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5/16/2018 33Cap Libro - slidepdf.com

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TECNOLOGIE E MATERIALI AEROSPAZIALI CAP.33 – MATERIALI COMPOSITI: LEGGE COSTITUTIVA ORTOTROPA

_________________

CAPITOLO

33_________________

MATERIALI COMPOSITI: RIGIDEZZA E RESISTENZADEI LAMINATI

33.1 Introduzione

Le strutture aerospaziali impiegano i materiali

compositi avanzati in forme molteplici applicandodiversi tipi di tecnologie. In molti casi, tuttavia, la

forma di utilizzo prevede la realizzazione in composito

di elementi di spessore relativamente piccolo rispettoalle dimensioni superficiali. La geometria

dell’elemento è quindi descrivibile attraverso una

superficie media, a ogni punto della quale può essere

attribuito uno spessore. Anche elementi allungati,

pensabili come generati da una traslazione di una

sezione lungo un asse, possono ricadere nella

descrizione precedente a condizione che la sezione sia,

in effetti, una parete sottile rappresentabile attraverso la

sua linea media e dall’andamento dello spessore lungo

tale linea. La Figura 33. 1 fornisce un esempio di parti

strutturali descrivibili in questo modo.

Figura 33. 1 – Esempi di elementi in parete sottile inuna costruzione aerospaziale, realizzati con laminati

in composito

I materiali compositi offrono la possibilità di progettare

le caratteristiche di rigidezza e resistenza di tali

elementi scegliendo opportunamente la tipologia delle

fibre di rinforzo e la distribuzione delle direzioni di

rinforzo. Tale possibilità permette di adattare le

caratteristiche di rigidezza e resistenza in funzione dei

carichi applicati e dei requisiti strutturali. Si ottiene,quindi, una distribuzione di rinforzo multi-direzionale

sulla superficie dell’elemento che può essere pensato

come una stratificazione di lamine ortotrope, ciascuna

delle quali occupa una piccola frazione dello spessore.

La classica tecnologia per la produzione di tali

elementi è la laminazione, che si basa sulla deposizione

di lamine, con un rinforzo, organizzato in forma

unidirezionale o tessuto, pre-impregnato da una resina.

Gli spessori di tali lamine sono dell’ordine dei decimi

di millimetro. L’elemento ottenuto è chiamato

laminato. Elementi con le stesse caratteristiche dei

laminati possono tuttavia essere prodotte attraverso

processi tecnologici diversi dalla laminazione.Il laminato è dunque un’unita strutturale fondamentale

nelle strutture in materiale composito e si pone a livello

intermedio fra il materiale omogeneizzato (la lamina

ortrotropa) e la struttura vera e propria (il pannello o il

corrente, come nell’esempio in Figura 33. 1). La

rigidezza e la resistenza degli elementi in materiale

composito possono pertanto essere studiate in modo

efficace solo considerando questo livello.

Lo studio dei laminati presuppone la conoscenza del

comportamento strutturale di elementi sottili che è

trattato, in generale, dalla teoria delle piastre. Il par.

32.2, pertanto, fornisce i cenni essenziale di tale teoria,

valida sia per elementi in materiale isotropo che perlaminati ottenuti dalla stratificazione di lamine

ortotrope. In seguito sarà presentata la Teoria Classica

della Laminazione che costituisce lo strumento

1




analitico fondamentale per progettare le caratteristiche

di rigidezza del laminato e per calcolare, note le forze

che sollecitano il laminato, lo stato di sforzo nei diversi

strati del laminato stesso.

La possibilità di calcolare gli stati di sforzo agenti nelle

lamine che costituiscono un laminato, permette di

introdurre i criteri di resistenza per i materialicompositi, cui è dedicato il par. 3.4.

33.2 Cenni di teoria delle piastre

Una piastra è un elemento strutturale inizialmente

piatto, che presenta uno spessore molto piccolo rispetto

alle altre dimensioni. Il piano medio della piastra è

parallelo alle facce e la suddivide in due parti di uguale

spessore. La formulazione più semplice della teoria

delle piastre è adatta a descrivere il comportamento di

piastre sottili, in cui gli spostamenti normali al piano

della piastra sono esclusivamente di origine flessionale.

Nel caso di piastre spesse l’azione delle deformazioni ataglio acquista un ruolo non più trascurabile. Per

materiali isotropi un rapporto fra spessore e minima

dimensione del piano inferiore a 1/20 può essere

indicato come confine fra piastre sottili e piastre

spesse. In questo capitolo, piastre isotrope e laminati incomposito saranno trattate in base alla teoria delle

piastre sottili (o piastre di Kirchoff ).

Le assunzione di base della teoria delle piastre sottili,

note come assunzioni di Kirchoff , sono le seguenti:

1. La deflessione del piano medio è piccola

rispetto allo spessore della piastra;2. Il piano medio della piastra rimane in

deformato in un processo di deformazioneflessionale;

3. Le sezioni della piastra inizialmente piane e

normali al piano medio, rimangono piane e

normali al piano medio in un processo di

deformazione flessionale;

4. Gli sforzi normali agenti su piani paralleli alle

facce della piastra sono trascurabili;

Le assunzioni 1 e 2 sono fondamentalmente relative

alla possibilità di usare il tensore delle deformazioni

infinitesime per descrivere lo stato di deformazione

della piastra e metterlo in relazione al cambiamento di

configurazione durante una flessione.La Figura 33. 2 mostra la deflessione di un elemento di

piastra e mostra come un deflessione comporti lo

spostamento in direzione verticale w. Nella figura, la

scala di questo spostamento è amplificata. E’ indicata

anche una sezione inizialmente piana e normale al

piano medio, A-A, e la sua posizione dopo ladeflessione. L’assunzione 3, che caratterizza il

comportamento della piastre di Kirchoff, ha importanti

conseguenze per lo sviluppo della teoria. Nelle piastre

spesse, le assunzioni 3 e 4 non sono più applicabili.

Come è evidenziato dalla Figura 33. 2 e Figura 33. 3,

per la terza assunzione di Kirchoff, l’angolo di

rotazione nel piano xz della sezione A-A equivale

all’angolo fra la retta tangente alla linea media della

piastra, che rappresenta la proiezione del superficie

media deformata su xz, e l’asse x. Tale angolo è

pertanto uguale alla derivata dello spostamento del

piano medio in direzione z, w0, rispetto alla coordinata

x. Analogamente l’angolo di rotazione delle sezioni nel

piano yz è pari alla derivata di w0 rispetto a y.

X, u

Z, w

Y, v

X

A

Figura 33. 2 – deflessione di una piastra sottile

Figura 33. 3 – Spostamenti dovuti alladeflessione della piastra

A partire dalle precedenti considerazioni, le assunzioni

di Kirchoff danno la possibilità di esprimere lo stato di

deformazione in funzione dei parametri di spostamento

del piano medio: u0, v0 e w0. Se la piastra non si flette,

infatti, tutti gli spostamenti del continuo deformabile

corrispondente alla piastra sono uguali a quelli del suo

piano medio. Se la piastra si flette, invece, agli

spostamenti del piano medio si aggiungono dei termini

Aw0

A

w

AZ X

∂ 0

∂

r x

X

w

∂∂ 0

A

A

z

u

X

w zuu∂

∂−= 0

0

2




che possono essere espressi in funzione degli angoli di

rotazione delle sezioni e, in definitiva, delle derivate di

w0. Con riferimento alla Figura 33. 3, dove z

rappresenta la distanza indeformata del generico punto

della piastra dal piano medio, è possibile esprimere gli

spostamenti di un punto alla distanza z dal piano

medio, in funzione degli spostamenti e delle derivatedegli spostamenti valutati sul piano medio, in

corrispondenza del punto stesso:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )00000

000000

000000

,,,

,,,

,,,

Y X w Z Y X w

Y

w zY X v Z Y X v

X

w zY X u Z Y X u

≅∂∂

−=

∂∂

−=

Eq. 33. 1

L’Eq. 33. 1 è valida se gli angoli di rotazione sono

piccoli, in modo che si possano approssimare letangenti con i valori degli angoli in radianti e il coseni

dell’angolo di rotazione, il cui valore andrebbe a

determinare una differenza fra lo spostamento vertcale

w0 e w, è approssimabile all’unità. La prima assunzione

di Kirchoff garantisce che gli angoli di rotazione siano

piccoli e che si possa utilizzare il tensore delle

deformazioni infinitesime, le cui componenti risultano:

X

v

Y

u

Z

u

X

w

Y

w

Z

v

Z

w

Y

v

X

u

XY ZX YZ

ZZ YY XX

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂+

∂

∂=

∂∂

=∂∂

=∂∂

=

γ γ γ

ε ε ε

;;

;;

Eq. 33. 2

L’introduzione delle ipotesi sul processo di

defomrmazione, formalizzate nelle Eq. 33. 1, nelle

espressioni delle componenti del tensore di

deformazione, riporta in Eq. 33. 2, fornisce:

( )

( )

Y X

w z

X

v

Y

u

X

w

X

w

X

w zY X u

Z X

w

Y

w

Y

w

Y

w

Y

w zY X v

Z

Y

w

zY

u

X

w z

X

u

XY

ZX

YZ

zz

YY

XX

∂∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

=∂

∂−

∂

∂=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂−

∂∂

+∂

∂=

=∂

∂+

∂

∂−=

∂

∂+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂

∂−

∂∂

=

=∂

∂

−∂

∂

=

∂

∂−

∂

∂=

0

2

00

000

000

0

0000

000

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0,

0,

0

γ

γ

γ

ε

ε

ε

Eq. 33. 3

Le Eq. 33. 3 comportano che tutte le componenti

agenti su piani paralleli alle facce della piastra, quindi

normali all’asse z sono nulli. In particolare sono nulli

gli scorrimenti a taglio γ YZ e γ ZX . Tale risultato è diretta

conseguenza del fatto che la sezione ruota senza

deformarsi.

Le altre componenti dello stato di deformazione, ε XX ,

ε YY e γ XY sono la somma di due contributi, come

evidenziato nelle Eq. 33. 4.

Y X

w z

Y X

w z

X

v

Y

u

Y

w z

Y

w z

Y

v

X

w z

X

w z

X

u

XY

YY

XX

XY

YY

XX

∂∂

∂−=

∂∂

∂−

∂

∂+

∂

∂=

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂=

∂

∂−=

∂

∂−

∂

∂=

0

2

0

0

2

00

2

0

2

02

0

2

0

2

0

2

02

0

2

0

22 γ γ

ε ε

ε ε

Eq. 33. 4

I contributi constanti nello spessore, ε 0XX , ε 0YY e γ 0XY , sidefiniscono membranali e sono rappresentati dallo

stato di deformazione del piano medio della piastra. Vi

sono poi contributi flessionali, che dipendono dalla

distanza z dal piano medio e dalle derivate seconde

dello spostamento verticale w0. Tali derivate seconde

hanno un’interpretazione geometrica, poiché la

variazione della derivata di una curva, corrisponde alla

sua curvatura, cioè all’inverso del raggio di curvatura

1/r . La Figura 33. 2 mostra il raggio di curvatura nel

piano xz, r x, il cui inverso è rappresentato dalla derivata

seconda dello spostamento w rispetto a x.

