6 - Proprietà Reologiche Di Prodotti Alimentari

8/18/2019 6 - Proprietà Reologiche Di Prodotti Alimentari

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6. Proprietà reologiche di prodotti alimentari

Il termine “reologia” sta ad indicare “lo studio della deformazione e dello scorrimento della

materia”.

Le molecole di un materiale rispondono ad una sollecitazione esterna (deformazione) in un

tempo detto tempo di rilassamento (τ ):

-

gas: 102 s

Il numero di Deborah1 è il rapporto fra il tempo di rilassamento del materiale ed il tempo di

osservazione (De = τ / t ):

- De >> 1 per i solidi

-

De


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Deformazioni nei solidi

Lo stato di tensione in un solido è completamente definito da nove componenti:

Il comportamento ideale elastico si ha quando la deformazione è direttamente proporzionale

alla tensione; in questo caso l’energia spesa nella deformazione può essere tutta riottenuta

quando il solido non è più sollecitato.

Si consideri una barra rettangolare che, soggetta ad una forza di trazione, si allunga:

L = L0 + ∆ L

dove L0 è la lunghezza iniziale. Per piccole deformazioni si definisce la deformazione diCauchy:

c

L

Lε

∆=

mentre per grandi deformazioni si usa definire la deformazione di Henchy nel modo

seguente:

0 0

ln L

c

L

dL L

L Lε

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

In questo caso si ha che (legge di Hook):

τ ε = c E

τ = sforzo di taglio = forza/area

E = modulo elastico


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VI-3

Un altro tipo di deformazione comunemente incontrata in reologia è quella di taglio. Si

consideri una barra rettangolare con la superficie inferiore immobile e quella superiore

spostata di una quantità ∆ L:

( )tan L

hγ

∆=

In presenza di piccole deformazioni si ha:

γ ∆=

L

h

Gτ γ =

τ = sforzo di taglio = forza/area

G = modulo elastico tangenziale

Il modulo di elasticità tangenziale definisce la resistenza del solido alla deformazione. Esso

dipende, naturalmente, dalle caratteristiche chimico-fisiche del solido stesso.

I prodotti alimentari non sono mai solidi elastici ideali. La legge di Hook può comunque

essere impiegata per descrivere il comportamento di molti solidi: acciaio, pasta essiccata,

caramelle dure, ... in presenza di piccole deformazioni.


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Reologia di fluidi

Al contrario dei solidi, i fluidi (liquidi e gas ideali) subiscono deformazioni irreversibili, cioè

fluiscono. L’energia spesa nella deformazione viene dissipata all’interno del fluido sotto

forma di calore, e non può essere riottenuta annullando le sollecitazioni. Poiché un fluido

scorra, occorre fornirgli energia ininterrottamente. Inoltre, mentre i solidi possono essere

sottoposti a forze sia tensili che tangenziali (di taglio), ai fluidi si possono applicare solo

sforzi tangenziali.

Di seguito è riportata l’espressione generale della legge di Newton, dove con τ si indica la

tensione tangenziale, con γ il gradiente di velocità e con µ la viscosità, che è la costante di

proporzionalità:

τ µγ =

Si chiama viscosità la resistenza di un fluido alla variazione irreversibile di posizione dei suoi

elementi di volume.

I valori di viscosità che si hanno nei liquidi coprono un intervallo particolarmente ampio:

La viscosimetria riguarda prevalentemente le misure reologiche dei liquidi. Il flusso dei

liquidi può studiato con 4 differenti geometrie:

- Flusso tra due piani paralleli: un piano è fermo e l’altro è in moto.

- Flusso rotazionale tra cilindri coassiali: uno dei due cilindri è fermo, mentre l’altro

ruota trascinando con sé il fluido.

- Flusso capillare: una differenza di pressione tra l’ingresso e l’uscita del capillare (o del

tubo) fa scorrere il liquido.

-

Flusso tra una piastra e un cono o tra piastre parallele: una piastra è ferma, mentre

l’altra (oppure il cono) ruota.


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VI-5

Si definisce curva di flusso un grafico dello sforzo di taglio in funzione del gradiente γ ,

grafico che definisce il comportamento reologico del liquido. La curva di flusso più sempliceè quella di un liquido in cui la viscosità è costante e indipendente da γ :

Un secondo grafico molto usato è quello di µ in funzione di γ , chiamato curva di viscosità:


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VI-6

La viscosità di un liquido è funzione di:- struttura chimica;

- temperatura;

- pressione;

- gradiente della velocità di scorrimento;

-

tempo.

