nTgk

n

n BS

B = )(8.1 *

non rimane costante perchg funzione di T. M*S a dopo

la annichilazione di e+ ed e- (~ 0.5 MeV) g*S costante(=3.909) e 7.04 k nB sono intercambiabili./s e nB/sCome vedremo, la nucleosintesi primordiale richiede unvalore di 510-10, e nel nostro universo ci sono quindioggi circa 109 fotoni per ogni barione. Anche lentropia

per barione,s/nB=7.04 k/ 71010k/ , elevatissima(10/10-10)

e

10

Il fatto che S = cost. implica ch

1*

31 agT S

Se g*S costante T a-1. Il fattore g*S-1/3 entra in giocoperch quando una particella diventa non-relativistica esparisce (lannichilazione sempre meno compensatadalla creazione di coppie), la sua entropia trasferita allealtre particelle relativistiche presenti, e T decresce pilentamente.

Se una perticella ultra-relativistica si disaccoppia altempo t=tD, quando T=TD e a=aD, non beneficia dello

- 88 -


89/135


scambio di entropia dovuto allannichilazione (a T


90/135


per a > ae) si conserva lentropia (g*S T3a 3 = cost.) e,

indicando con a-, T- ed a+, T+ i valori subito prima esubito dopo lannichilazione, avremo (a

+ ae a-):

333333* 2)228

72( ++ =+= aTaTaTg S

prima dopo

e++e- gi

da cui

TT=

=+

11 TT

314

Poich dopo ae entrambele temperature scalanocome 1/a, il rapporto traT e T si mantieneinalterato nel tempo e se

.73 K, T0=1.95 K.

In realt, la temperatura

T0=2

non sale bruscamente, madecresce pi lentamente di1/a finch non terminalannichilazione di e+ e e-(vedi linea punteggiata)

T

T

logT

T+

T-

log aa ae

- 90 -


91/135


Per lodierno CMBrisulta:

3

4

03440

1067.4

== cmg

TTa

20 c 73.2

3

3

0

3

00*

0

73.22934)(

45

2

=

= cm

T

c

TkTg

k

sS

h

3

3

0

3

020n 73.2417)3(2

=

= cmTc

Tk h

Per ogni famiglia di neutrini, contando e ,

g

113=

TT

221

43

3

=+

nn

3

3

0

cm

0, 73.2114+

=

Tn

Possiamo stimare allora il contributo dei neutrini allamateria oscura no barioni

famiglie di neutrini:

ca n h2 per N (N=3)

=

im

=

N

i ceVh

1 2

2

1011.0

g +

- 91 -


92/135


Vediamo che per mi10 eV/c2 il contributo neutrinico

alla materia oscura non barionica potrebbe esseresignificativo. In realt i dati del CMB e della struttura a

grande scala forniscono h2


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(RI)COMBINAZIONE EDISACCOPPIAMENTO DEI FOTONI

Ad un certo momento della storia cosmica protoni edelettroni si (ri)combinano, quindi la densit numerica nedegli elettroni cala bruscamente ed il rate di interazionetra fotoni ed elettroni neTc diventa H, (T lasezione durto - T=6.6510-25cm2 - dello scattering

ering.

Lequilibrio di ionizzazione tra elettroni (e), protoni (p) eatomi di idrogeno (H) regolato dallequazione di Saha

Thomson) per cui i fotoni si disaccoppiano dalla materia,subendo il loro ultimo scatt

kTBe

epep ggnn

2

2 h

HH ekTmgn

23

=

dovege=gp=2,gH=4, me la massa dellelettrone eB il potenziale di ionizzazione dellatomo di idrogeno(13.6 eVse assumo che tutti gli atomi siano nel livellofondamentale).

Definisco Xenp/(np+nH) ionizzazione frazionaria,esprimo n in funzione di T, ricordo che nc

B/n =ostante=2.710-8bh

2, nB=np+nH= 0b/mp, mp massaprotone,0b=b0cr, e riscrivo leq. di Saha:

kTB

ee

e ecm

kT

X

X 24123

22)3(

=

con T=T0(1+z).