Analogamente è possibile individuare un raggio di

curvatura nel piano yz, r y, pari all’inverso della derivataseconda dello spostamento w rispetto a y. La derivata

seconda mista di w rispetto a x e y è collegata a una

deformazione di torsione della piastra, che è

qualitativamente rappresentata in Figura 33. 4.

Figura 33. 4 – Torsione della piastra,

rappresentabile attraverso la derivata secondamista di w rispetto a x e y

E’ possibile definire quindi tre parametri di curvatura

κ X , κ Y e κ XY nel modo seguente:

3




Y X

w

Y

w

X X

w

Y

Y

w

Y

w

Y

X

w

X

w

X

XY

Y

X

∂∂∂−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ ⎟ ⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ∂∂

∂∂+⎟

⎠ ⎞⎜

⎝ ⎛ ∂∂

∂∂−=

∂

∂−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂

−=

∂

∂−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∂∂

∂∂

−=

2

2

2

2

2

2κ

κ

κ

XY

x1

xi-1

Eq. 33. 5 xi

Lo stato di deformazione in un generico punto della

piastra, potrà essere pertanto espresso mediante la

deformazione del piano medio della piastra cui si

somma un contributo flesso-torsionale, dipendentedalle curvature e dalla distanza del punto dal piano

medio, z. Introducendo le definizioni in Eq. 33. 5 nelle

Eq. 33. 4 si ha:

Y

α xi

XZ

XY XY

Y YY

X XX

z

z

z

XY

YY

XX

κ γ γ

κ ε ε

κ ε ε

+=

+=

+=

0

0

0

Eq. 33. 6

Definendo i vettori di deformazione del piano medio eil vettore dei parametri di curvatura, la Eq. 33. 6 è

esprimibile in forma compatta:

{ } { } { }κ ε ε z+= 0

Eq. 33. 7

33.3 La teoria classica della laminazione

33.3.1 Sequenze di laminazione e sistemi di

riferimento

L’Eq. 33. 7 sintetizza le assunzioni di Kirchoff e

costituisce la base della teoria delle piastre. Essa,

infatti, identifica 6 parametri generalizzati di

spostamento (o di deformazione), rappresentati dalle

tre componenti di deformazione del piano medio e

dalle tre curvature che permettono di descrivere

completamente la configurazione deformata di unapiastra.

Un laminato in composito, di spessore non elevato, può

essere efficacemente studiato come una piastra, il cui

stato di deformazione è descritto dall’Eq. 33. 7 in un

sistema di riferimento denominato assi laminato. Il

laminato è composto da N lamine, ciascuna delle quali

possiede un riferimento coincidente con gli assi di

simmetria del materiale, che definiscono gli assi

lamina. Gli assi lamina sono ruotati, rispetto agli assi

laminato, nel piano XY , come mostrato in Figura 33. 5.

Figura 33. 5 – Assi lamina e assi laminato

Figura 33. 6 – Posizione delle lamine rispetto alpiano medio del laminato

La Figura 33. 6 riporta la convenzione normalmente

utilizzata per individuare la posizione delle laminenello spessore del laminato. L’asse Z ha origine nel

piano medio ed è diretto verso il basso. La quota Z i si

riferisce al bordo della lamina più vicino al piano

medio. Detto TH lo spessore del laminato e thi

quello

dell’i-esima lamina, valgono le seguenti relazioni:

∑=

−

=

−=

N i

i

iii

thTH

Z Z th

,1

1

Eq. 33. 8

E’ possibile definire una quota zi indicativa della

posizione del piano medio della lamina:

2

1−+= ii

i

Z Z z

Eq. 33. 9

Z

z0

z1

1

2

TH/2

i-1

i

N

zi-izi

zN-1

zN

4




Detto α l’angolo misurato dall’asse X del laminato al

corrispondente asse x lamina, la sequenza di

laminazione di N laminati è definita con la notazione

seguente:

[α1] [α2]… [αi-1] [αi]…. [αN]

Le sequenza di laminazione si possono esprimere in

forme più sintetiche, facendo uso di alcune

convenzioni. Ad esempio, se la sequenza prevede n

lamine adiacenti con identico angolo α h rispetto agli

assi laminato si potrà scrivere:

[α1] … [αh]n ... [αN]

La notazione può estendersi a un gruppo di lamine,

[α h] [α k ] [α l] ripetuto n volte:

[α1] … ([αh] [αk ] [αl])n ... [αN]

Un’ulteriore semplificazione è data la possibilità di

indicare una sequenza di laminazione simmetrica

rispetto al piano medio. Infatti se:

ii z z −∃∀ quotaalla,quotaalla α α

ll laminato si dice simmetrico. La sequenza di

laminazione di un laminato simmetrico può essere

descritta indicando fra parentesi la metà sequenza da

una parte del piano medio ed usando il pedice S dopo la

parentesi:

([α1] … [αi-1] [αi]… [αN/2])S

33.3.2 Stati di sforzo e deformazione nelle lamine e

nel laminato

Applicando le assunzioni di Kirchoff, lo stato di

deformazione nello spessore del laminato è

completamente determinato nota la deformazione nel

piano medio ed i parametri di curvatura. Pertanto, è

noto lo stato di deformazione di ciascuna lamina, cheoccupa la porzione di spessore compresa fra Z i-1 e Z i.

Tale stato di deformazione è noto nel sistema di

riferimento in assi laminato e non negli assi lamina.Attraverso la matrice di rigidezza della lamina ruotata

nel piano, tuttavia, definita in Eq. 32.21 del capitolo

precedente, è possibile calcolare direttamente lo stato

di sforzo nella singola lamina.

[ ]

{ } { }( )

ii

i

XY

YY

XX

i

i XY

YY

XX

Z z Z

z

QQQ

QQQ

QQQ

Q

<<

+

⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−1

0

666261

262221

161211

dove

κ ε

γ

ε

ε

τ

σ

σ

Eq. 33. 10

Figura 33. 7 – Stati di deformazione e sforzo inun laminato

L’Eq. 33. 10 vale nella porzione di spessore occupato

dall’i-esima lamina. Il laminato, infatti, non può essere

considerato di materiale omogeneo e la sua rigidezza

varia nello spessore. L’andamento dello stato di sforzoe deformazione del laminato, in assi laminato, è

schematizzato in Figura 33. 7. Lo stato di

deformazione varia linearmente nello spessore, in

presenza di curvature non nulle, come prescritto

dall’Eq. 33. 7. Ogni strato ha una diversa rigidezza,

come indicato in Figura 33. 7 dall’andamento del

modulo caratteristico. Lo stato di sforzo nella lamina si

ottiene applicando l’Eq. 33. 10 e dipende, pertanto,

dall’andamento della deformazione nel laminato e dalle

rigidezze locali della lamina.

Le distribuzioni di sforzo agenti nello spessore del

laminato danno luogo ad azioni risultanti nello spessore

che caratterizzano lo stato di sollecitazione del

laminato nel suo insieme. Se le componenti di sforzo

nel piano delle lamine, espresse in assi laminato, sonointegrate nello spessore sono integrate nello spessore,

si ottengono i seguenti flussi di forze, con dimensioni

pari a quelle di una forza per unità di larghezza:

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

2

2

2

2

2

2

TH

TH

XY XY

TH

TH

YY Y

TH

TH

XX X

dz N

dz N

dz N

τ

σ

σ

Eq. 33. 11

Per la simmetria del tensore degli sforzi, l’integrale di

τ XY , che individua il flusso di forza di taglio agente

nella sezione del laminato normale all’asse X, è pari

all’integrale dello sforzo τ YX , che individua il flusso

della forza di taglio agente nella sezione del laminato

normale all’asse Y.

NX

NY

NXY

Y Z

NXY

X

Figura 33. 8 – Flussi di forza agenti sul laminato

5




Analogamente, si definiscono dei flussi di momento,

calcolando i momenti delle componenti di sforzo

rispetto al piano medio della piastra. Le espressioni di

tali azioni, che hanno dimensioni pari a momenti per

unità di larghezza della piastra, sono riportate in Eq.

33. 12. La Figura 33. 9 schematizza le sollecitazioni di

momento agenti sulle facce del laminato. L’integraledei momenti degli sforzi di taglio τ XY rappresenta una

sollecitazione torsionale per il laminato. A causa dellasimmetria del tensore degli sforzi tale integrale, che dà

luogo al momento M XY è identico se eseguito su facce

perpendicolari all’asse X o Y .

∫

∫

∫

−

−

−

=

=

=

2

2

2

2

2

2

TH

TH

XY XY

TH

TH

YY Y

TH

TH

XX X

zdz M

zdz M

zdz M

τ

σ

σ

Eq. 33. 12

Figura 33. 9 – Flussi di momento agenti sullaminato

Le azioni generalizzate definite nelle Eq. 33. 11 e Eq.

33. 12, possono essere rappresentate con notazione

vettoriale, definendo i vettori { N } e { M }. Tali vettori

descrivono lo stato di sollecitazione a livello dell’intero

laminato e possono essere considerate, per lo stato di

sforzo, analoghe ai vettori {ε 0} e {κ } ,che descrivono

lo stato di deformazione.

33.3.3 Legame fra componenti generalizzate di sforzo

e deformazione per una piastra isotropa

Le componenti generalizzate dello stato di

sollecitazione, rappresentate dai flussi di forza e

momento { N } e { M }, e dello stato di deformazione,

rappresentate dalle deformazioni nel piano medio e

dalle curvature {ε 0} e {κ }, possono essere messe in

relazione applicando il legame elastico.

Il caso di una piastra in materiale isotropo permette di

illustrare come sia possibile ottenere tale relazione, che

permette di definire un vero e proprio legame

costitutivo per la piastra, in campo elastico.

Infatti, per la piastra il legame elastico per stati di

sforzo piano è caratterizzato dalle seguenti matrici di

flessibilità e rigidezza:

[ ] [ ]

⎥⎥⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=G

v E

vvE

v

vE

v

E

Q

G

E E v

E

v

E

S isoiso

00

011

011

;

100

01

01

22

22

Eq. 33. 13

La matrice di rigidezza [Qiso] introdotta in Eq. 33. 13,caratterizza il legame elastico fra sforzi e deformazioni

e queste ultime posso essere espresse in funzione delle

componenti generalizzate di deformazione, in base alla

teoria delle piastre. Si ottiene pertanto l’Eq. 33. 14,

che, per una piastra in materiale isotropo, consente di

esprimere lo stato di sforzo nella piastra, in modo

analogo all’Eq. 33. 10.

