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M. Usai Circuiti digitali 6_a 1

Analisi di Fourier e campionamento a

6.0 IntroduzioneQuando si studiano sequenze di input discrete nel tempo, la teoria del trattamento dei segnali discreti nel tempo, èuna teoria a se stante che non necessita di riferimenti diretti alla teoria del trattamento dei segnali a tempo continuo.

La condizione ideale per non dover utilizzare le relazioni tra i segnali discreti nel tempo e i segnali continui nel tempo, é che il segnale di input sia digitale e l'output del nostro filtro non necessiti della conversione digitale-analogica.


Per introdurre l’analisi di Fourier si assume l’ipotesi che i segnali siano digitali, trascurando gli effetti della conversione dei segnali da continui nel tempo a discreti nel tempo e determinando direttamente, la relazione tra la trasformata ze la trasformata di Fourier.

In particolare saranno studiate: la convergenza, le proprietà e l'applicazione della Trasformata di Fourier Discreta nel Tempo DTFT.

Saranno inoltre trattati i filtri quadrati a specchio (quadrature-mirror filters), che sono utilizzati per ottenere banchi di filtri(filter banks) e per teoria delle wavelet (wavelet theory).


6.1 Trasformate di Fourier a tempo discreto

L'analisi di Fourier ha una importanza fondamentale sia per la elaborazione dei segnali discreti nel tempo sia per i segnali continui nel tempo.

La trasformazione discreta nel tempo (Discret-Time Fourier Trasform) DTFT è già stata introdotta:

H(z) per z= e jω oppure

H(e jω) =H'(ω) per z= e jω

essa corrisponde alla risposta in frequenza di un sistema LTI (Lineare Tempo Invariante).


La DTFT è utile per descrivere diverse altre operazioni di elaborazione di segnali come:

• la modulazione;

• il campionamento e

• l'interpolazione.


DTFTIn generale considerato un segnale x(n) e la funzione complessa X'(ω)=X(ejω) definita da:

se X(ejω) è convergente, è chiamata trasformata discreta nel tempo di Fourier (Discrete-time Fourier Trasform DTFT) del segnale x(n).

Essa rappresenta l’espressione della: equazione di analisi (analysis equation).

∑∞

−∞=

−=n

njj enxeX (6.1.1) )()( ωω


In particolare se la regione di convergenza (ROC) per la z trasformata:

include il cerchio unitario, allora la DTFT è semplicemente la X(z) calcolata sul cerchio unitario cioè:

In ogni modo, anche se la ROC per X(z) non include il cerchio unitario o X(z) non esiste affatto, la DTFT può tuttavia essere considerata convergente in certi utili casi.

∑∞

−∞=

−=n

nznxzX )()(

(6.1.2) |)()( ωω

jezj zXeX

==


L'utilità della DTFT è analoga a quella dellaTrasformata di Fourier Continua nel tempo CTFS

e quindi è anche chiamata↓

Spettro (spectrum) del segnale x(n) discreto nel tempo.

Inoltre si noti che poiché ejω è una funzione periodica nella frequenza angolare continua ω con periodo 2π, anche X(ejω), per la sua definizione, deve essere periodica in ω con lo stesso periodo, così come precedentemente verificato per la risposta in frequenza H(ejω).


Un'altra utile interpretazione della relazione:

è che essa rappresenta una espansione ( o sviluppo) in serie di Fourier della funzione periodica X(ejω) con coefficienti di Fourier x(n).

Quindi tutte le proprietà della Trasformata di Fourier Continua nel tempo CTFS ( Continous-Time Fourier Series o Fourier Exapansion)

sono applicabili alla Trasformata di Fourier Discreta nel Tempo DTFT continua nella frequenza, sostituendo al dominio del tempo, il dominio della frequenza.

( ) ( )j j n

nX e x n eω ω∞ −

=−∞= ∑


La Trasformata Discreta Inversa nel Tempo (Inverse Discrete-Time Fourier Trasform) IDTFT è definita dalla relazione:

Questa rappresenta l’equazione di sintesi ( synthesis equation)

1( ) ( ) (6.1.3)2

j j nx n X e e dπ ω ω

πω

π −= ∫


Questa equazione di analisi (o DTFT ):

e la corrispondente equazione di sintesi o (IDTFT inversa ):

costituiscono la coppia delle relazioni che esprimono la DTFT e la IDTFT inversa.

1( ) ( ) 2


πω

π −= ∫

( ) ( )j j n


=−∞= ∑


In particolare l'equazione di sintesi:

mostra analiticamente come:X(ejω) è lo spettro di x(n),

infatti il segnale x(n) è rappresentato come somma delle componenti sinusoidali della forma:

( ) 21 njj edeX ωω ωπ ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1( ) ( ) 2


πω

π−= ∫


Convergenza o esistenza della DTFT

Possono essere stabilite diverse condizioni per la convergenza o esistenza della DTFT.