- 93 -


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And h2amento di Xe per vari valori dib

Come si vede, al crescere di b h2

le curve si spostanove

Seric

rso valori maggiori diz.

prendiamo Xe=0.1 come riferimento per laombinazione si ottiene:

( ) 1380124013801 +z bric ricombinazione non avviene per in modo completo

rch ad un certo punto

023.02h

Lape rec H e questa si congela,la n stimare ache zquesto succede confrontiamo H(z)H0M

1/2(1+z)3/2con il rate di ricombinazione rec=ne dove il prodotto della sezione durto free-boundvelocit degli elettroni, mediato su una distribuzione

sciando u a piccola ionizzazione residua. Per

per la

- 94 -


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Maxwelliana di velocit per questi ultimo e tiene contodella ricombinazione a tutti i livelli n dellatomo diidrogeno. Si ottiene

dtt

e

Tn

ev

kTB

tkTB

nfb

n

n

=233

6, 10262.3

doveBn il potenziale di ionizzazione dal livello n. Unautile approssimazione per la somma su tutti i livelli (caso A)

++= 312114, 469.0ln21

4288.010197.5)( n

nfbA vT

T/10579.1 5

Ma le ricombinazioni al livello fondamentale produconolemissione di un fotone in grado di ionizzare a sua volta

(caso B). Perci useremoaltri atomi, per cui quelle che contano veramente sono lericombinazioni ai livelli n>1

= vTT fbAB 1,)()(

e rec= ne B(T). Usando

hXmXnXn bepbeBee +===

a

( )325 11013.1/ z

si ottengono le curve della figura seguente, dalle quali sivede che la ricombinazione pu procedere quasi fino allafine, con unzcong tra 950 e 1050.

Rimane una ionizzazione residua (con i soliti par metri)

42

2

5 104102

h

hX Mcong

b

- 95 -


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H rec

Per stimare il redshift zdec al quale i fotoni cessano diinteragire con la materia dovremo porre neTc H. Il

risultato mostrato nella figura seguente, dove si vedeche 1+zdec1100.

H

dec

- 96 -


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Notiamo che il disaccoppiamento dei fotoni dalla materianon corrisponde al disaccoppiamento della materia daifotoni, perch questo definito dalla condizione

z

mat nTc H che corrisponde a 0-300 (gli elettroni

presenti per la ionizzazione residua interagiscono con iprotoni e, tramite urti, anche con gli atomi di H neutro).

Un calcolo pi dettagliato del processo di ricombinazionemostra che la Xe(z) risulta maggiore di quanto stimatodallequazione di Saha. Unapprossimazione, valida per800


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ha la semplice relazione25.14

100037.0)(

z

z

dalla quale si vede che =1 corrisponde a z=1072.

La probabilit di ricevere un fotone dalla profonditottica pari a e-; alla probabilit di ricevere un fotoneche arriva dallintervallo tra e +d corrisponde una

probabilit di arrivare dallintervallo trazez+dz:

dz

dezgdzzgde

== )()(

doveg(z) la distribuzione di probabilit inzdellultimoscattering. Con lapprossimazione scritta sopra

=

25.1425.13

3

37.0exp1026.5)(

zz

zg 10001000

che ha un massimo perz=1067. Il 68% di probabilit compreso in un z 170 attorno al massimo, per cuivediamo che levento ultimo scatteringnon istantaneo enon corrisponde ad un unico redshift.

Possiamo stimare let delluniverso allepoca dellultimoscattering, assunto qui pari a 1+zls=1067, usando larelazione esatta che mi fornisce il tempo in un universocon materia e radiazione, gi vista sopra. Per h=0.71,M=0.27, con i valori di visti prima e tre neutrini nonmassicci, fornisce

tls 3.9105anni- 98 -


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Distribuzione di probabilit in z dellultimo scattering

NUCLEOSINTESI COSMOLOGICA

(BIGBANGNUCLEOSYNTHESIS BBN)

Quando kT1 MeV, reazioni come

eee epnpenepn +++++++

che scambiano neutroni n in protoni p e viceversa, sono

veloci rispetto allespansione, i neutrini non sonodisaccoppiati e vi equilibrio termodinamico; neutroni eprotoni, sotto il GeV, sono non relativistici ed il rapportodelle loro densit numeriche nn ed np dato dalla

Tk

cmmcmm

n

pnpn

mnr

22 )()(23

= Tkn

p

eemn

dove mn ed mp sono le masse di neutrone e protone, ep

- 99 -


100/135


(mn-mp) scambiano tra loro n e p (con GF costante diaccoppiamento debole di Fermi) :

Se lo confrontiamo con H=1/2t (EdS nella fase RD),dove (vedi sopra),

c2=1.293 MeV. Il rate delle interazioni che

515)(2 TGskT FMeVpn

221* )(4.2(sec)

MeVkTgt

in cuig* 10, vediamo che npHperkTD0.7 MeV.I neutrini si disaccoppiano e le reazioni sopra elencatenon possono pi avvenire. Siamo a tD 1.5 sec. Ilrapporto tra neutroni e protoni si congela ad un valore

r0=nn/np exp(-1.293/0.7) 0.16.