I fluidi newtoniani presentano una resistenza allo scorrimento indipendente dal modo con cui

si sollecita il sistema, ovvero indipendente dal gradiente γ . Nei fluidi newtoniani esiste unalinearità tra sforzo e gradiente in cui il coefficiente di proporzionalità è la viscosità,

corrispondente allo sforzo di taglio per unità di superficie che si esercita sul prodotto quando

questo viene sottoposto ad un gradiente di velocità unitario.

Sono fluidi newtoniani i prodotti alimentari che contengono composti a basso peso

molecolare (ad es. zuccheri) o che non contengono elevate concentrazioni di polimeri disciolti

(ad es. pectine, proteine,...), o solidi insolubili. Esempi di fluidi newtoniani sono:

- bevande (thé, caffé, birra, vino);

- latte intero, scremato e concentrato;

-

soluzioni zuccherine (miele, melasse, sciroppi di glucosio);

- succhi naturali di frutta depectinizzati e chiarificati (uva, agrumi, mela, ...).

Nei fluidi non-newtoniani la viscosità dipende dal gradiente della velocità di scorrimento γ .

In questo caso si parla di viscosità apparente, intendendo per essa il valore di viscosità che si

ha in corrispondenza di una certa velocità di scorrimento. Questa classe di fluidi viene

suddivisa in due sottogruppi:

-

fluidi puramente viscosi, in cui il comportamento non cambia nel tempo (si

suddividono a loro volta in plastici, pseudoplastici e dilatanti);

- fluidi con viscosità dipendente dal tempo (si suddividono i tissotropici e reopeptici).

I fluidi plastici hanno bisogno di uno sforzo iniziale poiché il sistema ha una struttura


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tridimensionale resistente per cui, per poterli mettere in moto, richiedono l’applicazione di

una forza tale da fare collassare la struttura. Esempi di prodotti alimentari plastici sono la

cioccolata fusa, fondente od al latte, il ketch-up, la senape....

I fluidi pseudoplastici presentano una curva di flusso con la concavità rivolta verso il basso,

e ciò significa che a bassi gradienti di velocità la viscosità apparente è elevata, mentre ad

elevati gradienti di velocità la viscosità apparente si abbassa. Se il sistema è costituito da

particelle di diversa forma, ad una piccola sollecitazione viene opposta una certa resistenza; se

invece si aumenta la sollecitazione, le particelle sono costrette ad orientarsi nella direzione del

moto. Una volta che è avvenuto l’orientamento delle molecole, la viscosità del fluido è

minore. Altra ipotesi per spiegare il comportamento dei fluidi pseudoplastici è quella che

ipotizza la presenza di molecole solvatate. Gli zuccheri ad esempio hanno un numero di

coordinazione molto elevato, per cui a bassi gradienti di velocità le molecole sono poco

sollecitate, mentre ad alti gradienti di velocità le molecole di solvente si possono parzialmente

staccare, per cui la molecola diviene via via più piccola, diminuendo così la viscosità del

fluido. Esempi di fluidi pseudoplastici sono i succhi e le puree di frutta, i vegetali concentrati,

la crema di latte, uova, la cioccolata fusa, le gomme alimentari e i concentrati proteici di

caseina e di sieroproteine.

I fluidi dilatanti si caratterizzano per una bassa viscosità a bassi gradienti di velocità, e perun successivo aumento della viscosità con γ . Tale comportamento è tipico delle sospensioni

di solidi in certi liquidi a concentrazioni di fase solida relativamente elevate. In questo caso il

liquido è così poco che riesce a riempire i buchi esistenti tra le particelle solo quando il

sistema è in quiete o scorre a bassa velocità, mentre alle alte velocità il volume del sistema

aumenta a causa del campo di forza applicato, ed il liquido non riesce più a bagnare tutta la

superficie delle particelle e di conseguenza il fluido diviene più viscoso. Esempi di fluidi

dilatanti tra gli alimenti vengono dati da soluzioni di farina di mais e zuccheri, e mieli

contenenti destrano in alte percentuali.