La I° condizione è che la regione di convergenza per X(z) includa il cerchio unitario, cioè, se x(n) é la risposta all'impulso di un sistema stabile, allora X(ejω) esiste.

Quindi da (2.3.1.) la DTFT esiste se x(n) è assolutamente sommabile cioè:

(6.1.4) )( ∞<∑∞

−∞=nnx


Matematicamente, in questo caso si dice che X(ejω) éassolutamente convergente e converge uniformemente a una funzione continua di ω.

Per esempio, la risposta in frequenza H(ejω) per un sistema stabile sarà sempre un funzione continua della frequenza.

Alternativamente la serie di Fourier per una funzione periodica X(ejω) converge come dell’errore quadratico medio, se X(ejω) èintegrabile al quadrato (square-integrable), cioè

(6.1.5) (21

2

∞<∫−

ωπ

π

π

ω deX j


Una II° condizione si deduce dalla relazione di Parseval per CTFS, una condizione di convergenza equivalente è che x(n) siaquadraticamente sommabile (square-summable), caratterizzato da una energia finitacioè:

Ciò equivale a dire che X(ejω) esiste anche per tutti i segnali discreti nel tempo x(n), aventi energia finita.Si noti che essendo:

∑∞

−∞=

∞<n

nx (6.1.6) )( 2

(6.1.7) )()( 22

∑∑ ≥⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

nnnxnx


La condizione:

ma non viceversa:

Cioè una sequenza assolutamente sommabile deve avere energia finita, ma una sequenza ad energia finita non è necessariamente assolutamente sommabile.

Quindi X(jω) può convergere come MSE (Mean Square Error) errore quadratico medio anche se:• la ROC della X(z) non include il cerchio unitario, o anche• se X(z) non esiste affatto. Ciò accade specialmente quando X(ejω) presenta delle

discontinuità.

22

n nx(n) implica x(n) ⎡ ⎤

∑ ∑⎢ ⎥⎣ ⎦ 22

n nx(n) non implica x(n)⎡ ⎤

∑ ∑⎢ ⎥⎣ ⎦


Anche se x(n) non è assolutamente o quadraticamentesommabile, in casi particolari può comunque esistere la X(ejω).I seguenti esempi illustrano questi aspetti.

EsempioLa sequenza esponenziale causale:

x(n)= an u(n) ha la z trasformata:

e quindi X(ejω) esiste per perché la ROC contiene il cerchio di raggio unitario.

1( ) , z 1 ,11X z a

az= = >

−−

1a <

1( ) , a 1 . (6.1.8)1

jX e jaeω

ω= <

−


La fase e l’ampiezza corrispondenti per a=0.8 sono riportate in figura.


Dalla definizione di somma in (6.1.1) , la DTFT di x(n) non converge per , si rimanda l’esame del caso x(n) = u(n).D’altra parte, la z trasformata dell’esponenziale anticausale ω(n)= -a u(-n-1) è :

e quindi W(e-jω) esiste per ma non per . Cioè

Di seguito sarà trattato il caso , che corrisponde a ω(n)=u(-n-1).

1( ) , z ,11W z a

az= <

−−

1a >

1( ) , a 1. (6.1.9)1

jW e jaeω

ω= >

−

1a > 1a <

1a =


6.2 Proprietà della DTFT

Le proprietà della DTFT (Trasformata di Fourier Discreta nel Tempo)

sono equivalenti a

quelle della CTFS ( Trasformata di Fourier Continua nel Tempo), ma con i domini del tempo e della frequenza scambiati.

Queste proprietà corrispondono anche a quelle della trasformata z, a meno che la X(ejω) non sia assolutamente convergente, cioè, quando la ROC per X(z) non comprenda il cerchio unitario.


Proprietà della DTFT

LinearitàDati i segnali x1(n) e x2(n) che hanno rispettivamente DTFT X1(ejω) e X2(ejω) è chiaro che:

con a e b variabili arbitrarie.

Cioè la DTFT di una combinazione lineare di due segnali x1(n) e x2(n) è uguale alla stessa combinazione lineare delle corrispondenti DTFT.

(6.2.1) )()()()( 2121ωω jj ebXeaXnbxnax +↔+


Traslazione nel tempo e modulazione(Time shift and modulation)

Un ritardo o anticipo nel dominio del tempo produce uno sfasamento lineare nel dominio delle frequenze cioè:

la proprietà duale è:

Cioè la modulazione complessa nel dominio del tempocorrisponde a uno sfasamento nel dominio della frequenza.