Lun delica reazione possibile resta il decadimento

neutro sec.a, oltre a decadere, i neutroni possono combinarsi con i

verso reazioni velocicome

ne, con un tempo di vita media n=885.70.8M

protoni e arrivare a formare 4He attra

p+n 2H+ 2H+n 3H+ 3H+p 4He+2H+p 3He+ 3He+n 4He+

Il processo chiave la formazione del deuterio 2H, che haunenergia di legameBD=2.23MeV. A causa dellelevatonumero dei fotoni rispetto ai barioni la coda ad altaenergia della distribuzione dei fotoni dissocia subito ildeuterio che si forma, e questo fino a che il numero dei

fotoni dissocianti ndiss

non diventa comparabile conquello dei barioni, nB. Avremo

- 100 -


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n

n

n

n

n

n

n

n diss

B

diss

B

diss

==1

con 3

2)3(

=c

nh

La densit dei foto

2 kT

ni dissocianti si otter ponendop=E/cnella relazione che esprime la densit dei fotoni ponendoB come limite inferiore nellintegrazione:D

( )kTBD

B

kTE

diss D

D

ekT

B

e

dEE

cn /

22

32 122

=

h

nellintervallo di interesse, essendoE/kT > BD/kT1.

Per 1


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nuclei di 4He. Poich occorrono due neutroni per ogninucleo di 4He e questo ha peso atomico 4, labbondanza

, YBBN, di4He in massa

( )npn

nBBN

nnn

n

liberiprotonimassaHemassa

HemassaY

+

=+

124

244

4

23.01

2

+=

BBN

BBNBBN

r

rY

Il calcolo dettagliato, molto pi complesso, fornisce

valori simili, in accordo con i dati sperimentali chesuggeriscono Yoss 0.24.I parametri fisici che determinano YBBNsono tre:

1.la temperatura TD alla quale il rapporto nn/np sicongela, legata alla condizione np H. Ma Hdipende dag*=2+7/8[4+2N], quindi daN

2.il tempo di vita media del neutrone n3.il rapporto barioni fotoni nB/n=2.710

-8bh2, che

determina tBBN

A causa del grande valore di n rispetto a tBBN, YBBNdipende poco da , mentre pi sensibile al valore dig* atD e quindi a N. Si ottiene YBBN 0.013 N. Se N

rB

d N,cio N = 3 1, ha rappresentato il miglior vincolo sulnumero di famiglie di neutrini. Poi, con il EP, dallo

0

cresce, cresce pure TDe di conseguenza crescono r0, BNed YBBN (YBBN1 se N). Per una decina danni, dal1980 al 1991, il limite sperimentale erivato dalla BB

Lstudio del decadimento dello Z, si trovato che il

numero di famiglie di neutrini N=2.9930.011.

- 102 -


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abbondanze diLe

da

pi

ed le pi

stretta rappresenta i limiti su bh2derivati dal CMB.

4He (assumendo N=3), deuterio D,

3He e

7Li predette

lla BBN in funzione di 10. I box indicano le abbondanze osservate (boxpiccoli: errori statistici a 2; box pi grandi: errori statistici a 2errori sistematici, sommati in quadratura). La fascia vertica

- 103 -


104/135


Anche se leffetto principale della BBN la produzionedi elio, rimangono tracce di 3He e 2H(congelati quando ilrate delle reazioni che li producono diventa minore diH),

al livello di 10-4-10-5 in numero rispetto allidrogeno. Inquesto caso le abbondanze sono molto pi sensibili alvalore di di quanto non lo sia YBBN.

Attraverso processi come4He+3H7Li+ 4He+3He7Be+ 7Be+7Li+p

si produce anche una quantit di

7

Li10-10

-10

-9

in numerorispetto allidrogeno. Anche in questo caso labbondanze molto pi sensibile al valore di di quanto non lo siaYBBN.