La tissotropia è un fenomeno reologico di grande importanza industriale che richiede

un’interpretazione complessa, legata ad interazioni molecolari o intermolecolari. Nei sistemi pseudoplastici la diminuzione di viscosità che accompagna l’aumento di γ dipende


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soprattutto dall’orientamento delle particelle o delle molecole, orientamento che cessa appena

cessa il flusso. Di conseguenza, se si aumenta progressivamente γ registrando le

corrispondenti variazioni di sforzo di taglio e si costruisce la curva di flusso, si osserva che

essa è la medesima anche quando si parte da un valore elevato del gradiente e lo si diminuisce

progressivamente. Per molte dispersioni invece, oltre alla possibilità di orientarsi, le particelle

disperse mostrano interazioni che portano alla formazione di una struttura tridimensionale areticolo chiamata gel. Le interazioni sono spesso di tipo ionico o ponti di idrogeno, ed il

campo di forze applicato durante il flusso rompe questi legami. A gradiente γ costante, la

dissociazione non è però istantanea, ed è richiesto un certo tempo perché si raggiunga,

asintoticamente, la viscosità caratteristica del cosiddetto stato di sol della dispersione.

Tipica dei sistemi tissotropici è la diminuzione della viscosità con il tempo, quando γ viene

portato a zero, cioè quando il fluido è a riposo. Le modifiche strutturali subite dal sistema

durante lo scorrimento non sono permanenti.

Graficamente, il comportamento tissotropico è rappresentato nella figura seguente: la curva di

flusso “in salita” non coincide con quella “in discesa”, ma rimane tutta al di sopra di essa.

L’area tra le due curve può essere considerata una misura dell’intensità del fenomeno

tissotropico e la si interpreta come energia spesa (per unità di volume e di tempo) nella

dissociazione dei legami del reticolo.


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Le curve viscosità-tempo mostrano la diminuzione di µ caratteristica della trasformazione dagel a sol, e l’aumento di µ che si ha quando il flusso cessa. Questo secondo processo puòavvenire con velocità differente a seconda della natura del fluido e della temperatura, ma è

comunque può lento della trasformazione da gel a sol, e talvolta sono necessari tempi lunghi

perché la struttura del gel si riformi.

Sono fluidi tissotropici succhi concentrati vegetali o di frutta torbidi, mieli grezzi, latte

condensato zuccherato, maionese, albume d’uovo, crema pasticcera.

I fluidi reopeptici sono gli equivalenti dei dilatanti (curva di flusso con concavità rivolta

verso l’alto) e mano a mano che vengono sottoposti a cicli di variazione di gradiente di

velocità divengono sempre più viscosi.


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I fluidi viscoelastici hanno proprietà sia viscose che elastiche, ovvero l’energia di

deformazione fornita al sistema in parte viene in parte immagazzinata ed in parte provoca una

deformazione irreversibile, come nei materiali viscosi. Mentre un solido puramente elastico

reagisce ad un dato sforzo con una deformazione elastica, e torna nello stato iniziale

istantaneamente all’annullarsi dello sforzo, i materiali viscoelastici assorbono con un certo

ritardo le deformazioni indotte da un certo sforzo, quando la sollecitazione viene annullata.Esempi di fluidi di questo tipo sono i gelati, le creme, le emulsioni, gli impasti del pane e

della pasta.

Modelli reologici

Differenti modelli sono stati proposti in letteratura per descrivere la reologia di prodotti

alimentari il cui comportamento non varia nel tempo.

Le seguenti relazioni riguardanti le caratteristiche reologiche dei fluidi sono scritte per un

sistema di riferimento in cui il fluido scorre nella direzione x, quindi v x rappresenta la

componente lungo x della velocità del fluido, mentre τ yx rappresenta la tensione tangenzialeesercitata sulla superficie del fluido nella direzione x, per un valore costante di y, da parte diun fluido che si trova in una zona con un minore valore di y. Questo sistema di riferimento è

lo stesso della figura seguente dove viene rappresentato il profilo di velocità in regime

stazionario di un fluido newtoniano compreso tra due piastre, di cui una ferma e l’altra in

moto con velocità V .

x y

V

Il comportamento reologico in condizioni di regime stazionario per la maggior parte dei fluidi

può essere espresso nella forma generalizzata di:

x

yx

dv

dyτ η = −

in cui η può essere espressa in funzione sia di dv x /dy che di τ yx. Ovviamente se η èindipendente dal gradiente di velocità il fluido è newtoniano, η = µ e rappresenta la viscosità

del fluido.

Per esprimere le condizioni di regime laminare stazionario tra τ yx e dv x /dy sono state proposte

diverse espressioni empiriche o “modelli” e di seguito ne verranno illustrati alcuni, con

riferimento al loro utilizzo nel campo dell’industria alimentare.