(6.2.2) )()( 00

ωω jnj eXennx ↔−

(6.2.3) )()( )( 00 ωωω −↔ jnj eXnxe


EsempioPonendo a=1 nelle funzioni esaminate nell’ esempio precedente si

ottengono le seguenti funzioni causale e anticausale a gradino:x(n)= u(n) e ω(n)= u(-n-1)

nessuna delle quali è assolutamente o quadraticamente sommabile.Tuttavia per entrambe esiste la trasformata discreta di Fourier.Per dimostrarlo si noti che: u(n)-u(n-1)=δ(n) e quindi

U(e jω)[1- e-jω]=1, poiché )[1- e-jω]=0, U(e jω) deve essere della forma:

Cδ(ω) è la DTFT della componente cc di ampiezza pari a C/2π

01( ) +C ( ) , -j1-e

j nU e ω δ ω ω πω

= ≤


La componente cc della u(n) ha ampiezza 1/2 , che implica cheC=π, a quindi

Analogamente la DTFT delle funzione a gradino anticausale U(-n-1) è data da :

1( ) + ( ) , (6.2.4) -j1-eu n πδ ω ω π

ω↔ ≤

1( 1) + ( ) , (6.2.6) -j1-eu n πδ ω ω π

ω− − ↔ ≤


EsempioUna sequenza utile è:

y(n)=(-1)n x(n),

che è un esempio della modulazione complessa con ωo=±π.Dalla relazione (6.2.3) , la corrispondente DTFT è semplicemente:

che implica che lo spettro X(ejω) è traslato di mezzo periodo.Quindi, in effetti, le parti positiva e negativa dello spettro sono

interscambiabili.

( ) ( ) (6.2.7)j jY e X eω ω π±=


La fase e l’ampiezza corrispondenti per a=0.8 sono riportate in figura.


Per la x(n) reale , ciò equivale a traslare l’intervallo di Nyquist da 0 a π di circa metà ( π/2) . Si noti che se X(e-jω) è un filtro passa basso , allora Y(e -jω) è un filtro passa alto.

La relazione equivalente della z trasformata è:

Y(z) = X(-z)

che implica che l’intero piano z ( che include i poli e gli zeri) èinvertito sia rispetto all’asse reale che immaginario.


Inversione d'asse

Se x(n) è a tempo inverso per ottenere x(-n), si trova facilmente dalla definizione di X(ejω) che, infatti poiché:

Quindi per invertire l'asse del tempo, si inverte l'asse della frequenza della corrispondente X(e jω) intorno a ω = 0 e viceversa. Ma per x(n) reale, ciò equivale a fare il coniugato di X(ejω), cioè;

(6.2.9) )()( ωjeXnx −↔−

( ) *( ) per ( ) (6.2.10)jx n X e x n realeω− ↔

( ) ( )j j n


=−∞= ∑


Una proprietà relativa concernente la coniugazione di x(n) o delle sue DTFT è che:

DifferenziazioneDifferenziando entrambi i membri della DTFT definita nella (6.1.1), troviamo che:

(6.2.11) )()( ** ωjeXnx −↔

(6.2.12) )dX(en x(n)

quindi e )()(

j

ω

ω

ω

ωω

dj

enjnxd

edXn

njj

↔

−= ∑∞

−∞=


Convoluzione

Chiaramente per le analoghe proprietà delle CTFS e z-trasformate:

In particolare per un sistema LTI a tempo discreto con input x(n) e output y(n) e risposta impulsiva h(n), si ha :

dove H(ejω) è la risposta in frequenza del sistema.

(6.2.13) )()()(*)( 2121ωω jj eXeXnxnx ↔

(6.2.14) )()()( ωωω jjj eXeHeY =


Questa è naturalmente la proprietà input/output fondamentale della DTFT per sistemi LTI.

Per esempio la proprietà dello sfasamento nel tempo può essere considerata un caso particolare della proprietà di convoluzionecon H(ejω) = ejωno corrispondente alla risposta all'impulso h(n)=δ(n-n0).


MoltiplicazioneLa proprietà duale della (6.2.13):

dove la convoluzione periodica è definita come:

Per esempio, derivando le proprietà della modulazione come un caso particolare della proprietà della moltiplicazione, si ha:

(6.2.15) )()(21)()( 2121

ωω

πjj eXeXnxnx ⊗↔

(6.2.16) )()()()( )(2121 λλωπ

π

λωω deXeXeXeX jjjj −

−∫=⊗

)()()(221 )( )(

00ωωωω ωωπδ

π−=⊗−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛↔ jjonj eXeXnxe


Accumulazione

L'operazione di accumulazione definita da :

è equivalente nel tempo discreto alla integrazione nel tempo continuo e corrisponde alla convoluzione:

Quindi :

Si noti che X(ej0) deve essere finito perché Y(ejω) esista e che y(n) ha una componente continua di ampiezza 1/2 X(ej0), a meno che X(ej0) = 0.

** è la DTFT della componente continua di u(n) di ampiezza pari a 1/2.

∑∞

−∞==

kkxny (6.2.17) )()(

).()()( nunxny ∗=

0

1( ) ( ) ( ) ed essendo u(n) ( ) = ( ) **1

1 1Y( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1

j j j jj

j j j jj j

Y e X e U e U ee

e X e X e X ee e

ω ω ω ωω

ω ω ωω ω

π δ ω

π δ ω π δ ω

−

− −

= ↔ +−

⎧ ⎫= + = +⎨ ⎬⎩ ⎭− −

( )π δ ω

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