{ } { }( )κ ε

γ

ε

ε

τ

σ

σ

z

G

v

E

v

vE v

vE

v

E

Gv

E

v

vE v

vE

v

E

XY

YY

XX

XY

YY

XX

+

⎥⎥

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

022

22

22

22

00

011

011

00

011

011

Eq. 33. 14

Integrando nello spessore entrambi i membri dell’Eq.33. 14 si ottiene:

[ ]

[ ] { } { }( )

{ } [ ] { } [ ] { }

{ } [ ]{ }0

2 /

2 /

20

2 /

2 /

2 /

2 /

0

2 /

2 /

2 /

2 /

2

1

ε

κ ε

κ ε

γ

ε

ε

τ

σ

σ

iso

TH

TH

iso

TH

TH iso

TH

TH

iso

TH

TH XY

YY

XX

iso

TH

TH XY

YY

XX

QTH N

zQ zQ N

dz zQ

dzQdz

=⇒

+=⇒

+=

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−

−−

∫

∫∫

Eq. 33. 15

L’Eq. 33. 15 mostra come, in una piastra isotropa, le

deformazioni del piano medio {ε 0} sono direttamente

legate ai flussi di forza { N } attraverso una matrice di

rigidezza membranale della piastra, pari a [Qiso]TH .

In modo analogo è possibile derivare un’equazione che

lega i flussi di momento ai parametri di curvatura. A

tale scopo, è sufficiente moltiplicare entrambi i membri

dell’Eq. 33. 14 per z ed integrare nello spessore. Si ha:

MX X

MY

Y

MXY MXY

Z

6




[ ] { } { }( )

{ } [ ] { } [ ] { }

{ } [ ]{ }κ

κ ε

κ ε

τ

σ

σ

iso

TH

TH iso

TH

TH iso

TH

TH

iso

TH

TH XY

YY

XX

QTH

M

zQ zQ M

dz z zQ zdz

12

3

1

2

1

3

2 /

2 /

30

2 /

2 /

2

2 /

2 /

20

2 /

2 /

=⇒

+=⇒

+=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−−

−−∫∫

Eq. 33. 16

L’Eq. 33. 16 mostra come le curvature {κ } siano

direttamente legate ai flussi di momento { M } attraverso

una matrice di rigidezza flessionale della piastra, che si

ottiene moltiplicando la matrice di rigidezza del

materiale per il fattore TH 3 /12.

33.3.4 Matrici di rigidezza e flessibilità di un laminato ortotropo

Le operazioni di integrazione che hanno permesso di

derivare le Eq. 33. 15e Eq. 33. 16 per la piastra

isotropa possono essere applicate al caso del laminato,

nel quale lo stato di sforzo è descritto dall’Eq. 33. 10.

Una fondamentale differenza con la piastra isotropa è

tuttavia rappresentata dalla non omogeneità del

laminato nello spessore. Gli integrali, pertanto,

dovranno essere spezzati in N integrali, ciascuno dei

quali si riferirà alla porzione di spessore occupato dauna singola lamina.

Integrando nello spessore le componenti di sforzo siottiene la seguente equazione:

{ } { }( )

{ }

{ }

{ }

{ }κ

ε

κ

ε

κ ε

τ

σ

σ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒

⎟⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫∫

=

=

=−

−

−

−

666261

262221

161211

0

666261

262221

161211

1666261

262221

161211

0

1666261

262221

161211

1

0

666261

262221

1612112 /

2 /

1

1

1

B B B

B B B

B B B

A A A

A A A

A A A

N

N

N

zdzQQQQQQ

QQQ

dz

QQQ

QQQ

QQQ

dz z

QQQ

QQQ

QQQ

dz

XY

Y

X

N

i

Z

Z i

N

i

Z

Z i

N

i

Z

Z i

TH

TH XY

YY

XX

i

i

i

i

i

i

Eq. 33. 17

Per il laminato costituito da una stratificazione dilamine ortotrope, non è possibile affermare, ingenerale, che i flussi di forza non dipendono dalle

curvature. Il legame costitutivo, per i flussi { N }, indica

che essi sono somma di due contributi. Il primo

contributo, caratterizzato dalla sottomatrice di

rigidezza membranale [ A], si riferisce ai flussi di forza

legati alla deformazione del piano medio. Esiste,

tuttavia, anche un secondo contributo, che si annulla

solo sotto determinate condizioni. Tale contributo

rappresenta i flussi di forza dovuti alla curvatura dellaminato ed è caratterizzato da una sottomatrice di

accoppiamento membranale-flessionale [ B].

Moltiplicando entrambi i membri dell’Eq. 33. 10 per z

e integrando si ottiene:

{ } { }( )

{ }

{ }

{ }

{ }κ

ε

κ

ε

κ ε

τ

σ

σ

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⇒

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

=+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∑ ∫

∑ ∫

∑ ∫∫

=

=

=−

−

−

−

666261

262221

161211

0

666261

262221

161211

1

2

666261

262221

161211

0

1666261

262221

161211

1

20

666261

262221

1612112 /

2 /

1

1

1

D D D

D D D

D D D

B B B

B B B

B B B

M

M

M

dz z

QQQ

QQQ

QQQ

dz z

QQQ

QQQ

QQQ

dz z z

QQQ

QQQ

QQQ

zdz

XY

Y

X

N

i

Z

Z i

N

i

Z

Z

i

N

i

Z

Z i

TH

TH XY

YY

XX

i

i

i

i

i

i

Eq. 33. 18

Il legame costitutivo fra i flussi di momento { M } e i

parametri generalizzati di deformazione del laminato

conferma la possibilità di un accoppiamento

membranale-flessionale, attraverso la stessa

sottomatrice [B], individuata in precedenza. I flussi di

momento sono inoltre legati alle curvature attraverso la

sottomatrice di rigidezza flessionale [D]. Analizzando

l’Eq. 33. 17 e l’Eq. 33. 18, ed esplicitando le

operazioni di integrazione, i termini delle sottomatrici

[A], [B] e [D] risultano dalle seguenti espressioni:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )∑

∑

∑

=−

=−

=−

−=

−=

−=

N

i

iiihk hk

N

i

iiihk hk

N

i

iiihk hk

Z Z Q D

Z Z Q B

Z Z Q A

1

31

3

1

21

2

1

1

3

1

2

1

Eq. 33. 19

L’Eq. 33. 17 e l’Eq. 33. 18 riassumo i legami

costitutivi, validi sotto di l’ipotesi di comportamentoelastico e lineare delle lamine ortotrope che

costituiscono i laminati, fra i parametri che descrivono

lo stato di deformazione del laminato e le azioni

7




generalizzate agenti sul laminato stesso. E’ possibile

utilizzare una notazione ancora più compatta e definire,

così, una matrice di rigidezza del laminato.

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⇒

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

κ

ε

κ

κ

κ

γ

ε

ε

0

666261

262221

161211

666261

262221

161211

666261

262221

161211

666261

262221

161211

D B

B A

M

N

D D D

D D D

D D D

B B B

B B B

B B B

B B B

B B B

B B B

A A A

A A A

A A A

M

M

M

N

N

N

XY

Y

X

O

O

O

XY

Y

X

XY

Y

X

XX

YY

XX

Eq. 33. 20

La matrice di rigidezza del laminato è quindi costituita

dalla tre sottomatrici di rigidezza membranale,

flessionale e di accoppiamento membranale-flessionale. Invertendo il legame, è possibile definire

una matrice di flessibilità del laminato, con la stessa

struttura:

{ }{ }

[ ]{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ }{ }

[ ]{ }{ }

[ ]{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

M

N

SDSB

SBSA

M

N S

M

N Q

D B

B AQ

M

N

ato Laato La

ato La

min1

min0

00min

κ

ε

κ

ε

κ

ε

Eq. 33. 21

33.3.5 Accoppiamenti fra sollecitazioni e parametri di deformazione e casi speciali di laminati

La Figura 33. 10 confronta la matrice di rigidezza di

una piastra isotropa, dedotta dalle espressioni in Eq.

33. 15e in Eq. 33. 16, e la matrice di rigidezza di un

laminato in composito.

Dal confronto appare evidente, nei laminati in

composito, la presenza di accoppiamenti fra

sollecitazioni e parametri di deformazione che non

esistono nel caso della piastra isotropa.

Il termine di accoppiamento più evidente è dato dalla

sottomatrice [ B]. L’accoppiamento membranale-

flessionale implica che, applicando una distribuzione di

sforzi con risultante pari a { N } e momento nullo

rispetto al piano medio, si ottiene comunque una

curvatura del laminato. E’ quindi intuibile che la causa

di tale accoppiamento è in relazione all’asimmetria del

laminato rispetto al piano medio.

L’espressione dei termini di [ B], data in Eq. 33. 19,

indica che i termini di accoppiamento dipendono dal

quadrato delle distanze dal piano medio.

( ) ( )∑= −−=

N

iiiihk hk

Z Z Q B

1

2

1

2

2

1

Figura 33. 10 – Accoppiamenti fra sollecitazionie parametri di spostamento nei laminati

{ }{ }

{ }{ }⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−

⋅−−

−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

κ

ε 0

3

2

3

2

3

2

3

2

3

22

22

1200000

0

112112

000

0112112

000

00000

000011

000011

GTH

v

E TH

v

vE TH

v

vE TH

v

E TH

GTH v

E TH

v

vE TH

v

vE TH

v

E TH

M

N

Piastra Isotropa

Se un laminato è simmetrico, per ogni lamina, conangolo di rotazione α, il cui piano medio si trovi alla

quota zi, esiste una lamina simmetrica, con identiche

proprietà elastiche, spessore e angolo di rotazione α,

posta alla quota – zi. La situazione è schematizzata in

Figura 33. 11, che mostra anche i contributi delle due

lamine al generico termine Bhk della matrice di

accoppiamento membranale-flessionale.

Figura 33. 11 – Contributi di due lamine in

posizione simmetrica alla matrice di

accoppiamento membranale-flessionale

Come mostrato in Figura 33. 11, i contributi a [ B] di

due lamine simmetriche si elidono e, pertanto, un

Z

ZaZb

N-i

-Zb-Za

zi

-zi

( ) ( )22abihk Z Z Q −

( ) ( ) ( ) ( ) ( )2222

baihk baihk Z Z Q Z Z Q −=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−

i

{ }

{ }

{ }

{ }⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

κ

ε 0

666261

262221

161211

666261

262221

161211

666261

262221

161211

666261

262221

161211

D D D

D D D D D D

B B B

B B B B B B

B B B

B B B

B B B

A A A

A A A

A A A

M

N

Accoppiamento

membranale-flessionaleAccoppiamenti

estensione-taglio

Acco iamenti flesso -torsionali

Laminato Composito

8




laminato simmetrico non presenta accoppiamento

membranale-flessionale.i h α

Si osservi che lamine orientate con α = 0° o α = 90°

possono essere inserite al centro della sequenza di

laminazione, in corrispondenza del piano medio del

laminato, senza alterare la simmetria. Ad esempio i

laminati [45][0][45] e [30][-30][90][-30][30] sonosimmetrici.