L’equazione costitutiva del modello di Bingham è la seguente:

0 0 0

0

se

0 se

x

yx yx

x

yx

dv

dy

dvdy

τ τ µ τ τ

τ τ

= − >

= <


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Una sostanza che segue questo modello a due parametri resta in quiete fino a che la tensione

tangenziale è inferiore al valore critico τ 0 ( yield stress), ma si muove come un fluido

newtoniano non appena il valore critico viene superato. Si è verificato che questo modello è

sufficientemente esatto per molte sospensioni fini e paste. Nel campo alimentare ha trovato

applicazione per quanto riguarda margarina, grassi vegetali e alcuni prodotti del cioccolato.

L’equazione costitutiva del modello di Ostwald – De Waele è la seguente:

n

x

yx

dvk

dyτ

⎛ ⎞= − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Questo modello a due parametri è anche conosciuto come legge di potenza. Per n = 1 essa si

riduce alla legge di Newton con k = µ . La viscosità apparente η è pari a:

1n

xdv

k dy

η

−⎛ ⎞

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

quindi per valori di n inferiori all’unità, il comportamento è pseudoplastico, ovvero η diminuisce all’aumentare del gradiente di velocità, mentre se n è maggiore dell’unità si ha un

comportamento dilatante, ovvero η aumenta all’aumentare del gradiente di velocità.

Questa relazione è molto semplice ed anche molto utilizzata nella reologia, anche nel campo

dell’industria alimentare, infatti centinaia di prodotti alimentari presentano un comportamento

reologico conforme al modello di Ostwald-De Waele, ad esempio molti derivati del latte,

come yogurt e formaggi fusi, ed anche l’albume delle uova possono essere trattati con la legge

di potenza.

Nell’utilizzo di questo modello occorre prestare attenzione al fatto che i parametri k ed n sono

determinati sperimentalmente attraverso una procedura di interpolazione di dati sperimentali,

diagrammando il logτ vs logγ

, ottenendo così una retta la cui pendenza è n, e la cui intercetta

è k : tali valori sono affidabili per shear rate nell’intervallo di quelle usate per determinarli, e

grande cautela deve essere posta nell’estrapolazione di tali valori.


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L’equazione costitutiva del modello di Herschel - Bulkley è la seguente:

0 0

0

se

0 se

n

x

yx yx

x

yx

dvk

dy

dv

dy

τ τ τ τ

τ τ

⎛ ⎞= + − >⎜ ⎟

⎝ ⎠

= <

Questo è un modello a tre parametri (τ 0, k e n), che generalizza il modello di Ostwald – De

Waele introducendo un valore di sforzo critico ( yield stress) τ 0, che ha lo stesso significato

che ha nel modello di Bingham. Anche questa relazione trova rilevanti applicazioni per i

prodotti alimentari, come alcuni formaggi o il cioccolato al latte.

Il modello di Herschel-Bulkley è tra i più diffusi in letteratura e può essere linearizzato

sottraendo τ 0 da τ e diagrammando τ− τ 0 vs γ su di un diagramma doppio-logaritmico.


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VI-13

L’equazione costitutiva del modello di Vocadlo è la seguente:

1

0 0

00

n

xn

yx yx

x

yx

dvk se

dy

dvse

dy

τ τ τ τ

τ τ

⎛ ⎞= − >⎜ ⎟

⎝ ⎠

= <

Questo modello contiene tre parametri come quello di Herschel-Bulhley. Questa relazione è

utile per prodotti alimentari particolarmente densi, in presenza di basse velocità di

deformazione. Questo modello può essere utile per trattare il comportamento reologico di

maionese, concentrato di pomodoro e strutto.L’equazione costitutiva del modello di Casson è:

12

122

0 1 0

2

0

se

0 se

x

yx xy

x

xy

dvk k k

dy

dvk

dy

τ τ

τ

⎛ ⎞= + − >⎜ ⎟

⎝ ⎠

= <

Questo modello a due parametri è stato in origine proposto per trattare il comportamento

reologico delle sospensioni di pigmenti in olio: i parametri k 0 e k 1 sono correlati alla

concentrazione della sospensione, alla viscosità della matrice liquida, ed alla dimensione delle particelle. Nel modello di Casson è presente uno yield stress τ CA, ovviamente correlato alla

costante k 0:2

0CA k τ = . Oltre allo yield stress si definisce anche una viscosità di Casson in

relazione al parametro k 1:2

1k CA =η . Questo modello può anche essere applicato a sospensioni

diluite ed ha trovato grande applicazione per il cioccolato fuso.