La quantit di elementi pi pesanti che viene prodotta del tutto trascurabile a causa della mancanza di elementi

stabili con numero atomico di massa A=5 e 8, cheservirebbero come passi intermedi. Inoltre, per nuclei conpi di tre protoni, la barriera colombiana troppo elevataper essere superata alla temperatura della BBN. Bisognaaspettare la nucleosintesi nel centro delle stelle perarrivare a produrre C,N, O,Fe e tutti gli altri elementi.Ma la nucleosintesi stellare, oltre a produrre elementi

pesanti, pu alterare le abbondanze degli elementiprodotti nella BBN. Per questo si cercano oggetti conbasse abbondanze di elementi pesanti, quindi pi antichi,che dovrebbero avere abbondanze degli elementi leggeri

pi prossime a quelle primordiali.Poich non sembrano esserci processi astrofisici che

producono deuterio, mentre levoluzione stellare tende adistruggerlo, i valori misurati della sua abbondanza

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forniscono un limite inferiore su D/H (superiore su ).Le stime derivate dal mezzo interstellare localeforniscono un limite inferiore D/H=(1.50.1)10-5. Ildeuterio stato osservato anche nelle righe diassorbimento dei quasar, quindi a distanze cosmologiche.Le misur derivate da questi sisteme i in assorbimentofornisono D/H=(3.00.4)10-5. Un limite superiore a

p er one nD/Hsi u otten e dalla non detezi del deuterio in usistema in assorbimento ad alto redshift: D/H


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BBN.

Se assumiamo cheN=3, lunico parametro libero (o

10). Ogni misura di abbondanza determina , per cuidobbiamo cercare la consistenza tra le abbondanze deivari elementi visti sopra. Se esaminiamo la figura,tenendo conto sia degli errori statistici che di quellisistematici, troviamo un accordo accettabile per

3.4 10 6.9 (95% C.L.)

Ma laccordo meno buono se consideriamo solamente4 7gli errori statistici: He e Li sono consistenti, maforniscono un valore di 10 discordante a 2da quello deldeuterio.

Tuttavia rimarchevole il fatto che, usando processi fisiciben noti, si riesce a risalire ad eventi accaduti nei primi

tre minuti di via delluniverso.Noto n, da si pu derivare bh2:

0.012 b h2 0.025 (95% C.L.)

Si ottengono cos dei limiti su uno dei parametricosmologici fondamentali.

Ma una stima indipendente di si pu ottenere anche dalCMB, in base allampiezza dei picchi presenti nellospettro di potenza angolare. I risultati dipendono dalleassunzioni a priori che si fanno sullo spettro di potenzadelle perturbazion co ii sm che in densit. Lasciando liberodi variare lindice spettrale, da WMAPsi ottiene

b h2=0.02240.0009 o 10=6.140.25

Queste stime non sono inconsistenti con quelle dedotte

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dalla BBN, specialmente per quello che riguarda il

ione nella cosmologia del Big Bang.

0

in coppie , il cui raterini Z0 decade pi

velocemente). Con la numero di

se molto maggiori delMeV, il

nuto dalLEP st li, interagendo molto pi

deuterio. Se si considerano per solamente gli erroristatistici, 4He e 7Li sono inconsistenti con il CMB, come

pure con il deuterio. Resta da chiarire se questadiscrepanza dovuta ad errori sistematici nelle misuredelle abbondanze e/o ad incertezze nellastrofisicastellare, oppure a nuova fisica oltre il Modello Standarddella fisica delle particelle.

Anche dopo l i da st ma i N con il LEP , la BBN

rappresenta ancora un vincolo efficace per le speculazionisulla fisica delle particelle oltre il Modello Standard. Erappresenta anche il confine tra sicurezza edestrapolaz

Osserviamo che le stime di N ottenute dal LEPe dallaBBN non sono esattamente la stessa cosa. Al LEP si

misurato il decadimento delloZ GFMZ

3N(pi specie di neutBBNmisuro g*, cio il

specie di particelle che sono relativistiche ad unenergiadi circa 1 MeV. Se fossero esistite altre famiglie dineutrini pesanti, con mas

LEPle avrebbe viste, ma non laBBN.Ma supponiamo che esistano delle particelle cheinteragiscono in modo pi debole delle interazioni deboli,ad esempio dei neutrini sterili con interazioni solo ditipo right-handeddi intensit GR


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elevata della TD1MeVdei neutrini normali. Se, tra TDse TD, altre specie di particelle si annichilano (come e

+ ede- dopo il disaccoppiamento dei neutrini) la T salerispetto alla TS dei neutrini sterili, e leffetto di queste

particelle sug* ridotto di un fattore (TD/T)4. Pi elevata

TD, pi specie non standard sono consentite dai vincolisug* (equivalenti ai vincoli suN) dellaBBN.

BARIOGENESI PRIMORDIALEIl quadro finora descritto ci lascia, tuttavia, con il

problema dellorigine del numero barionico e leptoniconetto, cio del perch vi siano pi quark che antiquark,

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