Un secondo tipo di accoppiamento, che in generale

esiste nei laminati in composito mentre è assente nelle

piastre isotrope, è determinato dalle componenti A16 =

A61 e A26 = A62 nella sottomatrice simmetrica di

rigidezza membranale [ A]. Se queste componenti non

sono nulle, non risultano nulle le componenti analoghe

nella matrice di flessibilità del laminato e

l’applicazione di flussi di forza N X o N Y origina, oltre

ad allungamenti e contrazioni/dilatazioni trasversali,

anche uno scorrimento a taglio γ0XY. Viceversa,

l’applicazione di un flusso di taglio N XY provoca

allungamenti ε0XX e ε0YY.I termini A16 = A61 e A26 = A62 sono direttamente legati

ai termini corrispondenti nelle matrici di rigidezza delle

lamine ortotrope, ruotate in assi lamina (cfr. Eq. 33.

19). Come discusso nel Cap. 32, un materiale

anisotropo presenta in generale un accoppiamento fra

gli sforzi normali e gli scorrimenti a taglio. Tale

accoppiamento scompare se gli assi del sistema di

riferimento sono anche assi di simmetria del materiale,

come nel caso degli assi lamina in un materiale

ortotropo. In assi generici, ruotati di α rispetto agli assi

lamina, anche un materiale ortotropo mostra tale

accoppiamento, ma ragioni di simmetria permettono di

formalizzare le seguenti relazioni, che mostrano come

lamine ruotate di α e di -α sono caratterizzate da

termini di accoppiamento uguali e opposti.

( ) ( )

( ) ( )α α

α α

−−=

−−=

2626

1616

QQ

QQ

Eq. 33. 22

Inoltre, l’espressione dei coefficienti Ahk , fornita in Eq.

33. 19, indica che i termini della sottomatrice di

rigidezza membranale si ottengono sommando i

contributi corrispondenti nella matrice di rigidezza

delle lamine ortotrope moltiplicati per lo spessore della

lamina :

( ) ( ) ( )∑∑==

− =−= N

i

iihk

N

i

iiihk hk thQ Z Z Q A

11

1

Eq. 33. 23

Conseguentemente, come mostrato Figura 33. 12, duelamine con identiche proprietà elastiche, uguale

spessore th e angoli di rotazione α e -α forniscono duecontributi uguali e opposti ai termini componenti A16 =

A61, A26 = A62 e A66 . Tale considerazione è indipendente

dalla quota alla quale si trovano le lamine.

Figura 33. 12 – Contributi di due lamine con

orientamento asimmetrico ai termini diaccoppiamento fra estensione e tagliomembranali

Pertanto, se un laminato presenta, per ogni lamina conangolo di rotazione α, una lamina identica con angolo

di rotazione -α, la risposta del laminato non presentaaccoppiamento fra estensione e taglio membranale. Il

laminato si dice, in questo caso, equilibrato.

Infine, la matrice di rigidezza di un laminato in

composito può presentare un altro tipo di

accoppiamento, in presenza di termini non nulli D16 =

D61 e D26 = D62. La comparsa di tali termini implica

termini analoghi nell’espressione della matrice di

flessibilità e, di conseguenza, l’applicazione di una

sollecitazione flessionale al laminato, con flussi di

momento flettente M X o M Y comporta la comparsa di

una curvatura κXY: il laminato, pertanto, presenta una

torsione (come quella rappresentata in Figura 33. 4)

quando è sollecitato a flessione e viceversa.

I termini della sottomatrice di rigidezza flessionale del

laminato hanno l’espressione, già riportata in Eq. 33.

19:

( ) ( )∑=

−−= N

i

iiihk hk Z Z Q D

1

31

3

3

1

Anche i termini D16 = D61 e D26 = D62 sono quindi

riconducibili, come i corrispondenti termini della

matrice [ A] agli accoppiamenti fra estensione e taglio

in una lamina ortotropa studiata in un sistema di

riferimento generico. Le considerazioni già introdotte

relative a tali termini, formalizzate nelle Eq. 33. 22,

permettono di affermare che, se per ogni lamina alla

quota zi, orientata con un angolo αi, esiste una lamina,

di identiche proprietà elastiche e spessore, alla quota -

zi, orientata con un angolo -αi, l’accoppiamento flesso-

torsionale è eliminato dalla risposta del laminato. La

situazione è descritta per due lamine Figura 33. 13 ed

Il laminato, in tal caso, si dice bilanciato (o

antisimmetrico).

Z

zi

z j j, th, -α

( )( ) ( )( ) thQthQih jh α α 66 −=−

( ( )) thQih α 6

9




Figura 33. 13 – Contributi di due lamine a quote

opposte e con angoli di orientamento opposti aitermini di accoppiamento flesso-torsionale

Tabella 33. 1 – Casi speciali di laminati

Condizione Denominazione Matrice dirigidezza

∀ α a zi ∃ α a - zi Laminato

simmetrico[B] = 0

∀ α a zi ∃ -α Laminato

equilibrato

A16 = A61 = 0

A26 = A62 = 0

∀ α a zi ∃ -α a - zi Laminato bilanciato

(o antisimmetrico)

D16 = D61 = 0

D26 = D62 = 0

La Tabella 33. 1 riassume i casi speciali di laminati

trattati in precedenza e le loro peculiarità agli effetti

degli accoppiamenti nella risposta del laminato. Si può

osservare che le condizioni per ottenere un laminato

simmetrico e un laminato bilanciato non possonoessere in generale soddisfatte contemporaneamente.

Nella realizzazione di elementi strutturali che non

debbano soddisfare requisiti particolari di

accoppiamento, si preferisce sempre soddisfare la

condizione di simmetria rispetto a quella di

bilanciamento. Uno dei motivi di questa preferenza è

che un laminato non simmetrico presenta anche un

accoppiamento fra la contrazione dovuta al

raffreddamento al termine della fase di produzione e la

flessione. Ciò significa che è molto difficile produrre

laminati non simmetrici con la curvatura voluta, a

meno di compensare l’effetto termico con la forma

dello stampo. E’ sempre possibile forzare il laminatoad assumere la curvatura in fase di assemblaggio ma, in

tal caso, s’introducono pre-sforzi nell’elemento

strutturale. L’accoppiamento flesso-torsionale non ha

effetti così rilevanti sulla risposta del laminato e può

essere tenuto sotto controllo. Ad esempio un laminato

con sequenza [0][30][-30][45][-45][-45][45][-

30][30][0] (cioè ([0][30][-30][45][-45])S) è simmetrico

e non bilanciato, ma la contiguità delle lamine a ±α

riduce gli effetti di accoppiamento flesso-torsionale. Si

osservi, inoltre, che, per lamine poste ad α = 0° o α =

90°, l’orientamento a ±α è indifferente. Laminati consequenze di laminazione (([0][90])N)S sono pertanto

simmetrici e bilanciati. Un ulteriore possibilità diottenere un laminato simmetrico e bilanciato è offerta

dall’utilizzo di tessuti in cui E xx = E yy. Tale proprietà

implica, evidentemente, che la matrice di rigidezza per

α = 0° e α = 90° è identica, ma è anche possibile

dimostrare che le matrice di rigidezza per rotazioni di α

= 45° e α = -45° sono identiche. Pertanto, con talitessuti, tutte le sequenze di laminazione con

orientamenti [0], [90], [45] e [-45], se sono

simmetriche, risultano anche bilanciate.Un caso speciale di laminati multi-direzionali è dato

dai laminati quasi-isotropi, che sono già stati introdotti

nel Cap. 32. Attraverso la teoria classica della

laminazione, è possibile dimostrare che laminati del

tipo [-60][0][60] e [-45][0][45][90] presentano unasottomatrice di rigidezza membranale [ A] che è

invariante alla rotazione del sistema di riferimento XY.

Tali casi rappresentano le più semplici sequenze di

laminazione con cui è possibile ottenere questa

proprietà. Si osservi che la quasi-isotropia non

comporta l’invarianza alla rotazione del sistema di

riferimento, della altre sottomatrici (in particolare della

sottomatrice [ D] di rigidezza flessionale).

Figura 33. 14 – Casi più semplici di laminati

quasi-isotropi

33.3.6 Applicazione diretta e inversa della teoria dellalaminazione

La teoria classica della laminazione (spesso indicata

con l’acronimo anglosassone CLT, da Classical

Lamination Theory) rappresenta uno strumento di

inportanza fondamentale per la progettazione e l’analisi

di laminati in materiale composito.

L’applicazione della teoria permette, infatti, diprevedere le caratteristiche di rigidezza di un laminato

in funzione delle proprietà elastiche delle lamine e

della sequenza di laminazione. La progettazione di un

laminato, con determinate caratteristiche di rigidezza e

accoppiamenti, può essere definita una applicazione

diretta della CLT.

In fase di analisi, invece, la CLT permette il calcolo

dello stato di sforzo e deformazione in ciascuna lamina,

una volta che siano note le sollecitazioni { N } e { M }

agenti sul laminato.

Infatti, attraverso la matrice di flessibilità, è possibile

calcolare, note le sollecitazioni, i parametri di

deformazione del laminato {ε 0} e {κ }, attraverso l’Eq.33. 21. L’applicazione della relazione derivante dalle

ipotesi di Kirchoff, Eq. 33. 7, consente quindi di

calcolare lo stato di deformazione in ciascuna lamina.

Z

Za

Zb

-Zb-Za

zi

z j = -zi

( )( ) ( )336 abih Z Z Q −α

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )336

33

6 abihba jh Z Z Q Z Z Q −−=⎟ ⎠ ⎞

⎜⎝ ⎛ −−−− α α

[-45][0][45][90][60][0][-60]

10




Lo stato di deformazione può essere ruotato in assi

lamina, applicando le formule di trasformazione

presentate nel Cap. 32. Infine, il legame elastico in assi

lamina può essere applicato per calcolare lo stato di

sforzo in assi lamina. L’utilizzo della CLT in fase di

analisi può essere chiamato applicazione inversa. I

passaggi per il calcolo dello stato di sforzo sonoriportati in Eq. 33. 24 e schematizzati nel diagramma

di flusso presentato in Figura 33. 16.

Figura 33. 15 – Diagramma di flusso perl’applicazione diretta della CLT

{ }{ }

[ ] [ ][ ] [ ]

{ }{ }

{ } { } { }

[ ]⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

−

xy

yy

xx

xy

yy

xx

XY

YY

XX

xy

yy

xx

Qd

RT Rc

zb

M

N

D B

B Aa

γ

ε

ε

τ

σ

σ

γ

ε

ε

γ

ε

ε

κ ε ε

κ

ε

)

]][][[)

)

)

1

0

1

0

Eq. 33. 24

Figura 33. 16 - Diagramma di flusso perl’applicazione inversa della CLT

33.4 Criteri di resistenza per materiali

compositi

33.4.1 Aspetti introduttivi e classificazione dei criteri di rottura

La possibilità di calcolare lo stato di sforzo agente nellelamine di un laminato permette, in generale,

l’applicazione di criteri di resistenza, elaborati per

tentare di prevedere la rottura del composito, o

comunque, l’abbandono del comportamento elastico e

lineare.