Per un fluido la cui viscosità segue il modello di Casson si ottiene una linea retta quando si

diagramma ( )0.5

τ vs ( )0.5

γ : la pendenza della retta à k 1, mentre l’intercetta è k 0.


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VI-14

L’equazione costitutiva del modello di Ellis è:

( )10 1 x yx yxdv

dy

α ϕ ϕτ τ −− = +

che può anche essere scritta come:

1

0 1 2

11

yx x

yx

dv

dy

α

τ

τ η τ

−⎡ ⎤⎛ ⎞

⎢ ⎥− = + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

Le correlazioni tra i diversi parametri che compaiono nelle due forme sono0

0

1

η ϕ = e

1

210

1

1−

=α τ η

ϕ .

Questo modello a tre parametri è molto flessibile in quanto comprende la legge di Newton per

ϕ 1 = 0 e la legge di potenza per ϕ 0 = 0 come casi particolari, per questo motivo ha

applicazioni simili a quelle del modello di Ostwald-De Waele.

L’equazione costitutiva del modello di Eyring è:

1arcsen x

yx

dv A h

B dyτ

⎛ ⎞= ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Esso descrive un comportamento pseudoplastico per valori finiti dello sforzo di taglio, e si

riduce asintoticamente alla legge di Newton con µ = A/B al tendere a 0 dello sforzo di taglio.

Questo modello può essere applicato a prodotti alimentari come il latte e alcuni succhi di

frutta.


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VI-15

Effetto della temperatura e della concentrazione sulla viscosità

La temperatura è uno dei parametri più importanti che influenzano le proprietà reologiche di

un fluido. La relazione principale per descrivere la variazione di viscosità con la temperatura è

l’equazione di Arrhenius:

0exp a E

RT η η ⎛ ⎞= ⎜ ⎟

⎝ ⎠

nella quale E a è l’energia di attivazione, R è la costante dei gas e A è il fattore pre-

esponenziale.

Facendo riferimento alla legge di potenza come esempio di influenza della temperatura su un

fluido non-newtoniano, si ritiene che il parametro k sia influenzato dalla temperatura

seguendo la stessa legge di Arrhenius:

0exp a

E k k

RT

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

mentre si considera trascurabile l’effetto della temperatura sul parametro n. Tipici valori di k 0

sono compresi tra 10 -2 e 10 –8 Pa·sn. Il modello di Ostwald-De Waele assume così questa

forma (modello di Harper-El Sahrigi):

0exp

n

a x

yx

E dvk

RT dyτ

⎛ ⎞⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

Il metodo più utilizzato per calcolare l’influenza della concentrazione di solidi sul parametro k

della legge di Ostwald-De Waele è anch’esso una legge di potenza:

Bk A C = ⋅

dove A e B sono costanti e C è la concentrazione.

Complessivamente è possibile scrivere un'unica relazione che tenga conto sia dell’azione

della temperatura che della concentrazione sul parametro k come:

exp B a E

k AC RT

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Comunque è necessario evidenziare che queste leggi sono per lo più empiriche e non sempre

possono essere applicate: infatti è utile conoscere l’azione di temperatura e concentrazione

attraverso sperimentazioni su ogni tipo di fluido con cui si ha a che fare.


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Sospensioni di solidi in una fase continua newtoniana

Lo studio delle proprietà viscose delle sospensioni venne affrontato anche da Einstein che nel

1906 presentò un modello matematico per il calcolo della viscosità effettiva di una

sospensione diluita di sfere rigide in una fase liquida newtoniana e omogenea in moto in

condizioni stazionarie. Il termine diluita significa che si ipotizza che il movimento di una

sfera non influenzi lo scorrimento del fluido nelle vicinanze. L’equazione di Enstein è:

0

51

2

eff µ

φ µ

= +

nella quale µ 0 rappresenta la viscosità del mezzo di sospensione e φ è la frazione volumica

delle sfere. Per sospensioni diluite di particelle di diverse forme si può utilizzare la medesima

equazione, ma sostituendo il coefficiente 5/2 con un altro parametro, caratteristico della forma

presa in esame.

In seguito sono state proposte molte altre equazioni empiriche per casi simili a quello trattato

da Einstein, come l’equazione di Mooney per una sospensione concentrata di sfere rigide:

( )0 0

5

2exp1

eff

φ µ

µ φ φ

⎛ ⎞⎜ ⎟

= ⎜ ⎟−⎜ ⎟

⎝ ⎠

nella quale φ 0 è una costante empirica compresa tra 0.52 e 0.74.