Negli ultimi quarant’anni sono stati fatti numerosi

sforzi finalizzati allo sviluppo di criteri di rottura per

lamine in composito unidirezionale e per i loro

laminati.

Mentre il cedimento della singola lamina di composito,

non lascia adito ad alcun dubbio, essendo

inequivocabilmente identificabile, quello di un

laminato, costituito dalla sovrapposizione di più lamine

con diversa orientazione, apre il campo ad alcune

considerazioni riguardanti proprio la sua

identificazione. E’ possibile infatti intendere il

cedimento del laminato secondo due differenti

filosofie, la prima nota come First Ply Failure (FPF),

per la quale il laminato si considera rotto al

manifestarsi del cedimento della prima lamina; la

seconda nota come Last Ply Failure (LPF), per la

quale, a differenza della precedente, il laminato si

considera rotto in corrispondenza del cedimento

dell’ultima lamina. Qualora si adottasse una filosofia

LPF sarebbe necessario introdurre nelle analisi una

legge di danno progressivo in grado di ridurre

opportunamente le caratteristiche meccaniche del

laminato in relazione alla modalità con cui si manifesta

la progressiva rottura delle singole lamine che lo

costituiscono. Tra le modalità di cedimento di una

lamina di composito unidirezionale si ricordano:

• Il cedimento assiale dominato dalla fase fibra

• Il cedimento trasversale dominato della fasematrice

• Il cedimento a taglio dominato della fase

matrice

Il problema di base è rappresentato dalla previsione

della resistenza di una lamina di composito soggetta adun generico stato di sforzo. In tal senso, due sono gli

approcci possibili, uno a livello micromeccanico,

basato sull’indagine dei fenomeni fisici che portano

alla formazione delle microcricche, alla loro successiva

coalescenza fino alla rottura della lamina; l’altro a

livello superiore con approccio macromeccanico, che

disinteressandosi di questi fenomeni fisici, conducono

a criteri tridimensionali basati solo sulle caratteristiche

medie quali sforzi e deformazioni all’interno della

singola lamina. Tali criteri sono in genere presentati

sotto forma di espressioni polinomiali, di vario ordine,

caratterizzate da un certo numero di coefficienti da

definirsi sulla base di opportune prove sperimentali dicaratterizzazione (prove di trazione/compressione

monoassiale, prove di taglio puro, prove di

trazione/compressione biassiale, ecc...). Questi criteri

Matrice di rigidezza del laminato calcolate con

l’applicazione diretta della CLTSollecitazioni { N } e { M }

Calcolo parametri di deformazione {ε 0} e {κ }

Stato di deformazione in ciascuna lamina, in

assi laminato{ε XX ε YY γ XY }

Rotazione in assi lamina {ε xx ε yy γ xy }

Numero di lamine N Caratteristiche elastiche Exx, Eyy, Gxy, vyx

Spessori e angoli di orientamento thi , α i

Elaborazione delle matrici di rigidezza delle

lamine e calcolo della loro posizione rispetto

al piano medio [Q]i , Zi

Rotazione delle matrici di rigidezza [Q]i

Assemblaggio delle sottomatrici [ A], [ B] e [ D]

Applicazione della legge costitutiva

ortotropa in assi lamina e calcolo dellostato di sforzo{σ xx σ yy τ xy }

11




portano alla definizione dei cosiddetti inviluppi di

rottura semplificati sul piano delle componenti di

sforzo in assi materiali della singola lamina. Il concetto

di inviluppo di rottura differisce leggermente dal

concetto di inviluppo di snervamento della teoria della

plasticità; l’analogia tra i due si ritrova però nel fatto

che entrambi possono rappresentare il limite delcomportamento lineare del materiale soggetto ad uno

stato di sforzo multi assiale.

Un possibile inviluppo di rottura potrebbe assumere

l’andamento riportato in per un generico materiale

composito con caratteristiche di resistenza diverse a

trazione e compressione in direzione delle fibre.La possibilità di tracciare una curva limite di resistenza

della lamina in tutto il piano degli sforzi principali, è

conseguente all’applicazione di un’unica espressione

analitica che non ha alcun fondamento di carattere

fisico, il cui impiego è motivato solo dall’esigenza di

voler disporre di un comodo strumento in fase di

progetto. In questo ambito, si pensi ad esempio, alladifferenza tra le modalità di rottura che si possono

manifestare all’interno della singola lamina di

composito, già esposte in precedenza, oppure alla

disparità tra le caratteristiche di resistenza del materiale

nelle direzioni principali della lamina: , , ,

che corrispondono nell’ordine al limite di resistenza

della fase fibra a trazione ( ), a compressione ( )

ed al cedimento della fase matrice per trazione ( ) e

compressione ( ).

T X C X T Y

X

T Y

C Y

C T X

C Y

Risulta quindi evidente come non vi sia alcuna ragione

fisica per unire i vari punti rappresentativi della rottura

sul piano delle componenti di sforzo in assi materiali,con una singola linea continua, d’altro canto la facilità

di impiego quotidiano in fase di progetto ha sempre

supportato la definizione di questi inviluppi di rottura

continui, che più propriamente devono intendersi come

il frutto del processo di approssimazione della totalità

dei fenomeni che portano alla rottura della generica

lamina costituente il manufatto in composito.

Figura 33. 17 – Esempio di inviluppo di rotturaper una lamina in composito

Tutti i criteri sviluppati nel corso di questi ultimi anni

si basano sull’ipotesi di omogeneità del materiale

ortotropo e possono classificarsi all’interno di tre

gruppi:

• Criteri Limite. In questa classe vi sono quei

criteri che predicono la modalità di rottura

attraverso la comparazione degli sforzi

all’interno della singola lamina xy yy xx τ σ σ ,,

(oppure deformazioni xy yy xx γ ε ε ,, ) con i

corrispondenti limiti di resistenza (valori

ammissibili) separatamente, noti da prove

sperimentali o da deduzioni teoriche. Tali

criteri non considerano l’interazione degli

sforzi ed hanno espressioni del prim’ordine,

per questa ragione sono noti anche come

criteri lineari.• Criteri Interattivi. Qui compaiono quei criteri

che predicono la rottura attraverso l’impiego

di un’unica espressione polinomiale di gradopari o superiore al secondo. In questo caso si

considera l’interazione di tutti gli sforzi che

caratterizzano lo stato di sollecitazione della

lamina. Il cedimento avviene al

soddisfacimento dell’equazione, mentre la

modalità di cedimento può essere determinataindirettamente attraverso l’analisi dei rapporti

tra sforzi e limiti di resistenza.

• Criteri in grado di distinguere la modalità di

cedimento. In questa categoria trovano spazioquei criteri strutturati in modo da discernere il

cedimento della fase fibra da quello della fase

matrice. I criteri possono prevedere per una

particolare modalità di cedimento

l’interazione degli sforzi oppure l’assenza di

interazione.

33.4.2 Criteri limite (criteri del primo ordine)

Massimo sforzo

Il criterio del massimo sforzo decreta la resistenza di

una lamina di composito soggetta ad uno stato piano di

sforzo ( ) se sono contemporaneamente

rispettate le seguenti relazioni:

xy yy xx τ σ σ ,,

12S

Y Y

X X

xy

T yyC

T xxC

<

<<

<<

τ

σ

σ

Eq. 33. 25

nelle quali si sono indicati con

gli sforzi ammissibili di riferimento, determinati pervia sperimentale, essi sono:

C T C T Y Y X X ,,, e 12T

C T X X , : sforzi ultimi a trazione e a compressione

nel piano della lamina nella direzione

delle fibre;

C T Y Y , : sforzi ultimi a trazione e a compressione

nel piano della lamina in direzione

normale a quella delle fibre;

12S : sforzo ultimo di taglio nel piano della

lamina che risulta indipendente dal segno.

Si noti come l’ipotesi di assenza di interazione tra

modalità di cedimento, caratteristica tipica di questa

classe di criteri, implichi la verifica contemporanea ditre sottocriteri distinti, uno per ogni singola

componente di sforzo presente nella lamina, cui sono

associati altrettanti distinti meccanismi di rottura.

12




Figura 33. 18 - Confronto tra le curve limiti diresistenza per il criterio del massimo sforzo e irilievi sperimentali sulla rottura atrazione/compressione di provini in fibra divetro e resina epossidica.

Il principale vantaggio offerto da questa formulazione è

sicuramente la facilità di impiego, per contro rilievi

sperimentali condotti su provini costituiti da lamine di

composito unidirezionale, in fibra di vetro e matrice

epossidica, con orientazione uniforme nello spessore

([ ϑ + > X

]) sottoposti ad azione assiale di trazione( 0σ ) e compressione ( 0< X σ ), hanno dimostrato

l’incapacità del criterio di descrivere correttamente

l’andamento delle caratteristiche di resistenza del

laminato al variare dell’orientazione delle lamine,

come visibile dallo scostamento tra i punti sperimentali

e le curve analitiche riportate in Figura 33. 18.

Massima deformazione

Il criterio della massima deformazione è del tutto

analogo a quello precedente se si sostituiscono lecomponenti di sforzo con quelle di deformazione. In

particolare, questo decreta la resistenza di una lamina

di composito soggetta ad uno stato piano di sforzo

( ) se sono contemporaneamente rispettate

le seguenti relazioni:

xy yy xx τ σ σ ,,

12γ

ε ε

ε ε

γ

ε

ε

S

Y Y

X X

xy

T yyC

T xxC

<

<<

<<

Eq. 33. 26

dove si sono indicati con le

deformazioni associate agli sforzi ammissibili diriferimento, che si ricordano essere:

C T C T Y Y X X ε ε ε ε ,,, e

12ε T

C T X X ε ε , : deformazioni ultime a trazione e a

compressione nel piano della lamina nella

direzione delle fibre;

C T X X ε ε , : deformazioni ultime a trazione e a

compressione nel piano della lamina in

direzione normale a quella delle fibre;12γ S : deformazione ultima a taglio nel piano

della lamina che risulta indipendente dal

segno dello sforzo di taglio.

Nell’ipotesi di riferirsi al comportamento elastico

lineare del composito, queste possono esprimersi in

termini di sforzi ammissibili di riferimento attraverso le

seguenti relazioni:

x

T T E

X X =ε ;

x

C C E

X X =ε ;

y

T T E

Y Y =ε ;

y

C

C E

Y

Y =ε ; 1212 GS

xyτ

γ =

Eq. 33. 27

Come per il criterio del massimo sforzo anche in

questo caso il non considerare l’interazione fra le

modalità di cedimento conduce alla contemporanea

verifica di tre sottocriteri distinti.

Si sottolinea, infine, che questo criterio manifesta una

discrepanza con l’andamento delle caratteristiche di

resistenza rilevate sperimentalmente, analoga e per

alcune orientazioni anche più accentuata rispetto a

quella manifestata dal criterio di massimo sforzo per la

stessa tipologia di provini (Figura 33. 19). Da qui,l’esigenza di arrivare alla formulazione di un’altra

classe di criteri in grado di far fronte a questi limiti.

Figura 33. 19 - Confronto tra le curve limite di

resistenza per il criterio della massimadeformazione e i rilievi sperimentali sullarottura a trazione/compressione di provini infibra di vetro e resina epossidica.

13




33.4.4 Criteri interattivi (criteri del secondo ordine)

Criterio di Tsai-Hill

L’idea alla base del criterio Tsai-Hill è che un possibilecriterio di resistenza per compositi unidirezionali possa

esprimersi in una forma matematica analoga a quella

dei criteri di snervamento per materiali isotropi con

legge costitutiva elasto-plastica, opportunamente

modificati per tenere conto delle caratteristiche

ortotrope del composito. Un criterio adatto allo scopo èil criterio di Hill, che rappresenta un criterio di

snervamento per materiali ortotropi idealmente plastici,

discendente dal criterio di Von Mises, secondo la

formulazione generale:

( ) ( ) ( )

1222 222

222

=+++

+−+−+−

zx yz xy

xx zz zz yy yy xx

F E D

C B A

τ τ τ

σ σ σ σ σ σ

Eq. 33. 28

In questa forma, valida per stato di sforzo

tridimensionale, è conosciuto come criterio di Hill.

Come si può osservare, esso è rappresentato da

un’unica espressione che tiene conto dell’interazione di

tutti gli sforzi attraverso un’espressione polinomiale di

secondo grado nella quale i coefficienti incogniti, noti

più in generale come parametri di resistenza

ed E DC B A ,,,, F , sono relazionabili agli sforzi

ammissibili di riferimento: e

attraverso stati di sforzo semplici di azione assiale e

taglio. Nel seguito si farà uso degli ammissibili

sottintendendo che essi assumano i valori

appropriati a trazione e compressione in relazione al

segno degli sforzi assiali di competenza, nell’ordine:

,,, Z Y X 2312 , SS 31S

Z Y X ,,

1σ . Se agisse solo dall’Eq. 33. 28 si

avrebbe e, a rottura

xy

xy =

τ

1=2212τ D 12Sτ , permettendo

così di definire:

212

12

S D =

Eq. 33. 29

Analoghe considerazioni per gli altri sforzi di taglio

portano a definire:

223

12

S E =

213

12

SF =

Eq. 33. 30

Similarmente se agisse solo lo sforzo assiale in

direzione delle fibre xxσ dall’Eq. 33. 28 si

otterrebbe e, a rottura,( ) 1

2

+ xx C A σ σ ( )2

= xx X xx =σ ,da cui risulta:

2

1

X C A =+

Eq. 33. 31

Se agisse solo yyσ , si avrebbe ( ) ( ) 122 =+ yy yy B A σ σ

zz

e, a rottura , così come, se se agisse solo lo

sforzo assiale fuori dal piano

Y yy =σ

σ , si otterrebbe

( ) ( )2 zzσ 1=2 + zz C B σ e, a rottura, Z zz =σ . Da tali

considerazioni si ottiene:

2

1

Y B A =+

2

1

Z C B =+

Eq. 33. 32

Combinando le Eq. 33. 31 e Eq. 33. 32 si perviene alle

seguenti relazioni tra i parametri di resistenza e

gli sforzi ammissibili

C B A ,,

Z Y X ,, :

222

1112

Z Y X A −+=

222

1112

Z Y X B ++−=

222

1112

Z Y X C +−=

Eq. 33. 33Nell’ipotesi di stato di sforzo piano caratterizzato

da si ottiene:0=== zx yz zz τ τ σ

1

111

2

12

222

22

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

+⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −+−⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

S

Z Y X Y X

xy

yy xx

yy xx

τ

σ σ σ σ

Eq. 33. 34

Avanzando l’ipotesi di isotropia trasversa per la quale:

Z Y = l’Eq. 33. 34 assume la seguente forma:

1

2

12

22

=⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛

−⎟⎟ ⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛

+⎟ ⎠

⎞

⎜⎝

⎛ S X X Y X

xy yy xx yy xxτ σ σ σ σ

Eq. 33. 35

Il criterio di Tsai-Hill, questo è il nome con cui è

conosciuto in quest’ultima forma, è quindi un criterio

bidimensionale del second’ordine, rappresentato da

un’unica espressione che tiene conto dell’interazione

delle varie componenti di sforzo. In relazione alla

diversa resistenza assiale a trazione e compressione

manifestata dai materiali compositi, i valori degli

ammissibili X ed Y che compaiono nell’Eq. 33. 35

devono essere opportunamente scelti in funzione del

segno assunto dagli sforzi assiali xxσ e . Per

questa ragione, nel piano degli sforzi ( -

yyσ

yy xxσ σ ) il

criterio di Tsai-Hill è rappresentato da quattro curve

14




distinte che rispettano la continuità dei valori, in

corrispondenza degli ammissibili, ma non della

derivata prima

Figura 33. 20 - Confronto tra le curve limite di

resistenza per il criterio di Tsai-Hill e i rilievisperimentali sulla rottura a

trazione/compressione di provini in fibra divetro e resina epossidica.

Il criterio di Tsai-Hill rappresenta un significativo

passo avanti rispetto ai criteri di massimo sforzo e

massima deformazione, in quanto elimina quasi

completamente la discrepanza con i dati sperimentali

relativa all’andamento delle caratteristiche di resistenzadel laminato al variare dell’orientazione delle lamine,

questo almeno per i provini con lamine di

unidirezionale in fibra di vetro e matrice epossidica,

come mostrato in Figura 33. 20.

Questa migliore correlazione con i dati sperimentali è

dovuta anche alla capacità di questa nuova

formulazione di valutare l’interazione delle diverse

componenti di sforzo. Un altro significativo vantaggio

offerto dal metodo è sicuramente dato dalla semplicità

con cui possono essere definiti i coefficienti incogniti

che vi compaiono, cioè attraverso semplici prove

sperimentali di pura azione assiale ditrazione/compressione o puro taglio. Per contro un

grosso limite è rappresentato dall’incapacità del

metodo di valutare gli effetti di uno stato di sforzo

idrostatico, come evidenziato dall’espressione

originaria, Eq. 33. 28, presentata da Hill, nella quale

compaiono solo i quadrati delle differenze degli sforzi

normali. Questo può essere vero per un materiale

elasto-plastico per il quale l’energia associata alla

variazione di volume non influisce sulla sua resistenza.

In effetti il criterio di snervamento di Von-Mises si

fonda proprio sulla distinzione di questa quantità

dall’energia di distorsione, l’unica in grado di portare

alla rottura del materiale, ma non è sicuramente veroper materiali ortotropi.

Criterio di Hoffman

Hoffman modificò l’espressione di Hill, Eq. 33. 28,

aggiungendo dei termini lineari in modo da arrivare

sempre ad un’unica espressione quadratica in grado di

tener conto dell’interazione delle varie componenti di

sforzo, ma anche delle diverse caratteristiche di

resistenza a trazione e compressione nelle tredirezioni: indipendentemente dal

segno assunto dalle componenti degli sforzi normali. Il

criterio proposto da Hoffman assume pertanto la

seguente espressione:

C T X X , C T Y Y , C T Z Z ,

( ) ( ) ( )

129

28

27654

23

22

21

=++++++

+−+−+−

zx yz xy zz yy xx

xx zz zz yy yy xx

H H H H H H

H H H

τ τ τ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

Eq. 33. 36

che differisce dalla Eq. 33. 28 per l’aggiunta dei

termini linear e per il conseguente aumento del numero

dei coefficienti incogniti che passano da sei a nove.

Anche in questo caso tali termini: i H )91( ≤≤ i

2312 , S

sono

correlabili ai nove sforzi ammissibili di

riferimento: ed

considerando stati di sforzo semplici di azione assiale e

taglio.

, SC

,,,,, Z Z Y Y X X T C T C T 13S

Con considerazioni analoghe a quelle impiegate nel

caso del criterio di Hill, si ha:

212

7 1T

H = ; 223

8 1S

H = ; 231

9 1S

H =

Eq. 33. 37

per i termini relativi alla resistenza a taglio.

Considerando quindi l’azione singola degli sforzi

normali si ottiene:

( ) 014312 =−++ H H H xx xx σ σ

( ) 015212 =−++ H H H yy yy σ σ

( ) 016322 =−++ H H H zz zz σ σ

Eq. 33. 38

Attraverso le Eq. 33. 38 si ottengono le seguentirelazioni:

( )C T X X

H H 1

31 −=+

( )C T Y Y

H H 1

21 −=+

( ) C T Z Z H H

132 −=+

Eq. 33. 39

15




Risolvendo le Eq. 33. 39 per le incognite si

perviene alle espressioni:

321 ,, H H H

C T C T C T Z Z Y Y X X H

1112 1 +−−=

C T C T C T Z Z Y Y X X H 1112 2 −−+=

C T C T C T Z Z Y Y X X H

1112 3 −+−=

Eq. 33. 40

Sempre attraverso le Eq. 33. 38 e considerando le

soluzioni ottenute in Eq. 33. 40, si trovano le

espressioni per i restanti parametri , ed :4 H 5 H 6 H

C T

C T

X X

X X H

+=4

C T

C T

Y Y Y Y H +=5

C T

C T

X X

X X H

+=4

Eq. 33. 41

Nel caso particolare di stato piano di

sforzo 0=== zx yz zz τ τ σ l’espressione Eq. 33. 41

assume la forma seguente:

( ) ( )

1

2

2

754

12

212

31

=+++

+−+++

xy yy xx

yy xx yy xx

H H H

H H H H H

τ σ σ

σ σ σ σ

Eq. 33. 42

Infine, nell’ulteriore ipotesi di isotropia trasversa nel

piano ortogonale alla direzione delle fibre (2-3) si

ha . L’Eq. 33. 42 si

semplifica in:

1231,, SSY Z Y Z C C T T ===

11

111

2

212

22

=

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ +

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ++

⎟

⎟

⎠

⎞

⎜

⎜

⎝

⎛ ++

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

xy yy

C T

C T xx

C T

C T

yy xxC T

yyC T

xxC T

SY Y

Y Y

X X

X X

X X Y Y X X

τ σ σ

σ σ σ σ

Eq. 33. 43

Si è quindi pervenuti ad un criterio di rottura

bidimensionale rappresentato da un’unica espressionedel second’ordine, in grado di tener conto

dell’interazione delle diverse componenti di sforzo,come il criterio di Tsai-Hill, ma a differenza di

quest’ultimo, sul piano degli sforzi ( - yyσ xxσ ), il

criterio di Hoffman è descritto da un’unica curva in

tutti e quattro i quadranti, caratteristica che gli

conferisce una maggior facilità di impiego. Inoltre, i

rilievi sperimentali, evidenziano un’ottima capacità diprevisione dei limiti di resistenza offerta dal criterio di

Hoffman, per differenti tipologie di provini in

composito unidirezionale, con rinforzo in fibre di vetro

(Figura 33. 21), boro (Figura 33. 22) e carbonio(Figura 33. 23) in matrice epossidica, migliore rispetto

a quella permessa dal criterio di Tsai-Hill.