Inoltre per soluzioni concentrate di particelle rigide non sferiche è possibile utilizzare

l’equazione di Krieger-Dougherty:

max

0 max

1

A

eff

φ

µ φ

µ φ

−⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

nella quale A e φ max sono parametri che variano al variare del materiale preso in esame.

Tutte queste equazioni vanno comunque usate con molta cautela, in quanto sono utili per

valutare la viscosità fino a quando il fluido complessivamente mantiene un comportamento

newtoniano, ma è molto comune che le sospensioni manifestino un comportamento non-

newtoniano, per le quali è necessario utilizzare i modelli presentati nei paragrafi precedenti.


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VI-22

Fluidi viscoelastici

Esistono fluidi che presentano nel loro comportamento sia una componente elastica che una

viscosa. Tra i prodotti alimentari esistono molti fluidi che presentano queste caratteristiche

come ad esempio pasta di pane, gelato, burro, amido e molti altri prodotti.

Il modello più semplice per descrivere tale comportamento è il modello di Kelvin-Voigt espresso dalla seguente equazione:

Gτ γ µγ = +

nella quale γ rappresenta lo scorrimento e γ rappresenta il gradiente di velocità, G è ilmodulo di elasticità tangenziale e µ è la viscosità. Ovviamente si riconosce subito che il

termine γ G rappresenta la componente elastica ed il termine γ rappresenta la componente

viscosa.

Un altro modello molto semplice è il modello di Maxwell:

µ τ τ

γ += G

I modelli di Kelvin-Voigt e di Maxwell possono essere visti il primo come la composizione in

parallelo dei contributi elastico e viscoso, mentre il secondo come una composizione in serie

dei due contributi. Le figure seguenti possono aiutare a comprendere le proprietà dei due

modelli presentati.

G µ

G

µ

Modello di Kelvin Modello di Maxwell

Oltre a questi esistono naturalmente molti altri modelli più complessi.

I fluidi viscoelastici vengono studiati usando l'analisi meccanica dinamica, applicando una

piccola tensione oscillatoria e misurando lo stress risultante. I materiali puramente elastici

hanno stress e tensione in fase, mentre nei materiali puramente viscosi la tensione presenta un

ritardo di fase di 90° rispetto alla deformazione. I materiali viscoelastici mostrano un

comportamento in qualche modo intermedio tra questi due tipi di materiali, mostrando dei

ritardi nella tensione.

Il modulo dinamico complesso G può essere usato per rappresentare le relazioni tra stress e

tensione:


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VI-23

G = G’ + iG’’

G’ = modulo di carico (o modulo di accumulo) = 0

0

cosσ

δ ε

G’’ = modulo di scarico (o modulo dissipativo) =0

0sin

σ

δ ε

essendo σ0 e ε0 le ampiezze della tensione e della deformazione, e δ il loro sfasamento.

G' e G" sono rappresentativi del comportamento solido, G', e liquido G", come appare

chiaramente dal fatto che uno è in fase con la deformazione, in accordo un comportamento

tipicamente elastico, mentre l'altro è sfasato di 90° in accordo con un comportamento

tipicamente liquido.

Si possono così definire le seguenti viscosità:

'' '' , ''

G Gη η

ω ω = =

che consentono di definire una viscosità complessa η

*

:


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VI-24

2 2

* ' ''G Gη ω ω

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠


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VI-25


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Modelli reologici per fluidi il cui comportamento cambia nel tempo

Per descrivere matematicamente il comportamento di fluidi tissotropici o reopeptici sono stati

proposti vari modelli che vengono riassunti nel seguito:

-

Modello di Weltmann 1 1 lnτ = + A B t

- Modello di Hahn ( ) 2 2ln τ τ − = −c A B t

- Modello di Hahn modificato ( ) ( )0 expτ τ τ τ = + − −c c kt

-

Modello di Tiu e Borger

( )

1

0

2

1

1 1 γ

η η η η τ γ

η η η

= +− − +

= − −

n

c c c

c

K t

K

d a

dt

-

Modello di Carreau ( )1

2 2

0

1η η

λγ η η

−∞

∞

− ⎡ ⎤= +⎣ ⎦−

n

-

Modello di Herschel-Bulkley 0τ τ γ −− = n pK t

6 - Proprietà Reologiche Di Prodotti Alimentari

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