Si osserva infine, che nel caso particolare in cui gli

ammissibili a trazione e compressione fossero uguali

( X X X C T −=−= e ) il criterio di

Hoffman si ridurrebbe al criterio di Tsai-Hill.

Y Y Y C T −=−=

Figura 33. 21 - Confronto tra le curve limite diresistenza per il criterio di Hoffman e i rilievisperimentali sulla rottura atrazione/compressione di provini in fibra divetro e resina epossidica.

Figura 33. 22 - Confronto tra le curve limite diresistenza per il criterio di Hoffman e i rilievisperimentali sulla rottura atrazione/compressione di provini in fibra di boro

e resina epossidica.

16




Figura 33. 23 - Confronto tra le curve limite diresistenza per il criterio di Hoffman e i rilievi

sperimentali sulla rottura atrazione/compressione di provini in fibra dicarbonio e resina epossidica.

Criterio di Tsai-Wu

Tsai e Wu arrivarono alla formulazione di un nuovo

criterio di rottura sulla base della più ampia

generalizzazione che un possibile legame quadratico

tra le sei componenti del tensore degli sforzi può

assumere, con l’obiettivo di migliorare da un lato la

capacità di previsione delle caratteristiche di resistenza

ed eliminare dall’altro la particolare dipendenza dagli

sforzi normali contenuta nell’espressione proposta daHill. Tsai e Wu postularono l’esistenza di una

superficie limite di resistenza nello spazio degli sforzi a

sei dimensioni, nella seguente forma:

1=+ ii jiij F F σ σ σ 6,...,1, = ji

Eq. 33. 44

dove si deve tener conto che zxτ σ =4 ,

yzτ σ =5 , xyτ σ =6 .

Facendo assumere agli indici dei termini contenuti

nella Eq. 33. 44 tutti i possibili valori, nota lasimmetria dei termini misti ( ), si arriva ad una

espressione generale nella forma:

jiij F F =

1

222

222

222

222

222

654321

564645

363534

262524

161514

231312

266

255

244

233

222

211

=+++++

++++

+++++

++++

++++

++++

+++++

xy y zx zz yy xx

xy zx xy zx yz zx

xy zz yz zz zx zz

xy yy yz yy zx yy

yz xx yz xx zx xx

zz yy zz xx yy xx

xy yz zx zz yy xx

F zF F F F F

F F F

F F F

F F F

F F F

F F F

F F F F F F

τ τ τ σ σ σ

τ τ τ τ τ τ

τ σ τ σ τ σ

τ σ τ σ τ σ

τ σ τ σ τ σ

σ σ σ σ σ σ

τ τ τ σ σ σ

Eq. 33. 45

che non tiene in alcun modo conto di un fondamentale

aspetto fenomenologico del fenomeno della rottura per

il quale è nota l’ininfluenza del segno delle componenti

di taglio. Questa considerazione porta a definire come

nulli tutti i coefficienti ed che moltiplicano

sforzi di taglio al prim’ordine, e quindi:

iF ijF

=== 654 F F F 0

=== 161514 F F F 0

262524 F F F == =0

363534 F F F == =0

45F == 46F =056F

Eq. 33. 46

In questo modo si arriva all’espressione valida per un

generico stato di sforzo tridimensionale nella forma:

1

222

266

255

244

312312

321

2

33

2

22

2

11

=+++

++++

+++++

xy yz zx

xx zz zz yy yy xx

zz yy xx zz yy xx

F F F

F F F

F F F F F F

τ τ τ

σ σ σ σ σ σ

σ σ σ σ σ σ

Eq. 33. 47

I coefficienti incogniti ( ed ) sono correlabili agli

sforzi ammissibili considerando stati di sforzo semplicidi azione assiale e taglio.

ijF iF

Applicando il medesimo procedimento utilizzato per il

criterio di Hoffman si arriva a definire:

C T

C T

X X

X X F

+=1

C T

C T

Y Y

Y Y F

+=2

C T

C T

Z Z

Z Z F

+=3

Eq. 33. 48

per i termini lineari, mentre si ha:

C T X X F

111 −=

C T Y Y F

1

22 −=

C T Z Z F

133 −=

231

44

1

SF =

223

55

1

SF =

212

66

1

SF =

Eq. 33. 49

per i termini quadratici.

17




Gli unici termini ancora incogniti all’interno dell’ Eq.

33. 47 risultano essere quelli misti: . Per la

loro determinazione Tsai e Wu proposero l’esecuzione

di prove sperimentali di tipo biassiale in grado di

sottoporre nell’ordine il provino all’azione

concomitante di

312312 ,, F F F

xxσ e per la determinazione del

termine di interazione , di e

yyσ

12F yyσ zzσ per la

determinazione del termine di interazione ed infine

di

23F

zzσ e xxσ per la determinazione di . Tali prove

risultano comunque molto complicate e costose.

31F

Il criterio è semplificabile applicandolo ad una lamina

di composito soggetta ad uno stato piano di sforzo, per

la quale esso assume la seguente forma:

12 2661221

222

211 =+++++ xy yy xx yy xx yy xx F F F F F F τ σ σ σ σ σ σ

Eq. 33. 50

Per la definizione dell’unico coefficiente incognito

si potrebbe pensare di imporre uno stato di trazione

biassiale caratterizzato da: e tutti gli

altri sforzi nulli. In tale stato di sforzo, per l’Eq. 33. 50

si ottiene:

12F

σ σ σ == yy xx

( ) ( ) 12 212221121 =++++ σ σ F F F F F

Eq. 33. 51

Esplicitando in funzione di12F σ e sostituendo le

espressioni di ed viste in precedenza, si

arriva ad un’equazione quadratica in

112 , F F 1,F 22F

σ nella forma:

⎥⎥⎦

⎤⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎢⎢⎣

⎡+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +++−=

2

212

11

11111

2

1

σ

σ σ

C T C T

C T C T

Y Y X X

Y Y X X F

Eq. 33. 52

Questa espressione permette di determinare nota

l’entità dello sforzo normale

12F

σ della prova. Volendo

attribuire valori plausibili al termine misto senza

ricorrere a queste prove di difficile realizzazione si

presentano, di seguito, alcune considerazioni sul suo

significato matematico all’interno dell’equazione Eq.

33. 50. Si consideri uno stato biassiale di sollecitazione

caratterizzato da:

12F

0≠ xxσ , e , l’Eq.

33. 50 può quindi essere scritta come:

0≠ yyσ 0= xyτ

012 12212

222

11 =−++++ yy xx yy xx yy xx F F F F F σ σ σ σ σ σ

Eq. 33. 53

che rappresenta la forma più generale dell’equazione

delle coniche. Si vuole però che la curva descritta dallaEq. 33. 53 sia una conica non degenere (si escludono in

questo modo le rette), chiusa e di tipo reale. Da un

punto di vista fisico, questa richiesta è finalizzata a

garantire al materiale, un valore finito di resistenza, in

tutte le direzioni nel piano degli sforzi ( ). In

altre parole, si è alla ricerca delle condizioni

matematiche che permettano alla Eq. 33. 53 di

rappresentare un’ellisse reale (si escludono in questo

modo i casi particolari dell’ellisse immaginaria, della

parabola e dell’iperbole). Affinché la conica sia nondegenere il determinante della matrice dei coefficienti

deve essere diverso da zero, cioè:

yy xx σ σ −

0

1

det

21

22212

11211

≠

−

=

F F

F F F

F F F

A

Eq. 33. 54

Inoltre, affinché possa rappresentare un’ellisse si deve

avere che:

0det2212

121133 >=

F F

F F A

Eq. 33. 55

Dalla Eq. 33. 55 discende seguente criterio:

02122211 >− F F F

Eq. 33. 56

Che può essere soddisfatto solo se il coefficiente

incognito rimane nel seguente campo di

variabilità:

12F

2211122211 F F F F F <<−

Eq. 33. 57

Tsai propose ad esempio:

2211122

1F F F −=

Eq. 33. 58

mentre altri autori (Pipes e Cole) scoprirono che per

migliorare la corrispondenza tra i dati sperimentali

ottenuti con prove di trazione su provini di compositounidirezionale con fibre di boro immerse in una

matrice epossidica, ed il criterio di Tsai-Wu si doveva

porre =0. Inoltre essi scoprirono che questo

coefficiente era affetto da una variabilità significativa

funzione dell’orientazione delle fibre nei provini (15°,

30°, 45°, 60°). Narayanaswami e Adelman

affrontarono la questione, da un punto di vista

numerico e scoprirono che il considerare il coefficiente

incognito pari a zero oppure pari a:

12F

C T X X F

2

112 =

Eq. 33. 59

permetteva comunque di limitare, in tutti i casi

esaminati, l’errore massimo commesso al 10%. Il

18




valore fornito dalla Eq. 33. 59 è plausibile perché

soddisfa il criterio in Eq. 33. 57. Essa inoltre permette

di trasformare la formulazione di Tsai-Wu nel piano,

nel criterio di Hoffman espresso dalla Eq. 33. 43, che

si ricorda essere valida nell’ipotesi di composito

unidirezionale soggetto ad uno stato piano di

sollecitazione per il quale sia valida l’ipotesi diisotropia trasversa. Infatti, sostituendo nella Eq. 33. 50

le espressioni dei coefficienti ed

ormai noti e l’espressione di dato dalla Eq. 33. 59,

si ottiene:

212211 ,,, F F F F 66F

12F

11

111

2

212

22

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −

xy yyC T

C T xx

C T

C T

yy xx

C T

yy

C T

xx

C T

SY Y

Y Y

X X

X X

X X Y Y X X

τ σ σ

σ σ σ σ

Eq. 33. 60che non è altro che l’espressione Eq. 33. 53 del criterio

di Hoffman.Il criterio di Tsai-Wu è un criterio di natura quadratica

che come gli altri sinora visti, Tsai-Hill e Hoffman, non

ha alcun fondamento di natura fisica, ma che rispetto a

questi ultimi, dimostra una maggior generalità e

versatilità, questo soprattutto grazie alla presenza di un

maggior numero di parametri incogniti all’interno dellasua espressione polinomiale, la cui corretta definizione

permette di ridurre al minimo lo scostamento con i

rilievi sperimentali, migliorandone la capacità di

previsione nei confronti dei limiti di resistenza.

In ogni caso il criterio manifesta dei limiti tra cuispicca la completa assenza di fondamento fisico

confermata ad esempio dal fatto che un cedimento a

trazione dipenda anche dai limiti di resistenza a

compressione e viceversa. Inoltre come tutti i criteri

definiti da un’unica espressione non è in grado di

distinguere le possibili modalità con cui può

manifestarsi il cedimento all’interno di un materiale

composito, modalità che discendono dalle differenti

caratteristiche meccaniche dei due elementi costitutivi,

le fibre dal comportamento elasto-fragile la matrice dal

comportamento plastico. Le fibre, ad esempio, possono

rompersi a trazione o presentare dei fenomeni di

instabilità a compressione, mentre la matrice puòcedere sia per azione assiale di trazione e compressione

sia per azione di taglio.

In tal senso, non c’è alcuna evidenza che un criterio

definito da un’unica espressione analitica possa

descrivere una simile eterogeneità nella modalità di

cedimento solo grazie all’opportuna scelta dei

coefficienti che lo definiscono analiticamente. Taliconsiderazioni motivarono la ricerca di una nuova

classe di criteri formulati in modo da poter descrivere

correttamente queste differenti modalità di rottura.

33.4.5 Criteri con distinzione della modalità di cedimento

Criterio di Hashin-Rotem

Hashin e Rotem sulla base dell’evidenza sperimentale

proposero, per materiali compositi unidirezionali,l’esistenza di due differenti meccanismi di cedimento,

dovuti alla natura bifasica del materiale in oggetto,

l’uno dominato dalla fase fibra, l’altro dominato dalla

fase matrice. Svilupparono quindi un criterio per

ognuna di queste due distinte modalità di cedimento. In

particolare, per la prima, governata dallo sforzo

normale in direzione delle fibre, proposero un semplice

criterio di massimo sforzo nella forma generale:

1=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ X

xxσ

Eq. 33. 61

che si differenzia a trazione e compressione per il

diverso valore assunto dallo sforzo limite di resistenza,

cioè: T X X = nel caso di fibra a trazione 0> xxσ ,

mentre C X X = nel caso opposto 0< xxσ . Per la

seconda modalità di cedimento dominata invece dallo

sforzo normale in direzione trasversale a quella delle

fibre e dallo sforzo di taglio, proposero unaformulazione quadratica in grado di mettere in

relazione queste due componenti di sforzo, nella

seguente forma:

1

2

12

2

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

SY

xy yy τ σ

Eq. 33. 62

dove ancora una volta, il valore dello sforzo limite in

direzione trasversale a quella delle fibre viene definito

in funzione del segno assunto dalla sollecitazione

normale in questa direzione yyσ (per 0> yyσ si ha

T Y Y = , mentre per si ha Y ), mentre

l’ininfluenza del verso di azione dallo sforzo di taglio

giustifica l’assenza, del termine misto diaccoppiamento tra lo sforzo normale

0< yyσ T Y =

yyσ e di taglio

. xyτ

I limiti della trattazione possono ritrovarsi nel fatto che

non viene fatta alcuna distinzione tra cedimento della

matrice nel piano della singola lamina di composito e

cedimento nell’interfaccia, cioè tra una lamina e l’altra,

come del resto non si avanza alcuna ipotesi sugli effetti

degli stati di sforzo in compositi diversi dagli

unidirezionali.

Il criterio riveste comunque un’importanza scientifica

particolare perché fondato su un inedito approccio alla

trattazione del cedimento dei compositi unidirezionalibasato sulla identificazione della modalità di cedimento

quindi sulla definizione delle variabili ad essa associate

19




proponendone un possibile legame di interazione a

livello matematico.

Criterio di Hashin

Lo studio presentato da Hashin nel 1980 rappresenta

una evoluzione rispetto al precedente criterio,

pubblicato nel 1973, in quanto all’interno delle duediverse modalità di cedimento, individuate per

compositi unidirezionali, distingue il comportamento a

trazione da quello a compressione, il tutto a partire da

una formulazione tridimensionale specializzata solo in

seguito al caso bidimensionale. L’autore sviluppa il

criterio sulla base di ragionamenti logici sullecomponenti di sforzo che intervengono nelle differenti

modalità di cedimento a partire da una formulazione

generale del second’ordine scelta come miglior

compromesso tra una di tipo lineare, caratterizzata da

una sottostima dei limiti di resistenza sperimentali, ed

una del terzo dallo sviluppo analitico troppo

complesso.Questa logica porta a definire, per quanto riguarda il

cedimento della fase fibra a trazione, un’interazione tra

lo sforzo normale e quelli di taglio longitudinale, nella

direzione delle fibre, nella forma:

( )1

2

213

212

2

1 =+

+⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

aT S X

τ τ σ

Eq. 33. 63

dove l’inedito termine rappresenta lo sforzo limite

di resistenza a taglio longitudinale.

aS

Nessuna ipotesi di interazione tra le componenti di

sforzo viene invece avanzata per il cedimento delle

fibre a compressione, dove in perfetta analogia alla

formulazione proposta nel 1973 viene proposto un

semplice criterio di massimo sforo:

1=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

C

xx

X

σ

Eq. 33. 64

L’analisi del cedimento della fase matrice viene

affrontata sulla base del tentativo di identificare ilpiano in cui esso si manifesta e della successiva

individuazione delle componenti di sforzo che lo

caratterizzano, distinguendo sempre il caso della

sollecitazione di trazione da quella di compressione. In

particolare, a partire da una formulazione che vede

l’interazione quadratica degli invarianti degli sforzi per

rotazioni attorno alla direzione di allineamento delle

fibre ( x ) si arriva alla formulazione del criterio nel

caso di cedimento della matrice a trazione,

considerando le sole componenti di sforzo afferenti a

questa modalità di cedimento:

( ) ( ) ( ) 1111 222

22

22 =−+−++ zx xy

a

zz yy yz

t

zz yy

T SSY τ τ σ σ τ σ σ

Eq. 33. 65

nella quale compare un nuovo termine

rappresentativo dello sforzo limite di resistenza a taglio

trasversale.

t S

Per quanto riguarda infine il cedimento della matrice a

compressione alle considerazioni precedenti si

aggiunge una nuova informazione relativaall’incremento di resistenza del composito

unidirezionale soggetto ad uno stato di sforzo di

compressione isotropa trasversale ( σ σ σ −== zz yy )

che cede ad un limite di sforzo superiore alla resistenza

nominale . Tale informazione unitamente alle

precedenti considerazioni portano all’espressione:

C Y

( ) ( )

( ) ( ) 111

2

11

2

1

222

22

2

22

=−+−+

++⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ++

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

zx xy

a

zz yy yz

t

zz yy

t

zz yy

t

C

C

SS

ST

Y

Y

τ τ σ σ τ

σ σ σ σ

Eq. 33. 66

Si sottolinea che la distinzione tra trazione e

compressione è definibile sulla base del segno assunto

dalla somma . Si adotterà, quindi la

formulazione relativa alla sollecitazione di trazione per

, viceversa quella di compressione per

.

zz yy σ σ +

0>+ zz yy σ σ

0<+ zz yy σ σ

Specializzando la trattazione per il più semplice caso

bidimensionale caratterizzato dalla presenza delle solecomponenti di sforzo nel piano della singola lamina:

xy yy xx τ σ σ ,, si ottiene:

Modo Fibra a Trazione ( 0> xxσ ):

1

22

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

a

xy

T

xx

S X

τ σ

Eq. 33. 67

Modo Fibra a Compressione ( 0> xxσ );

1=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

T

xx

X

σ

Eq. 33. 68

Modo Matrice a Trazione ( ):0> yyσ

1

22

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

a

xy

T

yy

SY

τ σ

Eq. 33. 69

Modo Matrice a Compressione ( 0< yyσ ):

1122

222

=⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +

⎥⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡ −⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛ +⎟⎟

⎠ ⎞⎜⎜

⎝ ⎛

a

xy

C

yy

t

C

t

yy

SY SY

Sτ σ σ

Eq. 33. 70

20




21

Si sottolinea che in quest’ultima espressione deve

essere considerato come valore assoluto, mentre

entra con il segno negativo. Lo sforzo limite di

resistenza a taglio longitudinale, nel caso di stato piano

di sforzo, non è altro che lo sforzo limite a taglio nelpiano , quindi: .

C Y

yyσ

12S 12SS a ≡In riferimento al modo fibra l’unica differenza rispettoalla formulazione del 1973 riguarda la partecipazione

dello sforzo di taglio xyτ nel cedimento a trazione, che

rimane nella formulazione bidimensionale dopo

l’ipotesi di stato di sforzo piano perché contenuto nel

piano in cui si manifesta la rottura della fase fibra. A

tal proposito, Hashin suggerisce comunque la

possibilità di tralasciare questo contributo proprio

perché le basi fisiche che ne giustificano l’effetto sul

cedimento della fibra a trazione non sono così

consolidate in letteratura. Comunque l’aspetto più

controverso della formulazione bidimensionale ècontenuto nell’espressione relativa al modo matrice a

compressione dove compare lo sforzo limite di taglio

trasversale fuori dal piano, la cui interazione con lo

stato piano di sforzo ai fini del cedimento della fasematrice non risulta del tutto chiara da un punto di vista

fisico.

t S

Criterio di Hashin-Rotem modificato

Sun, Quinn, Tao e Oplinger proposero alla fine del

loro studio comparativo sulla corrispondenza tra i

criteri più comunemente impiegati ed i datisperimentali desunti da prove di azione biassiale e puro

taglio, un nuovo criterio basato su una modifica al già

noto criterio di Hashin-Rotem. In particolare,

quest’ultima riguarda l’espressione del solo modo

matrice a compressione ed è finalizzata a tener conto di

un incremento della resistenza a taglio del composito in

presenza di una concomitante azione di compressione

in direzione della matrice ( ) evidenziata da

tutte le prove sperimentali; il tutto attraverso la

semplice aggiunta, nell’espressione, di un opportuno

coefficiente correttivo

0< yyσ

μ .

Il criterio di Hashin-Rotem modificato assume quindila seguente forma:

Modo Fibra a Trazione e Compressione:

1=⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ X

xxσ

Modo Matrice a Trazione:

1

2

12

2

=⎟⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

SY

xy

T

yy τ σ

Modo Matrice a Compressione:

1

2

12

2

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−+⎟

⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛

yy

xy

C

yy

SY μσ

τ σ

dove il coefficiente μ assume valori inferiori all’unità

tipicamente compresi tra 0,4 e 0,8 a seconda delle

caratteristiche fisiche dei singoli costituenti della

lamina di composito analizzata (fibre e matrice), gioca

un ruolo simile ad un coefficiente di attrito. La sua

definizione deve essere fatta sulla base del confronto

con i dati sperimentali in modo da limitare lo

scostamento tra quanto predetto dal criterio e quanto

rilevato sperimentalmente.

Bibliografia

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